段考詳解範圍：正弦函數與週期性現象（弧度量、正弦函數的圖形與週期）、指數函數與圖形

建國中學 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 3 題（每題 6 分，共 18 分）、多重選擇題 4 題（每題 8 分，共 32 分；答錯 1 個選項得 5 分，答錯 2 個選項得 2 分）、填充題 6 格（每格 6 分，共 36 分）、混合題 1 題（8 分）、計算題 1 題（8 分）；卷面所印的配分加起來是 102 分。原卷各大題的題號各自從 1 起，本頁依序編為第 1～18 題，混合題的四個小題是第 14～17 題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題（每題 6 分，共 18 分）

令

a = sin (π^{2})

，試問下列哪一個選項是對的？

(1) $- 1 < a \leq - \frac{3}{2}$
(2) $- \frac{3}{2} < a \leq - \frac{1}{2}$
(3) $- \frac{1}{2} < a \leq 0$
(4) $\frac{1}{2} < a \leq \frac{3}{2}$
(5) $\frac{3}{2} < a \leq 1$

設

ω > 0

，函數

y = sin (ω x + \frac{π}{3}) + 2

的圖形向右平移

\frac{4 π}{3}

後與原圖形重合，則

ω

的最小值為何？

(1) $\frac{2}{3}$
(2) $\frac{4}{3}$
(3) $\frac{3}{2}$
(4) $3$
(5) $\frac{3}{4}$

設

A (1, 2)

、

B (3, 8)

為

f (x) = 2^{x}

上之兩點，又鉛垂線

x = \frac{5}{2}

分別交

\overline{A B}

與

f (x) = 2^{x}

於

C

，

D

兩點。對於線段

\overline{C D}

長度的範圍，下列何者正確？（

2 \approx 1.4

）

(1) $0.4 < \overline{C D} < 0.6$
(2) $0.6 < \overline{C D} < 0.8$
(3) $0.8 < \overline{C D} < 1$
(4) $1 < \overline{C D} < 1.2$
(5) $1.2 < \overline{C D} < 1.4$

載入中...

二、多重選擇題（每題 8 分，共 32 分）｜每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 5 分；答錯 2 個選項者，得 2 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

下列選項哪些是正確的？

(1) $\frac{- 1}{2} < cos 2 < 0$
(2) $cos 2 > cos 1$
(3) $sin 2 > sin 1$
(4) $sin 1 > cos 1$
(5) $sin 1 > tan 1$

如圖是函數

y = a sin (b x + c)

（其中

a > 0

，

b > 0

，

∣ c ∣ < π

）在一個週期內的圖形，則下列敘述何者正確？

(1) $a = 2$
(2) $b = 3$
(3) $c = \frac{π}{12}$
(4) 該函數圖形可由 $y = 2 sin 3 x$ 向左平移 $\frac{π}{12}$ 單位而得
(5) 該函數圖形對稱於直線 $x = \frac{5 π}{12}$

載入中...

設

a

，

b

均為實數，則二次函數

y = a x^{2} - 2 a x + b

與指數函數

y = (\frac{a}{b})^{x}

的圖形可能為下列何者？（五個選項是五個圖形，見附圖）

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

曲線

y = a^{x}

的部分圖形與

x

軸的關係如圖所示，其中

A

，

B

，

C

為

x

軸上的相異三點，且

\overline{A B} = \overline{B C}

，過

A

，

B

，

C

三點分別作

x

軸的垂線，並交曲線

y = a^{x}

的圖形於

D

，

E

，

F

三點。下列選項哪些正確？

(1) $a > 1$
(2) $\overline{A D} + \overline{C F} > 2 \times \overline{B E}$
(3) $\overline{A D}$ ， $\overline{B E}$ ， $\overline{C F}$ 三線段長度成等差數列
(4) $\overline{A D} \times \overline{C F} = \overline{B E}^{2}$
(5) 若 $B$ 為原點，則 $\overline{A D} \times \overline{C F} = a^{2}$

載入中...

三、填充題（每格 6 分，共 36 分）

在半徑為

6

的圓上，有一扇形的周長為此圓周長的

\frac{1}{3}

，則此扇形的面積為 ____。

如圖，兩圓半徑分別為

2

與

4

，

\overline{A B}

與

\overline{C D}

為大圓中兩平行弦且分別與小圓相切，則陰影部分

A B C D

之面積為 ____。

載入中...

假設小華某段時間的血壓變化可用函數

f (t) = 24 sin (100 π t) + 90

來模擬，其中

f (t)

為血壓（單位：毫米汞柱），

t

為時間（單位：分鐘）。若

f (t)

的最大值稱為收縮壓，而兩個收縮壓的時間間隔為

1

次心跳的時間，則小華的心跳速率為每分鐘 ____ 次。

設

- π \leq x \leq π

，方程式

sin x + \frac{x}{4} = 1

有 ____ 個相異實根。

y = sin (2 x + \frac{π}{3})

的圖形是由

y = sin x

圖形，先水平伸縮為原來的

a

倍，再向左移

b

得到，則數對

(a, b) =

____。

牛奶保鮮時間因儲藏時的溫度不同而不同。若牛奶放在

0^{\circ} C

的冰箱中，保鮮時間是

200

小時，而在

24^{\circ} C

的廚房中是

25

小時。假設保鮮時間

y

（小時）與儲藏溫度

x

（

^{\circ} C

）的函數關係是

y = a \cdot b^{x}

（

a

、

b

是常數）。則儲藏溫度在

12^{\circ} C

時的保鮮時間為 ____ 小時。

載入中...

四、混合題（每題 8 分，共 8 分）

混合題（原卷第四大題第 1 題）（第 14～17 題）　以下節錄某電視臺的報導：「高雄繼夢時代摩天輪之後，又有了第二座摩天輪。義大世界園區內的摩天輪總共有

40

個車廂，最多可以同時搭乘

320

人，旋轉一圈的時間為

a

分鐘。由於摩天輪位於觀音山海拔

b

公尺處，且摩天輪的直徑有

c

公尺，因此最高點的高度有

b + c

公尺。在此高度下，可將港都高雄盡收眼底，白晝海天一色，入夜後則是燈火星羅棋布，美不勝收。」假設乘坐此摩天輪的過程中，當時間為

t

分鐘時，乘客所在位置的海拔高度為

y

公尺，其中

y

與

t

的函數關係為

y = 40 sin (\frac{π}{9} t - \frac{π}{2}) + 270

。試依據此函數關係回答下列各問題：

(1)

c =

____。

(2)

b =

____。

(3)

a =

____。

(4) 乘坐一圈的過程中，若

5

分鐘時的高度與

d

分鐘時的高度相同（

d > 5

），則

d =

？

五、計算題（每題 8 分，共 8 分）

某養殖場飼養臺灣鯛魚，其中一個魚池受到病毒感染，且經過

t

小時魚隻的受感染率定義為

f (t) = \frac{t 小時受感染的魚隻數量}{魚隻總數量}

，已知

f (t) = \frac{1}{1 + a \cdot 7 ^{- b t}}

，且此養殖場開始時（

t = 0

）魚隻的受感染率為

2 %

，經過

3

小時（

t = 3

）魚隻的受感染率為

12.5 %

，求

a

，

b

的值。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(3)

第 3 題(3)

第 4 題(1)(3)(4)

第 5 題(1)(2)(4)(5)

第 6 題(1)(2)(4)

第 7 題(1)(2)(4)

第 8 題

12 π - 36

第 9 題

\frac{16 π}{3} + 83

第 10 題

50

第 11 題

2

第 12 題

(\frac{1}{2}, \frac{π}{6})

第 13 題

502

第 14 題

80

第 15 題

230

第 16 題

18

第 17 題

13

第 18 題

a = 49

，

b = \frac{1}{3}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：弧度角的正弦值、平移後重合、指數函數與割線

第 1 題答案 (3)。沒有度的記號就是弧度。

π^{2} = π \times π

，而

π \approx 3.1416

，所以

π^{2} \approx 3.1416 π = 3 π + 0.1416 π

。轉

2 π

是一整圈，

3 π + 0.1416 π

與

π + 0.1416 π

的終邊相同。

0.1416 π \approx 0.1416 \times 18 0^{\circ} \approx 25. 5^{\circ}

，所以這個角相當於

18 0^{\circ} + 25. 5^{\circ} = 205. 5^{\circ}

，在第三象限，正弦值為負：

a = - sin 25. 5^{\circ}

。因為

0^{\circ} < 25. 5^{\circ} < 3 0^{\circ}

，銳角越大正弦值越大，

0 < sin 25. 5^{\circ} < sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

，所以

- \frac{1}{2} < a < 0

，落在選項 (3)。

關鍵是

π - 3 \approx 0.14

比

\frac{1}{6} \approx 0.167

小，所以多出來的角

(π - 3) π

不到

\frac{π}{6}

。實際上

a \approx - 0.43

。

第 2 題答案 (3)。圖形向右平移一段距離後與原圖形完全重合，這段距離一定是週期的正整數倍。此函數的週期是

\frac{2 π}{ω}

（加

\frac{π}{3}

與加

2

只是平移，不影響週期），所以

\frac{4 π}{3} = k \times \frac{2 π}{ω} (k 為正整數), ω = \frac{3 k}{2} .

k = 1

時

ω

最小，

ω = \frac{3}{2}

。

ω

最小就是週期最大，也就是平移的距離

\frac{4 π}{3}

剛好是一個週期。

第 3 題答案 (3)。

C

在

\overline{A B}

上：直線

A B

的斜率是

\frac{8 - 2}{3 - 1} = 3

，

x = \frac{5}{2}

比

A

的

x

坐標多

\frac{3}{2}

，所以

C

的

y

坐標是

2 + 3 \times \frac{3}{2} = 6.5

。

D

在曲線上：

y = 2^{\frac{5}{2}} = 2^{2} \times 2^{\frac{1}{2}} = 42 \approx 4 \times 1.4 = 5.6

。

C

、

D

在同一條鉛垂線上，

\overline{C D} = 6.5 - 42 \approx 6.5 - 5.6 = 0.9

，介於

0.8

與

1

之間。

用更精確的

2 \approx 1.414

算是

6.5 - 5.657 \approx 0.84

，仍在

0.8

與

1

之間。指數函數的圖形凹口向上，割線

\overline{A B}

在曲線上方，所以

C

比

D

高。

弧度角先減掉

2 π

的整數倍、換成熟悉的度數再判斷象限；平移後重合的距離是週期的正整數倍。

02多選第 4、5 題：弧度角比大小、由圖形決定正弦函數

第 4 題答案 (1)(3)(4)。

1

弧度約

57. 3^{\circ}

，在第一象限；

2

弧度約

114. 6^{\circ}

，在第二象限。 (1) 正確。

9 0^{\circ} < 114. 6^{\circ} < 12 0^{\circ}

，在第二象限角越大餘弦值越小，所以

cos 12 0^{\circ} < cos 2 < cos 9 0^{\circ}

，即

- \frac{1}{2} < cos 2 < 0

。 (2) 不正確。

cos 2 < 0

（第二象限），

cos 1 > 0

（第一象限），所以

cos 2 < cos 1

。 (3) 正確。

sin 2 = sin 114. 6^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 114. 6^{\circ}) = sin 65. 4^{\circ}

，而

sin 1 = sin 57. 3^{\circ}

。銳角越大正弦值越大，

sin 65. 4^{\circ} > sin 57. 3^{\circ}

。 (4) 正確。

57. 3^{\circ} > 4 5^{\circ}

：

sin 1 > sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

，

cos 1 < cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

，所以

sin 1 > cos 1

。 (5) 不正確。

tan 1 = \frac{sin 1}{cos 1}

，而

0 < cos 1 < 1

，正數

sin 1

除以一個小於

1

的正數會變大，所以

tan 1 > sin 1

。

用弧度直接比也可以：

\frac{π}{2} \approx 1.57

，

\frac{2 π}{3} \approx 2.09

，所以

\frac{π}{2} < 2 < \frac{2 π}{3}

；

\frac{π}{4} \approx 0.785 < 1 < \frac{π}{2}

。

第 5 題答案 (1)(2)(4)(5)。 (1) 正確。圖形最高到

2

、最低到

- 2

，振幅是

2

，而

a > 0

，所以

a = 2

。 (2) 正確。圖上畫的是一個週期，從

x = - \frac{π}{12}

到

x = \frac{7 π}{12}

，週期

= \frac{7 π}{12} + \frac{π}{12} = \frac{2 π}{3}

。由

\frac{2 π}{b} = \frac{2 π}{3}

（

b > 0

）得

b = 3

。 (3) 不正確。圖形在

x = - \frac{π}{12}

由下往上通過

x

軸，這是一個週期的起點，對應

b x + c = 0

（加上

2 π

的整數倍）：

3 \times (- \frac{π}{12}) + c = 0

，

c = \frac{π}{4}

。在

∣ c ∣ < π

的範圍內只有這一個值，不是

\frac{π}{12}

。 (4) 正確。函數是

y = 2 sin (3 x + \frac{π}{4}) = 2 sin 3 (x + \frac{π}{12})

，是把

y = 2 sin 3 x

的

x

換成

x + \frac{π}{12}

，也就是向左平移

\frac{π}{12}

單位。 (5) 正確。

x = \frac{5 π}{12}

時

3 x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2}

，

y = 2 sin \frac{3 π}{2} = - 2

，是最低點。正弦型函數的圖形對稱於通過每個最高點或最低點的鉛直線，所以對稱於直線

x = \frac{5 π}{12}

。

c

與平移量不一樣：平移量是

\frac{c}{b} = \frac{π}{12}

，

c

本身是

\frac{π}{4}

。選項 (3) 就是把兩者混在一起。

由圖形決定

y = a sin (b x + c)

：最高最低點定

a

，一個週期的長度定

b

，再代一個已知點（例如由下往上通過

x

軸的點）定

c

。

03多選第 6、7 題：二次函數與指數函數的圖形、指數函數值成等比

第 6 題答案 (1)(2)(4)。先整理兩個函數各自透露的訊息。二次函數：

y = a x^{2} - 2 a x + b = a (x - 1)^{2} + (b - a)

。開口方向看

a

的正負；與

y

軸的交點是

(0, b)

；頂點是

(1, b - a)

。指數函數：底數

\frac{a}{b}

必須是正數，所以

a

與

b

同號。圖形往右上升表示

\frac{a}{b} > 1

，往右下降表示

0 < \frac{a}{b} < 1

。 (1) 正確。拋物線開口向上、與

y

軸交在正的地方，

a > 0

、

b > 0

；頂點在

x

軸上方，

b - a > 0

，即

0 < a < b

，所以

0 < \frac{a}{b} < 1

，指數函數應該往右下降，與圖相符。 (2) 正確。拋物線開口向下、與

y

軸交在負的地方，

a < 0

、

b < 0

，同號；頂點在

x

軸上方，

b - a > 0

，即

a < b < 0

。兩邊同除以負數

b

，不等號反向，

\frac{a}{b} > 1

，指數函數應該往右上升，與圖相符。 (3) 不正確。拋物線開口向上、與

y

軸交在正的地方、頂點在

x

軸上方，和 (1) 一樣得到

0 < \frac{a}{b} < 1

，指數函數應該往右下降，但圖上是往右上升。 (4) 正確。拋物線開口向上、與

y

軸交在正的地方，

a > 0

、

b > 0

；頂點在

x

軸下方，

b - a < 0

，即

a > b > 0

，所以

\frac{a}{b} > 1

，指數函數應該往右上升，與圖相符。 (5) 不正確。拋物線開口向上，

a > 0

；與

y

軸交在負的地方，

b < 0

。

a

、

b

異號，

\frac{a}{b} < 0

，不能當指數函數的底數。

五個圖的拋物線頂點都畫在

x = 1

的位置，與

y = a (x - 1)^{2} + (b - a)

一致，所以要比的只有開口、與

y

軸的交點、頂點的高度這三件事。

第 7 題答案 (1)(2)(4)。設

B

的

x

坐標是

p

，

\overline{A B} = \overline{B C} = d

（

d > 0

），則

A

、

B

、

C

的

x

坐標依序是

p - d

、

p

、

p + d

，三條鉛直線段的長度是

\overline{A D} = a^{p - d}

，

\overline{B E} = a^{p}

，

\overline{C F} = a^{p + d}

。 (1) 正確。圖形往右上升，底數

a > 1

。 (4) 正確。

\overline{A D} \times \overline{C F} = a^{p - d} \times a^{p + d} = a^{2 p} = (a^{p})^{2} = \overline{B E}^{2}

。也就是三個長度成等比數列，公比是

a^{d}

。 (2) 正確。

\overline{A D} + \overline{C F} - 2 \overline{B E} = a^{p - d} (1 + a^{2 d} - 2 a^{d}) = a^{p - d} (a^{d} - 1)^{2}

。因為

a > 1

、

d > 0

，

a^{d} \neq = 1

，這個值是正的，所以

\overline{A D} + \overline{C F} > 2 \times \overline{B E}

。 (3) 不正確。成等差數列的條件是

\overline{A D} + \overline{C F} = 2 \times \overline{B E}

，但 (2) 已經算出左邊比較大。 (5) 不正確。

B

為原點時

p = 0

，

\overline{B E} = a^{0} = 1

，由 (4) 得

\overline{A D} \times \overline{C F} = 1

；而

a > 1

，

a^{2} > 1

，兩者不相等。

x

坐標成等差時，指數函數的值成等比。(2) 也可以從圖形看：指數函數的圖形凹口向上，

D

、

F

連線的中點在

E

的上方，中點的高度是

\frac{A D + C F}{2}

。

y = a (x - h)^{2} + k

與

y = (\frac{a}{b})^{x}

放在一起時，先由拋物線讀出

a

、

b

的正負與大小，再檢查底數；

x

等距時

a^{x}

的值成等比。

04填充第 1、2 題（本頁第 8、9 題）：扇形面積、兩平行弦之間的面積

第 8 題設扇形的圓心角為

θ

（弧度）。扇形的周長是兩條半徑加一段弧：

6 + 6 + 6 θ = 12 + 6 θ

。圓的周長是

2 π \times 6 = 12 π

，它的

\frac{1}{3}

是

4 π

。由

12 + 6 θ = 4 π

得

θ = \frac{4 π - 12}{6} = \frac{2 π}{3} - 2

。扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 36 \times (\frac{2 π}{3} - 2) = 12 π - 36

。

扇形的周長不是只有弧長。

12 π - 36 \approx 1.7

，是一個很窄的扇形（圓心角約

0.094

弧度）。也可以用「面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長」：弧長是

4 π - 12

，面積

= \frac{1}{2} \times 6 \times (4 π - 12)

。

第 9 題由圖，兩圓同心，設圓心為

O

。小圓與

\overline{A B}

相切，所以

O

到

\overline{A B}

的距離等於小圓半徑

2

。設

M

是

\overline{A B}

的中點（也就是切點），則

\overline{O M} = 2

、

\overline{O A} = 4

，直角三角形

O M A

中

\overline{A M} = 4^{2} - 2^{2} = 23

，而且斜邊是一股的兩倍，

∠ A O M = 6 0^{\circ}

。所以

\overline{A B} = 43

，

∠ A O B = 12 0^{\circ}

，三角形

O A B

的面積

= \frac{1}{2} \times 43 \times 2 = 43

。

\overline{C D}

那一側完全相同，三角形

O C D

的面積也是

43

。繞

O

一圈是

36 0^{\circ}

，扣掉兩個

12 0^{\circ}

剩下

12 0^{\circ}

，由對稱平分給

∠ A O D

與

∠ B O C

，各

6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

。扇形

O A D

的面積

= \frac{1}{2} \times 4^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{8 π}{3}

，扇形

O B C

也是。陰影部分（兩條弦之間、大圓內的整塊區域）

=

兩個三角形

+

兩個扇形：

2 \times 43 + 2 \times \frac{8 π}{3} = \frac{16 π}{3} + 83 .

這就是所求的面積。

原卷的圖把兩條弦之間的區域整塊塗灰，小圓內部也在陰影裡，所以不必扣掉小圓。數值約

30.6

，大圓面積

16 π \approx 50.3

。

圓裡被弦切出來的區域，連半徑拆成扇形與三角形來算；扇形面積

\frac{1}{2} r^{2} θ

的

θ

要用弧度。

05填充第 3、4 題（本頁第 10、11 題）：正弦模型的週期、用圖形數實根

第 10 題兩個相鄰最大值的時間間隔就是

f (t)

的週期。

f (t) = 24 sin (100 π t) + 90

的週期是

\frac{2 π}{100 π} = \frac{1}{50}

分鐘，也就是每

\frac{1}{50}

分鐘心跳

1

次，所以每分鐘心跳

1 \div \frac{1}{50} = 50

次。

振幅

24

與上下平移的

90

只影響血壓的高低（收縮壓

114

），不影響週期。

第 11 題把方程式寫成

sin x = 1 - \frac{x}{4}

，實根的個數就是

y = sin x

的圖形與直線

y = 1 - \frac{x}{4}

在

- π \leq x \leq π

內的交點個數。這條直線往右下斜，在

x = 0

的高度是

1

。 ①

- π \leq x \leq 0

：

sin x \leq 0

，而直線的高度

1 - \frac{x}{4} \geq 1

，沒有交點。 ②

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

：正弦曲線由

0

升到

1

，直線由

1

降到

1 - \frac{π}{8} \approx 0.61

。左端曲線在直線下方，右端曲線在直線上方，一升一降，恰好交

1

點。 ③

\frac{π}{2} \leq x \leq π

：正弦曲線由

1

降到

0

，直線由約

0.61

降到

1 - \frac{π}{4} \approx 0.21

。左端曲線在上，右端曲線在下，至少交

1

點；而

y = sin x

在

0 \leq x \leq π

是一個凹口向下的拱形，一條直線與它最多交

2

點，② 已經用掉

1

點，所以這一段恰好交

1

點。合計

2

個相異實根。

兩個根大約在

x \approx 0.89

與

x \approx 2.85

。容易把直線畫成往右上斜（那是

sin x = \frac{x}{4} + 1

的情形），方向要先看清楚。

一邊是正弦、一邊是一次式的方程式：移項成兩個圖形，先排除不可能有交點的區間，再分段比兩端的高低。

06填充第 5、6 題（本頁第 12、13 題）：圖形的伸縮與平移、指數模型

第 12 題先水平伸縮：把

y = sin x

的圖形水平伸縮為原來的

a

倍，是把

x

換成

\frac{x}{a}

。要得到

sin 2 x

，需要

\frac{1}{a} = 2

，

a = \frac{1}{2}

，此時圖形是

y = sin 2 x

。再向左移

b

：把

x

換成

x + b

，得

y = sin 2 (x + b) = sin (2 x + 2 b)

。與

sin (2 x + \frac{π}{3})

比較，

2 b = \frac{π}{3}

，

b = \frac{π}{6}

。所以

(a, b) = (\frac{1}{2}, \frac{π}{6})

。

先伸縮再平移時，平移量要除以

x

的係數，

b

是

\frac{π}{6}

，不是

\frac{π}{3}

。

y = sin 2 x

的週期是

π

，所以

b

取

\frac{π}{6}

再加

π

的整數倍也會得到同一個圖形，這裡取最小的正數。

第 13 題

x = 0

時

y = a \cdot b^{0} = a = 200

。

x = 24

時

200 \cdot b^{24} = 25

，所以

b^{24} = \frac{1}{8}

。要求的是

x = 12

時的

y = 200 \cdot b^{12}

。因為

(b^{12})^{2} = b^{24} = \frac{1}{8}

，而

b^{12} > 0

，所以

b^{12} = \frac{1}{8} = \frac{1}{2 2} = \frac{2}{4}

。保鮮時間

= 200 \times \frac{2}{4} = 502

小時（約

70.7

小時）。

12

剛好是

0

與

24

的中間，指數函數的值成等比，所以答案是

200

與

25

的等比中項

200 \times 25 = 5000 = 502

，不是平均

112.5

。不必把

b

求出來。

y = a \cdot b^{x}

在等距的

x

上取值成等比；要的是

b^{12}

就直接由

b^{24}

開平方，不必解出

b

。

07混合題（本頁第 14～17 題）：摩天輪的正弦函數模型

第 14 題

y = 40 sin (\frac{π}{9} t - \frac{π}{2}) + 270

的振幅是

40

：最高

270 + 40 = 310

公尺，最低

270 - 40 = 230

公尺。摩天輪的直徑就是最高點與最低點的高度差，

c = 310 - 230 = 80

。

振幅

40

是半徑，直徑要乘以

2

。

第 15 題報導說最高點的高度是

b + c

公尺。由上一小題，最高點是

310

公尺、

c = 80

，所以

b = 310 - 80 = 230

。

b

就是摩天輪最低點的海拔高度；

270

是輪軸（圓心）的高度，不是

b

。

第 16 題旋轉一圈的時間就是函數的週期：

\frac{2 π}{\frac{π}{9}} = 2 π \times \frac{9}{π} = 18

，所以

a = 18

（分鐘）。

車廂數

40

與搭乘人數

320

用不到。

第 17 題乘坐一圈是

0 \leq t \leq 18

。

t = 0

時

y = 40 sin (- \frac{π}{2}) + 270 = 230

，在最低點；

t = 9

時

\frac{π}{9} \times 9 - \frac{π}{2} = \frac{π}{2}

，

y = 310

，在最高點。正弦型函數的圖形對稱於通過最高點的鉛直線

t = 9

：上升途中與下降途中等高的兩個時刻，到

t = 9

的距離相等。

t = 5

在

t = 9

之前

4

分鐘，所以另一個時刻是

t = 9 + 4 = 13

，即

d = 13

。檢查：

t = 5

時角度是

\frac{5 π}{9} - \frac{π}{2} = \frac{π}{18}

；

t = 13

時角度是

\frac{13 π}{9} - \frac{π}{2} = \frac{17 π}{18} = π - \frac{π}{18}

。因為

sin (π - θ) = sin θ

，兩個時刻的高度相同。

在一圈之內，同一個高度（最高點、最低點除外）只會出現兩次，所以

d

只有

13

這一個答案。

y = A sin (ω t + φ) + k

描述圓周運動的高度：

A

是半徑、

k

是圓心的高度、

\frac{2 π}{ω}

是轉一圈的時間；等高的兩個時刻對稱於到達最高點的時刻。

08計算題（本頁第 18 題）：由兩個時刻的受感染率決定指數模型

第 18 題求 a。

t = 0

時

7^{0} = 1

，所以

f (0) = \frac{1}{1 + a}

。已知

f (0) = 2 % = \frac{1}{50}

，所以

1 + a = 50

，

a = 49

。 求 b。

t = 3

時

f (3) = \frac{1}{1 + 49 \cdot 7 ^{- 3 b}}

。已知

f (3) = 12.5 % = \frac{1}{8}

，所以

1 + 49 \cdot 7^{- 3 b} = 8, 49 \cdot 7^{- 3 b} = 7.

把

49

寫成

7^{2}

：

7^{2} \cdot 7^{- 3 b} = 7^{2 - 3 b} = 7^{1}

。底數相同，指數相等：

2 - 3 b = 1

，

b = \frac{1}{3}

。所以

a = 49

，

b = \frac{1}{3}

。

驗算：

f (t) = \frac{1}{1 + 49 \cdot 7 ^{- t /3}}

，

f (3) = \frac{1}{1 + 49 \times \frac{1}{7}} = \frac{1}{8} = 12.5 %

。百分率先化成分數（

2 % = \frac{1}{50}

，

12.5 % = \frac{1}{8}

）會比小數好算。

指數方程式把兩邊化成同一個底數，再比較指數。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

建國中學 110 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題的角是圓周率的平方（弧度），要先看出它比三個平角多出不到三十度；第 6 題要同時用拋物線的開口方向、與縱軸的交點、頂點的高度三件事去推指數函數的底數；第 11 題的直線是往右下斜的，要分左半、右半兩段比高低來數交點；第 9 題要把兩條弦之間的區域拆成兩個扇形與兩個三角形。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自建國中學 110 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

建國中學 110 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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03多選第 6、7 題：二次函數與指數函數的圖形、指數函數值成等比

04填充第 1、2 題（本頁第 8、9 題）：扇形面積、兩平行弦之間的面積

05填充第 3、4 題（本頁第 10、11 題）：正弦模型的週期、用圖形數實根

06填充第 5、6 題（本頁第 12、13 題）：圖形的伸縮與平移、指數模型

07混合題（本頁第 14～17 題）：摩天輪的正弦函數模型

08計算題（本頁第 18 題）：由兩個時刻的受感染率決定指數模型

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高二第一次段考
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