御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：實數與絕對值、指數、常用對數

興大附中 109 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

單選題 3 題（每題 6 分，18 分）、多選題 3 題（每題 8 分，24 分）、選填題 8 小題（每小題 6 分，48 分）、混合題 2 小題（每小題 5 分，10 分），合計 100 分。本頁第 7～14 題依序為原卷選填 A～G 題（F 題的兩小題是第 12、13 題），第 15、16 題是原卷混合題的第 25、26 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題（佔18分，每題6分）
1
設 a=109+109+109​​​，則 a 在以下哪兩個連續整數之間？
  1. (1) 8 與 9
  2. (2) 9 與 10
  3. (3) 10 與 11
  4. (4) 11 與 12
  5. (5) 12 與 13
2
若正實數 x，y 滿足 logx=2.8，logy=5.6，則 x2+y 是幾位數？（log2≈0.3010）
  1. (1) 5 位數
  2. (2) 6 位數
  3. (3) 7 位數
  4. (4) 8 位數
  5. (5) 9 位數
3
國際上常用地震規模來衡量地震釋放出的能量，而國內又常以芮氏規模做為報導的主要參考。根據中央氣象局資料，設芮氏規模為 r 的地震釋放能量為 E 爾格（erg），則 r 與 E 的數學關係為 logE=11.8+1.5r。已知民國 88 年臺灣集集大地震（921 大地震）的芮氏規模為 7.2，民國 100 年日本仙台外海大地震（311 大地震）的芮氏規模為 9.0，請問仙台外海大地震釋放出的能量約為集集大地震的幾倍？請選出最接近的數值。（已知 100.7≈5.0119）
  1. (1) 5012 倍
  2. (2) 50 倍
  3. (3) 50119 倍
  4. (4) 501 倍
  5. (5) 5 倍
二、多選題（佔24分，每題8分，每題至少有一個是正確的選項，錯一個選項扣3.2分，每題扣至零分為止；未作答者，該題以零分計算。）
4
下列各式中，何者恰有 2 個整數解？
  1. (1) ∣x+1∣+∣x−1∣=2
  2. (2) ∣x+1∣−∣x−1∣=2
  3. (3) 2<∣x−2∣≤3
  4. (4) ∣x+1∣+∣x−1∣=5
  5. (5) ∣x+1∣+∣x−1∣<2
5
x，y∈R，​x+21​​≤23​，​y−25​​≤21​，則下列哪些正確？
  1. (1) −5≤x−y≤−1
  2. (2) −6≤xy≤3
  3. (3) −1≤yx​≤31​
  4. (4) 5≤x2+y2≤13
  5. (5) −6≤xy−3x−2y≤−2
6
設 a21​−a−21​=2，試問下列各式的值哪些是正確？
  1. (1) a21​=2​±1
  2. (2) a+a−1=4
  3. (3) a21​+a−21​=22​
  4. (4) a=3±22​
  5. (5) a23​−a−23​=14
三、選填題（佔48分，請在答案卡第7~24格作答，每小題完全答對得6分）
7
若 ∣ax−1∣≤b 之解為 −5≤x≤1，則 a−b= ____。
8
已知 a2x=21​，求 ax−a−xa3x+a−3x​= ____。
9
設正實數 a 之小數部分為 b，且 a2+2b2=12，則 a+2b= ____。
10
已知 log3≈0.4771，則 3101​ 在小數點後第 ____ 位開始不為 0。
11
設 x、y 為實數且 13x=27，351y=243，則 x3​−y5​= ____。
選填 F 題（第 12～13 題）　臺灣交通安全條例規定的酒測超標與處罰如下：（2019/3/26修法） 酒測值(ppm)罰款：機車罰款：小型車罰款：大型車​0.15-0.2415,00019,50022,500​0.25-0.3922,50029,00033,500​0.4-0.5445,00051,50056,000​0.55以上67,50074,00078,500​不依指示接受稽查或拒測​90,00090,00090,000​​ 蝙蝠俠以前從未有酒駕紀錄，但在一次晚宴中喝完 300 毫升的烈酒，血液中的酒精含量均急遽上升到 0.6 ppm（毫克／毫升），已知停止喝酒後，血液中的酒精含量每小時減少 20%。
12
(1) 蝙蝠俠喝完酒後休息 2 小時，立刻開大型蝙蝠車離開，若警察臨檢，蝙蝠俠依法檢測應處罰 ____ 元。
13
(2) 請問蝙蝠俠喝酒後至少要休息 ____ 小時（整數），才能駕駛汽機車而不會受罰。（0.83=0.512，0.84=0.4096，0.85=0.3277，0.86=0.2621，0.87=0.2097，0.88=0.1678）
14
pH 值是衡量溶液酸鹼程度的標準，定義如下：pH 值 =−log[H+]，其中：[H+] 為氫離子的莫耳濃度（莫耳／升）。下表是食物酸鹼程度的分類表： 食物水牛奶石榴​pH值(平均)7.07.45.0​食物鳳梨草莓葡萄​pH值(平均)4.03.04.5​食物番茄蘋果蔓越莓汁​pH值(平均)4.54.92.4​​ 則用一升石榴和一升水所調出來的果汁 pH 值約為 ____。（已知 100.7≈5.0119，四捨五入到小數點後第一位）
四、混合題（10分，每小題5分，單選題請在答案卡第25格作答，計算題請在答案卷作答）
混合題（第 15～16 題）　苗栗縣是石虎棲息地，縣府獲農委會核定以通霄鎮為指定復育區，根據最新研究發現：在西元 x 年時，石虎數量函數為 N(x)=1+3×3−0.1(x−2020)120​，例如在 2010 年石虎的數量為 N(2010)。試問：
15
今年 2020 年，通霄鎮石虎數量為
  1. (1) 30 隻
  2. (2) 40 隻
  3. (3) 20 隻
  4. (4) 10 隻
  5. (5) 6 隻
16
西元幾年開始，石虎數量能達到 90 隻？
02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)
第 2 題(2)
第 3 題(4)
第 4 題(3)
第 5 題(1)(2)(5)
第 6 題(3)(5)
第 7 題−2
第 8 題−29​
第 9 題32​
第 10 題5
第 11 題−3
第 12 題33500
第 13 題7
第 14 題5.3
第 15 題(1)
第 16 題西元 2040 年
03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選 1～3：根號的估計、位數與地震能量的倍數

第 1 題答案 (3)。從最裡面一層往外估。102=100<109<121=112，所以 10<109​<11。第二層：119<109+109​<120，而 100<119、120<121，所以 10<109+109​​<11。最外層是同樣的情形：119<109+109+109​​<120，所以 10<a<11。
三層的理由一樣：只要裡面那個數在 10 與 11 之間，加上 109 以後就落在 119 與 120 之間，開根號又回到 10 與 11 之間。
第 2 題答案 (2)。由常用對數的定義，x=102.8，y=105.6。x2=(102.8)2=105.6，與 y 相等，所以 x2+y=2×105.6。題目給的 log2≈0.3010 就是 2≈100.3010，於是 x2+y≈100.3010×105.6=105.901=100.901×105。其中 1<100.901<10，所以 x2+y 的整數部分是 6 位數。
把數寫成 c×10n（1≤c<10，n 為非負整數）時，整數部分是 n+1 位數。這裡 n=5。
第 3 題答案 (4)。設集集大地震的能量為 E1​、仙台外海大地震的能量為 E2​。代入關係式：logE1​=11.8+1.5×7.2=22.6，logE2​=11.8+1.5×9.0=25.3。由常用對數的定義，E1​=1022.6，E2​=1025.3，所以 E1​E2​​=1025.3−22.6=102.7=102×100.7≈100×5.0119=501.19，最接近 501 倍。
倍數只和規模的差有關：規模差 1.8，logE 就差 1.5×1.8=2.7，能量是 102.7 倍。
看到 logN=p 就改寫成 N=10p，之後全部用指數律處理。

02多選 4～6：絕對值的整數解、範圍的運算與分數指數

第 4 題答案 (3)。∣x+1∣+∣x−1∣ 是數線上 x 到 −1 與到 1 的距離和，最小值是這兩點的距離 2。(1) × 距離和等於 2 時，x 在 −1 與 1 之間（含端點），−1≤x≤1，整數解有 −1、0、1 共 3 個。(2) × 分段：x≥1 時左邊是 (x+1)−(x−1)=2，恆成立；−1≤x<1 時左邊是 (x+1)+(x−1)=2x，2x=2 得 x=1，不在這一段；x<−1 時左邊是 −2，不合。解是 x≥1，整數解有無限多個。(3) ○ x 是整數時 ∣x−2∣ 也是整數，2<∣x−2∣≤3 只能是 ∣x−2∣=3，x=5 或 x=−1，恰 2 個。(4) × 距離和 5 比 2 大，x 在兩點的外側：x>1 時 2x=5，x=25​；x<−1 時 −2x=5，x=−25​。兩個解都不是整數，整數解 0 個。(5) × 距離和最小是 2，不可能小於 2，沒有解。
題目問的是「整數解」的個數：(4) 有兩個解，但都不是整數。
第 5 題答案 (1)(2)(5)。先改寫成範圍：​x+21​​≤23​ 即 −23​≤x+21​≤23​，−2≤x≤1；​y−25​​≤21​ 即 2≤y≤3。 (1) ○ −3≤−y≤−2，與 −2≤x≤1 相加得 −5≤x−y≤−1。 (2) ○ y 是正數。0≤x≤1 時，0≤xy≤1×3=3；−2≤x<0 時，xy 是負數，而 ∣xy∣=∣x∣y≤2×3=6，所以 −6≤xy<0。合起來 −6≤xy≤3。 (3) × 取 x=1、y=2，yx​=21​，比 31​ 大。 (4) × 取 x=0、y=2，x2+y2=4，比 5 小。 (5) ○ xy−3x−2y=(x−2)(y−3)−6。由範圍得 −4≤x−2≤−1、−1≤y−3≤0，兩個因式都不是正數，乘積在 0 與 (−4)×(−1)=4 之間，所以 −6≤xy−3x−2y≤−2。
(3) 正確的範圍是 −1≤yx​≤21​，(4) 正確的範圍是 4≤x2+y2≤13。範圍相乘、相除不能直接把端點對乘，要先看正負；x 的範圍跨過 0，所以 (2) 分成兩段。
第 6 題答案 (3)(5)。設 t=a21​，t 是正數，a−21​=t1​，條件是 t−t1​=2。 (1) × 兩邊同乘 t：t2−2t−1=0，t=1±2​；t 是正數，只能取 t=2​+1。若取 2​−1，t1​=2​+1，t−t1​=−2，不合。 (2) × 條件兩邊平方：t2−2+t21​=4，即 a+a−1=6，不是 4。 (3) ○ (t+t1​)2=(t−t1​)2+4=8，而 t+t1​ 是正數，所以 a21​+a−21​=22​。 (4) × a=t2=(2​+1)2=3+22​，只有這一個值；3−22​=(2​−1)2 對應的是 (1) 裡不合的那個 t。 (5) ○ a23​−a−23​=t3−t31​=(t−t1​)3+3⋅t⋅t1​(t−t1​)=8+6=14。
(1) 與 (4) 多寫了一個值：a21​ 一定是正數，而且比 a−21​ 大 2，所以只有一個答案。
絕對值不等式先改寫成範圍；範圍相乘、相除前先看正負。對稱的指數式設一個代號，用乘法公式算。

03選填 A～E（第 7～11 題）：絕對值、指數式、小數部分與小數位

第 7 題∣ax−1∣≤b 即 −b≤ax−1≤b，1−b≤ax≤1+b。a=0 時解不會是一段有限的範圍，所以 a=0。若 a 是正數：同除以 a 得 a1−b​≤x≤a1+b​ 對照得 1−b=−5a、1+b=a，兩式相加 2=−4a，a=−21​，與 a 是正數矛盾。若 a 是負數：同除以 a 不等號反向， a1+b​≤x≤a1−b​ 對照得 1+b=−5a、1−b=a，兩式相加 2=−4a，a=−21​，代回 b=1−a=23​。所以 a−b=−21​−23​=−2。
檢查：​−21​x−1​≤23​ 兩邊同乘 2 得 ∣x+2∣≤3，即 −5≤x≤1。也可以倒推：解的中點是 −2、半徑是 3，∣x+2∣≤3 兩邊同乘 21​ 得 ​21​x+1​≤23​，絕對值裡變號成 −21​x−1 才有常數項 −1。
第 8 題分子、分母同乘 ax： ax−a−xa3x+a−3x​=a2x−1a4x+a−2x​ 由 a2x=21​ 得 a4x=(a2x)2=41​，a−2x=(a2x)−1=2。代入：分子是 41​+2=49​，分母是 21​−1=−21​，所求 =49​÷(−21​)=−29​。
同乘 ax 是為了讓每一項的指數都變成 2x 的整數倍，就可以直接代 a2x 的值。
第 9 題小數部分 b 滿足 0≤b<1，所以 0≤2b2<2，a2=12−2b2 在 10 與 12 之間（可以等於 12）。32=9<10、12<16=42，所以 3<a<4，a 的整數部分是 3，a=3+b。代入：(3+b)2+2b2=12，3b2+6b−3=0，b2+2b−1=0，b=−1±2​。0≤b<1，取 b=2​−1，a=2+2​。所以 a+2b=2+2​+22​−2=32​。
檢查：a2=6+42​，2b2=2(3−22​)=6−42​，相加是 12。
第 10 題log3≈0.4771 就是 3≈100.4771，所以 310≈104.771，3101​≈10−4.771=100.229×10−5。其中 1<100.229<10，所以小數點後前 4 位都是 0，第 5 位開始不為 0。
−4.771 要拆成 −5+0.229，不是 −4−0.771。直接算也對得上：310=59049，590491​=0.0000169⋯。
第 11 題x=0 時 13x=1，不是 27；同理 y 也不是 0。由 13x=27=33，兩邊取 x1​ 次方：13=3x3​。由 351y=243=35，兩邊取 y1​ 次方：351=3y5​。兩式相除：3x3​−y5​=35113​=271​=3−3，所以 x3​−y5​=−3。
351=13×27，所以相除以後 13 剛好消掉。
絕對值不等式同除以係數前，先分係數的正負；指數的題目先把各個數換成同一個底數的次方。

04選填 F、G（第 12～14 題）：酒精含量的衰減與 pH 值

第 12 題每小時減少 20%，就是每過一小時變成原來的 0.8 倍。休息 2 小時後，酒精含量是 0.6×0.82=0.6×0.64=0.384 ppm，落在表中 0.25 到 0.39 這一欄。開的是大型車，罰款是 33,500 元。
第 13 題休息 n 小時後酒精含量是 0.6×0.8n ppm。表中最低的一欄從 0.15 開始，要不受罰就要 0.6×0.8n<0.15，即 0.8n<0.25。由題目給的數值，0.86=0.2621 比 0.25 大，0.87=0.2097 比 0.25 小，而且 0.8n 隨 n 變大而變小，所以至少要休息 7 小時。
驗算：休息 6 小時是 0.6×0.2621≈0.157 ppm，還在受罰的範圍；休息 7 小時是 0.6×0.2097≈0.126 ppm。
第 14 題由定義，pH 值是 5.0 的石榴 [H+]=10−5 莫耳／升，pH 值是 7.0 的水 [H+]=10−7 莫耳／升。各取一升，氫離子共有 10−5+10−7=101×10−7 莫耳，混合後體積是 2 升，所以 [H+]=2101×10−7​=5.05×10−6 莫耳／升。5.05 與 5.0119 很接近，5.05≈100.7，於是 [H+]≈100.7×10−6=10−5.3，pH 值約為 5.3。
pH 值不能直接取平均（6.0 是錯的），要把氫離子的量相加再除以總體積。又 5.054≈650<1000，所以 100.7<5.05<100.75，pH 值在 5.25 與 5.3 之間，四捨五入是 5.3。
「每小時減少兩成」是每小時乘上 0.8；pH 值的題目先換回氫離子濃度再計算。

05混合題（第 15、16 題）：石虎數量的指數模型

第 15 題答案 (1)。代 x=2020：指數是 −0.1×0=0，30=1，所以 N(2020)=1+3×1120​=4120​=30（隻）。
第 16 題令 N(x)=90： 1+3×3−0.1(x−2020)120​=90 所以 1+3×3−0.1(x−2020)=90120​=34​，3×3−0.1(x−2020)=31​，3−0.1(x−2020)=91​=3−2。底數相同，指數相等：−0.1(x−2020)=−2，x−2020=20，x=2040。 再看 2040 年以後：x 變大時，指數 −0.1(x−2020) 變小，3−0.1(x−2020) 變小，分母變小，N(x) 變大。所以 2040 年以前不到 90 隻，從西元 2040 年開始達到 90 隻。
代回檢查：x=2040 時 3−2=91​，分母是 1+93​=34​，N(2040)=120×43​=90。
指數方程式的做法：把兩邊整理成同一個底數的次方，再比較指數。

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多選第 5 題的 x 範圍跨過零，積與商的範圍不能直接拿端點相乘相除，選項 (3) 的上界其實是二分之一；多選第 6 題 a 的二分之一次方一定是正數，選項 (1) 與 (4) 的正負號只能取正的那一個；選填 A 題（本頁第 7 題）的 a 是負數，同除時不等號要反向；選填 G 題（本頁第 14 題）不能把兩個 pH 值直接平均，要先換回氫離子濃度。詳解逐題寫在本頁。

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