段考詳解範圍：第一章三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

建國中學 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 建國中學 110 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 建國中學 110 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題最右邊那半拱沒有交點，正的解三個、負的解四個，共七個；第 6 題括號裡差一整個週期的也是同一個圖形，所以向右平移的兩個選項也對；第 5 題選項 (4) 有度的符號，是三點一四度；第 13 題方程式有兩個解，其中一個擺法箱子會向外倒，不合穩定斜靠，只取五分之四。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

單選題 4 題（每題 6 分，共 24 分）、多選題 4 題（每題 8 分，共 32 分）、填充題 5 題（每題 6 分，共 30 分）、計算證明題 1 題（三小題 6 分＋4 分＋4 分，共 14 分），合計 100 分；卷面第四大題標題印「共32分」，與實際的 14 分不合。本頁題號 1～14 依序是卷面的單選 1～4、多選 1～4、填充 1～5、計算證明 1。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題（每題6分，共24分）

如圖，

△ A B C

是一個邊長為

a

的正三角形分別以

A, B, C

為圓心，

a

為半徑作三圓，此三圓共同部分稱為勒洛三角形(Reuleaux triangle)，是一個定寬曲線，由十九世紀的德國工程師 Franz Reuleaux 命名，則此勒洛三角形的面積為下列哪一個選項？

(1) $\frac{1}{6} (π - 3) a^{2}$
(2) $\frac{1}{4} (π - 3) a^{2}$
(3) $\frac{1}{4} (π + 3) a^{2}$
(4) $\frac{1}{2} (π - 3) a^{2}$
(5) $\frac{1}{2} (π + 3) a^{2}$

載入中...

設

0 \leq π \leq \frac{π}{2}

（卷面印作

π

，依題意應為

θ

，即

0 \leq θ \leq \frac{π}{2}

），若

3 cos^{2} θ - 2 sin θ cos θ + sin^{2} θ

的最大值為

M

，最小值為

m

。選出正確的選項。

(1) $M = 2 + 2$ ， $m = 3$
(2) $M = 3$ ， $m = 2 - 2$
(3) $M = 2 + 2$ ， $m = 2 - 2$
(4) $M = 3$ ， $m = 1$
(5) $M = 2$ ， $m = 1$

若

- 2 π \leq x \leq 2 π

，則方程式

cos 2 x = \frac{x}{6}

有幾個實數解？

(1) $5$
(2) $6$
(3) $7$
(4) $8$
(5) $9$

設

\frac{π}{2} < α < π

，

π < β < \frac{3 π}{2}

，且

sin α = \frac{2}{5}

，

cos β = - \frac{4}{5}

，則

cos (2 α + β)

之值為下列哪一個選項？

(1) $0$
(2) $\frac{5}{25}$
(3) $\frac{7 5}{25}$
(4) $- \frac{11 5}{25}$
(5) $- \frac{24}{25}$

二、多選題（每題8分，共32分）：每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得8分；答錯1個選項者，得5分；答錯2個選項者，得2分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

選出正確的選項。

(1) $\frac{3}{2} < cos 3 < 1$
(2) $\frac{1}{2} < sin 2 < \frac{3}{2}$
(3) $\frac{1}{3} < tan 1 < 3$
(4) $\frac{3}{2} < cos π^{\circ} < 1$
(5) $0 < sin π^{2} < 1$

在坐標平面上，經由下列哪些選項的作圖過程，可以得到與函數

y = sin (2 x + \frac{4 π}{3})

完全重疊的圖形。

(1) 將 $y = sin x$ 的圖形先沿 $x$ 軸方向水平伸縮 $\frac{1}{2}$ 倍，再向左平移 $\frac{4 π}{3}$ 單位
(2) 將 $y = sin x$ 的圖形先向左平移 $\frac{4 π}{3}$ 單位，再沿 $x$ 軸方向水平伸縮 $\frac{1}{2}$ 倍
(3) 將 $y = sin x$ 的圖形先沿 $x$ 軸方向水平伸縮 $\frac{1}{2}$ 倍，再向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 單位
(4) 將 $y = sin x$ 的圖形先向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 單位，再沿 $x$ 軸方向水平伸縮 $\frac{1}{2}$ 倍
(5) 將 $y = sin x$ 的圖形先沿 $x$ 軸方向水平伸縮 $\frac{1}{2}$ 倍，再向右平移 $\frac{π}{3}$ 單位

如圖為函數

f (x) = a sin (b x + c) + d

的部分圖形，其中

a > 0

，

b < 0

，

∣ c ∣ < π

。選出正確的選項。

(1) $a = 2$
(2) $b = - 1$
(3) $c$ 的值不唯一
(4) $d = 3$
(5) 函數 $y = a sin (- b x + c) + d$ 的圖形與函數 $f (x)$ 的圖形相同

載入中...

下列哪些函數圖形的最小正週期為

π

。選出正確的選項。

(1) $y = 3 sin 2 x$
(2) $y = cos^{2} x$
(3) $y = 3 sin x + 4 cos x$
(4) $y = ∣ tan x ∣$
(5) $y = ∣ sin x - cos x ∣$

三、填充題（每題6分，共30分）：每題完全答對者，得6分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

已知函數

y = 2 sin (b x + c)

，

(b > 0, ∣ c ∣ < \frac{π}{2})

的圖形關於直線

x = \frac{5 π}{12}

對稱，且圖形上相鄰兩個最高點的距離為

\frac{2 π}{3}

，則數對

(b, c) =

____。

在

△ A B C

中，已知

∠ A, ∠ B, ∠ C

的對邊長分別為

a, b, c

，且

a = 20

，

cos A = - \frac{3}{5}

，

cos B = \frac{24}{25}

，則

△ A B C

的面積之值為 ____。

已知直線

L

過點

(1, 2)

，且與直線

3 x + 4 y = 5

之銳夾角為

\frac{π}{4}

，則直線

L

的方程式為 ____（兩解）。

如圖，設直角

△ A B C

中，

\overline{A C} = 24

，

\overline{A B} = 25

，

∠ C

為直角，延長

\overline{B C}

至點

D

（依附圖，

D

在

B

的外側）使

\overline{B D} = \overline{B A}

，且

∠ A D B

的內角平分線交

\overline{A B}

於點

E

，設

∠ E D B = θ

，則

sin 3 θ

之值為 ____。

載入中...

如圖，一長方體箱子穩定斜靠在牆壁上，且其側面

A B C D

為矩形，已知

\overline{A B} = 30

，

\overline{A D} = 40

，且牆角

∠ D O A

為直角，設

∠ D A O = x

弳，

(0 < x < \frac{π}{2})

，若

C

點到地面的距離為

48

，則此時的

cos x

之值為 ____。

載入中...

四、計算證明題（每題14分，共32分）：請寫出計算或證明過程，否則不予計分。

如圖，已知扇形

A O B

的圓心角

∠ A O B = \frac{2 π}{3}

，半徑為

1

，

C, D

是弧

A B

上的兩個動點，且滿足

∠ A O C = ∠ B O D = θ

，

(0 < θ < \frac{π}{3})

。若

\overline{C E} ⊥ \overline{O A}

於

E

點，

\overline{D F} ⊥ \overline{O B}

於

F

點。試回答下列問題：(1) 將三角形

△ O C D

的面積表示為

a sin 2 θ + b cos 2 θ

，求實數

a, b

之值。（6 分）　(2) 將五邊形

O E C D F

的面積表示為

p sin (2 θ + α)

的形式，其中

p > 0

，

∣ α ∣ < \frac{π}{2}

，求

α

之值。（4 分）　(3) 求五邊形

O E C D F

面積的最大值。（4 分）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(2)

第 3 題(3)

第 4 題(1)

第 5 題(3)(4)

第 6 題(2)(3)(4)(5)

第 7 題(1)(5)

第 8 題(1)(2)(4)(5)

第 9 題

(3, \frac{π}{4})

第 10 題

42

第 11 題

x - 7 y + 13 = 0

或

7 x + y - 9 = 0

第 12 題

\frac{13 10}{50}

第 13 題

\frac{4}{5}

（方程式另有一解 44/125，但那個擺法重心超出支點、箱子會向外倒，不合題目說的穩定斜靠）

第 14 題(1)

a = \frac{1}{4}

，

b = \frac{3}{4}

；(2)

α = \frac{π}{6}

；(3)

\frac{3}{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～4 題（單選題）：勒洛三角形、降次疊合、交點個數、倍角與和角

第 1 題答案 (4)。勒洛三角形由三段圓弧圍成：以

A

為圓心的弧

B C

、以

B

為圓心的弧

C A

、以

C

為圓心的弧

A B

。以

A

為圓心的扇形

A B C

半徑是

a

、圓心角是

\frac{π}{3}

，面積是

\frac{1}{2} a^{2} \cdot \frac{π}{3} = \frac{π}{6} a^{2}

。三個這樣的扇形疊起來蓋住整個勒洛三角形，其中正三角形

A B C

被算了三次，要扣掉兩次。正三角形的面積是

\frac{3}{4} a^{2}

，所以

3 \cdot \frac{π}{6} a^{2} - 2 \cdot \frac{3}{4} a^{2} = \frac{π}{2} a^{2} - \frac{3}{2} a^{2} = \frac{1}{2} (π - 3) a^{2} .

也可以看成「正三角形加上三個弓形」：一個弓形是

\frac{π}{6} a^{2} - \frac{3}{4} a^{2}

，結果相同。

第 2 題答案 (2)。用倍角公式降次：

cos^{2} θ = \frac{1 + c o s 2 θ}{2}

、

sin^{2} θ = \frac{1 - c o s 2 θ}{2}

、

2 sin θ cos θ = sin 2 θ

，所以

3 cos^{2} θ - 2 sin θ cos θ + sin^{2} θ = 2 + cos 2 θ - sin 2 θ = 2 + 2 cos (2 θ + \frac{π}{4}) .

0 \leq θ \leq \frac{π}{2}

時，

\frac{π}{4} \leq 2 θ + \frac{π}{4} \leq \frac{5 π}{4}

。餘弦在這一段先遞減到

π

、再回升：最大值在左端

\frac{π}{4}

，

cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2}

，

M = 2 + 2 \cdot \frac{2}{2} = 3

（此時

θ = 0

）；最小值在

2 θ + \frac{π}{4} = π

，

m = 2 - 2

（此時

θ = \frac{3 π}{8}

）。

θ

有範圍，最大值不是

2 + 2

：括號裡的角從

\frac{π}{4}

起算，走不到餘弦等於

1

的位置。題幹的範圍卷面印成

0 \leq π \leq \frac{π}{2}

，中間的字母應是

θ

。

第 3 題答案 (3)，共

7

個。實數解的個數就是

y = cos 2 x

與直線

y = \frac{x}{6}

在

- 2 π \leq x \leq 2 π

的交點個數。

y = cos 2 x

的週期是

π

，與

x

軸交於

x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}

。

x = 0

時左邊是

1

、右邊是

0

，不是解。

x > 0

：直線在

x

軸上方，只會與曲線在

x

軸上方的部分相交。在

0 < x < \frac{π}{4}

，曲線由

1

降到

0

，直線由

0

升到正的值，有

1

個交點。在

\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}

這一拱，兩端曲線是

0

、在直線下方，拱頂

x = π

處曲線是

1

，直線是

\frac{π}{6} \approx 0.52

，有

2

個交點。在

\frac{7 π}{4} < x \leq 2 π

，曲線遞增：

x \leq 6

時曲線不超過

cos 12 \approx 0.84

，而直線至少是

\frac{7 π}{24} \approx 0.92

；

6 < x \leq 2 π

時直線大於

1

。所以這一段沒有交點。

x < 0

：直線在

x

軸下方，只會與曲線在

x

軸下方的部分相交。在

- \frac{3 π}{4} < x < - \frac{π}{4}

這一拱，拱底

x = - \frac{π}{2}

處曲線是

- 1

，直線是

- \frac{π}{12} \approx - 0.26

，有

2

個交點。在

- \frac{7 π}{4} < x < - \frac{5 π}{4}

這一拱，拱底

x = - \frac{3 π}{2}

處曲線是

- 1

，直線是

- \frac{π}{4} \approx - 0.79

，也有

2

個交點。再往左到

- 2 π

曲線都在

x

軸上方，沒有交點。合計

1 + 2 + 2 + 2 = 7

個。

右端要特別看：

x = 2 π

時曲線是

1

，但直線是

\frac{π}{3} \approx 1.05

，已經高過曲線，所以最右邊那半拱一個交點也沒有，正的解只有三個、負的解有四個。

第 4 題答案 (1)。

α

是第二象限角：

cos α = - 1 - \frac{4}{5} = - \frac{1}{5}

。倍角公式：

sin 2 α = 2 \cdot \frac{2}{5} \cdot (- \frac{1}{5}) = - \frac{4}{5}

，

cos 2 α = 1 - 2 sin^{2} α = 1 - \frac{8}{5} = - \frac{3}{5}

。

β

是第三象限角：

sin β = - 1 - \frac{16}{25} = - \frac{3}{5}

。和角公式：

cos (2 α + β) = cos 2 α cos β - sin 2 α sin β = (- \frac{3}{5}) (- \frac{4}{5}) - (- \frac{4}{5}) (- \frac{3}{5}) = \frac{12}{25} - \frac{12}{25} = 0.

二次的

sin

、

cos

先用倍角公式降次再疊合；有範圍限制時，把範圍換成括號裡那個角的範圍再找極值。數交點要一拱一拱看，兩端特別檢查。

02第 5～8 題（多選題）：弧度的大小、平移伸縮的順序、由圖形定係數、最小正週期

第 5 題答案 (3)(4)。沒有度的符號就是弧度，用

π \approx 3.14

估計角落在哪一段。 (1) 不正確。

\frac{π}{2} < 3 < π

，

3

是第二象限角，

cos 3 < 0

。 (2) 不正確。

\frac{π}{2} < 2 < \frac{2 π}{3} \approx 2.09

，正弦在

\frac{π}{2}

到

π

之間遞減，所以

sin 2 > sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}

，超過右邊的界。 (3) 正確。

\frac{π}{6} \approx 0.52 < 1 < \frac{π}{3} \approx 1.05

，正切在

0

到

\frac{π}{2}

之間遞增，所以

tan \frac{π}{6} < tan 1 < tan \frac{π}{3}

，即

\frac{1}{3} < tan 1 < 3

。 (4) 正確。

π^{\circ}

約是

3.1 4^{\circ}

，在

0^{\circ}

與

3 0^{\circ}

之間，餘弦在這一段遞減，所以

cos 3 0^{\circ} < cos π^{\circ} < cos 0^{\circ}

，即

\frac{3}{2} < cos π^{\circ} < 1

。 (5) 不正確。

π^{2} - 3 π = π (π - 3) \approx 0.44

，所以

π^{2} = 3 π + δ

，其中

0 < δ < \frac{π}{2}

。

sin π^{2} = sin (3 π + δ) = - sin δ < 0

。

(4) 有度的符號，是

3.14

度，不是

π

弧度；

cos π = - 1

是另一回事。

第 6 題答案 (2)(3)(4)(5)。水平伸縮

\frac{1}{2}

倍是把

x

換成

2 x

；向左平移

h

是把

x

換成

x + h

，向右平移

h

是把

x

換成

x - h

。每一步都只對

x

本身代換。 (1) 不正確。

sin x \to sin 2 x \to sin 2 (x + \frac{4 π}{3}) = sin (2 x + \frac{8 π}{3}) = sin (2 x + \frac{2 π}{3})

，與

sin (2 x + \frac{4 π}{3})

不同（例如

x = 0

時一個是

\frac{3}{2}

、一個是

- \frac{3}{2}

）。 (2) 正確。

sin x \to sin (x + \frac{4 π}{3}) \to sin (2 x + \frac{4 π}{3})

。 (3) 正確。

sin x \to sin 2 x \to sin 2 (x + \frac{2 π}{3}) = sin (2 x + \frac{4 π}{3})

。 (4) 正確。

sin x \to sin (x - \frac{2 π}{3}) \to sin (2 x - \frac{2 π}{3})

，而

2 x - \frac{2 π}{3} = (2 x + \frac{4 π}{3}) - 2 π

，差一個週期，圖形相同。 (5) 正確。

sin x \to sin 2 x \to sin 2 (x - \frac{π}{3}) = sin (2 x - \frac{2 π}{3})

，與 (4) 的結果相同。

先伸縮再平移，平移量要乘上

x

的係數才是括號裡加的量；先平移再伸縮則不用。括號裡差

2 π

的整數倍是同一個圖形，所以向左與向右都可能做得到。

第 7 題答案 (1)(5)。由圖：最大值

3

（在

x = 0

與

x = π

）、最小值

- 1

（在

x = \frac{π}{2}

）。

a > 0

，所以

a = \frac{3 - ( - 1 )}{2} = 2

，

d = \frac{3 + ( - 1 )}{2} = 1

。相鄰兩個最高點相距

π

，週期是

π

，

\frac{2 π}{∣ b ∣} = π

，而

b < 0

，所以

b = - 2

。

x = 0

時是最高點：

sin c = 1

，在

∣ c ∣ < π

內只有

c = \frac{π}{2}

。所以

f (x) = 2 sin (- 2 x + \frac{π}{2}) + 1 = 2 cos 2 x + 1

；檢查

f (\frac{π}{3}) = 2 cos \frac{2 π}{3} + 1 = 0

，與圖上的

B

相符。 (1) 正確。

a = 2

。 (2) 不正確。

b = - 2

。 (3) 不正確。

∣ c ∣ < π

內滿足

sin c = 1

的只有

c = \frac{π}{2}

，是唯一的。 (4) 不正確。

d = 1

；

3

是最大值。 (5) 正確。

y = 2 sin (2 x + \frac{π}{2}) + 1 = 2 cos 2 x + 1

，與

f (x)

是同一個函數。

(5) 會成立是因為這個圖形對稱於

y

軸（

c = \frac{π}{2}

），把

x

換成

- x

圖形不變；一般的

c

不會有這個性質。

第 8 題答案 (1)(2)(4)(5)。 (1) 正確。

y = 3 sin 2 x

的週期是

\frac{2 π}{2} = π

。 (2) 正確。

cos^{2} x = \frac{1 + c o s 2 x}{2}

，週期是

\frac{2 π}{2} = π

。 (3) 不正確。疊合後

3 sin x + 4 cos x = 5 sin (x + φ)

，週期是

2 π

。 (4) 正確。

tan x

的週期是

π

，所以

∣ tan (x + π) ∣ = ∣ tan x ∣

；而

∣ tan x ∣ = 0

只發生在

x = k π

，相鄰兩個零點相距

π

，週期不可能更小。 (5) 正確。疊合後

sin x - cos x = 2 sin (x - \frac{π}{4})

，週期

2 π

；取絕對值後

x

軸下方的部分翻上來，

2 sin (x + π - \frac{π}{4}) = 2 sin (x - \frac{π}{4})

，週期變成

π

（相鄰兩個零點相距

π

，不可能更小）。

取絕對值不一定會讓週期減半：正弦、餘弦取絕對值後週期由

2 π

變成

π

，正切取絕對值後仍是

π

。

判斷弧度的三角函數值，先把角夾在兩個特殊角之間，再用遞增遞減比較。平移與伸縮都是對

x

本身代換，一步一步寫出來最不會錯。

03第 9～11 題（填充 1～3）：週期與對稱軸、三角形面積、兩直線的夾角

第 9 題相鄰兩個最高點的距離就是週期：

\frac{2 π}{b} = \frac{2 π}{3}

，

b = 3

。正弦函數圖形的對稱軸（鉛直線）一定通過最高點或最低點，所以

x = \frac{5 π}{12}

時

sin (3 x + c) = \pm 1

：

3 \cdot \frac{5 π}{12} + c = \frac{π}{2} + k π, c = - \frac{3 π}{4} + k π (k 是整數) .

在

∣ c ∣ < \frac{π}{2}

內只有

k = 1

，

c = \frac{π}{4}

。所以

(b, c) = (3, \frac{π}{4})

。

檢查：

x = \frac{5 π}{12}

時

3 x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2}

，是最低點，圖形確實對稱於這條直線。

第 10 題

cos A < 0

，

A

是鈍角，

sin A = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}

；

B

是銳角，

sin B = 1 - \frac{576}{625} = \frac{7}{25}

。正弦定理：

\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B}

，所以

b = 20 \cdot \frac{7}{25} \div \frac{4}{5} = 7

。

C = π - (A + B)

，所以

sin C = sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B = \frac{4}{5} \cdot \frac{24}{25} + (- \frac{3}{5}) \cdot \frac{7}{25} = \frac{96 - 21}{125} = \frac{3}{5} .

面積

= \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 7 \cdot \frac{3}{5} = 42

。

第 11 題直線

3 x + 4 y = 5

的斜率是

- \frac{3}{4}

。鉛直線

x = 1

與它的夾角不是

\frac{π}{4}

（那需要斜率

\pm 1

），所以

L

有斜率，設為

m

。兩直線的斜角相減，用正切的差角公式；夾角是

\frac{π}{4}

或它的補角，所以

\frac{m - ( - \frac{3}{4} )}{1 + m \cdot ( - \frac{3}{4} )} = \frac{4 m + 3}{4 - 3 m} = \pm 1.

取

+ 1

：

4 m + 3 = 4 - 3 m

，

m = \frac{1}{7}

。取

- 1

：

4 m + 3 = - 4 + 3 m

，

m = - 7

。

m = \frac{1}{7}

：

y - 2 = \frac{1}{7} (x - 1)

，即

x - 7 y + 13 = 0

。

m = - 7

：

y - 2 = - 7 (x - 1)

，即

7 x + y - 9 = 0

。

兩個答案的斜率相乘是

- 1

，兩條直線互相垂直，正好是與已知直線夾

\frac{π}{4}

的兩個方向。

對稱軸通過最高點或最低點；三角形裡第三個角的正弦用和角公式；兩直線的夾角用正切的差角公式，正負兩種都要解。

04第 12、13 題（填充 4、5）：半角與和角、由疊合式反求餘弦

第 12 題

\overline{B C} = 2 5^{2} - 2 4^{2} = 7

。依附圖，

D

在直線

B C

上、

B

介於

D

與

C

之間，

\overline{B D} = \overline{B A} = 25

，所以

\overline{D C} = 25 + 7 = 32

。直角三角形

A D C

中

\overline{A C} = 24

、

\overline{D C} = 32

，

\overline{A D} = 40

。記

∠ A D B = φ

，則

sin φ = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}

，

cos φ = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}

。

\overline{D E}

平分

∠ A D B

，所以

θ = \frac{φ}{2}

，是銳角。半角公式：

cos θ = \frac{1 + cos φ}{2} = \frac{9}{10} = \frac{3}{10}, sin θ = \frac{1 - cos φ}{2} = \frac{1}{10} .

3 θ = 2 θ + θ = φ + θ

，用和角公式：

sin 3 θ = sin φ cos θ + cos φ sin θ = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{10} + \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{10} = \frac{13}{5 10} = \frac{13 10}{50} .

題幹寫「延長

\overline{B C}

至點

D

」，附圖的

D

畫在

B

那一側（

D

、

B

、

C

依序排列），這裡依附圖計算。不必背三倍角公式，把

3 θ

拆成

2 θ + θ

就是和角。

第 13 題以

O

為原點、地面為

x

軸、牆為

y

軸。

\overline{A D} = 40

、

∠ D A O = x

，所以

D

的高度是

40 sin x

。

\overline{D C}

與

\overline{D A}

垂直、長

30

。

\overline{D A}

與水平方向夾

x

，所以

\overline{D C}

與鉛直方向夾

x

，

C

比

D

高

30 cos x

。

C

到地面的距離是

40 sin x + 30 cos x = 48.

疊合：

40 sin x + 30 cos x = 50 sin (x + φ)

，其中

cos φ = \frac{4}{5}

、

sin φ = \frac{3}{5}

，

φ

是銳角。所以

sin (x + φ) = \frac{24}{25}

，

cos (x + φ) = \pm \frac{7}{25}

（

x + φ

在

φ

與

\frac{π}{2} + φ

之間，可能是銳角也可能是鈍角）。用差角公式

cos x = cos ((x + φ) - φ) = cos (x + φ) cos φ + sin (x + φ) sin φ

：

cos x = \frac{7}{25} \cdot \frac{4}{5} + \frac{24}{25} \cdot \frac{3}{5} = \frac{100}{125} = \frac{4}{5} 或 cos x = - \frac{7}{25} \cdot \frac{4}{5} + \frac{24}{25} \cdot \frac{3}{5} = \frac{44}{125} .

兩個值都在

0 < x < \frac{π}{2}

內，也都滿足方程式，要用「穩定斜靠」取捨。

A

離牆

40 cos x

，

C

離牆

30 sin x

，箱子的中心是

\overline{A C}

的中點，離牆

\frac{40 c o s x + 30 s i n x}{2}

；中心要落在支點

A

靠牆的一側，箱子才靠得住。

cos x = \frac{4}{5}

時

sin x = \frac{3}{5}

：

A

離牆

32

，中心離牆

25

，靠得住。

cos x = \frac{44}{125}

時

sin x = \frac{117}{125}

：

A

離牆

14.08

，中心離牆

21.08

，已經在

A

的外側，箱子會向外倒。所以

cos x = \frac{4}{5}

。

方程式有兩個解。

cos x = \frac{44}{125}

時

A

離牆只有

14.08

，而

C

離牆

28.08

，箱子的中心已經在

A

的外側，會向外倒，靠不住牆；

cos x = \frac{4}{5}

時才是穩定斜靠，也與附圖

C

在

A

左方相符。題目只留一格，答

\frac{4}{5}

。

已知

sin (x + φ)

要反求

cos x

，把

x

寫成

(x + φ) - φ

用差角公式；

cos (x + φ)

的正負號要先看角的範圍，兩種都可能時兩個都算出來，再回到題目的情境檢查哪一個合理。

05第 14 題（計算證明題）：扇形內的五邊形面積

第 14 題(1)

∠ C O D = ∠ A O B - ∠ A O C - ∠ B O D = \frac{2 π}{3} - 2 θ

，而

\overline{O C} = \overline{O D} = 1

，所以

△ O C D = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot sin (\frac{2 π}{3} - 2 θ) = \frac{1}{2} (sin \frac{2 π}{3} cos 2 θ - cos \frac{2 π}{3} sin 2 θ) = \frac{1}{4} sin 2 θ + \frac{3}{4} cos 2 θ .

所以

a = \frac{1}{4}

，

b = \frac{3}{4}

。 (2) 直角三角形

O E C

中

\overline{O C} = 1

、

∠ E O C = θ

，

\overline{O E} = cos θ

、

\overline{C E} = sin θ

，面積是

\frac{1}{2} sin θ cos θ = \frac{1}{4} sin 2 θ

；

△ O F D

也一樣。五邊形

O E C D F

由

△ O E C

、

△ O C D

、

△ O F D

拼成：

\frac{1}{4} sin 2 θ \cdot 2 + \frac{1}{4} sin 2 θ + \frac{3}{4} cos 2 θ = \frac{3}{4} sin 2 θ + \frac{3}{4} cos 2 θ .

疊合：

(\frac{3}{4})^{2} + (\frac{3}{4})^{2} = \frac{3}{2}

，所以

\frac{3}{4} sin 2 θ + \frac{3}{4} cos 2 θ = \frac{3}{2} (\frac{3}{2} sin 2 θ + \frac{1}{2} cos 2 θ) = \frac{3}{2} sin (2 θ + \frac{π}{6}) .

所以

p = \frac{3}{2}

，

α = \frac{π}{6}

（在

∣ α ∣ < \frac{π}{2}

內，

cos α = \frac{3}{2}

、

sin α = \frac{1}{2}

只有這一個）。 (3)

0 < θ < \frac{π}{3}

時，

\frac{π}{6} < 2 θ + \frac{π}{6} < \frac{5 π}{6}

，這個範圍包含

\frac{π}{2}

。當

2 θ + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}

，即

θ = \frac{π}{6}

時，

sin (2 θ + \frac{π}{6}) = 1

，五邊形面積有最大值

\frac{3}{2}

。

(3) 要交代最大值發生的

θ = \frac{π}{6}

確實在

0 < θ < \frac{π}{3}

內；此時

∠ C O D = \frac{π}{3}

。

把圖形拆成幾個以圓心為頂點的三角形，面積都寫成

2 θ

的正弦與餘弦，再疊合成單一的正弦函數求極值。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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第 3 題最右邊那半拱沒有交點，正的解三個、負的解四個，共七個；第 6 題括號裡差一整個週期的也是同一個圖形，所以向右平移的兩個選項也對；第 5 題選項 (4) 有度的符號，是三點一四度；第 13 題方程式有兩個解，其中一個擺法箱子會向外倒，不合穩定斜靠，只取五分之四。詳解逐題寫在本頁。

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建國中學 110 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01第 1～4 題（單選題）：勒洛三角形、降次疊合、交點個數、倍角與和角

02第 5～8 題（多選題）：弧度的大小、平移伸縮的順序、由圖形定係數、最小正週期

03第 9～11 題（填充 1～3）：週期與對稱軸、三角形面積、兩直線的夾角

04第 12、13 題（填充 4、5）：半角與和角、由疊合式反求餘弦

05第 14 題（計算證明題）：扇形內的五邊形面積

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建國中學 110 上
高二第一次段考
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