段考詳解範圍：數與式（實數與根式、乘法公式、絕對值與數線、算幾不等式、指數、常用對數）

屏東高中 110 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 5 題、多選題 5 題、選填題 10 題，共 20 題，每題 5 分，合計 100 分；題目卷沒有印配分，配分照學校公布的解答所印。本頁第 11～20 題依序為原卷選填題 A～J。答案已與學校公布的答案逐題核對，20 題全部一致。

一、單選題（每題 5 分）

已知

a = 13 + 5

，

b = 11 + 7

，

c = 15 + 3

，則

a

、

b

、

c

的大小關係為？

(1) $a > b > c$
(2) $b > a > c$
(3) $b > c > a$
(4) $c > a > b$
(5) $c > b > a$

設

P

，

A (4)

，

B (11)

為數線上三點，已知

P

點不在

A

，

B

之間，且

\overline{A P} : \overline{B P} = 4 : 3

，則

P

點坐標為？

(1) $7$
(2) $8$
(3) $16$
(4) $24$
(5) $32$

不等式

1 \leq ∣3 x + 1∣ < 5

有幾個整數解？

(1) $1$ 個
(2) $2$ 個
(3) $3$ 個
(4) $4$ 個
(5) $5$ 個

若

lo g a = 2.3

，

lo g b = 4.3

，則

b

是

a

的多少倍？

(1) $\frac{43}{23}$ 倍
(2) $10$ 倍
(3) $20$ 倍
(4) $100$ 倍
(5) $1000$ 倍

已知

a = lo g 2

，

b = lo g 50

，則

a + b

的值為何？

(1) $2$
(2) $52$
(3) $100$
(4) $2500$
(5) $2^{50}$

二、多選題（每題全對得 5 分，錯 1 個選項得 3 分，錯 2 個選項得 1 分）

下列哪些有理數可表示為有限小數？

(1) $\frac{1}{4}$
(2) $\frac{5}{6}$
(3) $\frac{2}{7}$
(4) $\frac{7}{8}$
(5) $\frac{27}{15}$

下列哪些為無理數？

(1) $0. \overline{34}$
(2) $3$
(3) $π$
(4) $(7)^{2}$
(5) $\frac{12}{27}$

設

a

，

b

皆為正數，且

3 a + 4 b = 12

，則下列選項哪些正確？

(1) $ab$ 的最大值為 $36$
(2) $ab$ 的最小值為 $3$
(3) $ab$ 有最大值時， $a = 2$
(4) $ab$ 有最小值時， $b = 3$
(5) $ab$ 有最大值時， $a + 2 b = 5$

觀察某種細菌的數量，發現每過

2

小時會變為為原來的

3

倍。已知現在有此細菌

900

隻，則下列選項哪些正確？

(1) $4$ 小時後有 $5400$ 隻
(2) $4$ 小時前有 $100$ 隻
(3) 每過 $1$ 小時會變為原來的 $1.5$ 倍
(4) 每過 $1$ 小時會變為原來的 $3$ 倍
(5) $8$ 小時後會超過 $72000$ 隻

下列選項，哪些正確？

(1) 若 $1 0^{l o g 3.14} = a$ ，則 $a = 3.14$
(2) 若 $1 0^{l o g b} = 78$ ，則 $b = 1 0^{78}$
(3) 若 $1 0^{c} = 343$ ，則 $c = 3.43$
(4) $lo g 0.1 + lo g 1 + lo g 10 = 1$
(5) $lo g 10 + lo g 100 + lo g 1000 = 6$

三、選填題（若答案為分數，請化為最簡分數）（每題 5 分）

A. 若

∣ x - 1∣ = 3

，則

x =

____ 或 ____。（原卷作答格式為「⑪ 或 ⑫⑬」，負號占一格）

24 + 3 (12 - 18) = a + b 6

，其中

a

，

b

為有理數，則數對

(a, b) =

____。（原卷作答格式為（⑭,⑮⑯），負號占一格）

C. 設

x = 3 - 2

，則

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} =

____。（原卷作答格式為 ⑰⑱ 乘上根號，根號內一格 ⑲）

D. 實數

11 + 62

的整數部分為

a

，小數部分為

b

，則

\frac{1}{b} + \frac{7}{a + b} =

____。（原卷作答格共一格）

(2 + 1)^{100} (2 - 1)^{98} =

____。（原卷作答格式為㉑

+

㉒

2

）

F. 已知電腦記憶體的基本單位是 Byte，簡寫為 B。已知

1 KB = 2^{10} B

，

1 MB = 2^{10} KB

，

1 GB = 2^{10} MB

，

1 TB = 2^{10} GB

。大成新買的電腦配備一部

256 GB

的固態硬碟（SSD），與一部

6 TB

的硬碟（HDD），試問此硬碟（HDD）的容量是固態硬碟（SSD）的 ____ 倍。（原卷作答格共兩格）

G. 已知

5^{2 x} = 3

，則

\frac{5 ^{x} + 5 ^{- 3 x}}{5 ^{3 x} - 5 ^{- x}} =

____。（原卷作答格式為分數，分子一格、分母兩格）

H. 已知

lo g a = 3.14

，若

b = 1000 a

，則

lo g b =

____。（原卷作答格式為㉘.㉙㉚）

I. 若溶液中的氫離子濃度為

a

mol／L 時，定義它的 pH 值為

- lo g a

。已知

A

溶液的氫離子濃度為

1.0 \times 1 0^{- 8}

mol／L，

B

溶液的 pH 值為

6.4

，若

B

溶液的氫離子濃度是

A

溶液的

1 0^{x}

倍，則

x =

____。（原卷作答格式為㉛.㉜）

J. 如右圖，一塊斜邊長為

12

公尺的等腰直角三角形形狀的花圃，今欲在此花圃中挖出一個面積最大的矩形水池，且水池的一邊是在三角形的斜邊上，則此水池的最大面積為 ____ 平方公尺。（提示：設

\overline{A D} = a

公尺，

\overline{D G} = b

公尺）。（原卷作答格共兩格）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(5)

第 3 題(3)

第 4 題(4)

第 5 題(1)

第 6 題(1)(4)(5)

第 7 題(2)(3)

第 8 題(3)(5)

第 9 題(2)(4)(5)

第 10 題(1)(5)

第 11 題

4

或

- 2

第 12 題

(6, - 1)

第 13 題

183

第 14 題

4

第 15 題

3 + 22

第 16 題

24

第 17 題

\frac{5}{12}

第 18 題

6.14

第 19 題

1.6

第 20 題

18

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：根式比大小、外分點、絕對值不等式與常用對數

第 1 題答案 (2)。三個數都是正數，比平方就好。

a^{2} = 13 + 5 + 265 = 18 + 265

，

b^{2} = 11 + 7 + 277 = 18 + 277

，

c^{2} = 15 + 3 + 245 = 18 + 245

。因為

77 > 65 > 45

，所以

b^{2} > a^{2} > c^{2}

，即

b > a > c

。

根號裡兩數的和都是

18

，平方後只差在兩數的乘積；和相同時，兩數越接近，乘積越大。

第 2 題答案 (5)。

\overline{A P} : \overline{B P} = 4 : 3

，

P

離

B

比較近，又不在

A

、

B

之間，所以

P

在

B

的右邊。設

P

的坐標為

p

（

p > 11

），則

\overline{A P} = p - 4

，

\overline{B P} = p - 11

。由

\frac{p - 4}{p - 11} = \frac{4}{3}

得

3 (p - 4) = 4 (p - 11)

，

3 p - 12 = 4 p - 44

，

p = 32

。檢查：

\overline{A P} = 28

，

\overline{B P} = 21

，

28 : 21 = 4 : 3

。

若不看「不在

A

，

B

之間」，

P

在線段上時坐標是

8

，那是選項 (2)；題目要的是線段外的那一個。

第 3 題答案 (3)。分兩種情形。①

3 x + 1 \geq 0

：

1 \leq 3 x + 1 < 5

，

0 \leq 3 x < 4

，

0 \leq x < \frac{4}{3}

，整數有

0

、

1

。②

3 x + 1 < 0

：

1 \leq - (3 x + 1) < 5

，即

- 5 < 3 x + 1 \leq - 1

，

- 6 < 3 x \leq - 2

，

- 2 < x \leq - \frac{2}{3}

，整數有

- 1

。合起來整數解是

- 1

、

0

、

1

，共

3

個。

左邊是

\leq

、右邊是

<

，端點要分清楚：

x = 0

時

∣3 x + 1∣ = 1

可以，

x = - 2

時

∣3 x + 1∣ = 5

不行。

第 4 題答案 (4)。

lo g a = 2.3

就是

a = 1 0^{2.3}

，

lo g b = 4.3

就是

b = 1 0^{4.3}

。

\frac{b}{a} = \frac{1 0 ^{4.3}}{1 0 ^{2.3}} = 1 0^{4.3 - 2.3} = 1 0^{2} = 100

，所以

b

是

a

的

100

倍。

lo g

的值相差

2

，原來的數相差

1 0^{2}

倍，不是

2

倍，也不是

\frac{4.3}{2.3}

倍。

第 5 題答案 (1)。

a = lo g 2

就是

1 0^{a} = 2

，

b = lo g 50

就是

1 0^{b} = 50

。兩式相乘：

1 0^{a} \times 1 0^{b} = 1 0^{a + b} = 2 \times 50 = 100 = 1 0^{2}

，所以

a + b = 2

。

lo g

相加對應的是原來的數相乘（

2 \times 50

），不是相加（

2 + 50

）。

lo g A = k

就是

A = 1 0^{k}

；先換回

10

的次方，倍數與乘積都交給指數律。

02多選 6～10：有限小數、無理數、算幾不等式、指數成長與對數的意義

第 6 題答案 (1)(4)(5)。先約成最簡分數，分母的質因數只有

2

或

5

時才能化成有限小數。(1) 對：分母

4 = 2^{2}

，

\frac{1}{4} = 0.25

。(2) 錯：分母

6 = 2 \times 3

含有

3

，

\frac{5}{6} = 0.8333 \dots

。(3) 錯：分母

7

，

\frac{2}{7} = 0.285714 \dots

是循環小數。(4) 對：分母

8 = 2^{3}

，

\frac{7}{8} = 0.875

。(5) 對：

\frac{27}{15} = \frac{9}{5}

，分母

5

，等於

1.8

。

(5) 要先約分再看分母；沒約分時分母

15

含有

3

，會誤判。

第 7 題答案 (2)(3)。(1) 不是：

0. \overline{34}

是循環小數，等於

\frac{34}{99}

，是有理數。(2) 是：

3

不是完全平方數，

3

是無理數。(3) 是：

π

是無理數。(4) 不是：

(7)^{2} = 7

。(5) 不是：

\frac{12}{27} = \frac{4}{9} = \frac{2}{3}

。

有根號不一定是無理數，要先化簡再判斷。

第 8 題答案 (3)(5)。

3 a

與

4 b

都是正數，由算幾不等式

\frac{3 a + 4 b}{2} \geq 3 a \times 4 b

，即

6 \geq 12 ab

，平方得

36 \geq 12 ab

，

ab \leq 3

。等號在

3 a = 4 b = 6

時成立，此時

a = 2

，

b = \frac{3}{2}

。所以

ab

的最大值是

3

，發生在

a = 2

、

b = \frac{3}{2}

。(1) 錯：最大值是

3

，

36

是算到一半的

12 ab

的上限。(2) 錯：

3

是最大值不是最小值。(3) 對。(4) 錯：

ab

沒有最小值，例如

a = 0.004

、

b = 2.997

時

ab

不到

0.012

，

a

取得更小

ab

就更接近

0

，但

a

、

b

是正數，

ab

不會等於

0

；而且

b = 3

時

a = 0

，不合正數的條件。(5) 對：

a + 2 b = 2 + 2 \times \frac{3}{2} = 5

。

算幾不等式給的是乘積的上限；等號成立時

3 a = 4 b

，各占

12

的一半。

第 9 題答案 (2)(4)(5)。(1) 錯：

4

小時是兩個

2

小時，

900 \times 3^{2} = 8100

隻。(2) 對：往回兩個

2

小時，

900 \div 3^{2} = 100

隻。(3)(4) 設每過

1

小時變為原來的

r

倍（

r > 0

），兩小時就是

r^{2}

倍，所以

r^{2} = 3

，

r = 3 \approx 1.732

；(3) 錯（

1. 5^{2} = 2.25 \neq = 3

），(4) 對。(5) 對：

8

小時是四個

2

小時，

900 \times 3^{4} = 900 \times 81 = 72900 > 72000

。

倍數是用乘的：兩小時

3

倍，一小時是

3^{\frac{1}{2}} = 3

倍，不是

3 \div 2

。

第 10 題答案 (1)(5)。

lo g A

的意思是「

10

的幾次方等於

A

」，所以

1 0^{l o g A} = A

。(1) 對：

a = 1 0^{l o g 3.14} = 3.14

。(2) 錯：

1 0^{l o g b} = b

，所以

b = 78

，不是

1 0^{78}

。(3) 錯：

1 0^{2} = 100 < 343 < 1000 = 1 0^{3}

，所以

2 < c < 3

，

c

不會是

3.43

。(4) 錯：

0.1 = 1 0^{- 1}

，

1 = 1 0^{0}

，

10 = 1 0^{1}

，三項的和是

- 1 + 0 + 1 = 0

。(5) 對：

1 + 2 + 3 = 6

。

(3) 的

c

就是

lo g 343

；

3.43

只是把

343

的小數點移了兩位。

多選題每個選項都實際算一次；最大值、最小值要連「等號成立的條件做不做得到」一起檢查。

03選填 11～15（原卷選填 A～E）：絕對值方程式、根式化簡、乘法公式、雙重根號與指數律

第 11 題

∣ x - 1∣ = 3

表示數線上

x

與

1

的距離是

3

，所以

x - 1 = 3

或

x - 1 = - 3

，

x = 4

或

x = - 2

。

照原卷的格式，前面一格填

4

，後面兩格填負號與

2

。

第 12 題

24 = 26

。

3 \times 12 = 36 = 6

，

3 \times 18 = 54 = 36

。原式

= 26 + 6 - 36 = 6 - 6

。

a

、

b

是有理數，而

6

是無理數，所以比較兩邊得

a = 6

，

b = - 1

，

(a, b) = (6, - 1)

。

a + b 6 = 6 - 6

可以寫成

(b + 1) 6 = 6 - a

；若

b \neq = - 1

，

6 = \frac{6 - a}{b + 1}

會是有理數，矛盾，所以

b = - 1

、

a = 6

。

第 13 題

\frac{1}{x} = \frac{1}{3 - 2} = \frac{3 + 2}{3 - 2} = 3 + 2

，所以

x + \frac{1}{x} = 23

。由

(x + \frac{1}{x})^{3} = x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} + 3 (x + \frac{1}{x})

得

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = (23)^{3} - 3 \times 23 = 243 - 63 = 183

。

(23)^{3} = 8 \times 33 = 243

。

第 14 題

62 = 218

，所以

11 + 62 = 11 + 218

；找兩數和為

11

、積為

18

：

9

和

2

，得

11 + 218 = 9 + 2 = 3 + 2

。

2 \approx 1.414

，所以

3 + 2 \approx 4.414

，整數部分

a = 4

，小數部分

b = 3 + 2 - 4 = 2 - 1

。

\frac{1}{b} = \frac{1}{2 - 1} = 2 + 1

；

a + b = 3 + 2

，

\frac{7}{3 + 2} = \frac{7 ( 3 - 2 )}{9 - 2} = 3 - 2

。兩者相加

= (2 + 1) + (3 - 2) = 4

。

a + b

就是原來的數

3 + 2

，不必分開代。

第 15 題把

100

次方拆成

98

次方乘上

2

次方：原式

= (2 + 1)^{2} \times [(2 + 1) (2 - 1)]^{98}

。

(2 + 1) (2 - 1) = 2 - 1 = 1

，所以中括號的

98

次方是

1

。原式

= (2 + 1)^{2} = 2 + 22 + 1 = 3 + 22

。

次數不同時，先把次數湊成一樣，再用

x^{n} y^{n} = (x y)^{n}

。

看到

p + q

與

p - q

成對出現，先乘起來，用平方差把根號消掉。

04選填 16～20（原卷選填 F～J）：指數律、對數的意義與算幾不等式的應用

第 16 題把 HDD 的容量換成 GB：

6 TB = 6 \times 2^{10} GB

。SSD 是

256 GB = 2^{8} GB

。倍數

= \frac{6 \times 2 ^{10}}{2 ^{8}} = 6 \times 2^{2} = 24

。

兩者換成同一個單位再相除；

256 = 2^{8}

。

第 17 題分子、分母同乘

5^{3 x}

：分子

= 5^{4 x} + 5^{0} = 5^{4 x} + 1

，分母

= 5^{6 x} - 5^{2 x}

。由

5^{2 x} = 3

得

5^{4 x} = 3^{2} = 9

，

5^{6 x} = 3^{3} = 27

。原式

= \frac{9 + 1}{27 - 3} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}

。

同乘

5^{3 x}

是為了讓每一項的指數都變成

2 x

的倍數；也可以同乘

5^{x}

，得到

\frac{3 + \frac{1}{3}}{9 - 1} = \frac{5}{12}

。

第 18 題

lo g a = 3.14

就是

a = 1 0^{3.14}

。

b = 1000 a = 1 0^{3} \times 1 0^{3.14} = 1 0^{6.14}

，所以

lo g b = 6.14

。

乘以

1000 = 1 0^{3}

，

lo g

的值加

3

，不是乘

3

。

第 19 題設

B

溶液的氫離子濃度為

c

mol／L。由定義

- lo g c = 6.4

，

lo g c = - 6.4

，所以

c = 1 0^{- 6.4}

。

A

溶液的濃度是

1 0^{- 8}

。

\frac{1 0 ^{- 6.4}}{1 0 ^{- 8}} = 1 0^{- 6.4 - (- 8)} = 1 0^{1.6}

，所以

x = 1.6

。

A

溶液的 pH 值是

- lo g 1 0^{- 8} = 8

；pH 值小

1.6

，氫離子濃度是

1 0^{1.6}

倍。

第 20 題等腰直角三角形的兩個銳角

∠ A = ∠ C = 4 5^{\circ}

。矩形的邊

\overline{D E}

垂直斜邊，所以三角形

A D E

中

∠ A D E = 9 0^{\circ}

、

∠ A = 4 5^{\circ}

，是等腰直角三角形，

\overline{D E} = \overline{A D} = a

。同理

\overline{GC} = \overline{GF}

，而矩形的對邊

\overline{GF} = \overline{D E} = a

，所以

\overline{GC} = a

。斜邊

\overline{A C} = \overline{A D} + \overline{D G} + \overline{GC} = 2 a + b = 12

，水池面積

= \overline{D E} \times \overline{D G} = ab

。

2 a

、

b

都是正數，由算幾不等式

\frac{2 a + b}{2} \geq 2 a \times b

，即

6 \geq 2 ab

，平方得

36 \geq 2 ab

，

ab \leq 18

。等號在

2 a = b = 6

，即

a = 3

、

b = 6

時成立，做得到。最大面積為

18

平方公尺。

本頁的圖是示意圖，矩形的位置沒有照面積最大時的位置畫。面積最大時

\overline{D G}

恰為斜邊的一半。

用算幾不等式求極值：先找出和是定值的兩個正數（這裡是

2 a

與

b

），再檢查等號成立的條件。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

屏東高中 110 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

屏東高中 110 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 2 題要注意 P 不在 A、B 之間，答案是線段外的那一點；多選第 8 題的乘積只有最大值、沒有最小值，選項 2 和選項 4 都不成立；多選第 9 題每小時的倍數是根號 3 倍而不是 1.5 倍；選填 D 要先化簡雙重根號，再分出整數部分與小數部分；選填 J 要先由 45 度角看出斜邊被分成 a、b、a 三段，再用算幾不等式。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自屏東高中 110 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（實數與根式、乘法公式、絕對值與數線、算幾不等式、指數、常用對數）

屏東高中 110 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

一、單選題（每題 5 分）

已知

a = 13 + 5

，

b = 11 + 7

，

c = 15 + 3

，則

a

、

b

、

c

的大小關係為？

(1) $a > b > c$
(2) $b > a > c$
(3) $b > c > a$
(4) $c > a > b$
(5) $c > b > a$

設

P

，

A (4)

，

B (11)

為數線上三點，已知

P

點不在

A

，

B

之間，且

\overline{A P} : \overline{B P} = 4 : 3

，則

P

點坐標為？

(1) $7$
(2) $8$
(3) $16$
(4) $24$
(5) $32$

不等式

1 \leq ∣3 x + 1∣ < 5

有幾個整數解？

(1) $1$ 個
(2) $2$ 個
(3) $3$ 個
(4) $4$ 個
(5) $5$ 個

若

lo g a = 2.3

，

lo g b = 4.3

，則

b

是

a

的多少倍？

(1) $\frac{43}{23}$ 倍
(2) $10$ 倍
(3) $20$ 倍
(4) $100$ 倍
(5) $1000$ 倍

已知

a = lo g 2

，

b = lo g 50

，則

a + b

的值為何？

(1) $2$
(2) $52$
(3) $100$
(4) $2500$
(5) $2^{50}$

二、多選題（每題全對得 5 分，錯 1 個選項得 3 分，錯 2 個選項得 1 分）

下列哪些有理數可表示為有限小數？

(1) $\frac{1}{4}$
(2) $\frac{5}{6}$
(3) $\frac{2}{7}$
(4) $\frac{7}{8}$
(5) $\frac{27}{15}$

下列哪些為無理數？

(1) $0. \overline{34}$
(2) $3$
(3) $π$
(4) $(7)^{2}$
(5) $\frac{12}{27}$

設

a

，

b

皆為正數，且

3 a + 4 b = 12

，則下列選項哪些正確？

(1) $ab$ 的最大值為 $36$
(2) $ab$ 的最小值為 $3$
(3) $ab$ 有最大值時， $a = 2$
(4) $ab$ 有最小值時， $b = 3$
(5) $ab$ 有最大值時， $a + 2 b = 5$

觀察某種細菌的數量，發現每過

2

小時會變為為原來的

3

倍。已知現在有此細菌

900

隻，則下列選項哪些正確？

(1) $4$ 小時後有 $5400$ 隻
(2) $4$ 小時前有 $100$ 隻
(3) 每過 $1$ 小時會變為原來的 $1.5$ 倍
(4) 每過 $1$ 小時會變為原來的 $3$ 倍
(5) $8$ 小時後會超過 $72000$ 隻

下列選項，哪些正確？

(1) 若 $1 0^{l o g 3.14} = a$ ，則 $a = 3.14$
(2) 若 $1 0^{l o g b} = 78$ ，則 $b = 1 0^{78}$
(3) 若 $1 0^{c} = 343$ ，則 $c = 3.43$
(4) $lo g 0.1 + lo g 1 + lo g 10 = 1$
(5) $lo g 10 + lo g 100 + lo g 1000 = 6$

三、選填題（若答案為分數，請化為最簡分數）（每題 5 分）

A. 若

∣ x - 1∣ = 3

，則

x =

____ 或 ____。（原卷作答格式為「⑪ 或 ⑫⑬」，負號占一格）

24 + 3 (12 - 18) = a + b 6

，其中

a

，

b

為有理數，則數對

(a, b) =

____。（原卷作答格式為（⑭,⑮⑯），負號占一格）

C. 設

x = 3 - 2

，則

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} =

____。（原卷作答格式為 ⑰⑱ 乘上根號，根號內一格 ⑲）

D. 實數

11 + 62

的整數部分為

a

，小數部分為

b

，則

\frac{1}{b} + \frac{7}{a + b} =

____。（原卷作答格共一格）

(2 + 1)^{100} (2 - 1)^{98} =

____。（原卷作答格式為㉑

+

㉒

2

）

F. 已知電腦記憶體的基本單位是 Byte，簡寫為 B。已知

1 KB = 2^{10} B

，

1 MB = 2^{10} KB

，

1 GB = 2^{10} MB

，

1 TB = 2^{10} GB

。大成新買的電腦配備一部

256 GB

的固態硬碟（SSD），與一部

6 TB

的硬碟（HDD），試問此硬碟（HDD）的容量是固態硬碟（SSD）的 ____ 倍。（原卷作答格共兩格）

G. 已知

5^{2 x} = 3

，則

\frac{5 ^{x} + 5 ^{- 3 x}}{5 ^{3 x} - 5 ^{- x}} =

____。（原卷作答格式為分數，分子一格、分母兩格）

H. 已知

lo g a = 3.14

，若

b = 1000 a

，則

lo g b =

____。（原卷作答格式為㉘.㉙㉚）

I. 若溶液中的氫離子濃度為

a

mol／L 時，定義它的 pH 值為

- lo g a

。已知

A

溶液的氫離子濃度為

1.0 \times 1 0^{- 8}

mol／L，

B

溶液的 pH 值為

6.4

，若

B

溶液的氫離子濃度是

A

溶液的

1 0^{x}

倍，則

x =

____。（原卷作答格式為㉛.㉜）

J. 如右圖，一塊斜邊長為

12

\overline{A D} = a

公尺，

\overline{D G} = b

公尺）。（原卷作答格共兩格）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(5)

第 3 題(3)

第 4 題(4)

第 5 題(1)

第 6 題(1)(4)(5)

第 7 題(2)(3)

第 8 題(3)(5)

第 9 題(2)(4)(5)

第 10 題(1)(5)

第 11 題

4

或

- 2

第 12 題

(6, - 1)

第 13 題

183

第 14 題

4

第 15 題

3 + 22

第 16 題

24

第 17 題

\frac{5}{12}

第 18 題

6.14

第 19 題

1.6

第 20 題

18

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：根式比大小、外分點、絕對值不等式與常用對數

第 1 題答案 (2)。三個數都是正數，比平方就好。

a^{2} = 13 + 5 + 265 = 18 + 265

，

b^{2} = 11 + 7 + 277 = 18 + 277

，

c^{2} = 15 + 3 + 245 = 18 + 245

。因為

77 > 65 > 45

，所以

b^{2} > a^{2} > c^{2}

，即

b > a > c

。

根號裡兩數的和都是

18

，平方後只差在兩數的乘積；和相同時，兩數越接近，乘積越大。

第 2 題答案 (5)。

\overline{A P} : \overline{B P} = 4 : 3

，

P

離

B

比較近，又不在

A

、

B

之間，所以

P

在

B

的右邊。設

P

的坐標為

p

（

p > 11

），則

\overline{A P} = p - 4

，

\overline{B P} = p - 11

。由

\frac{p - 4}{p - 11} = \frac{4}{3}

得

3 (p - 4) = 4 (p - 11)

，

3 p - 12 = 4 p - 44

，

p = 32

。檢查：

\overline{A P} = 28

，

\overline{B P} = 21

，

28 : 21 = 4 : 3

。

若不看「不在

A

，

B

之間」，

P

在線段上時坐標是

8

，那是選項 (2)；題目要的是線段外的那一個。

第 3 題答案 (3)。分兩種情形。①

3 x + 1 \geq 0

：

1 \leq 3 x + 1 < 5

，

0 \leq 3 x < 4

，

0 \leq x < \frac{4}{3}

，整數有

0

、

1

。②

3 x + 1 < 0

：

1 \leq - (3 x + 1) < 5

，即

- 5 < 3 x + 1 \leq - 1

，

- 6 < 3 x \leq - 2

，

- 2 < x \leq - \frac{2}{3}

，整數有

- 1

。合起來整數解是

- 1

、

0

、

1

，共

3

個。

左邊是

\leq

、右邊是

<

，端點要分清楚：

x = 0

時

∣3 x + 1∣ = 1

可以，

x = - 2

時

∣3 x + 1∣ = 5

不行。

第 4 題答案 (4)。

lo g a = 2.3

就是

a = 1 0^{2.3}

，

lo g b = 4.3

就是

b = 1 0^{4.3}

。

\frac{b}{a} = \frac{1 0 ^{4.3}}{1 0 ^{2.3}} = 1 0^{4.3 - 2.3} = 1 0^{2} = 100

，所以

b

是

a

的

100

倍。

lo g

的值相差

2

，原來的數相差

1 0^{2}

倍，不是

2

倍，也不是

\frac{4.3}{2.3}

倍。

第 5 題答案 (1)。

a = lo g 2

就是

1 0^{a} = 2

，

b = lo g 50

就是

1 0^{b} = 50

。兩式相乘：

1 0^{a} \times 1 0^{b} = 1 0^{a + b} = 2 \times 50 = 100 = 1 0^{2}

，所以

a + b = 2

。

lo g

相加對應的是原來的數相乘（

2 \times 50

），不是相加（

2 + 50

）。

lo g A = k

就是

A = 1 0^{k}

；先換回

10

的次方，倍數與乘積都交給指數律。

02多選 6～10：有限小數、無理數、算幾不等式、指數成長與對數的意義

第 6 題答案 (1)(4)(5)。先約成最簡分數，分母的質因數只有

2

或

5

時才能化成有限小數。(1) 對：分母

4 = 2^{2}

，

\frac{1}{4} = 0.25

。(2) 錯：分母

6 = 2 \times 3

含有

3

，

\frac{5}{6} = 0.8333 \dots

。(3) 錯：分母

7

，

\frac{2}{7} = 0.285714 \dots

是循環小數。(4) 對：分母

8 = 2^{3}

，

\frac{7}{8} = 0.875

。(5) 對：

\frac{27}{15} = \frac{9}{5}

，分母

5

，等於

1.8

。

(5) 要先約分再看分母；沒約分時分母

15

含有

3

，會誤判。

第 7 題答案 (2)(3)。(1) 不是：

0. \overline{34}

是循環小數，等於

\frac{34}{99}

，是有理數。(2) 是：

3

不是完全平方數，

3

是無理數。(3) 是：

π

是無理數。(4) 不是：

(7)^{2} = 7

。(5) 不是：

\frac{12}{27} = \frac{4}{9} = \frac{2}{3}

。

有根號不一定是無理數，要先化簡再判斷。

第 8 題答案 (3)(5)。

3 a

與

4 b

都是正數，由算幾不等式

\frac{3 a + 4 b}{2} \geq 3 a \times 4 b

，即

6 \geq 12 ab

，平方得

36 \geq 12 ab

，

ab \leq 3

。等號在

3 a = 4 b = 6

時成立，此時

a = 2

，

b = \frac{3}{2}

。所以

ab

的最大值是

3

，發生在

a = 2

、

b = \frac{3}{2}

。(1) 錯：最大值是

3

，

36

是算到一半的

12 ab

的上限。(2) 錯：

3

是最大值不是最小值。(3) 對。(4) 錯：

ab

沒有最小值，例如

a = 0.004

、

b = 2.997

時

ab

不到

0.012

，

a

取得更小

ab

就更接近

0

，但

a

、

b

是正數，

ab

不會等於

0

；而且

b = 3

時

a = 0

，不合正數的條件。(5) 對：

a + 2 b = 2 + 2 \times \frac{3}{2} = 5

。

算幾不等式給的是乘積的上限；等號成立時

3 a = 4 b

，各占

12

的一半。

第 9 題答案 (2)(4)(5)。(1) 錯：

4

小時是兩個

2

小時，

900 \times 3^{2} = 8100

隻。(2) 對：往回兩個

2

小時，

900 \div 3^{2} = 100

隻。(3)(4) 設每過

1

小時變為原來的

r

倍（

r > 0

），兩小時就是

r^{2}

倍，所以

r^{2} = 3

，

r = 3 \approx 1.732

；(3) 錯（

1. 5^{2} = 2.25 \neq = 3

），(4) 對。(5) 對：

8

小時是四個

2

小時，

900 \times 3^{4} = 900 \times 81 = 72900 > 72000

。

倍數是用乘的：兩小時

3

倍，一小時是

3^{\frac{1}{2}} = 3

倍，不是

3 \div 2

。

第 10 題答案 (1)(5)。

lo g A

的意思是「

10

的幾次方等於

A

」，所以

1 0^{l o g A} = A

。(1) 對：

a = 1 0^{l o g 3.14} = 3.14

。(2) 錯：

1 0^{l o g b} = b

，所以

b = 78

，不是

1 0^{78}

。(3) 錯：

1 0^{2} = 100 < 343 < 1000 = 1 0^{3}

，所以

2 < c < 3

，

c

不會是

3.43

。(4) 錯：

0.1 = 1 0^{- 1}

，

1 = 1 0^{0}

，

10 = 1 0^{1}

，三項的和是

- 1 + 0 + 1 = 0

。(5) 對：

1 + 2 + 3 = 6

。

(3) 的

c

就是

lo g 343

；

3.43

只是把

343

的小數點移了兩位。

多選題每個選項都實際算一次；最大值、最小值要連「等號成立的條件做不做得到」一起檢查。

03選填 11～15（原卷選填 A～E）：絕對值方程式、根式化簡、乘法公式、雙重根號與指數律

第 11 題

∣ x - 1∣ = 3

表示數線上

x

與

1

的距離是

3

，所以

x - 1 = 3

或

x - 1 = - 3

，

x = 4

或

x = - 2

。

照原卷的格式，前面一格填

4

，後面兩格填負號與

2

。

第 12 題

24 = 26

。

3 \times 12 = 36 = 6

，

3 \times 18 = 54 = 36

。原式

= 26 + 6 - 36 = 6 - 6

。

a

、

b

是有理數，而

6

是無理數，所以比較兩邊得

a = 6

，

b = - 1

，

(a, b) = (6, - 1)

。

a + b 6 = 6 - 6

可以寫成

(b + 1) 6 = 6 - a

；若

b \neq = - 1

，

6 = \frac{6 - a}{b + 1}

會是有理數，矛盾，所以

b = - 1

、

a = 6

。

第 13 題

\frac{1}{x} = \frac{1}{3 - 2} = \frac{3 + 2}{3 - 2} = 3 + 2

，所以

x + \frac{1}{x} = 23

。由

(x + \frac{1}{x})^{3} = x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} + 3 (x + \frac{1}{x})

得

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = (23)^{3} - 3 \times 23 = 243 - 63 = 183

。

(23)^{3} = 8 \times 33 = 243

。

第 14 題

62 = 218

，所以

11 + 62 = 11 + 218

；找兩數和為

11

、積為

18

：

9

和

2

，得

11 + 218 = 9 + 2 = 3 + 2

。

2 \approx 1.414

，所以

3 + 2 \approx 4.414

，整數部分

a = 4

，小數部分

b = 3 + 2 - 4 = 2 - 1

。

\frac{1}{b} = \frac{1}{2 - 1} = 2 + 1

；

a + b = 3 + 2

，

\frac{7}{3 + 2} = \frac{7 ( 3 - 2 )}{9 - 2} = 3 - 2

。兩者相加

= (2 + 1) + (3 - 2) = 4

。

a + b

就是原來的數

3 + 2

，不必分開代。

第 15 題把

100

次方拆成

98

次方乘上

2

次方：原式

= (2 + 1)^{2} \times [(2 + 1) (2 - 1)]^{98}

。

(2 + 1) (2 - 1) = 2 - 1 = 1

，所以中括號的

98

次方是

1

。原式

= (2 + 1)^{2} = 2 + 22 + 1 = 3 + 22

。

次數不同時，先把次數湊成一樣，再用

x^{n} y^{n} = (x y)^{n}

。

看到

p + q

與

p - q

成對出現，先乘起來，用平方差把根號消掉。

04選填 16～20（原卷選填 F～J）：指數律、對數的意義與算幾不等式的應用

第 16 題把 HDD 的容量換成 GB：

6 TB = 6 \times 2^{10} GB

。SSD 是

256 GB = 2^{8} GB

。倍數

= \frac{6 \times 2 ^{10}}{2 ^{8}} = 6 \times 2^{2} = 24

。

兩者換成同一個單位再相除；

256 = 2^{8}

。

第 17 題分子、分母同乘

5^{3 x}

：分子

= 5^{4 x} + 5^{0} = 5^{4 x} + 1

，分母

= 5^{6 x} - 5^{2 x}

。由

5^{2 x} = 3

得

5^{4 x} = 3^{2} = 9

，

5^{6 x} = 3^{3} = 27

。原式

= \frac{9 + 1}{27 - 3} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}

。

同乘

5^{3 x}

是為了讓每一項的指數都變成

2 x

的倍數；也可以同乘

5^{x}

，得到

\frac{3 + \frac{1}{3}}{9 - 1} = \frac{5}{12}

。

第 18 題

lo g a = 3.14

就是

a = 1 0^{3.14}

。

b = 1000 a = 1 0^{3} \times 1 0^{3.14} = 1 0^{6.14}

，所以

lo g b = 6.14

。

乘以

1000 = 1 0^{3}

，

lo g

的值加

3

，不是乘

3

。

第 19 題設

B

溶液的氫離子濃度為

c

mol／L。由定義

- lo g c = 6.4

，

lo g c = - 6.4

，所以

c = 1 0^{- 6.4}

。

A

溶液的濃度是

1 0^{- 8}

。

\frac{1 0 ^{- 6.4}}{1 0 ^{- 8}} = 1 0^{- 6.4 - (- 8)} = 1 0^{1.6}

，所以

x = 1.6

。

A

溶液的 pH 值是

- lo g 1 0^{- 8} = 8

；pH 值小

1.6

，氫離子濃度是

1 0^{1.6}

倍。

第 20 題等腰直角三角形的兩個銳角

∠ A = ∠ C = 4 5^{\circ}

。矩形的邊

\overline{D E}

垂直斜邊，所以三角形

A D E

中

∠ A D E = 9 0^{\circ}

、

∠ A = 4 5^{\circ}

，是等腰直角三角形，

\overline{D E} = \overline{A D} = a

。同理

\overline{GC} = \overline{GF}

，而矩形的對邊

\overline{GF} = \overline{D E} = a

，所以

\overline{GC} = a

。斜邊

\overline{A C} = \overline{A D} + \overline{D G} + \overline{GC} = 2 a + b = 12

，水池面積

= \overline{D E} \times \overline{D G} = ab

。

2 a

、

b

都是正數，由算幾不等式

\frac{2 a + b}{2} \geq 2 a \times b

，即

6 \geq 2 ab

，平方得

36 \geq 2 ab

，

ab \leq 18

。等號在

2 a = b = 6

，即

a = 3

、

b = 6

時成立，做得到。最大面積為

18

平方公尺。

本頁的圖是示意圖，矩形的位置沒有照面積最大時的位置畫。面積最大時

\overline{D G}

恰為斜邊的一半。

用算幾不等式求極值：先找出和是定值的兩個正數（這裡是

2 a

與

b

），再檢查等號成立的條件。

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02多選 6～10：有限小數、無理數、算幾不等式、指數成長與對數的意義

03選填 11～15（原卷選填 A～E）：絕對值方程式、根式化簡、乘法公式、雙重根號與指數律

04選填 16～20（原卷選填 F～J）：指數律、對數的意義與算幾不等式的應用

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