段考詳解範圍：數列的極限、無窮級數，以及高一、高二內容複習（指數與對數、三角比、正弦函數的圖形）

興大附中 110 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 興大附中 110 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 興大附中 110 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 3 題：一般項趨近 0 的級數不一定收斂，選項 (3) 要用乘以 4 再相減的方法把部分和算出來。多選第 10 題：各項為正的收斂數列極限可以是 0，被兩個收斂數列夾住也不一定收斂，除非兩邊極限相等。填充 A（本頁第 11 題）：前面的係數等於 0 時數列也收斂，容易漏掉負 9，也容易漏掉公比等於 1 的 7。單選第 1 題：循環節要看清楚橫線蓋到哪幾位再展開比較。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

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題原卷全文

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則逐題詳解

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

本頁是數學乙 A 卷（卷頭印「數學乙-A 試題」）。單選題 8 題（每題 6 分，共 48 分）、多選題 2 題（每題 4 分，共 8 分）、填充題 8 題（每題 5.5 分，共 44 分），合計 100 分。本頁第 11～18 題依序為原卷填充 A～H 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，18 題全部一致。

一、單選題（占 48 分）　說明：第 1 題至第 8 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 6 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

設

a = 3.45

，

b = 3.4 \overline{54}

，

c = 3.4 \overline{545}

，

d = 3.44 \overline{9}

，

e = 3.45 \overline{445}

，則哪個數最大？

(1) $a$
(2) $b$
(3) $c$
(4) $d$
(5) $e$

k = 0 \sum \infty (\frac{2}{3})^{k} =

？

(1) $0$
(2) $1$
(3) $2$
(4) $3$
(5) $4$

下列哪一個無窮級數是收斂級數？

(1) $n = 1 \sum \infty \frac{1 + ( - 1 ) ^{n}}{2}$
(2) $n = 1 \sum \infty \frac{1}{2 n}$
(3) $n = 1 \sum \infty \frac{3 n - 1}{4 ^{n}}$
(4) $n = 1 \sum \infty (n + 1 - n)$
(5) $n = 1 \sum \infty (\frac{1}{n ^{2}} + \frac{2}{n ^{2}} + \frac{3}{n ^{2}} + \dots + \frac{n}{n ^{2}})$

設

n

為自然數，若多項式

(2 + x)^{n} = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \dots + a_{1} x + a_{0}

，令各項係數的總和為

A_{n}

，偶次項係數的總和為

B_{n}

，則

n \to \infty lim \frac{2 A _{n} - 5 B _{n}}{3 A _{n} - 2 B _{n}} =

？

(1) $- 3$
(2) $- 2$
(3) $- \frac{1}{2}$
(4) $- \frac{1}{4}$
(5) 不存在

0.77 + 0.0707 + 0.007007 + 0.00070007 + \dots

之和為

m

，則（卷面這一題只印四個選項）

(1) $m \geq 1$
(2) $m > \frac{1}{2}$
(3) $m \leq \frac{1}{2}$
(4) $m < \frac{1}{4}$

有一個無窮等比級數，其各項總和為

28

，各項平方總和為

112

，若其首項為

a

且公比為

r

，則數對

(a, r) =

(1) $(7, \frac{3}{4})$
(2) $(6, \frac{2}{3})$
(3) $(12, \frac{2}{3})$
(4) $(8, \frac{3}{5})$
(5) $(10, \frac{1}{3})$

目前國際間使用芮氏地震規模來表示地震強度。設

I

為芮氏地震規模

r

時震央所釋放出來的能量，則

I

與

r

的關係如下：

lo g I = r + 0.2

。發明原子彈後，我們常把地震所釋放的能量和一顆原子彈爆炸後所釋放的能量做比較。已知芮氏地震規模

5.8

的地震，其震央所釋放出來的能量，約為一顆原子彈爆炸後所釋放的能量，則芮氏地震規模

7.3

的地震，震央所釋放能量約為幾顆原子彈爆炸後所釋放的能量？（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

(1) $64$
(2) $56$
(3) $48$
(4) $40$
(5) $32$

小明今年年底在郵局存了

100

萬元，若年利率為

15.2 %

，則至少需要幾年（取整數年數）小明的本利和才會超過

20

萬。（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 1.152 \approx 0.0615

）（卷面印作

20

萬，依題意與選項應為

200

萬，也就是本金的

2

倍）

(1) $5$
(2) $6$
(3) $7$
(4) $8$
(5) $9$

二、多選題（占 8 分）　說明：第 9 題至第 10 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 4 分；答錯 1 個選項者，得 2.4 分；答錯 2 個選項者，得 0.8 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

下列式子，哪些是正確的？

(1) $n \to \infty lim \frac{3 ^{n} + 2 ^{n}}{6 ^{n}} = 0$
(2) $n \to \infty lim \frac{3 n ^{2} - 2 n + 7}{n ^{2} - 3 n + 5} = 3$
(3) $n = 1 \sum \infty (\frac{3}{5})^{n} = \frac{3}{2}$
(4) $n \to \infty lim \frac{( - 1 ) ^{n} + 1 ^{n}}{2} = 0$
(5) $n = 1 \sum \infty \frac{1}{n} = 0$

若

⟨ a_{n} ⟩

，

⟨ b_{n} ⟩

，

⟨ c_{n} ⟩

為三數列，則下列敘述何者正確？

(1) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 各項均為正數，且 $n \to \infty lim a_{n}$ 存在，則 $n \to \infty lim a_{n}$ 為正數
(2) 若 $n \to \infty lim a_{n} = 0$ ，則無窮級數 $n = 1 \sum \infty a_{n}$ 收斂
(3) 若 $⟨ a_{n} ⟩ = ⟨ (\frac{2 π}{7})^{n} ⟩$ ，則無窮級數 $n = 1 \sum \infty a_{n}$ 收斂
(4) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂到 $0$ ，則數列 $⟨ a_{n}^{2} ⟩$ 亦收斂到 $0$
(5) 若 $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ 對所有自然數 $n$ 都成立，且 $⟨ a_{n} ⟩$ 、 $⟨ c_{n} ⟩$ 極限皆存在，則 $⟨ b_{n} ⟩$ 的極限亦存在

三、填充題（每題 5.5 分，共 44 分）　說明：1. 第 A 至 H 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號。2. 完全答對給 5.5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。3. 若答案為分數，必須化為最簡分數，並注意分子、分母的列號順序。

設

x \in Z

，若無窮數列

⟨ (x + 9) (\frac{x - 1}{6})^{n} ⟩

收斂，則滿足條件的

x

有 ____ 個。

在

△ A B C

中，

∠ B = 4 1^{\circ}

，

∠ C = 7 9^{\circ}

。若

\overline{B C} = 6

，則

△ A B C

的外接圓半徑為 ____。

如圖，

A

，

B

兩點分別位於一河口的兩岸邊。某人在通往

A

點的筆直公路上，距離

A

點

10

公尺處的

C

點和距離

A

點

40

公尺處的

D

點，分別測得

∠ A C B = 6 0^{\circ}

，

∠ A D B = 3 0^{\circ}

，求

A

，

B

兩點的距離為 ____ 公尺。

載入中...

小明於家正東方公園入口

A

處觀看樓頂測得仰角為

4 5^{\circ}

，東

3 0^{\circ}

南超商

B

處觀看測得仰角為

6 0^{\circ}

，已知

A

與

B

相距

100

公尺，則小明家樓頂有 ____ 公尺高。

如圖為函數

y = a sin (b x) + c

的部分圖形，其中

a > 0

，

b > 0

，則

a + b + c =

____。

載入中...

現今網路訊息散佈速度非常驚人，已知一則訊息在網路傳播

d

天後，網路上知道該訊息的人數比例為

100 (1 - 2^{- k d}) %

，

k

為大於

0

的常數。假設

π

樂園要開演唱會的訊息在網路上開始傳播

4

天後，就有

80 %

的民眾看過。開始傳播

n

天後，在網路上就有超過

99 %

的民眾看過，則符合條件的正整數

n

最小值為 ____。

化簡

lo g_{8} (2 + 3 - 2 - 3) =

____。

【數A】函數

f (x) = 4 sin x - 43 cos x

，

0 \leq x \leq 2 π

，則

f (x)

最大值為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(4)

第 3 題(3)

第 4 題(4)

第 5 題(2)

第 6 題(1)

第 7 題(5)

第 8 題(1)

第 9 題(1)(2)(3)

第 10 題(3)(4)

第 11 題

13

第 12 題

23

第 13 題

107

第 14 題

1003

第 15 題

4

第 16 題

12

第 17 題

\frac{1}{6}

第 18 題

8

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1、2、5、6：循環小數與無窮等比級數

第 1 題答案 (3)。把每個數展開到小數點後第六位再比：

a = 3.450000 \dots

b = 3.4 \overline{54} = 3.454545 \dots

c = 3.4 \overline{545} = 3.454554 \dots

d = 3.44 \overline{9} = 3.449999 \dots

e = 3.45 \overline{445} = 3.454454 \dots

d = 3.44 \overline{9}

其實等於

3.45

，與

a

相等，這兩個最小。

b

、

c

、

e

到小數點後第三位都是

3.454

，從第四位往後看：第四位

b

、

c

是

5

，

e

是

4

，所以

e

比

b

、

c

小；第五位

c

是

5

，

b

是

4

，所以

c

比

b

大。

c

最大。

循環節要看清楚橫線蓋到哪幾位：

b

重複的是

54

，

c

重複的是

545

，

e

重複的是

445

。大小順序是

c > b > e > a = d

。

第 2 題答案 (4)。這是首項

(\frac{2}{3})^{0} = 1

、公比

\frac{2}{3}

的無窮等比級數，公比介於

- 1

與

1

之間，級數收斂，和為

\frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = 3

。

足碼從

k = 0

開始，首項是

1

不是

\frac{2}{3}

；若從

k = 1

開始，和會是

2

。

第 5 題答案 (2)。把每一項拆成兩個數：

0.77 = 0.7 + 0.07

，

0.0707 = 0.07 + 0.0007

，

0.007007 = 0.007 + 0.000007

，

0.00070007 = 0.0007 + 0.00000007

，依此類推。前面那一串

0.7 + 0.07 + 0.007 + \dots

是首項

0.7

、公比

0.1

的無窮等比級數，和為

\frac{0.7}{1 - 0.1} = \frac{7}{9}

。後面那一串

0.07 + 0.0007 + 0.000007 + \dots

是首項

0.07

、公比

0.01

的無窮等比級數，和為

\frac{0.07}{1 - 0.01} = \frac{7}{99}

。所以

m = \frac{7}{9} + \frac{7}{99} = \frac{77 + 7}{99} = \frac{84}{99} = \frac{28}{33} \approx 0.85

，介於

\frac{1}{2}

與

1

之間，只有 (2) 成立。

兩個級數各自收斂，才可以拆開分別求和再相加。卷面這一題只印了四個選項。

第 6 題答案 (1)。各項為

a, a r, a r^{2}, \dots

，和為

\frac{a}{1 - r} = 28

。各項平方為

a^{2}, a^{2} r^{2}, a^{2} r^{4}, \dots

，是首項

a^{2}

、公比

r^{2}

的無窮等比級數，和為

\frac{a ^{2}}{1 - r ^{2}} = 112

。因為

\frac{a ^{2}}{1 - r ^{2}} = \frac{a}{1 - r} \cdot \frac{a}{1 + r}

，兩式相除得

\frac{a}{1 + r} = \frac{112}{28} = 4

。於是

a = 28 (1 - r) = 4 (1 + r)

，

28 - 28 r = 4 + 4 r

，

r = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}

，

a = 4 (1 + \frac{3}{4}) = 7

。公比

\frac{3}{4}

介於

- 1

與

1

之間，級數確實收斂。所以

(a, r) = (7, \frac{3}{4})

。

無窮等比級數先確認公比介於負 1 與 1 之間，和等於首項除以（1 減公比）；各項平方仍是等比，公比變成原來的平方。

02單選 3、4：級數的收斂與發散、指數型數列的極限

第 3 題答案 (3)。逐一判斷： (1) 發散：一般項依序是

0, 1, 0, 1, \dots

，不趨近

0

，部分和每兩項就多

1

，愈加愈大。 (2) 發散：

\sum \frac{1}{2 n} = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots)

。括號內分組來看，

\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{2}

，

\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} > \frac{1}{2}

，接下來的

8

項、

16

項……每一組的和都大於

\frac{1}{2}

，所以部分和可以超過任何數。 (3) 收斂：設前

m

項的和為

S_{m}

，則

S_{m} = \frac{2}{4} + \frac{5}{4 ^{2}} + \frac{8}{4 ^{3}} + \dots + \frac{3 m - 1}{4 ^{m}}

4 S_{m} = 2 + \frac{5}{4} + \frac{8}{4 ^{2}} + \dots + \frac{3 m - 1}{4 ^{m - 1}}

下式減上式，同分母的項相減都剩

3

：

3 S_{m} = 2 + (\frac{3}{4} + \frac{3}{4 ^{2}} + \dots + \frac{3}{4 ^{m - 1}}) - \frac{3 m - 1}{4 ^{m}}

括號內是等比級數，和為

1 - \frac{1}{4 ^{m - 1}}

，所以

3 S_{m} = 3 - \frac{4}{4 ^{m}} - \frac{3 m - 1}{4 ^{m}} = 3 - \frac{3 m + 3}{4 ^{m}}

，即

S_{m} = 1 - \frac{m + 1}{4 ^{m}}

。當

m

趨向無限大時

\frac{m + 1}{4 ^{m}}

趨近

0

，所以級數收斂，和為

1

。 (4) 發散：前

m

項的和是

(2 - 1) + (3 - 2) + \dots + (m + 1 - m) = m + 1 - 1

，中間的項兩兩消掉，剩下的

m + 1 - 1

會趨向無限大。 (5) 發散：一般項是

\frac{1 + 2 + \dots + n}{n ^{2}} = \frac{n ( n + 1 )}{2 n ^{2}} = \frac{n + 1}{2 n}

，趨近

\frac{1}{2}

，不是

0

。

(3) 用到

\frac{m + 1}{4 ^{m}}

趨近

0

：因為

2^{m} > m

，所以

4^{m} = 2^{m} \cdot 2^{m} > m^{2}

，

0 < \frac{m + 1}{4 ^{m}} < \frac{m + 1}{m ^{2}}

，右邊趨近

0

。(4) 的一般項

n + 1 - n = \frac{1}{n + 1 + n}

會趨近

0

，但級數仍然發散，所以一般項趨近

0

不足以判定收斂。

第 4 題答案 (4)。令

x = 1

：

A_{n} = a_{n} + a_{n - 1} + \dots + a_{0} = (2 + 1)^{n} = 3^{n}

。令

x = - 1

：

(2 - 1)^{n} = 1

等於偶次項係數和減去奇次項係數和。把這兩個式子相加，奇次項消掉，得

2 B_{n} = 3^{n} + 1

，

B_{n} = \frac{3 ^{n} + 1}{2}

。代入：分子

2 A_{n} - 5 B_{n} = 2 \cdot 3^{n} - \frac{5 ( 3 ^{n} + 1 )}{2} = \frac{- 3 ^{n} - 5}{2}

，分母

3 A_{n} - 2 B_{n} = 3 \cdot 3^{n} - (3^{n} + 1) = 2 \cdot 3^{n} - 1

。

\frac{2 A _{n} - 5 B _{n}}{3 A _{n} - 2 B _{n}} = \frac{- 3 ^{n} - 5}{2 ( 2 \cdot 3 ^{n} - 1 )} = \frac{- 1 - \frac{5}{3 ^{n}}}{4 - \frac{2}{3 ^{n}}}

（分子分母同除以

3^{n}

。）當

n

趨向無限大時

\frac{1}{3 ^{n}}

趨近

0

，極限為

\frac{- 1}{4} = - \frac{1}{4}

。

常數項

a_{0}

是

0

次項，算在偶次項裡。

判斷級數先看一般項：不趨近 0 就一定發散；趨近 0 還不夠，要把部分和寫出來看。

03單選 7、8：對數的應用

第 7 題答案 (5)。設規模

5.8

與

7.3

的地震釋放的能量分別是

I_{1}

、

I_{2}

，則

lo g I_{1} = 5.8 + 0.2 = 6

，

lo g I_{2} = 7.3 + 0.2 = 7.5

。兩式相減：

lo g \frac{I _{2}}{I _{1}} = lo g I_{2} - lo g I_{1} = 1.5

，所以

\frac{I _{2}}{I _{1}} = 1 0^{1.5}

。拿選項來比：

lo g 32 = lo g 2^{5} = 5 lo g 2 \approx 1.505

，最接近

1.5

；其餘

lo g 40 = 1 + 2 lo g 2 \approx 1.602

，

lo g 48 = 4 lo g 2 + lo g 3 \approx 1.681

，

lo g 64 = 6 lo g 2 \approx 1.806

，而

56

比

48

大，對數更大。所以約為

32

顆。

直接算也可以：

1 0^{1.5} = 1010 \approx 31.6

。規模相差

1.5

，能量差的是

1 0^{1.5}

倍，不是

1.5

倍。

第 8 題答案 (1)。卷面印的是超過

20

萬，但本金已有

100

萬，依題意與給的

lo g 2

應是超過

200

萬（本金的

2

倍），以下照這個意思作答。每年複利一次，

n

年後本利和為

100 \times (1.152)^{n}

萬元。要

100 \times (1.152)^{n} > 200

，即

(1.152)^{n} > 2

。兩邊取常用對數：

n lo g 1.152 > lo g 2

，

0.0615 n > 0.3010

，

n > \frac{0.3010}{0.0615} \approx 4.89

。

n

取整數，至少需要

5

年。

驗算：

(1.152)^{4} \approx 1.76

，

(1.152)^{5} \approx 2.03

，第

5

年才超過

2

倍。

對數相減等於真數相除；指數在未知數上的不等式，兩邊取對數把指數拉下來。

04多選 9、10：極限與級數的性質

第 9 題答案 (1)(2)(3)。 (1) 正確：

\frac{3 ^{n} + 2 ^{n}}{6 ^{n}} = (\frac{1}{2})^{n} + (\frac{1}{3})^{n}

，兩項的底數都介於

- 1

與

1

之間，各自趨近

0

，和也趨近

0

。 (2) 正確：分子分母同除以

n^{2}

，得

\frac{3 - \frac{2}{n} + \frac{7}{n ^{2}}}{1 - \frac{3}{n} + \frac{5}{n ^{2}}}

，極限為

\frac{3}{1} = 3

。 (3) 正確：首項

\frac{3}{5}

、公比

\frac{3}{5}

的無窮等比級數，和為

\frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{3}{2}

。 (4) 錯：

1^{n} = 1

，所以

n

為偶數時這一項是

\frac{1 + 1}{2} = 1

，

n

為奇數時是

\frac{- 1 + 1}{2} = 0

。數列是

0, 1, 0, 1, \dots

，不會趨近一個固定的數，極限不存在。 (5) 錯：每一項都是正數，部分和至少是第一項

1

，不可能是

0

。事實上這個級數發散：

1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{8}) + \dots

，每個括號的和都大於

\frac{1}{2}

，部分和可以超過任何數。

(3) 的足碼從

n = 1

開始，首項是

\frac{3}{5}

；若從

n = 0

開始，和是

\frac{5}{2}

。(5) 的一般項

\frac{1}{n}

趨近

0

，但級數的和是另一回事。

第 10 題答案 (3)(4)。 (1) 錯：取

a_{n} = \frac{1}{n}

，每一項都是正數，但極限是

0

，不是正數。各項為正只能得到極限大於或等於

0

。 (2) 錯：取

a_{n} = \frac{1}{n}

，它的極限是

0

，但

\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots

發散，理由見第 9 題選項 (5) 的分組。 (3) 正確：

\sum a_{n}

是公比

\frac{2 π}{7}

的無窮等比級數。

π < 3.5

，所以

2 π < 7

，

0 < \frac{2 π}{7} < 1

（約

0.898

），級數收斂。 (4) 正確：

a_{n}^{2} = a_{n} \cdot a_{n}

，兩個收斂數列相乘，極限是各自極限的乘積，

0 \times 0 = 0

。 (5) 錯：取

a_{n} = - 2

，

b_{n} = (- 1)^{n}

，

c_{n} = 2

，則

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

恆成立，

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ c_{n} ⟩

的極限分別是

- 2

與

2

，但

⟨ b_{n} ⟩

是

- 1, 1, - 1, 1, \dots

，極限不存在。

(5) 要再加上

⟨ a_{n} ⟩

與

⟨ c_{n} ⟩

的極限相等這個條件，才是夾擠定理。

要說一個敘述是錯的，舉一個反例就夠；1/n 是最常用的反例：各項為正、趨近 0，但加起來發散。

05填充 A（本頁第 11 題）：等比型數列收斂的條件

第 11 題分兩種情形。第一種：

x + 9 = 0

，即

x = - 9

。這時每一項都是

0

，數列收斂。第二種：

x \neq = - 9

。這時數列是公比

\frac{x - 1}{6}

的等比數列乘上一個不為

0

的常數，收斂的條件是

- 1 < \frac{x - 1}{6} \leq 1

，即

- 6 < x - 1 \leq 6

，

- 5 < x \leq 7

。整數

x

有

- 4, - 3, \dots, 7

，共

7 - (- 4) + 1 = 12

個。

x = - 9

不在第二種的範圍內，沒有重複，所以共有

12 + 1 = 13

個。

公比等於

1

（

x = 7

）時是常數數列，收斂，要算進去；公比等於

- 1

（

x = - 5

）時數列正負交替，不收斂。

x = 1

時公比是

0

，也在範圍內。

等比數列收斂的條件是公比大於負 1 且小於或等於 1；前面乘的係數等於 0 時要另外算。

06填充 B～D（本頁第 12～14 題）：三角比與測量

第 12 題

∠ A = 18 0^{\circ} - 4 1^{\circ} - 7 9^{\circ} = 6 0^{\circ}

。正弦定理：

\frac{B C}{sin A} = 2 R

，所以

2 R = \frac{6}{sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{6}{\frac{3}{2}} = \frac{12}{3} = 43

，外接圓半徑

R = 23

。

4 1^{\circ}

與

7 9^{\circ}

都不是特別角，但

\overline{B C}

的對角

∠ A

恰好是

6 0^{\circ}

。

第 13 題

C

、

D

都在通往

A

的公路上，

\overline{A C} = 10

，

\overline{A D} = 40

，所以

\overline{C D} = 30

。在

△ B C D

中，

∠ A C B = 6 0^{\circ}

是外角，等於

∠ C B D + ∠ C D B

，所以

∠ C B D = 6 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 3 0^{\circ} = ∠ C D B

，

△ B C D

是等腰三角形，

\overline{B C} = \overline{C D} = 30

。在

△ A B C

中用餘弦定理：

\overline{A B}^{2} = 1 0^{2} + 3 0^{2} - 2 \cdot 10 \cdot 30 \cdot cos 6 0^{\circ} = 100 + 900 - 300 = 700

所以

\overline{A B} = 700 = 107

公尺。

附圖是示意圖，

B

的位置沒有照實際比例畫。

第 14 題設樓底為

O

、樓頂為

P

，樓高

\overline{O P} = h

公尺。

A

在

O

的正東方，仰角

4 5^{\circ}

：

\overline{O A} = \frac{h}{tan 4 5 ^{\circ}} = h

。

B

在

O

的東

3 0^{\circ}

南，仰角

6 0^{\circ}

：

\overline{O B} = \frac{h}{tan 6 0 ^{\circ}} = \frac{h}{3}

。地面上的

△ O A B

中，

∠ A O B = 3 0^{\circ}

，

\overline{A B} = 100

，用餘弦定理：

10 0^{2} = h^{2} + \frac{h ^{2}}{3} - 2 \cdot h \cdot \frac{h}{3} \cdot cos 3 0^{\circ} = h^{2} + \frac{h ^{2}}{3} - h^{2} = \frac{h ^{2}}{3}

所以

h^{2} = 30000

，

h = 1003

公尺。

「東

3 0^{\circ}

南超商

B

處」讀成

B

在小明家的東

3 0^{\circ}

南方向，與正東方的

A

夾

3 0^{\circ}

。仰角愈大離樓愈近，所以

\overline{O B} < \overline{O A}

。

測量題先把每個仰角換成地面上的距離，再到地面的三角形裡用餘弦定理。

07填充 E、H（本頁第 15、18 題）：正弦函數

第 15 題由圖，最大值是

1

、最小值是

- 3

。因為

a > 0

：振幅

a = \frac{1 - ( - 3 )}{2} = 2

，中心線

c = \frac{1 + ( - 3 )}{2} = - 1

。再看週期：圖形在

x = 0

時位於中心線

y = - 1

且向上，到

x = 2 π

時恰好第三次回到同樣的狀態。所以

0

到

2 π

之間有

3

個完整的週期，週期是

\frac{2 π}{3}

。

b > 0

時週期為

\frac{2 π}{b}

，得

b = 3

。

a + b + c = 2 + 3 + (- 1) = 4

。

用最低點檢查：圖上第一個最低點在

x = \frac{π}{2}

，代入得

2 sin \frac{3 π}{2} - 1 = - 3

，吻合。

第 18 題這一題卷面標示【數A】；正弦與餘弦的疊合是數學A的內容，用它最快。先算

4^{2} + (43)^{2} = 64 = 8

，把

8

提出來：

f (x) = 8 (\frac{1}{2} sin x - \frac{3}{2} cos x) = 8 (sin x cos \frac{π}{3} - cos x sin \frac{π}{3}) = 8 sin (x - \frac{π}{3})

0 \leq x \leq 2 π

時，

- \frac{π}{3} \leq x - \frac{π}{3} \leq \frac{5 π}{3}

，這個範圍包含

\frac{π}{2}

。所以

x = \frac{5 π}{6}

時

sin (x - \frac{π}{3})

有最大值

1

，

f (x)

的最大值是

8

。

不用疊合也可以：

(4 sin x - 43 cos x)^{2} + (43 sin x + 4 cos x)^{2} = 64 (sin^{2} x + cos^{2} x) = 64

，所以

f (x)^{2} \leq 64

，

f (x) \leq 8

；而

x = \frac{5 π}{6}

時

f (x) = 4 \cdot \frac{1}{2} - 43 \cdot (- \frac{3}{2}) = 2 + 6 = 8

，確實取得到。

正弦函數的圖形：最大值與最小值的差的一半是振幅，兩者的平均是中心線，再數一段已知長度裡有幾個週期。

08填充 F、G（本頁第 16、17 題）：指數與對數

第 16 題傳播

4

天後有

80 %

：

1 - 2^{- 4 k} = 0.8

，所以

2^{- 4 k} = 0.2 = \frac{1}{5}

。傳播

n

天後超過

99 %

：

1 - 2^{- k n} > 0.99

，即

2^{- k n} < 0.01

。把

2^{- k n}

用已知的

2^{- 4 k}

表示：

2^{- k n} = (2^{- 4 k})^{\frac{n}{4}} = (\frac{1}{5})^{\frac{n}{4}}

所以條件是

(\frac{1}{5})^{\frac{n}{4}} < 0.01

，即

5^{\frac{n}{4}} > 100

。兩邊都是正數，同取

4

次方：

5^{n} > 10 0^{4} = 1 0^{8}

。

5^{11} = 48828125 < 1 0^{8}

，

5^{12} = 244140625 > 1 0^{8}

，所以正整數

n

的最小值是

12

。

用對數也可以：

5^{n} > 1 0^{8}

兩邊取常用對數，

n lo g 5 > 8

，

lo g 5 = 1 - lo g 2 \approx 0.699

，

n > \frac{8}{0.699} \approx 11.4

，所以

n

最小是

12

。不必把

k

解出來。

第 17 題設

t = 2 + 3 - 2 - 3

。因為

2 + 3 > 2 - 3 > 0

，所以

t > 0

。平方：

t^{2} = (2 + 3) + (2 - 3) - 2 (2 + 3) (2 - 3) = 4 - 2 4 - 3 = 2

所以

t = 2 = 2^{\frac{1}{2}}

。而

8 = 2^{3}

，

8^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{3}{6}} = 2^{\frac{1}{2}}

，所以

lo g_{8} 2 = \frac{1}{6}

。

也可以先化簡雙重根式：

2 + 3 = \frac{6 + 2}{2}

，

2 - 3 = \frac{6 - 2}{2}

，相減得

2

。

指數模型裡的常數不必解出來，把要求的式子寫成已知那一塊的幾次方；兩個共軛的根式相減，先平方再開方。

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同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

興大附中 110 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 110 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 3 題：一般項趨近 0 的級數不一定收斂，選項 (3) 要用乘以 4 再相減的方法把部分和算出來。多選第 10 題：各項為正的收斂數列極限可以是 0，被兩個收斂數列夾住也不一定收斂，除非兩邊極限相等。填充 A（本頁第 11 題）：前面的係數等於 0 時數列也收斂，容易漏掉負 9，也容易漏掉公比等於 1 的 7。單選第 1 題：循環節要看清楚橫線蓋到哪幾位再展開比較。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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題目取自興大附中 110 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

興大附中 110 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選 1、2、5、6：循環小數與無窮等比級數

02單選 3、4：級數的收斂與發散、指數型數列的極限

03單選 7、8：對數的應用

04多選 9、10：極限與級數的性質

05填充 A（本頁第 11 題）：等比型數列收斂的條件

06填充 B～D（本頁第 12～14 題）：三角比與測量

07填充 E、H（本頁第 15、18 題）：正弦函數

08填充 F、G（本頁第 16、17 題）：指數與對數

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常見問題

興大附中 110 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

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興大附中 110 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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