段考詳解範圍：三角函數（弧度量、扇形、正弦函數的圖形與週期）、指數函數

興大附中 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題（占 16 分，第 1～4 題，每題 4 分）、多選題（占 32 分，第 5～8 題，每題 8 分）、選填題 A～H（A～F 每題 6 分，G～H 每題 4 分）、混合題（占 8 分，單選 2 分、非選 6 分）。選填題的標題卷面印「占52分」，依說明的每題配分合計為 44 分，全卷依每題配分合計 100 分；此處照卷面原樣列出。卷面另註明：未在答案卡上正確畫記身分資料而造成讀卡或閱卷困擾者，扣該科總成績 5 分。本頁第 9～16 題依序為卷面選填 A～H 題，第 17、18 題為卷面混合題第 1 題的 (1)(2)；混合題的觀測資料表依原卷的圖片重打。混合題表中 26 日的 97 照卷面原字。答案已與學校公布的答案逐題核對，18 題全部相同。

一、單選題（占16分）說明：第1題至第4題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得4分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

令

a = sin (3 π^{2})

，試問下列哪一個選項是對的？

(1) $- 1 < a \leq - \frac{3}{2}$
(2) $- \frac{3}{2} < a \leq - \frac{1}{2}$
(3) $- \frac{1}{2} < a \leq 0$
(4) $\frac{1}{2} < a \leq \frac{3}{2}$
(5) $\frac{3}{2} < a \leq 1$

求方程式

sin x = \frac{x}{12}

的實根個數為

(1) $7$
(2) $8$
(3) $9$
(4) $10$
(5) $11$

5 7^{\circ}

等於多少弳？

(1) $1$
(2) $π$
(3) $\frac{57 π}{180}$
(4) $\frac{180}{π}$
(5) $\frac{π}{180}$

在一個培養容器中，由實驗得知細菌的數目每隔一小時會增加

2

倍（即變成原來的

3

倍），已知一開始放入

2

個細菌，剛好經過一天（

24

小時）後，容器就充滿細菌（總數為

N

個），如果一開始放入

1000

個細菌，問需經過多久時間，容器才會充滿細菌？

(1) $13$ 小時以內
(2) $13$ 小時到 $15$ 小時
(3) $15$ 小時到 $17$ 小時
(4) $17$ 小時到 $19$ 小時
(5) $19$ 小時以上

二、多選題（占32分）說明：第5題至第8題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得8分；答錯1個選項者，得4.8分；答錯2個選項者，得1.6分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

下列選項，何者是正確的？

(1) $sin π > sin π^{\circ}$
(2) $cos π > cos π^{\circ}$
(3) $cos π^{\circ} > sin π^{\circ}$
(4) $tan π > tan π^{\circ}$
(5) $sin 1 > sin 2$

關於廣義角

θ = - 10

，則下列哪些選項是正確的？

(1) $θ$ 的最小正同界角為 $4 π - 10$
(2) $sin θ < 0$
(3) $tan (- θ) > 0$
(4) $sin (π - θ) > 0$
(5) $cos (π + θ) > 0$

下列敘述哪些是正確的？

(1) $y = sin x$ 先左右伸縮 $2$ 倍再左移 $5$ 單位與先左移 $5$ 單位再左右伸縮 $2$ 倍，所得的圖形相同
(2) $y = sin x$ 先左右伸縮 $2$ 倍再上移 $5$ 單位與先上移 $5$ 單位再左右伸縮 $2$ 倍，所得的圖形相同
(3) $sin x = cos x$ 的解只有 $2$ 個
(4) $sin x = \frac{x}{2 π}$ 的解只有 $3$ 個
(5) $y = 3 sin (- 2 x + 5) - 7$ 的週期為 $4 π$

已知點

(a, b)

是指數函數

y = 3^{x}

圖形上的任一點，則下列哪些選項中的點也會在此

y = 3^{x}

的圖形上？

(1) $(3 a, 3 b)$
(2) $(a + 1, 3 b)$
(3) $(3 a, b + 1)$
(4) $(a - 2, \frac{b}{9})$
(5) $(\frac{a}{3}, b - 1)$

三、選填題（占52分）說明：1. 第A至H題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（9–24）。2. 第A至F題完全答對給6分，第G至H題完全答對給4分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。3. 若答案為分數，必須化為最簡分數，並注意分子、分母的列號順序。

（卷面 A）試求三角比

cos \frac{2 π}{3} + tan (- \frac{5 π}{4}) =

____。（化為最簡分數；原卷的答案格式為

\frac{◯ ◯}{◯}

）

（卷面 B）設

- π \leq x \leq 2 π

，求函數

y = 3 sin (2 x + \frac{π}{3})

的圖形與

x

軸有 ____ 個交點。（原卷的答案格式為

◯

）

（卷面 C）若一圓形中分割出來的扇形面積（

A_{1}

）與剩餘面積（

A_{2}

）的比值為

\frac{5 - 1}{2}

，則稱此扇形為符合黃金比例的扇形，一把符合黃金比例的摺扇，是指完全張開時符合上述的比例特性，試問黃金比例的摺扇完全張開時的角度為 ____。（原卷的答案格式為

(◯ - ◯) π

；附圖為示意圖，圓心角不照實際大小；原卷另附一張摺扇的圖片，沒有重畫）

載入中...

（卷面 D）設

- 2 \leq x \leq 3

，則

y = - 4^{x} + 2^{x + 3} - 2

的最大值為 ____。（原卷的答案格式為

◯ ◯

）

（卷面 E）已知函數

y = 4 sin (3 x + \frac{π}{6}) + 2

的最大值

M

及最小值

m

，求

M + m =

____。（原卷的答案格式為

◯

）

（卷面 F）將魚從冷凍庫取出，放在

25^{\circ} C

的室溫下解凍，放置

x

小時後魚的溫度為

f (x) = 25 - 32 \cdot a^{x}

（

^{\circ} C

），其中

a

是常數。根據經驗，魚在解凍

1

小時後的溫度為

9^{\circ} C

。問：解凍

4

小時後，魚的溫度為攝氏 ____ 度。（原卷的答案格式為

◯ ◯

）

（卷面 G）科學家經過長期的追蹤調查某稀有植物，發現該植物的數量一直符合數學模式

B (t) = \frac{64}{1 + 9 \cdot 3 ^{- 0.1 (t + 10)}}

，

t \geq 0

（即

t

年後植物的數量有

B (t)

棵）。若已知現有植物

16

棵，未來該植物的數量仍按照這個數學模式成長，則再經過 ____ 年，該植物的數量才會達到

32

棵。（原卷的答案格式為

◯ ◯

）

（卷面 H）若

2 sin^{2} x - 3 cos x \leq 0

，試求函數

f (x) = 3 cos^{2} x + 4 sin x

，

x \in R

的最大值為 ____。（化為最簡分數；原卷的答案格式為

\frac{◯ ◯}{◯}

）

四、混合題（占8分）非選擇題請由左而右橫式書寫，必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

混合題（卷面第 1 題）（第 17～18 題）　某高中天文社成員欲觀測月球亮度的比例，從某日開始每隔兩個夜晚在同一時間拍攝月球，並計算月球亮面比例，他們的觀測資料如下表所示：

開始觀察後的 x 日 月球亮面比例（％） 042224410628010812231443

開始觀察後的 x 日 月球亮面比例（％） 166618852097221002492269728603041

假設用正弦函數

y = a sin [b (x - h)] + k

（其中

a

，

b

為正數，

0 < h < 30

）來描述這筆觀測資料，且滿足下面兩條件：① 資料點

(22, 1)

和

(8, 0)

落在圖形上；② 資料點

(22, 1)

和

(8, 0)

依次為圖形相鄰的最高點與最低點。則

(1) 此圖形的週期下列何者？____　(A)

14

　(B)

28

　(C)

16

　(D)

32

　(E)

30

。（單選題：2 分）

(2) 求序對

(a, b, h, k) =

____。（非選題：6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(1)

第 3 題(3)

第 4 題(4)

第 5 題(3)

第 6 題(1)(3)(4)(5)

第 7 題(2)(4)

第 8 題(2)(4)

第 9 題

- \frac{3}{2}

第 10 題

6

第 11 題

(3 - 5) π

第 12 題

14

第 13 題

4

第 14 題

23

第 15 題

10

第 16 題

\frac{13}{3}

第 17 題(B)

第 18 題

(\frac{1}{2}, \frac{π}{14}, 15, \frac{1}{2})

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～4 題：弧度角的位置、實根個數、度與弧度、指數成長

第 1 題答案 (1)。

3 π^{2} = (3 π) \times π

，而

3 π \approx 9.42

，所以這個角大約是

9.42 π

。減去

8 π

（

2 π

的

4

倍）後正弦值不變：

a = sin (3 π^{2} - 8 π)

，其中

3 π^{2} - 8 π \approx 1.42 π

。因為

\frac{4 π}{3} \approx 1.33 π

，

\frac{3 π}{2} = 1.5 π

，所以

1.42 π

在

\frac{4 π}{3}

與

\frac{3 π}{2}

之間。正弦函數在這一段由

sin \frac{4 π}{3} = - \frac{3}{2}

一路遞減到

sin \frac{3 π}{2} = - 1

，所以

- 1 < a < - \frac{3}{2}

。

用計算機算得

a \approx - 0.972

。題目的角是

3 π^{2}

（約

29.6

弧度），不是

\frac{3 π}{2}

。

第 2 題答案 (1)。實根個數就是

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{12}

的交點個數。

sin x

的值在

- 1

與

1

之間，所以交點只可能在

- 12 \leq x \leq 12

。因為

3 π \approx 9.42

，

4 π \approx 12.57

，所以

12

在

3 π

與

4 π

之間。先看

x \geq 0

：

x = 0

是一個交點。在

0 < x < π

，直線從原點出發很平緩，一開始在正弦曲線下方（例如

x = \frac{π}{2}

時

\frac{x}{12} \approx 0.13 < 1

），到

x = π

時直線在上方（

\frac{π}{12} > 0

），中間交一次。在

π < x < 2 π

，

sin x < 0

而直線為正，沒有交點。在

2 π < x < 3 π

這一個波，兩端

sin x = 0

在直線下方，最高點

x = \frac{5 π}{2}

處

sin x = 1

，直線的高度是

\frac{5 π}{24} \approx 0.65 < 1

，曲線先穿到直線上方再穿回下方，交兩次。在

3 π < x \leq 12

，

sin x < 0

，沒有交點；

x > 12

時直線高於

1

，也沒有。所以正的實根有

1 + 2 = 3

個。兩邊都是奇函數，圖形都對稱於原點，負的實根也有

3

個。共

3 + 3 + 1 = 7

個。

下一個波的最高點在

x = \frac{9 π}{2} \approx 14.1

，已經超過

12

，直線在那裡高於

1

，所以不會再有交點。別漏了

x = 0

。

第 3 題答案 (3)。

18 0^{\circ} = π

弳，所以

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳，

5 7^{\circ} = 57 \times \frac{π}{180} = \frac{57 π}{180}

弳。

\frac{57 π}{180} \approx 0.995

，很接近

1

但不等於

1

；

1

弳約是

57. 3^{\circ}

。(4)

\frac{180}{π}

是「

1

弳等於幾度」的數值，(5) 是

1^{\circ}

的弳數。

第 4 題答案 (4)。每小時變成原來的

3

倍，放入

2

個、經過

24

小時充滿：

N = 2 \times 3^{24}

。改放

1000

個，設經過

t

小時充滿：

1000 \times 3^{t} = 2 \times 3^{24}

，所以

3^{24 - t} = \frac{1000}{2} = 500

。因為

3^{5} = 243 < 500 < 729 = 3^{6}

，而

y = 3^{x}

是遞增函數，所以

5 < 24 - t < 6

，即

18 < t < 19

，落在「

17

小時到

19

小時」。

一開始多了

500

倍，相當於省下

5

個多小時（

3^{5} = 243

，

3^{6} = 729

），所以大約

18

個多小時。

很大的弧度角先減去

2 π

的整數倍；方程式的實根個數看兩個圖形的交點；指數的範圍用相鄰的整數次方夾。

02多選第 5、6 題：度與弧度、負 10 弧度的同界角

5 (1)錯誤。沒有度的記號是弧度：

sin π = 0

。

π^{\circ}

約是

3.1 4^{\circ}

，是很小的銳角，

sin π^{\circ} > 0

。所以

sin π < sin π^{\circ}

。

5 (2)錯誤。

cos π = - 1

，而

cos π^{\circ}

是銳角的餘弦值，是正的（接近

1

）。所以

cos π < cos π^{\circ}

。

5 (3)正確。

π^{\circ} \approx 3.1 4^{\circ}

是小於

4 5^{\circ}

的銳角，這時餘弦值大於正弦值（

cos π^{\circ}

接近

1

，

sin π^{\circ}

接近

0

）。

5 (4)錯誤。

tan π = 0

，

tan π^{\circ}

是銳角的正切值，是正的。所以

tan π < tan π^{\circ}

。

5 (5)錯誤。

sin 2 = sin (π - 2)

，而

π - 2 \approx 1.14

。

1

與

1.14

都在

0

與

\frac{π}{2} \approx 1.57

之間，正弦函數在這一段遞增，所以

sin 1 < sin 1.14 = sin 2

。

近似值：

sin 1 \approx 0.84

，

sin 2 \approx 0.91

。本題答案是 (3)。

6 (1)正確。同界角相差

2 π

的整數倍。

- 10 + 2 π \approx - 3.72

仍是負的，

- 10 + 4 π \approx 2.57

是正的，所以最小正同界角是

4 π - 10

。

6 (2)錯誤。

4 π - 10 \approx 2.57

，在

\frac{π}{2} \approx 1.57

與

π \approx 3.14

之間，所以

θ

是第二象限角，

sin θ > 0

。

6 (3)正確。

θ

是第二象限角，

tan θ < 0

；而

tan (- θ) = - tan θ > 0

。

也可以直接看

- θ = 10

：

3 π \approx 9.42 < 10 < \frac{7 π}{2} \approx 11.0

，

10

弧度是第三象限角，正切值為正。

6 (4)正確。

sin (π - θ) = sin θ

，由 (2) 知

sin θ > 0

。

6 (5)正確。

cos (π + θ) = - cos θ

。

θ

是第二象限角，

cos θ < 0

，所以

- cos θ > 0

。

本題答案是 (1)(3)(4)(5)。近似值：

sin (- 10) \approx 0.54

，

cos (- 10) \approx - 0.84

。

有

^{\circ}

的是度，沒有的是弧度；弧度角先找同界角、判斷象限，再決定正負。

03多選第 7、8 題：圖形的平移伸縮、指數函數圖形上的點

7 (1)錯誤。左右伸縮

2

倍是把

x

換成

\frac{x}{2}

，左移

5

單位是把

x

換成

x + 5

。先伸縮再左移：

y = sin \frac{x}{2}

變成

y = sin \frac{x + 5}{2}

。先左移再伸縮：

y = sin (x + 5)

變成

y = sin (\frac{x}{2} + 5) = sin \frac{x + 10}{2}

。兩個圖形左右相差

5

單位，不相同。

例如

x = - 5

時，前者是

sin 0 = 0

，後者是

sin 2.5 \approx 0.60

。

7 (2)正確。左右伸縮只改變

x

方向，上移只改變

y

方向，兩者互不影響：兩種順序得到的都是

y = sin \frac{x}{2} + 5

。

7 (3)錯誤。題目沒有限制

x

的範圍。

x = \frac{π}{4}

時

sin x = cos x = \frac{2}{2}

，而兩個函數的週期都是

2 π

，所以

x = \frac{π}{4} + 2 nπ

（

n

為整數）全部都是解，有無限多個。

x = \frac{5 π}{4} + 2 nπ

也都是解。即使只看

0 \leq x < 2 π

才是

2

個。

7 (4)正確。看

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{2 π}

的交點。

x = 0

是一個交點。

0 < x < π

時，

x = \frac{π}{2}

處曲線高

1

、直線高

\frac{1}{4}

，曲線在上；

x = π

處曲線高

0

、直線高

\frac{1}{2}

，直線在上，中間交一次。

π < x < 2 π

時

sin x < 0

而直線為正；

x = 2 π

時直線高

1

而

sin 2 π = 0

；

x > 2 π

時直線高於

1

，都沒有交點。所以正的解有

1

個；圖形對稱於原點，負的解也有

1

個。共

3

個。

7 (5)錯誤。週期只看

x

的係數：週期

= \frac{2 π}{∣ - 2∣} = π

，不是

4 π

。

本題答案是 (2)(4)。

8 (1)錯誤。點

(a, b)

在圖形上，所以

b = 3^{a}

。

x = 3 a

時

y = 3^{3 a} = (3^{a})^{3} = b^{3}

，一般不等於

3 b

。例如

(a, b) = (0, 1)

：點

(0, 3)

不在圖形上。

8 (2)正確。

x = a + 1

時

y = 3^{a + 1} = 3 \times 3^{a} = 3 b

。

8 (3)錯誤。

x = 3 a

時

y = b^{3}

，一般不等於

b + 1

。例如

(a, b) = (0, 1)

：點

(0, 2)

不在圖形上。

8 (4)正確。

x = a - 2

時

y = 3^{a - 2} = \frac{3 ^{a}}{3 ^{2}} = \frac{b}{9}

。

8 (5)錯誤。

x = \frac{a}{3}

時

y = 3^{\frac{a}{3}} = 3 b

，一般不等於

b - 1

。例如

(a, b) = (0, 1)

：點

(0, 0)

不在圖形上。

本題答案是 (2)(4)。題目說「任一點」，所以要對圖形上每一個點都成立才算正確。

指數函數的

x

坐標加一個數，

y

坐標就乘上一個固定的倍數；

x

坐標乘一個數，

y

坐標變成乘方。

04選填第 9～11 題（卷面 A～C）：特殊角、與 x 軸的交點、黃金比例的扇形

第 9 題

\frac{2 π}{3}

是

12 0^{\circ}

，

cos 12 0^{\circ} = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

。

- \frac{5 π}{4}

加上

2 π

得同界角

\frac{3 π}{4}

（

13 5^{\circ}

），

tan 13 5^{\circ} = - tan 4 5^{\circ} = - 1

。所以所求

= - \frac{1}{2} + (- 1) = - \frac{3}{2}

。

- \frac{5 π}{4}

是順時針轉

22 5^{\circ}

，終邊在第二象限，正切值是負的。

第 10 題與

x

軸的交點就是

y = 0

：

sin (2 x + \frac{π}{3}) = 0

，所以

2 x + \frac{π}{3} = nπ

（

n

為整數），

x = \frac{nπ}{2} - \frac{π}{6} = \frac{( 3 n - 1 ) π}{6}

。要

- π \leq x \leq 2 π

，即

- 6 \leq 3 n - 1 \leq 12

，

- \frac{5}{3} \leq n \leq \frac{13}{3}

，

n = - 1, 0, 1, 2, 3, 4

，共

6

個。

這

6

個交點是

x = - \frac{2 π}{3}, - \frac{π}{6}, \frac{π}{3}, \frac{5 π}{6}, \frac{4 π}{3}, \frac{11 π}{6}

。函數的週期是

π

，每個週期與

x

軸交

2

次，範圍長

3 π

是

3

個週期，而且兩個端點都不是交點，所以是

6

個。

第 11 題設摺扇張開的角度（扇形

A_{1}

的圓心角）為

θ

弳，則剩餘部分的圓心角是

2 π - θ

。同一個圓裡扇形面積與圓心角成正比，所以

\frac{A _{1}}{A _{2}} = \frac{θ}{2 π - θ} = \frac{5 - 1}{2}

。交叉相乘：

2 θ = (5 - 1) (2 π - θ)

，

2 θ + (5 - 1) θ = 2 (5 - 1) π

，

(5 + 1) θ = 2 (5 - 1) π

。所以

θ = \frac{2 ( 5 - 1 )}{5 + 1} π

。有理化：

\frac{2 ( 5 - 1 )}{5 + 1} = \frac{2 ( 5 - 1 ) ^{2}}{( 5 + 1 ) ( 5 - 1 )} = \frac{2 ( 6 - 2 5 )}{4} = 3 - 5

。所以

θ = (3 - 5) π

。

(3 - 5) π \approx 0.764 π

，約

137. 5^{\circ}

。附圖是本站重畫的示意圖，圓心角沒有照這個大小畫。

同一個圓裡，扇形面積的比等於圓心角的比。

05選填第 12～14 題（卷面 D～F）：指數代換、正弦型函數的極值、解凍模型

第 12 題令

t = 2^{x}

。

4^{x} = (2^{x})^{2} = t^{2}

，

2^{x + 3} = 8 \times 2^{x} = 8 t

，所以

y = - t^{2} + 8 t - 2 = - (t - 4)^{2} + 14

。

y = 2^{x}

是遞增函數，

- 2 \leq x \leq 3

時

\frac{1}{4} \leq t \leq 8

。

t = 4

在這個範圍內（此時

x = 2

），所以最大值是

14

。

代換之後一定要把

x

的範圍換成

t

的範圍，確認頂點

t = 4

取得到。

第 13 題

sin (3 x + \frac{π}{6})

的值在

- 1

與

1

之間，而且

x

沒有限制範圍，

1

與

- 1

都取得到。所以最大值

M = 4 \times 1 + 2 = 6

，最小值

m = 4 \times (- 1) + 2 = - 2

，

M + m = 4

。

最大值與最小值的平均就是鉛直位移

2

，所以

M + m = 2 \times 2 = 4

。

第 14 題解凍

1

小時後是

9^{\circ} C

：

f (1) = 25 - 32 a = 9

，

32 a = 16

，

a = \frac{1}{2}

。所以

f (x) = 25 - 32 (\frac{1}{2})^{x}

，

f (4) = 25 - 32 \times \frac{1}{16} = 25 - 2 = 23

。解凍

4

小時後是攝氏

23

度。

f (0) = 25 - 32 = - 7

，是魚剛取出時的溫度。魚與室溫的溫差每小時減半：

32

、

16

、

8

、

4

、

2

。

式子裡同時有

4^{x}

與

2^{x}

時，令

t = 2^{x}

化成二次函數，並把範圍一起換過去。

06選填第 15、16 題（卷面 G、H）：成長模型、有限制範圍的最大值

第 15 題先確認「現有

16

棵」對應哪一個

t

：

\frac{64}{1 + 9 \cdot 3 ^{- 0.1 (t + 10)}} = 16

，

1 + 9 \cdot 3^{- 0.1 (t + 10)} = 4

，

3^{- 0.1 (t + 10)} = \frac{1}{3} = 3^{- 1}

，

0.1 (t + 10) = 1

，

t = 0

。所以現在就是

t = 0

。再求數量達到

32

棵的

t

：

1 + 9 \cdot 3^{- 0.1 (t + 10)} = 2

，

3^{- 0.1 (t + 10)} = \frac{1}{9} = 3^{- 2}

，

0.1 (t + 10) = 2

，

t = 10

。所以再經過

10

年。

t

越大，

3^{- 0.1 (t + 10)}

越小，分母越小，

B (t)

越大，所以數量會一直增加，而且不會超過

64

棵。

第 16 題先處理條件。用

sin^{2} x = 1 - cos^{2} x

：

2 (1 - cos^{2} x) - 3 cos x \leq 0

，整理得

2 cos^{2} x + 3 cos x - 2 \geq 0

，

(2 cos x - 1) (cos x + 2) \geq 0

。因為

cos x + 2 > 0

，所以

cos x \geq \frac{1}{2}

。這時

sin^{2} x = 1 - cos^{2} x \leq 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

，即

- \frac{3}{2} \leq sin x \leq \frac{3}{2}

。再看函數：令

s = sin x

，

f (x) = 3 (1 - s^{2}) + 4 s = - 3 s^{2} + 4 s + 3 = - 3 (s - \frac{2}{3})^{2} + \frac{13}{3}

。

\frac{2}{3} \approx 0.667

在

- \frac{3}{2}

與

\frac{3}{2} \approx 0.866

之間，取得到，所以最大值是

\frac{13}{3}

。

檢查取得到：

sin x = \frac{2}{3}

時取

cos x = \frac{5}{3} \approx 0.745 \geq \frac{1}{2}

，符合條件。式子裡的平方是三角函數值的平方（

sin^{2} x

、

cos^{2} x

）。

同時有

sin

與

cos

的二次式，用平方關係化成同一個三角函數，再配方；配方前先把範圍定下來。

07混合題第 17、18 題（卷面第 1 題）：用正弦函數描述月球亮面比例

第 17 題答案 (B)。正弦型函數的圖形上，相鄰的最高點與最低點在水平方向相差半個週期。最高點

(22, 1)

與最低點

(8, 0)

的

x

坐標相差

22 - 8 = 14

，所以半個週期是

14

，週期是

28

。

14

是半個週期，不是週期。

第 18 題因為

a > 0

，最大值是

a + k = 1

，最小值是

- a + k = 0

。兩式相加得

k = \frac{1}{2}

，相減得

a = \frac{1}{2}

。由第 (1) 小題週期是

28

，而

b > 0

時週期

= \frac{2 π}{b}

，所以

\frac{2 π}{b} = 28

，

b = \frac{π}{14}

。到這裡

y = \frac{1}{2} sin [\frac{π}{14} (x - h)] + \frac{1}{2}

。把最高點

(22, 1)

代入：

1 = \frac{1}{2} sin [\frac{π}{14} (22 - h)] + \frac{1}{2}

，所以

sin [\frac{π}{14} (22 - h)] = 1

，

\frac{π}{14} (22 - h) = \frac{π}{2} + 2 nπ

（

n

為整數），

22 - h = 7 + 28 n

，

h = 15 - 28 n

。要

0 < h < 30

，只有

n = 0

，

h = 15

。所以

(a, b, h, k) = (\frac{1}{2}, \frac{π}{14}, 15, \frac{1}{2})

。

檢查最低點：

x = 8

時

\frac{π}{14} (8 - 15) = - \frac{π}{2}

，

sin (- \frac{π}{2}) = - 1

，

y = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0

，相符。

h = 15

是圖形由下往上通過中線

y = \frac{1}{2}

的位置，正好是最低點

x = 8

與最高點

x = 22

的中間。學校答案卷註明本小題共 6 分，四個數各 1.5 分。

y = a sin [b (x - h)] + k

（

a > 0

，

b > 0

）：

k

是最大值與最小值的平均，

a

是兩者差的一半，相鄰最高點與最低點的水平距離是半個週期。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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興大附中 109 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 109 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題：角度是 3 乘以 π 的平方，不是二分之三 π，要先減去 2π 的整數倍再看落在哪一段。第 2 題：直線在 x 等於 12 時到達 1，要一個波一個波數交點，還要記得原點與左半邊。第 6 題：負 10 弧度要先加 4π 找出同界角在第二象限，再逐一判斷正負。選填 H（本頁第 16 題）：先由不等式得到餘弦值的範圍，再換成正弦值的範圍，最後才配方。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自興大附中 109 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

興大附中 109 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選第 1～4 題：弧度角的位置、實根個數、度與弧度、指數成長

02多選第 5、6 題：度與弧度、負 10 弧度的同界角

03多選第 7、8 題：圖形的平移伸縮、指數函數圖形上的點

04選填第 9～11 題（卷面 A～C）：特殊角、與 x 軸的交點、黃金比例的扇形

05選填第 12～14 題（卷面 D～F）：指數代換、正弦型函數的極值、解凍模型

06選填第 15、16 題（卷面 G、H）：成長模型、有限制範圍的最大值

07混合題第 17、18 題（卷面第 1 題）：用正弦函數描述月球亮面比例

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興大附中 109 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

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興大附中 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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