段考詳解範圍：指數與對數函數（對數與對數律、換底公式、指數與對數函數的圖形、指數對數方程式、常用對數與應用）

興大附中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 興大附中 110 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 23 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 興大附中 110 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 7 題（不解方程式，用函數值的範圍夾出 a、b、c）、第 11 題（指數與對數圖形的交點與弦的位置）、選填 H（指數圖形與正方形相交要分 a 的正負）與選填 L（由圖定出常數再比較倍數）最容易失分。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

配合題 5 題（每題 2 分）、單選題 3 題（每題 5 分）、多選題 3 題（每題 5 分，答錯 1 個選項得 3 分、答錯 2 個選項得 1 分）、選填題 A～L 共 12 題（每題 5 分），合計 100 分。卷頭附常用數值 log 2 = 0.3010、log 3 = 0.4771、log 7 = 0.8451 與等比級數公式（公比 r 不等於 1 時，首項為 1、公比為 r 的等比級數前 n 項和，等於 r 的 n 次方減 1 再除以 r 減 1）。本頁第 12～23 題依序為原卷選填 A～L。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、配合題(共10分) 第1題至第5題，請將該題函數所對應的圖形，依圖形編號劃記在答案卡上。各題答對者得2分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

配合題（第 1～5 題）（第 1～5 題）　九個圖形 ①～⑨ 畫在第 1 題下方，第 1～5 題共用；各題答案填圖形編號。

設

a > 1

，

y = a^{∣ x ∣}

。

載入中...

設

0 < a < 1

，

y = - a^{x}

。

設

0 < a < 1

，

y = lo g_{a} x

。

設

a > 1

，

y = lo g_{\frac{1}{a}} (- x)

。

設

a > 1

，

y = ∣ lo g_{a} x ∣

。

二、單選題(共15分) 第6題至第8題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請將正確選項畫記在答案卡。各題答對者得5分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

lo g_{0.25} 8

之值為下列何者？

(1) $\frac{2}{3}$
(2) $- \frac{2}{3}$
(3) $- 2$
(4) $\frac{3}{2}$
(5) $- \frac{3}{2}$

已知

a

、

b

、

c

均為正數，且

2^{a} = lo g_{\frac{1}{2}} a

，

(\frac{1}{2})^{b} = lo g_{2} b

，

(\frac{1}{2})^{c} = lo g_{\frac{1}{2}} c

，則此三個數的大小順序為下列何者？

(1) $c < b < a$
(2) $b < c < a$
(3) $c < a < b$
(4) $a < c < b$
(5) $a < b < c$

設

lo g 2 = a

，

lo g 3 = b

，則

lo g 135

之值為下列何者？

(1) $1 + 3 b - a$
(2) $3 - 3 a + b$
(3) $\frac{1}{2} (1 + 3 b - a)$
(4) $\frac{1}{2} (3 + b - 3 a)$
(5) $\frac{1}{2} (3 + 3 b - 3 a)$

三、多選題(共15分) 第9題至第11題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得5分；答錯1個選項者，得3分；答錯2個選項者，得1分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

在下列圖形中，二次函數

y = a x^{2} + b x

與指數函數

y = (\frac{b}{a})^{x}

之圖形，可能是哪一選項？

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

若

(a, b)

是對數函數

y = lo g_{5} x

圖形上一點，則下列哪個選項中的點也在該對數函數的圖形上？

(1) $(a + 1, b + 1)$
(2) $(5 a, b + 1)$
(3) $(\frac{1}{a}, - b)$
(4) $(10 a, 2 b)$
(5) $(a^{2}, 2 b)$

已知

1 < a

，

0 < x_{1} < x_{2}

，設函數

f (x) = a^{x}

與

g (x) = lo g_{a} x

，請選出正確的選項。

(1) $f (x)$ 的圖形與 $g (x)$ 的圖形對稱於直線 $y = x$
(2) $f (x)$ 的圖形與 $g (x)$ 的圖形沒有交點
(3) $f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) < \frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2}$
(4) $g (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) < \frac{g ( x _{1} ) + g ( x _{2} )}{2}$
(5) $f (x) = a^{x}$ 的圖形以 $x$ 軸為漸近線

四、選填題(共60分) 說明：第A至L題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（12–37）。每題完全答對給5分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

方程式

lo g_{5} (2 x - 1) = lo g_{25} (x^{2} - x + 19)

的解為 ____。

設銀行利率的算法有單利和複利兩種： (I)單利：本利和

S =

本金

P \times (1 + 期利率 \times 期數)

；(II)複利：本利和

S =

本金

P \times (1 + 期利率)^{期數}

。小興準備向銀行貸款1百萬元當做創業基金，其年利率為2%，約定三年期滿一次還清貸款的本利和。銀行貸款一般以複利（每年複利一次）計息還款，但給小興創業優惠改以單利計息還款。此優惠下，小興在三年期滿還款時可以比複利計息少繳 ____ 元？

若

(11, 1)

、

(b, 0)

、

(71, c)

三個點均在函數

f (x) = lo g_{a} (x - 7)

的圖形上，則

a + b + c

之值為 ____。

求

(lo g_{8} 9 + lo g_{0.25} 3) \times (lo g_{\frac{1}{3}} 0.5 + lo g_{9} 16)

之值為 ____。(化為最簡分數)

設

a

b

c

d

皆為正整數，且

a lo g_{5400} 2 + b lo g_{5400} 3 + c lo g_{5400} 5 = d

，則

4 lo g_{6} d - lo g_{6} a - lo g_{6} b - 2 lo g_{6} c

之值為 ____。

已知坐標平面上三點

(2, lo g 5)

，

(4, lo g 15)

與

(6, lo g x)

在同一直線上，則

x

之值為 ____。

使用科學記號

a \times 1 0^{n}

來表示

3^{60}

時，則

n

之值為 ____。

在坐標平面上，

Γ

是邊長為4的正方形，其中心位在點

(1, 1)

，且各邊與坐標軸平行。已知函數

y = a \times 3^{x}

的圖形與

Γ

相交，其中

a

為實數，則

a

的最大可能範圍為 ____

\leq a \leq

____。

傳染病在發生初期時，由於大部分人未感染且無抗體，所以總感染人數大都以指數形式成長。在「初始感染人數為

P_{0}

，且每位已感染者平均一天會傳染給

r

位未感染者」的前提下，

n

天後感染到此疾病的總人數

P_{n}

可以表示為

P_{n} = P_{0} (1 + r)^{n}

，其中

P_{0} \geq 1

且

r > 0

。已知某傳染病初期符合上述數學模型且每隔12天總感染人數會增加為5倍，試試求

lo g_{5} (P_{20}) - lo g_{5} (P_{11})

的值為 ____。(化為最簡分數)

滿足

1 + \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^{2} + \dots + (\frac{3}{2})^{n - 1} > 998

的最小自然數

n

為 ____。

已知

a > 1

，

f (x) = a^{x}

，若

A

、

B

、

C

、

D

為

x

軸上由左至右的四相異點，且

\overline{A B} = \overline{B C} = \overline{C D}

，過

A

、

B

、

C

、

D

作

x

軸垂線分別交

y = f (x)

的圖形於

E

、

F

、

G

、

H

，若

\overline{A E} = 6

，

\overline{D H} = 384

，則

\overline{B F} + \overline{C G}

之值為 ____。

19世紀德國科學家費希納發現 “主觀感覺與刺激強度的對數成正比”的規律。若人類對於食物的甜味感受度

y

(分)和食物本身的甜度

x

(度) 之關係符合上述定律，即

y = a lo g x + b

，其關係如附圖所示。今有某種蛋糕原本讓顧客感受到的甜度為

s

(分)，但是顧客普遍覺得不夠甜，若蛋糕師傅想調整甜度，重新製作一個讓顧客感受到甜度超過

s + 1

(分)的蛋糕，則重新製作的蛋糕本身的甜度至少要變為原來蛋糕的甜度的 ____ 倍。(整數倍) 註：甜味感受度

y

(分)，分數愈高愈甜。甜度

x

(度)，

x

愈大表示含糖量愈高。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題④

第 2 題③

第 3 題⑤

第 4 題⑨

第 5 題⑦

第 6 題(5)

第 7 題(4)

第 8 題(3)

第 9 題(1)(2)(4)

第 10 題(2)(3)(5)

第 11 題(1)(3)(5)

第 12 題

3

第 13 題

1208

第 14 題

15

第 15 題

\frac{1}{2}

第 16 題

- 2

第 17 題

45

第 18 題

28

第 19 題

- 3 \leq a \leq 9

第 20 題

\frac{3}{4}

第 21 題

16

第 22 題

120

第 23 題

5

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01配合題 1～5：從基本圖形翻轉、對稱得到新圖形

第 1 題

答案 ④。

① $x \geq 0$ 時 $y = a^{x}$ ； $a > 1$ ，往右遞增，通過 $(0, 1)$ 。

② $x < 0$ 時 $a^{∣ x ∣} = a^{- x}$ ，正好是右半部對 $y$ 軸的對稱。

③ 合起來對稱於 $y$ 軸、最低點 $(0, 1)$ ，整條在 $x$ 軸上方，是圖④。

載入中...

第 2 題

答案 ③。

① $0 < a < 1$ 時 $y = a^{x}$ 在 $x$ 軸上方，往右遞減，通過 $(0, 1)$ 。

② $y = - a^{x}$ 把它對 $x$ 軸翻下來：整條在 $x$ 軸下方，通過 $(0, - 1)$ ，往右遞增並貼近 $x$ 軸。

所以是圖③。

載入中...

第 3 題

答案 ⑤。

① 定義域是 $x > 0$ ，圖形在 $y$ 軸右側，以 $y$ 軸為漸近線，通過 $(1, 0)$ 。

② 底數 $0 < a < 1$ ，圖形往右遞減：靠近 $y$ 軸時往上衝，過 $(1, 0)$ 後落到 $x$ 軸下方。

所以是圖⑤。

載入中...

第 4 題

答案 ⑨。

① 換底： $lo g_{\frac{1}{a}} (- x) = \frac{lo g ( - x )}{lo g \frac{1}{a}} = \frac{lo g ( - x )}{- lo g a} = - lo g_{a} (- x)$ 。

② $y = lo g_{a} (- x)$ 是 $y = lo g_{a} x$ 對 $y$ 軸的對稱：在 $y$ 軸左側，通過 $(- 1, 0)$ 。

③ 前面再加負號，就是再對 $x$ 軸翻一次：靠近 $y$ 軸時往上衝，往左一路下降。

所以是由左往右遞增、只在 $y$ 軸左側的圖⑨。

載入中...

第 5 題

答案 ⑦。

① $a > 1$ 時 $y = lo g_{a} x$ 往右遞增， $0 < x < 1$ 那段在 $x$ 軸下方。

② 加上絕對值，把 $x$ 軸下方那段翻到上方：圖形全在 $x$ 軸上或上方，只在 $(1, 0)$ 碰到 $x$ 軸。

所以是圖⑦。

載入中...

圖⑧左右對稱，是

y = lo g_{a} ∣ x ∣

的樣子；圖⑥是

y = lo g_{a} x

本身。加絕對值的位置不同，圖形就不同。

先認出基本圖形 y 等於 a 的 x 次方與 y 等於以 a 為底 x 的對數，再看式子是對哪一條軸翻轉、或把哪一段翻上來。

02單選 6～8：換底、函數值夾範圍、對數律

第 6 題

答案 (5)。

① $0.25 = \frac{1}{4} = 2^{- 2}$ ， $8 = 2^{3}$ 。

② 換底： $lo g_{0.25} 8 = \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} \frac{1}{4}} = \frac{3}{- 2} = - \frac{3}{2}$

所以選 (5)。

也可以直接設

(\frac{1}{4})^{t} = 8

，即

2^{- 2 t} = 2^{3}

，得

t = - \frac{3}{2}

。

第 7 題

答案 (4)。不必解出交點，只看等號左邊的值落在哪個範圍。

① $a > 0$ 時 $2^{a} > 1$ ，所以 $lo g_{\frac{1}{2}} a > 1 = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$ 。底數小於 $1$ 時函數遞減，得 $a < \frac{1}{2}$ 。

② $b > 0$ 時 $0 < (\frac{1}{2})^{b} < 1$ ，所以 $0 < lo g_{2} b < 1$ ，得 $1 < b < 2$ 。

③ $c > 0$ 時 $0 < (\frac{1}{2})^{c} < 1$ ，所以 $0 < lo g_{\frac{1}{2}} c < 1$ ，得 $\frac{1}{2} < c < 1$ 。

所以 $a < c < b$ ，選 (4)。

載入中...

第 8 題

答案 (3)。

① $135 = 27 \times 5 = 3^{3} \times \frac{10}{2}$ 。

② $lo g 135 = 3 lo g 3 + lo g 10 - lo g 2 = 3 b + 1 - a$ 。

③ $lo g 135 = \frac{1}{2} lo g 135 = \frac{1}{2} (1 + 3 b - a)$ 。

所以選 (3)。

5

不在題目給的

a

、

b

裡，要寫成

\frac{10}{2}

，用

lo g 5 = 1 - lo g 2

。

對數題先把真數拆成 2、3、5 的乘積；比大小不必解方程式，看函數值的範圍就夠。

03多選 9～11：圖形判讀、對數律、反函數圖形

第 9 題

答案 (1)(2)(4)。

① $y = a x^{2} + b x = x (a x + b)$ ，和 $x$ 軸交於 $O$ 與 $x = - \frac{b}{a}$ 。另一個交點到 $O$ 的距離就是 $\frac{b}{a}$ 。

② 指數函數的底數是 $\frac{b}{a}$ ：另一交點在 $- 1$ 與 $1$ 之間時底數小於 $1$ ，圖形遞減；在外面時底數大於 $1$ ，圖形遞增。

(1) 正確。 另一交點在 $0$ 與 $1$ 之間，藍色曲線遞減，相符。

(2) 正確。 另一交點在 $- 1$ 與 $0$ 之間，藍色曲線遞減，相符。

(3) 錯誤。 另一交點在 $- 1$ 的左邊，底數大於 $1$ ，藍色曲線應遞增，圖上卻遞減。

(4) 正確。 另一交點在 $1$ 的右邊，藍色曲線遞增，相符。

(5) 錯誤。 另一交點在 $- 1$ 與 $0$ 之間，藍色曲線應遞減，圖上卻遞增。

載入中...

第 10 題

答案 (2)(3)(5)。已知 $b = lo g_{5} a$ （ $a > 0$ ），逐項檢查 $y$ 坐標是否等於 $lo g_{5} (x 坐標)$ 。

(1) 錯誤。 取 $a = 1$ 、 $b = 0$ ，點 $(2, 1)$ ；但 $lo g_{5} 2 \neq = 1$ 。

(2) 正確。 $lo g_{5} (5 a) = lo g_{5} 5 + lo g_{5} a = 1 + b$ 。

(3) 正確。 $lo g_{5} \frac{1}{a} = - lo g_{5} a = - b$ 。

(4) 錯誤。 取 $a = 1$ 、 $b = 0$ ，點 $(10, 0)$ ；但 $lo g_{5} 10 \neq = 0$ 。

(5) 正確。 $lo g_{5} a^{2} = 2 lo g_{5} a = 2 b$ 。

載入中...

第 11 題

答案 (1)(3)(5)。

(1) 正確。 $y = lo g_{a} x$ 就是 $x = a^{y}$ ，把 $y = a^{x}$ 的 $x$ 、 $y$ 對調。所以兩圖形對稱於直線 $y = x$ 。

(2) 錯誤。 取 $a = 2$ ： $f (2) = (2)^{2} = 2$ ， $g (2) = lo g_{2} 2 = 2$ ，兩圖形交於 $(2, 2)$ 。

(3) 正確。 由算幾不等式， $\frac{a ^{x_{1}} + a ^{x_{2}}}{2} \geq a^{x_{1}} a^{x_{2}} = a^{\frac{x _{1} + x _{2}}{2}}$ 。又 $x_{1} \neq = x_{2}$ 時 $a^{x_{1}} \neq = a^{x_{2}}$ ，等號不成立。

(4) 錯誤。 $\frac{g ( x _{1} ) + g ( x _{2} )}{2} = lo g_{a} x_{1} x_{2}$ 。算幾不等式給出 $x_{1} x_{2} < \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ ，而 $a > 1$ 時 $lo g_{a}$ 遞增，所以 $g (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) > \frac{g ( x _{1} ) + g ( x _{2} )}{2}$ ，不等號方向相反。

(5) 正確。 $a^{x} > 0$ ，且 $x$ 往左愈來愈小時 $a^{x}$ 愈來愈接近 $0$ ，所以以 $x$ 軸為漸近線。

載入中...

從圖上看：

y = a^{x}

圖形上兩點連成的弦在曲線上方，弦的中點比曲線高，就是 (3)；

y = lo g_{a} x

的弦在曲線下方，所以 (4) 反了。

看拋物線的另一根判斷指數底數；檢查點在不在圖形上就用對數律；指數與對數圖形一個弦在上、一個弦在下。

04選填 A～F：對數方程式、利息、對數律

第 12 題

答案 3。

① 真數條件： $2 x - 1 > 0$ ，即 $x > \frac{1}{2}$ ； $x^{2} - x + 19 = (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{75}{4} > 0$ 恆成立。

② 右邊換成以 $5$ 為底： $lo g_{25} (x^{2} - x + 19) = \frac{1}{2} lo g_{5} (x^{2} - x + 19)$ 。

③ 兩邊乘 $2$ ： $lo g_{5} (2 x - 1)^{2} = lo g_{5} (x^{2} - x + 19)$ ，所以 $(2 x - 1)^{2} = x^{2} - x + 19$ 。

④ 展開整理： $3 x^{2} - 3 x - 18 = 0$ ，即 $(x - 3) (x + 2) = 0$ 。

⑤ $x = - 2$ 不合真數條件，所以解為 $x = 3$ 。

第 13 題

答案 1208。本金 $1000000$ 元，年利率 $2%$ ，期數 $3$ 。

① 複利： $1000000 \times 1.0 2^{3} = 1000000 \times 1.061208 = 1061208$ 元。

② 單利： $1000000 \times (1 + 0.02 \times 3) = 1060000$ 元。

③ 相差 $1061208 - 1060000 = 1208$ 元。

第 14 題

答案 15。

① $(11, 1)$ 在圖形上： $lo g_{a} 4 = 1$ ，所以 $a = 4$ 。

② $(b, 0)$ 在圖形上： $lo g_{4} (b - 7) = 0$ ， $b - 7 = 1$ ， $b = 8$ 。

③ $(71, c)$ 在圖形上： $c = lo g_{4} 64 = 3$ 。

所以 $a + b + c = 4 + 8 + 3 = 15$ 。

載入中...

第 15 題

答案 $\frac{1}{2}$ 。設 $t = \frac{lo g 3}{lo g 2}$ ，每一項都用換底公式化成 $t$ 。

① $lo g_{8} 9 = \frac{2 lo g 3}{3 lo g 2} = \frac{2}{3} t$ ； $lo g_{0.25} 3 = \frac{lo g 3}{- 2 lo g 2} = - \frac{1}{2} t$ 。

② 第一個括號 $= \frac{2}{3} t - \frac{1}{2} t = \frac{1}{6} t$ 。

③ $lo g_{\frac{1}{3}} 0.5 = \frac{- lo g 2}{- lo g 3} = \frac{1}{t}$ ； $lo g_{9} 16 = \frac{4 lo g 2}{2 lo g 3} = \frac{2}{t}$ 。

④ 第二個括號 $= \frac{1}{t} + \frac{2}{t} = \frac{3}{t}$ 。

⑤ 相乘： $\frac{1}{6} t \times \frac{3}{t} = \frac{1}{2}$ 。

第 16 題

答案 −2。

① 左邊用對數律合併： $lo g_{5400} (2^{a} 3^{b} 5^{c}) = d$ ，所以 $2^{a} 3^{b} 5^{c} = 540 0^{d}$ 。

② $5400 = 54 \times 100 = 2^{3} \times 3^{3} \times 5^{2}$ ，所以 $540 0^{d} = 2^{3 d} 3^{3 d} 5^{2 d}$ 。

③ 比對質因數的次方： $a = 3 d$ ， $b = 3 d$ ， $c = 2 d$ 。

④ 所求 $= lo g_{6} \frac{d ^{4}}{a b c ^{2}} = lo g_{6} \frac{d ^{4}}{3 d \cdot 3 d \cdot 4 d ^{2}} = lo g_{6} \frac{1}{36} = - 2$ 。

第 17 題

答案 45。

① 三點的 $x$ 坐標 $2$ 、 $4$ 、 $6$ 間隔都是 $2$ ；共線時斜率相同， $y$ 坐標每次也要增加同樣的量。

② 前兩點： $lo g 15 - lo g 5 = lo g 3$ 。

③ 所以 $lo g x - lo g 15 = lo g 3$ ， $lo g x = lo g 45$ 。

所以 $x = 45$ 。

載入中...

對數方程式解完一定回頭檢查真數；換底時把所有對數都化成同一個比值。

05選填 G～L：常用對數、圖形範圍與應用

第 18 題

答案 28。

① $lo g 3^{60} = 60 lo g 3 \approx 60 \times 0.4771 = 28.626$ 。

② 所以 $3^{60} \approx 1 0^{28.626} = 1 0^{0.626} \times 1 0^{28}$ ，其中 $1 \leq 1 0^{0.626} < 10$ 。

③ 科學記號 $a \times 1 0^{n}$ 的 $n$ 就是對數的整數部分， $n = 28$ 。

第 19 題

答案 $- 3 \leq a \leq 9$ 。

① 正方形中心 $(1, 1)$ 、邊長 $4$ ，所以範圍是 $- 1 \leq x \leq 3$ 、 $- 1 \leq y \leq 3$ 。

② $a = 0$ 時圖形是 $y = 0$ ，會穿過正方形。

③ $a > 0$ 時 $y = a \cdot 3^{x}$ 遞增，在 $- 1 \leq x \leq 3$ 上最小值是 $x = - 1$ 時的 $\frac{a}{3}$ 。要與正方形相交，需 $\frac{a}{3} \leq 3$ ，即 $0 < a \leq 9$ （臨界時通過左上角 $(- 1, 3)$ ）。

④ $a < 0$ 時 $y = a \cdot 3^{x}$ 遞減且全為負，在 $- 1 \leq x \leq 3$ 上最大值是 $\frac{a}{3}$ 。需 $\frac{a}{3} \geq - 1$ ，即 $- 3 \leq a < 0$ （臨界時通過左下角 $(- 1, - 1)$ ）。

合起來 $- 3 \leq a \leq 9$ 。

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第 20 題

答案 $\frac{3}{4}$ 。

① 每隔 $12$ 天變成 $5$ 倍： $\frac{P _{n + 12}}{P _{n}} = (1 + r)^{12} = 5$ ，所以 $lo g_{5} (1 + r) = \frac{1}{12}$ 。

② $\frac{P _{20}}{P _{11}} = (1 + r)^{9}$ 。

③ 所求 $= lo g_{5} \frac{P _{20}}{P _{11}} = 9 lo g_{5} (1 + r) = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ 。

第 21 題

答案 16。

① 由卷頭的等比級數公式，左邊 $= \frac{( \frac{3}{2} ) ^{n} - 1}{\frac{3}{2} - 1} = 2 ((\frac{3}{2})^{n} - 1)$ 。

② 不等式化成 $(\frac{3}{2})^{n} - 1 > 499$ ，即 $(\frac{3}{2})^{n} > 500$ 。

③ 取常用對數： $n (lo g 3 - lo g 2) > lo g 500 = 3 - lo g 2$ ，即 $0.1761 n > 2.6990$ 。

④ $n > 15.32 \dots$ ，最小自然數 $n = 16$ 。

檢查：

(\frac{3}{2})^{15} \approx 437.9 < 500

，

(\frac{3}{2})^{16} \approx 656.8 > 500

。

第 22 題

答案 120。設 $A$ 的 $x$ 坐標為 $p$ ， $\overline{A B} = h$ ，則 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的 $x$ 坐標為 $p + h$ 、 $p + 2 h$ 、 $p + 3 h$ 。

① 鉛直線段長就是函數值： $\overline{A E} = a^{p} = 6$ ， $\overline{D H} = a^{p + 3 h} = 384$ 。

② 相除得 $a^{3 h} = 64$ ，所以 $a^{h} = 4$ ：每往右一格，函數值乘 $4$ 。

③ $\overline{B F} = 6 \times 4 = 24$ ， $\overline{C G} = 24 \times 4 = 96$ 。

所以 $\overline{B F} + \overline{C G} = 120$ 。

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第 23 題

答案 5。

① 由圖， $(1, 3)$ 在圖形上： $3 = a lo g 1 + b$ ， $b = 3$ 。

② $(10, \frac{9}{2})$ 在圖形上： $\frac{9}{2} = a lo g 10 + 3$ ， $a = \frac{3}{2}$ 。

③ 設原蛋糕甜度 $x_{0}$ 、新蛋糕甜度 $x_{1}$ ，要 $\frac{3}{2} lo g x_{1} + 3 > \frac{3}{2} lo g x_{0} + 3 + 1$ 。

④ 整理得 $lo g \frac{x _{1}}{x _{0}} > \frac{2}{3}$ ，即 $\frac{x _{1}}{x _{0}} > 1 0^{\frac{2}{3}} = 3100$ 。

⑤ $4^{3} = 64 < 100 < 125 = 5^{3}$ ，所以 $4 < 3100 < 5$ 。

整數倍至少要 $5$ 倍。

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等距點上的指數函數值成等比；圖形與區域相交看臨界的角落；模型題先由圖上的點定出常數。

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第 7 題（不解方程式，用函數值的範圍夾出 a、b、c）、第 11 題（指數與對數圖形的交點與弦的位置）、選填 H（指數圖形與正方形相交要分 a 的正負）與選填 L（由圖定出常數再比較倍數）最容易失分。

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興大附中 110 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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01配合題 1～5：從基本圖形翻轉、對稱得到新圖形

02單選 6～8：換底、函數值夾範圍、對數律

03多選 9～11：圖形判讀、對數律、反函數圖形

04選填 A～F：對數方程式、利息、對數律

05選填 G～L：常用對數、圖形範圍與應用

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高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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