段考詳解範圍：高一數學第一、二冊全部，加上選修數學乙上冊單元 1（數列的極限與無窮等比級數）

平鎮高中 110 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 平鎮高中 110 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 平鎮高中 110 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題容易漏掉 x 等於負 5 這個讓平方因式為零的整數解；第 9 題的 c 是把局部近似直線展開後的常數項 7，不是對稱中心的 y 坐標；選填 F（本頁第 16 題）的獲利要扣掉自己出的 50 元，而且三人都出不同的拳也算平手，答案是負的；選填 G（第 17 題）要先求三條直線的三個交點再扣掉圓面積。第 1 題卷面的式子算出來不在選項中，學校公布送分。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 5 題（占 25 分，每題 5 分）、多選題 5 題（占 25 分；全對 5 分，答錯 1 個選項 3 分，答錯 2 個選項 1 分）、選填題 A 至 J 共 10 題（占 50 分，每題 5 分），合計 100 分；全卷畫卡作答。原卷選填題號 A～J，本頁編為第 11～20 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，19 題一致；第 1 題學校公布送分。

一、單選題（占 25 分）：第 1 題至第 5 題，每題有 5 個選項，其中只有 1 個是正確或最適當的選項。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於 1 個選項者，該題以 0 分計算。

已知

m, n

為實數，若多項式

x^{5} + x^{4} + x^{3} + m x + 2 x + n

可被

x^{2} + x + 2

整除，則

m + n

的值為？（本站註：多項式照卷面原式，第四項印作

m x

；照卷面計算的結果不在選項中，學校公布此題送分）

(1) $15$
(2) $11$
(3) $5$
(4) $- 5$
(5) $- 7$

試求滿足不等式

(x + 5)^{2} (2 x + 3) (x - 19) \leq 0

的整數解有幾個？

(1) $5$
(2) $6$
(3) $7$
(4) $8$
(5) $9$

如右圖，設

D

為

\overline{A B}

上一點，已知

\overline{A C} = 3

，

\overline{B C} = 6

，

∠ C D B = 2∠ C A B

，

\overline{B D} = 2 \overline{A D}

，則

\overline{A D}

長為何？

(1) $3$
(2) $2$
(3) $6$
(4) $22$
(5) $3$

載入中...

有六組數據 A~F，若數據 A：

1, 2, 3, 4

、數據 B：

10, 20, 30, 40

、數據 C：

3, 4, 5, 6

、數據 D：

1, 4, 7, 10

、數據 E：

207, 208, 209, 210

、數據 F：

1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4

，則標準差相等的數據組別為？

(1) A、F
(2) B、D
(3) A、C、E
(4) A、B、C、E
(5) A、C、E、F

假設有一個颱風正在臺灣東南方形成，氣象局定位後可在坐標平面上用圓方程式

x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y + 9 = 0

（單位：百公里）來表示暴風圈的範圍。現在因太平洋副熱帶高氣壓，此圓的圓心向右平移

1

單位、向上平移

4

單位，且暴風半徑縮小成原來的一半，則此新的圓方程式為何？

(1) $x^{2} + y^{2} + 8 x + 12 = 0$
(2) $x^{2} + y^{2} - 8 x + 12 = 0$
(3) $x^{2} + y^{2} - 16 y + 60 = 0$
(4) $x^{2} + y^{2} + 4 x - 16 y + 64 = 0$
(5) $x^{2} + y^{2} - 4 x + 16 y + 64 = 0$

二、多選題（占 25 分）：第 6 題至第 10 題，每題有 5 個選項，其中至少有 1 個選項是正確的。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以 0 分計算。

設

a, b, c

為實數且滿足

lo g a = 0.7

、

lo g b = 1.4

、

lo g c = 2.1

，試選出正確的選項？

(1) $a > 1$
(2) $10 < b < 100$
(3) $a + b = c$
(4) $b = 2 a$
(5) $c = a^{3}$

設

θ

為第二象限角，且

sin θ = \frac{12}{13}

，試選出正確的選項？

(1) $cos θ = - \frac{5}{13}$
(2) $sin (9 0^{\circ} + θ) = - \frac{12}{13}$
(3) $cos (9 0^{\circ} - θ) = \frac{5}{13}$
(4) $cos (θ - 18 0^{\circ}) = \frac{5}{13}$
(5) $tan (36 0^{\circ} - θ) = - \frac{12}{5}$

已知二維數據

X, Y

有

2021

筆數據

(x_{1}, y_{1})

，

(x_{2}, y_{2})

，

(x_{3}, y_{3})

，

\dots

，

(x_{2021}, y_{2021})

，其相關係數

r_{X, Y}

是

0.6

，且變數

Y

對

X

迴歸直線方程式是

y = \frac{2}{5} x + 3

，若變數

X

的平均數

μ_{X} = 15

，且標準差

σ_{X} = 3

，試選出正確的選項？

(1) $X$ 與 $Y$ 為正相關
(2) $Y$ 對 $X$ 的迴歸直線必過點 $(15, 6)$
(3) 變數 $Y$ 的標準差 $σ_{Y}$ 大於變數 $X$ 的標準差 $σ_{X}$
(4) 另一組新的變數 $5 - 2 X$ 與 $6 + Y$ 的相關係數為 $- 0.6$
(5) 若有一新數據 $x_{2025} = 500$ ，則可預測 $y_{2025} = 203$

設三次函數

y = f (x) = a x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 5

的廣域特徵函數圖形近似於

y = - 2 x^{3}

，又點

Q (h, k)

為

y = f (x)

圖形的對稱中心，且在

x = h

附近的局部特徵圖形近似於

y = b x + c

，試選出正確的選項？

(1) $a = - 2$
(2) $h = 1$
(3) $k = - 8$
(4) $b = 15$
(5) $c = - 8$

下列各選項的數列中，哪些是收斂數列？（數乙）

(1) $⟨ (5 - 1)^{n} ⟩$
(2) $⟨ (\frac{π}{4})^{n} ⟩$
(3) $⟨ \frac{2 n}{1 - 9 n} ⟩$
(4) $⟨ \frac{( - 1 ) ^{n}}{3} ⟩$
(5) $⟨ \frac{9 \cdot 2 ^{n}}{5 ^{n + 1}} ⟩$

三、選填題（占 50 分，每題 5 分）：第 A 至 J 題，每題完全答對得 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

跳水比賽的規則是由

7

名裁判員各自給選手評

0

10

的分數，再刪去其中最高分和最低分的分數，剩下

5

名裁判員的分數相加再乘以運動員跳水動作的難度係數，便得出該選手的實得成績。某次英國跳水金童 Tom Daley 參加比賽，判斷員判定難度係數為

4.8

，但是計分員算錯分數，因忘了刪去最高及最低分數，而算出的成績分數為

268.8

。已知裁判員給的最高分數為

10

分，最低分數為

6

分，請問 Tom Daley 正確的得分成績為？ ____。

將

1, 3, 5, 7

四個數字隨機填入右下方

2 \times 2

的方格中，每個方格中恰填一數字，數字可重複使用。試求事件「A 方格的數字等於 B 方格數字且 C 方格的數字大於 D 方格的數字」的機率為 ____。（請以最簡分數表之）

載入中...

設

a

、

b

為有理數且

(3 a + 2 b - 0.1 \overline{6})^{2} + (2 a + 3 b - 1. \overline{2})^{2} = 0

，則

a + b =

____。

滿足絕對值不等式

∣2 x - 7∣ \leq x

的實數

x

所形成的區間，其長度為何？ ____。

取一個面積為

96

的正方形，先將其等分成

4

個相同的小正方形，並將右上角和左下角的二個正方形塗色，如第 1 圖。再將第 1 圖中左上角的小正方形等分成

4

個更小的正方形，並將右上角和左下角的二個正方形塗色，如第 2 圖。重複以上步驟如此繼續下去，可得若干圖形。設

a_{n}

是第

n

個圖中塗色區域的面積，則

a_{4} =

____。

載入中...

阿東、阿西、阿南、阿北

4

個人一起玩遊戲，此遊戲規則是：由阿東做莊家，而阿西、阿南、阿北

3

個人玩「剪刀、石頭、布」猜拳。阿西、阿南、阿北

3

個人每人各出

50

元且莊家阿東出

60

元作為獎金；猜拳結果若是恰有

1

人獲勝，則該人得到所有獎金，若

2

人獲勝，則此

2

人平分所有獎金，但若

3

人平手，則所有獎金歸莊家阿東。請問阿西獲利的期望值為 ____ 元。

某一三角形公園，內部有一圓型池塘，圓形池塘與三邊均相切，如圖所示：若以圓與三直線表示，即為有一圓

C

與三直線

L_{1}

、

L_{2}

、

L_{3}

相切，其圖形之方程式分別為：

C : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 4 = 0

、

L_{1} : 4 x - 3 y = 3

、

L_{2} : y = 1

、

L_{3} : 3 x - 4 y = - 10

；若此公園不含池塘（圖中陰影處）之面積為

a + bπ

，則數對

(a, b) =

（____，____）。

載入中...

求

\frac{1}{3} + \frac{3}{9} + \frac{7}{27} + \dots + \frac{2 ^{n} - 1}{3 ^{n}} + \dots

的值？ ____。（數乙）

小雄、多拉 B 夢兩人輪流投擲一粒公正骰子，約定如下：當擲出點數為

1

或

6

時，此人獲勝；當擲出點數不為

1

或

6

時，改由另一人投擲。已知由小雄先投擲，求小雄獲勝的機率？ ____。（數乙）

若

n \to \infty lim \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{2 n ^{2} - 1} = a

，又

n \to \infty lim \frac{3 ^{n + 1} - 2 ^{n}}{2 \cdot 3 ^{n} + 2 ^{n + 1}} = b

，則

a + b =

____。（數乙）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題無（學校公布此題送分；照卷面的式子算得

m + n = - 1

，五個選項都不符，見詳解）

第 2 題(3)

第 3 題(3)

第 4 題(5)

第 5 題(4)

第 6 題(1)(2)(5)

第 7 題(1)(4)

第 8 題(1)(4)(5)

第 9 題(1)(3)(4)

第 10 題(2)(3)(5)

第 11 題

192

第 12 題

\frac{3}{32}

第 13 題

\frac{5}{18}

第 14 題

\frac{14}{3}

第 15 題

\frac{255}{4}

第 16 題

- \frac{10}{3}

第 17 題

(\frac{21}{2}, - 1)

第 18 題

\frac{3}{2}

第 19 題

\frac{3}{5}

第 20 題

\frac{7}{4}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題、多選第 9 題：多項式函數與不等式

第 1 題照卷面的式子，

m x + 2 x = (m + 2) x

，被除式是

x^{5} + x^{4} + x^{3} + (m + 2) x + n

。先處理前三項：

(x^{2} + x + 2) (x^{3} - x) = x^{5} + x^{4} + x^{3} - x^{2} - 2 x

，所以

x^{5} + x^{4} + x^{3} = (x^{2} + x + 2) (x^{3} - x) + x^{2} + 2 x

被除式

= (x^{2} + x + 2) (x^{3} - x) + x^{2} + (m + 4) x + n

。剩下的

x^{2} + (m + 4) x + n

再除一次：它等於

(x^{2} + x + 2) + (m + 3) x + (n - 2)

。餘式是

(m + 3) x + (n - 2)

，整除時餘式為

0

，得

m = - 3

、

n = 2

，

m + n = - 1

。五個選項都不是

- 1

，學校公布此題送分。

若第四項是

m x^{2}

（被除式為

x^{5} + x^{4} + x^{3} + m x^{2} + 2 x + n

），同樣的做法得餘式

(3 - m) x + (n - 2 m - 2)

，

m = 3

、

n = 8

，

m + n = 11

，是選項 (2)。這只是本站對卷面的推測；學校公布的處理是送分。

第 2 題答案 (3)。先看等於

0

的點：

x = - 5

時左邊是

0

，符合，是一個整數解。

x \neq = - 5

時

(x + 5)^{2} > 0

，可以約去，剩下

(2 x + 3) (x - 19) \leq 0

，解是

- \frac{3}{2} \leq x \leq 19

。因為

4^{2} < 19 < 5^{2}

，

19

在

4

與

5

之間，這一段的整數是

- 1, 0, 1, 2, 3, 4

共

6

個。連同

x = - 5

，一共

7

個。

有等號的不等式，平方因式等於

0

的那個點要另外放回去；漏掉

x = - 5

就會選成

6

個。

第 9 題答案 (1)(3)(4)。把

f (x)

改寫成

a (x - h)^{3} + p (x - h) + k

的樣子，對稱中心就是

(h, k)

，在

x = h

附近圖形近似於直線

y = p (x - h) + k

。 (1) 正確。

x

很大時圖形由最高次項決定，近似於

y = a x^{3}

，所以

a = - 2

。 (2) 錯誤。

- 2 (x - h)^{3}

展開後

x^{2}

項的係數是

6 h

，要等於

- 6

，所以

h = - 1

，不是

1

。 (3) 正確。

k = f (- 1) = 2 - 6 - 9 + 5 = - 8

。 (4) 正確。

- 2 (x + 1)^{3} = - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 6 x - 2

，與

f (x)

比較

x

項：

- 6 + p = 9

，

p = 15

。所以

f (x) = - 2 (x + 1)^{3} + 15 (x + 1) - 8

，在

x = - 1

附近近似於

y = 15 (x + 1) - 8 = 15 x + 7

，

b = 15

。 (5) 錯誤。由上式

c = 7

，不是

- 8

。

檢查常數項：

- 2 + 15 - 8 = 5

，與

f (x)

的常數項相同。

- 8

是對稱中心的

y

坐標

k

，局部近似直線的常數項

c

要把

15 (x + 1) - 8

展開才看得出來。

三次函數先寫成 a(x−h)³＋p(x−h)＋k：對稱中心、局部近似直線一次看完。

02多選第 6 題、選填 C、D（第 13、14 題）：數與式、常用對數

第 6 題答案 (1)(2)(5)。由常用對數的定義，

a = 1 0^{0.7}

、

b = 1 0^{1.4}

、

c = 1 0^{2.1}

。 (1) 正確。

0.7 > 0

，所以

a = 1 0^{0.7} > 1 0^{0} = 1

。 (2) 正確。

1 < 1.4 < 2

，所以

10 < 1 0^{1.4} < 100

。 (3) 錯誤。

a \times b = 1 0^{0.7 + 1.4} = 1 0^{2.1} = c

，是相乘等於

c

，不是相加。

a = 1 0^{0.7} > 1 0^{0.5} = 10 > 3

，且

b = a^{2} > a

，所以

c = a \times b > 3 b > a + b

。 (4) 錯誤。

b = 1 0^{1.4} = (1 0^{0.7})^{2} = a^{2}

；

a^{2} = 2 a

只有

a = 2

或

a = 0

時成立，而

a > 3

，所以

b \neq = 2 a

。 (5) 正確。

a^{3} = (1 0^{0.7})^{3} = 1 0^{2.1} = c

。

(3) 的數值：

a = 1 0^{0.7} \approx 5.01

、

b = a^{2} \approx 25.1

、

c = a^{3} \approx 125.9

，

a + b \approx 30.1

，與

c

差很多。

第 13 題兩個實數的平方相加等於

0

，兩個都要是

0

：

3 a + 2 b = 0.1 \overline{6}

，

2 a + 3 b = 1. \overline{2}

。先把循環小數化成分數。設

x = 0.1 \overline{6} = 0.1666 \dots

，則

100 x - 10 x = 16.666 \dots - 1.666 \dots = 15

，

x = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}

。

1. \overline{2} = 1 + \frac{2}{9} = \frac{11}{9}

。兩式相加：

5 (a + b) = \frac{1}{6} + \frac{11}{9} = \frac{3}{18} + \frac{22}{18} = \frac{25}{18}

，所以

a + b = \frac{5}{18}

。

題目只問

a + b

，兩式相加就夠，不必分別解出

a

、

b

（解出來是

a = - \frac{7}{18}

、

b = \frac{2}{3}

）。第一個循環小數只有

6

在循環。

第 14 題絕對值不會是負數，所以先有

x \geq 0

。

∣2 x - 7∣ \leq x

就是

- x \leq 2 x - 7 \leq x

。左半

- x \leq 2 x - 7

得

x \geq \frac{7}{3}

；右半

2 x - 7 \leq x

得

x \leq 7

。解是

\frac{7}{3} \leq x \leq 7

（這一段的

x

都是正的），

7 - \frac{7}{3} = \frac{14}{3}

就是區間的長度。

代端點檢查：

x = \frac{7}{3}

時

\frac{14}{3} - 7 = \frac{7}{3}

；

x = 7

時

∣14 - 7∣ = 7

，兩端都剛好取等號。

對數題先換回 10 的次方；平方和為 0 就是每一項都是 0。

03單選第 3、5 題、多選第 7 題、選填 G（第 17 題）：直線、圓與三角比

第 3 題答案 (3)。

∠ C D B

是三角形

A C D

的外角，等於

∠ C A D + ∠ A C D

。已知它是

∠ C A B

的

2

倍，所以

∠ A C D = ∠ C A D

，三角形

A C D

是等腰三角形，

\overline{C D} = \overline{A D}

。設

\overline{A D} = x

，則

\overline{C D} = x

，

\overline{B D} = 2 x

，

\overline{A B} = 3 x

。在等腰三角形

A C D

中，從

D

作

\overline{A C}

的高，垂足是

\overline{A C}

的中點，所以

cos A = \frac{3/2}{x} = \frac{3}{2 x}

。在三角形

A B C

用餘弦定理：

6^{2} = 3^{2} + (3 x)^{2} - 2 \times 3 \times 3 x \times \frac{3}{2 x} = 9 + 9 x^{2} - 27

9 x^{2} = 54

，

x^{2} = 6

，

x = 6

。

圖是示意圖，長度不照實際比例。檢查：

x = 6

時三邊是

3

、

6

、

36 \approx 7.35

，可以圍成三角形。

第 5 題答案 (4)。配方：

x^{2} + 6 x + 9 + y^{2} - 8 y + 16 = 16

，即

(x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 4^{2}

，圓心

(- 3, 4)

、半徑

4

。圓心向右

1

、向上

4

到

(- 2, 8)

，半徑變成

2

。新的圓是

(x + 2)^{2} + (y - 8)^{2} = 4

，展開得

x^{2} + y^{2} + 4 x - 16 y + 64 = 0

。

第 7 題答案 (1)(4)。第二象限角的

cos θ < 0

、

tan θ < 0

。

cos^{2} θ = 1 - (\frac{12}{13})^{2} = \frac{25}{169}

，取負的，

cos θ = - \frac{5}{13}

，

tan θ = - \frac{12}{5}

。 (1) 正確，如上。 (2) 錯誤。

sin (9 0^{\circ} + θ) = cos θ = - \frac{5}{13}

，不是

- \frac{12}{13}

。 (3) 錯誤。

cos (9 0^{\circ} - θ) = sin θ = \frac{12}{13}

，不是

\frac{5}{13}

。 (4) 正確。

cos (θ - 18 0^{\circ}) = cos (18 0^{\circ} - θ) = - cos θ = \frac{5}{13}

。 (5) 錯誤。

tan (36 0^{\circ} - θ) = tan (- θ) = - tan θ = \frac{12}{5}

，是正的。

第 17 題公園的面積是三條直線圍成的三角形，池塘是圓

C

，所求

=

三角形面積

-

圓面積。圓：

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 1

，圓心

(1, 2)

、半徑

1

，面積

π

。三角形的三個頂點：

L_{1}

與

L_{2}

：

y = 1

代入

4 x - 3 = 3

，得

(\frac{3}{2}, 1)

。

L_{2}

與

L_{3}

：

3 x - 4 = - 10

，得

(- 2, 1)

。

L_{1}

與

L_{3}

：第一式乘

4

、第二式乘

3

相減，

16 x - 9 x = 12 + 30

，

x = 6

，

y = 7

，得

(6, 7)

。前兩個頂點都在

y = 1

上，取這一邊當底，長

\frac{3}{2} - (- 2) = \frac{7}{2}

；高是第三個頂點到

y = 1

的距離

7 - 1 = 6

。三角形面積

= \frac{1}{2} \times \frac{7}{2} \times 6 = \frac{21}{2}

。所求

= \frac{21}{2} - π

，所以

(a, b) = (\frac{21}{2}, - 1)

。

圖是示意圖，形狀不照方程式的實際比例。題目說三條直線都與圓相切，可以用圓心到直線的距離檢查：到

L_{1}

是

\frac{∣4 - 6 - 3∣}{5} = 1

，到

L_{2}

是

2 - 1 = 1

，到

L_{3}

是

\frac{∣3 - 8 + 10∣}{5} = 1

，都等於半徑。

看到「角是另一個角的兩倍」先找外角，常常藏著等腰三角形。

04單選第 4 題、多選第 8 題、選填 A、B、F（第 11、12、16 題）：數據分析、排列組合與機率

第 4 題答案 (5)。A 的平均數是

2.5

，各筆與平均數的差是

\pm 0.5

、

\pm 1.5

，由

\frac{2 ( 0.25 + 2.25 )}{4} = 1.25

得到 A 的標準差。 C 是 A 每筆加

2

，E 是 A 每筆加

206

，整組平移不改變標準差，所以 C、E 與 A 相同。B 是 A 的

10

倍，標準差變成

10

倍。D 相鄰兩數差

3

，是

3 \times A - 2

，標準差變成

3

倍。F 是把 A 的每個數各寫兩次：平均數仍是

2.5

，差的平方和變成

2

倍、筆數也變成

2

倍，標準差不變。所以 A、C、E、F 四組的標準差相等。

這裡的標準差是除以筆數

n

的那一種（高一數據分析的定義）。

第 8 題答案 (1)(4)(5)。 (1) 正確。相關係數

0.6 > 0

，是正相關。 (2) 錯誤。迴歸直線一定通過兩個平均數所成的點

(μ_{X}, μ_{Y})

。代

x = 15

：

y = \frac{2}{5} \times 15 + 3 = 9

，所以通過

(15, 9)

，

μ_{Y} = 9

，不是

6

。 (3) 錯誤。迴歸直線的斜率

= r \times \frac{σ _{Y}}{σ _{X}}

，即

\frac{2}{5} = 0.6 \times \frac{σ _{Y}}{3}

，得

σ_{Y} = 2

，比

σ_{X} = 3

小。 (4) 正確。

X

乘上負數

- 2

會讓相關係數變號，

Y

乘上正數

1

不變號，加減常數都不影響，所以新的相關係數是

- 0.6

。 (5) 正確。用迴歸直線預測：

y = \frac{2}{5} \times 500 + 3 = 203

。

(5) 只是把

x = 500

代進迴歸直線。

500

離

X

的平均數

15

很遠，實際應用時這樣的預測不可靠，但題目問的是照迴歸直線算出的預測值。

第 11 題算錯的成績是

7

名裁判的分數全部相加再乘

4.8

，所以

7

個分數的和

= 268.8 \div 4.8 = 56

。刪去最高的

10

分與最低的

6

分，剩下

5

個分數的和

= 56 - 10 - 6 = 40

。正確成績

= 40 \times 4.8 = 192

。

也可以直接扣：

268.8 - (10 + 6) \times 4.8 = 268.8 - 76.8 = 192

。

第 12 題四個方格各有

4

種填法，全部

4^{4} = 256

種，機會均等。A、B 相同：A 填什麼 B 就填什麼，有

4

種。C 大於 D：從

1, 3, 5, 7

選兩個不同的數，大的給 C、小的給 D，有

C_{2}^{4} = 6

種。兩件事各管各的方格，合起來

4 \times 6 = 24

種，機率

= \frac{24}{256} = \frac{3}{32}

。

分開算也一樣：A 等於 B 的機率是

\frac{1}{4}

，C 大於 D 的機率是

\frac{6}{16} = \frac{3}{8}

，相乘得

\frac{3}{32}

。

第 16 題獎金共

50 \times 3 + 60 = 210

元。三人各有

3

種出法，共

3^{3} = 27

種，機會均等。阿西的獲利

=

拿到的獎金

-

自己出的

50

元。阿西一人獲勝：阿西出什麼，另外兩人都出輸給他的那一種，有

3

種；獲利

210 - 50 = 160

元。阿西與另一人一起獲勝：選一位同伴

2

種，兩人出的拳

3

種，第三人出輸的那一種，共

6

種；獲利

105 - 50 = 55

元。其餘

27 - 3 - 6 = 18

種（阿西輸，或三人平手），阿西拿不到獎金，獲利

- 50

元。

期望值 = \frac{3 \times 160 + 6 \times 55 + 18 \times ( - 50 )}{27} = \frac{480 + 330 - 900}{27} = - \frac{10}{3}

平手有兩種樣子：三人出一樣的（

3

種）與三人都不同（

6

種），共

9

種。答案是負的，表示阿西平均每玩一次虧

\frac{10}{3}

元。若忘了扣掉自己出的

50

元，會算成

\frac{140}{3}

。

資料整組平移，標準差不變；乘上 k 倍，標準差變成 |k| 倍。迴歸直線過平均數的點，斜率是相關係數乘上兩個標準差的比。

05多選第 10 題、選填 E、H、I、J（第 15、18、19、20 題）：數列、數列的極限與無窮等比級數

第 10 題答案 (2)(3)(5)。等比數列

⟨ r^{n} ⟩

在

- 1 < r \leq 1

時收斂，其餘發散。 (1) 發散。

5 \approx 2.236

，公比

5 - 1 \approx 1.236 > 1

，各項愈來愈大。 (2) 收斂。公比

\frac{π}{4} \approx 0.785

，在

0

與

1

之間，極限是

0

。 (3) 收斂。分子分母同除以

n

：

\frac{2}{\frac{1}{n} - 9}

，

n

愈大愈接近

- \frac{2}{9}

。 (4) 發散。各項是

- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \dots

，在兩個值之間跳動，不會靠近同一個數。 (5) 收斂。

\frac{9 \cdot 2 ^{n}}{5 ^{n + 1}} = \frac{9}{5} (\frac{2}{5})^{n}

，公比

\frac{2}{5}

在

0

與

1

之間，極限是

0

。

第 15 題第 1 圖：四個小正方形每個面積

96 \div 4 = 24

，塗兩個，

a_{1} = 48

。之後每一次都是把上一次左上角那一格再分成四格、塗其中兩格，新塗的面積是那一格的一半；而那一格每次縮成前一次的

\frac{1}{4}

，所以每次新塗的面積是前一次的

\frac{1}{4}

：

48, 12, 3, \frac{3}{4}

。

a_{4} = 48 + 12 + 3 + \frac{3}{4} = \frac{255}{4}

。

用等比數列的和檢查：首項

48

、公比

\frac{1}{4}

、共

4

項，

\frac{48 ( 1 - \frac{1}{256} )}{1 - \frac{1}{4}} = 64 \times \frac{255}{256} = \frac{255}{4}

。

第 18 題第

n

項拆成兩個等比數列：

\frac{2 ^{n} - 1}{3 ^{n}} = (\frac{2}{3})^{n} - (\frac{1}{3})^{n}

。兩個公比都在

- 1

與

1

之間，各自的無窮等比級數都收斂，可以分開求和：

\frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}} - \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

要先確定兩個級數各自收斂，才能拆開來算。

第 19 題每擲一次，擲出

1

或

6

的機率是

\frac{1}{3}

，沒擲出的機率是

\frac{2}{3}

。小雄在自己的第

1

、

2

、

3

、… 次投擲獲勝，前面要分別有

0

、

2

、

4

、… 次都沒擲出：

\frac{1}{3} + (\frac{2}{3})^{2} \times \frac{1}{3} + (\frac{2}{3})^{4} \times \frac{1}{3} + \dots

這是首項

\frac{1}{3}

、公比

\frac{4}{9}

的無窮等比級數，和

= \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{1}{3} \times \frac{9}{5} = \frac{3}{5}

。

先擲的人比較有利，機率大於

\frac{1}{2}

，

\frac{3}{5}

合理。

第 20 題第一個：分子

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{n ^{2} + n}{2}

。分子分母同除以

n^{2}

：

\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2 n}}{2 - \frac{1}{n ^{2}}} ⟶ \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}

所以

a = \frac{1}{4}

。第二個：分子分母同除以

3^{n}

，並把

3^{n + 1} = 3 \cdot 3^{n}

、

2^{n + 1} = 2 \cdot 2^{n}

拆開：

\frac{3 - ( \frac{2}{3} ) ^{n}}{2 + 2 ( \frac{2}{3} ) ^{n}} ⟶ \frac{3}{2}

所以

b = \frac{3}{2}

。

a + b = \frac{1}{4} + \frac{3}{2} = \frac{7}{4}

。

第一個極限的分子有

n

項相加，項數跟著

n

變，不能每一項分別取極限，要先求和。

分式型的極限同除以分母的最高次（或底數最大的指數）；無窮等比級數先確認公比在 −1 與 1 之間再用首項除以（1−公比）。

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03單選第 3、5 題、多選第 7 題、選填 G（第 17 題）：直線、圓與三角比

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