段考詳解範圍：指數函數、對數與對數律、對數函數的圖形、複利與指數對數模型

武陵高中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

可使用計算機。多重選擇題 4 題共 32 分、填充題 12 格共 68 分（依答對題數查配分表）；原卷填充題第 1～11 題即本頁第 5～16 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部相同。

一、多重選擇題：（每題 8 分，共 32 分；答錯一個選項，可得 5 分；答錯兩個選項，可得 2 分；答錯 3 個以上或沒作答不予計分）

下列哪些選項沒有意義？

(A) $lo g_{1} 2$
(B) $lo g_{3} 2$
(C) $lo g_{(- 2)} 4$
(D) $lo g_{0} 1$
(E) $lo g_{3 - 1} (1 - 2)$

關於兩函數

y = 2^{x}

與

y = (\frac{1}{2})^{x}

圖形的敘述，下列哪一個選項正確？（卷面印作「哪一個」；本大題是多重選擇題，正確的選項不只一個）

(A) 兩圖形不相交
(B) 兩圖形對稱於 $x$ 軸
(C) 兩圖形均在 $x$ 軸上方
(D) $y = 2^{x}$ 的圖形恆在 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 的圖形上方
(E) $x$ 軸為共同的漸近線

下列哪些選項是正確的：

(A) $lo g_{10} (8 + 9) = lo g_{10} 8 + lo g_{10} 9$
(B) $lo g_{10} \frac{2}{3} = lo g_{10} 2 - lo g_{10} 3$
(C) $lo g_{4} 9 = lo g_{2} 3$
(D) $lo g_{2} 3^{2} = (lo g_{2} 3)^{2}$
(E) $lo g_{18} 23 lo g_{9} 8 = lo g_{18} 8 lo g_{9} 23$

考慮函數

f (x) = 1 0^{x}

與

g (x) = lo g x

，試問下列哪些選項是正確的？

(A) 兩圖形均過點 $(0, 1)$
(B) 兩圖形均由左而右逐漸上升
(C) 若 $x_{1} \neq = x_{2}$ ，點 $A (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}))$ 在點 $B (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2})$ 的上方
(D) 若 $P$ 、 $Q$ 為 $g (x) = lo g x$ 的圖形上兩相異點，則直線 $P Q$ 之斜率必為正數
(E) 若直線 $y = 15 x$ 與 $y = f (x)$ 的圖形有兩個交點，則直線 $y = \frac{1}{15} x$ 與 $y = g (x)$ 的圖形也有兩個交點。

二、填充題：（共 68 分，配分如下表）題數 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12 的得分依序為 8、16、24、30、36、42、48、54、58、62、65、68

填充題第 1 題（第 5～6 題）　求下列各式的值：

(1)

lo g 216 + lo g 75 - lo g 162 =

____

(2)

202 1^{0} + 3^{l o g_{3} 4} + 2 lo g_{5} \frac{1}{25} =

____。

設

a = lo g 3

，

b = lo g 5

，試以

a

、

b

表示

lo g_{45} 60 =

____

常用對數函數

y = a lo g x

，

y = b lo g x

，

y = c lo g x

，

y = d lo g x

配置如圖，試將實數

a

、

b

、

c

、

d

由小到大排列。____

載入中...

小明再過

2

個月就要過

6

歲生日了，小明的媽媽想幫他存錢唸大學，於是將身上僅有的

100

萬元放入銀行生利息，若銀行半年算一次利息且為複利計算，銀行的年利率

4%

，則

12

年後，可以領出多少千元讓小明上大學？____（使用計算機，四捨五入至千位數）

將

y = f (x) = (\frac{1}{3})^{x}

的圖形對稱

y

軸後上移

2

單位，左移

3

單位，可得函數

y = g (x)

的圖形，求

g (x) =

____。

心理學家常用數學模型

L (t) = a (1 - 1 0^{- b t})

來描述學生經過

t

週的學習之後所得的成果，此處的常數

a

、

b

會與學生及學習的科目有關。小華一週可以背熟

80

個英文單字，兩週可以背熟

150

個英文單字，則三週後，小華可以背熟 ____ 個英文單字。（四捨五入至整數位）

若

x > 0

且

lo g (x + \frac{x}{5}) = lo g (x) + lo g \frac{x}{5}

，求

x

之值。____

小美將本金

1

萬元存入銀行、在年利率

100%

的情形下，以一年複利一次（此時利率為

100% = 1

）、每半年複利一次（此時利率為

100% \div 2 = 0.5

）、每季複利一次（此時利率為

100% \div 4 = 0.25

）…，一年後得到的本利和列出如下表（單位：萬元；表中「計息週期」指多久複利一次）。

計息週期 一 年 半 年 一 季 一個月 一 天 一小時 一分鐘 每期的利率 \frac{100%}{n} 100% = 1 100% \div 2 = 0.5 100% \div 4 = 0.25 100% \div 12 \approx 0.0833 100% \div 365 \approx 0.00274 (A) (B) 一年（ n 期）的本利和 1 \times (1 + \frac{100%}{n})^{n} (1 + 1)^{1} = 2 (1 + 0.5)^{2} = 2.25 (1 + 0.25)^{4} \approx 2.4414 (1 + 0.0833)^{12} \approx 2.61207 (1 + 0.00274)^{365} \approx 2.71484 (C) (D)

由上表可看到，計息次數愈多，本利和愈大，而且會大約趨近一個定值；事實上，當一年內計息次數愈來愈多次時，本利和並不會無上限的愈來愈大，而會趨近一個固定的常數，我們將這個常數記做

e

。設每小時計息的本利和為

m

萬元。每分鐘計息的本利和為

n

萬元（

m, n

均四捨五入到小數點後第

5

位），求

m

與

n

的差距

∣ m - n ∣ =

____。

若

x (lo g 5) = 2

，則

5^{x} + 5^{- x} =

____

氣象學者研究發現：龍捲風中心風速

v

與行進距離

d

有關，其關係式

v = 65 + 93 lo g d

，其中

v

為中心風速（英里/小時），

d

為行進距離（英里），則中心風速

200

英里/小時的行進距離是中心風速

100

英里/小時行進距離的幾倍？____（四捨五入到整數位）

孿生質數（Twin Primes），就是指相差

2

的質數對，例如

3

和

5

，

5

和

7

，

11

和

13

。目前已知最大的孿生質數

2, 996, 863, 034, 895 \times 2^{1, 290, 000} \pm 1

於 2016 年 9 月 14 日發現，請問它們共有 ____ 位數。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(C)(D)(E)

第 2 題(C)(E)

第 3 題(B)(C)(E)

第 4 題(B)(D)(E)

第 5 題

2

第 6 題

1

第 7 題

\frac{a - b + 2}{2 a + b}

第 8 題

d < c < b < a

（即

a > b > c > d

）

第 9 題

1608

千元

第 10 題

3^{x + 3} + 2

第 11 題

211

第 12 題

6

第 13 題

0.00015

第 14 題

100 \frac{1}{100}

（即

100.01

）

第 15 題

12

第 16 題

388342

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題第 1、2 題：對數的限制、兩個指數函數的圖形

第 1 題答案 (A)(C)(D)(E)。

lo g_{a} b

有意義的條件是底數

a > 0

且

a \neq = 1

，真數

b > 0

。(A) 沒有意義：底數是

1

，而

1

的任何次方都是

1

，不會等於

2

。(B) 有意義：底數

3 > 0

且不等於

1

，真數

2 > 0

。(C) 沒有意義：底數

- 2

是負數。(D) 沒有意義：底數是

0

。(E) 沒有意義：底數

3 - 1 \approx 0.732

是不等於

1

的正數，這部分沒問題，但真數

1 - 2 \approx - 0.414

是負數。

(- 2)^{2} = 4

，底數為負時仍然不定義對數；(D) 雖然真數是

1

，底數為

0

一樣不定義。底數與真數要分開各檢查一次。

第 2 題答案 (C)(E)。

(\frac{1}{2})^{x} = 2^{- x}

，所以第二個圖形是把

y = 2^{x}

的

x

換成

- x

，兩圖形對稱於

y

軸。(A) 錯：

x = 0

時兩個函數值都是

1

，兩圖形交於

(0, 1)

。(B) 錯：兩圖形對稱於

y

軸，不是

x

軸（對稱於

x

軸的是

y = - 2^{x}

）。(C) 對：正數的任何次方都是正數，

2^{x} > 0

、

(\frac{1}{2})^{x} > 0

。(D) 錯：

x < 0

時

2^{x} < 1 < (\frac{1}{2})^{x}

，例如

x = - 1

時

2^{- 1} = \frac{1}{2}

、

(\frac{1}{2})^{- 1} = 2

。(E) 對：

y = 2^{x}

往左愈來愈靠近

x

軸，

y = (\frac{1}{2})^{x}

往右愈來愈靠近

x

軸，兩者都不會碰到

x

軸，

x

軸是共同的漸近線。

卷面題幹寫「哪一個選項」，但這一大題是多重選擇題，正確的選項有兩個。

對數先看底數（正數且不等於

1

）再看真數（正數）；底數互為倒數的兩個指數函數圖形對稱於

y

軸。

02多重選擇題第 3、4 題：對數律、指數與對數函數的圖形

第 3 題答案 (B)(C)(E)。(A) 錯：對數律是

lo g_{10} 8 + lo g_{10} 9 = lo g_{10} (8 \times 9) = lo g_{10} 72

，不是

lo g_{10} 17

。(B) 對：這就是對數律

lo g \frac{M}{N} = lo g M - lo g N

。(C) 對：

lo g_{4} 9 = lo g_{2^{2}} 3^{2} = lo g_{2} 3

（底數與真數同時開平方，值不變）；用換底公式也可以：

\frac{l o g 9}{l o g 4} = \frac{2 l o g 3}{2 l o g 2} = \frac{l o g 3}{l o g 2}

。(D) 錯：左邊

lo g_{2} 3^{2} = 2 lo g_{2} 3 \approx 3.17

，右邊

(lo g_{2} 3)^{2} \approx 1.58 5^{2} \approx 2.51

。(E) 對：兩邊都換成常用對數，左邊

= \frac{l o g 23}{l o g 18} \times \frac{l o g 8}{l o g 9}

，右邊

= \frac{l o g 8}{l o g 18} \times \frac{l o g 23}{l o g 9}

，分子都是

lo g 23 \times lo g 8

，分母都是

lo g 18 \times lo g 9

，兩邊相等。

(D) 的兩邊長得很像：指數在真數上可以搬到前面當係數，整個對數的平方不行。

第 4 題答案 (B)(D)(E)。(A) 錯：

f (0) = 1 0^{0} = 1

，

y = f (x)

過

(0, 1)

；但

g (x) = lo g x

在

x = 0

沒有定義，它通過的是

(1, 0)

。(B) 對：底數

10 > 1

，

1 0^{x}

與

lo g x

都是

x

愈大函數值愈大。(C) 錯：

1 0^{x_{1}}

、

1 0^{x_{2}}

是兩個不相等的正數，由算幾不等式，

\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} = \frac{1 0 ^{x_{1}} + 1 0 ^{x_{2}}}{2} > 1 0^{x_{1}} \times 1 0^{x_{2}} = 1 0^{\frac{x _{1} + x _{2}}{2}} = f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2})

所以

A

在

B

的下方（

y = 1 0^{x}

的圖形凹口向上，圖形上兩點連成的線段在圖形的上方）。例如

x_{1} = 0

、

x_{2} = 2

時

A (1, 10)

、

B (1, 50.5)

。(D) 對：設

P (p, lo g p)

、

Q (q, lo g q)

且

p < q

，因為

lo g x

遞增，

lo g p < lo g q

，斜率

\frac{l o g q - l o g p}{q - p}

的分子、分母都是正數。(E) 對：

y = 1 0^{x}

與

y = lo g x

的圖形對稱於直線

y = x

，而直線

y = 15 x

對直線

y = x

的對稱圖形是

x = 15 y

，也就是

y = \frac{1}{15} x

。點

(p, q)

同時在

y = 15 x

與

y = 1 0^{x}

上，就等於點

(q, p)

同時在

y = \frac{1}{15} x

與

y = lo g x

上，所以兩邊的交點個數一樣，前者有兩個，後者也有兩個。

(E) 的前提確實成立：

x = 0

時

1 0^{0} = 1 > 0

，

x = 1

時

10 < 15

，

x = 2

時

100 > 30

，所以

y = 1 0^{x}

與

y = 15 x

在

0

與

1

之間、

1

與

2

之間各交一點。

y = 1 0^{x}

與

y = lo g x

的圖形對稱於直線

y = x

：一個圖形上的點

(p, q)

對到另一個圖形上的點

(q, p)

。

03填充題第 1、2 題：對數律與換底公式

第 5 題同底的對數相加減，真數相乘除：

lo g 216 + lo g 75 - lo g 162 = lo g \frac{216 \times 75}{162}

。

216 \times 75 = 16200

，

16200 \div 162 = 100

，所以原式

= lo g 100 = 2

。

也可以先約分：

\frac{216}{162} = \frac{4}{3}

，

\frac{4}{3} \times 75 = 100

。

第 6 題三項分開算。

202 1^{0} = 1

。

3^{l o g_{3} 4}

：

lo g_{3} 4

的意思就是「

3

的幾次方等於

4

」的那個次方，所以

3^{l o g_{3} 4} = 4

。

lo g_{5} \frac{1}{25} = lo g_{5} 5^{- 2} = - 2

，所以

2 lo g_{5} \frac{1}{25} = - 4

。原式

= 1 + 4 - 4 = 1

。

第 7 題用換底公式換成常用對數：

lo g_{45} 60 = \frac{l o g 60}{l o g 45}

。分母：

45 = 3^{2} \times 5

，

lo g 45 = 2 lo g 3 + lo g 5 = 2 a + b

。分子：

60 = 2 \times 3 \times 10

，

lo g 60 = lo g 2 + lo g 3 + 1

；其中

lo g 2 = lo g \frac{10}{5} = 1 - lo g 5 = 1 - b

，所以

lo g 60 = (1 - b) + a + 1 = a - b + 2

。

lo g_{45} 60 = \frac{a - b + 2}{2 a + b}

題目只給

lo g 3

與

lo g 5

，遇到

lo g 2

就用

2 = \frac{10}{5}

換成

1 - lo g 5

。

底數不是

10

的對數，先用換底公式換成常用對數，再把真數做質因數分解。

04填充題第 3～6 題：函數圖形、複利與學習曲線模型

第 8 題四個函數都通過

P (1, 0)

，比較

x > 1

的那一側。取同一個

x > 1

（例如

x = 10

，此時

lo g x = 1

，四個函數值正好是

a

、

b

、

c

、

d

）：圖形愈高，係數愈大。由圖，在

P

的右側由上到下依序是

y = a lo g x

、

y = b lo g x

、

x

軸、

y = c lo g x

、

y = d lo g x

，所以

a > b > 0 > c > d

。由小到大排列是

d < c < b < a

。

c

、

d

是負數：

y = d lo g x

的圖形在右側離

x

軸比較遠，表示

d

的絕對值比較大，所以

d

比

c

小。題目要的是由小到大。

第 9 題半年算一次利息，年利率

4%

，所以每一期（半年）的利率是

4% \div 2 = 2%

；

12

年共

12 \times 2 = 24

期。本利和

= 1000000 \times (1 + 0.02)^{24}

。用計算機：

1.0 2^{24} \approx 1.608437

，本利和約

1608437

元，四捨五入至千位數是

1608000

元，即

1608

千元。

「再過

2

個月過

6

歲生日」不影響計算，存的時間就是題目說的

12

年。常見的錯誤是用年利率

4%

算

12

期（得

1601

千元），或用

4%

算

24

期。

第 10 題一步一步做。①對稱

y

軸：把

x

換成

- x

，

y = (\frac{1}{3})^{- x} = 3^{x}

。②上移

2

單位：整個函數值加

2

，

y = 3^{x} + 2

。③左移

3

單位：把

x

換成

x + 3

，

y = 3^{x + 3} + 2

。所以

g (x) = 3^{x + 3} + 2

。

左移是把

x

換成

x + 3

（不是

x - 3

）。答案也可以寫成

27 \times 3^{x} + 2

或

(\frac{1}{3})^{- x - 3} + 2

。檢查一個點：

f

的圖形上的

(0, 1)

對稱後還是

(0, 1)

，上移成

(0, 3)

，左移成

(- 3, 3)

，而

g (- 3) = 3^{0} + 2 = 3

。

第 11 題令

r = 1 0^{- b}

，則

1 0^{- 2 b} = r^{2}

、

1 0^{- 3 b} = r^{3}

。條件是

L (1) = a (1 - r) = 80

，

L (2) = a (1 - r^{2}) = 150

。因為

1 - r^{2} = (1 - r) (1 + r)

，兩式相除得

1 + r = \frac{150}{80} = \frac{15}{8}

，

r = \frac{7}{8}

。代回第一式：

a \times \frac{1}{8} = 80

，

a = 640

。三週後：

L (3) = 640 (1 - (\frac{7}{8})^{3}) = 640 \times \frac{512 - 343}{512} = 640 \times \frac{169}{512} = 211.25

四捨五入至整數位是

211

個。

不必真的把

b

解出來，只要求出

1 0^{- b} = \frac{7}{8}

就夠用。每週新增的單字數是

80

、

70

、

61.25

，愈來愈少。

圖形的變換照題目的順序一步一步換：對稱

y

軸換

x

為

- x

，左移

h

換

x

為

x + h

，上移

k

在式子後面加

k

。

05填充題第 7～9 題：對數方程式、計息次數與常數 e、指數與對數互換

第 12 題左邊：

x + \frac{x}{5} = \frac{6 x}{5}

。右邊用對數律合併：

lo g x + lo g \frac{x}{5} = lo g \frac{x ^{2}}{5}

。兩邊的對數相等，真數就相等：

\frac{6 x}{5} = \frac{x ^{2}}{5}

，

x^{2} = 6 x

，

x (x - 6) = 0

。因為

x > 0

，所以

x = 6

。

代回檢查：左邊

lo g (6 + \frac{6}{5}) = lo g 7.2

，右邊

lo g 6 + lo g 1.2 = lo g 7.2

。

第 13 題一年有

365

天，共

365 \times 24 = 8760

小時、

8760 \times 60 = 525600

分鐘。照表的規則，每小時計息一次就是一年共

8760

期，每期利率 (A)

= 100% \div 8760 \approx 0.000114

；每分鐘計息一次就是一年共

525600

期，每期利率 (B)

= 100% \div 525600 \approx 0.0000019

。用計算機算本利和：

m = (1 + \frac{1}{8760})^{8760} \approx 2.718127 \approx 2.71813, n = (1 + \frac{1}{525600})^{525600} \approx 2.718279 \approx 2.71828

也就是表中的 (C)、(D)。所以

∣ m - n ∣ = 2.71828 - 2.71813 = 0.00015

。

表中「一個月」「一天」兩列是先把每期利率取成

0.0833

、

0.00274

再算的。若這一題也先把利率取成

0.000114

、

0.0000019

再算，會得到

2.71443

與

2.71458

，差距同樣是

0.00015

。每分鐘計息的本利和

2.71828

已經與常數

e \approx 2.71828

的前五位小數相同。

第 14 題

x lo g 5 = lo g 5^{x}

，所以條件是

lo g 5^{x} = 2

，由對數的定義

5^{x} = 1 0^{2} = 100

。於是

5^{- x} = \frac{1}{5 ^{x}} = \frac{1}{100}

，

5^{x} + 5^{- x} = 100 + \frac{1}{100} = 100 \frac{1}{100} = 100.01

。

不需要先算出

x

（

x = \frac{2}{l o g 5} \approx 2.861

），直接把

5^{x}

當成一個整體。答案寫成

\frac{10001}{100}

也一樣。

年利率

100%

、一年分

n

期複利的本利和是

(1 + \frac{1}{n})^{n}

倍，

n

愈大愈接近

e

。

06填充題第 10、11 題：對數模型求倍數、估計位數

第 15 題設中心風速

200

、

100

時的行進距離分別是

d_{1}

、

d_{2}

：

200 = 65 + 93 lo g d_{1}

，

100 = 65 + 93 lo g d_{2}

。兩式相減：

100 = 93 (lo g d_{1} - lo g d_{2}) = 93 lo g \frac{d _{1}}{d _{2}}

，所以

lo g \frac{d _{1}}{d _{2}} = \frac{100}{93}

，

\frac{d _{1}}{d _{2}} = 1 0^{\frac{100}{93}}

。用計算機：

\frac{100}{93} \approx 1.0753

，

1 0^{1.0753} \approx 11.89

，四捨五入到整數位是

12

倍。

兩式相減就能把

65

消掉，不必分別算出

d_{1} \approx 28.3

、

d_{2} \approx 2.38

。

第 16 題令

N = 2996863034895 \times 2^{1290000}

。先求

N

的位數：

lo g N = lo g 2996863034895 + 1290000 \times lo g 2

。用計算機：

lo g 2996863034895 = lo g (2.996863 \times 1 0^{12}) \approx 12.4767

；

lo g 2 \approx 0.30103

，

1290000 \times 0.30103 \approx 388328.69

。所以

lo g N \approx 388341.17

，即

N = 1 0^{0.17} \times 1 0^{388341}

，其中

1 < 1 0^{0.17} < 10

，

N

的整數部分有

388341 + 1 = 388342

位。再看

N \pm 1

：

N

是

5

的倍數也是

2

的倍數，個位數字是

0

，但

N

不是

10

的整數次方（

lo g N

不是整數），所以

N - 1

不會少一位、

N + 1

也不會多一位。這兩個孿生質數都是

388342

位數。

lo g 2

的位數要取夠：只用

0.3010

會得到

1290000 \times 0.3010 = 388290

，最後算成

388303

位，少了

39

位；直接按計算機的

lo g

鍵再乘

1290000

最保險。「共有」在這裡是指這一對質數的位數都是這麼多，不是兩個數的位數相加。

正整數

N

的位數是

lo g N

的整數部分加

1

；乘積的對數拆成對數的和，次方的對數把指數搬到前面。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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上傳考卷

常見問題

武陵高中 110 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

武陵高中 110 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題的選項 C 要判斷中點的函數值與兩端函數值平均誰高，選項 E 要用指數函數與對數函數的圖形對稱於直線 y 等於 x；第 13 題要先把一年換成 8760 小時與 525600 分鐘，兩個本利和各自四捨五入到小數點後第 5 位再相減；第 16 題用計算機算 2 的常用對數時位數要取夠，只取四位小數會差幾十位；第 11 題把兩個條件相除就能先求出 10 的負 b 次方。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自武陵高中 110 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數函數、對數與對數律、對數函數的圖形、複利與指數對數模型

武陵高中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

一、多重選擇題：（每題 8 分，共 32 分；答錯一個選項，可得 5 分；答錯兩個選項，可得 2 分；答錯 3 個以上或沒作答不予計分）

下列哪些選項沒有意義？

(A) $lo g_{1} 2$
(B) $lo g_{3} 2$
(C) $lo g_{(- 2)} 4$
(D) $lo g_{0} 1$
(E) $lo g_{3 - 1} (1 - 2)$

關於兩函數

y = 2^{x}

與

y = (\frac{1}{2})^{x}

圖形的敘述，下列哪一個選項正確？（卷面印作「哪一個」；本大題是多重選擇題，正確的選項不只一個）

(A) 兩圖形不相交
(B) 兩圖形對稱於 $x$ 軸
(C) 兩圖形均在 $x$ 軸上方
(D) $y = 2^{x}$ 的圖形恆在 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 的圖形上方
(E) $x$ 軸為共同的漸近線

下列哪些選項是正確的：

(A) $lo g_{10} (8 + 9) = lo g_{10} 8 + lo g_{10} 9$
(B) $lo g_{10} \frac{2}{3} = lo g_{10} 2 - lo g_{10} 3$
(C) $lo g_{4} 9 = lo g_{2} 3$
(D) $lo g_{2} 3^{2} = (lo g_{2} 3)^{2}$
(E) $lo g_{18} 23 lo g_{9} 8 = lo g_{18} 8 lo g_{9} 23$

考慮函數

f (x) = 1 0^{x}

與

g (x) = lo g x

，試問下列哪些選項是正確的？

(A) 兩圖形均過點 $(0, 1)$
(B) 兩圖形均由左而右逐漸上升
(C) 若 $x_{1} \neq = x_{2}$ ，點 $A (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}))$ 在點 $B (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2})$ 的上方
(D) 若 $P$ 、 $Q$ 為 $g (x) = lo g x$ 的圖形上兩相異點，則直線 $P Q$ 之斜率必為正數
(E) 若直線 $y = 15 x$ 與 $y = f (x)$ 的圖形有兩個交點，則直線 $y = \frac{1}{15} x$ 與 $y = g (x)$ 的圖形也有兩個交點。

二、填充題：（共 68 分，配分如下表）題數 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12 的得分依序為 8、16、24、30、36、42、48、54、58、62、65、68

填充題第 1 題（第 5～6 題）　求下列各式的值：

(1)

lo g 216 + lo g 75 - lo g 162 =

____

(2)

202 1^{0} + 3^{l o g_{3} 4} + 2 lo g_{5} \frac{1}{25} =

____。

設

a = lo g 3

，

b = lo g 5

，試以

a

、

b

表示

lo g_{45} 60 =

____

常用對數函數

y = a lo g x

，

y = b lo g x

，

y = c lo g x

，

y = d lo g x

配置如圖，試將實數

a

、

b

、

c

、

d

由小到大排列。____

載入中...

小明再過

2

個月就要過

6

歲生日了，小明的媽媽想幫他存錢唸大學，於是將身上僅有的

100

萬元放入銀行生利息，若銀行半年算一次利息且為複利計算，銀行的年利率

4%

，則

12

年後，可以領出多少千元讓小明上大學？____（使用計算機，四捨五入至千位數）

將

y = f (x) = (\frac{1}{3})^{x}

的圖形對稱

y

軸後上移

2

單位，左移

3

單位，可得函數

y = g (x)

的圖形，求

g (x) =

____。

心理學家常用數學模型

L (t) = a (1 - 1 0^{- b t})

來描述學生經過

t

週的學習之後所得的成果，此處的常數

a

、

b

會與學生及學習的科目有關。小華一週可以背熟

80

個英文單字，兩週可以背熟

150

個英文單字，則三週後，小華可以背熟 ____ 個英文單字。（四捨五入至整數位）

若

x > 0

且

lo g (x + \frac{x}{5}) = lo g (x) + lo g \frac{x}{5}

，求

x

之值。____

小美將本金

1

萬元存入銀行、在年利率

100%

的情形下，以一年複利一次（此時利率為

100% = 1

）、每半年複利一次（此時利率為

100% \div 2 = 0.5

）、每季複利一次（此時利率為

100% \div 4 = 0.25

）…，一年後得到的本利和列出如下表（單位：萬元；表中「計息週期」指多久複利一次）。

計息週期 一 年 半 年 一 季 一個月 一 天 一小時 一分鐘 每期的利率 \frac{100%}{n} 100% = 1 100% \div 2 = 0.5 100% \div 4 = 0.25 100% \div 12 \approx 0.0833 100% \div 365 \approx 0.00274 (A) (B) 一年（ n 期）的本利和 1 \times (1 + \frac{100%}{n})^{n} (1 + 1)^{1} = 2 (1 + 0.5)^{2} = 2.25 (1 + 0.25)^{4} \approx 2.4414 (1 + 0.0833)^{12} \approx 2.61207 (1 + 0.00274)^{365} \approx 2.71484 (C) (D)

e

。設每小時計息的本利和為

m

萬元。每分鐘計息的本利和為

n

萬元（

m, n

均四捨五入到小數點後第

5

位），求

m

與

n

的差距

∣ m - n ∣ =

____。

若

x (lo g 5) = 2

，則

5^{x} + 5^{- x} =

____

氣象學者研究發現：龍捲風中心風速

v

與行進距離

d

有關，其關係式

v = 65 + 93 lo g d

，其中

v

為中心風速（英里/小時），

d

為行進距離（英里），則中心風速

200

英里/小時的行進距離是中心風速

100

英里/小時行進距離的幾倍？____（四捨五入到整數位）

孿生質數（Twin Primes），就是指相差

2

的質數對，例如

3

和

5

，

5

和

7

，

11

和

13

。目前已知最大的孿生質數

2, 996, 863, 034, 895 \times 2^{1, 290, 000} \pm 1

於 2016 年 9 月 14 日發現，請問它們共有 ____ 位數。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(C)(D)(E)

第 2 題(C)(E)

第 3 題(B)(C)(E)

第 4 題(B)(D)(E)

第 5 題

2

第 6 題

1

第 7 題

\frac{a - b + 2}{2 a + b}

第 8 題

d < c < b < a

（即

a > b > c > d

）

第 9 題

1608

千元

第 10 題

3^{x + 3} + 2

第 11 題

211

第 12 題

6

第 13 題

0.00015

第 14 題

100 \frac{1}{100}

（即

100.01

）

第 15 題

12

第 16 題

388342

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題第 1、2 題：對數的限制、兩個指數函數的圖形

第 1 題答案 (A)(C)(D)(E)。

lo g_{a} b

有意義的條件是底數

a > 0

且

a \neq = 1

，真數

b > 0

。(A) 沒有意義：底數是

1

，而

1

的任何次方都是

1

，不會等於

2

。(B) 有意義：底數

3 > 0

且不等於

1

，真數

2 > 0

。(C) 沒有意義：底數

- 2

是負數。(D) 沒有意義：底數是

0

。(E) 沒有意義：底數

3 - 1 \approx 0.732

是不等於

1

的正數，這部分沒問題，但真數

1 - 2 \approx - 0.414

是負數。

(- 2)^{2} = 4

，底數為負時仍然不定義對數；(D) 雖然真數是

1

，底數為

0

一樣不定義。底數與真數要分開各檢查一次。

第 2 題答案 (C)(E)。

(\frac{1}{2})^{x} = 2^{- x}

，所以第二個圖形是把

y = 2^{x}

的

x

換成

- x

，兩圖形對稱於

y

軸。(A) 錯：

x = 0

時兩個函數值都是

1

，兩圖形交於

(0, 1)

。(B) 錯：兩圖形對稱於

y

軸，不是

x

軸（對稱於

x

軸的是

y = - 2^{x}

）。(C) 對：正數的任何次方都是正數，

2^{x} > 0

、

(\frac{1}{2})^{x} > 0

。(D) 錯：

x < 0

時

2^{x} < 1 < (\frac{1}{2})^{x}

，例如

x = - 1

時

2^{- 1} = \frac{1}{2}

、

(\frac{1}{2})^{- 1} = 2

。(E) 對：

y = 2^{x}

往左愈來愈靠近

x

軸，

y = (\frac{1}{2})^{x}

往右愈來愈靠近

x

軸，兩者都不會碰到

x

軸，

x

軸是共同的漸近線。

卷面題幹寫「哪一個選項」，但這一大題是多重選擇題，正確的選項有兩個。

對數先看底數（正數且不等於

1

）再看真數（正數）；底數互為倒數的兩個指數函數圖形對稱於

y

軸。

02多重選擇題第 3、4 題：對數律、指數與對數函數的圖形

第 3 題答案 (B)(C)(E)。(A) 錯：對數律是

lo g_{10} 8 + lo g_{10} 9 = lo g_{10} (8 \times 9) = lo g_{10} 72

，不是

lo g_{10} 17

。(B) 對：這就是對數律

lo g \frac{M}{N} = lo g M - lo g N

。(C) 對：

lo g_{4} 9 = lo g_{2^{2}} 3^{2} = lo g_{2} 3

（底數與真數同時開平方，值不變）；用換底公式也可以：

\frac{l o g 9}{l o g 4} = \frac{2 l o g 3}{2 l o g 2} = \frac{l o g 3}{l o g 2}

。(D) 錯：左邊

lo g_{2} 3^{2} = 2 lo g_{2} 3 \approx 3.17

，右邊

(lo g_{2} 3)^{2} \approx 1.58 5^{2} \approx 2.51

。(E) 對：兩邊都換成常用對數，左邊

= \frac{l o g 23}{l o g 18} \times \frac{l o g 8}{l o g 9}

，右邊

= \frac{l o g 8}{l o g 18} \times \frac{l o g 23}{l o g 9}

，分子都是

lo g 23 \times lo g 8

，分母都是

lo g 18 \times lo g 9

，兩邊相等。

(D) 的兩邊長得很像：指數在真數上可以搬到前面當係數，整個對數的平方不行。

第 4 題答案 (B)(D)(E)。(A) 錯：

f (0) = 1 0^{0} = 1

，

y = f (x)

過

(0, 1)

；但

g (x) = lo g x

在

x = 0

沒有定義，它通過的是

(1, 0)

。(B) 對：底數

10 > 1

，

1 0^{x}

與

lo g x

都是

x

愈大函數值愈大。(C) 錯：

1 0^{x_{1}}

、

1 0^{x_{2}}

是兩個不相等的正數，由算幾不等式，

\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} = \frac{1 0 ^{x_{1}} + 1 0 ^{x_{2}}}{2} > 1 0^{x_{1}} \times 1 0^{x_{2}} = 1 0^{\frac{x _{1} + x _{2}}{2}} = f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2})

所以

A

在

B

的下方（

y = 1 0^{x}

的圖形凹口向上，圖形上兩點連成的線段在圖形的上方）。例如

x_{1} = 0

、

x_{2} = 2

時

A (1, 10)

、

B (1, 50.5)

。(D) 對：設

P (p, lo g p)

、

Q (q, lo g q)

且

p < q

，因為

lo g x

遞增，

lo g p < lo g q

，斜率

\frac{l o g q - l o g p}{q - p}

的分子、分母都是正數。(E) 對：

y = 1 0^{x}

與

y = lo g x

的圖形對稱於直線

y = x

，而直線

y = 15 x

對直線

y = x

的對稱圖形是

x = 15 y

，也就是

y = \frac{1}{15} x

。點

(p, q)

同時在

y = 15 x

與

y = 1 0^{x}

上，就等於點

(q, p)

同時在

y = \frac{1}{15} x

與

y = lo g x

上，所以兩邊的交點個數一樣，前者有兩個，後者也有兩個。

(E) 的前提確實成立：

x = 0

時

1 0^{0} = 1 > 0

，

x = 1

時

10 < 15

，

x = 2

時

100 > 30

，所以

y = 1 0^{x}

與

y = 15 x

在

0

與

1

之間、

1

與

2

之間各交一點。

y = 1 0^{x}

與

y = lo g x

的圖形對稱於直線

y = x

：一個圖形上的點

(p, q)

對到另一個圖形上的點

(q, p)

。

03填充題第 1、2 題：對數律與換底公式

第 5 題同底的對數相加減，真數相乘除：

lo g 216 + lo g 75 - lo g 162 = lo g \frac{216 \times 75}{162}

。

216 \times 75 = 16200

，

16200 \div 162 = 100

，所以原式

= lo g 100 = 2

。

也可以先約分：

\frac{216}{162} = \frac{4}{3}

，

\frac{4}{3} \times 75 = 100

。

第 6 題三項分開算。

202 1^{0} = 1

。

3^{l o g_{3} 4}

：

lo g_{3} 4

的意思就是「

3

的幾次方等於

4

」的那個次方，所以

3^{l o g_{3} 4} = 4

。

lo g_{5} \frac{1}{25} = lo g_{5} 5^{- 2} = - 2

，所以

2 lo g_{5} \frac{1}{25} = - 4

。原式

= 1 + 4 - 4 = 1

。

第 7 題用換底公式換成常用對數：

lo g_{45} 60 = \frac{l o g 60}{l o g 45}

。分母：

45 = 3^{2} \times 5

，

lo g 45 = 2 lo g 3 + lo g 5 = 2 a + b

。分子：

60 = 2 \times 3 \times 10

，

lo g 60 = lo g 2 + lo g 3 + 1

；其中

lo g 2 = lo g \frac{10}{5} = 1 - lo g 5 = 1 - b

，所以

lo g 60 = (1 - b) + a + 1 = a - b + 2

。

lo g_{45} 60 = \frac{a - b + 2}{2 a + b}

題目只給

lo g 3

與

lo g 5

，遇到

lo g 2

就用

2 = \frac{10}{5}

換成

1 - lo g 5

。

底數不是

10

的對數，先用換底公式換成常用對數，再把真數做質因數分解。

04填充題第 3～6 題：函數圖形、複利與學習曲線模型

第 8 題四個函數都通過

P (1, 0)

，比較

x > 1

的那一側。取同一個

x > 1

（例如

x = 10

，此時

lo g x = 1

，四個函數值正好是

a

、

b

、

c

、

d

）：圖形愈高，係數愈大。由圖，在

P

的右側由上到下依序是

y = a lo g x

、

y = b lo g x

、

x

軸、

y = c lo g x

、

y = d lo g x

，所以

a > b > 0 > c > d

。由小到大排列是

d < c < b < a

。

c

、

d

是負數：

y = d lo g x

的圖形在右側離

x

軸比較遠，表示

d

的絕對值比較大，所以

d

比

c

小。題目要的是由小到大。

第 9 題半年算一次利息，年利率

4%

，所以每一期（半年）的利率是

4% \div 2 = 2%

；

12

年共

12 \times 2 = 24

期。本利和

= 1000000 \times (1 + 0.02)^{24}

。用計算機：

1.0 2^{24} \approx 1.608437

，本利和約

1608437

元，四捨五入至千位數是

1608000

元，即

1608

千元。

「再過

2

個月過

6

歲生日」不影響計算，存的時間就是題目說的

12

年。常見的錯誤是用年利率

4%

算

12

期（得

1601

千元），或用

4%

算

24

期。

第 10 題一步一步做。①對稱

y

軸：把

x

換成

- x

，

y = (\frac{1}{3})^{- x} = 3^{x}

。②上移

2

單位：整個函數值加

2

，

y = 3^{x} + 2

。③左移

3

單位：把

x

換成

x + 3

，

y = 3^{x + 3} + 2

。所以

g (x) = 3^{x + 3} + 2

。

左移是把

x

換成

x + 3

（不是

x - 3

）。答案也可以寫成

27 \times 3^{x} + 2

或

(\frac{1}{3})^{- x - 3} + 2

。檢查一個點：

f

的圖形上的

(0, 1)

對稱後還是

(0, 1)

，上移成

(0, 3)

，左移成

(- 3, 3)

，而

g (- 3) = 3^{0} + 2 = 3

。

第 11 題令

r = 1 0^{- b}

，則

1 0^{- 2 b} = r^{2}

、

1 0^{- 3 b} = r^{3}

。條件是

L (1) = a (1 - r) = 80

，

L (2) = a (1 - r^{2}) = 150

。因為

1 - r^{2} = (1 - r) (1 + r)

，兩式相除得

1 + r = \frac{150}{80} = \frac{15}{8}

，

r = \frac{7}{8}

。代回第一式：

a \times \frac{1}{8} = 80

，

a = 640

。三週後：

L (3) = 640 (1 - (\frac{7}{8})^{3}) = 640 \times \frac{512 - 343}{512} = 640 \times \frac{169}{512} = 211.25

四捨五入至整數位是

211

個。

不必真的把

b

解出來，只要求出

1 0^{- b} = \frac{7}{8}

就夠用。每週新增的單字數是

80

、

70

、

61.25

，愈來愈少。

圖形的變換照題目的順序一步一步換：對稱

y

軸換

x

為

- x

，左移

h

換

x

為

x + h

，上移

k

在式子後面加

k

。

05填充題第 7～9 題：對數方程式、計息次數與常數 e、指數與對數互換

第 12 題左邊：

x + \frac{x}{5} = \frac{6 x}{5}

。右邊用對數律合併：

lo g x + lo g \frac{x}{5} = lo g \frac{x ^{2}}{5}

。兩邊的對數相等，真數就相等：

\frac{6 x}{5} = \frac{x ^{2}}{5}

，

x^{2} = 6 x

，

x (x - 6) = 0

。因為

x > 0

，所以

x = 6

。

代回檢查：左邊

lo g (6 + \frac{6}{5}) = lo g 7.2

，右邊

lo g 6 + lo g 1.2 = lo g 7.2

。

第 13 題一年有

365

天，共

365 \times 24 = 8760

小時、

8760 \times 60 = 525600

分鐘。照表的規則，每小時計息一次就是一年共

8760

期，每期利率 (A)

= 100% \div 8760 \approx 0.000114

；每分鐘計息一次就是一年共

525600

期，每期利率 (B)

= 100% \div 525600 \approx 0.0000019

。用計算機算本利和：

m = (1 + \frac{1}{8760})^{8760} \approx 2.718127 \approx 2.71813, n = (1 + \frac{1}{525600})^{525600} \approx 2.718279 \approx 2.71828

也就是表中的 (C)、(D)。所以

∣ m - n ∣ = 2.71828 - 2.71813 = 0.00015

。

表中「一個月」「一天」兩列是先把每期利率取成

0.0833

、

0.00274

再算的。若這一題也先把利率取成

0.000114

、

0.0000019

再算，會得到

2.71443

與

2.71458

，差距同樣是

0.00015

。每分鐘計息的本利和

2.71828

已經與常數

e \approx 2.71828

的前五位小數相同。

第 14 題

x lo g 5 = lo g 5^{x}

，所以條件是

lo g 5^{x} = 2

，由對數的定義

5^{x} = 1 0^{2} = 100

。於是

5^{- x} = \frac{1}{5 ^{x}} = \frac{1}{100}

，

5^{x} + 5^{- x} = 100 + \frac{1}{100} = 100 \frac{1}{100} = 100.01

。

不需要先算出

x

（

x = \frac{2}{l o g 5} \approx 2.861

），直接把

5^{x}

當成一個整體。答案寫成

\frac{10001}{100}

也一樣。

年利率

100%

、一年分

n

期複利的本利和是

(1 + \frac{1}{n})^{n}

倍，

n

愈大愈接近

e

。

06填充題第 10、11 題：對數模型求倍數、估計位數

第 15 題設中心風速

200

、

100

時的行進距離分別是

d_{1}

、

d_{2}

：

200 = 65 + 93 lo g d_{1}

，

100 = 65 + 93 lo g d_{2}

。兩式相減：

100 = 93 (lo g d_{1} - lo g d_{2}) = 93 lo g \frac{d _{1}}{d _{2}}

，所以

lo g \frac{d _{1}}{d _{2}} = \frac{100}{93}

，

\frac{d _{1}}{d _{2}} = 1 0^{\frac{100}{93}}

。用計算機：

\frac{100}{93} \approx 1.0753

，

1 0^{1.0753} \approx 11.89

，四捨五入到整數位是

12

倍。

兩式相減就能把

65

消掉，不必分別算出

d_{1} \approx 28.3

、

d_{2} \approx 2.38

。

第 16 題令

N = 2996863034895 \times 2^{1290000}

。先求

N

的位數：

lo g N = lo g 2996863034895 + 1290000 \times lo g 2

。用計算機：

lo g 2996863034895 = lo g (2.996863 \times 1 0^{12}) \approx 12.4767

；

lo g 2 \approx 0.30103

，

1290000 \times 0.30103 \approx 388328.69

。所以

lo g N \approx 388341.17

，即

N = 1 0^{0.17} \times 1 0^{388341}

，其中

1 < 1 0^{0.17} < 10

，

N

的整數部分有

388341 + 1 = 388342

位。再看

N \pm 1

：

N

是

5

的倍數也是

2

的倍數，個位數字是

0

，但

N

不是

10

的整數次方（

lo g N

不是整數），所以

N - 1

不會少一位、

N + 1

也不會多一位。這兩個孿生質數都是

388342

位數。

lo g 2

的位數要取夠：只用

0.3010

會得到

1290000 \times 0.3010 = 388290

，最後算成

388303

位，少了

39

位；直接按計算機的

lo g

鍵再乘

1290000

最保險。「共有」在這裡是指這一對質數的位數都是這麼多，不是兩個數的位數相加。

正整數

N

的位數是

lo g N

的整數部分加

1

；乘積的對數拆成對數的和，次方的對數把指數搬到前面。

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