段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

苑裡高中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 苑裡高中 110 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 苑裡高中 110 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 19 題要先用倍角公式降次再疊合，而且範圍受限，最大值出現在端點而不是振幅；第 12 題扇形的半徑沒有直接給，要由圓與兩條半徑、與弧都相切求出來；第 9 題的 b 要把平移量乘上 x 的係數，容易把平移量直接當成 b；第 14 題要看出式子是正弦三倍角的變形；第 5 題要疊合後比較角度離 135 度多遠。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 5 題與填充題 10 題 14 格合併計分，共 19 格，依答案卷印的答對格數對照表給分（答對 1 格 7 分、2 格 14 分，之後每格加分遞減，19 格全對 80 分）；多重選擇題 4 題，每題 5 分，答錯一個選項扣 2 分，共 20 分；合計 100 分。卷面各大題各自從 1 編號，本頁接續編號：單選 1～5 為第 1～5 題，多重選擇 1～4 為第 6～9 題，填充 1～10 為第 10～19 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

一、單選題（與填充題合併計分）

若

a = sin 2

，則下列何者正確？

(A) $- \frac{2}{2} < a < - \frac{1}{2}$
(B) $- \frac{3}{2} < a < - \frac{2}{2}$
(C) $\frac{1}{2} < a < \frac{2}{2}$
(D) $\frac{2}{2} < a < \frac{3}{2}$
(E) $\frac{3}{2} < a < 1$

已知扇形之圓心角

4 5^{\circ}

，半徑為

2

，則此扇形之弧長為

(A) $\frac{π}{2}$
(B) $\frac{π}{4}$
(C) $\frac{π}{8}$
(D) $π$
(E) $2 π$

函數

y = - 2 sin (2 π x - 2) + 2

最大值為

a

，最小值為

b

，週期為

c

，振幅為

d

。求

a + b + c + d =

(A) $5$
(B) $6$
(C) $7$
(D) $8$
(E) $9$

求

sin 6 8^{\circ} cos 2 3^{\circ} - cos 6 8^{\circ} sin 2 3^{\circ}

之值為

(A) $\frac{3}{2}$
(B) $\frac{2}{2}$
(C) $0$
(D) $- \frac{2}{2}$
(E) $\frac{3}{2}$

下列哪一個數值最接近

2

？

(A) $cos 7 4^{\circ} + 3 sin 7 4^{\circ}$
(B) $cos 8 4^{\circ} + 3 sin 8 4^{\circ}$
(C) $cos 9 4^{\circ} + 3 sin 9 4^{\circ}$
(D) $cos 10 4^{\circ} + 3 sin 10 4^{\circ}$
(E) $cos 11 4^{\circ} + 3 sin 11 4^{\circ}$

二、多重選擇題（每題 5 分，答錯一個選項扣兩分，扣至零分為止，共 4 題合計 20 分）

設

sin θ = \frac{4}{5}

，且

θ

為第二象限角，選出正確的選項？

(A) $cos θ = - \frac{3}{5}$
(B) $tan θ = - \frac{4}{3}$
(C) $tan (π - θ) = - \frac{4}{3}$
(D) $sin (\frac{π}{2} + θ) = - \frac{4}{5}$
(E) $tan (π + θ) = - \frac{4}{3}$

關於三角函數的敘述，下列哪些正確？

(A) $sin 3 > 0$
(B) $cos 3 > 0$
(C) $sin 3 < \frac{1}{2}$
(D) $∣ cos 3∣ < \frac{1}{2}$
(E) $∣ sin 3∣ < ∣ cos 3∣$

已知

27 0^{\circ} < θ < 36 0^{\circ}

且

cos θ = \frac{3}{5}

，下列敘述何者正確？

(A) $sin θ = \frac{4}{5}$
(B) $cos 2 θ = - \frac{7}{25}$
(C) $cos \frac{θ}{2} = - \frac{2}{5}$
(D) $tan \frac{θ}{2} = - \frac{2}{2}$
(E) $cos 3 θ = - \frac{117}{125}$

附圖為三角函數

y = 3 sin (a x - b)

的部分圖形，其中

a > 0

，則下列各項敘述何者正確？

(A) $B (0, - 3)$
(B) $b = \frac{π}{6}$
(C) $C (\frac{5 π}{6}, 0)$
(D) $y$ 的週期為 $\frac{2 π}{3}$
(E) 其圖形可由 $y = 3 sin 3 x$ 向右平移 $\frac{π}{6}$ 而得

載入中...

三、填充題（與單選題合併計分，配分如答案卷所示。）

(1)

1 8^{\circ} =

____ 弧度　(2)

\frac{7 π}{12} =

____ 度。　(3) 求

cos 37. 5^{\circ} cos 7. 5^{\circ} + sin 37. 5^{\circ} sin 7. 5^{\circ}

之值為 ____。　(4) 求

2 sin 22. 5^{\circ} cos 22. 5^{\circ}

之值為 ____。　(5) 化簡

\frac{3}{sin 2 0 ^{\circ}} - \frac{1}{cos 2 0 ^{\circ}} =

____。

求方程式

tan x = - 2 x

在

- π \leq x \leq π

的解的個數為 ____。

如附圖，扇形的圓心角

\frac{π}{3}

，圓

O

的半徑

1

公分且與扇形相切，則灰色部分的面積為 ____ 平方公分。

載入中...

試求不等式

sin x \geq \frac{1}{2}

在

0 \leq x \leq 2 π

的範圍內的解為 ____。

若

x = sin 1 0^{\circ}

，求

8 x^{3} - 6 x + 5

之值為 ____。

若

sin θ

為方程式

6 x^{2} - 7 x - 3 = 0

之一根，求

cos 2 θ =

____。

求兩直線

L_{1}

：

y = 2 x - 1

與

L_{2}

：

y = \frac{1}{3} x + 4

的夾角為 ____。

設

27 0^{\circ} < α < 36 0^{\circ}

，

9 0^{\circ} < β < 18 0^{\circ}

且

cos α = \frac{3}{5}

，

sin β = \frac{12}{13}

，則

tan (α - β) =

____。

將

3 sin x + cos x

化成

a sin (x + θ)

，其中

a > 0

，且

0 < θ < 2 π

，求數對

(a, θ) =

____。

設

\frac{π}{2} \leq x \leq π

，

f (x) = 2 sin^{2} x + sin x cos x + cos^{2} x

，當

x = φ

時，

f (x)

之最大值為

M

，則數對

(φ, M) =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(A)

第 3 題(C)

第 4 題(B)

第 5 題(D)

第 6 題(A)(B)(E)

第 7 題(A)(C)(E)

第 8 題(B)(C)(E)

第 9 題(A)(C)(D)(E)

第 10 題(1)

\frac{π}{10}

　(2)

105

　(3)

\frac{3}{2}

　(4)

\frac{2}{2}

　(5)

4

第 11 題

3

第 12 題

\frac{π}{2}

第 13 題

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{5 π}{6}

第 14 題

4

第 15 題

\frac{7}{9}

第 16 題

\frac{π}{4}

或

\frac{3 π}{4}

第 17 題

\frac{16}{63}

第 18 題

(2, \frac{π}{6})

第 19 題

(\frac{π}{2}, 2)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：弧度角的正弦值、扇形弧長、正弦型函數的基本量

第 1 題答案 (E)。這裡的

2

是

2

弧度。

\frac{π}{2} \approx 1.57

，

\frac{2 π}{3} \approx 2.09

，所以

\frac{π}{2} < 2 < \frac{2 π}{3}

，

2

弧度在第二象限。正弦在

\frac{π}{2}

到

π

之間遞減，所以

sin \frac{2 π}{3} < sin 2 < sin \frac{π}{2}

，即

\frac{3}{2} < a < 1

。

2

弧度約

114. 6^{\circ}

，介於

9 0^{\circ}

與

12 0^{\circ}

之間。(A)(B) 是負的範圍，但第二象限角的正弦為正。

第 2 題答案 (A)。

4 5^{\circ} = \frac{π}{4}

弧度。弧長

=

半徑

\times

圓心角（弧度）

= 2 \times \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

。

弧長公式裡的圓心角要用弧度；直接拿

45

去乘就錯了。

第 3 題答案 (C)。

- 1 \leq sin (2 π x - 2) \leq 1

，乘上

- 2

後

- 2 \leq - 2 sin (2 π x - 2) \leq 2

，再加

2

得

0 \leq y \leq 4

，所以

a = 4

、

b = 0

。週期

c = \frac{2 π}{2 π} = 1

。振幅

d = ∣ - 2∣ = 2

。

a + b + c + d = 4 + 0 + 1 + 2 = 7

。

振幅是正數，取係數的絕對值；括號裡的

- 2

只影響左右平移，與這四個量無關。

弧度角先用 π 約等於 3.14 找出它夾在哪兩個特別角之間，再用正弦的增減判斷大小。

02單選題：差角公式與疊合

第 4 題答案 (B)。這是

sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B

的展開式：原式

= sin (6 8^{\circ} - 2 3^{\circ}) = sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

。

卷面的選項 (A) 與 (E) 印的是同一個數

\frac{3}{2}

，兩個都不是答案，不影響作答。

第 5 題答案 (D)。疊合：

cos θ + 3 sin θ = 2 (sin θ \cdot \frac{3}{2} + cos θ \cdot \frac{1}{2}) = 2 (sin θ cos 3 0^{\circ} + cos θ sin 3 0^{\circ}) = 2 sin (θ + 3 0^{\circ})

。五個選項依序是

2 sin 10 4^{\circ}

、

2 sin 11 4^{\circ}

、

2 sin 12 4^{\circ}

、

2 sin 13 4^{\circ}

、

2 sin 14 4^{\circ}

。而

2 = 2 \times \frac{2}{2} = 2 sin 13 5^{\circ}

。正弦在

9 0^{\circ}

到

18 0^{\circ}

之間遞減，五個值由大到小排列，

2

夾在 (D) 與 (E) 之間。(D) 的角

13 4^{\circ}

與

13 5^{\circ}

只差

1^{\circ}

：

2 sin 13 4^{\circ} = 2 sin 4 6^{\circ} \approx 1.439

；(E) 的角差了

9^{\circ}

：

2 sin 14 4^{\circ} = 2 sin 3 6^{\circ} \approx 1.176

。

2 \approx 1.414

，與 (D) 相差約

0.025

，與 (E) 相差約

0.239

，最接近的是 (D)。

(A)(B)(C) 的值都比 (D) 更大，離

2

更遠。判斷的依據是數值的差（約

0.025

對

0.239

），不是角度的差；正弦不是等速變化，角度接近只是用來找出候選的選項 (D) 與 (E)，最後還是要比數值。

看到同一個角的正弦與餘弦相加，先疊合成單一正弦再比較。

03多重選擇題：第二象限角的三角函數值、3 弧度的正餘弦

第 6 題答案 (A)(B)(E)。

cos^{2} θ = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}

，

θ

在第二象限，餘弦為負，

cos θ = - \frac{3}{5}

；

tan θ = \frac{s i n θ}{c o s θ} = - \frac{4}{3}

。(A) 對。(B) 對。(C) 錯：

tan (π - θ) = - tan θ = \frac{4}{3}

。(D) 錯：

sin (\frac{π}{2} + θ) = cos θ = - \frac{3}{5}

，不是

- \frac{4}{5}

。(E) 對：正切的週期是

π

，

tan (π + θ) = tan θ = - \frac{4}{3}

。

π - θ

是補角，正切變號；

π + θ

多轉半圈，正切不變。

第 7 題答案 (A)(C)(E)。

\frac{5 π}{6} \approx 2.62

，

π \approx 3.14

，所以

\frac{5 π}{6} < 3 < π

，

3

弧度在第二象限。(A) 對：第二象限角的正弦為正。(B) 錯：第二象限角的餘弦為負。(C) 對：正弦在

\frac{π}{2}

到

π

之間遞減，

sin 3 < sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

。(D) 錯：餘弦在

0

到

π

之間遞減，

cos 3 < cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}

，所以

∣ cos 3∣ > \frac{3}{2} > \frac{1}{2}

。(E) 對：由 (C)(D)，

∣ sin 3∣ < \frac{1}{2} < \frac{3}{2} < ∣ cos 3∣

。

3

弧度約

171. 9^{\circ}

，很接近

18 0^{\circ}

，所以正弦接近

0

、餘弦接近

- 1

。

弧度角的大小比較，都先找它夾在哪兩個特別角之間。

04多重選擇題：倍角半角與三倍角、由圖形決定正弦型函數

第 8 題答案 (B)(C)(E)。

θ

在第四象限，

sin θ = - 1 - \frac{9}{25} = - \frac{4}{5}

。(A) 錯：正負號相反。(B) 對：

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = \frac{18}{25} - 1 = - \frac{7}{25}

。(C) 對：

13 5^{\circ} < \frac{θ}{2} < 18 0^{\circ}

，在第二象限，餘弦為負；

cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + c o s θ}{2} = \frac{4}{5}

，所以

cos \frac{θ}{2} = - \frac{2}{5}

。(D) 錯：

sin^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - c o s θ}{2} = \frac{1}{5}

，第二象限正弦為正，

sin \frac{θ}{2} = \frac{1}{5}

，

tan \frac{θ}{2} = \frac{1}{5} \div (- \frac{2}{5}) = - \frac{1}{2}

。(E) 對：

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = - \frac{24}{25}

，由和角公式

cos 3 θ = cos 2 θ cos θ - sin 2 θ sin θ = (- \frac{7}{25}) (\frac{3}{5}) - (- \frac{24}{25}) (- \frac{4}{5}) = - \frac{21}{125} - \frac{96}{125} = - \frac{117}{125}

半角的正負號由

\frac{θ}{2}

所在的象限決定，不是由

θ

的象限決定。

第 9 題答案 (A)(C)(D)(E)。圖形在

x = \frac{π}{6}

由下往上通過

x

軸，在

x = \frac{π}{3}

到最高點，在

x = \frac{π}{2}

由上往下通過

x

軸。從上升的零點到最高點是四分之一個週期：

\frac{π}{3} - \frac{π}{6} = \frac{π}{6}

，週期為

4 \times \frac{π}{6} = \frac{2 π}{3}

；

a > 0

，所以

\frac{2 π}{a} = \frac{2 π}{3}

，

a = 3

。

y = 3 sin 3 x

在

x = 0

由下往上通過

x

軸，現在這個位置移到

x = \frac{π}{6}

，所以圖形是

y = 3 sin 3 x

向右平移

\frac{π}{6}

：

y = 3 sin 3 (x - \frac{π}{6}) = 3 sin (3 x - \frac{π}{2})

。(A) 對：

x = 0

時

y = 3 sin (- \frac{π}{2}) = - 3

，

B

是圖形與

y

軸的交點。(B) 錯：若

b = \frac{π}{6}

，

x = \frac{π}{6}

時

y = 3 sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{6}) = 3 sin \frac{π}{3} \neq = 0

，與圖不合。(C) 對：

C

是下一個由下往上通過

x

軸的點，與

x = \frac{π}{6}

相差一個週期，

\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} = \frac{5 π}{6}

。(D) 對。(E) 對。

題目沒有限定

b

的範圍，

b

可以是

\frac{π}{2}

，也可以是

\frac{π}{2}

加減

2 π

的整數倍，但都不是

\frac{π}{6}

。(B) 是把平移量

\frac{π}{6}

當成

b

；平移量要乘上

a

才是

b

。

由圖形求正弦型函數：先看週期求出 x 的係數，再用一個已知的點決定平移。

05填充題：度與弧度互換、和差角與倍角的求值

第 10 題(1)

18 0^{\circ} = π

弧度，

1 8^{\circ} = 18 \times \frac{π}{180} = \frac{π}{10}

。(2)

\frac{7 π}{12} = \frac{7}{12} \times 18 0^{\circ} = 10 5^{\circ}

。(3) 這是

cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B

的展開式：原式

= cos (37. 5^{\circ} - 7. 5^{\circ}) = cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

。(4) 由倍角公式

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ

：原式

= sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

。(5) 通分：

\frac{3}{sin 2 0 ^{\circ}} - \frac{1}{cos 2 0 ^{\circ}} = \frac{3 cos 2 0 ^{\circ} - sin 2 0 ^{\circ}}{sin 2 0 ^{\circ} cos 2 0 ^{\circ}}

分子

= 2 (\frac{3}{2} cos 2 0^{\circ} - \frac{1}{2} sin 2 0^{\circ}) = 2 (sin 6 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} - cos 6 0^{\circ} sin 2 0^{\circ}) = 2 sin 4 0^{\circ}

。分母

= \frac{1}{2} sin 4 0^{\circ}

。所以原式

= 2 sin 4 0^{\circ} \div \frac{1}{2} sin 4 0^{\circ} = 4

。

(5) 的關鍵是分子疊合成

2 sin 4 0^{\circ}

、分母用倍角公式也變成

sin 4 0^{\circ}

，兩者正好約掉。

看到同一個角的正弦乘餘弦，想倍角公式；看到根號 3 配 1，想 60 度與 30 度的和差角。

06填充題：用圖形數解的個數、扇形與內切圓、正弦不等式

第 11 題解的個數就是

y = tan x

與直線

y = - 2 x

在

- π \leq x \leq π

的交點個數。

x = 0

時兩邊都是

0

，是一個解。在

0 < x < \frac{π}{2}

：

tan x > 0

而

- 2 x < 0

，沒有交點；

x = \frac{π}{2}

時正切沒有定義。在

\frac{π}{2} < x \leq π

：

tan x

由很大的負數一路遞增到

tan π = 0

，直線

y = - 2 x

則由

- π

一路遞減到

- 2 π

。靠近

\frac{π}{2}

時正切圖形在直線下方，到

x = π

時

0 > - 2 π

，正切圖形在直線上方；一個遞增、一個遞減，所以這一段恰有

1

個交點。兩個圖形都對稱於原點，所以

- π \leq x < - \frac{π}{2}

也恰有

1

個交點，

- \frac{π}{2} < x < 0

沒有交點。共

3

個解。

直線的斜率是負的，所以它與正切在

- \frac{π}{2}

到

\frac{π}{2}

之間的那一支只交在原點，另外兩個交點在左右兩支上。

第 12 題設扇形的頂點為

P

、半徑為

R

。圓

O

與扇形的兩條半徑都相切，所以

O

在圓心角的角平分線上，

P O

與每條半徑的夾角都是

\frac{π}{6}

。

O

到半徑的距離就是圓的半徑

1

，所以

P O \times sin \frac{π}{6} = 1

，

P O = 2

。圓

O

又與弧相切（內切），切點在

P O

的延長線上，所以

R = P O + 1 = 3

。扇形面積

= \frac{1}{2} R^{2} θ = \frac{1}{2} \times 9 \times \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}

，圓

O

的面積

= π

。灰色部分

= \frac{3 π}{2} - π = \frac{π}{2}

（平方公分）。

扇形的半徑題目沒有直接給，要由「與兩條半徑相切」求出

P O

，再由「與弧相切」求出

R

。

第 13 題在

0 \leq x \leq 2 π

內，

sin x = \frac{1}{2}

的解是

x = \frac{π}{6}

與

x = \frac{5 π}{6}

。由

y = sin x

的圖形，在這兩個角之間圖形位於直線

y = \frac{1}{2}

的上方（中間經過最高點

x = \frac{π}{2}

），其餘部分在下方。所以解為

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{5 π}{6}

。

不等式含等號，兩個端點都要算進去。

方程式的解數與不等式的範圍，都畫出兩個圖形來看誰在上、誰在下。

07填充題：三倍角與倍角

第 14 題先用和角與倍角公式推出正弦的三倍角：

sin 3 θ = sin (2 θ + θ) = sin 2 θ cos θ + cos 2 θ sin θ = 2 sin θ cos^{2} θ + (1 - 2 sin^{2} θ) sin θ

。把

cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ

代入，得

sin 3 θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ

。取

θ = 1 0^{\circ}

：

3 x - 4 x^{3} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。所以

8 x^{3} - 6 x = - 2 (3 x - 4 x^{3}) = - 1

，

8 x^{3} - 6 x + 5 = 4

。

看到

8 x^{3} - 6 x

與

1 0^{\circ}

，要聯想到

3 \times 1 0^{\circ} = 3 0^{\circ}

是特別角。

第 15 題

6 x^{2} - 7 x - 3 = (3 x + 1) (2 x - 3) = 0

，

x = - \frac{1}{3}

或

x = \frac{3}{2}

。因為

- 1 \leq sin θ \leq 1

，

\frac{3}{2}

不合，所以

sin θ = - \frac{1}{3}

。

cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}

。

只知道正弦值時，

cos 2 θ

用

1 - 2 sin^{2} θ

這個形式，不必先求餘弦，也不必管

θ

在哪個象限。

倍角公式有三種寫法，依手上有正弦還是餘弦來選。

08填充題：正切的差角公式

第 16 題設

L_{1}

、

L_{2}

與

x

軸正向的夾角分別為

θ_{1}

、

θ_{2}

，則

tan θ_{1} = 2

，

tan θ_{2} = \frac{1}{3}

（斜率就是傾斜角的正切）。兩直線的一個夾角是

θ_{1} - θ_{2}

：

tan (θ_{1} - θ_{2}) = \frac{tan θ _{1} - tan θ _{2}}{1 + tan θ _{1} tan θ _{2}} = \frac{2 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{2}{3}} = 1

θ_{1}

、

θ_{2}

都是銳角且

θ_{1} > θ_{2}

，所以

θ_{1} - θ_{2} = \frac{π}{4}

。兩直線相交有兩個互補的夾角，另一個是

π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}

。答：

\frac{π}{4}

或

\frac{3 π}{4}

（即

4 5^{\circ}

或

13 5^{\circ}

）。

兩直線的夾角有銳角與鈍角兩個，學校的答案兩個都列。

第 17 題

α

在第四象限：

sin α = - \frac{4}{5}

，

tan α = - \frac{4}{3}

。

β

在第二象限：

cos β = - \frac{5}{13}

，

tan β = - \frac{12}{5}

。代入正切的差角公式，分子

tan α - tan β = - \frac{4}{3} + \frac{12}{5} = \frac{16}{15}

，分母

1 + tan α tan β = 1 + \frac{48}{15} = \frac{63}{15}

。所以

tan (α - β) = \frac{16}{15} \div \frac{63}{15} = \frac{16}{63}

。

兩個角的正切都是負的，相乘為正，分母是

1

加上一個正數。先定象限再定正負號，是這題唯一容易出錯的地方。

斜率就是傾斜角的正切，兩直線的夾角用正切的差角公式。

09填充題：疊合與限制範圍的極值

第 18 題

(3)^{2} + 1^{2} = 2

，提出

2

：

3 sin x + cos x = 2 (\frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) = 2 (sin x cos \frac{π}{6} + cos x sin \frac{π}{6}) = 2 sin (x + \frac{π}{6})

。所以

a = 2

；

θ

要滿足

cos θ = \frac{3}{2}

且

sin θ = \frac{1}{2}

，在

0 < θ < 2 π

內只有

θ = \frac{π}{6}

。

(a, θ) = (2, \frac{π}{6})

。

sin x

的係數配

cos θ

、

cos x

的係數配

sin θ

，不要配反了寫成

\frac{π}{3}

。

第 19 題先整理：

f (x) = (sin^{2} x + cos^{2} x) + sin^{2} x + sin x cos x = 1 + sin^{2} x + sin x cos x

。用倍角公式降次：

sin^{2} x = \frac{1 - c o s 2 x}{2}

，

sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

，所以

f (x) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} (sin 2 x - cos 2 x)

疊合：

sin 2 x - cos 2 x = 2 (sin 2 x cos \frac{π}{4} - cos 2 x sin \frac{π}{4}) = 2 sin (2 x - \frac{π}{4})

，於是

f (x) = \frac{3}{2} + \frac{2}{2} sin (2 x - \frac{π}{4})

。

\frac{π}{2} \leq x \leq π

時

\frac{3 π}{4} \leq 2 x - \frac{π}{4} \leq \frac{7 π}{4}

。這一段裡正弦從

sin \frac{3 π}{4} = \frac{2}{2}

一路降到

sin \frac{3 π}{2} = - 1

，再升到

sin \frac{7 π}{4} = - \frac{2}{2}

，最大值是左端點的

\frac{2}{2}

，發生在

2 x - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}

，即

x = \frac{π}{2}

。

M = \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \times \frac{2}{2} = 2

。

(φ, M) = (\frac{π}{2}, 2)

。

驗算：

f (\frac{π}{2}) = 2 \times 1 + 0 + 0 = 2

。範圍內

2 x - \frac{π}{4}

走不到

\frac{π}{2}

，所以最大值不是

\frac{3}{2} + \frac{2}{2}

，要看端點。

二次的正餘弦式先用倍角公式降次，再疊合；有範圍限制時把整個角的範圍寫出來再找極值。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

苑裡高中 110 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 110 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 19 題要先用倍角公式降次再疊合，而且範圍受限，最大值出現在端點而不是振幅；第 12 題扇形的半徑沒有直接給，要由圓與兩條半徑、與弧都相切求出來；第 9 題的 b 要把平移量乘上 x 的係數，容易把平移量直接當成 b；第 14 題要看出式子是正弦三倍角的變形；第 5 題要疊合後比較角度離 135 度多遠。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自苑裡高中 110 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

苑裡高中 110 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 19 題，照原卷順序

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每一題，錯在哪一步

01單選題：弧度角的正弦值、扇形弧長、正弦型函數的基本量

02單選題：差角公式與疊合

03多重選擇題：第二象限角的三角函數值、3 弧度的正餘弦

04多重選擇題：倍角半角與三倍角、由圖形決定正弦型函數

05填充題：度與弧度互換、和差角與倍角的求值

06填充題：用圖形數解的個數、扇形與內切圓、正弦不等式

07填充題：三倍角與倍角

08填充題：正切的差角公式

09填充題：疊合與限制範圍的極值

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常見問題

苑裡高中 110 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

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苑裡高中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

苑裡高中 110 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

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