屏東高中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (3)。由商的微分，

$$g^{\prime }(x)=\frac{(x^2+1)\cdot 1-x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}$$

所以 $g^{\prime }(1)=\frac{1-1}{4}=0$。

答案 (2)。$f^{\prime }(x)=3x^2-4x+a$。三次函數沒有極值，表示 $f^{\prime }(x)$ 不會變號，也就是二次式 $3x^2-4x+a$ 的判別式 $\le 0$：

$$16-12a\le 0⟹a\ge \frac{4}{3}$$

五個選項中只有 $2$ 符合。

答案 (3)。令 $t={\log }_{2}5$，則 ${\log }_{5}2=\frac{1}{t}$，且 $t>2$（因為 $5>4$）。

$-{\log }_{0.5}5=-\frac{\log 5}{\log 0.5}=-\frac{\log 5}{-\log 2}={\log }_{2}5=t$；$-{\log }_{0.2}2=-\frac{\log 2}{-\log 5}={\log }_{5}2=\frac{1}{t}$。

所以 $10^a=t$、$10^b=\frac{1}{t}$、$10^{-c}=t$、$10^{-d}=\frac{1}{t}$，得

$$a=\log t,b=-\log t,c=-\log t,d=\log t$$

$t\ne 1$，$\log t\ne 0$，所以 $a=d$ 與 $b=c$ 是兩個不同的數。

再看 $e$：$10^{-e}=\log \frac{0.5}{0.2}=\log 2.5$，$e=-\log \left(\log 2.5\right)$。$e$ 若等於 $a$，要 $t\cdot \log 2.5=1$；$e$ 若等於 $b$，要 $\log 2.5=t$。

因為 $2^{2.5}=\sqrt{32}>5$，$t<2.5$；又 $2.5^5<100$，即 $2.5<10^{0.4}$，所以 $\log 2.5<0.4$。於是 $t\cdot \log 2.5<2.5\times 0.4=1$，$e\ne a$；而 $\log 2.5<1<t$，$e\ne b$。

五個數共有 $a$（$=d$）、$b$（$=c$）、$e$ 三個不同的值。

答案 (5)。$\pi \approx 3.14$。$1$、$2$、$3$ 都在 $0$ 與 $\pi$ 之間，$\sin 1$、$\sin 2$、$\sin 3$ 都是正數；$4$、$5$ 在 $\pi$ 與 $2\pi$ 之間，$\sin 4$、$\sin 5$ 是負數。

$\sin 4=-\sin (4-\pi )$，$\sin 5=-\sin (2\pi -5)$。$4-\pi \approx 0.86$，$2\pi -5\approx 1.28$，兩者都在 $0$ 與 $\frac{\pi }{2}$ 之間，正弦在這裡遞增，$\sin (2\pi -5)>\sin (4-\pi )$，所以 $\sin 5<\sin 4$。最小的是 $\sin 5$。

答案 (4)。疊合：

$$f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{3}{2}\cos x=\sqrt{3}\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=\sqrt{3}\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$$

(1) 錯。振幅為 $\sqrt{3}$。

(2) 錯。最小值為 $-\sqrt{3}$。

(3) 錯。週期為 $2\pi$。

(4) 正確。$f(0)=\frac{1}{2}\left(0+3\right)=\frac{3}{2}$，交點為 $\left(0,\frac{3}{2}\right)$。

(5) 錯。$f(0)=\frac{3}{2}\ne 0$，圖形不過原點，不會對稱於原點。

答案 (1)。$\overrightarrow{c}$ 在 $\overrightarrow{a}$ 上的正射影是 $\frac{\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}}{{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2}\overrightarrow{a}$。${\left|\overrightarrow{a}\right|}^2=13$，${\left|\overrightarrow{b}\right|}^2=117$。

由正射影為 $2\overrightarrow{a}$：$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=26$；由正射影為 $\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$：$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{b}=39$。

設 $\overrightarrow{c}=(x,y)$：$3x-2y=26$，$6x+9y=39$（即 $2x+3y=13$）。解得 $x=8$，$y=-1$。

$\left|\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{64+1}=\sqrt{65}$，$8^2=64<65<72.25=8.5^2$，最接近 $8$。

答案 (1)(2)(3)(4)。$f^{\prime }(x)=3x^2+6x-24=3(x+4)(x-2)$，$f^{\prime \prime }(x)=6x+6$。

(1) 正確。 $-4<x<2$ 時 $f^{\prime }(x)<0$，所以 $f$ 在 $[-4,2]$ 遞減。

(2) 正確。 $f^{\prime }$ 在 $x=2$ 由負變正，$x=2$ 有極小值。

(3) 正確。 $f^{\prime }$ 在 $x=-4$ 由正變負，極大值 $f(-4)=-64+48+96-5=75$。

(4) 正確。 $f^{\prime \prime }(x)=0$ 得 $x=-1$，且 $f^{\prime \prime }$ 在 $x=-1$ 兩側變號；$f(-1)=-1+3+24-5=21$，反曲點為 $(-1,21)$。

(5) 錯誤。 水平切線在極值點：$y=75$ 與 $y=f(2)=8+12-48-5=-33$，兩線距離為 $75-(-33)=108$，不是 $6$。

答案 (1)(3)(4)(5)。

(1) 正確。 $A(2,0)$ 在圖形上：$f(2)=8-12+8+k=4+k=0$，$k=-4$。

(2) 錯誤。 由 (1)，$k=-4$。

(3) 正確。 $f^{\prime }(x)=3x^2-6x+4$，$f^{\prime }(2)=12-12+4=4$。

(4) 正確。 $L$：$y-0=4(x-2)$，即 $4x-y-8=0$。

(5) 正確。 聯立 $x^3-3x^2+4x-4=4x-8$，得 $x^3-3x^2+4=0$。$x=2$ 是切點，必為重根：$x^3-3x^2+4=(x-2{)}^2(x+1)$，另一交點 $x=-1$，$y=4(-1)-8=-12$，即 $(-1,-12)$。

答案 (3)(4)。$a^{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{2}}$，兩邊取 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 次方：$a=2^{\frac{1}{2\sqrt{2}}}=2^{\frac{\sqrt{2}}{4}}$。

(1) 錯誤。 $a^2=2^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}<1$，所以 $a^2<2^1=2$。

(2) 錯誤。 $a^3=2^{\frac{3\sqrt{2}}{4}}$，$2\sqrt{2}=2^{\frac{3}{2}}$。$\frac{3\sqrt{2}}{4}<\frac{3}{2}$（因為 $\sqrt{2}<2$），所以 $a^3<2\sqrt{2}$。

(3) 正確。 $a^4=2^{\sqrt{2}}$，$\sqrt{2}<2$，所以 $a^4<2^2=4$。

(4) 正確。 ${\log }_{a}2=\frac{1}{{\log }_{2}a}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。

(5) 錯誤。 指數 $\frac{\sqrt{2}}{4}>0$，底數 $2>1$，所以 $a>1$。

答案 (1)(4)(5)。由二倍角公式 $\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$，方程式變成 $2{\cos }^2\theta -2\cos \theta -1=0$，

$$\cos \theta =\frac{2\pm \sqrt{4+8}}{4}=\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}$$

$\frac{1+\sqrt{3}}{2}>1$ 不合，所以 $\cos \theta =\frac{1-\sqrt{3}}{2}$（約 $-0.37$）。

(1) 正確。 $\cos \theta =\frac{1-\sqrt{3}}{2}<0$。

(2) 錯誤。 $\cos (\pi +\theta )=-\cos \theta =\frac{\sqrt{3}-1}{2}>0$。

(3) 錯誤。 ${\cos }^2\theta =\frac{4-2\sqrt{3}}{4}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$，${\sin }^2\theta =1-\frac{2-\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，而 $\sqrt{3}>\sqrt{2}$，所以 ${\sin }^2\theta >\frac{\sqrt{2}}{2}$。

(4) 正確。 半角公式：${\cos }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1+\cos \theta }{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3-\sqrt{3}}{2}=\frac{3-\sqrt{3}}{4}$。

(5) 正確。 $\cos \theta =\frac{1-\sqrt{3}}{2}$ 在 $-1$ 與 $0$ 之間，在 $0\le \theta <2\pi$ 內第二、第三象限各有一個解，恰有兩個。

答案 (3)(4)。出發後的位置是 $(-3,6)+t\overrightarrow{v}$，$t>0$。要進入第一象限，必須某個 $t>0$ 使兩個坐標都大於 $0$。

(1) 錯誤。 位置 $(-3+t,6-3t)$；$x>0$ 要 $t>3$，這時 $y=6-3t<-3$，兩者不能同時成立。

(2) 錯誤。 $x=-3-0.001t<-3$，永遠在 $y$ 軸左邊。

(3) 正確。 位置 $(-3+0.001t,6)$，$t>3000$ 時 $x>0$，而 $y=6>0$，進入第一象限。

(4) 正確。 位置 $(-3+0.001t,6+t)$，$t>3000$ 時 $x>0$ 且 $y>0$。

(5) 錯誤。 $x=-3-0.001t<-3$，永遠在 $y$ 軸左邊。

設切點為 $(t,t^2-2t+2)$，$f^{\prime }(t)=2t-2$。切線為

$$y=(2t-2)(x-t)+t^2-2t+2=(2t-2)x-t^2+2$$

切線過 $P(-1,1)$：$1=-(2t-2)-t^2+2$，整理得 $t^2+2t-3=0$，$t=1$ 或 $t=-3$。

$t=1$：$y=1$；$t=-3$：$y=-8x-7$，即 $8x+y+7=0$。所以 $a=8$，$b=1$，$a+b=9$。

由導數的定義，$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(-1)}{x-(-1)}=f^{\prime \prime }(-1)$。

$f^{\prime }(x)=4x^3-6x^2-14x+5$，$f^{\prime \prime }(x)=12x^2-12x-14$，$f^{\prime \prime }(-1)=12+12-14=10$。

$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，在 $[0,4]$ 內的臨界點為 $x=0$、$x=2$。比較臨界點與端點：

$$f(0)=2,f(2)=8-12+2=-2,f(4)=64-48+2=18$$

所以 $M=18$，$m=-2$，$(M,m)=(18,-2)$。

$f(x)$ 是二次函數，設 $f(x)=p{x}^2+qx+r$，則 $f^{\prime }(x)=2px+q$。和 $f^{\prime }(x)=2x+3$ 比較係數：$2p=2$、$q=3$，所以 $p=1$、$q=3$。

$f(1)=1+3+r=2$，$r=-2$，即 $f(x)=x^2+3x-2$。所以 $f(2)=4+6-2=8$。

一次估計就是在 $x=1$ 的切線。$f(1)=1-2+3+5=7$，$f^{\prime }(x)=3x^2-4x+3$，$f^{\prime }(1)=2$。

$$f(x)\approx f(1)+f^{\prime }(1)(x-1)=7+2(x-1)=2x+5$$

所以 $(a,b)=(2,5)$。

交點個數就是 $g(x)=x^3-6x^2+k-1=0$ 的相異實根個數。$g^{\prime }(x)=3x^2-12x=3x(x-4)$，$x=0$ 有極大值 $g(0)=k-1$，$x=4$ 有極小值 $g(4)=64-96+k-1=k-33$。

三次函數有三個相異實根，要極大值大於 $0$、極小值小於 $0$：$k-1>0$ 且 $k-33<0$，所以 $1<k<33$。

$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$，$f^{\prime \prime }(x)=6x+2a$。反曲點的 $x$ 坐標為 $-1$：$f^{\prime \prime }(-1)=-6+2a=0$，$a=3$。

反曲點在圖形上：$f(-1)=-1+a-b+2=4-b=2$，$b=2$。所以 $(a,b)=(3,2)$。

由圖，最高點 $(3,6)$，最低值 $-2$（在 $x=9$），所以中心線 $c=\frac{6+(-2)}{2}=2$，振幅 $a=\frac{6-(-2)}{2}=4$。

圖形從 $x=0$ 的 $y=2$ 出發，到 $x=12$ 回到 $y=2$ 並完成一個起伏，週期為 $12$。$y=a\sin \frac{\pi }{b}x+c$ 的週期是 $\frac{2\pi }{\pi /b}=2b$，所以 $2b=12$，$b=6$。

檢查：$x=3$ 時 $4\sin \frac{\pi }{2}+2=6$；$x=11$ 時 $4\sin \frac{11\pi }{6}+2=4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+2=0$，都和圖相符。

$a+b+c=4+6+2=12$。

斜率 $\frac{4}{3}$、長度 $5$，且 $a<b$，所以由 $A$ 到 $B$ 水平移動 $3$、鉛直移動 $4$：$b-a=3$，$s-r=4$。

$s-r={\log }_{2}b-{\log }_{2}a={\log }_2\frac{b}{a}=4$，所以 $b=16a$。代入 $b-a=3$：$15a=3$，$a=\frac{1}{5}$，$b=\frac{16}{5}$。

梯形恰有一組對邊平行。

若 $\overline{AD}\parallel \overline{BC}$：$\overline{BC}$ 是鉛直線 $x=10$，則 $D$ 在 $y$ 軸上，$m=0$，與 $m\ne 0$ 不合。

所以 $\overline{AB}\parallel \overline{DC}$，$\overrightarrow{AB}=(10,5)$ 的方向為 $(2,1)$，設 $D=(10+2t,10+t)$。$\angle ADC=90^{\circ }$：

$$\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{DC}=(-10-2t,-10-t)\cdot (-2t,-t)=5t^2+30t=0$$

$t=0$ 或 $t=-6$。$t=0$ 時 $D$ 與 $C$ 重合，構不成四邊形，不合；所以 $t=-6$，$D=(-2,4)$，$(m,n)=(-2,4)$。

由 $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$，兩邊取長度平方：

$${\left|\overrightarrow{a}\right|}^2=4{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2-4\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}+{\left|\overrightarrow{c}\right|}^2$$

$4=4-4\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}+4$，得 $\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=1$。夾角 $\theta$ 滿足 $\cos \theta =\frac{1}{1\times 2}=\frac{1}{2}$，$\theta =60^{\circ }$。

$\overline{AC}$ 是直徑，長度為 $2$，直徑所對的圓周角是直角：$\angle ABC=\angle ADC=90^{\circ }$。所以 $\overrightarrow{BC}\perp \overrightarrow{AB}$，

$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\cdot \overrightarrow{AB}={\left|\overrightarrow{AB}\right|}^2$$

同理 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}={\left|\overrightarrow{AD}\right|}^2$。令 $x={\left|\overrightarrow{AB}\right|}^2$，$y={\left|\overrightarrow{AD}\right|}^2$，$p=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}$。

把 $\overrightarrow{AC}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{2}\overrightarrow{AD}$ 分別和 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$ 作內積：

$$x=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}p,y=\frac{3}{2}p+\frac{5}{2}y$$

得 $p=-\frac{x}{5}$，$p=-y$，所以 $x=5y$。再取長度平方：

$$4={\left|\overrightarrow{AC}\right|}^2=\frac{9}{4}x+\frac{15}{2}p+\frac{25}{4}y=\frac{45}{4}y-\frac{15}{2}y+\frac{25}{4}y=10y$$

$y=\frac{2}{5}$，$x=2$，$p=-\frac{2}{5}$。

$${\overline{BD}}^2={\left|\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right|}^2=y-2p+x=\frac{2}{5}+\frac{4}{5}+2=\frac{16}{5}$$

$\overline{BD}=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。