段考詳解範圍：極限與微分（數列的極限、無窮等比級數、函數的性質、函數的極限、連續、導數與可微分、微分公式、切線）

興大附中 110 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 32 題，照原卷順序

第壹部分是非題 20 題占 40 分、第貳部分選填題 12 題占 60 分。本頁第 21～32 題依序為原卷選填題的 A～L 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

第壹部分：是非題（占 40 分）說明：第 1 題至第 20 題，請判斷該題敘述是否正確，若該題正確請在答案卡該題欄位上作答 1；若該題錯誤請在答案卡該題欄位上作答 2。每題答對者得 2 分，答錯或未作答者得 0 分。

已知

⟨ a_{n} ⟩

為無窮等比數列且

⟨ a_{n} ⟩

的公比為

r

。若

⟨ a_{n} ⟩

收斂，則

∣ r ∣ < 1

。

若

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ b_{n} ⟩

皆為無窮數列，則

n \to \infty lim a_{n} + n \to \infty lim b_{n} = n \to \infty lim (a_{n} + b_{n})

。

x

為任意實數，

f (x) = \frac{x - 3}{x ^{2} - x + 1}

為連續函數。

若

a_{n} = \frac{3 n + 2}{3 n + 1} - \frac{n + 4}{n + 3}

，則

n \to \infty lim a_{n}

不存在。

直線

11 x - y + 7 = 0

是函數

f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1

圖形上的其中一條切線。

若

⟨ a_{n} ⟩

為收斂數列，則

n = 1 \sum \infty a_{n}

收斂。

已知函數

f (x)

、

g (x)

，若

f (a) = g (a) = 0

，則

x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )}

不存在。

若

k = 1 \sum n a_{k} = r

，

k = 1 \sum n b_{k} = s

，則

k = 1 \sum n (a_{k} \times b_{k}) = r \times s

。

若

n \to \infty lim a_{n} = r

，

n \to \infty lim b_{n} = s

，則

n \to \infty lim (a_{n} \times b_{n}) = r s

。

若函數

f (x) = 3 x^{7} + 5 x^{5} + 7 x^{3} + 9 x + 11

，則

f (x)

為奇函數。

y = x^{4} + 1

、

y = ∣ sin x ∣

、

y = cos x

、

y = (\frac{1}{2})^{∣ x ∣}

皆為偶函數。

若函數

f (x)

與

g (x)

對稱於直線

y = x

，則

f (x)

與

g (x)

互為反函數。

x \to 0 lim ∣ x ∣ = x \to 0 lim [x] = 0

。（其中

[x]

為高斯符號）

已知函數

f (x)

，若

f (1) = 3

，

f (2) = 4

，則存在實數

t

使得

f (t) = π

。

已知函數

f (x)

，若

x \to a lim f (x) = f (a)

，則

f (x)

在

x = a

連續。

已知函數

f (x)

，若

f (x)

滿足

x \to a lim f (x) = f (a)

，則

f^{'} (a)

存在。

若函數

f (x)

其

f^{'} (7) = k

（

k

為實數），則

f (x)

為連續函數。

若函數

f (x) = [x]

，則

f^{'} (e) = 0

。（

e

為歐拉數（自然常數），

[x]

為高斯符號）

n \to 0 lim (1 + n)^{\frac{1}{n}} = e

，且

e

為無理數。

已知函數

f (x)

，若

f^{'} (a)

存在，則

x \to a lim \frac{f ( a ) - f ( x )}{x - a} = - f^{'} (a)

。

第貳部分：選填題（占 60 分）說明：1. 第 A 至 L 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（21–47）。2. 每題答對得 5 分，答錯者不倒扣，未完全答對者不給分。

⟨ a_{n} ⟩

為無窮等比數列，

a_{1} = 0. \overline{2}

，

a_{2} = 0. \overline{06}

，則

n = 1 \sum \infty a_{n} =

____。（化為最簡分數）

設

f_{n} (x) = x + \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{12} x^{3} + \frac{1}{32} x^{4} + \frac{1}{80} x^{5} + \frac{1}{192} x^{6} + \dots + \frac{1}{n \cdot 2 ^{n - 1}} x^{n}

，則

n \to \infty lim f_{n}^{'} (1) =

____。

設

f (x) = \frac{2 x ^{2} - 3 x - 1}{x ^{3} + 2}

，則

f^{'} (- 1) =

____。

設

f (x) = (x^{2} - x - 1)^{10}

，則

f^{'} (2) =

____。

設三次函數

f (x)

的導函數為

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1

，且在點

(1, f (1))

的切線方程式為

4 x - y + 1 = 0

，求

f (0) =

____。

設函數

f (x) = x^{2} + x

，

g (x) = 2 x + 1

，則

(f \circ g) (2) =

____。

n \to \infty lim \frac{5 \cdot 3 ^{n + 1} - 6 \cdot 4 ^{n - 1}}{7 \cdot 3 ^{n - 1} + 2 \cdot 4 ^{n + 1}} =

____。（化為最簡分數）

若

n \to \infty lim (n^{2} + k n + 2 - n^{2} + 2 n + 3) = 3

，則

k =

____。

設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{k x ^{2} + x - 4 k - 2}{x - 2}, 3, x \neq = 2 x = 2

，若

f (x)

在

x = 2

連續，則

k =

____。（化為最簡分數）

已知

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{4 n + 5} = 3

，則

n \to \infty lim \frac{2 n - a _{n}}{5 n - 6} =

____。

設

f (x) = \frac{( x - 2019 ) ( x - 2020 ) ( x - 2021 ) ( x - 2022 )}{( x - 2023 ) ( x - 2024 )}

，則

f^{'} (2021) =

____。（化為最簡分數）

n \to \infty lim (\frac{1}{8 n ^{2} + 1} + \frac{1}{8 n ^{2} + 2} + \frac{1}{8 n ^{2} + 3} + \dots + \frac{1}{8 n ^{2} + n}) =

____。（化為最簡根式）（Hint：

8 n^{2} \leq 8 n^{2} + k \leq 8 n^{2} + n

，其中

k \leq n

，

k \in {0, 1, 2, 3, \dots, n}

）（卷面以句點分隔）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

102

111

121

132

142

151

162

172

181

191

201

第 21 題

\frac{11}{36}

第 22 題

2

第 23 題

- 19

第 24 題

30

第 25 題

4

第 26 題

30

第 27 題

- \frac{3}{16}

第 28 題

8

第 29 題

\frac{1}{2}

第 30 題

- 2

第 31 題

- \frac{1}{3}

第 32 題

\frac{2}{4}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非 1～5：等比數列的收斂、極限的拆開、連續與切線

第 1 題2公比

r = 1

時，

⟨ a_{n} ⟩

是常數數列

a_{1}, a_{1}, a_{1}, \dots

，收斂到

a_{1}

，但

∣ r ∣ = 1

不小於

1

。所以由「收斂」推不出

∣ r ∣ < 1

。

無窮等比數列

⟨ a_{1} r^{n - 1} ⟩

（

a_{1} \neq = 0

）收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

；無窮等比「級數」收斂的條件才是

∣ r ∣ < 1

。兩個條件差在

r = 1

。

第 2 題2題目沒有說兩個數列收斂。取

a_{n} = n

、

b_{n} = - n

：

n \to \infty lim a_{n}

與

n \to \infty lim b_{n}

都不存在，左邊沒有意義；但

a_{n} + b_{n} = 0

，右邊的極限是

0

。等式不成立。

極限的加法性質要先確定

n \to \infty lim a_{n}

與

n \to \infty lim b_{n}

都存在，才能把極限拆開。

第 3 題1分母

x^{2} - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0

，對任意實數

x

都不為

0

。分子、分母都是多項式函數（連續），分母恆不為

0

，所以

f (x)

在每一個實數都連續，是連續函數。

也可以用判別式：

(- 1)^{2} - 4 \times 1 \times 1 = - 3 < 0

，分母沒有實根。

第 4 題2兩個分式各自收斂：

\frac{3 n + 2}{3 n + 1} = \frac{3 + \frac{2}{n}}{3 + \frac{1}{n}} \to 1

，

\frac{n + 4}{n + 3} = \frac{1 + \frac{4}{n}}{1 + \frac{3}{n}} \to 1

。所以

n \to \infty lim a_{n} = 1 - 1 = 0

，極限存在。

極限是

0

也是「存在」；不存在是指不趨近任何一個定數。

第 5 題2直線為

y = 11 x + 7

，斜率

11

。

f^{'} (x) = 4 x + 3

，令

4 x + 3 = 11

得

x = 2

，切點為

(2, f (2)) = (2, 15)

。斜率

11

的切線只有這一條：

y - 15 = 11 (x - 2)

，即

11 x - y - 7 = 0

，和題目的

11 x - y + 7 = 0

不同。

另一種看法：把

y = 11 x + 7

代入得

2 x^{2} + 3 x + 1 = 11 x + 7

，即

x^{2} - 4 x - 3 = 0

，判別式

16 + 12 = 28 > 0

，直線與拋物線交於兩點，不是相切。

判斷「若…則…」的敘述先找反例；極限的四則運算要先確認每個極限都存在。

02是非 6～10：級數的收斂、極限的性質與奇函數

第 6 題2取

a_{n} = 1

，數列收斂到

1

；但

n = 1 \sum \infty a_{n}

的前

n

項和是

n

，會無限制地變大，級數發散。

級數要收斂，各項至少要趨近

0

；數列收斂到不是

0

的數，級數一定發散。

第 7 題2取

f (x) = g (x) = x - a

，滿足

f (a) = g (a) = 0

，但

x \neq = a

時

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 1

，所以

x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = 1

，極限存在。

求

x \to a

的極限時看的是

a

附近（

x \neq = a

）的值；分子分母同時趨近

0

時，約分之後常常有極限。

第 8 題2取

n = 2

，

a_{1} = a_{2} = 1

，

b_{1} = b_{2} = 1

：

r = a_{1} + a_{2} = 2

，

s = b_{1} + b_{2} = 2

，

r \times s = 4

；但

a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = 1 + 1 = 2 \neq = 4

。

(a_{1} + a_{2}) (b_{1} + b_{2})

展開後還有

a_{1} b_{2}

、

a_{2} b_{1}

這些交叉項，所以「和的乘積」不等於「乘積的和」。

Σ

只對加減與常數倍可以拆開。

第 9 題1兩個數列的極限都存在（分別為

r

與

s

），由極限的乘法性質，

n \to \infty lim (a_{n} \times b_{n}) = n \to \infty lim a_{n} \times n \to \infty lim b_{n} = r s

。

和第 2 題比較：這一題已經給了兩個極限都存在，所以可以拆。

第 10 題2奇函數要滿足

f (- x) = - f (x)

。這裡

f (- x) = - 3 x^{7} - 5 x^{5} - 7 x^{3} - 9 x + 11

，而

- f (x) = - 3 x^{7} - 5 x^{5} - 7 x^{3} - 9 x - 11

，常數項不同，所以不是奇函數。

也可以只看

x = 0

：定義域含

0

的奇函數一定有

f (0) = 0

，這裡

f (0) = 11

。多項式函數要每一項都是奇次項才是奇函數，常數項

11

是零次項。

數列收斂、級數收斂是兩件事；分子分母同時趨近 0 時極限仍可能存在。

03是非 11～15：偶函數、反函數、高斯函數與連續

第 11 題1把

x

換成

- x

逐一檢查：

(- x)^{4} + 1 = x^{4} + 1

；

∣ sin (- x) ∣ = ∣ - sin x ∣ = ∣ sin x ∣

；

cos (- x) = cos x

；

(\frac{1}{2})^{∣ - x ∣} = (\frac{1}{2})^{∣ x ∣}

。四個都滿足

f (- x) = f (x)

，皆為偶函數。

第 12 題1兩個函數的圖形對稱於直線

y = x

，表示點

(p, q)

在

y = f (x)

的圖形上時，點

(q, p)

就在

y = g (x)

的圖形上，反過來也一樣。也就是

q = f (p)

等價於

p = g (q)

，所以

g (f (p)) = p

且

f (g (q)) = q

，

f (x)

與

g (x)

互為反函數。

例：

y = 1 0^{x}

與

y = lo g x

的圖形對稱於直線

y = x

，兩者互為反函數。

第 13 題2

x \to 0 lim ∣ x ∣ = 0

沒有問題。但

[x]

在

x = 0

的左右極限不同：

0 < x < 1

時

[x] = 0

，右極限為

0

；

- 1 < x < 0

時

[x] = - 1

，左極限為

- 1

。左右極限不相等，

x \to 0 lim [x]

不存在。

高斯函數

[x]

是不大於

x

的最大整數，在每一個整數點左右極限都差

1

。

第 14 題2題目沒有說

f (x)

連續，中間值定理不能用。例如

f (x) = {3, 4, x < 2 x \geq 2

，滿足

f (1) = 3

、

f (2) = 4

，但函數值只有

3

與

4

，不會等於

π

。

3 < π < 4

，如果多一個條件「

f (x)

在區間

[1, 2]

連續」，由中間值定理就一定找得到

t

。

第 15 題1這就是連續的定義：

x \to a lim f (x)

存在、

f (a)

有定義，而且兩者相等，就稱

f (x)

在

x = a

連續。

看極限先分左右兩側；連續是「極限值等於函數值」，沒有連續就不能用中間值定理。

04是非 16～20：可微分與連續、導數的定義

第 16 題2條件只說

f (x)

在

x = a

連續。取

f (x) = ∣ x ∣

、

a = 0

：

x \to 0 lim ∣ x ∣ = 0 = f (0)

，但

\frac{f ( 0 + h ) - f ( 0 )}{h} = \frac{∣ h ∣}{h}

的右極限為

1

、左極限為

- 1

，

f^{'} (0)

不存在。

可微分一定連續，連續不一定可微分。

第 17 題2

f^{'} (7)

存在只能推得

f (x)

在

x = 7

這一點連續，其他點沒有任何限制。例如

f (x) = {0, 1, x < 10 x \geq 10

：在

x = 7

附近是常數，

f^{'} (7) = 0

；但

f (x)

在

x = 10

不連續，不是連續函數。

「連續函數」是指在定義域的每一點都連續。

第 18 題1

e \approx 2.718

，

2 < e < 3

，所以

x

在

e

附近時

[x] = 2

是常數。

\frac{f ( e + h ) - f ( e )}{h} = \frac{2 - 2}{h} = 0

（

h

很接近

0

且不為

0

），所以

f^{'} (e) = 0

。

高斯函數只在整數點不連續；在不是整數的點附近是水平線段，導數為

0

。

第 19 題1令

m = \frac{1}{n}

，式子變成

(1 + \frac{1}{m})^{m}

。

n

從正的一側趨近

0

時

m

趨向正無限大，從負的一側趨近

0

時

m

趨向負無限大，兩種情形這個式子都趨近課本介紹的常數

e \approx 2.718

，所以極限是

e

；

e

是無理數。

卷面的變數寫

n

，但趨近的是

0

，不是

n \to \infty

；

n \to \infty

時

(1 + n)^{\frac{1}{n}}

的極限不是

e

。

第 20 題1

\frac{f ( a ) - f ( x )}{x - a} = - \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}

。

f^{'} (a)

存在，就是

x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = f^{'} (a)

，所以原式的極限為

- f^{'} (a)

。

導數的定義裡，分子與分母的順序要一致；只把分子反過來，就多一個負號。

可微分推得連續，但只限那一點，反過來也不成立。

05選填 21～24（原卷 A～D）：無窮等比級數、逐項微分、除法與連鎖律

第 21 題先把循環小數化成分數：

a_{1} = 0. \overline{2} = \frac{2}{9}

，

a_{2} = 0. \overline{06} = \frac{6}{99} = \frac{2}{33}

。公比

= \frac{2}{33} \div \frac{2}{9} = \frac{9}{33} = \frac{3}{11}

，絕對值小於

1

，級數收斂。和

= \frac{\frac{2}{9}}{1 - \frac{3}{11}} = \frac{2}{9} \times \frac{11}{8} = \frac{11}{36}

。

0. \overline{06} = 0.060606 \dots

，循環節是兩位「

06

」，分母是

99

。

第 22 題第

k

項是

\frac{1}{k \cdot 2 ^{k - 1}} x^{k}

（

k = 1

時是

x

；

k = 2

是

\frac{1}{4} x^{2}

；

k = 3

是

\frac{1}{12} x^{3}

，與卷面各項相符）。逐項微分：

x^{k}

的導函數是

k x^{k - 1}

，所以第

k

項的導函數是

\frac{1}{2 ^{k - 1}} x^{k - 1}

，也就是

\frac{x}{2}

的

k - 1

次方。因此

f_{n}^{'} (x) = 1 + \frac{x}{2} + (\frac{x}{2})^{2} + \dots + (\frac{x}{2})^{n - 1}

。代

x = 1

，這是首項

1

、公比

\frac{1}{2}

的等比級數前

n

項的和：

f_{n}^{'} (1) = 2 (1 - (\frac{1}{2})^{n})

。

n \to \infty

時

(\frac{1}{2})^{n} \to 0

，極限為

2

。

微分把係數分母的

k

約掉，剩下首項

1

、公比

\frac{1}{2}

的等比級數，和為

\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2

。

第 23 題用除法的微分公式：

f^{'} (x) = \frac{( 4 x - 3 ) ( x ^{3} + 2 ) - ( 2 x ^{2} - 3 x - 1 ) ( 3 x ^{2} )}{( x ^{3} + 2 ) ^{2}}

。代

x = - 1

：

4 x - 3 = - 7

，

x^{3} + 2 = 1

，

2 x^{2} - 3 x - 1 = 2 + 3 - 1 = 4

，

3 x^{2} = 3

。所以

f^{'} (- 1) = \frac{( - 7 ) ( 1 ) - ( 4 ) ( 3 )}{1 ^{2}} = - 19

。

不必先展開化簡，把

x = - 1

代進公式的各個部分再算最快。分子是「分子的導數乘分母，減去分子乘分母的導數」，順序不可以反。

第 24 題用連鎖律：

f^{'} (x) = 10 (x^{2} - x - 1)^{9} \cdot (2 x - 1)

。代

x = 2

：

x^{2} - x - 1 = 4 - 2 - 1 = 1

，

2 x - 1 = 3

，所以

f^{'} (2) = 10 \times 1^{9} \times 3 = 30

。

外層的

10

次方微分之後，還要乘上裡面

x^{2} - x - 1

的導數

2 x - 1

。

循環小數先化成分數；求一點的導數時，把數值代進公式的各個部分再算。

06選填 25～28（原卷 E～H）：由導函數決定函數、合成函數、數列的極限

第 25 題設

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

，則

f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c

。和

3 x^{2} + 2 x - 1

比較係數：

a = 1

、

b = 1

、

c = - 1

，所以

f (x) = x^{3} + x^{2} - x + d

。切線

4 x - y + 1 = 0

即

y = 4 x + 1

，切點

(1, f (1))

在切線上，所以

f (1) = 4 \times 1 + 1 = 5

。又

f (1) = 1 + 1 - 1 + d = 1 + d

，得

d = 4

。

f (0) = d = 4

。

驗算：

f^{'} (1) = 3 + 2 - 1 = 4

，正好是切線的斜率。導函數相同的函數只差一個常數，要靠切點才能決定常數項。

第 26 題

(f \circ g) (2) = f (g (2))

。先算裡面：

g (2) = 2 \times 2 + 1 = 5

；再算

f (5) = 5^{2} + 5 = 30

。

f \circ g

是先做

g

再做

f

；順序反過來是

g (f (2)) = g (6) = 13

，不一樣。

第 27 題底數最大的是

4

，先把各項整理成

3^{n}

、

4^{n}

的常數倍：

5 \cdot 3^{n + 1} = 15 \cdot 3^{n}

，

6 \cdot 4^{n - 1} = \frac{3}{2} \cdot 4^{n}

，

7 \cdot 3^{n - 1} = \frac{7}{3} \cdot 3^{n}

，

2 \cdot 4^{n + 1} = 8 \cdot 4^{n}

。分子分母同除以

4^{n}

：

\frac{15 ( \frac{3}{4} ) ^{n} - \frac{3}{2}}{\frac{7}{3} ( \frac{3}{4} ) ^{n} + 8}

。

(\frac{3}{4})^{n} \to 0

，所以極限為

\frac{- \frac{3}{2}}{8} = - \frac{3}{16}

。

指數上的

n - 1

、

n + 1

要先換成

n

次方乘上常數，再比較係數。

第 28 題有理化：

n^{2} + k n + 2 - n^{2} + 2 n + 3 = \frac{( n ^{2} + k n + 2 ) - ( n ^{2} + 2 n + 3 )}{n ^{2} + k n + 2 + n ^{2} + 2 n + 3} = \frac{( k - 2 ) n - 1}{n ^{2} + k n + 2 + n ^{2} + 2 n + 3}

。分子分母同除以

n

：

\frac{( k - 2 ) - \frac{1}{n}}{1 + \frac{k}{n} + \frac{2}{n ^{2}} + 1 + \frac{2}{n} + \frac{3}{n ^{2}}} \to \frac{k - 2}{2}

。令

\frac{k - 2}{2} = 3

，得

k = 8

。

兩個根號各自都趨向無限大，不能直接相減；有理化之後

n^{2}

消掉，極限由一次項係數的差決定。

指數型同除以底數最大的項；根式相減先有理化。

07選填 29～32（原卷 I～L）：接點連續、極限的運算、導數的定義與夾擠定理

第 29 題

f (x)

在

x = 2

連續，就是

x \to 2 lim f (x) = f (2) = 3

。

x \neq = 2

時，分子

k x^{2} + x - 4 k - 2 = k (x^{2} - 4) + (x - 2) = (x - 2) (k (x + 2) + 1)

，所以

f (x) = k (x + 2) + 1

。

x \to 2 lim f (x) = 4 k + 1

。令

4 k + 1 = 3

，得

k = \frac{1}{2}

。

分子在

x = 2

的值是

4 k + 2 - 4 k - 2 = 0

，不論

k

是多少都能約掉

x - 2

，極限一定存在；再讓極限值

4 k + 1

等於函數值

3

就可以了。

第 30 題令

c_{n} = \frac{a _{n}}{4 n + 5}

，則

n \to \infty lim c_{n} = 3

，且

a_{n} = c_{n} (4 n + 5)

。代入：

\frac{2 n - a _{n}}{5 n - 6} = \frac{2 n - c _{n} ( 4 n + 5 )}{5 n - 6}

，分子分母同除以

n

得

\frac{2 - c _{n} ( 4 + \frac{5}{n} )}{5 - \frac{6}{n}}

。

n \to \infty

時趨近

\frac{2 - 3 \times 4}{5} = - 2

。

由已知可得

\frac{a _{n}}{n} = c_{n} (4 + \frac{5}{n}) \to 12

，也就是

a_{n}

和

12 n

差不多大；但不能直接寫

a_{n} = 12 n

，要用極限的運算性質。

第 31 題

f (2021) = 0

（分子有因式

x - 2021

）。用導數的定義：

f^{'} (2021) = x \to 2021 lim \frac{f ( x ) - f ( 2021 )}{x - 2021} = x \to 2021 lim \frac{( x - 2019 ) ( x - 2020 ) ( x - 2022 )}{( x - 2023 ) ( x - 2024 )}

。代

x = 2021

：分子

= 2 \times 1 \times (- 1) = - 2

，分母

= (- 2) \times (- 3) = 6

，所以

f^{'} (2021) = \frac{- 2}{6} = - \frac{1}{3}

。

函數在某一點的值是

0

而且有那一個一次因式時，用定義把因式約掉，比套除法公式展開快得多。

第 32 題括號裡共有

n

項，第

k

項是

\frac{1}{8 n ^{2} + k}

（

k = 1, 2, \dots, n

）。由提示

8 n^{2} \leq 8 n^{2} + k \leq 8 n^{2} + n

，取倒數得

\frac{1}{8 n ^{2} + n} \leq \frac{1}{8 n ^{2} + k} \leq \frac{1}{8 n ^{2}}

。把

n

項加起來：

\frac{n}{8 n ^{2} + n} \leq

原式

\leq \frac{n}{8 n ^{2}}

。右邊

= \frac{n}{2 2 n} = \frac{1}{2 2}

；左邊

= \frac{1}{8 + \frac{1}{n}} \to \frac{1}{8} = \frac{1}{2 2}

。兩邊的極限相同，由夾擠定理，所求極限為

\frac{1}{2 2} = \frac{2}{4}

。

每一項都趨近

0

，但項數也跟著

n

變多，不能說和是

0

。卷面提示裡的集合以句點分隔，本頁改用逗號；集合從

0

寫起，和式裡的

k

則是從

1

到

n

。

函數在那一點的值是 0 時用導數的定義約掉因式；項數隨 n 增加的和用夾擠定理。

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同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 32 題的答案，是非題 20 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 110 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

是非第 1 題：公比等於 1 的等比數列也收斂，條件 r 的絕對值小於 1 是給級數用的。是非第 17 題：在一點可微分只能推得在那一點連續，推不出整個函數連續。選填 B（本頁第 22 題）：逐項微分之後才看得出是公比二分之一的等比級數。選填 L（本頁第 32 題）：每一項都趨近 0 但項數也變多，要把每一項換成最大與最小的那一項再用夾擠定理。詳解逐題寫在本頁。

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01是非 1～5：等比數列的收斂、極限的拆開、連續與切線

02是非 6～10：級數的收斂、極限的性質與奇函數

03是非 11～15：偶函數、反函數、高斯函數與連續

04是非 16～20：可微分與連續、導數的定義

05選填 21～24（原卷 A～D）：無窮等比級數、逐項微分、除法與連鎖律

06選填 25～28（原卷 E～H）：由導函數決定函數、合成函數、數列的極限

07選填 29～32（原卷 I～L）：接點連續、極限的運算、導數的定義與夾擠定理

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興大附中 110 上
高三第一次段考
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