段考詳解範圍：三角函數（弧度量與度的換算、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期、圖形的平移與伸縮）

苑裡高中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選 6 題與填充 10 題 13 格合計 19 格，依答案卷印的答對格數對照表給分，全對 80 分；多選 4 題，每題 5 分，每答錯一格扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 20 分。試題卷的填充題標題印 22 題 28 格，實際是 10 題 13 格。題號全卷連續：1～6 單選、7～10 多選 1～4、11～20 填充 1～10。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題：(與填充題一起合計答對格數)

若

sin 1 = a

，則下列敘述何者正確？

(A) $0 < a \leq \frac{1}{2}$
(B) $\frac{1}{2} < a \leq \frac{2}{2}$
(C) $\frac{2}{2} < a \leq \frac{3}{2}$
(D) $\frac{3}{2} < a \leq 1$

下列哪一個三角函數值最大？

(A) $sin \frac{π}{6}$
(B) $cos \frac{π}{5}$
(C) $cos 1$
(D) $sin 2$

- 4

弧度為第幾象限角？

(A) 一
(B) 二
(C) 三
(D) 四

如右圖，兩個同心圓的半徑分別是

3

和

5

，且

A B ⌢

的長度為

5

，求陰影部分的面積為何？

(A) $8$
(B) $16$
(C) $4 π$
(D) $\frac{20}{3}$

載入中...

將正弦函數

y = sin x

的圖形向右平移

1

單位，再上下伸縮

2

倍而得出之圖形是下列哪個函數的圖形？

(A) $y = 2 sin (x - 1)$
(B) $y = 2 sin (x + 1)$
(C) $y = - 2 (x + 1)$
(D) $y = 1 + 2 sin x$

方程式

π \cdot sin x = x

的實根個數為

(A) $0$
(B) $1$
(C) $3$
(D) $5$

二、多選題：(4題，每題5分，每答錯一格扣2分，扣至該題0分為止，共20分)

設

sin θ = - \frac{3}{5}

，且

θ

為第四象限角，試選出正確的選項。

(A) $cos θ = \frac{4}{5}$
(B) $tan θ = - \frac{4}{3}$
(C) $sin (π - θ) = \frac{3}{5}$
(D) $cos (\frac{π}{2} + θ) = \frac{3}{5}$
(E) $tan (π - θ) = \frac{3}{4}$

若圓

O

的半徑為

2

公分，

P

與

Q

兩點都在圓周上，

∠ P O Q = 1

弧度，則下列哪些敘述是正確的？

(A) $5 5^{\circ} < ∠ P O Q < 6 0^{\circ}$
(B) $P Q ⌢$ 的長度為 $2$ 公分
(C) $3$ 公分 $< \overline{P Q}$ 的長度 $< 2$ 公分
(D) 扇形 $P O Q$ 的面積為 $4$ 平方公分
(E) $23$ 平方公分 $< △ P O Q$ 的面積 $< 4$ 平方公分

關於函數

f (x) = 2 sin 3 x

，請問下列選項何者為真？

(A) $- 2 \leq f (x) \leq 2$
(B) $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{6}$ 時，有最大值
(C) $f (x)$ 的週期為 $\frac{2 π}{3}$
(D) $y = f (x)$ 的圖形對稱於直線 $x = \frac{π}{2}$
(E) $f (2) > 0$

附圖為三角函數

y = 3 sin (a x - b)

的部分圖形，其中

a > 0

，則下列各項敘述何者正確？

(A) $B (0, - 3)$
(B) $b = \frac{π}{6}$
(C) $C (\frac{5 π}{6}, 0)$
(D) $y$ 的週期為 $\frac{2 π}{3}$
(E) 其圖形可由 $y = 3 sin 3 x$ 向右平移 $\frac{π}{6}$ 而得

載入中...

三、填充題：(與單選題合計共19格，得分對照如下表，共80分)

試問：(1)

3 0^{\circ} =

____ 弳。(2)

\frac{3 π}{4}

弳

=

____ 度。

試求

sin \frac{π}{2}

的值為 ____。

時鐘在

5

點

30

分時，時針與分針所夾的較小的夾角為 ____（弧度）。

半徑

50

公分的輪子，在地面上滾動了

1

公尺，則輪子繞軸轉動 ____ 度。（小數點以下四捨五入）

求函數

y = - 4 sin (3 x - 2) + 1

　(1) 最大值為 ____。(2) 最小值為 ____。

試求函數

y = 3 sin 4 x

　(1) 振幅為 ____　(2) 週期為 ____。

將函數

y = sin x

的圖形向右平移

\frac{π}{5}

單位，再向上平移

3

單位，則所得圖形的函數是

y =

____。

設

a = sin 1

，

b = sin 2

，

c = sin 3

，

d = sin 4

，試比較

a

，

b

，

c

，

d

的大小為 ____。

試求不等式

sin x \geq \frac{1}{2}

在

0 \leq x \leq 2 π

的範圍內的解 ____。

右圖中，

\overline{A B} = 20

，以

\overline{A B}

為直徑的半圓，

C

為

A B ⌢

中點，今以

B

為圓心，

\overline{A B}

為半徑作一圓弧與直線

B C

交於

D

點，則灰色部分面積為 ____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(D)

第 3 題(B)

第 4 題(A)

第 5 題(A)

第 6 題(C)

第 7 題(A)(D)(E)

第 8 題(A)(B)(C)

第 9 題(A)(B)(C)(D)

第 10 題(A)(C)(D)(E)

第 11 題(1)

\frac{π}{6}

　(2)

135

第 12 題

1

第 13 題

\frac{π}{12}

第 14 題

115

第 15 題(1)

5

　(2)

- 3

第 16 題(1)

3

　(2)

\frac{π}{2}

第 17 題

sin (x - \frac{π}{5}) + 3

第 18 題

b > a > c > d

第 19 題

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{5 π}{6}

第 20 題

50 π - 100

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：估計正弦值、比較大小、弧度角的象限

第 1 題答案 (C)。

1

弧度

= \frac{18 0 ^{\circ}}{π} \approx 57. 3^{\circ}

，介於

4 5^{\circ}

與

6 0^{\circ}

之間。正弦在

0^{\circ}

到

9 0^{\circ}

之間遞增，所以

sin 4 5^{\circ} < sin 1 < sin 6 0^{\circ}

，即

\frac{2}{2} < a < \frac{3}{2}

。

沒有度的記號時，角的單位是弧度；

sin 1

不是

sin 1^{\circ}

。數值約為

0.84

。

第 2 題答案 (D)。把四個值都換成

0^{\circ}

到

9 0^{\circ}

之間的正弦值來比。(A)

sin \frac{π}{6} = sin 3 0^{\circ}

。(B)

cos \frac{π}{5} = cos 3 6^{\circ} = sin 5 4^{\circ}

。(C)

cos 1 \approx cos 57. 3^{\circ} = sin 32. 7^{\circ}

。(D)

2

弧度

\approx 114. 6^{\circ}

，

sin 2 = sin (18 0^{\circ} - 114. 6^{\circ}) = sin 65. 4^{\circ}

。正弦在這個範圍遞增，

3 0^{\circ} < 32. 7^{\circ} < 5 4^{\circ} < 65. 4^{\circ}

，最大的是

sin 2

。

這裡用的是餘角關係

cos θ = sin (9 0^{\circ} - θ)

與補角關係

sin (18 0^{\circ} - θ) = sin θ

。數值依序約為

0.5

、

0.81

、

0.54

、

0.91

。

第 3 題答案 (B)。

- 4 + 2 π \approx - 4 + 6.28 = 2.28

，所以

- 4

弧度與約

2.28

弧度的角同界。

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

，而

1.57 < 2.28 < 3.14

，是第二象限角。

負角是順時針旋轉：轉

4

弧度超過半圈（

3.14

）但不到四分之三圈（

4.71

），終邊落在第二象限。

弧度角先換成度或用 π 約等於 3.14 判斷落在哪一段，再用正弦在第一象限遞增來比較。

02單選題：環形區域的面積、圖形的平移伸縮、實根個數

第 4 題答案 (A)。

A

、

B

在半徑

5

的大圓上，弧長

=

半徑

\times

圓心角，所以圓心角

θ = \frac{5}{5} = 1

（弧度）。陰影部分是大扇形

O A B

減去小扇形

O C D

，兩個扇形的圓心角相同：面積

= \frac{1}{2} \cdot 5^{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 3^{2} \cdot 1 = \frac{25}{2} - \frac{9}{2} = 8

。

扇形面積

\frac{1}{2} r^{2} θ

的

θ

要用弧度。小圓上的弧

C D

長是

3 \times 1 = 3

，不是

5

。

第 5 題答案 (A)。向右平移

1

單位是把

x

換成

x - 1

，得

y = sin (x - 1)

；上下伸縮

2

倍是把函數值乘以

2

，得

y = 2 sin (x - 1)

。

(B) 是向左平移

1

單位再伸縮；(D) 是伸縮後向上平移

1

單位。(C) 卷面印的式子沒有

sin

，是一條直線，不會是正弦函數平移伸縮的結果。

第 6 題答案 (C)。方程式同除以

π

得

sin x = \frac{x}{π}

，實根個數就是

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{π}

的交點個數。直線通過

(0, 0)

、

(\frac{π}{2}, \frac{1}{2})

、

(π, 1)

。

x = 0

是一個交點。在

0 < x \leq \frac{π}{2}

，由圖形

y = sin x

都在直線上方（

x = \frac{π}{2}

時

1 > \frac{1}{2}

）；從

\frac{π}{2}

到

π

，

sin x

由

1

降到

0

，直線由

\frac{1}{2}

升到

1

，恰好交一次。

x > π

時直線的值大於

1

，沒有交點。所以

x > 0

有

1

個交點；兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

1

個。共

1 + 1 + 1 = 3

個。

別漏掉

x = 0

，也別漏掉負的那一邊。

方程式的實根個數可以改成數兩個圖形的交點；正弦的值不超過 1，直線超過 1 之後就不會再相交。

03多選題：由象限求函數值、圓心角 1 弧度的各種量

第 7 題答案 (A)(D)(E)。

θ

在第四象限且

sin θ = - \frac{3}{5}

，在終邊上取點

P (x, - 3)

，

r = 5

，

x > 0

，由

x^{2} + 9 = 25

得

x = 4

，即

P (4, - 3)

。 (A) 對：

cos θ = \frac{x}{r} = \frac{4}{5}

。 (B) 錯：

tan θ = \frac{y}{x} = - \frac{3}{4}

，不是

- \frac{4}{3}

。 (C) 錯：

π - θ

的終邊與

θ

的終邊對稱於

y

軸，終邊上有點

(- 4, - 3)

，所以

sin (π - θ) = - \frac{3}{5}

。 (D) 對：把

P (4, - 3)

繞原點逆時針轉

\frac{π}{2}

得到點

(3, 4)

，它在

\frac{π}{2} + θ

的終邊上，所以

cos (\frac{π}{2} + θ) = \frac{3}{5}

。 (E) 對：用 (C) 的點

(- 4, - 3)

，

tan (π - θ) = \frac{- 3}{- 4} = \frac{3}{4}

。

也可以直接用

sin (π - θ) = sin θ

、

cos (\frac{π}{2} + θ) = - sin θ

、

tan (π - θ) = - tan θ

判斷，結果相同。

第 8 題答案 (A)(B)(C)。 (A) 對：

1

弧度

= \frac{18 0 ^{\circ}}{π} \approx 57. 3^{\circ}

，在

5 5^{\circ}

與

6 0^{\circ}

之間。 (B) 對：弧長

= r θ = 2 \times 1 = 2

公分。 (C) 對：兩點之間線段最短，弦

\overline{P Q}

比弧

P Q

短，所以小於

2

。另一邊：取

\overline{P Q}

的中點

M

，

\overline{O M} ⊥ \overline{P Q}

，

∠ P O M = 0.5

弧度，

\overline{P Q} = 2 \cdot 2 sin 0.5 = 4 sin 0.5

。過

P

作圓的切線交直線

O M

於

T

，直角三角形

O P T

的兩股是

2

與

2 tan 0.5

，它包住圓心角

0.5

的扇形，所以

\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 tan 0.5 > \frac{1}{2} \cdot 2^{2} \cdot 0.5

，得

tan 0.5 > \frac{1}{2}

。兩股為

1

、

2

的直角三角形斜邊是

5

，較小銳角的正切是

\frac{1}{2}

、正弦是

\frac{1}{5}

；

0.5

弧度的正切比它大，角也比它大，所以

sin 0.5 > \frac{1}{5}

，

\overline{P Q} > \frac{4}{5}

。而

(\frac{4}{5})^{2} = 3.2 > 3

，所以

\overline{P Q} > 3

。 (D) 錯：扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 2

平方公分。 (E) 錯：

△ P O Q

的面積

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot sin 1 = 2 sin 1

，正弦值不超過

1

，所以面積不超過

2

，比

23 \approx 3.46

小（約

1.68

平方公分）。

2

」也可以這樣看：圓心角若是

6 0^{\circ}

，三角形

P O Q

是正三角形，弦長正好是

2

；現在圓心角比

6 0^{\circ}

小，弦比

2

短。弦長的數值約

1.92

公分。三角形在扇形裡面，面積一定比扇形的

2

小，(E) 由此也看得出不對。

圓心角用弧度時，弧長是半徑乘圓心角、扇形面積是二分之一半徑平方乘圓心角；弦比弧短，三角形比扇形小。

04多選題：正弦型函數的性質、由圖形決定函數式

第 9 題答案 (A)(B)(C)(D)。 (A) 對：

- 1 \leq sin 3 x \leq 1

，乘以

2

得

- 2 \leq f (x) \leq 2

。 (B) 對：

x = \frac{π}{6}

時

3 x = \frac{π}{2}

，

f (\frac{π}{6}) = 2 sin \frac{π}{2} = 2

，是最大值。 (C) 對：週期

= \frac{2 π}{3}

。 (D) 對：

x = \frac{π}{2}

時

3 x = \frac{3 π}{2}

，

f (\frac{π}{2}) = - 2

是最小值；通過最高點或最低點的鉛直線都是圖形的對稱軸。 (E) 錯：

f (2) = 2 sin 6

。

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

、

2 π \approx 6.28

，

6

介於其間，是第四象限角，

sin 6 < 0

，所以

f (2) < 0

。

y = sin k x

（

k > 0

）的週期是

\frac{2 π}{k}

；前面的係數

2

只改變振幅，不改變週期。

第 10 題答案 (A)(C)(D)(E)。由圖，曲線與

x

軸相鄰的兩個交點是

x = \frac{π}{6}

與

x = \frac{π}{2}

，相隔半個週期，所以週期

= 2 (\frac{π}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 π}{3}

；

a > 0

，由

\frac{2 π}{a} = \frac{2 π}{3}

得

a = 3

。最高點在

x = \frac{π}{3}

，往左半個週期（

\frac{π}{3}

）就是最低點，正好在

x = 0

。 (A) 對：

B

是圖形在

y

軸上的最低點，振幅是

3

，所以

B (0, - 3)

。 (B) 錯：把

B (0, - 3)

代入，

3 sin (- b) = - 3

，

sin b = 1

，

b = \frac{π}{2} + 2 nπ

（

n

為整數），不會是

\frac{π}{6}

。 (C) 對：

C

是

\frac{π}{6}

之後下一個由下往上穿過

x

軸的點，與

\frac{π}{6}

相隔一個週期：

\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} = \frac{5 π}{6}

。 (D) 對：週期是

\frac{2 π}{3}

。 (E) 對：

y = 3 sin 3 x

向右平移

\frac{π}{6}

得

y = 3 sin 3 (x - \frac{π}{6}) = 3 sin (3 x - \frac{π}{2})

，正是

a = 3

、

b = \frac{π}{2}

的這個函數。

檢查：

y = 3 sin (3 x - \frac{π}{2})

在

x = \frac{π}{6}

時為

3 sin 0 = 0

，在

x = \frac{π}{3}

時為

3 sin \frac{π}{2} = 3

，與圖相符。若誤取

b = \frac{π}{6}

，

x = 0

時的值是

- \frac{3}{2}

，圖形不會從最低點出發。

看圖求正弦型函數：相鄰兩個零點相隔半個週期，最高點與最低點也相隔半個週期；平移量要從括號裡把 x 的係數提出來再讀。

05填充題：度與弧度的換算、時鐘與輪子

第 11 題

18 0^{\circ} = π

弳。(1)

3 0^{\circ} = 30 \times \frac{π}{180} = \frac{π}{6}

弳。(2)

\frac{3 π}{4}

弳

= \frac{3}{4} \times 18 0^{\circ} = 13 5^{\circ}

。

第 12 題

\frac{π}{2} = 9 0^{\circ}

，終邊在

y

軸正向，

sin \frac{π}{2} = 1

。

第 13 題從

12

的位置順時針量。分針在

30

分指向

6

，是

18 0^{\circ}

。時針每小時走

3 0^{\circ}

，

5

點

30

分是

5.5

小時，在

5.5 \times 3 0^{\circ} = 16 5^{\circ}

。夾角

= 18 0^{\circ} - 16 5^{\circ} = 1 5^{\circ} = 15 \times \frac{π}{180} = \frac{π}{12}

。

時針不是停在

5

上：過了半小時，它已經走到

5

與

6

的正中間。

第 14 題單位先統一：

1

公尺

= 100

公分。輪子滾動的距離等於輪緣轉過的弧長，所以轉動的角

θ = \frac{100}{50} = 2

（弧度）。換成度：

2 \times \frac{18 0 ^{\circ}}{π} = \frac{36 0 ^{\circ}}{π} \approx 114.5 9^{\circ}

，四捨五入得

115

度。

用

π \approx 3.1416

計算，

360 \div 3.1416 \approx 114.59

。

弧度與度的換算只記一件事：π 弳等於 180 度；滾動的距離就是弧長。

06填充題：最大值最小值、振幅與週期、圖形的平移

第 15 題

- 1 \leq sin (3 x - 2) \leq 1

。乘以

- 4

後不等號方向相反，但範圍仍是

- 4 \leq - 4 sin (3 x - 2) \leq 4

；再加

1

：

- 3 \leq y \leq 5

。(1) 最大值

5

（在

sin (3 x - 2) = - 1

時）。(2) 最小值

- 3

（在

sin (3 x - 2) = 1

時）。

最大值

= ∣ - 4 ∣ + 1

，最小值

= - ∣ - 4 ∣ + 1

；係數是負的只影響在哪裡取到，不影響最大最小的數值。

第 16 題(1) 振幅是

sin

前面係數的絕對值，為

3

。(2) 週期

= \frac{2 π}{4} = \frac{π}{2}

。

第 17 題向右平移

\frac{π}{5}

單位是把

x

換成

x - \frac{π}{5}

，得

y = sin (x - \frac{π}{5})

；再向上平移

3

單位是函數值加

3

，得

y = sin (x - \frac{π}{5}) + 3

。

向右是「

x

減」，向上是「整個式子加」。

正弦型函數的四個數各管一件事：前面的係數管振幅，x 的係數管週期，括號裡的加減管左右平移，最後的常數管上下平移。

07填充題：比較正弦值、正弦不等式

第 18 題

π \approx 3.14

。

1

、

2

、

3

都在

0

與

π

之間，正弦值為正；

4

在

π

與

2 π \approx 6.28

之間，正弦值為負，所以

d

最小。用

sin (π - θ) = sin θ

把角換到

0

與

\frac{π}{2} \approx 1.57

之間：

sin 2 = sin (π - 2) \approx sin 1.14

，

sin 3 = sin (π - 3) \approx sin 0.14

。正弦在這一段遞增，

0.14 < 1 < 1.14

，所以

sin 3 < sin 1 < sin 2

。合起來

b > a > c > d

。

數值約為

sin 1 \approx 0.84

、

sin 2 \approx 0.91

、

sin 3 \approx 0.14

、

sin 4 \approx - 0.76

。

第 19 題在

0 \leq x \leq 2 π

內，

sin x = \frac{1}{2}

的解是

x = \frac{π}{6}

與

x = π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}

。看

y = sin x

的圖形：從

\frac{π}{6}

到

\frac{5 π}{6}

這一段在水平線

y = \frac{1}{2}

的上方（端點在線上），其餘部分都在線的下方。所以解為

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{5 π}{6}

。

不等號含等號，兩個端點要包含。

比較正弦值先分正負，再用補角換到第一象限；解不等式先解等式找出交點，再看圖形在水平線的上方還是下方。

08填充題：兩塊灰色區域的面積

第 20 題設

O

是

\overline{A B}

的中點，也就是半圓的圓心，半徑

10

。

C

是半圓弧的中點，所以

\overline{O C} ⊥ \overline{A B}

、

\overline{O C} = 10

，

△ O B C

是等腰直角三角形，

∠ A B C = \frac{π}{4}

，

\overline{B C} = 102 < 20

，

D

在

\overline{B C}

往

C

那一側的延長線上。扇形

B A D

：圓心

B

、半徑

20

、圓心角

\frac{π}{4}

，面積

= \frac{1}{2} \cdot 2 0^{2} \cdot \frac{π}{4} = 50 π

。左邊的灰色區域

=

扇形

B A D

減去它裡面的白色部分。白色部分是半圓在直線

B C

靠

A

那一側的部分，可以拆成四分之一圓

O A C

（面積

\frac{1}{4} \cdot π \cdot 1 0^{2} = 25 π

）與

△ O B C

（面積

\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50

）。所以左邊灰色

= 50 π - 25 π - 50 = 25 π - 50

。右邊的灰色區域是弦

\overline{B C}

與弧

B C

之間的弓形

=

四分之一圓

O C B

減

△ O B C = 25 π - 50

。灰色部分面積

= (25 π - 50) + (25 π - 50) = 50 π - 100

。

另一個看法：半圓的面積

\frac{1}{2} \cdot π \cdot 1 0^{2} = 50 π

，與扇形

B A D

的面積相同。左邊灰色是扇形扣掉白色部分，右邊灰色是半圓扣掉同一塊白色部分，白色部分面積是

25 π + 50

，所以灰色共

2 \times 50 π - 2 (25 π + 50) = 50 π - 100

，數值約為

57.1

。

不規則區域拆成扇形、四分之一圓與三角形的加減；先找出每段弧的圓心與圓心角。

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苑裡高中 110 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 110 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 10 題有兩塊灰色區域，左邊那塊要用以 B 為圓心、半徑 20、圓心角四分之 π 的扇形去扣，容易把半徑寫成 10；多選第 4 題的 b 要代入最低點求出是二分之 π，向右平移的量要把 x 的係數 3 提出來才是六分之 π；多選第 2 題的弦長要與弧長 2 和根號 3 兩邊比較；填充第 3 題的時針在 5 點 30 分已經走到 5 與 6 的正中間，夾角是 15 度。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自苑裡高中 110 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量與度的換算、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期、圖形的平移與伸縮）

苑裡高中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

一、單選題：(與填充題一起合計答對格數)

若

sin 1 = a

，則下列敘述何者正確？

(A) $0 < a \leq \frac{1}{2}$
(B) $\frac{1}{2} < a \leq \frac{2}{2}$
(C) $\frac{2}{2} < a \leq \frac{3}{2}$
(D) $\frac{3}{2} < a \leq 1$

下列哪一個三角函數值最大？

(A) $sin \frac{π}{6}$
(B) $cos \frac{π}{5}$
(C) $cos 1$
(D) $sin 2$

- 4

弧度為第幾象限角？

(A) 一
(B) 二
(C) 三
(D) 四

如右圖，兩個同心圓的半徑分別是

3

和

5

，且

A B ⌢

的長度為

5

，求陰影部分的面積為何？

(A) $8$
(B) $16$
(C) $4 π$
(D) $\frac{20}{3}$

載入中...

將正弦函數

y = sin x

的圖形向右平移

1

單位，再上下伸縮

2

倍而得出之圖形是下列哪個函數的圖形？

(A) $y = 2 sin (x - 1)$
(B) $y = 2 sin (x + 1)$
(C) $y = - 2 (x + 1)$
(D) $y = 1 + 2 sin x$

方程式

π \cdot sin x = x

的實根個數為

(A) $0$
(B) $1$
(C) $3$
(D) $5$

二、多選題：(4題，每題5分，每答錯一格扣2分，扣至該題0分為止，共20分)

設

sin θ = - \frac{3}{5}

，且

θ

為第四象限角，試選出正確的選項。

(A) $cos θ = \frac{4}{5}$
(B) $tan θ = - \frac{4}{3}$
(C) $sin (π - θ) = \frac{3}{5}$
(D) $cos (\frac{π}{2} + θ) = \frac{3}{5}$
(E) $tan (π - θ) = \frac{3}{4}$

若圓

O

的半徑為

2

公分，

P

與

Q

兩點都在圓周上，

∠ P O Q = 1

弧度，則下列哪些敘述是正確的？

(A) $5 5^{\circ} < ∠ P O Q < 6 0^{\circ}$
(B) $P Q ⌢$ 的長度為 $2$ 公分
(C) $3$ 公分 $< \overline{P Q}$ 的長度 $< 2$ 公分
(D) 扇形 $P O Q$ 的面積為 $4$ 平方公分
(E) $23$ 平方公分 $< △ P O Q$ 的面積 $< 4$ 平方公分

關於函數

f (x) = 2 sin 3 x

，請問下列選項何者為真？

(A) $- 2 \leq f (x) \leq 2$
(B) $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{6}$ 時，有最大值
(C) $f (x)$ 的週期為 $\frac{2 π}{3}$
(D) $y = f (x)$ 的圖形對稱於直線 $x = \frac{π}{2}$
(E) $f (2) > 0$

附圖為三角函數

y = 3 sin (a x - b)

的部分圖形，其中

a > 0

，則下列各項敘述何者正確？

(A) $B (0, - 3)$
(B) $b = \frac{π}{6}$
(C) $C (\frac{5 π}{6}, 0)$
(D) $y$ 的週期為 $\frac{2 π}{3}$
(E) 其圖形可由 $y = 3 sin 3 x$ 向右平移 $\frac{π}{6}$ 而得

載入中...

三、填充題：(與單選題合計共19格，得分對照如下表，共80分)

試問：(1)

3 0^{\circ} =

____ 弳。(2)

\frac{3 π}{4}

弳

=

____ 度。

試求

sin \frac{π}{2}

的值為 ____。

時鐘在

5

點

30

分時，時針與分針所夾的較小的夾角為 ____（弧度）。

半徑

50

公分的輪子，在地面上滾動了

1

公尺，則輪子繞軸轉動 ____ 度。（小數點以下四捨五入）

求函數

y = - 4 sin (3 x - 2) + 1

　(1) 最大值為 ____。(2) 最小值為 ____。

試求函數

y = 3 sin 4 x

　(1) 振幅為 ____　(2) 週期為 ____。

將函數

y = sin x

的圖形向右平移

\frac{π}{5}

單位，再向上平移

3

單位，則所得圖形的函數是

y =

____。

設

a = sin 1

，

b = sin 2

，

c = sin 3

，

d = sin 4

，試比較

a

，

b

，

c

，

d

的大小為 ____。

試求不等式

sin x \geq \frac{1}{2}

在

0 \leq x \leq 2 π

的範圍內的解 ____。

右圖中，

\overline{A B} = 20

，以

\overline{A B}

為直徑的半圓，

C

為

A B ⌢

中點，今以

B

為圓心，

\overline{A B}

為半徑作一圓弧與直線

B C

交於

D

點，則灰色部分面積為 ____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(D)

第 3 題(B)

第 4 題(A)

第 5 題(A)

第 6 題(C)

第 7 題(A)(D)(E)

第 8 題(A)(B)(C)

第 9 題(A)(B)(C)(D)

第 10 題(A)(C)(D)(E)

第 11 題(1)

\frac{π}{6}

　(2)

135

第 12 題

1

第 13 題

\frac{π}{12}

第 14 題

115

第 15 題(1)

5

　(2)

- 3

第 16 題(1)

3

　(2)

\frac{π}{2}

第 17 題

sin (x - \frac{π}{5}) + 3

第 18 題

b > a > c > d

第 19 題

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{5 π}{6}

第 20 題

50 π - 100

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：估計正弦值、比較大小、弧度角的象限

第 1 題答案 (C)。

1

弧度

= \frac{18 0 ^{\circ}}{π} \approx 57. 3^{\circ}

，介於

4 5^{\circ}

與

6 0^{\circ}

之間。正弦在

0^{\circ}

到

9 0^{\circ}

之間遞增，所以

sin 4 5^{\circ} < sin 1 < sin 6 0^{\circ}

，即

\frac{2}{2} < a < \frac{3}{2}

。

沒有度的記號時，角的單位是弧度；

sin 1

不是

sin 1^{\circ}

。數值約為

0.84

。

第 2 題答案 (D)。把四個值都換成

0^{\circ}

到

9 0^{\circ}

之間的正弦值來比。(A)

sin \frac{π}{6} = sin 3 0^{\circ}

。(B)

cos \frac{π}{5} = cos 3 6^{\circ} = sin 5 4^{\circ}

。(C)

cos 1 \approx cos 57. 3^{\circ} = sin 32. 7^{\circ}

。(D)

2

弧度

\approx 114. 6^{\circ}

，

sin 2 = sin (18 0^{\circ} - 114. 6^{\circ}) = sin 65. 4^{\circ}

。正弦在這個範圍遞增，

3 0^{\circ} < 32. 7^{\circ} < 5 4^{\circ} < 65. 4^{\circ}

，最大的是

sin 2

。

這裡用的是餘角關係

cos θ = sin (9 0^{\circ} - θ)

與補角關係

sin (18 0^{\circ} - θ) = sin θ

。數值依序約為

0.5

、

0.81

、

0.54

、

0.91

。

第 3 題答案 (B)。

- 4 + 2 π \approx - 4 + 6.28 = 2.28

，所以

- 4

弧度與約

2.28

弧度的角同界。

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

，而

1.57 < 2.28 < 3.14

，是第二象限角。

負角是順時針旋轉：轉

4

弧度超過半圈（

3.14

）但不到四分之三圈（

4.71

），終邊落在第二象限。

弧度角先換成度或用 π 約等於 3.14 判斷落在哪一段，再用正弦在第一象限遞增來比較。

02單選題：環形區域的面積、圖形的平移伸縮、實根個數

第 4 題答案 (A)。

A

、

B

在半徑

5

的大圓上，弧長

=

半徑

\times

圓心角，所以圓心角

θ = \frac{5}{5} = 1

（弧度）。陰影部分是大扇形

O A B

減去小扇形

O C D

，兩個扇形的圓心角相同：面積

= \frac{1}{2} \cdot 5^{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 3^{2} \cdot 1 = \frac{25}{2} - \frac{9}{2} = 8

。

扇形面積

\frac{1}{2} r^{2} θ

的

θ

要用弧度。小圓上的弧

C D

長是

3 \times 1 = 3

，不是

5

。

第 5 題答案 (A)。向右平移

1

單位是把

x

換成

x - 1

，得

y = sin (x - 1)

；上下伸縮

2

倍是把函數值乘以

2

，得

y = 2 sin (x - 1)

。

(B) 是向左平移

1

單位再伸縮；(D) 是伸縮後向上平移

1

單位。(C) 卷面印的式子沒有

sin

，是一條直線，不會是正弦函數平移伸縮的結果。

第 6 題答案 (C)。方程式同除以

π

得

sin x = \frac{x}{π}

，實根個數就是

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{π}

的交點個數。直線通過

(0, 0)

、

(\frac{π}{2}, \frac{1}{2})

、

(π, 1)

。

x = 0

是一個交點。在

0 < x \leq \frac{π}{2}

，由圖形

y = sin x

都在直線上方（

x = \frac{π}{2}

時

1 > \frac{1}{2}

）；從

\frac{π}{2}

到

π

，

sin x

由

1

降到

0

，直線由

\frac{1}{2}

升到

1

，恰好交一次。

x > π

時直線的值大於

1

，沒有交點。所以

x > 0

有

1

個交點；兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

1

個。共

1 + 1 + 1 = 3

個。

別漏掉

x = 0

，也別漏掉負的那一邊。

方程式的實根個數可以改成數兩個圖形的交點；正弦的值不超過 1，直線超過 1 之後就不會再相交。

03多選題：由象限求函數值、圓心角 1 弧度的各種量

第 7 題答案 (A)(D)(E)。

θ

在第四象限且

sin θ = - \frac{3}{5}

，在終邊上取點

P (x, - 3)

，

r = 5

，

x > 0

，由

x^{2} + 9 = 25

得

x = 4

，即

P (4, - 3)

。 (A) 對：

cos θ = \frac{x}{r} = \frac{4}{5}

。 (B) 錯：

tan θ = \frac{y}{x} = - \frac{3}{4}

，不是

- \frac{4}{3}

。 (C) 錯：

π - θ

的終邊與

θ

的終邊對稱於

y

軸，終邊上有點

(- 4, - 3)

，所以

sin (π - θ) = - \frac{3}{5}

。 (D) 對：把

P (4, - 3)

繞原點逆時針轉

\frac{π}{2}

得到點

(3, 4)

，它在

\frac{π}{2} + θ

的終邊上，所以

cos (\frac{π}{2} + θ) = \frac{3}{5}

。 (E) 對：用 (C) 的點

(- 4, - 3)

，

tan (π - θ) = \frac{- 3}{- 4} = \frac{3}{4}

。

也可以直接用

sin (π - θ) = sin θ

、

cos (\frac{π}{2} + θ) = - sin θ

、

tan (π - θ) = - tan θ

判斷，結果相同。

第 8 題答案 (A)(B)(C)。 (A) 對：

1

弧度

= \frac{18 0 ^{\circ}}{π} \approx 57. 3^{\circ}

，在

5 5^{\circ}

與

6 0^{\circ}

之間。 (B) 對：弧長

= r θ = 2 \times 1 = 2

公分。 (C) 對：兩點之間線段最短，弦

\overline{P Q}

比弧

P Q

短，所以小於

2

。另一邊：取

\overline{P Q}

的中點

M

，

\overline{O M} ⊥ \overline{P Q}

，

∠ P O M = 0.5

弧度，

\overline{P Q} = 2 \cdot 2 sin 0.5 = 4 sin 0.5

。過

P

作圓的切線交直線

O M

於

T

，直角三角形

O P T

的兩股是

2

與

2 tan 0.5

，它包住圓心角

0.5

的扇形，所以

\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 tan 0.5 > \frac{1}{2} \cdot 2^{2} \cdot 0.5

，得

tan 0.5 > \frac{1}{2}

。兩股為

1

、

2

的直角三角形斜邊是

5

，較小銳角的正切是

\frac{1}{2}

、正弦是

\frac{1}{5}

；

0.5

弧度的正切比它大，角也比它大，所以

sin 0.5 > \frac{1}{5}

，

\overline{P Q} > \frac{4}{5}

。而

(\frac{4}{5})^{2} = 3.2 > 3

，所以

\overline{P Q} > 3

。 (D) 錯：扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 2

平方公分。 (E) 錯：

△ P O Q

的面積

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot sin 1 = 2 sin 1

，正弦值不超過

1

，所以面積不超過

2

，比

23 \approx 3.46

小（約

1.68

平方公分）。

2

」也可以這樣看：圓心角若是

6 0^{\circ}

，三角形

P O Q

是正三角形，弦長正好是

2

；現在圓心角比

6 0^{\circ}

小，弦比

2

短。弦長的數值約

1.92

公分。三角形在扇形裡面，面積一定比扇形的

2

小，(E) 由此也看得出不對。

圓心角用弧度時，弧長是半徑乘圓心角、扇形面積是二分之一半徑平方乘圓心角；弦比弧短，三角形比扇形小。

04多選題：正弦型函數的性質、由圖形決定函數式

第 9 題答案 (A)(B)(C)(D)。 (A) 對：

- 1 \leq sin 3 x \leq 1

，乘以

2

得

- 2 \leq f (x) \leq 2

。 (B) 對：

x = \frac{π}{6}

時

3 x = \frac{π}{2}

，

f (\frac{π}{6}) = 2 sin \frac{π}{2} = 2

，是最大值。 (C) 對：週期

= \frac{2 π}{3}

。 (D) 對：

x = \frac{π}{2}

時

3 x = \frac{3 π}{2}

，

f (\frac{π}{2}) = - 2

是最小值；通過最高點或最低點的鉛直線都是圖形的對稱軸。 (E) 錯：

f (2) = 2 sin 6

。

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

、

2 π \approx 6.28

，

6

介於其間，是第四象限角，

sin 6 < 0

，所以

f (2) < 0

。

y = sin k x

（

k > 0

）的週期是

\frac{2 π}{k}

；前面的係數

2

只改變振幅，不改變週期。

第 10 題答案 (A)(C)(D)(E)。由圖，曲線與

x

軸相鄰的兩個交點是

x = \frac{π}{6}

與

x = \frac{π}{2}

，相隔半個週期，所以週期

= 2 (\frac{π}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 π}{3}

；

a > 0

，由

\frac{2 π}{a} = \frac{2 π}{3}

得

a = 3

。最高點在

x = \frac{π}{3}

，往左半個週期（

\frac{π}{3}

）就是最低點，正好在

x = 0

。 (A) 對：

B

是圖形在

y

軸上的最低點，振幅是

3

，所以

B (0, - 3)

。 (B) 錯：把

B (0, - 3)

代入，

3 sin (- b) = - 3

，

sin b = 1

，

b = \frac{π}{2} + 2 nπ

（

n

為整數），不會是

\frac{π}{6}

。 (C) 對：

C

是

\frac{π}{6}

之後下一個由下往上穿過

x

軸的點，與

\frac{π}{6}

相隔一個週期：

\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} = \frac{5 π}{6}

。 (D) 對：週期是

\frac{2 π}{3}

。 (E) 對：

y = 3 sin 3 x

向右平移

\frac{π}{6}

得

y = 3 sin 3 (x - \frac{π}{6}) = 3 sin (3 x - \frac{π}{2})

，正是

a = 3

、

b = \frac{π}{2}

的這個函數。

檢查：

y = 3 sin (3 x - \frac{π}{2})

在

x = \frac{π}{6}

時為

3 sin 0 = 0

，在

x = \frac{π}{3}

時為

3 sin \frac{π}{2} = 3

，與圖相符。若誤取

b = \frac{π}{6}

，

x = 0

時的值是

- \frac{3}{2}

，圖形不會從最低點出發。

看圖求正弦型函數：相鄰兩個零點相隔半個週期，最高點與最低點也相隔半個週期；平移量要從括號裡把 x 的係數提出來再讀。

05填充題：度與弧度的換算、時鐘與輪子

第 11 題

18 0^{\circ} = π

弳。(1)

3 0^{\circ} = 30 \times \frac{π}{180} = \frac{π}{6}

弳。(2)

\frac{3 π}{4}

弳

= \frac{3}{4} \times 18 0^{\circ} = 13 5^{\circ}

。

第 12 題

\frac{π}{2} = 9 0^{\circ}

，終邊在

y

軸正向，

sin \frac{π}{2} = 1

。

第 13 題從

12

的位置順時針量。分針在

30

分指向

6

，是

18 0^{\circ}

。時針每小時走

3 0^{\circ}

，

5

點

30

分是

5.5

小時，在

5.5 \times 3 0^{\circ} = 16 5^{\circ}

。夾角

= 18 0^{\circ} - 16 5^{\circ} = 1 5^{\circ} = 15 \times \frac{π}{180} = \frac{π}{12}

。

時針不是停在

5

上：過了半小時，它已經走到

5

與

6

的正中間。

第 14 題單位先統一：

1

公尺

= 100

公分。輪子滾動的距離等於輪緣轉過的弧長，所以轉動的角

θ = \frac{100}{50} = 2

（弧度）。換成度：

2 \times \frac{18 0 ^{\circ}}{π} = \frac{36 0 ^{\circ}}{π} \approx 114.5 9^{\circ}

，四捨五入得

115

度。

用

π \approx 3.1416

計算，

360 \div 3.1416 \approx 114.59

。

弧度與度的換算只記一件事：π 弳等於 180 度；滾動的距離就是弧長。

06填充題：最大值最小值、振幅與週期、圖形的平移

第 15 題

- 1 \leq sin (3 x - 2) \leq 1

。乘以

- 4

後不等號方向相反，但範圍仍是

- 4 \leq - 4 sin (3 x - 2) \leq 4

；再加

1

：

- 3 \leq y \leq 5

。(1) 最大值

5

（在

sin (3 x - 2) = - 1

時）。(2) 最小值

- 3

（在

sin (3 x - 2) = 1

時）。

最大值

= ∣ - 4 ∣ + 1

，最小值

= - ∣ - 4 ∣ + 1

；係數是負的只影響在哪裡取到，不影響最大最小的數值。

第 16 題(1) 振幅是

sin

前面係數的絕對值，為

3

。(2) 週期

= \frac{2 π}{4} = \frac{π}{2}

。

第 17 題向右平移

\frac{π}{5}

單位是把

x

換成

x - \frac{π}{5}

，得

y = sin (x - \frac{π}{5})

；再向上平移

3

單位是函數值加

3

，得

y = sin (x - \frac{π}{5}) + 3

。

向右是「

x

減」，向上是「整個式子加」。

正弦型函數的四個數各管一件事：前面的係數管振幅，x 的係數管週期，括號裡的加減管左右平移，最後的常數管上下平移。

07填充題：比較正弦值、正弦不等式

第 18 題

π \approx 3.14

。

1

、

2

、

3

都在

0

與

π

之間，正弦值為正；

4

在

π

與

2 π \approx 6.28

之間，正弦值為負，所以

d

最小。用

sin (π - θ) = sin θ

把角換到

0

與

\frac{π}{2} \approx 1.57

之間：

sin 2 = sin (π - 2) \approx sin 1.14

，

sin 3 = sin (π - 3) \approx sin 0.14

。正弦在這一段遞增，

0.14 < 1 < 1.14

，所以

sin 3 < sin 1 < sin 2

。合起來

b > a > c > d

。

數值約為

sin 1 \approx 0.84

、

sin 2 \approx 0.91

、

sin 3 \approx 0.14

、

sin 4 \approx - 0.76

。

第 19 題在

0 \leq x \leq 2 π

內，

sin x = \frac{1}{2}

的解是

x = \frac{π}{6}

與

x = π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}

。看

y = sin x

的圖形：從

\frac{π}{6}

到

\frac{5 π}{6}

這一段在水平線

y = \frac{1}{2}

的上方（端點在線上），其餘部分都在線的下方。所以解為

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{5 π}{6}

。

不等號含等號，兩個端點要包含。

比較正弦值先分正負，再用補角換到第一象限；解不等式先解等式找出交點，再看圖形在水平線的上方還是下方。

08填充題：兩塊灰色區域的面積

第 20 題設

O

是

\overline{A B}

的中點，也就是半圓的圓心，半徑

10

。

C

是半圓弧的中點，所以

\overline{O C} ⊥ \overline{A B}

、

\overline{O C} = 10

，

△ O B C

是等腰直角三角形，

∠ A B C = \frac{π}{4}

，

\overline{B C} = 102 < 20

，

D

在

\overline{B C}

往

C

那一側的延長線上。扇形

B A D

：圓心

B

、半徑

20

、圓心角

\frac{π}{4}

，面積

= \frac{1}{2} \cdot 2 0^{2} \cdot \frac{π}{4} = 50 π

。左邊的灰色區域

=

扇形

B A D

減去它裡面的白色部分。白色部分是半圓在直線

B C

靠

A

那一側的部分，可以拆成四分之一圓

O A C

（面積

\frac{1}{4} \cdot π \cdot 1 0^{2} = 25 π

）與

△ O B C

（面積

\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50

）。所以左邊灰色

= 50 π - 25 π - 50 = 25 π - 50

。右邊的灰色區域是弦

\overline{B C}

與弧

B C

之間的弓形

=

四分之一圓

O C B

減

△ O B C = 25 π - 50

。灰色部分面積

= (25 π - 50) + (25 π - 50) = 50 π - 100

。

另一個看法：半圓的面積

\frac{1}{2} \cdot π \cdot 1 0^{2} = 50 π

，與扇形

B A D

的面積相同。左邊灰色是扇形扣掉白色部分，右邊灰色是半圓扣掉同一塊白色部分，白色部分面積是

25 π + 50

，所以灰色共

2 \times 50 π - 2 (25 π + 50) = 50 π - 100

，數值約為

57.1

。

不規則區域拆成扇形、四分之一圓與三角形的加減；先找出每段弧的圓心與圓心角。

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04多選題：正弦型函數的性質、由圖形決定函數式

05填充題：度與弧度的換算、時鐘與輪子

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