段考詳解範圍：三角函數（弧度量、扇形、正弦函數的圖形與週期）、對數與對數律

興大附中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 興大附中 110 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 興大附中 110 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題：根號 2 乘上 π 的角要先夾在 π 與二分之三 π 之間，再和三分之四 π 比大小。第 7 題：對數的底數除了要大於 0 還不能等於 1，整數解只有兩個。選填 F（本頁第 15 題）：曲線與水平線圍成的面積用割補變成長方形，不需要積分。選填 G（本頁第 16 題）：陰影要扣掉中央的小圓，小圓半徑是根號 2 減 1。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題（占 20 分，第 1～4 題，每題 5 分）、多選題（占 40 分，第 5～9 題，每題 8 分，答錯 1 個選項得 4.8 分、答錯 2 個選項得 1.6 分）、選填題 A～H（占 40 分，每題 5 分，本頁第 10～17 題）。答案已與學校公布的答案逐題核對，17 題中 16 題相同；第 7 題選項 (4) 的判定與學校不同，答案欄照學校公布的答案，兩種看法寫在詳解。

一、單選題（占20分）說明：第1題至第4題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得5分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

將一繩長為

100

公分的繩子一端固定在

A

點上，將此繩子逆時針纏繞在如圖的圓形輪上，輪子的半徑是

5

公分，且繩子的另一端點為

B

，則

B

點在什麼位置？

(1) 第1象限
(2) 第2象限
(3) 第3象限
(4) 第4象限
(5) X軸或Y軸

載入中...

令

a = cos 2 π

，試問下列哪一個選項是對的？

(1) $a = - 1$
(2) $- 1 < a \leq - \frac{1}{2}$
(3) $- \frac{1}{2} < a \leq 0$
(4) $0 < a \leq \frac{1}{2}$
(5) $\frac{1}{2} < a \leq 1$

在訊號處理學中，以儀器測量一個訊號的強度

x

通常以分貝（

d B

）值表示，其定義為

d B (x) = 10 \times lo g \frac{x}{x _{0}}

，其中

x_{0}

是一個參考訊號的強度（

x_{0}

為一常數）。今以儀器測得某個訊號強度的分貝值為

- 3 d B

，關於該訊號的強度相對於參考訊號的強度，請由下列敘述中選出最適合的選項？（已知

lo g 2 ≒ 0.3010

；

lo g 3 ≒ 0.4771

）

(1) 該訊號的強度大約與參考訊號的強度相同
(2) 該訊號的強度大約比參考訊號的強度增加三分之一
(3) 該訊號的強度大約比參考訊號的強度增加二分之一
(4) 該訊號的強度大約比參考訊號的強度減少三分之一
(5) 該訊號的強度大約比參考訊號的強度減少二分之一

依據醫學研究，人的體能模式為

P = 50 (1 + sin ω t)

，其中

ω > 0

，

P %

表能量的百分比，

t

表示出生後的天數。如果某人的體能週期是

30

天，則在一個週期中，有多少天能量的百分比不小於

75%

？

(1) $9$
(2) $10$
(3) $11$
(4) $12$
(5) 以上皆非

二、多選題（占40分）說明：第5題至第9題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得8分；答錯1個選項者，得4.8分；答錯2個選項者，得1.6分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

下列選項哪些正確？

(1) $lo g_{7} (- 3)^{2} = 2 lo g_{7} (- 3)$
(2) $(lo g 0.2)^{2} = lo g 0.2$
(3) $\frac{1}{lo g 2} = lo g \frac{1}{2}$
(4) $lo g_{2} 3 = lo g_{4} 9$
(5) $lo g (2^{(3^{5})}) = 3^{5} lo g 2$

下列哪些敘述是正確的？

(1) $sin 3 < 0$
(2) $cos 3 < 0$
(3) $sin 3 > \frac{1}{2}$
(4) $∣ cos 3∣ < \frac{1}{2}$
(5) $∣ sin 3∣ < ∣ cos 3∣$

設

lo g_{(6 - a)} (a - 2)

恆有意義，則下列選項哪些是正確的？

(1) $0 < a - 2$
(2) $a = π$ 可滿足
(3) $a = 5$ 可滿足
(4) $2 < a < 6$
(5) 若 $a$ 為整數，則 $a$ 有 $3$ 個

關於函數

y = 3 sin 2 x

，則下列選項哪些正確？

(1) $- 3 \leq y \leq 3$
(2) $y = 3 sin 2 x$ 在 $x = \frac{π}{2}$ 時有最大值
(3) 此函數圖形的振幅為 $2$
(4) 此函數圖形的週期為 $2 π$
(5) 此函數的圖形對稱於直線 $x = \frac{3 π}{4}$

阿里山小火車採用傳統的輪軸推進器，火車頭的輪軸轉動如示意圖。設輪圈的半徑

50

公分，而輪軸轉動時，

A

、

B

兩點距離地面的高度為

y

（公分）與時間

t

（秒）的關係式為

y = f (t) = a sin (k t + \frac{π}{2}) + b

，其中

a

、

k

、

b

為常數，且

a > 0

，

k > 0

，若輪軸轉動一圈的時間為

4

秒，則下列選項哪些是正確的？

(1) $a = 50$
(2) $b = 100$
(3) 當 $t = 0$ 時： $A$ 點到地面的距離有最大值
(4) 輪軸每秒鐘轉 $\frac{π}{4}$ 弳
(5) $k = \frac{π}{2}$

載入中...

三、選填題（占40分）說明：1.第A至H題：將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（10–29）。每題全答對給5分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。3.若答案為分數，必須化為最簡分數，並注意分子、分母的列號順序。若答案為根式，則為最簡根式。

（卷面 A）右圖是一個邊長為

1

的正方形，各以頂點為圓心，邊長

1

為半徑在正方形內畫弧。求斜線區域的兩對角

A

、

B

之間的距離

=

____

-

____。（最簡根式；原卷的答案格式為

◯ - ◯

）（圖中灰色區域）

載入中...

（卷面 B）實數對

(x, y)

滿足方程組

{lo g_{2} x + lo g_{y} 8 = 2 lo g_{y} 2 + 2 lo g_{8} x = 1

，求

x + y

之值

=

____。（原卷的答案格式為

◯ ◯

）

（卷面 C）天文學家以織女星的亮度

I_{0}

為標準，被觀察的星星亮度為

I

，將其星等定義為

m = - \frac{5}{2} lo g \frac{I}{I _{0}}

。人類肉眼所能看到的最暗亮度為

6

等星，天文望遠鏡可觀測到

11

等星，試問

6

等星的亮度是

11

等星的 ____ 倍。（原卷的答案格式為

◯ ◯ ◯

）

（卷面 D）設

lo g 2 = p

，

lo g 3 = q

，則

1 0^{3 p + 2 q}

的值

=

____。（原卷的答案格式為

◯ ◯

）

（卷面 E）如圖，直圓錐頂點為

A

，底直徑

\overline{B C} = 8

，且

\overline{A B} = 24

。若一隻螞蟻由

C

點沿錐面繞一圈到

D

點，其中

A

、

D

、

C

共一直線，已知

\overline{A D} = 12

。求這隻螞蟻所走的最短路徑長度

=

____。（最簡根式；原卷的答案格式為

◯ ◯ ◯

）

載入中...

（卷面 F）函數

y = 3 sin 2 x

在

\frac{π}{4} \leq x \leq \frac{5 π}{4}

內，與直線

y = 3

圍成一個封閉的圖形，則此圖形的面積為 ____

π

。（原卷的答案格式為

◯ π

）

（卷面 G）如右圖所示，

A B C D

為正方形，邊長為

2

，四個等圓的圓心分別為

A

，

B

，

C

，

D

，則陰影部分的面積等於

4 + (

____

-

____

) π

。（最簡根式；原卷的答案格式為

4 + (◯ ◯ - ◯) π

）（題幹沒有提到圖中央的小圓；依圖，小圓與四個等圓都相切，陰影是四個等圓之間的區域扣掉小圓）

載入中...

（卷面 H）海水受到月球引力的影響會發生漲落的潮汐現象，下表是某港口在一天內海水漲落的記錄表：

時間 t （小時） 水深 y （公尺） 010313610971210151318102172410

經過長期的觀測得知，水深

y

與時間

t

可以用函數

y = f (t) = a sin b t + c

來描述，根據上述資料，求出正數

a

、

b

、

c

的值，則

a + b + c =

____

+

____

π

。（註：第 28、29 為最簡分數；原卷的答案格式為

◯ ◯ + \frac{◯}{◯} π

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(3)

第 3 題(5)

第 4 題(2)

第 5 題(4)(5)

第 6 題(2)(5)

第 7 題(1)(2)（照學校公布的答案；選項 (4) 若只看字面也成立，學校是把它當成 a 的完整範圍來判定，見詳解）

第 8 題(1)(5)

第 9 題(1)(3)(5)

第 10 題

3 - 1

第 11 題

10

第 12 題

100

第 13 題

72

第 14 題

123

第 15 題

3 π

（空格填

3

）

第 16 題

4 + (22 - 4) π

第 17 題

13 + \frac{1}{6} π

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～4 題：繞線的弧度、餘弦值的範圍、分貝、體能週期

第 1 題答案 (1)。繩子貼著輪子繞，繞過的弧長就是繩長

100

。弧長

=

半徑

\times

圓心角（弧度），所以從

A

逆時針轉到

B

的角是

100 \div 5 = 20

弧度。轉一圈是

2 π \approx 6.283

弧度，三圈是

6 π \approx 18.85

，四圈是

8 π \approx 25.13

，所以

20

弧度是三圈再多

20 - 6 π \approx 1.15

弧度。

A

在

x

軸正向上，而

0 < 1.15 < \frac{π}{2} \approx 1.57

，所以

B

點在第一象限。

1.15

弧度大約是

6 6^{\circ}

。這題要先把長度換成角，再扣掉整圈。

第 2 題答案 (3)。

2 \approx 1.414

，所以

2 π \approx 1.414 π

，介於

π

與

\frac{3 π}{2}

之間，是第三象限角，餘弦值是負的。在

π

到

\frac{3 π}{2}

這一段，角越大，餘弦值從

- 1

一路增加到

0

。拿

\frac{4 π}{3} \approx 1.333 π

來比：

cos \frac{4 π}{3} = - \frac{1}{2}

，而

2 π > \frac{4 π}{3}

（因為

2 > \frac{4}{3}

，兩邊平方是

2 > \frac{16}{9}

），所以

cos 2 π > - \frac{1}{2}

。合起來

- \frac{1}{2} < a < 0

，選 (3)。

用計算機看：

a \approx - 0.266

。這裡的

2 π

是弧度，約

254. 6^{\circ}

。

第 3 題答案 (5)。分貝值是

- 3

，代入定義：

10 \times lo g \frac{x}{x _{0}} = - 3

，所以

lo g \frac{x}{x _{0}} = - 0.3

。已知

lo g 2 ≒ 0.3010

，所以

- 0.3 ≒ - lo g 2 = lo g \frac{1}{2}

，也就是

\frac{x}{x _{0}} ≒ \frac{1}{2}

。該訊號的強度大約是參考訊號的一半，即減少二分之一。

(4)「減少三分之一」是剩下

\frac{2}{3}

，

lo g \frac{2}{3} = lo g 2 - lo g 3 ≒ - 0.176

，對應的是

- 1.76

分貝，不是

- 3

分貝。

第 4 題答案 (2)。週期是

30

天：

\frac{2 π}{ω} = 30

，

ω = \frac{π}{15}

。能量不小於

75%

就是

50 (1 + sin ω t) \geq 75

，即

sin ω t \geq \frac{1}{2}

。看一個週期

0 \leq ω t \leq 2 π

：由

y = sin θ

的圖形，

sin θ \geq \frac{1}{2}

的範圍是

\frac{π}{6} \leq θ \leq \frac{5 π}{6}

。把

θ = \frac{π}{15} t

代回去，得

2.5 \leq t \leq 12.5

，共

12.5 - 2.5 = 10

天。

也可以直接看比例：符合的角度範圍長

\frac{5 π}{6} - \frac{π}{6} = \frac{2 π}{3}

，占一圈

2 π

的三分之一，

30 \times \frac{1}{3} = 10

天。

弧長

=

半徑

\times

弧度；判斷弧度角的位置先和

\frac{π}{2}

、

π

、

\frac{3 π}{2}

比；正弦不等式先解等號再看圖形。

02多選第 5～7 題：對數律、3 弧度的三角函數值、對數有意義的條件

第 5 題答案 (4)(5)。(1) 錯：對數的真數必須是正數，右邊的

lo g_{7} (- 3)

沒有意義，等式不成立（左邊若讀成

lo g_{7} [(- 3)^{2}] = lo g_{7} 9

是有意義的）。(2) 錯：

0.2 < 1

，所以

lo g 0.2 < 0

；而

(lo g 0.2)^{2} = ∣ lo g 0.2∣ = - lo g 0.2

是正數，兩邊不相等。(3) 錯：

\frac{1}{lo g 2}

是正數（約

3.32

），

lo g \frac{1}{2} = - lo g 2

是負數（約

- 0.301

）。(4) 對：

lo g_{4} 9 = lo g_{2^{2}} 3^{2} = \frac{2 lo g 3}{2 lo g 2} = \frac{lo g 3}{lo g 2} = lo g_{2} 3

。(5) 對：

lo g (a^{r}) = r lo g a

，這裡

a = 2

、

r = 3^{5}

，所以

lo g (2^{(3^{5})}) = 3^{5} lo g 2

。

(1) 是「真數的次方可以搬到前面」這條規則的使用條件：搬之前真數本身要是正數。(3) 容易和

lo g \frac{1}{2} = - lo g 2

弄混，倒數與負號是兩回事。

第 6 題答案 (2)(5)。

\frac{5 π}{6} \approx 2.618

，

π \approx 3.142

，所以

3

弧度介於

\frac{5 π}{6}

與

π

之間（約

171. 9^{\circ}

），是很靠近

x

軸負向的第二象限角。在第二象限，角越大，正弦值越小（從

1

降到

0

），餘弦值也越小（從

0

降到

- 1

）。所以

0 < sin 3 < sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

，而

- 1 < cos 3 < cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}

。(1) 錯：

sin 3 > 0

。(2) 對：

cos 3 < 0

。(3) 錯：

sin 3 < \frac{1}{2}

。(4) 錯：

∣ cos 3∣ > \frac{3}{2} > \frac{1}{2}

。(5) 對：

∣ sin 3∣ < \frac{1}{2} < \frac{3}{2} < ∣ cos 3∣

。

用計算機看：

sin 3 \approx 0.141

，

cos 3 \approx - 0.990

。

第 7 題學校公布的答案是 (1)(2)。對數

lo g_{(6 - a)} (a - 2)

有意義要同時符合三件事：真數

a - 2 > 0

；底數

6 - a > 0

；底數

6 - a \neq = 1

。整理得

2 < a < 6

而且

a \neq = 5

。(1) 對：真數為正就是

0 < a - 2

。(2) 對：

π \approx 3.14

在

2

與

6

之間，而且不是

5

。(3) 錯：

a = 5

時底數是

1

，沒有意義。(5) 錯：符合的整數只有

3

與

4

兩個（

5

要排除）。(4) 學校判為錯：

a

的完整範圍是「

2 < a < 6

且

a \neq = 5

」，只寫

2 < a < 6

會把

a = 5

也算進去。

選項 (4) 有另一種讀法：只要對數有意義，

a

就一定符合

2 < a < 6

，從這個角度看它和選項 (1) 一樣是成立的敘述，答案會是 (1)(2)(4)。若都要求寫出完整範圍，(1) 也只寫了一部分條件。本頁答案欄照學校公布的 (1)(2)。

對數

lo g_{b} x

有意義的條件有三個：

x > 0

、

b > 0

、

b \neq = 1

，底數不等於

1

最容易漏。

03多選第 8、9 題：正弦型函數的性質、輪軸轉動

第 8 題答案 (1)(5)。(1) 對：

sin 2 x

的值在

- 1

與

1

之間，乘

3

後

- 3 \leq y \leq 3

。(2) 錯：

x = \frac{π}{2}

時

y = 3 sin π = 0

，不是最大值

3

。(3) 錯：振幅是

3

。(4) 錯：

x

的係數是

2

，週期是

\frac{2 π}{2} = π

。(5) 對：正弦型函數的圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線；

x = \frac{3 π}{4}

時

y = 3 sin \frac{3 π}{2} = - 3

，是最低點，所以直線

x = \frac{3 π}{4}

是對稱軸。

最大值出現在

2 x = \frac{π}{2}

，也就是

x = \frac{π}{4}

（以及每隔一個週期

π

）。

第 9 題答案 (1)(3)(5)。由圖，

A

點在輪圈上，繞著輪心轉。輪圈半徑

50

，輪子在地面上，輪心離地

50

公分，所以

A

點的高度最高是

50 + 50 = 100

、最低是

0

。因為

a > 0

，最大值

a + b = 100

，最小值

- a + b = 0

，解得

a = 50

，

b = 50

。轉一圈

4

秒就是週期

4

：

\frac{2 π}{k} = 4

，

k = \frac{π}{2}

。(1) 對。(2) 錯：

b = 50

。(3) 對：

t = 0

時

sin \frac{π}{2} = 1

，

y = a + b

是最大值。(4) 錯：

4

秒轉

2 π

弳，每秒轉

\frac{2 π}{4} = \frac{π}{2}

弳。(5) 對。

b

是高度的平均位置，也就是輪心的高度；

k

就是每秒轉過的弧度。

y = a sin (k t + c) + b

（

a > 0

，

k > 0

）：最大值

a + b

、最小值

- a + b

、週期

\frac{2 π}{k}

。

04選填第 10～13 題（卷面 A～D）：圓弧交點、對數聯立、星等、指對數互換

第 10 題把正方形放在坐標平面上，四個頂點是

(0, 0)

、

(1, 0)

、

(1, 1)

、

(0, 1)

。斜線區域上方的尖角

A

是以下面兩個頂點

(0, 0)

、

(1, 0)

為圓心的兩段弧的交點，它到這兩個頂點的距離都是

1

，和底邊合成邊長

1

的正三角形，所以

A

在底邊上方

\frac{3}{2}

處：

A (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})

。同樣地，下方的尖角

B

與上面兩個頂點合成正三角形，在上邊下方

\frac{3}{2}

處：

B (\frac{1}{2}, 1 - \frac{3}{2})

。

\overline{A B} = \frac{3}{2} - (1 - \frac{3}{2}) = 3 - 1

兩個正三角形的高加起來是

3

，比正方形的邊長

1

多出來的部分就是重疊的

\overline{A B}

。

第 11 題對數要有意義：

x > 0

，

y > 0

且

y \neq = 1

。令

u = lo g_{2} x

，

v = lo g_{y} 2

。

lo g_{y} 8 = lo g_{y} 2^{3} = 3 v

；

lo g_{8} x = \frac{lo g _{2} x}{lo g _{2} 8} = \frac{u}{3}

。方程組變成

u + 3 v = 2, v + \frac{2 u}{3} = 1

由第二式

v = 1 - \frac{2 u}{3}

，代入第一式：

u + 3 - 2 u = 2

，

u = 1

，再得

v = \frac{1}{3}

。

lo g_{2} x = 1

得

x = 2

；

lo g_{y} 2 = \frac{1}{3}

即

y^{\frac{1}{3}} = 2

，

y = 8

。所以

x + y = 10

。

驗算：

lo g_{2} 2 + lo g_{8} 8 = 1 + 1 = 2

；

lo g_{8} 2 + 2 lo g_{8} 2 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1

。

第 12 題設

6

等星的亮度為

I_{6}

，

11

等星的亮度為

I_{11}

。代入定義：

6 = - \frac{5}{2} lo g \frac{I _{6}}{I _{0}}

，

11 = - \frac{5}{2} lo g \frac{I _{11}}{I _{0}}

。第二式減第一式：

5 = \frac{5}{2} (lo g \frac{I _{6}}{I _{0}} - lo g \frac{I _{11}}{I _{0}}) = \frac{5}{2} lo g \frac{I _{6}}{I _{11}}

所以

lo g \frac{I _{6}}{I _{11}} = 2

，

\frac{I _{6}}{I _{11}} = 1 0^{2} = 100

。

星等的數字越大越暗：差

5

等，亮度差

100

倍。

第 13 題

lo g 2 = p

就是

1 0^{p} = 2

，

lo g 3 = q

就是

1 0^{q} = 3

。所以

1 0^{3 p + 2 q} = (1 0^{p})^{3} \times (1 0^{q})^{2} = 2^{3} \times 3^{2} = 72

。

也可以寫成

3 p + 2 q = lo g 2^{3} + lo g 3^{2} = lo g 72

，所以

1 0^{3 p + 2 q} = 72

。

底數不同的對數先換成同一個底；兩個對數式相減可以消掉共同的基準量。

05選填第 14～17 題（卷面 E～H）：圓錐展開、割補面積、相切的圓、潮汐

第 14 題沿母線

\overline{A C}

把圓錐的側面剪開攤平，得到一個扇形：半徑是母線長

24

（直圓錐的母線等長，

\overline{A C} = \overline{A B} = 24

），弧長是底圓周長

2 π \times 4 = 8 π

，所以圓心角

= \frac{8 π}{24} = \frac{π}{3}

。剪開後母線

\overline{A C}

變成扇形的兩條邊，

C

在其中一條邊的端點，

D

在另一條邊上、離

A

的距離是

12

。繞錐面一圈的最短路徑就是攤平後

C

到

D

的直線段。在這個三角形中，兩邊是

24

與

12

，夾角

\frac{π}{3}

，由餘弦定理：

\overline{C D}^{2} = 2 4^{2} + 1 2^{2} - 2 \times 24 \times 12 \times cos \frac{π}{3} = 576 + 144 - 288 = 432

所以

\overline{C D} = 432 = 123

。

三邊

12

、

123

、

24

的比是

1 : 3 : 2

，這是

3 0^{\circ}

、

6 0^{\circ}

、

9 0^{\circ}

的直角三角形，直角在

D

。

第 15 題

y = 3 sin 2 x

的週期是

π

。

x = \frac{π}{4}

與

x = \frac{5 π}{4}

時

y = 3

，是相鄰的兩個最高點，中間

x = \frac{3 π}{4}

是最低點

y = - 3

。封閉圖形就是這一個週期裡，直線

y = 3

以下、曲線以上的部分。先看直線

y = 3

與

x

軸之間的長方形：寬

π

、高

3

，面積

3 π

。和所求的圖形比：曲線在

x

軸上方凸起的部分（

\frac{π}{4}

到

\frac{π}{2}

、

π

到

\frac{5 π}{4}

各半個波峰，合起來是一個完整的波峰）要扣掉；曲線在

x

軸下方凹下去的部分（

\frac{π}{2}

到

π

的一個完整波谷）要加進來。波峰與波谷的形狀相同、面積相等，一加一減剛好抵消，所以所求面積

= 3 π

。

這題不需要積分，用的是正弦曲線波峰與波谷形狀相同。空格填

3

。

第 16 題正方形邊長

2

，四個等圓兩兩相切，所以半徑都是

1

。正方形裡面有四個圓各占四分之一（圓心角

\frac{π}{2}

的扇形），合起來是一個整圓，面積

π

；正方形扣掉它們，剩下四個等圓之間的區域，面積

4 - π

。中央的小圓圓心在正方形的中心，到每個頂點的距離是對角線的一半

2

；小圓與大圓外切，所以小圓半徑

= 2 - 1

，面積

= (2 - 1)^{2} π = (3 - 22) π

。

陰影面積 = 4 - π - (3 - 22) π = 4 + (22 - 4) π

數值約

0.32

。

22 - 4

是負數，所以答案比

4

小。

第 17 題水深最高

13

、最低

7

。

a > 0

，所以最大值

a + c = 13

，最小值

- a + c = 7

，解得

a = 3

，

c = 10

。再看週期：

t = 3

與

t = 15

是相鄰的兩次最高水位，相隔

12

小時，週期是

12

，所以

\frac{2 π}{b} = 12

，

b = \frac{π}{6}

。於是

y = 3 sin \frac{π}{6} t + 10

，

a + b + c = 3 + \frac{π}{6} + 10 = 13 + \frac{1}{6} π

。

檢查：

t = 0

時

y = 10

；

t = 3

時

y = 3 sin \frac{π}{2} + 10 = 13

；

t = 9

時

y = 3 sin \frac{3 π}{2} + 10 = 7

，都與表相符。只看表上每

3

小時一筆的數據，

b

不只一個：例如

b = \frac{5 π}{6}

也通過表上九筆數據（

t = 3

時

sin \frac{5 π}{2} = 1

，

t = 9

時

sin \frac{15 π}{2} = - 1

）。這裡取潮汐一天漲落兩次、週期

12

小時的那一個，

b = \frac{π}{6}

，與學校公布的答案相同。

曲面上的最短路徑攤平成直線來算；正弦曲線的波峰與波谷可以互補；由最大值、最小值與週期決定

a

、

c

、

b

。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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上傳考卷

常見問題

興大附中 110 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 110 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題：根號 2 乘上 π 的角要先夾在 π 與二分之三 π 之間，再和三分之四 π 比大小。第 7 題：對數的底數除了要大於 0 還不能等於 1，整數解只有兩個。選填 F（本頁第 15 題）：曲線與水平線圍成的面積用割補變成長方形，不需要積分。選填 G（本頁第 16 題）：陰影要扣掉中央的小圓，小圓半徑是根號 2 減 1。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自興大附中 110 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、扇形、正弦函數的圖形與週期）、對數與對數律

興大附中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

將一繩長為

100

公分的繩子一端固定在

A

點上，將此繩子逆時針纏繞在如圖的圓形輪上，輪子的半徑是

5

公分，且繩子的另一端點為

B

，則

B

點在什麼位置？

(1) 第1象限
(2) 第2象限
(3) 第3象限
(4) 第4象限
(5) X軸或Y軸

載入中...

令

a = cos 2 π

，試問下列哪一個選項是對的？

(1) $a = - 1$
(2) $- 1 < a \leq - \frac{1}{2}$
(3) $- \frac{1}{2} < a \leq 0$
(4) $0 < a \leq \frac{1}{2}$
(5) $\frac{1}{2} < a \leq 1$

在訊號處理學中，以儀器測量一個訊號的強度

x

通常以分貝（

d B

）值表示，其定義為

d B (x) = 10 \times lo g \frac{x}{x _{0}}

，其中

x_{0}

是一個參考訊號的強度（

x_{0}

為一常數）。今以儀器測得某個訊號強度的分貝值為

- 3 d B

，關於該訊號的強度相對於參考訊號的強度，請由下列敘述中選出最適合的選項？（已知

lo g 2 ≒ 0.3010

；

lo g 3 ≒ 0.4771

）

(1) 該訊號的強度大約與參考訊號的強度相同
(2) 該訊號的強度大約比參考訊號的強度增加三分之一
(3) 該訊號的強度大約比參考訊號的強度增加二分之一
(4) 該訊號的強度大約比參考訊號的強度減少三分之一
(5) 該訊號的強度大約比參考訊號的強度減少二分之一

依據醫學研究，人的體能模式為

P = 50 (1 + sin ω t)

，其中

ω > 0

，

P %

表能量的百分比，

t

表示出生後的天數。如果某人的體能週期是

30

天，則在一個週期中，有多少天能量的百分比不小於

75%

？

(1) $9$
(2) $10$
(3) $11$
(4) $12$
(5) 以上皆非

下列選項哪些正確？

(1) $lo g_{7} (- 3)^{2} = 2 lo g_{7} (- 3)$
(2) $(lo g 0.2)^{2} = lo g 0.2$
(3) $\frac{1}{lo g 2} = lo g \frac{1}{2}$
(4) $lo g_{2} 3 = lo g_{4} 9$
(5) $lo g (2^{(3^{5})}) = 3^{5} lo g 2$

下列哪些敘述是正確的？

(1) $sin 3 < 0$
(2) $cos 3 < 0$
(3) $sin 3 > \frac{1}{2}$
(4) $∣ cos 3∣ < \frac{1}{2}$
(5) $∣ sin 3∣ < ∣ cos 3∣$

設

lo g_{(6 - a)} (a - 2)

恆有意義，則下列選項哪些是正確的？

(1) $0 < a - 2$
(2) $a = π$ 可滿足
(3) $a = 5$ 可滿足
(4) $2 < a < 6$
(5) 若 $a$ 為整數，則 $a$ 有 $3$ 個

關於函數

y = 3 sin 2 x

，則下列選項哪些正確？

(1) $- 3 \leq y \leq 3$
(2) $y = 3 sin 2 x$ 在 $x = \frac{π}{2}$ 時有最大值
(3) 此函數圖形的振幅為 $2$
(4) 此函數圖形的週期為 $2 π$
(5) 此函數的圖形對稱於直線 $x = \frac{3 π}{4}$

阿里山小火車採用傳統的輪軸推進器，火車頭的輪軸轉動如示意圖。設輪圈的半徑

50

公分，而輪軸轉動時，

A

、

B

兩點距離地面的高度為

y

（公分）與時間

t

（秒）的關係式為

y = f (t) = a sin (k t + \frac{π}{2}) + b

，其中

a

、

k

、

b

為常數，且

a > 0

，

k > 0

，若輪軸轉動一圈的時間為

4

秒，則下列選項哪些是正確的？

(1) $a = 50$
(2) $b = 100$
(3) 當 $t = 0$ 時： $A$ 點到地面的距離有最大值
(4) 輪軸每秒鐘轉 $\frac{π}{4}$ 弳
(5) $k = \frac{π}{2}$

載入中...

（卷面 A）右圖是一個邊長為

1

的正方形，各以頂點為圓心，邊長

1

為半徑在正方形內畫弧。求斜線區域的兩對角

A

、

B

之間的距離

=

____

-

____。（最簡根式；原卷的答案格式為

◯ - ◯

）（圖中灰色區域）

載入中...

（卷面 B）實數對

(x, y)

滿足方程組

{lo g_{2} x + lo g_{y} 8 = 2 lo g_{y} 2 + 2 lo g_{8} x = 1

，求

x + y

之值

=

____。（原卷的答案格式為

◯ ◯

）

（卷面 C）天文學家以織女星的亮度

I_{0}

為標準，被觀察的星星亮度為

I

，將其星等定義為

m = - \frac{5}{2} lo g \frac{I}{I _{0}}

。人類肉眼所能看到的最暗亮度為

6

等星，天文望遠鏡可觀測到

11

等星，試問

6

等星的亮度是

11

等星的 ____ 倍。（原卷的答案格式為

◯ ◯ ◯

）

（卷面 D）設

lo g 2 = p

，

lo g 3 = q

，則

1 0^{3 p + 2 q}

的值

=

____。（原卷的答案格式為

◯ ◯

）

（卷面 E）如圖，直圓錐頂點為

A

，底直徑

\overline{B C} = 8

，且

\overline{A B} = 24

。若一隻螞蟻由

C

點沿錐面繞一圈到

D

點，其中

A

、

D

、

C

共一直線，已知

\overline{A D} = 12

。求這隻螞蟻所走的最短路徑長度

=

____。（最簡根式；原卷的答案格式為

◯ ◯ ◯

）

載入中...

（卷面 F）函數

y = 3 sin 2 x

在

\frac{π}{4} \leq x \leq \frac{5 π}{4}

內，與直線

y = 3

圍成一個封閉的圖形，則此圖形的面積為 ____

π

。（原卷的答案格式為

◯ π

）

（卷面 G）如右圖所示，

A B C D

為正方形，邊長為

2

，四個等圓的圓心分別為

A

，

B

，

C

，

D

，則陰影部分的面積等於

4 + (

____

-

____

) π

。（最簡根式；原卷的答案格式為

4 + (◯ ◯ - ◯) π

）（題幹沒有提到圖中央的小圓；依圖，小圓與四個等圓都相切，陰影是四個等圓之間的區域扣掉小圓）

載入中...

（卷面 H）海水受到月球引力的影響會發生漲落的潮汐現象，下表是某港口在一天內海水漲落的記錄表：

時間 t （小時） 水深 y （公尺） 010313610971210151318102172410

經過長期的觀測得知，水深

y

與時間

t

可以用函數

y = f (t) = a sin b t + c

來描述，根據上述資料，求出正數

a

、

b

、

c

的值，則

a + b + c =

____

+

____

π

。（註：第 28、29 為最簡分數；原卷的答案格式為

◯ ◯ + \frac{◯}{◯} π

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(3)

第 3 題(5)

第 4 題(2)

第 5 題(4)(5)

第 6 題(2)(5)

第 7 題(1)(2)（照學校公布的答案；選項 (4) 若只看字面也成立，學校是把它當成 a 的完整範圍來判定，見詳解）

第 8 題(1)(5)

第 9 題(1)(3)(5)

第 10 題

3 - 1

第 11 題

10

第 12 題

100

第 13 題

72

第 14 題

123

第 15 題

3 π

（空格填

3

）

第 16 題

4 + (22 - 4) π

第 17 題

13 + \frac{1}{6} π

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～4 題：繞線的弧度、餘弦值的範圍、分貝、體能週期

第 1 題答案 (1)。繩子貼著輪子繞，繞過的弧長就是繩長

100

。弧長

=

半徑

\times

圓心角（弧度），所以從

A

逆時針轉到

B

的角是

100 \div 5 = 20

弧度。轉一圈是

2 π \approx 6.283

弧度，三圈是

6 π \approx 18.85

，四圈是

8 π \approx 25.13

，所以

20

弧度是三圈再多

20 - 6 π \approx 1.15

弧度。

A

在

x

軸正向上，而

0 < 1.15 < \frac{π}{2} \approx 1.57

，所以

B

點在第一象限。

1.15

弧度大約是

6 6^{\circ}

。這題要先把長度換成角，再扣掉整圈。

第 2 題答案 (3)。

2 \approx 1.414

，所以

2 π \approx 1.414 π

，介於

π

與

\frac{3 π}{2}

之間，是第三象限角，餘弦值是負的。在

π

到

\frac{3 π}{2}

這一段，角越大，餘弦值從

- 1

一路增加到

0

。拿

\frac{4 π}{3} \approx 1.333 π

來比：

cos \frac{4 π}{3} = - \frac{1}{2}

，而

2 π > \frac{4 π}{3}

（因為

2 > \frac{4}{3}

，兩邊平方是

2 > \frac{16}{9}

），所以

cos 2 π > - \frac{1}{2}

。合起來

- \frac{1}{2} < a < 0

，選 (3)。

用計算機看：

a \approx - 0.266

。這裡的

2 π

是弧度，約

254. 6^{\circ}

。

第 3 題答案 (5)。分貝值是

- 3

，代入定義：

10 \times lo g \frac{x}{x _{0}} = - 3

，所以

lo g \frac{x}{x _{0}} = - 0.3

。已知

lo g 2 ≒ 0.3010

，所以

- 0.3 ≒ - lo g 2 = lo g \frac{1}{2}

，也就是

\frac{x}{x _{0}} ≒ \frac{1}{2}

。該訊號的強度大約是參考訊號的一半，即減少二分之一。

(4)「減少三分之一」是剩下

\frac{2}{3}

，

lo g \frac{2}{3} = lo g 2 - lo g 3 ≒ - 0.176

，對應的是

- 1.76

分貝，不是

- 3

分貝。

第 4 題答案 (2)。週期是

30

天：

\frac{2 π}{ω} = 30

，

ω = \frac{π}{15}

。能量不小於

75%

就是

50 (1 + sin ω t) \geq 75

，即

sin ω t \geq \frac{1}{2}

。看一個週期

0 \leq ω t \leq 2 π

：由

y = sin θ

的圖形，

sin θ \geq \frac{1}{2}

的範圍是

\frac{π}{6} \leq θ \leq \frac{5 π}{6}

。把

θ = \frac{π}{15} t

代回去，得

2.5 \leq t \leq 12.5

，共

12.5 - 2.5 = 10

天。

也可以直接看比例：符合的角度範圍長

\frac{5 π}{6} - \frac{π}{6} = \frac{2 π}{3}

，占一圈

2 π

的三分之一，

30 \times \frac{1}{3} = 10

天。

弧長

=

半徑

\times

弧度；判斷弧度角的位置先和

\frac{π}{2}

、

π

、

\frac{3 π}{2}

比；正弦不等式先解等號再看圖形。

02多選第 5～7 題：對數律、3 弧度的三角函數值、對數有意義的條件

第 5 題答案 (4)(5)。(1) 錯：對數的真數必須是正數，右邊的

lo g_{7} (- 3)

沒有意義，等式不成立（左邊若讀成

lo g_{7} [(- 3)^{2}] = lo g_{7} 9

是有意義的）。(2) 錯：

0.2 < 1

，所以

lo g 0.2 < 0

；而

(lo g 0.2)^{2} = ∣ lo g 0.2∣ = - lo g 0.2

是正數，兩邊不相等。(3) 錯：

\frac{1}{lo g 2}

是正數（約

3.32

），

lo g \frac{1}{2} = - lo g 2

是負數（約

- 0.301

）。(4) 對：

lo g_{4} 9 = lo g_{2^{2}} 3^{2} = \frac{2 lo g 3}{2 lo g 2} = \frac{lo g 3}{lo g 2} = lo g_{2} 3

。(5) 對：

lo g (a^{r}) = r lo g a

，這裡

a = 2

、

r = 3^{5}

，所以

lo g (2^{(3^{5})}) = 3^{5} lo g 2

。

(1) 是「真數的次方可以搬到前面」這條規則的使用條件：搬之前真數本身要是正數。(3) 容易和

lo g \frac{1}{2} = - lo g 2

弄混，倒數與負號是兩回事。

第 6 題答案 (2)(5)。

\frac{5 π}{6} \approx 2.618

，

π \approx 3.142

，所以

3

弧度介於

\frac{5 π}{6}

與

π

之間（約

171. 9^{\circ}

），是很靠近

x

軸負向的第二象限角。在第二象限，角越大，正弦值越小（從

1

降到

0

），餘弦值也越小（從

0

降到

- 1

）。所以

0 < sin 3 < sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

，而

- 1 < cos 3 < cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}

。(1) 錯：

sin 3 > 0

。(2) 對：

cos 3 < 0

。(3) 錯：

sin 3 < \frac{1}{2}

。(4) 錯：

∣ cos 3∣ > \frac{3}{2} > \frac{1}{2}

。(5) 對：

∣ sin 3∣ < \frac{1}{2} < \frac{3}{2} < ∣ cos 3∣

。

用計算機看：

sin 3 \approx 0.141

，

cos 3 \approx - 0.990

。

第 7 題學校公布的答案是 (1)(2)。對數

lo g_{(6 - a)} (a - 2)

有意義要同時符合三件事：真數

a - 2 > 0

；底數

6 - a > 0

；底數

6 - a \neq = 1

。整理得

2 < a < 6

而且

a \neq = 5

。(1) 對：真數為正就是

0 < a - 2

。(2) 對：

π \approx 3.14

在

2

與

6

之間，而且不是

5

。(3) 錯：

a = 5

時底數是

1

，沒有意義。(5) 錯：符合的整數只有

3

與

4

兩個（

5

要排除）。(4) 學校判為錯：

a

的完整範圍是「

2 < a < 6

且

a \neq = 5

」，只寫

2 < a < 6

會把

a = 5

也算進去。

選項 (4) 有另一種讀法：只要對數有意義，

a

就一定符合

2 < a < 6

，從這個角度看它和選項 (1) 一樣是成立的敘述，答案會是 (1)(2)(4)。若都要求寫出完整範圍，(1) 也只寫了一部分條件。本頁答案欄照學校公布的 (1)(2)。

對數

lo g_{b} x

有意義的條件有三個：

x > 0

、

b > 0

、

b \neq = 1

，底數不等於

1

最容易漏。

03多選第 8、9 題：正弦型函數的性質、輪軸轉動

第 8 題答案 (1)(5)。(1) 對：

sin 2 x

的值在

- 1

與

1

之間，乘

3

後

- 3 \leq y \leq 3

。(2) 錯：

x = \frac{π}{2}

時

y = 3 sin π = 0

，不是最大值

3

。(3) 錯：振幅是

3

。(4) 錯：

x

的係數是

2

，週期是

\frac{2 π}{2} = π

。(5) 對：正弦型函數的圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線；

x = \frac{3 π}{4}

時

y = 3 sin \frac{3 π}{2} = - 3

，是最低點，所以直線

x = \frac{3 π}{4}

是對稱軸。

最大值出現在

2 x = \frac{π}{2}

，也就是

x = \frac{π}{4}

（以及每隔一個週期

π

）。

第 9 題答案 (1)(3)(5)。由圖，

A

點在輪圈上，繞著輪心轉。輪圈半徑

50

，輪子在地面上，輪心離地

50

公分，所以

A

點的高度最高是

50 + 50 = 100

、最低是

0

。因為

a > 0

，最大值

a + b = 100

，最小值

- a + b = 0

，解得

a = 50

，

b = 50

。轉一圈

4

秒就是週期

4

：

\frac{2 π}{k} = 4

，

k = \frac{π}{2}

。(1) 對。(2) 錯：

b = 50

。(3) 對：

t = 0

時

sin \frac{π}{2} = 1

，

y = a + b

是最大值。(4) 錯：

4

秒轉

2 π

弳，每秒轉

\frac{2 π}{4} = \frac{π}{2}

弳。(5) 對。

b

是高度的平均位置，也就是輪心的高度；

k

就是每秒轉過的弧度。

y = a sin (k t + c) + b

（

a > 0

，

k > 0

）：最大值

a + b

、最小值

- a + b

、週期

\frac{2 π}{k}

。

04選填第 10～13 題（卷面 A～D）：圓弧交點、對數聯立、星等、指對數互換

第 10 題把正方形放在坐標平面上，四個頂點是

(0, 0)

、

(1, 0)

、

(1, 1)

、

(0, 1)

。斜線區域上方的尖角

A

是以下面兩個頂點

(0, 0)

、

(1, 0)

為圓心的兩段弧的交點，它到這兩個頂點的距離都是

1

，和底邊合成邊長

1

的正三角形，所以

A

在底邊上方

\frac{3}{2}

處：

A (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})

。同樣地，下方的尖角

B

與上面兩個頂點合成正三角形，在上邊下方

\frac{3}{2}

處：

B (\frac{1}{2}, 1 - \frac{3}{2})

。

\overline{A B} = \frac{3}{2} - (1 - \frac{3}{2}) = 3 - 1

兩個正三角形的高加起來是

3

，比正方形的邊長

1

多出來的部分就是重疊的

\overline{A B}

。

第 11 題對數要有意義：

x > 0

，

y > 0

且

y \neq = 1

。令

u = lo g_{2} x

，

v = lo g_{y} 2

。

lo g_{y} 8 = lo g_{y} 2^{3} = 3 v

；

lo g_{8} x = \frac{lo g _{2} x}{lo g _{2} 8} = \frac{u}{3}

。方程組變成

u + 3 v = 2, v + \frac{2 u}{3} = 1

由第二式

v = 1 - \frac{2 u}{3}

，代入第一式：

u + 3 - 2 u = 2

，

u = 1

，再得

v = \frac{1}{3}

。

lo g_{2} x = 1

得

x = 2

；

lo g_{y} 2 = \frac{1}{3}

即

y^{\frac{1}{3}} = 2

，

y = 8

。所以

x + y = 10

。

驗算：

lo g_{2} 2 + lo g_{8} 8 = 1 + 1 = 2

；

lo g_{8} 2 + 2 lo g_{8} 2 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1

。

第 12 題設

6

等星的亮度為

I_{6}

，

11

等星的亮度為

I_{11}

。代入定義：

6 = - \frac{5}{2} lo g \frac{I _{6}}{I _{0}}

，

11 = - \frac{5}{2} lo g \frac{I _{11}}{I _{0}}

。第二式減第一式：

5 = \frac{5}{2} (lo g \frac{I _{6}}{I _{0}} - lo g \frac{I _{11}}{I _{0}}) = \frac{5}{2} lo g \frac{I _{6}}{I _{11}}

所以

lo g \frac{I _{6}}{I _{11}} = 2

，

\frac{I _{6}}{I _{11}} = 1 0^{2} = 100

。

星等的數字越大越暗：差

5

等，亮度差

100

倍。

第 13 題

lo g 2 = p

就是

1 0^{p} = 2

，

lo g 3 = q

就是

1 0^{q} = 3

。所以

1 0^{3 p + 2 q} = (1 0^{p})^{3} \times (1 0^{q})^{2} = 2^{3} \times 3^{2} = 72

。

也可以寫成

3 p + 2 q = lo g 2^{3} + lo g 3^{2} = lo g 72

，所以

1 0^{3 p + 2 q} = 72

。

底數不同的對數先換成同一個底；兩個對數式相減可以消掉共同的基準量。

05選填第 14～17 題（卷面 E～H）：圓錐展開、割補面積、相切的圓、潮汐

第 14 題沿母線

\overline{A C}

把圓錐的側面剪開攤平，得到一個扇形：半徑是母線長

24

（直圓錐的母線等長，

\overline{A C} = \overline{A B} = 24

），弧長是底圓周長

2 π \times 4 = 8 π

，所以圓心角

= \frac{8 π}{24} = \frac{π}{3}

。剪開後母線

\overline{A C}

變成扇形的兩條邊，

C

在其中一條邊的端點，

D

在另一條邊上、離

A

的距離是

12

。繞錐面一圈的最短路徑就是攤平後

C

到

D

的直線段。在這個三角形中，兩邊是

24

與

12

，夾角

\frac{π}{3}

，由餘弦定理：

\overline{C D}^{2} = 2 4^{2} + 1 2^{2} - 2 \times 24 \times 12 \times cos \frac{π}{3} = 576 + 144 - 288 = 432

所以

\overline{C D} = 432 = 123

。

三邊

12

、

123

、

24

的比是

1 : 3 : 2

，這是

3 0^{\circ}

、

6 0^{\circ}

、

9 0^{\circ}

的直角三角形，直角在

D

。

第 15 題

y = 3 sin 2 x

的週期是

π

。

x = \frac{π}{4}

與

x = \frac{5 π}{4}

時

y = 3

，是相鄰的兩個最高點，中間

x = \frac{3 π}{4}

是最低點

y = - 3

。封閉圖形就是這一個週期裡，直線

y = 3

以下、曲線以上的部分。先看直線

y = 3

與

x

軸之間的長方形：寬

π

、高

3

，面積

3 π

。和所求的圖形比：曲線在

x

軸上方凸起的部分（

\frac{π}{4}

到

\frac{π}{2}

、

π

到

\frac{5 π}{4}

各半個波峰，合起來是一個完整的波峰）要扣掉；曲線在

x

軸下方凹下去的部分（

\frac{π}{2}

到

π

的一個完整波谷）要加進來。波峰與波谷的形狀相同、面積相等，一加一減剛好抵消，所以所求面積

= 3 π

。

這題不需要積分，用的是正弦曲線波峰與波谷形狀相同。空格填

3

。

第 16 題正方形邊長

2

，四個等圓兩兩相切，所以半徑都是

1

。正方形裡面有四個圓各占四分之一（圓心角

\frac{π}{2}

的扇形），合起來是一個整圓，面積

π

；正方形扣掉它們，剩下四個等圓之間的區域，面積

4 - π

。中央的小圓圓心在正方形的中心，到每個頂點的距離是對角線的一半

2

；小圓與大圓外切，所以小圓半徑

= 2 - 1

，面積

= (2 - 1)^{2} π = (3 - 22) π

。

陰影面積 = 4 - π - (3 - 22) π = 4 + (22 - 4) π

數值約

0.32

。

22 - 4

是負數，所以答案比

4

小。

第 17 題水深最高

13

、最低

7

。

a > 0

，所以最大值

a + c = 13

，最小值

- a + c = 7

，解得

a = 3

，

c = 10

。再看週期：

t = 3

與

t = 15

是相鄰的兩次最高水位，相隔

12

小時，週期是

12

，所以

\frac{2 π}{b} = 12

，

b = \frac{π}{6}

。於是

y = 3 sin \frac{π}{6} t + 10

，

a + b + c = 3 + \frac{π}{6} + 10 = 13 + \frac{1}{6} π

。

檢查：

t = 0

時

y = 10

；

t = 3

時

y = 3 sin \frac{π}{2} + 10 = 13

；

t = 9

時

y = 3 sin \frac{3 π}{2} + 10 = 7

，都與表相符。只看表上每

3

小時一筆的數據，

b

不只一個：例如

b = \frac{5 π}{6}

也通過表上九筆數據（

t = 3

時

sin \frac{5 π}{2} = 1

，

t = 9

時

sin \frac{15 π}{2} = - 1

）。這裡取潮汐一天漲落兩次、週期

12

小時的那一個，

b = \frac{π}{6}

，與學校公布的答案相同。

曲面上的最短路徑攤平成直線來算；正弦曲線的波峰與波谷可以互補；由最大值、最小值與週期決定

a

、

c

、

b

。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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02多選第 5～7 題：對數律、3 弧度的三角函數值、對數有意義的條件

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興大附中 110 上
高二第一次段考
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