段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

高師大附中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選 2 題占 8 分、多選 3 題占 24 分、填充 10 題占 60 分、混合題 1 題組占 8 分，共 100 分；本頁題號連續編為 1～18。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。學校提供的原檔是轉檔後的版本，根號與分數線都沒有畫出來、算式的字元位置也被打散；本頁全卷的根號與分數線都是本站依原檔殘留的字元還原的。其中多選第 2 題的選項 (4)(5) 無法還原，填充 H 的函數式是推定的讀法，填充 C 的附圖是本站重畫的示意圖，說明見各題。

一、單選題（占 8 分）說明：第 1 題至第 2 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得 4 分；答錯、未作答者，該題以零分計算。

試問共有幾個角度

θ

滿足

0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}

，且

cos (4 θ - 3 0^{\circ})

，

cos 4 θ

，

cos (4 θ + 3 0^{\circ})

，依序成一等差數列？

(1) $1$ 個
(2) $2$ 個
(3) $3$ 個
(4) $4$ 個
(5) $5$ 個

如右圖，有一半徑為

2

公分的圓形硬幣，與地面接觸於

A

點，現沿著地面一直線向左滾動了

\frac{5}{3} π

公分，求

A

點離地面多高。

(1) $3$
(2) $2 + 3$
(3) $2 - 3$
(4) $2 + 2$
(5) $4 - 2$

載入中...

二、多選題（占 24 分）說明：第 1 題至第 3 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 5 分；答錯 2 個選項者，得 2 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

設

cos θ = \frac{1}{3}

，且

\frac{3}{2} π < θ < 2 π

，試選出正確的選項：

(1) $cos (\frac{π}{2} - θ) = - \frac{2 2}{3}$
(2) $sin (π + θ) = \frac{2 2}{3}$
(3) $cos 2 θ = \frac{4 2}{9}$
(4) $sin \frac{θ}{2} = \frac{3}{3}$
(5) $tan \frac{θ}{2} = - \frac{2}{2}$

關於三角函數值的大小，下列哪些選項是正確的？

(1) $cos 1 < cos 1^{\circ}$
(2) $sin π > sin π^{\circ}$
(3) $cos 2 < cos 3$
(4) （原檔這個選項的算式排版走樣，無法確定原貌，本頁不重建）
(5) （原檔這個選項的算式排版走樣，無法確定原貌，本頁不重建）

已知函數

y = f (x) = sin x + a cos x

的圖形對稱於直線

x = \frac{5}{3} π

，其中

a

為實數，試選出正確的選項：

(1) $a = - \frac{3}{3}$
(2) 函數 $y = f (x)$ 的圖形週期是 $2 π$ ，振幅 $\frac{2 3}{3}$
(3) $f (x)$ 在 $x = \frac{5}{3} π$ 時有最大值
(4) $f (\frac{1}{2}) > 0$
(5) 函數 $y = f (x)$ 的圖形可由 $y = sin x$ 的圖形以 $x$ 軸為基準線，鉛直方向伸縮 $\frac{2 3}{3}$ 倍，並向右平移 $\frac{π}{6}$ 單位得到

三、填充題（占 60 分）說明：每題完全答對給 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 方程式

cos x - ∣ cos x ∣ = \frac{x}{2 π}

的實根有 ____ 個。

B. 如右圖，一正六邊形

A B C D E F

中，

\overline{A B} = 2

，若以

A

為圓心，分別以

\overline{A B}

、

\overline{A C}

為半徑畫弧，則右圖灰色區域面積為 ____。

載入中...

C. 假設用正弦函數

y = a sin (b x - h) + k

（其中

a > 0

，

b > 0

）來描述這筆觀測資料，並希望資料點中的最高點

(22, 1)

與最低點

(8, 0)

皆落在圖形上。若

0 < h < 2 π

，試求序組

(a, b, h, k)

為 ____。（原檔的附圖只剩坐標軸上的文字，圖形本身不見了；右圖是本站重畫的示意圖）

載入中...

D. 設

9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}

，

9 0^{\circ} < β < 18 0^{\circ}

，且

sin α = \frac{1}{5}

，

cos β = - \frac{3}{10}

，則

α + β =

____ 度。

△ A B C

中，

\overline{A H} ⊥ \overline{B C}

，

∠ B A C = 4 5^{\circ}

，

\overline{B H} = 2

，

\overline{C H} = 3

，則

△ A B C

面積為 ____ 平方單位。

F. 如右圖，已知

\overline{A D} = 20

，

B

、

C

為以

\overline{A D}

為直徑的半圓上兩點，且

\overline{A B} = \overline{B C}

。若

\overline{C D} = 16

，則

\overline{A B}

的長為 ____。

載入中...

G. 欲在一半徑為

100

公尺的圓形池塘上建造一座「T」字型的木橋（如右圖所示，

\overline{D C}

垂直

\overline{A B}

於

C

點，且

\overline{A C} = \overline{C B}

）。當這木橋的總長最長時，此時

\overline{A B} =

____ 公尺。

載入中...

H. 設

- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

，函數

f (x) = 4 sin x - 23 sin (x - \frac{π}{6}) - 1

的最大值為

M

與最小值為

m

，則數對

(M, m) =

____。（原檔這一行算式的排版走樣，函數式是本站依殘留的字元與學校答案推定的讀法，式子最後的常數

1

在原檔看不到；另一種可能的讀法見詳解）

I. 試求

\frac{2}{sin 5 0 ^{\circ}} + \frac{2 3}{cos 5 0 ^{\circ}}

之值為 ____。

J. 設

△ A B C

三邊長分別為

\overline{A B} = 5

，

\overline{A C} = 7

，

\overline{B C} = 8

，以

\overline{A B}

、

\overline{A C}

為邊向外分別作兩個正三角形

A B D

與

A C E

，則

△ A D E

面積為 ____ 平方單位。

四、混合題或非選擇題（占 8 分）說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。非選擇題作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

混合題（第 16～18 題）　某新創公司決定在一塊邊長

40

公尺的正方形土地上，興建一間有特色的辦公大樓，而此大樓基底形狀是一邊長為

a

公尺的正方形，且與原土地邊長夾

θ

角且

0 < θ < \frac{π}{2}

，如右圖。又因為該地屬於丁種建築用地，依照法規丁種建築用地的建蔽率為

70%

，也就是此建築用地能用來蓋建築物的面積比例不可以超過

70%

，其公式為建蔽率＝

\frac{大樓底座面積}{基地面積} \times 100%

，若建商決定該地建蔽率定為

\frac{200}{3} %

。試回答下列問題：

(1)（單選題）此辦公大樓底座邊長

a

為多少公尺？ (A)

\frac{20 6}{3}

　(B)

\frac{40 3}{3}

　(C)

\frac{40 6}{3}

　(D)

\frac{20 3}{3}

　(E)

\frac{40 5}{3}

　（1 分）

載入中...

(2)（非選題）試用

θ

表示

\overline{B G}

、

\overline{GC}

分別為多少？（2 分）

(3)（非選題）若要按照建商的設計施工，則大樓底座與建築用地夾角

θ

值應取多少才能達成建商的要求？（5 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(2)

第 3 題(1)(2)(4)(5)

第 4 題(1)(5)（選項 (4)(5) 的算式在原檔走樣、無法還原，這兩個選項照學校公布的答案寫）

第 5 題(1)(2)(5)

第 6 題

5

第 7 題

23 + \frac{2}{3} π

第 8 題

(\frac{1}{2}, \frac{π}{14}, \frac{15}{14} π, \frac{1}{2})

（附圖是本站重畫的示意圖，以最低點與最高點相鄰來算）

第 9 題

315

第 10 題

15

第 11 題

210

第 12 題

805

第 13 題

(1, - 2)

（函數式有一處是本站推定的讀法，見詳解）

第 14 題

8

第 15 題

\frac{15 3}{4}

第 16 題(C)

第 17 題

\overline{B G} = \frac{40 6}{3} sin θ

，

\overline{GC} = \frac{40 6}{3} cos θ

第 18 題

θ = \frac{π}{12}

或

\frac{5 π}{12}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1、2 題）：和差角與等差中項、滾動的圓

第 1 題答案 (4)。三數成等差，中間那一項的兩倍等於頭尾相加：

2 cos 4 θ = cos (4 θ - 3 0^{\circ}) + cos (4 θ + 3 0^{\circ})

。右邊用和差角公式展開，

sin 4 θ sin 3 0^{\circ}

那兩項一正一負消掉，剩下

2 cos 4 θ cos 3 0^{\circ} = 3 cos 4 θ

。所以

(2 - 3) cos 4 θ = 0

，得

cos 4 θ = 0

。

0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}

時

0^{\circ} < 4 θ < 72 0^{\circ}

，在這兩圈內餘弦為

0

的角是

9 0^{\circ}

、

27 0^{\circ}

、

45 0^{\circ}

、

63 0^{\circ}

，對應

θ = 22. 5^{\circ}

、

67. 5^{\circ}

、

112. 5^{\circ}

、

157. 5^{\circ}

，共

4

個。

cos 4 θ = 0

時三項是

cos (4 θ - 3 0^{\circ})

、

0

、

cos (4 θ + 3 0^{\circ})

，頭尾互為相反數，確實成等差。角度範圍要先乘以

4

再數，只數一圈會少算。

第 2 題答案 (2)。硬幣滾動不打滑時，滾過的距離等於圓周上轉過的弧長。弧長

\frac{5}{3} π

、半徑

2

，轉過的角是

\frac{5 π /3}{2} = \frac{5}{6} π

（

15 0^{\circ}

）。圓心一直在離地

2

公分的高度。

A

原本在圓心的正下方，硬幣轉了

\frac{5}{6} π

之後，圓心到

A

的半徑與「鉛直向下」的方向夾

\frac{5}{6} π

，所以

A

比圓心低

2 cos \frac{5}{6} π = - 3

，也就是比圓心高

3

。

A

離地面

2 + 3

公分。

向左或向右滾，高度都一樣，方向只影響

A

在圓心的左邊還是右邊。轉過的角超過

9 0^{\circ}

，

A

已經到圓心的上方，所以答案比

2

大。原檔的根號與分數線沒有畫出來：滾動距離的

5

在上、

3

在下，讀成

\frac{5}{3} π

；各選項的根號是依殘留的數字還原的，其中選項 (1) 原檔只有一個

3

，看不出有沒有根號，本頁照字面寫成

3

，不影響答案。

02多選題（第 3～5 題）：半角的象限、弧度的大小感、由對稱軸定係數

第 3 題答案 (1)(2)(4)(5)。

θ

在第四象限，

sin θ < 0

，

sin θ = - 1 - \frac{1}{9} = - \frac{2 2}{3}

。 (1) 對：

cos (\frac{π}{2} - θ) = sin θ = - \frac{2 2}{3}

。 (2) 對：

sin (π + θ) = - sin θ = \frac{2 2}{3}

。 (3) 錯：

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = \frac{2}{9} - 1 = - \frac{7}{9}

。 (4) 對：

\frac{3}{4} π < \frac{θ}{2} < π

，

\frac{θ}{2}

在第二象限，正弦為正。

sin^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - c o s θ}{2} = \frac{1}{3}

，所以

sin \frac{θ}{2} = \frac{3}{3}

。 (5) 對：第二象限餘弦為負，

cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + c o s θ}{2} = \frac{2}{3}

，

cos \frac{θ}{2} = - \frac{6}{3}

。兩者相除，

tan \frac{θ}{2} = \frac{3}{3} \div (- \frac{6}{3}) = - \frac{1}{2} = - \frac{2}{2}

。

(3) 的

\frac{4 2}{9}

是

sin 2 θ

的大小（

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = - \frac{4 2}{9}

），不是

cos 2 θ

。半角的正負號由

\frac{θ}{2}

所在的象限決定，要先把

θ

的範圍除以

2

。原檔的根號沒有畫出來，各選項的根號是依殘留的數字還原的。

第 4 題學校公布的答案是 (1)(5)。 (1) 對：

1

弧度約

57. 3^{\circ}

。餘弦在

0^{\circ}

到

9 0^{\circ}

之間遞減，

57. 3^{\circ} > 1^{\circ}

，所以

cos 1 < cos 1^{\circ}

。 (2) 錯：

sin π = 0

；

π^{\circ}

約

3.1 4^{\circ}

，是第一象限的小角，

sin π^{\circ} > 0

。所以

sin π < sin π^{\circ}

。 (3) 錯：

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

，

2

弧度與

3

弧度都在第二象限。餘弦在

\frac{π}{2}

到

π

之間遞減，角度大的值小，所以

cos 2 > cos 3

。 (4)、(5)：這兩個選項的算式在原檔排版走樣，看不出原來的式子，本頁沒有重建，也就無法獨立驗算；依學校公布的答案，(4) 不選、(5) 要選。

選項 (4)(5) 在原檔殘留的字元混在一起，分不出哪些屬於哪個選項：兩個正切、一個正弦、三個小於號、兩個負號、三個

π

，數字有

3

、

2

、

18

、

8

、兩個

7

、一個小字的

2

與

0

。本站拼不出唯一的式子，所以不重建。選項 (3) 的

cos 3

後面在原檔隔一個空白還有一個

π

，本頁判斷它屬於後面走樣的選項；即使讀成

cos 3 π

（值為

- 1

），

cos 2 \approx - 0.42

比它大，(3) 一樣不成立。沒有寫度的記號的角一律是弧度，先估它大約幾度、落在哪個象限，再比大小。

第 5 題答案 (1)(2)(5)。圖形對稱於直線

x = \frac{5}{3} π

，表示對稱軸左右等距的兩點函數值相等。取

x = 0

與

x = \frac{10}{3} π

（都與對稱軸相距

\frac{5}{3} π

）：

f (0) = a

；

f (\frac{10}{3} π) = sin \frac{4}{3} π + a cos \frac{4}{3} π = - \frac{3}{2} - \frac{a}{2}

。兩者相等，

\frac{3}{2} a = - \frac{3}{2}

，

a = - \frac{3}{3}

。這時

f (x) = sin x - \frac{3}{3} cos x

。係數平方和開根號是

1 + \frac{1}{3} = \frac{2 3}{3}

，疊合得

f (x) = \frac{2 3}{3} (sin x cos \frac{π}{6} - cos x sin \frac{π}{6}) = \frac{2 3}{3} sin (x - \frac{π}{6})

x = \frac{5}{3} π

時

x - \frac{π}{6} = \frac{3}{2} π

，正好是最低點，圖形確實對稱於這條直線。 (1) 對。 (2) 對：週期

2 π

，振幅

\frac{2 3}{3}

。 (3) 錯：

f (\frac{5}{3} π) = \frac{2 3}{3} sin \frac{3}{2} π = - \frac{2 3}{3}

，是最小值。 (4) 錯：

\frac{π}{6} \approx 0.524

，比

\frac{1}{2}

大一點，所以

\frac{1}{2} - \frac{π}{6}

是很小的負角，

f (\frac{1}{2}) < 0

。 (5) 對：

y = sin x

鉛直伸縮

\frac{2 3}{3}

倍得

y = \frac{2 3}{3} sin x

，再向右平移

\frac{π}{6}

就是

f (x)

。

正弦型函數的對稱軸一定通過最高點或最低點，但只知道對稱不知道是哪一種，要像 (3) 那樣代進去看。(4) 的

\frac{1}{2}

是弧度，不要當成

\frac{1}{2} π

。原檔的根號與分數線沒有畫出來，選項 (2)(3)(4) 的文字還互相穿插；各選項的

\frac{3}{3}

、

\frac{2 3}{3}

與 (4) 的

f (\frac{1}{2}) > 0

是依殘留的字元與題意還原的。

03填充 A～C（第 6～8 題）：數交點、兩個扇形、由極值定正弦函數

第 6 題分兩種情形。

cos x \geq 0

時左邊是

0

，方程式變成

\frac{x}{2 π} = 0

，

x = 0

；

cos 0 = 1 \geq 0

，合，這是

1

個根。

cos x < 0

時左邊是

2 cos x

，值在

- 2

到

0

之間，所以右邊也要在這個範圍：

- 4 π \leq x < 0

。這段範圍內

cos x < 0

的區間有兩個：

- \frac{3}{2} π < x < - \frac{1}{2} π

與

- \frac{7}{2} π < x < - \frac{5}{2} π

。在第一個區間，曲線

y = 2 cos x

從

0

降到

- 2

再回到

0

，直線

y = \frac{x}{2 π}

的高度在

- \frac{3}{4}

與

- \frac{1}{4}

之間，下降與上升各交

1

點；第二個區間直線的高度在

- \frac{7}{4}

與

- \frac{5}{4}

之間，仍比

- 2

高，同樣交

2

點。共

1 + 2 + 2 = 5

個實根。

x > 0

時右邊是正的，左邊最大只有

0

，沒有根。

x < - 4 π

時右邊比

- 2

小，也沒有根。右邊原檔只看得到

x

、

2

、

π

三個字元、分數線沒有畫出來；

x

在上、

2

與

π

在下，所以是

\frac{x}{2 π}

，算出來也與學校答案

5

相符（若讀成

\frac{2 x}{π}

會是

3

個根）。

第 7 題正六邊形每個內角

12 0^{\circ}

，所以

∠ F A B = 12 0^{\circ}

。

△ A B C

是腰長

2

、頂角

12 0^{\circ}

的等腰三角形，

∠ B A C = 3 0^{\circ}

，

\overline{A C} = 23

；同理

∠ F A E = 3 0^{\circ}

，於是

∠ C A E = 12 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

。灰色區域夾在兩段弧之間，左右以

\overline{F E}

、

\overline{B C}

為邊。它等於「扇形

A C E

加上

△ A B C

與

△ A F E

」再扣掉「扇形

A B F

」。扇形

A C E

：

\frac{1}{2} \times (23)^{2} \times \frac{π}{3} = 2 π

。兩個三角形：各

\frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times sin 12 0^{\circ} = 3

，共

23

。扇形

A B F

：

\frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{2}{3} π = \frac{4}{3} π

。灰色面積

= 2 π + 23 - \frac{4}{3} π = 23 + \frac{2}{3} π

。

兩段弧的圓心角不同：小弧是

12 0^{\circ}

，大弧只有

6 0^{\circ}

，用扇形面積公式時角度要換成弧度。

第 8 題最大值

k + a = 1

、最小值

k - a = 0

，解得

a = \frac{1}{2}

、

k = \frac{1}{2}

。最低點

x = 8

到相鄰的最高點

x = 22

是半個週期，週期

= 2 \times 14 = 28

，所以

b = \frac{2 π}{28} = \frac{π}{14}

。最高點處正弦值為

1

：

\frac{π}{14} \times 22 - h = \frac{π}{2} + 2 nπ

（

n

為整數），

h = \frac{11}{7} π - \frac{π}{2} - 2 nπ = \frac{15}{14} π - 2 nπ

。要

0 < h < 2 π

，取

n = 0

，

h = \frac{15}{14} π

。檢查最低點：

\frac{π}{14} \times 8 - \frac{15}{14} π = - \frac{π}{2}

，正弦值為

- 1

，

y = 0

，符合。所以

(a, b, h, k) = (\frac{1}{2}, \frac{π}{14}, \frac{15}{14} π, \frac{1}{2})

。

原檔的附圖只剩坐標軸上的刻度數字與兩個點的坐標，資料點與曲線都不見了；本頁的圖是本站重畫的示意圖，並以「

(8, 0)

與

(22, 1)

是相鄰的最低點與最高點」來算，結果與學校答案相同。題目的式子是

b x - h

，

h

前面是減號，移項時注意正負。

04填充 D～F（第 9～11 題）：和角求角度、正切和角、圓周角與半角

第 9 題兩角都在第二象限：

cos α = - 1 - \frac{1}{5} = - \frac{2}{5}

，

sin β = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}

。

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β = \frac{6}{50} - \frac{1}{50} = \frac{5}{5 2} = \frac{2}{2}

18 0^{\circ} < α + β < 36 0^{\circ}

，這個範圍內餘弦等於

\frac{2}{2}

的角只有

31 5^{\circ}

。

只算

sin (α + β) = - \frac{2}{2}

的話，

22 5^{\circ}

與

31 5^{\circ}

都符合，還要再判斷；用餘弦一次就能定出來。原檔的根號沒有畫出來，

\frac{1}{5}

與

\frac{3}{10}

是依殘留的數字

1

、

5

、

3

、

10

與學校答案還原的。

第 10 題

∠ B

、

∠ C

若有一個是鈍角，

H

會落在

\overline{B C}

的延長線上，後面會說明那種情形不成立；先設

H

在

\overline{B C}

上，

\overline{A H} = h

。令

∠ B A H = α

、

∠ C A H = β

，則

tan α = \frac{2}{h}

、

tan β = \frac{3}{h}

，且

α + β = 4 5^{\circ}

。

tan (α + β) = \frac{\frac{2}{h} + \frac{3}{h}}{1 - \frac{6}{h ^{2}}} = \frac{5 h}{h ^{2} - 6} = 1

h^{2} - 5 h - 6 = 0

，

(h - 6) (h + 1) = 0

，

h = 6

。面積

= \frac{1}{2} \times (2 + 3) \times 6 = 15

。

若

H

在

\overline{B C}

外，

4 5^{\circ}

是兩個角的差：

\frac{\frac{3}{h} - \frac{2}{h}}{1 + \frac{6}{h ^{2}}} = \frac{h}{h ^{2} + 6} = 1

，

h^{2} - h + 6 = 0

沒有實數解，所以

H

一定在

\overline{B C}

上。

第 11 題

\overline{A D}

是直徑，所以

∠ A C D = 9 0^{\circ}

、

∠ A B D = 9 0^{\circ}

。在直角三角形

A C D

中，

cos ∠ A D C = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}

。

\overline{A B} = \overline{B C}

，等弦對等弧，所以

∠ A D B = ∠ B D C

，設都是

ϕ

，則

∠ A D C = 2 ϕ

。由半角公式

sin^{2} ϕ = \frac{1 - cos 2 ϕ}{2} = \frac{1 - \frac{4}{5}}{2} = \frac{1}{10}

，

sin ϕ = \frac{1}{10}

。在直角三角形

A B D

中，

\overline{A B} = \overline{A D} sin ϕ = \frac{20}{10} = 210

。

關鍵是把「弦相等」換成「圓周角相等」，

\overline{B D}

就是

∠ A D C

的平分線。

ϕ

是銳角，

sin ϕ

取正。

05填充 G～J（第 12～15 題）：疊合求最大值、依範圍求極值、通分化簡、向外作正三角形

第 12 題設圓心

O

，

∠ A O C = θ

。

C

是弦

\overline{A B}

的中點，

\overline{O C} ⊥ \overline{A B}

，所以

\overline{A C} = 100 sin θ

，

\overline{A B} = 200 sin θ

。要橋最長，

D

取在圓心另一側，

\overline{C D} = \overline{C O} + \overline{O D} = 100 cos θ + 100

。總長

= 200 sin θ + 100 cos θ + 100

。疊合：

200 sin θ + 100 cos θ = 1005 sin (θ + ϕ)

，其中

cos ϕ = \frac{2}{5}

、

sin ϕ = \frac{1}{5}

。

θ + ϕ = 9 0^{\circ}

時最大，這時

sin θ = cos ϕ = \frac{2}{5}

。

\overline{A B} = 200 \times \frac{2}{5} = \frac{400}{5} = 805

公尺。

題目問的是總長最長時的

\overline{A B}

，不是總長的最大值（最大總長是

100 + 1005

公尺）。疊合後不必求出

θ

是幾度，只要用

θ = 9 0^{\circ} - ϕ

換出

sin θ

。

第 13 題用差角公式展開：

sin (x - \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} sin x - \frac{1}{2} cos x

，所以

23 sin (x - \frac{π}{6}) = 3 sin x - 3 cos x

。

f (x) = 4 sin x - 3 sin x + 3 cos x - 1 = sin x + 3 cos x - 1 = 2 sin (x + \frac{π}{3}) - 1

- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

時

- \frac{π}{6} \leq x + \frac{π}{3} \leq \frac{5}{6} π

，正弦值最大是

1

（

x = \frac{π}{6}

），最小是

- \frac{1}{2}

（

x = - \frac{π}{2}

）。所以

M = 2 - 1 = 1

，

m = - 1 - 1 = - 2

，

(M, m) = (1, - 2)

。

原檔這一題的算式排版走樣，殘留的字元是

4 sin

、

2

、

3

、

sin

、

π

、

6

與三個減號，看不到常數。照

4 sin x - 23 sin (x - \frac{π}{6})

算會得到

(2, - 1)

，與學校答案

(1, - 2)

不合，而且只用到兩個減號。能用上三個減號又符合學校答案的讀法有兩種：一是本頁採用的「式子最後還有

- 1

」（常數

1

在原檔看不到，是推定的）；二是

f (x) = - 4 sin x - 23 sin (\frac{π}{6} - x) = - 2 sin (x + \frac{π}{3})

，這時

x + \frac{π}{3}

的範圍相同，正弦值在

- \frac{1}{2}

與

1

之間，最大值

1

、最小值

- 2

。兩種讀法的答案都是

(1, - 2)

，原來是哪一種無法確定。最小值出現在範圍的端點而不是正弦值為

- 1

的地方，角度範圍要先換好。

第 14 題通分：

\frac{2}{sin 5 0 ^{\circ}} + \frac{2 3}{cos 5 0 ^{\circ}} = \frac{2 cos 5 0 ^{\circ} + 2 3 sin 5 0 ^{\circ}}{sin 5 0 ^{\circ} cos 5 0 ^{\circ}}

分子疊合：

2 cos 5 0^{\circ} + 23 sin 5 0^{\circ} = 4 (sin 5 0^{\circ} cos 3 0^{\circ} + cos 5 0^{\circ} sin 3 0^{\circ}) = 4 sin 8 0^{\circ}

。分母用倍角公式：

sin 5 0^{\circ} cos 5 0^{\circ} = \frac{1}{2} sin 10 0^{\circ} = \frac{1}{2} sin 8 0^{\circ}

。原式

= \frac{4 sin 8 0 ^{\circ}}{\frac{1}{2} sin 8 0 ^{\circ}} = 8

。

原檔的分數線與根號沒有畫出來，殘留的字元是

2

、

2

、

3

、加號與

sin 5 0^{\circ}

、

cos 5 0^{\circ}

；讀成上面的式子時值恰為學校答案

8

。

第 15 題先求

∠ A

：

cos A = \frac{5 ^{2} + 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \times 5 \times 7} = \frac{1}{7}

，

sin A = \frac{4 3}{7}

。正三角形向外作，

∠ D A B = ∠ C A E = 6 0^{\circ}

，繞

A

一圈是

36 0^{\circ}

，所以

∠ D A E = 36 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - A = 24 0^{\circ} - A

。

sin (24 0^{\circ} - A) = sin 24 0^{\circ} cos A - cos 24 0^{\circ} sin A = - \frac{3}{2} \times \frac{1}{7} + \frac{1}{2} \times \frac{4 3}{7} = \frac{3 3}{14}

\overline{A D} = 5

、

\overline{A E} = 7

，

△ A D E

面積

= \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \frac{3 3}{14} = \frac{15 3}{4}

。

A

大約

8 2^{\circ}

，

A + 12 0^{\circ}

已經超過

18 0^{\circ}

，所以

△ A D E

在

A

的內角是從另一邊量的

24 0^{\circ} - A

。

06混合題（第 16～18 題）：建蔽率、用夾角表示邊長、疊合解方程式

第 16 題答案 (C)。基地面積

4 0^{2} = 1600

，大樓底座面積

a^{2}

。建蔽率

\frac{200}{3} % = \frac{2}{3}

，所以

\frac{a ^{2}}{1600} = \frac{2}{3}

，

a^{2} = \frac{3200}{3}

，

a = \frac{40 2}{3} = \frac{40 6}{3}

公尺。

\frac{200}{3} %

約

66.7%

，沒有超過法規的

70%

。原檔各選項的根號沒有畫出來，依殘留的數字還原。

第 17 題圖中

F

在

\overline{A B}

上、

G

在

\overline{B C}

上，

∠ B F G = θ

，

\overline{F G} = \overline{G H} = a

。在直角三角形

B GF

中（

∠ B = 9 0^{\circ}

），

\overline{B G} = \overline{F G} sin θ = a sin θ

。

∠ B GF = 9 0^{\circ} - θ

，

∠ F G H = 9 0^{\circ}

，所以

∠ H GC = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - θ) = θ

。在直角三角形

H GC

中（

∠ C = 9 0^{\circ}

），

\overline{GC} = \overline{H G} cos θ = a cos θ

。代入

a = \frac{40 6}{3}

：

\overline{B G} = \frac{40 6}{3} sin θ

，

\overline{GC} = \frac{40 6}{3} cos θ

。

這一小題與學校答案卷附的參考解法相同。兩個直角三角形

B GF

、

C H G

其實全等，所以

\overline{GC} = \overline{B F}

。

第 18 題

\overline{B G} + \overline{GC} = \overline{B C} = 40

，所以

\frac{40 6}{3} (sin θ + cos θ) = 40

，

sin θ + cos θ = \frac{3}{6} = \frac{6}{2}

。疊合：

sin θ + cos θ = 2 sin (θ + \frac{π}{4})

，所以

sin (θ + \frac{π}{4}) = \frac{6}{2 2} = \frac{3}{2}

。

0 < θ < \frac{π}{2}

時

\frac{π}{4} < θ + \frac{π}{4} < \frac{3}{4} π

，這個範圍內正弦值為

\frac{3}{2}

的角有

\frac{π}{3}

與

\frac{2}{3} π

。所以

θ = \frac{π}{12}

或

\frac{5}{12} π

。

兩個答案互為餘角，對應的是同一個底座左右翻過來的兩種擺法，都符合要求，兩個都要寫。

看到正弦與餘弦的一次式相加，先疊合成單一正弦，再回頭對照角度的範圍：求極值時看範圍內正弦值的最大最小，解方程式時把範圍內的解全部列出來。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高師大附中 110 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充 A 要分餘弦值正負兩種情形，再用圖形一段一段數交點，容易漏掉原點那個根或少算一個區間；填充 G 問的是總長最長時的弦長，疊合後要換回弦長而不是直接寫最大值；填充 H 的最小值出現在範圍端點；填充 J 要先判斷夾角是兩百四十度減去角 A。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自高師大附中 110 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

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01單選題（第 1、2 題）：和差角與等差中項、滾動的圓

02多選題（第 3～5 題）：半角的象限、弧度的大小感、由對稱軸定係數

03填充 A～C（第 6～8 題）：數交點、兩個扇形、由極值定正弦函數

04填充 D～F（第 9～11 題）：和角求角度、正切和角、圓周角與半角

05填充 G～J（第 12～15 題）：疊合求最大值、依範圍求極值、通分化簡、向外作正三角形

06混合題（第 16～18 題）：建蔽率、用夾角表示邊長、疊合解方程式

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