段考詳解範圍：指數函數的圖形、對數與對數律、換底公式、對數函數的圖形、指數與對數的應用

屏東高中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

是非題 10 題、單選題 7 題、多選題 2 題、選填題 5 題，共 24 題。原卷未印配分。原卷是非 1～10、單選 11～17、多選 18～19，選填 A～E 本頁編為第 20～24 題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、是非題(對的請選 1，錯的請選 2)

不等式

lo g x < lo g 2

的解為

x < 2

。

若點

(- 50, k)

在

y = 2^{x}

的圖形上，則

k < 0

指數函數

y = (0.99)^{x}

的圖形與

y = 100

不相交

指數函數

y = 5^{x}

與

y = (\frac{1}{5})^{x}

的圖形都是凹口向上

5^{0.8} > 5^{0.9}

2^{l o g_{2} 3} = 3

lo g (4 + 7) = lo g 4 \times lo g 7

lo g_{3} 2 = \frac{lo g 2}{lo g 3}

對數函數

y = lo g x

的圖形與指數函數

y = 1 0^{x}

的圖形對稱於直線

y = x

對數函數

y = lo g x

的圖形是凹口向上

二、單選題

滿足不等式

\frac{1}{5} < 5^{2 x - 3} < 125

的整數解

x

共有多少個？

(1) $0$
(2) $1$
(3) $2$
(4) $3$
(5) $4$

下列哪一個數最小？

(1) $0. 9^{- 3.6}$
(2) $0. 9^{- 2.6}$
(3) $0. 9^{- 1.6}$
(4) $0. 9^{- 3}$
(5) $0. 9^{- 5}$

2014 年考古學家於法國北部發現了一尊雕像，利用碳 14 鑑定後，發現該雕像的碳 14 數量少於原來的

\frac{1}{16}

。已知碳 14 的半衰期約為 5700 年，問：該雕像至少為幾年前的古物？選出最接近的選項

(1) 1500 年
(2) 3000 年
(3) 12000 年
(4) 23000 年
(5) 46000 年

下列哪一個選項的值最大？

(1) $lo g_{2} 3$
(2) $lo g_{4} 6$
(3) $lo g_{8} 12$
(4) $lo g_{16} 24$
(5) $lo g_{32} 48$

圖為

y = 2 lo g x

、

y = lo g x

、

y = - lo g x

與

y = - 2 lo g x

的圖形，選出

y = lo g x

的圖形

(1) $A$
(2) $B$
(3) $C$
(4) $D$
(5) 不能確定

載入中...

聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特

(W/ m^{2})

來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度為

I_{0} = 1 0^{- 12} (W/ m^{2})

；噪音監測器量度的噪音 dB（分貝）則根據當地聲音的強度

I

，透過數學式子

dB (I) = 10 \times lo g_{10} \frac{I}{I _{0}}

計算得來。臺北市政府規定球場內噪音不得超過 65 分貝，而氣笛製造商製造一款低噪音氣笛，一支氣笛只會產生 45 分貝噪音。欲符合市政府噪音規定，球場內最多能同時響起幾支氣笛呢？

(1) 10 支
(2) 20 支
(3) 50 支
(4) 100 支
(5) 1000 支

已知

lo g a = 0.6

，

lo g b = 3.6

，則

b

是

a

的幾倍？

(1) 3 倍
(2) 6 倍
(3) 36 倍
(4) 216 倍
(5) 1000 倍

三、多選題

設

0 < a < 1

，關於函數

f (x) = a^{x}

，選出所有正確的選項。

(1) $f (2) > 1$
(2) $f (x)$ 的圖形在 $x$ 軸的上方
(3) 若 $f (x) = f (2)$ ，則 $x = 2$
(4) $f (x)$ 的圖形凹口向上
(5) 若 $α < β$ ，則 $f (α) < f (β)$

指數函數

y = a^{x}

，

y = b^{x}

，

y = 3^{x}

的圖形如圖所示，其中

y = b^{x}

與

y = 3^{x}

的圖形對稱於

y

軸。選出所有正確的選項。

(1) $a > 1$
(2) $P$ 點坐標為 $(0, 1)$
(3) $b = \frac{1}{3}$
(4) $3 > a$

載入中...

四、選填題

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，求滿足

(\frac{3}{4})^{n} < \frac{1}{100}

的最小正整數

n = ◯ ◯

。

解方程式

lo g 4 + lo g (- x) = 2 lo g (x + 3)

，則

x = ◯ ◯

。

解方程式

4^{x} - 2^{x + 1} - 8 = 0

，得

x = ◯

。

已知

lo g_{2} 125 = x

，

2^{y} = 1000

，則

y - x = ◯

。

放射性物質的半衰期

T

定義為每經過時間

T

，該物質的質量會衰退成原來的一半。鉛製容器中有兩種放射性物質

A

，

B

，開始紀錄時容器中物質

A

的質量為物質

B

的兩倍，而 120 小時後兩種物質的質量相同。已知物質

A

的半衰期為 7.5 小時，請問物質

B

的半衰期為

◯

小時。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

102

第 11 題(2)

第 12 題(3)

第 13 題(4)

第 14 題(1)

第 15 題(2)

第 16 題(4)

第 17 題(5)

第 18 題(2)(3)(4)

第 19 題(1)(2)(3)

第 20 題

17

第 21 題

- 1

第 22 題

2

第 23 題

3

第 24 題

8

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非 1～5：對數不等式、指數函數的值與圖形

第 1 題2

① 真數必須大於 0： $x > 0$ 。

② 底數 $10 > 1$ ， $y = lo g x$ 是遞增函數， $lo g x < lo g 2$ 等價於 $x < 2$ 。

③ 兩個條件合起來，解是 $0 < x < 2$ （如數線圖），不是 $x < 2$ 。

所以這句話錯。

載入中...

例如

x = - 1

滿足

x < 2

，但

lo g (- 1)

沒有意義。

第 2 題2

① 點 $(- 50, k)$ 在 $y = 2^{x}$ 上，所以 $k = 2^{- 50} = \frac{1}{2 ^{50}}$ 。

② 分母是正數， $k > 0$ 。指數函數的值永遠是正的，圖形整條在 $x$ 軸上方（如圖）。

所以 $k < 0$ 錯。

載入中...

x

往左走時

2^{x}

越來越接近

0

，但永遠碰不到

x

軸。

第 3 題2

① 底數 $0.99 < 1$ ， $y = (0.99)^{x}$ 遞減：往右越來越小，往左越來越大，而且值可以是任意正數。

② 要找交點，就解 $(0.99)^{x} = 100$ ，得 $x = lo g_{0.99} 100$ 。

③ 換成常用對數： $x = \frac{lo g 100}{lo g 0.99} = \frac{2}{lo g 0.99} \approx - 458$ ，是一個負數。

④ 所以兩個圖形在 $x \approx - 458$ 相交（如圖），「不相交」錯。

載入中...

lo g 0.99 \approx - 0.00436

。底數雖然很接近

1

，往左走夠遠一樣會超過

100

。

第 4 題1

① 凹口向上的意思：圖形上任取兩點，連成的線段在這兩點之間的圖形上方。

② 對 $y = 5^{x}$ 任取 $x_{1} \neq = x_{2}$ ，由算幾不等式： $\frac{5 ^{x_{1}} + 5 ^{x_{2}}}{2} > 5^{x_{1}} \cdot 5^{x_{2}} = 5^{\frac{x _{1} + x _{2}}{2}}$

③ 左邊是線段中點的高度，右邊是中間那一點在圖形上的高度，所以線段在圖形上方，凹口向上。

④ $y = (\frac{1}{5})^{x} = 5^{- x}$ 是 $y = 5^{x}$ 對 $y$ 軸的鏡射，凹口方向不變，也是凹口向上（如圖）。

所以這句話對。

載入中...

不論底數大於

1

或介於

0

與

1

之間，指數函數的圖形都凹口向上。

第 5 題2

① 底數 $5 > 1$ ， $y = 5^{x}$ 是遞增函數：指數越大，值越大。

② $0.8 < 0.9$ ，所以 $5^{0.8} < 5^{0.9}$ （如圖）。

所以 $5^{0.8} > 5^{0.9}$ 錯。

載入中...

對數先看真數大於

0

；指數函數的值恆正、底數大於

1

遞增、小於

1

遞減，圖形都凹口向上。

02是非 6～10：對數律、換底公式、對數函數的圖形

第 6 題1

① 令 $lo g_{2} 3 = t$ ，依對數的定義 $2^{t} = 3$ 。

② 所以 $2^{l o g_{2} 3} = 2^{t} = 3$ 。

這句話對。

一般地，

a^{l o g_{a} b} = b

（

a > 0

，

a \neq = 1

，

b > 0

）。

第 7 題2

① 左邊： $lo g (4 + 7) = lo g 11 \approx 1.041$ 。

② 右邊： $lo g 4 \times lo g 7 \approx 0.602 \times 0.845 \approx 0.509$ 。

③ 兩邊不相等。對數律是 $lo g 4 + lo g 7 = lo g (4 \times 7)$ ，「和的對數」不是「對數的積」。

所以這句話錯。

第 8 題1

換底公式： $lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$ 。取 $c = 10$ ， $lo g_{3} 2 = \frac{lo g 2}{lo g 3}$ 。

這句話對。

推導：令

lo g_{3} 2 = t

，則

3^{t} = 2

，兩邊取常用對數

t lo g 3 = lo g 2

，所以

t = \frac{lo g 2}{lo g 3}

。

第 9 題1

① 點 $(p, q)$ 在 $y = lo g x$ 上，就是 $q = lo g p$ ，也就是 $p = 1 0^{q}$ 。

② 這表示點 $(q, p)$ 在 $y = 1 0^{x}$ 上。

③ $(p, q)$ 與 $(q, p)$ 對稱於直線 $y = x$ ，所以兩個圖形對稱於直線 $y = x$ （如圖）。

這句話對。

載入中...

第 10 題2

① 在 $y = lo g x$ 上任取兩點， $x_{1} \neq = x_{2}$ ，都大於 $0$ 。

② 兩點連線中點的高度： $\frac{lo g x _{1} + lo g x _{2}}{2} = lo g x_{1} x_{2}$ 。

③ 由算幾不等式 $x_{1} x_{2} < \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ ，而 $lo g x$ 遞增，所以 $lo g x_{1} x_{2} < lo g \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$

④ 線段中點在圖形的下方，圖形凹口向下（如圖），不是凹口向上。

所以這句話錯。

載入中...

y = lo g x

是

y = 1 0^{x}

對直線

y = x

的鏡射；

y = 1 0^{x}

凹口向上，翻過去就變成凹口向下。

a^{l o g_{a} b} = b

；對數律是「積的對數＝對數的和」；底數大於

1

的對數函數凹口向下。

03單選 11～14：指數不等式、比大小、半衰期、換底比大小

第 11 題

答案 (2)。

① 化成同底： $\frac{1}{5} = 5^{- 1}$ ， $125 = 5^{3}$ ，不等式變成 $5^{- 1} < 5^{2 x - 3} < 5^{3}$ 。

② 底數 $5 > 1$ ，指數的大小順序不變： $- 1 < 2 x - 3 < 3$ 。

③ 各加 $3$ ： $2 < 2 x < 6$ ；各除以 $2$ ： $1 < x < 3$ 。

④ 整數解只有 $x = 2$ （如數線圖），共 $1$ 個。

答案 (2)。

載入中...

端點

x = 1

、

x = 3

時等號成立，不合題意。

第 12 題

答案 (3)。

① $0. 9^{- t} = (\frac{10}{9})^{t}$ ，底數 $\frac{10}{9} > 1$ ，所以 $t$ 越小，值越小。

② 五個選項的 $t$ 分別是 $3.6$ 、 $2.6$ 、 $1.6$ 、 $3 \approx 1.732$ 、 $5 \approx 2.236$ 。

③ 最小的是 $1.6$ （如數線圖），所以 $0. 9^{- 1.6}$ 最小。

答案 (3)。

載入中...

也可以直接看底數

0.9 < 1

：

y = 0. 9^{x}

遞減，指數

- 1.6

最大，值就最小。

第 13 題

答案 (4)。

① 經過 $t$ 年後，碳 14 剩下原來的 $(\frac{1}{2})^{\frac{t}{5700}}$ 。

② 少於 $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^{4}$ ： $(\frac{1}{2})^{\frac{t}{5700}} < (\frac{1}{2})^{4}$ 。

③ 底數 $\frac{1}{2} < 1$ ，不等號反向： $\frac{t}{5700} > 4$ ， $t > 22800$ 。

④ 至少約 $22800$ 年（如圖），最接近 $23000$ 年。

答案 (4)。

載入中...

每過一個半衰期剩一半：

\frac{1}{2}

、

\frac{1}{4}

、

\frac{1}{8}

、

\frac{1}{16}

，要四個半衰期。

第 14 題

答案 (1)。

① 五個選項的底數都是 $2^{n}$ ，真數都是 $3 \times 2^{n - 1}$ （ $n = 1, 2, 3, 4, 5$ ）。

② 換底成以 $2$ 為底： $lo g_{2^{n}} (3 \times 2^{n - 1}) = \frac{lo g _{2} 3 + ( n - 1 )}{n} = 1 + \frac{lo g _{2} 3 - 1}{n}$

③ $lo g_{2} 3 > lo g_{2} 2 = 1$ ，所以 $lo g_{2} 3 - 1$ 是正數， $n$ 越大，值越小。

④ 最大的是 $n = 1$ ，也就是 $lo g_{2} 3$ 。

答案 (1)。

近似值：

lo g_{2} 3 \approx 1.585

，

lo g_{4} 6 \approx 1.292

，

lo g_{8} 12 \approx 1.195

，

lo g_{16} 24 \approx 1.146

，

lo g_{32} 48 \approx 1.117

。

同底數的指數比大小看底數是否大於

1

；一群對數的底數與真數有規律時，換成同一個底數再化簡。

04單選 15～17：對數函數的伸縮與鏡射、分貝、由常用對數求倍數

第 15 題

答案 (2)。

① 四個函數都過 $(1, 0)$ 。看 $x > 1$ 的部分： $lo g x > 0$ ，所以 $y = 2 lo g x$ 與 $y = lo g x$ 在 $x$ 軸上方，是 $A$ 、 $B$ 。

② 取 $x = 10$ ： $2 lo g 10 = 2$ ， $lo g 10 = 1$ 。同一個 $x$ ， $y = 2 lo g x$ 比較高，是上面那條 $A$ 。

③ 所以 $y = lo g x$ 是 $B$ （如圖）。

答案 (2)。

載入中...

C

是

y = - lo g x

，

D

是

y = - 2 lo g x

：

y = - lo g x

是

y = lo g x

對

x

軸的鏡射。

第 16 題

答案 (4)。

① 一支氣笛 $45$ 分貝： $10 lo g \frac{I _{1}}{I _{0}} = 45$ ，所以 $\frac{I _{1}}{I _{0}} = 1 0^{4.5}$ 。

② $n$ 支同時響，聲音強度相加為 $n I_{1}$ ，分貝為 $10 lo g \frac{n I _{1}}{I _{0}} = 10 (lo g n + 4.5) = 10 lo g n + 45$

③ 不得超過 $65$ 分貝： $10 lo g n + 45 \leq 65$ ， $lo g n \leq 2$ ， $n \leq 100$ 。

④ 最多 $100$ 支。

答案 (4)。

分貝不能直接相加：

100

支不是

4500

分貝。強度每變

10

倍，分貝只加

10

。

第 17 題

答案 (5)。

① $lo g b - lo g a = 3.6 - 0.6 = 3$ 。

② 由對數律， $lo g \frac{b}{a} = 3$ ，所以 $\frac{b}{a} = 1 0^{3} = 1000$ 。

答案 (5)。

也可以直接寫

a = 1 0^{0.6}

，

b = 1 0^{3.6}

，

\frac{b}{a} = 1 0^{3.6 - 0.6} = 1 0^{3}

。

y = k lo g x

的

k

越大，

x > 1

時圖形越高；分貝要換回強度才能相加。

05多選 18～19：底數介於 0 與 1 的指數函數、由圖形判斷底數

第 18 題

答案 (2)(3)(4)。（圖以 $a = \frac{1}{2}$ 為例）

(1) 錯誤。 $0 < a < 1$ ， $f (2) = a^{2} < 1$ 。例如 $a = \frac{1}{2}$ 時 $f (2) = \frac{1}{4}$ 。

(2) 正確。 $a^{x} > 0$ 對所有實數 $x$ 都成立，圖形在 $x$ 軸上方。

(3) 正確。 $0 < a < 1$ 時 $f (x) = a^{x}$ 是遞減函數，不同的 $x$ 對應不同的值，所以 $f (x) = f (2)$ 只能 $x = 2$ 。

(4) 正確。 由算幾不等式， $\frac{a ^{x_{1}} + a ^{x_{2}}}{2} > a^{\frac{x _{1} + x _{2}}{2}}$ （ $x_{1} \neq = x_{2}$ ），兩點連線在圖形上方，凹口向上。

(5) 錯誤。 $f$ 遞減： $α < β$ 時 $f (α) > f (β)$ 。例如 $a = \frac{1}{2}$ ， $f (0) = 1 > f (1) = \frac{1}{2}$ 。

答案 (2)(3)(4)。

載入中...

第 19 題

答案 (1)(2)(3)。

(1) 正確。 由圖， $y = a^{x}$ 從左往右上升，是遞增函數，所以 $a > 1$ 。

(2) 正確。 任何指數函數都過 $(0, 1)$ （ $a^{0} = 1$ ），三條圖形的共同點 $P$ 就是 $(0, 1)$ 。

(3) 正確。 $y = 3^{x}$ 對 $y$ 軸的鏡射是 $y = 3^{- x} = (\frac{1}{3})^{x}$ ，所以 $b = \frac{1}{3}$ 。

(4) 錯誤。 由圖，在 $y$ 軸右邊 $y = a^{x}$ 比 $y = 3^{x}$ 高，例如 $x = 1$ 時 $a^{1} > 3^{1}$ ，所以 $a > 3$ （如圖），不是 $3 > a$ 。

答案 (1)(2)(3)。

載入中...

底數大於

1

時，底數越大，在

y

軸右邊圖形越陡、在

y

軸左邊越貼近

x

軸。

0 < a < 1

的指數函數：恆正、遞減、一對一、凹口向上；比底數就看

x = 1

時的高度。

06選填 A～E（第 20～24 題）：用對數求最小次數、指對數方程式、半衰期

第 20 題

① 兩邊取常用對數（底數 $10 > 1$ ，不等號方向不變）： $n lo g \frac{3}{4} < lo g \frac{1}{100} = - 2$

② $lo g \frac{3}{4} = lo g 3 - 2 lo g 2 \approx 0.4771 - 0.6020 = - 0.1249$ ，是負數。

③ 兩邊同除以負數，不等號反向： $n > \frac{2}{0.1249} \approx 16.01$ 。

④ 最小正整數 $n = 17$ （如數線圖）。答案格依序填 $1$ 、 $7$ 。

載入中...

驗證：

n = 16

時

16 \times (- 0.1249) = - 1.9984 > - 2

，還不夠小；

n = 17

時

- 2.1233 < - 2

，成立。

第 21 題

① 真數條件： $- x > 0$ 且 $x + 3 > 0$ ，所以 $- 3 < x < 0$ 。

② 由對數律化成一個對數： $lo g (- 4 x) = lo g (x + 3)^{2}$ ，所以 $- 4 x = (x + 3)^{2}$ 。

③ 展開： $x^{2} + 6 x + 9 + 4 x = 0$ ， $x^{2} + 10 x + 9 = 0$ ， $(x + 1) (x + 9) = 0$ ， $x = - 1$ 或 $x = - 9$ 。

④ $x = - 9$ 不在 $- 3 < x < 0$ 內（如數線圖），不合； $x = - 1$ 符合。

答案 $x = - 1$ ，答案格依序填 $-$ 、 $1$ 。

載入中...

代回檢查：左邊

lo g 4 + lo g 1 = lo g 4

，右邊

2 lo g 2 = lo g 4

，相等。

第 22 題

① $4^{x} = (2^{x})^{2}$ ， $2^{x + 1} = 2 \times 2^{x}$ 。令 $t = 2^{x}$ ， $t > 0$ 。

② 方程式變成 $t^{2} - 2 t - 8 = 0$ ， $(t - 4) (t + 2) = 0$ ， $t = 4$ 或 $t = - 2$ 。

③ $t = 2^{x} > 0$ ， $t = - 2$ 不合，所以 $2^{x} = 4 = 2^{2}$ ， $x = 2$ 。

答案 $x = 2$ 。

代回：

4^{2} - 2^{3} - 8 = 16 - 8 - 8 = 0

。

第 23 題

① $x = lo g_{2} 125 = lo g_{2} 5^{3} = 3 lo g_{2} 5$ 。

② $2^{y} = 1000$ ，所以 $y = lo g_{2} 1000 = lo g_{2} 1 0^{3} = 3 lo g_{2} 10 = 3 (1 + lo g_{2} 5)$ 。

③ 相減： $y - x = 3 + 3 lo g_{2} 5 - 3 lo g_{2} 5 = 3$ 。

答案 $3$ 。

也可以寫

2^{y - x} = \frac{2 ^{y}}{2 ^{x}} = \frac{1000}{125} = 8 = 2^{3}

，所以

y - x = 3

。

第 24 題

① 設開始時 $B$ 的質量為 $m$ ，則 $A$ 為 $2 m$ ； $B$ 的半衰期為 $T$ 小時。

② $120$ 小時後， $A$ 經過 $\frac{120}{7.5} = 16$ 個半衰期，剩 $2 m \times (\frac{1}{2})^{16} = m \times (\frac{1}{2})^{15}$ 。

③ $B$ 剩 $m \times (\frac{1}{2})^{\frac{120}{T}}$ 。

④ 兩者相等： $(\frac{1}{2})^{\frac{120}{T}} = (\frac{1}{2})^{15}$ ，所以 $\frac{120}{T} = 15$ ， $T = 8$ 。

答案 $8$ 小時。

載入中...

A

一開始多一倍，但衰退得比較快（半衰期較短），

120

小時內正好多衰退一次，所以

A

比

B

多經過一個半衰期：

16 = 15 + 1

。

取對數時注意除以負數要反向；對數方程式先寫真數條件；指數方程式用代換變成二次式，記得新變數一定是正數。

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常見問題

屏東高中 110 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 24 題的答案，是非題 10 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

屏東高中 110 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題要記得真數必須大於 0，解不是 x<2；第 3 題底數小於 1 的指數函數往左邊會越來越大，一定碰得到 y=100；第 14 題五個對數都可以寫成 1 加上一個越來越小的正數；第 16 題要先把一支氣笛的分貝換回聲音強度，強度可以相加、分貝不能相加；第 19 題要從圖上看出 y 等於 a 的 x 次方在 y 軸右邊比 y 等於 3 的 x 次方爬得更快；選填 B 要先寫出真數條件，再把兩個根中不合的去掉。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自屏東高中 110 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數函數的圖形、對數與對數律、換底公式、對數函數的圖形、指數與對數的應用

屏東高中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

一、是非題(對的請選 1，錯的請選 2)

不等式

lo g x < lo g 2

的解為

x < 2

。

若點

(- 50, k)

在

y = 2^{x}

的圖形上，則

k < 0

指數函數

y = (0.99)^{x}

的圖形與

y = 100

不相交

指數函數

y = 5^{x}

與

y = (\frac{1}{5})^{x}

的圖形都是凹口向上

5^{0.8} > 5^{0.9}

2^{l o g_{2} 3} = 3

lo g (4 + 7) = lo g 4 \times lo g 7

lo g_{3} 2 = \frac{lo g 2}{lo g 3}

對數函數

y = lo g x

的圖形與指數函數

y = 1 0^{x}

的圖形對稱於直線

y = x

對數函數

y = lo g x

的圖形是凹口向上

二、單選題

滿足不等式

\frac{1}{5} < 5^{2 x - 3} < 125

的整數解

x

共有多少個？

(1) $0$
(2) $1$
(3) $2$
(4) $3$
(5) $4$

下列哪一個數最小？

(1) $0. 9^{- 3.6}$
(2) $0. 9^{- 2.6}$
(3) $0. 9^{- 1.6}$
(4) $0. 9^{- 3}$
(5) $0. 9^{- 5}$

2014 年考古學家於法國北部發現了一尊雕像，利用碳 14 鑑定後，發現該雕像的碳 14 數量少於原來的

\frac{1}{16}

。已知碳 14 的半衰期約為 5700 年，問：該雕像至少為幾年前的古物？選出最接近的選項

(1) 1500 年
(2) 3000 年
(3) 12000 年
(4) 23000 年
(5) 46000 年

下列哪一個選項的值最大？

(1) $lo g_{2} 3$
(2) $lo g_{4} 6$
(3) $lo g_{8} 12$
(4) $lo g_{16} 24$
(5) $lo g_{32} 48$

圖為

y = 2 lo g x

、

y = lo g x

、

y = - lo g x

與

y = - 2 lo g x

的圖形，選出

y = lo g x

的圖形

(1) $A$
(2) $B$
(3) $C$
(4) $D$
(5) 不能確定

載入中...

聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特

(W/ m^{2})

來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度為

I_{0} = 1 0^{- 12} (W/ m^{2})

；噪音監測器量度的噪音 dB（分貝）則根據當地聲音的強度

I

，透過數學式子

dB (I) = 10 \times lo g_{10} \frac{I}{I _{0}}

(1) 10 支
(2) 20 支
(3) 50 支
(4) 100 支
(5) 1000 支

已知

lo g a = 0.6

，

lo g b = 3.6

，則

b

是

a

的幾倍？

(1) 3 倍
(2) 6 倍
(3) 36 倍
(4) 216 倍
(5) 1000 倍

三、多選題

設

0 < a < 1

，關於函數

f (x) = a^{x}

，選出所有正確的選項。

(1) $f (2) > 1$
(2) $f (x)$ 的圖形在 $x$ 軸的上方
(3) 若 $f (x) = f (2)$ ，則 $x = 2$
(4) $f (x)$ 的圖形凹口向上
(5) 若 $α < β$ ，則 $f (α) < f (β)$

指數函數

y = a^{x}

，

y = b^{x}

，

y = 3^{x}

的圖形如圖所示，其中

y = b^{x}

與

y = 3^{x}

的圖形對稱於

y

軸。選出所有正確的選項。

(1) $a > 1$
(2) $P$ 點坐標為 $(0, 1)$
(3) $b = \frac{1}{3}$
(4) $3 > a$

載入中...

四、選填題

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，求滿足

(\frac{3}{4})^{n} < \frac{1}{100}

的最小正整數

n = ◯ ◯

。

解方程式

lo g 4 + lo g (- x) = 2 lo g (x + 3)

，則

x = ◯ ◯

。

解方程式

4^{x} - 2^{x + 1} - 8 = 0

，得

x = ◯

。

已知

lo g_{2} 125 = x

，

2^{y} = 1000

，則

y - x = ◯

。

放射性物質的半衰期

T

定義為每經過時間

T

，該物質的質量會衰退成原來的一半。鉛製容器中有兩種放射性物質

A

，

B

，開始紀錄時容器中物質

A

的質量為物質

B

的兩倍，而 120 小時後兩種物質的質量相同。已知物質

A

的半衰期為 7.5 小時，請問物質

B

的半衰期為

◯

小時。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

102

第 11 題(2)

第 12 題(3)

第 13 題(4)

第 14 題(1)

第 15 題(2)

第 16 題(4)

第 17 題(5)

第 18 題(2)(3)(4)

第 19 題(1)(2)(3)

第 20 題

17

第 21 題

- 1

第 22 題

2

第 23 題

3

第 24 題

8

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非 1～5：對數不等式、指數函數的值與圖形

第 1 題2

① 真數必須大於 0： $x > 0$ 。

② 底數 $10 > 1$ ， $y = lo g x$ 是遞增函數， $lo g x < lo g 2$ 等價於 $x < 2$ 。

③ 兩個條件合起來，解是 $0 < x < 2$ （如數線圖），不是 $x < 2$ 。

所以這句話錯。

載入中...

例如

x = - 1

滿足

x < 2

，但

lo g (- 1)

沒有意義。

第 2 題2

① 點 $(- 50, k)$ 在 $y = 2^{x}$ 上，所以 $k = 2^{- 50} = \frac{1}{2 ^{50}}$ 。

② 分母是正數， $k > 0$ 。指數函數的值永遠是正的，圖形整條在 $x$ 軸上方（如圖）。

所以 $k < 0$ 錯。

載入中...

x

往左走時

2^{x}

越來越接近

0

，但永遠碰不到

x

軸。

第 3 題2

① 底數 $0.99 < 1$ ， $y = (0.99)^{x}$ 遞減：往右越來越小，往左越來越大，而且值可以是任意正數。

② 要找交點，就解 $(0.99)^{x} = 100$ ，得 $x = lo g_{0.99} 100$ 。

③ 換成常用對數： $x = \frac{lo g 100}{lo g 0.99} = \frac{2}{lo g 0.99} \approx - 458$ ，是一個負數。

④ 所以兩個圖形在 $x \approx - 458$ 相交（如圖），「不相交」錯。

載入中...

lo g 0.99 \approx - 0.00436

。底數雖然很接近

1

，往左走夠遠一樣會超過

100

。

第 4 題1

① 凹口向上的意思：圖形上任取兩點，連成的線段在這兩點之間的圖形上方。

② 對 $y = 5^{x}$ 任取 $x_{1} \neq = x_{2}$ ，由算幾不等式： $\frac{5 ^{x_{1}} + 5 ^{x_{2}}}{2} > 5^{x_{1}} \cdot 5^{x_{2}} = 5^{\frac{x _{1} + x _{2}}{2}}$

③ 左邊是線段中點的高度，右邊是中間那一點在圖形上的高度，所以線段在圖形上方，凹口向上。

④ $y = (\frac{1}{5})^{x} = 5^{- x}$ 是 $y = 5^{x}$ 對 $y$ 軸的鏡射，凹口方向不變，也是凹口向上（如圖）。

所以這句話對。

載入中...

不論底數大於

1

或介於

0

與

1

之間，指數函數的圖形都凹口向上。

第 5 題2

① 底數 $5 > 1$ ， $y = 5^{x}$ 是遞增函數：指數越大，值越大。

② $0.8 < 0.9$ ，所以 $5^{0.8} < 5^{0.9}$ （如圖）。

所以 $5^{0.8} > 5^{0.9}$ 錯。

載入中...

對數先看真數大於

0

；指數函數的值恆正、底數大於

1

遞增、小於

1

遞減，圖形都凹口向上。

02是非 6～10：對數律、換底公式、對數函數的圖形

第 6 題1

① 令 $lo g_{2} 3 = t$ ，依對數的定義 $2^{t} = 3$ 。

② 所以 $2^{l o g_{2} 3} = 2^{t} = 3$ 。

這句話對。

一般地，

a^{l o g_{a} b} = b

（

a > 0

，

a \neq = 1

，

b > 0

）。

第 7 題2

① 左邊： $lo g (4 + 7) = lo g 11 \approx 1.041$ 。

② 右邊： $lo g 4 \times lo g 7 \approx 0.602 \times 0.845 \approx 0.509$ 。

③ 兩邊不相等。對數律是 $lo g 4 + lo g 7 = lo g (4 \times 7)$ ，「和的對數」不是「對數的積」。

所以這句話錯。

第 8 題1

換底公式： $lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$ 。取 $c = 10$ ， $lo g_{3} 2 = \frac{lo g 2}{lo g 3}$ 。

這句話對。

推導：令

lo g_{3} 2 = t

，則

3^{t} = 2

，兩邊取常用對數

t lo g 3 = lo g 2

，所以

t = \frac{lo g 2}{lo g 3}

。

第 9 題1

① 點 $(p, q)$ 在 $y = lo g x$ 上，就是 $q = lo g p$ ，也就是 $p = 1 0^{q}$ 。

② 這表示點 $(q, p)$ 在 $y = 1 0^{x}$ 上。

③ $(p, q)$ 與 $(q, p)$ 對稱於直線 $y = x$ ，所以兩個圖形對稱於直線 $y = x$ （如圖）。

這句話對。

載入中...

第 10 題2

① 在 $y = lo g x$ 上任取兩點， $x_{1} \neq = x_{2}$ ，都大於 $0$ 。

② 兩點連線中點的高度： $\frac{lo g x _{1} + lo g x _{2}}{2} = lo g x_{1} x_{2}$ 。

③ 由算幾不等式 $x_{1} x_{2} < \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ ，而 $lo g x$ 遞增，所以 $lo g x_{1} x_{2} < lo g \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$

④ 線段中點在圖形的下方，圖形凹口向下（如圖），不是凹口向上。

所以這句話錯。

載入中...

y = lo g x

是

y = 1 0^{x}

對直線

y = x

的鏡射；

y = 1 0^{x}

凹口向上，翻過去就變成凹口向下。

a^{l o g_{a} b} = b

；對數律是「積的對數＝對數的和」；底數大於

1

的對數函數凹口向下。

03單選 11～14：指數不等式、比大小、半衰期、換底比大小

第 11 題

答案 (2)。

① 化成同底： $\frac{1}{5} = 5^{- 1}$ ， $125 = 5^{3}$ ，不等式變成 $5^{- 1} < 5^{2 x - 3} < 5^{3}$ 。

② 底數 $5 > 1$ ，指數的大小順序不變： $- 1 < 2 x - 3 < 3$ 。

③ 各加 $3$ ： $2 < 2 x < 6$ ；各除以 $2$ ： $1 < x < 3$ 。

④ 整數解只有 $x = 2$ （如數線圖），共 $1$ 個。

答案 (2)。

載入中...

端點

x = 1

、

x = 3

時等號成立，不合題意。

第 12 題

答案 (3)。

① $0. 9^{- t} = (\frac{10}{9})^{t}$ ，底數 $\frac{10}{9} > 1$ ，所以 $t$ 越小，值越小。

② 五個選項的 $t$ 分別是 $3.6$ 、 $2.6$ 、 $1.6$ 、 $3 \approx 1.732$ 、 $5 \approx 2.236$ 。

③ 最小的是 $1.6$ （如數線圖），所以 $0. 9^{- 1.6}$ 最小。

答案 (3)。

載入中...

也可以直接看底數

0.9 < 1

：

y = 0. 9^{x}

遞減，指數

- 1.6

最大，值就最小。

第 13 題

答案 (4)。

① 經過 $t$ 年後，碳 14 剩下原來的 $(\frac{1}{2})^{\frac{t}{5700}}$ 。

② 少於 $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^{4}$ ： $(\frac{1}{2})^{\frac{t}{5700}} < (\frac{1}{2})^{4}$ 。

③ 底數 $\frac{1}{2} < 1$ ，不等號反向： $\frac{t}{5700} > 4$ ， $t > 22800$ 。

④ 至少約 $22800$ 年（如圖），最接近 $23000$ 年。

答案 (4)。

載入中...

每過一個半衰期剩一半：

\frac{1}{2}

、

\frac{1}{4}

、

\frac{1}{8}

、

\frac{1}{16}

，要四個半衰期。

第 14 題

答案 (1)。

① 五個選項的底數都是 $2^{n}$ ，真數都是 $3 \times 2^{n - 1}$ （ $n = 1, 2, 3, 4, 5$ ）。

② 換底成以 $2$ 為底： $lo g_{2^{n}} (3 \times 2^{n - 1}) = \frac{lo g _{2} 3 + ( n - 1 )}{n} = 1 + \frac{lo g _{2} 3 - 1}{n}$

③ $lo g_{2} 3 > lo g_{2} 2 = 1$ ，所以 $lo g_{2} 3 - 1$ 是正數， $n$ 越大，值越小。

④ 最大的是 $n = 1$ ，也就是 $lo g_{2} 3$ 。

答案 (1)。

近似值：

lo g_{2} 3 \approx 1.585

，

lo g_{4} 6 \approx 1.292

，

lo g_{8} 12 \approx 1.195

，

lo g_{16} 24 \approx 1.146

，

lo g_{32} 48 \approx 1.117

。

同底數的指數比大小看底數是否大於

1

；一群對數的底數與真數有規律時，換成同一個底數再化簡。

04單選 15～17：對數函數的伸縮與鏡射、分貝、由常用對數求倍數

第 15 題

答案 (2)。

① 四個函數都過 $(1, 0)$ 。看 $x > 1$ 的部分： $lo g x > 0$ ，所以 $y = 2 lo g x$ 與 $y = lo g x$ 在 $x$ 軸上方，是 $A$ 、 $B$ 。

② 取 $x = 10$ ： $2 lo g 10 = 2$ ， $lo g 10 = 1$ 。同一個 $x$ ， $y = 2 lo g x$ 比較高，是上面那條 $A$ 。

③ 所以 $y = lo g x$ 是 $B$ （如圖）。

答案 (2)。

載入中...

C

是

y = - lo g x

，

D

是

y = - 2 lo g x

：

y = - lo g x

是

y = lo g x

對

x

軸的鏡射。

第 16 題

答案 (4)。

① 一支氣笛 $45$ 分貝： $10 lo g \frac{I _{1}}{I _{0}} = 45$ ，所以 $\frac{I _{1}}{I _{0}} = 1 0^{4.5}$ 。

② $n$ 支同時響，聲音強度相加為 $n I_{1}$ ，分貝為 $10 lo g \frac{n I _{1}}{I _{0}} = 10 (lo g n + 4.5) = 10 lo g n + 45$

③ 不得超過 $65$ 分貝： $10 lo g n + 45 \leq 65$ ， $lo g n \leq 2$ ， $n \leq 100$ 。

④ 最多 $100$ 支。

答案 (4)。

分貝不能直接相加：

100

支不是

4500

分貝。強度每變

10

倍，分貝只加

10

。

第 17 題

答案 (5)。

① $lo g b - lo g a = 3.6 - 0.6 = 3$ 。

② 由對數律， $lo g \frac{b}{a} = 3$ ，所以 $\frac{b}{a} = 1 0^{3} = 1000$ 。

答案 (5)。

也可以直接寫

a = 1 0^{0.6}

，

b = 1 0^{3.6}

，

\frac{b}{a} = 1 0^{3.6 - 0.6} = 1 0^{3}

。

y = k lo g x

的

k

越大，

x > 1

時圖形越高；分貝要換回強度才能相加。

05多選 18～19：底數介於 0 與 1 的指數函數、由圖形判斷底數

第 18 題

答案 (2)(3)(4)。（圖以 $a = \frac{1}{2}$ 為例）

(1) 錯誤。 $0 < a < 1$ ， $f (2) = a^{2} < 1$ 。例如 $a = \frac{1}{2}$ 時 $f (2) = \frac{1}{4}$ 。

(2) 正確。 $a^{x} > 0$ 對所有實數 $x$ 都成立，圖形在 $x$ 軸上方。

(3) 正確。 $0 < a < 1$ 時 $f (x) = a^{x}$ 是遞減函數，不同的 $x$ 對應不同的值，所以 $f (x) = f (2)$ 只能 $x = 2$ 。

(4) 正確。 由算幾不等式， $\frac{a ^{x_{1}} + a ^{x_{2}}}{2} > a^{\frac{x _{1} + x _{2}}{2}}$ （ $x_{1} \neq = x_{2}$ ），兩點連線在圖形上方，凹口向上。

(5) 錯誤。 $f$ 遞減： $α < β$ 時 $f (α) > f (β)$ 。例如 $a = \frac{1}{2}$ ， $f (0) = 1 > f (1) = \frac{1}{2}$ 。

答案 (2)(3)(4)。

載入中...

第 19 題

答案 (1)(2)(3)。

(1) 正確。 由圖， $y = a^{x}$ 從左往右上升，是遞增函數，所以 $a > 1$ 。

(2) 正確。 任何指數函數都過 $(0, 1)$ （ $a^{0} = 1$ ），三條圖形的共同點 $P$ 就是 $(0, 1)$ 。

(3) 正確。 $y = 3^{x}$ 對 $y$ 軸的鏡射是 $y = 3^{- x} = (\frac{1}{3})^{x}$ ，所以 $b = \frac{1}{3}$ 。

(4) 錯誤。 由圖，在 $y$ 軸右邊 $y = a^{x}$ 比 $y = 3^{x}$ 高，例如 $x = 1$ 時 $a^{1} > 3^{1}$ ，所以 $a > 3$ （如圖），不是 $3 > a$ 。

答案 (1)(2)(3)。

載入中...

底數大於

1

時，底數越大，在

y

軸右邊圖形越陡、在

y

軸左邊越貼近

x

軸。

0 < a < 1

的指數函數：恆正、遞減、一對一、凹口向上；比底數就看

x = 1

時的高度。

06選填 A～E（第 20～24 題）：用對數求最小次數、指對數方程式、半衰期

第 20 題

① 兩邊取常用對數（底數 $10 > 1$ ，不等號方向不變）： $n lo g \frac{3}{4} < lo g \frac{1}{100} = - 2$

② $lo g \frac{3}{4} = lo g 3 - 2 lo g 2 \approx 0.4771 - 0.6020 = - 0.1249$ ，是負數。

③ 兩邊同除以負數，不等號反向： $n > \frac{2}{0.1249} \approx 16.01$ 。

④ 最小正整數 $n = 17$ （如數線圖）。答案格依序填 $1$ 、 $7$ 。

載入中...

驗證：

n = 16

時

16 \times (- 0.1249) = - 1.9984 > - 2

，還不夠小；

n = 17

時

- 2.1233 < - 2

，成立。

第 21 題

① 真數條件： $- x > 0$ 且 $x + 3 > 0$ ，所以 $- 3 < x < 0$ 。

② 由對數律化成一個對數： $lo g (- 4 x) = lo g (x + 3)^{2}$ ，所以 $- 4 x = (x + 3)^{2}$ 。

③ 展開： $x^{2} + 6 x + 9 + 4 x = 0$ ， $x^{2} + 10 x + 9 = 0$ ， $(x + 1) (x + 9) = 0$ ， $x = - 1$ 或 $x = - 9$ 。

④ $x = - 9$ 不在 $- 3 < x < 0$ 內（如數線圖），不合； $x = - 1$ 符合。

答案 $x = - 1$ ，答案格依序填 $-$ 、 $1$ 。

載入中...

代回檢查：左邊

lo g 4 + lo g 1 = lo g 4

，右邊

2 lo g 2 = lo g 4

，相等。

第 22 題

① $4^{x} = (2^{x})^{2}$ ， $2^{x + 1} = 2 \times 2^{x}$ 。令 $t = 2^{x}$ ， $t > 0$ 。

② 方程式變成 $t^{2} - 2 t - 8 = 0$ ， $(t - 4) (t + 2) = 0$ ， $t = 4$ 或 $t = - 2$ 。

③ $t = 2^{x} > 0$ ， $t = - 2$ 不合，所以 $2^{x} = 4 = 2^{2}$ ， $x = 2$ 。

答案 $x = 2$ 。

代回：

4^{2} - 2^{3} - 8 = 16 - 8 - 8 = 0

。

第 23 題

① $x = lo g_{2} 125 = lo g_{2} 5^{3} = 3 lo g_{2} 5$ 。

② $2^{y} = 1000$ ，所以 $y = lo g_{2} 1000 = lo g_{2} 1 0^{3} = 3 lo g_{2} 10 = 3 (1 + lo g_{2} 5)$ 。

③ 相減： $y - x = 3 + 3 lo g_{2} 5 - 3 lo g_{2} 5 = 3$ 。

答案 $3$ 。

也可以寫

2^{y - x} = \frac{2 ^{y}}{2 ^{x}} = \frac{1000}{125} = 8 = 2^{3}

，所以

y - x = 3

。

第 24 題

① 設開始時 $B$ 的質量為 $m$ ，則 $A$ 為 $2 m$ ； $B$ 的半衰期為 $T$ 小時。

② $120$ 小時後， $A$ 經過 $\frac{120}{7.5} = 16$ 個半衰期，剩 $2 m \times (\frac{1}{2})^{16} = m \times (\frac{1}{2})^{15}$ 。

③ $B$ 剩 $m \times (\frac{1}{2})^{\frac{120}{T}}$ 。

④ 兩者相等： $(\frac{1}{2})^{\frac{120}{T}} = (\frac{1}{2})^{15}$ ，所以 $\frac{120}{T} = 15$ ， $T = 8$ 。

答案 $8$ 小時。

載入中...

A

一開始多一倍，但衰退得比較快（半衰期較短），

120

小時內正好多衰退一次，所以

A

比

B

多經過一個半衰期：

16 = 15 + 1

。

取對數時注意除以負數要反向；對數方程式先寫真數條件；指數方程式用代換變成二次式，記得新變數一定是正數。

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02是非 6～10：對數律、換底公式、對數函數的圖形

03單選 11～14：指數不等式、比大小、半衰期、換底比大小

04單選 15～17：對數函數的伸縮與鏡射、分貝、由常用對數求倍數

05多選 18～19：底數介於 0 與 1 的指數函數、由圖形判斷底數

06選填 A～E（第 20～24 題）：用對數求最小次數、指對數方程式、半衰期

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高二第二次段考
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