段考詳解範圍：指數與對數函數（對數律與換底公式、指數與對數函數的圖形、指數對數方程式與不等式、常用對數的應用）

武陵高中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

多選題 2 題（1 題 8 分，共 16 分）、填充題 9 格（依答對格數給分，全對 65 分）、計算題 2 題 5 小題（共 19 分），合計 100 分。原卷各大題各自從 1 編號，本頁全卷連續編號：填充題第 1～9 題為本頁第 3～11 題，計算題第 1 題的 (1)(2) 為本頁第 12～13 題、第 2 題的 (1)(2)(3) 為本頁第 14～16 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，14 題一致；多選題第 2 題與填充題第 3 題（本頁第 2、5 題）依卷面計算，與學校印的不同，詳解有說明。

一、多選題（1 題 8 分，共 16 分，每題錯一個選項得 5 分，錯二個選項得 2 分，錯三個以上選項得 0 分）

若函數

f (x) = lo g (3 x - 1)

，請選出正確的選項。

(1) 函數 $f (x)$ 的圖形必過點 $(1, 0)$
(2) 函數 $f (x)$ 為嚴格遞增函數
(3) 函數 $f (x)$ 的圖形為凹口向上
(4) 將 $y = lo g x$ 的圖形向右平移 $\frac{1}{3}$ 單位會得到函數 $f (x)$ 的圖形
(5) $3 x - 1 = 0$ 為函數 $f (x)$ 圖形的漸近線

已知

a > 0

，

a \neq = 1

，若曲線 A 為函數

y = a^{x}

的圖形，曲線 B 與曲線 A 對稱於

y = x

，曲線 C 與曲線 A 對稱於

x

軸，曲線 D 與曲線 B 對稱於

y

軸。請選出正確的選項。

(1) 曲線 A 與曲線 B 沒有交點。
(2) 曲線 A 與曲線 B 可能交於 $1$ 點
(3) 曲線 B 與曲線 D 可能交於 $1$ 點
(4) 曲線 C 與曲線 D 對稱於原點
(5) 若直線 $x + y = 4$ 分別與曲線 A、曲線 B 交於點 P、點 Q，則 P、Q 中點為 $(2, 2)$

二、填充題（共 65 分，配分如下表）（答對格數與得分：1 格 10 分、2 格 18 分、3 格 26 分、4 格 33 分、5 格 40 分、6 格 47 分、7 格 53 分、8 格 59 分、9 格 65 分）

求解方程

lo g_{4} (12 - 2^{x + 1}) = x + \frac{1}{2}

，則

x =

____

化簡

\frac{( lo g _{5} 2 ) \cdot ( lo g _{7} 9 )}{( lo g _{5} \frac{1}{3} ) \cdot ( lo g _{7} 3 4 )} =

____

解不等式

lo g_{x} (2 x^{2} + x - 1) > lo g_{x} 2 + 1

，則

x

的範圍為 ____

方程式

2^{x} \cdot ∣ lo g_{2} x ∣ = 1

實數解的個數有 ____ 個

已知

7^{n}

為

9

位數，求正整數

n =

____。（參考數值：

lo g 7 \approx 0.8451

）

若某放射性元素在

x

年後的質量為

y

公克，所滿足的函數為

y = f (x) = k \times a^{x}

。已知此放射性元素有

243

公克，且在

10

萬年後將只剩

1

公克，則此放射性元素在

1

萬年後的質量應為 ____ 公克。

設

a = lo g_{15} 2

，

b = lo g_{15} 3

，試以

a

、

b

表示指數方程式

1 0^{x + 1} = 6^{x}

的解

x =

____。（沒有以

a

、

b

表示不予給分）

已知實數

x

滿足

4^{x} - 9 \cdot 2^{x + 1} + 32 \leq 0

，若函數

y = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{x}{2} \cdot lo g_{\frac{1}{2}} \frac{x}{8}

的最大值為

M

，最小值為

m

，求數對

(M, m) =

____

pH 值是衡量溶液酸鹼程度的標準，它的定義為：pH 值

= - lo g [H^{+}]

，其中

[H^{+}]

為氫離子的濃度（莫耳／升）。已知咖啡、茶、牛奶的 pH 值分別為

5.1

、

5.8

、

6.5

恰好成等差。若將咖啡與牛奶依體積

1

比

1

的比例混合成拿鐵，則拿鐵的 pH 值 ____ 茶的 pH 值。（請填入大於、小於、等於其中一個答案）

三、計算題（共 19 分）（請詳列計算過程，否則不予計分）

計算題第 1 題（本頁第 12～13 題）（第 12～13 題）　小陵想要了解什麼是通貨膨脹，於是上網搜尋找到：「通貨膨脹就是錢越來越沒價值，一樣的錢能買的東西越來越少。如果我們把通貨膨脹的概念數字化，就可以很容易的比較東西到底貴多少。所以經濟學家們定義了一個數字叫做通膨率。通膨率的計算公式為：通膨率＝（現在價格／原始價格）－ 1」為了瞭解台灣的通膨率，小陵搜尋過去的物價找到一篇新聞：「知名小吃店 40 年前價格曝光！滷肉飯只要 10 元。」而現今該店相同的一碗滷肉飯價格為 50 元。（參考數值：

lo g 5 \approx 0.6990

）

x lo g (1 + 0.01 x) 1 0.0043 2 0.0086 3 0.0128 4 0.0170 5 0.0212 6 0.0253 7 0.0294 8 0.0334 9 0.0374

(1) 依照通膨率的計算公式，該滷肉飯在經過

40

年的通膨率為

k %

，試求

k

之值。（3 分）

(2) 承上題，設過去

40

年每年的通膨率為定值

x %

，試求

x

之值。（取最接近之整數）（5 分）

(1) 試利用描點法（完成表格），描繪

y = (2)^{x}

與

y = lo g_{2} x

的圖形。（6 分）（參考數值：

2 \approx 1.414

）

x (2)^{x} - 2 0124

x lo g_{2} x \frac{1}{2} 1224

載入中...

(2) 試利用 (1) 的結果，解不等式

(2)^{x} \geq lo g_{2} x

。（3 分）

(3) 若

y = (2)^{x}

和

x + y = 2

兩圖形交點為

(x_{1}, y_{1})

，

y = lo g_{2} x

和

x + y = 2

兩圖形交點為

(x_{2}, y_{2})

，試求

∣ x_{1} - 1∣ - ∣ x_{2} - 1∣

之值。（2 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)(5)

第 2 題(2)(5)（本站依卷面計算；學校公布的答案印 (2)(3)(5)。卷面印「曲線 D 與曲線 B 對稱於 y 軸」，照此兩線沒有交點，選項 (3) 不成立，見詳解）

第 3 題

1

第 4 題

- \frac{3}{2}

第 5 題

\frac{1}{2} < x < 1

或

x > 1

（本站依卷面計算；學校公布的答案印「

0 < x < \frac{1}{2}

，

x > 1

」，但

0 < x < \frac{1}{2}

時真數

2 x^{2} + x - 1

為負、對數沒有意義，見詳解）

第 6 題

2

第 7 題

10

第 8 題

813

（約

140.3

；學校的答案註明寫

813

、

\approx 140.292

、

\approx 140

皆可，其中

140.292

是用

3 \approx 1.732

算出來的）

第 9 題

\frac{a - b + 1}{2 b - 1}

第 10 題

(3, - 1)

第 11 題小於

第 12 題

k = 400

第 13 題

x = 4

第 14 題第一個表依序填

\frac{1}{2}

、

1

、

2

、

2

、

4

；第二個表依序填

- 2

、

0

、

1

、

2

、

4

；圖形如詳解附圖

第 15 題

0 < x \leq 2

或

x \geq 4

第 16 題

0

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～2：對數函數的圖形、四條曲線的對稱

第 1 題答案 (2)(5)。先把函數改寫：

f (x) = lo g (3 x - 1) = lo g [3 (x - \frac{1}{3})] = lo g (x - \frac{1}{3}) + lo g 3

，定義域是

x > \frac{1}{3}

。 (1) 錯：

f (1) = lo g 2 \neq = 0

。圖形與

x

軸的交點要

3 x - 1 = 1

，是

(\frac{2}{3}, 0)

。 (2) 對：

x

變大時

3 x - 1

變大，而常用對數的底數

10 > 1

，真數越大對數值越大，所以

f

嚴格遞增。 (3) 錯：由改寫的式子，

f

的圖形是

y = lo g x

的圖形平移而成，形狀不變；

y = lo g x

的圖形凹口向下，所以

f

的圖形也是凹口向下。 (4) 錯：

y = lo g x

向右平移

\frac{1}{3}

單位得到的是

y = lo g (x - \frac{1}{3})

，還要再向上平移

lo g 3

單位才是

f (x)

。 (5) 對：

y = lo g x

的漸近線是

x = 0

，平移後

f

的漸近線是鉛直線

x = \frac{1}{3}

，也就是

3 x - 1 = 0

。

(4) 最容易錯：

lo g (3 x - 1)

裡的

3

提出來變成加上

lo g 3

，是上下平移，不能丟掉。

第 2 題本站答案為 (2)(5)，學校公布的答案印的是 (2)(3)(5)，差別在選項 (3)，理由如下。先寫出四條曲線：A 是

y = a^{x}

；B 與 A 對稱於

y = x

，是

y = lo g_{a} x

（只在

x > 0

有圖形）；C 與 A 對稱於

x

軸，是

y = - a^{x}

；D 與 B 對稱於

y

軸，是

y = lo g_{a} (- x)

（只在

x < 0

有圖形）。 (1) 錯：例如

a = 2

時，

(2)^{2} = 2

且

lo g_{2} 2 = 2

，點

(2, 2)

同時在 A、B 上（就是本卷計算題第 2 題的圖）。 (2) 對：例如

a = \frac{1}{2}

。

y = (\frac{1}{2})^{x}

遞減、直線

y = x

遞增，兩者恰交於一點，這個點對

y = x

作對稱還是自己，所以也在 B 上；畫出

y = (\frac{1}{2})^{x}

與

y = lo g_{\frac{1}{2}} x

的圖形，兩條曲線只有這一個交點。 (3) 錯（照卷面文字）：B 的點都滿足

x > 0

，D 的點都滿足

x < 0

，兩條曲線分在

y

軸的兩側，不論

a

是多少都沒有交點。學校公布的答案把這個選項列為正確；如果 D 是與 B 對稱於

x

軸（即

y = - lo g_{a} x

），那麼

lo g_{a} x = - lo g_{a} x

只有

x = 1

一個解，B、D 恰交於

(1, 0)

一點，選項 (3) 就成立。 (4) 錯：把 C 上的點

(x, y)

對原點作對稱得

(- x, - y)

，C 對稱於原點的曲線是

y = a^{- x}

，不是 D。例如

(0, - 1)

在 C 上，它對原點的對稱點

(0, 1)

不在 D 上（D 沒有

x = 0

的點）。 (5) 對：A、B 對稱於直線

y = x

，而直線

x + y = 4

把

x

、

y

對調後還是自己。所以若 P

(p, q)

是直線與 A 的交點，把它對

y = x

作對稱得到的

(q, p)

就是直線與 B 的交點 Q。P、Q 的中點是

(\frac{p + q}{2}, \frac{p + q}{2})

，又

p + q = 4

，所以中點是

(2, 2)

。

(5) 在

a > 1

時，A 遞增、直線遞減，交點各只有一個，敘述沒有疑義。

0 < a < 1

時直線與 A 有兩個交點（例如

a = \frac{1}{2}

），這時 P、Q 要取互相對稱的那一組，中點才是

(2, 2)

。

y = a^{x}

與

y = lo g_{a} x

的圖形對稱於直線

y = x

：一條曲線上有

(p, q)

，另一條上就有

(q, p)

。

02填充第 1～3 題（本頁 3～5）：對數方程式、換底化簡、底數是未知數的不等式

第 3 題由對數的定義，

12 - 2^{x + 1} = 4^{x + \frac{1}{2}}

。右邊

= 4^{x} \cdot 4^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot (2^{x})^{2}

，左邊

= 12 - 2 \cdot 2^{x}

。令

t = 2^{x} > 0

：

12 - 2 t = 2 t^{2}

，即

t^{2} + t - 6 = 0

，

(t + 3) (t - 2) = 0

。因為

t > 0

，取

t = 2

，所以

x = 1

。檢查：真數

12 - 2^{2} = 8 > 0

，

lo g_{4} 8 = \frac{3}{2} = 1 + \frac{1}{2}

，成立。

第 4 題全部換成常用對數。分子：

lo g_{5} 2 = \frac{\frac{1}{2} l o g 2}{l o g 5}

，

lo g_{7} 9 = \frac{2 l o g 3}{l o g 7}

，相乘得

\frac{l o g 2 \cdot l o g 3}{l o g 5 \cdot l o g 7}

。分母：

lo g_{5} \frac{1}{3} = \frac{- l o g 3}{l o g 5}

，

lo g_{7} 34 = \frac{\frac{2}{3} l o g 2}{l o g 7}

，相乘得

- \frac{2}{3} \cdot \frac{l o g 2 \cdot l o g 3}{l o g 5 \cdot l o g 7}

。兩式相除，

lo g

的部分全部約掉，得

\frac{1}{- \frac{2}{3}} = - \frac{3}{2}

。

34 = 2^{\frac{2}{3}}

，根號的次數是

3

；

lo g \frac{1}{3} = - lo g 3

的負號要留著。

第 5 題本站答案為

\frac{1}{2} < x < 1

或

x > 1

，學校公布的答案印的是「

0 < x < \frac{1}{2}

，

x > 1

」，理由如下。先看有意義的條件：底數

x > 0

且

x \neq = 1

；真數

2 x^{2} + x - 1 = (2 x - 1) (x + 1) > 0

，配合

x > 0

得

x > \frac{1}{2}

。所以只需討論

x > \frac{1}{2}

且

x \neq = 1

。右邊

lo g_{x} 2 + 1 = lo g_{x} 2 + lo g_{x} x = lo g_{x} (2 x)

，不等式成為

lo g_{x} (2 x^{2} + x - 1) > lo g_{x} (2 x)

。情形一，

x > 1

：底數大於

1

，真數大的對數值大，

2 x^{2} + x - 1 > 2 x

，即

2 x^{2} - x - 1 = (2 x + 1) (x - 1) > 0

，在

x > 1

時恆成立，所以

x > 1

全部是解。情形二，

\frac{1}{2} < x < 1

：底數介於

0

與

1

之間，不等號反向，

2 x^{2} + x - 1 < 2 x

，即

(2 x + 1) (x - 1) < 0

，

- \frac{1}{2} < x < 1

，所以

\frac{1}{2} < x < 1

全部是解。合起來是

\frac{1}{2} < x < 1

或

x > 1

。

學校印的

0 < x < \frac{1}{2}

代回去不成立：例如

x = \frac{1}{4}

時真數

2 x^{2} + x - 1 = - \frac{5}{8} < 0

，

lo g_{x} (2 x^{2} + x - 1)

沒有意義。反過來

x = \frac{3}{4}

時，左邊

lo g_{\frac{3}{4}} \frac{7}{8}

、右邊

lo g_{\frac{3}{4}} \frac{3}{2}

，底數小於

1

而

\frac{7}{8} < \frac{3}{2}

，左邊較大，不等式成立。學校印的答案與

\frac{1}{2} < x < 1

只差在兩個端點的位置。

03填充第 4～6 題（本頁 6～8）：解的個數、位數、放射性元素

第 6 題

2^{x} > 0

，兩邊同除以

2^{x}

：

∣ lo g_{2} x ∣ = (\frac{1}{2})^{x}

，數

y = ∣ lo g_{2} x ∣

與

y = (\frac{1}{2})^{x}

兩個圖形的交點（

x > 0

）。

x > 1

時：

∣ lo g_{2} x ∣ = lo g_{2} x

由

0

開始遞增，

(\frac{1}{2})^{x}

遞減；

x = 1

時

0 < \frac{1}{2}

，

x = 2

時

1 > \frac{1}{4}

，所以恰有一個交點，在

1

與

2

之間。

0 < x \leq 1

時：

∣ lo g_{2} x ∣ = - lo g_{2} x

。

0 < x \leq \frac{1}{2}

時

- lo g_{2} x \geq 1

，而

(\frac{1}{2})^{x} < 1

，沒有交點；

x = \frac{1}{2}

時

1 > (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} \approx 0.71

，

x = 1

時

0 < \frac{1}{2}

，兩個圖形在

\frac{1}{2}

與

1

之間交一次（由圖形，

- lo g_{2} x

在這一段下降得比

(\frac{1}{2})^{x}

快，只交一次）。共

2

個實數解（約

x \approx 0.64

與

x \approx 1.32

）。

絕對值把

y = lo g_{2} x

在

0 < x < 1

的部分翻到

x

軸上方，所以

x = 1

的左右兩邊各有一個交點。

第 7 題

7^{n}

是

9

位數，就是

1 0^{8} \leq 7^{n} < 1 0^{9}

。取常用對數：

8 \leq n lo g 7 < 9

，即

8 \leq 0.8451 n < 9

，

\frac{8}{0.8451} \leq n < \frac{9}{0.8451}

，約為

9.47 \leq n < 10.65

。正整數只有

n = 10

。檢查：

10 lo g 7 \approx 8.451

，

7^{10}

是

9

位數。

第 8 題一開始（

x = 0

）有

243

公克，所以

k = 243

。

10

萬年後剩

1

公克：

243 \cdot a^{100000} = 1

，

a^{100000} = \frac{1}{243} = 3^{- 5}

。

1

萬年是

10

萬年的

\frac{1}{10}

，所以

a^{10000} = (3^{- 5})^{\frac{1}{10}} = 3^{- \frac{1}{2}}

。

f (10000) = 243 \cdot 3^{- \frac{1}{2}} = 3^{5} \cdot 3^{- \frac{1}{2}} = 3^{\frac{9}{2}} = 813 \approx 140.3

（公克）。

每過

1

萬年質量乘上同一個倍數

3^{- \frac{1}{2}}

，乘

10

次剛好是

3^{- 5}

；不是每萬年減少同樣的公克數。

04填充第 7～9 題（本頁 9～11）：用 a、b 表示解、換元求極值、pH 值

第 9 題兩邊取以

15

為底的對數：

(x + 1) lo g_{15} 10 = x lo g_{15} 6

。

lo g_{15} 6 = lo g_{15} 2 + lo g_{15} 3 = a + b

。又

lo g_{15} 5 = lo g_{15} \frac{15}{3} = 1 - b

，所以

lo g_{15} 10 = lo g_{15} 2 + lo g_{15} 5 = a + 1 - b

。代入：

(x + 1) (a - b + 1) = x (a + b)

，移項得

x [(a + b) - (a - b + 1)] = a - b + 1

，即

x (2 b - 1) = a - b + 1

，所以

x = \frac{a - b + 1}{2 b - 1}

。

關鍵是

5 = \frac{15}{3}

，

lo g_{15} 5

可以寫成

1 - b

。分母

2 b - 1

不是

0

（

b = \frac{1}{2}

表示

3^{2} = 15

，不成立）。

第 10 題先求

x

的範圍。令

t = 2^{x}

：

4^{x} - 9 \cdot 2^{x + 1} + 32 = t^{2} - 18 t + 32 = (t - 2) (t - 16) \leq 0

，

2 \leq 2^{x} \leq 16

，所以

1 \leq x \leq 4

。再令

u = lo g_{2} x

，則

0 \leq u \leq 2

。

lo g_{\frac{1}{2}} \frac{x}{2} = - lo g_{2} \frac{x}{2} = - (u - 1)

，

lo g_{\frac{1}{2}} \frac{x}{8} = - (u - 3)

，所以

y = (u - 1) (u - 3) = u^{2} - 4 u + 3 = (u - 2)^{2} - 1

。在

0 \leq u \leq 2

上，

u = 2

（

x = 4

）時最小值

m = - 1

；

u = 0

（

x = 1

）時最大值

M = 3

。故

(M, m) = (3, - 1)

。

9 \cdot 2^{x + 1} = 18 \cdot 2^{x}

，係數是

18

不是

9

。頂點

u = 2

剛好在範圍的端點，最大值要看另一個端點

u = 0

。

第 11 題由定義，

[H^{+}] = 1 0^{- pH}

：咖啡

1 0^{- 5.1}

、牛奶

1 0^{- 6.5}

、茶

1 0^{- 5.8}

。等體積混合後，拿鐵的氫離子濃度是兩者的平均

\frac{1 0 ^{- 5.1} + 1 0 ^{- 6.5}}{2}

。它比

\frac{1 0 ^{- 5.1}}{2}

大，而

\frac{1}{2} = 1 0^{- l o g 2} \approx 1 0^{- 0.301}

，所以

\frac{1 0 ^{- 5.1}}{2} \approx 1 0^{- 5.401} > 1 0^{- 5.8}

。拿鐵的氫離子濃度比茶大，pH 值

= - lo g [H^{+}]

就比茶小，填「小於」。（實際算出來拿鐵的 pH 值約

5.38

。）

pH 值成等差，濃度是成等比；混合時平均的是濃度，不是 pH 值，所以拿鐵的 pH 值不是

5.8

。也可以用算幾不等式：兩濃度的算術平均大於幾何平均

1 0^{- 5.1} \cdot 1 0^{- 6.5} = 1 0^{- 5.8}

。

05計算題第 1 題（本頁 12～13）：通膨率

第 12 題照公式：通膨率

= \frac{50}{10} - 1 = 4 = 400%

，所以

k = 400

。

第 13 題每年的通膨率是

x %

，表示每年的價格是前一年的

(1 + 0.01 x)

倍。

40

年後：

10 (1 + 0.01 x)^{40} = 50

，即

(1 + 0.01 x)^{40} = 5

。兩邊取常用對數：

40 lo g (1 + 0.01 x) = lo g 5 \approx 0.6990

，

lo g (1 + 0.01 x) \approx \frac{0.6990}{40} = 0.017475

。查表：

x = 4

時是

0.0170

，

x = 5

時是

0.0212

。

0.017475

介於兩者之間，與

0.0170

只差

0.000475

、與

0.0212

差

0.003725

，所以最接近的整數是

x = 4

。

不是

400 \div 40 = 10

：每年是在前一年的價格上再乘一次，要用次方，不是把總通膨率平均分給每一年。

06計算題第 2 題（本頁 14～16）：描點作圖、用圖形解不等式、對稱的交點

第 14 題第一個表：

(2)^{- 2} = \frac{1}{2}

，

(2)^{0} = 1

，

(2)^{1} = 2 \approx 1.414

，

(2)^{2} = 2

，

(2)^{4} = 4

。第二個表：

\frac{1}{2} = (2)^{- 2}

，

1 = (2)^{0}

，

2 = (2)^{1}

，

2 = (2)^{2}

，

4 = (2)^{4}

，所以

lo g_{2} x

依序是

- 2

、

0

、

1

、

2

、

4

。描點：

y = (2)^{x}

過

(- 2, \frac{1}{2})

、

(0, 1)

、

(1, 2)

、

(2, 2)

、

(4, 4)

；

y = lo g_{2} x

過

(\frac{1}{2}, - 2)

、

(1, 0)

、

(2, 1)

、

(2, 2)

、

(4, 4)

。用平滑曲線連起來，如附圖。兩個表的數字剛好上下對調，兩條曲線對稱於直線

y = x

，並交於

(2, 2)

與

(4, 4)

。

載入中...

y = (2)^{x}

向左越來越貼近

x

軸但不會碰到；

y = lo g_{2} x

只在

x > 0

有圖形，向下越來越貼近

y

軸。

第 15 題

lo g_{2} x

要有意義，先有

x > 0

。由第 14 題的圖，兩條曲線交於

(2, 2)

與

(4, 4)

：

0 < x < 2

時，

y = (2)^{x}

的圖形在上方（例如

x = 1

：

2 > 0

）；

2 < x < 4

時，

y = lo g_{2} x

的圖形在上方（例如

x = 3

：

(2)^{3} \approx 2.83

，

lo g_{2} 3 = 2 lo g_{2} 3 \approx 3.17

）；

x > 4

時，

y = (2)^{x}

的圖形又回到上方（例如

x = 8

：

16 > 6

）。題目是「大於或等於」，交點也算，所以解為

0 < x \leq 2

或

x \geq 4

。

左邊的範圍要寫

0 < x

，不能寫成

x \leq 2

；學校的評分說明寫沒有

0 < x

扣 1 分。

第 16 題

y = (2)^{x}

與

y = lo g_{2} x

的圖形對稱於直線

y = x

，直線

x + y = 2

把

x

、

y

對調後還是自己。所以

(x_{1}, y_{1})

對

y = x

的對稱點

(y_{1}, x_{1})

同時在

y = lo g_{2} x

與

x + y = 2

上；而

y = lo g_{2} x

遞增、直線遞減，交點只有一個，故

(x_{2}, y_{2}) = (y_{1}, x_{1})

，

x_{2} = y_{1} = 2 - x_{1}

，即

x_{1} + x_{2} = 2

。再看

x_{1}

與

1

的大小：

x = 0

時曲線

y = (2)^{x}

的高度

1

比直線的高度

2

低，

x = 1

時曲線的高度

2

比直線的高度

1

高，所以

0 < x_{1} < 1

，於是

x_{2} = 2 - x_{1} > 1

。

∣ x_{1} - 1∣ - ∣ x_{2} - 1∣ = (1 - x_{1}) - (x_{2} - 1) = 2 - (x_{1} + x_{2}) = 0

。

幾何上看：兩個交點的中點是

(1, 1)

，

x_{1}

、

x_{2}

到

1

的距離相等，相減是

0

。

x_{1}

、

x_{2}

本身求不出漂亮的值，也不需要求。

對稱於直線

y = x

的兩條曲線被一條斜率

- 1

的直線截出的兩個交點也互相對稱，中點落在

y = x

上。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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武陵高中 110 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題底數是未知數，要先用真數大於零把範圍縮到二分之一以上，再分底數大於 1 與小於 1 兩種情形；第 2 題要先把四條曲線的函數式寫出來再逐一檢查，其中兩條曲線分在 y 軸兩側就不會有交點；第 6 題絕對值讓 x 等於 1 的左右各有一個解；第 11 題混合時平均的是氫離子濃度，不是 pH 值。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自武陵高中 110 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

武陵高中 110 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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03填充第 4～6 題（本頁 6～8）：解的個數、位數、放射性元素

04填充第 7～9 題（本頁 9～11）：用 a、b 表示解、換元求極值、pH 值

05計算題第 1 題（本頁 12～13）：通膨率

06計算題第 2 題（本頁 14～16）：描點作圖、用圖形解不等式、對稱的交點

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武陵高中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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