段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角、倍角與半角公式、正餘弦的疊合）

興大附中 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 興大附中 109 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 興大附中 109 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 1 題：角度是 3 乘圓周率的平方（弧度），要先寫成大約 9.42 個圓周率，扣掉四圈後看落在第三象限的哪一段。多選第 8 題：選項 (4)(5) 要畫圖數交點，原點也是一個解，選項 (5) 有 2 個解不是 1 個。選填 F（本頁第 14 題）：先由條件求出餘弦至少二分之一，換成正弦的範圍後再配方。選填 G（本頁第 15 題）：降次疊合後由最大值與最小值的平均與差反求係數。選填 H（本頁第 16 題）：兩圓外切時圓心距離等於半徑的和，先求出 E 的位置再用正切的差角公式。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 4 題（16 分）、多選題 4 題（32 分）、選填題 8 題（44 分）、混合題 1 題（8 分）。本頁第 9～16 題依序為原卷選填 A～H 題，第 17、18 題為原卷混合題第 1 題的 (1)、(2) 小題。第 8 題選項 (1) 卷面印「33倍」，本頁照卷面保留並在題目旁註明。答案已與學校公布的答案逐題核對，其中 1 題（第 15 題）照題目條件還有另一組數對，本頁照學校的答案並在詳解說明。

一、單選題（占16分）說明：第1題至第4題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得4分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

令

a = sin (3 π^{2})

，試問下列哪一個選項是對的？

(1) $- 1 < a \leq - \frac{3}{2}$
(2) $- \frac{3}{2} < a \leq - \frac{1}{2}$
(3) $- \frac{1}{2} < a \leq 0$
(4) $\frac{1}{2} < a \leq \frac{3}{2}$
(5) $\frac{3}{2} < a \leq 1$ 。

設

x

為實數，則下列哪個方程式有解？

(1) $sin x - cos x = 2$
(2) $sin x cos x = 1$
(3) $sin x + \frac{1}{sin x} = 1$
(4) $2 sin x + 3 cos x = 4$
(5) $3 sin x - 4 cos x = 5$ 。

若

- 18 0^{\circ} < θ < 0^{\circ}

，

\frac{tan θ - tan 3 2 ^{\circ}}{1 + tan θ tan 3 2 ^{\circ}} = 1

，則

θ =

？

(1) $- 1 3^{\circ}$
(2) $- 7 7^{\circ}$
(3) $- 9 0^{\circ}$
(4) $- 10 3^{\circ}$
(5) $- 13 5^{\circ}$ 。

下列哪個函數的週期為

π

？

(1) $y = ∣ sin x ∣ + sin x$
(2) $y = 5 sin x + 4 cos (- x)$
(3) $y = ∣ tan x ∣ + 2$
(4) $y = 2 sin \frac{1}{2} x$
(5) $y = ∣ sin x ∣ + ∣ cos x ∣$

二、多選題（占32分）說明：第5題至第8題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得8分；答錯1個選項者，得4.8分；答錯2個選項者，得1.6分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

下列選項，何者是正確的？

(1) $sin π > sin π^{\circ}$
(2) $cos π > cos π^{\circ}$
(3) $cos π^{\circ} > sin π^{\circ}$
(4) $tan π > tan π^{\circ}$
(5) $sin 1 > sin 2$ 。

下列有關

y = sin x + 3 cos x

的性質，何者是正確的？

(1) 圖形對稱於直線 $x = \frac{π}{6}$
(2) $y$ 的最大值為 $2$
(3) $sin x + 3 cos x = - 3$ 沒有實數解
(4) $sin x + 3 cos x = - 2$ 沒有實數解
(5) 於 $\frac{2 π}{3} < x < \frac{7 π}{6}$ 時， $y$ 呈現遞增。

若

tan α

、

tan β

為方程式

x^{2} + 2 x - 1 = 0

的兩根，則下列哪些選項是正確的？

(1) $tan α + tan β = 2$
(2) $tan α \cdot tan β = - 1$
(3) $tan (α + β) = 1$
(4) $cos (α - β) = 0$
(5) $sin^{2} (α + β) = \frac{1}{2}$

下列敘述哪些是正確的？

(1) $y = sin x$ 先左右伸縮 $3$ 倍再左移 $5$ 單位與先左移 $5$ 單位再左右伸縮 $33$ 倍，所得的圖形相同（卷面印作「33倍」，依前後文應為 $3$ 倍）
(2) $y = sin x$ 先左右伸縮 $3$ 倍再上移 $5$ 單位與先上移 $5$ 單位再左右伸縮 $3$ 倍，所得的圖形相同
(3) $sin x = cos x$ 的解有 $2$ 個
(4) $sin x = \frac{x}{2 π}$ 的解有 $3$ 個
(5) $sin x = x^{2}$ 的解有 $1$ 個。

三、選填題（占44分）說明：1.第A至H題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（9–31）。2.第A至F題完全答對給6分，第G至H題完全答對給4分答錯不倒扣，未完全答對不給分。3.若答案為分數，必須化為最簡分數，並注意分子、分母的列號順序。

試求三角比

cos \frac{2 π}{3} + tan (- \frac{5 π}{4}) =

____。

設

y = sin (x + \frac{π}{6}) + cos (x - \frac{π}{3})

，

0 \leq x \leq π

，則

y

之最大值與最小值之和為 ____。

若一圓形中分割出來的扇形面積（

A_{1}

）與剩餘面積（

A_{2}

）的比值為

\frac{5 - 1}{2}

，則稱此扇形為符合黃金比例的扇形，一把符合黃金比例的摺扇，是指完全張開時符合上述的比例特性，試問黃金比例的摺扇完全張開時的角度為

(__-__) π

。（原卷另附一張摺扇的圖片，本頁沒有重畫）

載入中...

設

cos α = \frac{3}{5}

，

sin β = - \frac{15}{17}

，且

27 0^{\circ} < α < 36 0^{\circ}

，

18 0^{\circ} < β < 27 0^{\circ}

，試求

sin (α - β)

與

cos (α - β)

之和為 ____。

設

27 0^{\circ} < α < 36 0^{\circ}

，

sin α + cos α = \frac{7}{17}

，則

sin \frac{α}{2} =

____。

若

2 sin^{2} x - 3 cos x \leq 0

，試求函數

f (x) = 3 cos^{2} x + 4 sin x

，

x \in R

的最大值為 ____。

a > b

，若

a sin^{2} θ + (a - b) cos θ sin θ - b cos^{2} θ

之最大值與最小值依次為

2 + 13

，

2 - 13

，則數對

(a, b) =

____。

如下圖，正方形

A B C D

中，

E

是

\overline{B C}

邊上一點，

\overline{E C} = \overline{E F}

，「以

E

為圓心，

\overline{E C}

為半徑的半圓」與「以

A

為圓心、

\overline{A B}

為半徑的圓弧」外切，則

tan ∠ E A F =

____。

載入中...

四、混合題（占8分）★請勿於答案卡背面作答，若造成閱卷老師讀卡困擾者，統一扣該科總成績5分。非選擇題請由左而右橫式書寫，必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

混合題第 1 題（第 17～18 題）　某高中天文社成員欲觀測月球亮度的比例，從某日開始每隔兩個夜晚在同一時間拍攝月球，並計算月球亮面比例，他們的觀測資料如下表所示：

開始觀察後的 x 日 月球亮面比例（ % ） 042224410628010812231443

開始觀察後的 x 日 月球亮面比例（ % ） 166618852097221002492269728603041

假設用正弦函數

y = a sin [b (x - h)] + k

（其中

a

，

b

為正數，

0 < h < 30

）來描述這筆觀測資料，且滿足下面兩條件：① 資料點

(22, 1)

和

(8, 0)

落在圖形上；② 資料點

(22, 1)

和

(8, 0)

依次為圖形相鄰的最高點與最低點。（原卷的表是一張圖片，本頁排成上下兩段；第 26 日的

97

照原卷圖片上的數字）

(1) 此圖形的週期下列何者？ (A)

14

　(B)

28

　(C)

16

　(D)

32

　(E)

30

。（單選題：2分）

(2) 求序對

(a, b, h, k) =

____。（非選題：6分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(5)

第 3 題(4)

第 4 題(3)

第 5 題(3)

第 6 題(1)(2)(3)

第 7 題(2)(4)(5)

第 8 題(2)(4)

第 9 題

- \frac{3}{2}

第 10 題

1

第 11 題

(3 - 5) π

第 12 題

\frac{113}{85}

第 13 題

\frac{17}{17}

第 14 題

\frac{13}{3}

第 15 題

(5, 1)

（照學校公布的答案；只看題目條件，

(- 1, - 5)

也符合，但答案格每格只能畫記一位數字，見詳解）

第 16 題

\frac{2}{11}

第 17 題(B)

第 18 題

(\frac{1}{2}, \frac{π}{14}, 15, \frac{1}{2})

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：弧度的位置、方程式有沒有解、正切的差角公式、週期

第 1 題答案 (1)。

3 π^{2} = 3 π \times π

，而

3 π \approx 9.42

，所以

3 π^{2} \approx 9.42 π = 8 π + 1.42 π

。角度差

8 π

（四圈）正弦值不變，

a = sin ((3 π - 8) π)

，其中

3 π - 8 \approx 1.42

。因為

\frac{4}{3} \approx 1.33 < 1.42 < 1.5 = \frac{3}{2}

，這個角介於

\frac{4 π}{3}

與

\frac{3 π}{2}

之間，在第三象限的後半段。正弦值在

\frac{4 π}{3}

是

- \frac{3}{2}

，往

\frac{3 π}{2}

一路變小到

- 1

，所以

- 1 < a < - \frac{3}{2}

，選 (1)。

這裡的

3 π^{2}

是弧度，約

29.6

。關鍵是把它寫成「幾個

π

」：

3 π^{2}

就是

3 π

個

π

。實際值

a \approx - 0.972

。

第 2 題答案 (5)。(1)

sin x - cos x = 2 sin (x - \frac{π}{4})

，值的範圍是

- 2

到

2

，到不了

2

，無解。(2)

sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

，最大是

\frac{1}{2}

，到不了

1

，無解。(3) 令

t = sin x

（

t \neq = 0

），兩邊同乘

t

得

t^{2} - t + 1 = 0

，判別式

1 - 4 < 0

，沒有實數

t

，無解。(4)

2 sin x + 3 cos x

疊合後的最大值是

2^{2} + 3^{2} = 13 < 4

，無解。(5)

3 sin x - 4 cos x

疊合後的範圍是

- 5

到

5

，取得到

5

，有解。

a sin x + b cos x = c

有解的條件是

∣ c ∣ \leq a^{2} + b^{2}

。

第 3 題答案 (4)。等號左邊正是正切的差角公式，

tan (θ - 3 2^{\circ}) = 1

，所以

θ - 3 2^{\circ} = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} \times k

（

k

為整數），

θ = 7 7^{\circ} + 18 0^{\circ} \times k

。在

- 18 0^{\circ} < θ < 0^{\circ}

內只有

k = - 1

：

θ = - 10 3^{\circ}

。

正切的週期是

18 0^{\circ}

，所以是加

18 0^{\circ}

的整數倍，不是

36 0^{\circ}

。

第 4 題答案 (3)。(1)

sin x \geq 0

時

y = 2 sin x

，

sin x < 0

時

y = 0

，圖形每

2 π

重複一次，週期是

2 π

。(2)

cos (- x) = cos x

，

y = 5 sin x + 4 cos x

疊合後是一個週期

2 π

的正弦函數。(3)

tan x

的週期是

π

；加絕對值後，

0 < x < \frac{π}{2}

這一段由

0

遞增、

\frac{π}{2} < x < π

這一段遞減回

0

，而且

∣ tan x ∣ = 0

只發生在

x = k π

，相鄰兩個零點相隔

π

，週期不可能比

π

短，所以仍是

π

；加

2

只是上移，週期不變。(4)

2 sin \frac{1}{2} x

的週期是

4 π

，加絕對值後下半翻上來，週期減半成

2 π

。(5)

y

把

x

換成

x + \frac{π}{2}

後

∣ sin x ∣

與

∣ cos x ∣

互換，和不變，週期是

\frac{π}{2}

。只有 (3) 的週期是

π

。

正弦、餘弦加絕對值後週期減半；正切加絕對值後週期不變。(5) 中

π

雖然也滿足

f (x + π) = f (x)

，但週期指的是最小的正數。

很大的弧度先寫成幾個圓周率再看落在哪個象限；判斷方程式有沒有解，先求左邊的值的範圍。

02多選 5～8：弧度與度、疊合後的性質、正切的和角、平移伸縮與解的個數

第 5 題答案 (3)。

π

是弧度（半圈），

π^{\circ} \approx 3.1 4^{\circ}

是很小的銳角。(1) 錯誤。

sin π = 0

，而

sin π^{\circ} > 0

。(2) 錯誤。

cos π = - 1

，而

cos π^{\circ} > 0

。(3) 正確。

π^{\circ}

比

4 5^{\circ}

小，銳角小於

4 5^{\circ}

時餘弦比正弦大。(4) 錯誤。

tan π = 0

，而

tan π^{\circ} > 0

。(5) 錯誤。

sin 2 = sin (π - 2)

，而

π - 2 \approx 1.14

；

1

與

1.14

都介於

0

與

\frac{π}{2} \approx 1.57

之間，這一段正弦值隨角度變大而變大，所以

sin 1 < sin 1.14 = sin 2

。

沒有寫度數符號的角就是弧度：

1

弧度約

57. 3^{\circ}

，

2

弧度約

114. 6^{\circ}

。

第 6 題答案 (1)(2)(3)。

y = 2 (\frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x) = 2 sin (x + \frac{π}{3})

。(1) 正確。

x = \frac{π}{6}

時

x + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}

，

y = 2

是最高點，通過最高點的鉛直線是對稱軸。(2) 正確。 最大值是

2

。(3) 正確。

y

的範圍是

- 2

到

2

，到不了

- 3

。(4) 錯誤。

- 2

是最小值，取得到，例如

x = \frac{7 π}{6}

時

y = 2 sin \frac{3 π}{2} = - 2

，有實數解。(5) 錯誤。

\frac{2 π}{3} < x < \frac{7 π}{6}

時

π < x + \frac{π}{3} < \frac{3 π}{2}

，這一段正弦值由

0

變小到

- 1

，

y

是遞減。

疊合之後，最大值、最小值、對稱軸、遞增遞減的區間都由

x + \frac{π}{3}

落在哪一段來讀。

第 7 題答案 (2)(4)(5)。由根與係數關係，

tan α + tan β = - 2

，

tan α tan β = - 1

。(1) 錯誤。 兩根的和是

- 2

。(2) 正確。 兩根的積是

- 1

。(3) 錯誤。

tan (α + β) = \frac{tan α + tan β}{1 - tan α tan β} = \frac{- 2}{1 - ( - 1 )} = - 1

。(4) 正確。

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β = cos α cos β (1 + tan α tan β) = cos α cos β \times 0 = 0

。(5) 正確。

tan (α + β) = - 1

，所以

sin (α + β) = - cos (α + β)

，兩者平方相等，而平方和是

1

，所以

sin^{2} (α + β) = \frac{1}{2}

。

tan α tan β = - 1

表示

α

與

β

相差

9 0^{\circ}

的奇數倍，所以 (4) 的餘弦是

0

。

第 8 題答案 (2)(4)。(1) 錯誤。 先左右伸縮

3

倍得

y = sin \frac{x}{3}

，再左移

5

單位得

y = sin \frac{x + 5}{3}

；先左移

5

單位得

y = sin (x + 5)

，再左右伸縮

3

倍得

y = sin (\frac{x}{3} + 5)

。兩個函數不同（前者等於把

y = sin \frac{x}{3}

左移

5

，後者是左移

15

）；照卷面印的

33

倍，後者是

y = sin (\frac{x}{33} + 5)

，連週期都不同，一樣是錯的。(2) 正確。 左右伸縮只動

x

，上下平移只動

y

，互不影響，兩種順序都得到

y = sin \frac{x}{3} + 5

。(3) 錯誤。 題目沒有限制

x

的範圍，

sin x = cos x

的解是

x = \frac{π}{4} + k π

（

k

為整數），有無限多個。(4) 正確。 畫

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{2 π}

：

x = 0

是一個解；直線在

x = 2 π

時高度到

1

，之後超過

1

，所以正的解只可能在

0 < x < 2 π

，其中

π \leq x < 2 π

時

sin x \leq 0

而直線在

x

軸上方，不會相交；

0 < x < π

時曲線一開始比直線高（例如

x = \frac{π}{2}

時曲線高

1

、直線高

\frac{1}{4}

），到

x = π

時曲線高

0

、直線高

\frac{1}{2}

，交一次。兩個圖形都對稱於原點，負的一側也交一次，共

3

個解。(5) 錯誤。

x = 0

是一個解；

0 < x < 1

時，例如

x = \frac{1}{2}

曲線高約

0.48

、拋物線高

0.25

，到

x = 1

時曲線高約

0.84

、拋物線高

1

，中間交一次；

x > 1

時

x^{2} > 1

，

x < 0

時

sin x

在

- π < x < 0

是負的、再往左

x^{2} > 1

，都不會相交。共

2

個解，不是

1

個。

伸縮與平移作用在同一個方向（都是左右）時，順序不同結果就不同；一個左右、一個上下時，順序可以交換。

先疊合，再讀性質；數解的個數時把兩邊各畫成一個圖形，別漏掉原點這個解。

03選填 9～12（原卷 A～D）：特殊角、化成同一個正弦、黃金比例的扇形、差角公式

第 9 題

cos \frac{2 π}{3} = cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

。

tan (- \frac{5 π}{4}) = - tan \frac{5 π}{4} = - tan (π + \frac{π}{4}) = - tan \frac{π}{4} = - 1

。兩者相加得

- \frac{1}{2} - 1 = - \frac{3}{2}

。

負角的正切：

tan (- θ) = - tan θ

；正切的週期是

π

，所以

tan \frac{5 π}{4} = tan \frac{π}{4}

。

第 10 題由

cos θ = sin (θ + \frac{π}{2})

，

cos (x - \frac{π}{3}) = sin (x - \frac{π}{3} + \frac{π}{2}) = sin (x + \frac{π}{6})

，所以

y = 2 sin (x + \frac{π}{6})

。

0 \leq x \leq π

時

\frac{π}{6} \leq x + \frac{π}{6} \leq \frac{7 π}{6}

，這一段經過

\frac{π}{2}

，正弦的最大值是

1

；最小值在右端

\frac{7 π}{6}

，是

- \frac{1}{2}

（左端是

\frac{1}{2}

）。所以

y

的最大值是

2

、最小值是

- 1

，和為

1

。

也可以兩項都用和差角公式展開：

sin x cos \frac{π}{6} + cos x sin \frac{π}{6} + cos x cos \frac{π}{3} + sin x sin \frac{π}{3} = 3 sin x + cos x

，再疊合，結果相同。最小值不是

- 2

，因為角度範圍沒有到

\frac{3 π}{2}

。

第 11 題設扇形的圓心角為

θ

（弧度）、半徑為

r

。扇形面積

A_{1} = \frac{1}{2} r^{2} θ

，剩餘部分是圓心角

2 π - θ

的扇形，

A_{2} = \frac{1}{2} r^{2} (2 π - θ)

，所以

\frac{A _{1}}{A _{2}} = \frac{θ}{2 π - θ} = \frac{5 - 1}{2}

。交叉相乘：

2 θ = (5 - 1) (2 π - θ)

，

(5 + 1) θ = 2 (5 - 1) π

，

θ = \frac{2 ( 5 - 1 )}{5 + 1} π = \frac{2 ( 5 - 1 ) ^{2}}{4} π = \frac{6 - 2 5}{2} π = (3 - 5) π

。

(3 - 5) π \approx 0.764 π

，約

137. 5^{\circ}

。同一個圓裡扇形面積與圓心角成正比，所以面積比就是圓心角的比。本頁的圖是示意，圓心角沒有照實際大小畫。

第 12 題

α

在第四象限，

sin α = - 1 - \frac{9}{25} = - \frac{4}{5}

；

β

在第三象限，

cos β = - 1 - \frac{225}{289} = - \frac{8}{17}

。

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β = (- \frac{4}{5}) (- \frac{8}{17}) - \frac{3}{5} (- \frac{15}{17}) = \frac{32 + 45}{85} = \frac{77}{85}

。

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β = \frac{3}{5} (- \frac{8}{17}) + (- \frac{4}{5}) (- \frac{15}{17}) = \frac{- 24 + 60}{85} = \frac{36}{85}

。兩者的和為

\frac{77 + 36}{85} = \frac{113}{85}

。

先由象限決定

sin α

、

cos β

的正負，再代公式；

7 7^{2} + 3 6^{2} = 8 5^{2}

，可以用來檢查。

看到餘弦與正弦的角相差四分之一圈，先換成同一個函數；扇形的面積比就是圓心角的比。

04選填 13～16（原卷 E～H）：半角公式、限制範圍後配方、由極值反求係數、兩圓外切

第 13 題兩邊平方：

1 + 2 sin α cos α = \frac{49}{289}

，

sin α cos α = - \frac{120}{289}

。

sin α

與

cos α

是

t^{2} - \frac{7}{17} t - \frac{120}{289} = 0

的兩根，即

289 t^{2} - 119 t - 120 = 0

，

(17 t - 15) (17 t + 8) = 0

，

t = \frac{15}{17}

或

- \frac{8}{17}

。

α

在第四象限，所以

cos α = \frac{15}{17}

，

sin α = - \frac{8}{17}

。由半角公式

sin^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 - cos α}{2} = \frac{1}{17}

；

13 5^{\circ} < \frac{α}{2} < 18 0^{\circ}

在第二象限，正弦為正，所以

sin \frac{α}{2} = \frac{1}{17} = \frac{17}{17}

。

半角的正負號要由

\frac{α}{2}

所在的象限決定，不是由

α

。

第 14 題先處理條件：

2 sin^{2} x = 2 - 2 cos^{2} x

，不等式化為

2 cos^{2} x + 3 cos x - 2 \geq 0

，

(2 cos x - 1) (cos x + 2) \geq 0

。因為

cos x + 2 > 0

，所以

cos x \geq \frac{1}{2}

，此時

sin^{2} x = 1 - cos^{2} x \leq \frac{3}{4}

，即

- \frac{3}{2} \leq sin x \leq \frac{3}{2}

。令

s = sin x

，

f (x) = 3 (1 - s^{2}) + 4 s = - 3 (s - \frac{2}{3})^{2} + \frac{13}{3}

。

s = \frac{2}{3}

在範圍內（

\frac{2}{3} \approx 0.667 < \frac{3}{2} \approx 0.866

），所以最大值為

\frac{13}{3}

。

配方之前一定要先求出

sin x

的範圍，再檢查頂點有沒有落在範圍內。

sin x = \frac{2}{3}

時取

cos x = \frac{5}{3} \approx 0.745 \geq \frac{1}{2}

，符合條件。

第 15 題用

sin^{2} θ = \frac{1 - cos 2 θ}{2}

、

cos^{2} θ = \frac{1 + cos 2 θ}{2}

、

sin θ cos θ = \frac{1}{2} sin 2 θ

，原式

= \frac{a - b}{2} + \frac{a - b}{2} sin 2 θ - \frac{a + b}{2} cos 2 θ

。後兩項疊合後的範圍是

- \frac{1}{2} (a - b)^{2} + (a + b)^{2}

到

\frac{1}{2} (a - b)^{2} + (a + b)^{2}

，所以最大值與最小值的平均是

\frac{a - b}{2} = 2

，得

a - b = 4

；而

\frac{1}{2} 16 + (a + b)^{2} = 13

，

16 + (a + b)^{2} = 52

，

(a + b)^{2} = 36

，

a + b = 6

或

- 6

。

a + b = 6

時

(a, b) = (5, 1)

；

a + b = - 6

時

(a, b) = (- 1, - 5)

。兩組都滿足

a > b

。答案格每格只能畫記一位數字，所以填

(5, 1)

，這也是學校公布的答案。

照題目的條件，

(- 1, - 5)

也成立：代入得

- sin^{2} θ + 4 sin θ cos θ + 5 cos^{2} θ = 2 + 2 sin 2 θ + 3 cos 2 θ

，最大值與最小值同樣是

2 + 13

與

2 - 13

。題目沒有寫

a

、

b

是正數，只是答案格容不下負號。

第 16 題設正方形的邊長為

1

，

A (0, 0)

、

B (1, 0)

、

C (1, 1)

、

D (0, 1)

，

E (1, e)

。半圓的半徑

r = \overline{E C} = 1 - e

，

F

在

\overline{B C}

上且

\overline{E F} = r

，所以

F (1, e - r)

。兩圓外切時，圓心的距離等於半徑的和：

\overline{A E} = 1 + r = 2 - e

。又

\overline{A E}^{2} = 1 + e^{2}

，所以

1 + e^{2} = (2 - e)^{2} = 4 - 4 e + e^{2}

，

e = \frac{3}{4}

，

r = \frac{1}{4}

，

F (1, \frac{1}{2})

。直角三角形

A B E

中

tan ∠ E A B = \frac{B E}{A B} = \frac{3}{4}

，直角三角形

A B F

中

tan ∠ F A B = \frac{1}{2}

。

∠ E A F = ∠ E A B - ∠ F A B

，由正切的差角公式，

tan ∠ E A F = \frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1 + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{11}{8}} = \frac{2}{11}

。

驗算：

\overline{A E} = 1 + \frac{9}{16} = \frac{5}{4} = 1 + \frac{1}{4}

，確實外切。本頁的圖是示意，

E

、

F

的位置沒有照實際位置畫。

正弦與餘弦的二次式先降次再疊合；圖形題先把位置算出來，角的正切用兩個直角三角形相減。

05混合題 17～18（原卷混合題第 1 題）：由最高點與最低點決定正弦函數

第 17 題答案 (B)。正弦函數的圖形上，相鄰的最高點與最低點在水平方向相隔半個週期。

(22, 1)

與

(8, 0)

相隔

22 - 8 = 14

，所以週期是

2 \times 14 = 28

。

y = sin x

的最高點

x = \frac{π}{2}

與相鄰的最低點

x = \frac{3 π}{2}

相隔

π

，正好是週期

2 π

的一半。

第 18 題最高點的高度是

1

、最低點的高度是

0

。

a > 0

時最大值是

k + a

、最小值是

k - a

，所以

k + a = 1

、

k - a = 0

，得

a = \frac{1}{2}

，

k = \frac{1}{2}

。週期

\frac{2 π}{b} = 28

（

b > 0

），得

b = \frac{π}{14}

。於是

y = \frac{1}{2} sin [\frac{π}{14} (x - h)] + \frac{1}{2}

。

(22, 1)

是最高點，

sin [\frac{π}{14} (22 - h)] = 1

，

\frac{π}{14} (22 - h) = \frac{π}{2} + 2 nπ

（

n

為整數），

22 - h = 7 + 28 n

，

h = 15 - 28 n

。

0 < h < 30

時只有

n = 0

，

h = 15

。檢查最低點：

x = 8

時

\frac{π}{14} (8 - 15) = - \frac{π}{2}

，

y = \frac{1}{2} \cdot (- 1) + \frac{1}{2} = 0

，相符。所以

(a, b, h, k) = (\frac{1}{2}, \frac{π}{14}, 15, \frac{1}{2})

。

h

是圖形由中線往上升的起點：最高點

x = 22

往左四分之一個週期（

7

）就是

x = 15

。原卷評分標準：四個數各 1.5 分，共 6 分。資料點的

1

與

0

是把表中的

100%

與

0%

寫成比例。

最高與最低的平均是中線、差的一半是振幅、相鄰最高點與最低點的水平距離是半個週期，最後用一個點定出平移量。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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興大附中 109 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 109 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 1 題：角度是 3 乘圓周率的平方（弧度），要先寫成大約 9.42 個圓周率，扣掉四圈後看落在第三象限的哪一段。多選第 8 題：選項 (4)(5) 要畫圖數交點，原點也是一個解，選項 (5) 有 2 個解不是 1 個。選填 F（本頁第 14 題）：先由條件求出餘弦至少二分之一，換成正弦的範圍後再配方。選填 G（本頁第 15 題）：降次疊合後由最大值與最小值的平均與差反求係數。選填 H（本頁第 16 題）：兩圓外切時圓心距離等於半徑的和，先求出 E 的位置再用正切的差角公式。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自興大附中 109 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

興大附中 109 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選 1～4：弧度的位置、方程式有沒有解、正切的差角公式、週期

02多選 5～8：弧度與度、疊合後的性質、正切的和角、平移伸縮與解的個數

03選填 9～12（原卷 A～D）：特殊角、化成同一個正弦、黃金比例的扇形、差角公式

04選填 13～16（原卷 E～H）：半角公式、限制範圍後配方、由極值反求係數、兩圓外切

05混合題 17～18（原卷混合題第 1 題）：由最高點與最低點決定正弦函數

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常見問題

興大附中 109 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

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興大附中 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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