段考詳解範圍：指數與對數函數（指數律、對數律與換底公式、指數與對數函數的圖形、指數對數方程式、常用對數與應用）

興大附中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 興大附中 110 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 23 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 興大附中 110 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 8 題（費馬數相除後的位數）、第 11 題（指數與對數圖形的交點與凹凸）、選填 H（指數圖形與正方形相交的範圍）與選填 L（由圖定出常數再比較倍數）最容易失分。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

配合題 5 題（每題 2 分）、單選題 3 題（每題 5 分）、多選題 3 題（每題 5 分）、選填題 A～L 共 12 題（每題 5 分），合計 100 分。卷頭附常用數值 log 2 = 0.3010、log 3 = 0.4771、log 7 = 0.8451 與等比級數公式（公比 r 不等於 1 時，首項為 1、公比為 r 的等比級數前 n 項和，等於 r 的 n 次方減 1 再除以 r 減 1）。本頁第 12～23 題依序為原卷選填 A～L。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、配合題(共10分) 第1題至第5題，請將該題函數所對應的圖形，依圖形編號劃記在答案卡上。各題答對者得2分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

配合題（第 1～5 題）（第 1～5 題）　九個圖形 ①～⑨ 畫在第 1 題下方，第 1～5 題共用；各題答案填圖形編號。

設

a > 1

，

y = a^{∣ x ∣}

。

載入中...

設

0 < a < 1

，

y = - a^{x}

。

設

0 < a < 1

，

y = lo g_{a} x

。

設

a > 1

，

y = lo g_{\frac{1}{a}} (- x)

。

設

a > 1

，

y = ∣ lo g_{a} x ∣

。

二、單選題(共15分) 第6題至第8題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請將正確選項畫記在答案卡。各題答對者得5分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

已知

a = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}

、

b = (\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}}

、

c = (\frac{1}{5})^{\frac{1}{5}}

、

d = (\frac{1}{7})^{\frac{1}{7}}

，則此四個數的大小順序為下列何者？

(1) $d < c < b < a$
(2) $a < b < d < c$
(3) $d < c < a < b$
(4) $b < a < d < c$
(5) $b < a < c < d$

已知

a

、

b

、

c

均為正數，且

2^{a} = lo g_{\frac{1}{2}} a

，

(\frac{1}{2})^{b} = lo g_{2} b

，

(\frac{1}{2})^{c} = lo g_{\frac{1}{2}} c

，則此三個數的大小順序為下列何者？

(1) $c < b < a$
(2) $b < c < a$
(3) $c < a < b$
(4) $a < c < b$
(5) $a < b < c$

設

n

為正整數，第

n

個費馬數 ( Fermat Number ) 定義為

F_{n} = 2^{(2^{n})} + 1

，例如

F_{1} = 2^{(2^{1})} + 1 = 2^{2} + 1 = 5

、

F_{2} = 2^{(2^{2})} + 1 = 2^{4} + 1 = 17

。試問

\frac{F _{12}}{F _{10}}

的整數部分以十進位表示時，其位數最接近下列哪一個選項？

(1) $760$
(2) $840$
(3) $920$
(4) $1000$
(5) $1080$

三、多選題(共15分) 第9題至第11題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得5分；答錯1個選項者，得3分；答錯2個選項者，得1分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

在下列圖形中，二次函數

y = a x^{2} + b x

與指數函數

y = (\frac{b}{a})^{x}

之圖形，可能是哪一選項？

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

考慮坐標平面上滿足

4^{x} = (\frac{1}{3})^{y}

的點

P (x, y)

，已知所有可能的點

P (x, y)

構成的圖形為一直線，且該直線斜率為

m

，試問下列哪一個選項是正確的？

(1) $(lo g 3, lo g 4)$ 是一個可能的 $P$ 點
(2) $(0, 0)$ 是一個可能的 $P$ 點
(3) 點 $P (x, y)$ 滿足 $x y \leq 0$
(4) $m \leq - 1$
(5) 若 $(3, y_{1})$ 、 $(4, y_{2})$ 均為 $4^{x} = (\frac{1}{3})^{y}$ 圖形上的點，則 $∣ y_{2} - y_{1} ∣ < 1$

已知

1 < a

，

0 < x_{1} < x_{2}

，設函數

f (x) = a^{x}

與

g (x) = lo g_{a} x

，請選出正確的選項。

(1) $f (x)$ 的圖形與 $g (x)$ 的圖形對稱於直線 $y = x$
(2) $f (x)$ 的圖形與 $g (x)$ 的圖形沒有交點
(3) $f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) < \frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2}$
(4) $g (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) < \frac{g ( x _{1} ) + g ( x _{2} )}{2}$
(5) 點 $(s, t)$ 為函數 $f (x)$ 圖形上之一點，則點 $(t \times a^{2}, s + 2)$ 在函數 $g (x)$ 圖形上

四、選填題(共60分) 說明：第A至L題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（12–38）。每題完全答對給5分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

方程式

3^{x} - 28 \cdot 3^{\frac{x}{2} - 1} + 3 = 0

的解為 ____ 或 ____。

設銀行利率的算法有單利和複利兩種： (I)單利：本利和

S =

本金

P \times (1 + 期利率 \times 期數)

；(II)複利：本利和

S =

本金

P \times (1 + 期利率)^{期數}

。小興準備向銀行貸款1百萬元當做創業基金，其年利率為2%，約定三年期滿一次還清貸款的本利和。銀行貸款一般以複利（每年複利一次）計息還款，但給小興創業優惠改以單利計息還款。此優惠下，小興在三年期滿還款時可以比複利計息少繳 ____ 元？

設

f (x) = \frac{2 a ^{x} + a ^{- x}}{2 a ^{x} - a ^{- x}}

，且

f (α) = 4

，

f (β) = 6

，則

f (α + β) =

____。

求

(lo g_{8} 9 + lo g_{0.25} 3) \times (lo g_{\frac{1}{3}} 0.5 + lo g_{9} 16) + \frac{lo g _{4} 125}{lo g _{8} 5}

之值為 ____。

設

a

，

b

，

c

，

d

皆為正整數，且

a lo g_{5400} 2 + b lo g_{5400} 3 + c lo g_{5400} 5 = d

，則

4 lo g_{6} d - lo g_{6} a - lo g_{6} b - 2 lo g_{6} c

之值為 ____。

若方程式

x^{l o g_{2} x} = \frac{x ^{5}}{64}

的兩根為

α

與

β

，則

α \times β

之值為 ____。

已知

1 < k

，若

lo g_{8} \frac{2}{k}

、

lo g_{4} \frac{1}{k}

、

lo g_{2} \frac{1}{k}

三個數依序成等比，則

k

之值為 ____。

在坐標平面上，

Γ

是邊長為4的正方形，其中心位在點

(1, 1)

，且各邊與坐標軸平行。已知函數

y = a \times 3^{x}

的圖形與

Γ

相交，其中

a

為實數，則

a

的最大可能範圍為 ____

\leq a \leq

____。

傳染病在發生初期時，由於大部分人未感染且無抗體，所以總感染人數大都以指數形式成長。在「初始感染人數為

P_{0}

，且每位已感染者平均一天會傳染給

r

位未感染者」的前提下，

n

天後感染到此疾病的總人數

P_{n}

可以表示為

P_{n} = P_{0} (1 + r)^{n}

，其中

P_{0} \geq 1

且

r > 0

。已知某傳染病初期符合上述數學模型且每隔12天總感染人數會增加為5倍，試試求

lo g_{5} P_{20} - lo g_{5} P_{11}

的值為 ____。(化為最簡分數)

滿足

1 + \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^{2} + \dots + (\frac{3}{2})^{n - 1} > 998

的最小自然數

n

為 ____。

已知

a > 1

，

f (x) = a^{x}

，若

A

、

B

、

C

、

D

為

x

軸上由左至右的四相異點，且

\overline{A B} = \overline{B C} = \overline{C D}

，過

A

、

B

、

C

、

D

作

x

軸垂線分別交

y = f (x)

的圖形於

E

、

F

、

G

、

H

，若

\overline{A E} = 6

，

\overline{D H} = 384

，則

\overline{B F} + \overline{C G}

之值為 ____。

19世紀德國科學家費希納發現 “主觀感覺與刺激強度的對數成正比”的規律。若人類對於食物的甜味感受度

y

(分)和食物本身的甜度

x

(度) 之關係符合上述定律，即

y = a lo g x + b

，其關係如附圖所示。今有某種蛋糕原本讓顧客感受到的甜度為

s

(分)，但是顧客普遍覺得不夠甜，若蛋糕師傅想調整甜度，重新製作一個讓顧客感受到甜度超過

s + 1

(分)的蛋糕，則重新製作的蛋糕本身的甜度至少要變為原來蛋糕的甜度的 ____ 倍。(整數倍) 註：甜味感受度

y

(分)，分數愈高愈甜。甜度

x

(度)，

x

愈大表示含糖量愈高。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題④

第 2 題③

第 3 題⑤

第 4 題⑨

第 5 題⑦

第 6 題(5)

第 7 題(4)

第 8 題(3)

第 9 題(1)(2)(4)

第 10 題(2)(3)(4)

第 11 題(1)(3)(5)

第 12 題

4

或

- 2

第 13 題

1208

第 14 題

13

第 15 題

5

第 16 題

- 2

第 17 題

32

第 18 題

16

第 19 題

- 3 \leq a \leq 9

第 20 題

\frac{3}{4}

第 21 題

16

第 22 題

120

第 23 題

5

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01配合題 1～5：由基本圖形翻轉、對稱得到新圖形

第 1 題

答案 ④。

① 當 $x \geq 0$ 時 $y = a^{x}$ ， $a > 1$ 所以往右遞增，且通過 $(0, 1)$ 。

② 當 $x < 0$ 時 $a^{∣ x ∣} = a^{- x}$ ，圖形是右半部對 $y$ 軸的對稱。

③ 合起來是對稱於 $y$ 軸、最低點 $(0, 1)$ 的 V 形曲線，在 $x$ 軸上方，是圖④。

載入中...

第 2 題

答案 ③。

① $0 < a < 1$ 時 $y = a^{x}$ 在 $x$ 軸上方、往右遞減、通過 $(0, 1)$ 。

② $y = - a^{x}$ 是它對 $x$ 軸翻下來：整條在 $x$ 軸下方、通過 $(0, - 1)$ 、往右遞增並貼近 $x$ 軸，是圖③。

載入中...

第 3 題

答案 ⑤。

① 定義域 $x > 0$ ，圖形在 $y$ 軸右側，以 $y$ 軸為漸近線，通過 $(1, 0)$ 。

② 底數 $0 < a < 1$ ，圖形往右遞減：靠近 $y$ 軸時往上衝，過 $(1, 0)$ 後落到 $x$ 軸下方，是圖⑤。

載入中...

第 4 題

答案 ⑨。

① 換底： $lo g_{\frac{1}{a}} (- x) = \frac{lo g ( - x )}{- lo g a} = - lo g_{a} (- x)$ 。

② $y = lo g_{a} (- x)$ 是 $y = lo g_{a} x$ 對 $y$ 軸的對稱，在 $y$ 軸左側、通過 $(- 1, 0)$ 。

③ 再加負號，對 $x$ 軸翻轉：靠近 $y$ 軸時往上衝，往左遞減到 $x$ 軸下方。也就是由左往右遞增、在 $y$ 軸左側的圖⑨。

載入中...

第 5 題

答案 ⑦。

① $a > 1$ 時 $y = lo g_{a} x$ 往右遞增， $0 < x < 1$ 那段在 $x$ 軸下方。

② 加上絕對值，把 $x$ 軸下方那段翻到上方：圖形全在 $x$ 軸上或上方，在 $(1, 0)$ 碰到 $x$ 軸，左段陡、右段緩，是圖⑦。

載入中...

圖⑧是

y = lo g_{a} ∣ x ∣

（對

y

軸對稱），圖⑥是

y = lo g_{a} x

本身，別和⑦混淆。

先認出基本圖形 y 等於 a 的 x 次方與 y 等於以 a 為底 x 的對數，再看式子是對哪一條軸翻轉、或把哪一段翻上來。

02單選 6～8：同次方比大小、函數值夾範圍、位數

第 6 題

答案 (5)。四個數都是正數，兩兩比較時各自乘方成同一個次方再比。

① $a^{6} = (\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$ ， $b^{6} = (\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$ 。 $\frac{1}{8} > \frac{1}{9}$ ，所以 $a > b$ 。

② $a^{10} = (\frac{1}{2})^{5} = \frac{1}{32}$ ， $c^{10} = (\frac{1}{5})^{2} = \frac{1}{25}$ 。 $\frac{1}{25} > \frac{1}{32}$ ，所以 $c > a$ 。

③ $c^{35} = (\frac{1}{5})^{7} = \frac{1}{78125}$ ， $d^{35} = (\frac{1}{7})^{5} = \frac{1}{16807}$ 。所以 $d > c$ 。

所以 $b < a < c < d$ 。

載入中...

正數

p

、

q

比大小時，

p^{n}

與

q^{n}

（

n

為正整數）的大小關係和

p

、

q

相同，所以可以挑一個能把分數指數消掉的次方。

第 7 題

答案 (4)。不必解出交點，只要看等號兩邊的值落在哪裡。

① $a > 0$ 時 $2^{a} > 1$ ，所以 $lo g_{\frac{1}{2}} a > 1 = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$ 。底數小於 $1$ ，得 $a < \frac{1}{2}$ 。

② $b > 0$ 時 $0 < (\frac{1}{2})^{b} < 1$ ，所以 $0 < lo g_{2} b < 1$ ，得 $1 < b < 2$ 。

③ $c > 0$ 時 $0 < (\frac{1}{2})^{c} < 1$ ，所以 $0 < lo g_{\frac{1}{2}} c < 1$ ，得 $\frac{1}{2} < c < 1$ 。

所以 $a < c < b$ 。

載入中...

第 8 題

答案 (3)。 $\frac{F _{12}}{F _{10}} = \frac{2 ^{4096} + 1}{2 ^{1024} + 1}$ ，先把它夾在兩個 $2$ 的次方之間。

① 上界： $(2^{1024} + 1) \times 2^{3072} = 2^{4096} + 2^{3072} > 2^{4096} + 1$ ，所以 $\frac{F _{12}}{F _{10}} < 2^{3072}$ 。

② 下界：分母 $2^{1024} + 1 < 2 \times 2^{1024}$ ，分子大於 $2^{4096}$ ，所以 $\frac{F _{12}}{F _{10}} > \frac{2 ^{4096}}{2 ^{1025}} = 2^{3071}$ 。

③ $lo g 2^{3071} \approx 3071 \times 0.3010 = 924.371$ ， $lo g 2^{3072} \approx 3072 \times 0.3010 = 924.672$ 。

④ 兩者都在 $924$ 與 $925$ 之間，所以 $1 0^{924} < \frac{F _{12}}{F _{10}} < 1 0^{925}$ ，整數部分是 $925$ 位數。

選項中最接近的是 $920$ 。

比大小先找共同次方；方程式的解不必算出，看兩邊的值域就能夾出位置；位數只要夾在兩個 10 的次方之間。

03多選 9～11：拋物線與指數圖形、取對數成直線、指數與對數圖形的性質

第 9 題

答案 (1)(2)(4)。 $y = a x^{2} + b x = x (a x + b)$ 與 $x$ 軸交於 $x = 0$ 與 $x = - \frac{b}{a}$ ；指數函數的底數 $\frac{b}{a}$ 就是另一個交點到原點的距離。

① 另一交點在 $- 1$ 與 $1$ 之間（不含 $0$ ）時，底數小於 $1$ ，指數圖形遞減；在 $- 1$ 左邊或 $1$ 右邊時，底數大於 $1$ ，指數圖形遞增。

(1) 正確。 拋物線另一交點在 $0$ 與 $1$ 之間，指數圖形遞減，相符。

(2) 正確。 另一交點在 $- 1$ 與 $0$ 之間，指數圖形遞減，相符。

(3) 錯誤。 另一交點在 $- 1$ 的左邊，底數大於 $1$ ，指數圖形應遞增，圖中卻遞減。

(4) 正確。 另一交點在 $1$ 的右邊，指數圖形遞增，相符。

(5) 錯誤。 另一交點在 $- 1$ 與 $0$ 之間，指數圖形應遞減，圖中卻遞增。

載入中...

題幹寫「可能是哪一選項」，但本題在多選題大題，正確選項有三個，照學校答案作答。

第 10 題

答案 (2)(3)(4)。兩邊取常用對數： $x lo g 4 = y lo g \frac{1}{3} = - y lo g 3$ ，所以

$y = - \frac{lo g 4}{lo g 3} x, m = - \frac{lo g 4}{lo g 3}$

是一條過原點的直線。

(1) 錯誤。 $x = lo g 3$ 時 $y = - lo g 4$ ，不是 $lo g 4$ 。

(2) 正確。 $x = 0$ 時 $y = 0$ ，原點在直線上。

(3) 正確。 $x y = - \frac{lo g 4}{lo g 3} x^{2} \leq 0$ 。

(4) 正確。 $lo g 4 > lo g 3 > 0$ ，所以 $\frac{lo g 4}{lo g 3} > 1$ ， $m < - 1$ 。

(5) 錯誤。 $∣ y_{2} - y_{1} ∣ = ∣ m ∣ \times (4 - 3) = \frac{lo g 4}{lo g 3} > 1$ 。

載入中...

題幹寫「哪一個選項」，但本題在多選題大題，正確選項有三個，照學校答案作答。

第 11 題

答案 (1)(3)(5)。

(1) 正確。 $y = a^{x}$ 與 $y = lo g_{a} x$ 互為反函數，圖形對稱於直線 $y = x$ 。

(2) 錯誤。 舉例： $a = 2$ 時， $f (2) = (2)^{2} = 2$ ， $g (2) = lo g_{2} 2 = 2$ ，兩圖形交於 $(2, 2)$ 。

(3) 正確。 $f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) = a^{\frac{x _{1} + x _{2}}{2}} = a^{x_{1}} a^{x_{2}}$ 。

由算幾不等式，它小於 $\frac{a ^{x_{1}} + a ^{x_{2}}}{2}$ （ $x_{1} \neq = x_{2}$ ，兩數不相等，等號不成立）。

(4) 錯誤。 $\frac{g ( x _{1} ) + g ( x _{2} )}{2} = lo g_{a} x_{1} x_{2}$ ，而 $\frac{x _{1} + x _{2}}{2} > x_{1} x_{2}$ ，底數 $a > 1$ ，所以 $g (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) > \frac{g ( x _{1} ) + g ( x _{2} )}{2}$ ，不等號方向相反。

(5) 正確。 $t = a^{s}$ ，所以 $g (t \times a^{2}) = lo g_{a} (a^{s + 2}) = s + 2$ ，點 $(t \times a^{2}, s + 2)$ 在 $g (x)$ 的圖形上。

載入中...

從圖看：

y = a^{x}

圖形上兩點連成的弦在曲線上方，所以中點處函數值小於兩端平均；

y = lo g_{a} x

的弦在曲線下方，方向相反。

看圖題先把圖形和 x 軸的交點、通過的點翻譯成代數條件；指數圖形的弦在曲線上方、對數圖形的弦在下方。

04選填 A～F：換元解方程式、複利、指數式化簡、換底、質因數比對、取對數

第 12 題

答案 4 或 −2。 $3^{\frac{x}{2} - 1} = \frac{1}{3} \cdot 3^{\frac{x}{2}}$ ，令 $u = 3^{\frac{x}{2}} > 0$ ，則 $3^{x} = u^{2}$ 。

① 原式化成 $u^{2} - \frac{28}{3} u + 3 = 0$ ，即 $3 u^{2} - 28 u + 9 = 0$ 。

② 因式分解 $(3 u - 1) (u - 9) = 0$ ， $u = \frac{1}{3}$ 或 $u = 9$ ，兩者都是正數。

③ $3^{\frac{x}{2}} = 3^{- 1}$ 得 $x = - 2$ ； $3^{\frac{x}{2}} = 3^{2}$ 得 $x = 4$ 。

第 13 題

答案 1208。本金 $P = 1000000$ 元，年利率 $2%$ ，期數 $3$ 。

① 複利本利和： $1000000 \times 1.0 2^{3} = 1000000 \times 1.061208 = 1061208$ （元）。

② 單利本利和： $1000000 \times (1 + 0.02 \times 3) = 1060000$ （元）。

③ 少繳 $1061208 - 1060000 = 1208$ （元）。

第 14 題

答案 13。分子分母同乘 $a^{x}$ ，令 $t = a^{2 x}$ ：

$f (x) = \frac{2 a ^{2 x} + 1}{2 a ^{2 x} - 1} = \frac{2 t + 1}{2 t - 1}$

① $f (α) = 4$ ： $2 t + 1 = 4 (2 t - 1)$ ，得 $a^{2 α} = \frac{5}{6}$ 。

② $f (β) = 6$ ： $2 t + 1 = 6 (2 t - 1)$ ，得 $a^{2 β} = \frac{7}{10}$ 。

③ $a^{2 (α + β)} = a^{2 α} \cdot a^{2 β} = \frac{5}{6} \times \frac{7}{10} = \frac{7}{12}$ 。

④ $f (α + β) = \frac{2 \times \frac{7}{12} + 1}{2 \times \frac{7}{12} - 1} = \frac{\frac{26}{12}}{\frac{2}{12}} = 13$ 。

第 15 題

答案 5。都換成以 $2$ 或 $3$ 為底。

① $lo g_{8} 9 = \frac{2}{3} lo g_{2} 3$ ， $lo g_{0.25} 3 = lo g_{2^{- 2}} 3 = - \frac{1}{2} lo g_{2} 3$ ，相加得 $\frac{1}{6} lo g_{2} 3$ 。

② $lo g_{\frac{1}{3}} 0.5 = lo g_{3^{- 1}} 2^{- 1} = lo g_{3} 2$ ， $lo g_{9} 16 = lo g_{3^{2}} 2^{4} = 2 lo g_{3} 2$ ，相加得 $3 lo g_{3} 2$ 。

③ 乘積： $\frac{1}{6} lo g_{2} 3 \times 3 lo g_{3} 2 = \frac{1}{2}$ 。

④ $\frac{lo g _{4} 125}{lo g _{8} 5} = \frac{\frac{3}{2} lo g _{2} 5}{\frac{1}{3} lo g _{2} 5} = \frac{9}{2}$ 。

合計 $\frac{1}{2} + \frac{9}{2} = 5$ 。

第 16 題

答案 −2。左邊合併成一個對數： $lo g_{5400} (2^{a} 3^{b} 5^{c}) = d$ ，即

$2^{a} \cdot 3^{b} \cdot 5^{c} = 540 0^{d}$

① $5400 = 2^{3} \times 3^{3} \times 5^{2}$ ，所以 $540 0^{d} = 2^{3 d} \cdot 3^{3 d} \cdot 5^{2 d}$ 。

② 質因數分解唯一，比對次方得 $a = 3 d$ ， $b = 3 d$ ， $c = 2 d$ 。

③ 所求 $= lo g_{6} \frac{d ^{4}}{a \cdot b \cdot c ^{2}} = lo g_{6} \frac{d ^{4}}{3 d \cdot 3 d \cdot 4 d ^{2}} = lo g_{6} \frac{1}{36} = - 2$ 。

第 17 題

答案 32。兩邊都是正數（ $x > 0$ ），取以 $2$ 為底的對數，令 $t = lo g_{2} x$ ：

① 左邊 $lo g_{2} x^{l o g_{2} x} = t^{2}$ ，右邊 $lo g_{2} \frac{x ^{5}}{64} = 5 t - 6$ 。

② $t^{2} - 5 t + 6 = 0$ ， $(t - 2) (t - 3) = 0$ ， $t = 2$ 或 $3$ ，即 $x = 4$ 或 $8$ 。

③ $α \times β = 4 \times 8 = 32$ 。

也可以用根與係數：

lo g_{2} α + lo g_{2} β = 5

，所以

α β = 2^{5}

。

指數方程式找共同的底換元；對數式先統一底數；正整數的對數等式化回指數式後比對質因數。

05選填 G～L：等比中項、圖形與正方形相交、成長模型、等比級數、等距點、甜度模型

第 18 題

答案 16。令 $L = lo g_{2} k$ ，因為 $k > 1$ ， $L > 0$ 。

① 三數依序為 $lo g_{8} \frac{2}{k} = \frac{1 - L}{3}$ ， $lo g_{4} \frac{1}{k} = - \frac{L}{2}$ ， $lo g_{2} \frac{1}{k} = - L$ 。

② 等比中項： $(- \frac{L}{2})^{2} = \frac{1 - L}{3} \times (- L)$ 。

③ 兩邊同除以 $L$ ： $\frac{L}{4} = - \frac{1 - L}{3}$ ， $3 L = 4 L - 4$ ， $L = 4$ 。

所以 $k = 2^{4} = 16$ （三數為 $- 1$ 、 $- 2$ 、 $- 4$ ，公比 $2$ ）。

第 19 題

答案 −3、9（ $- 3 \leq a \leq 9$ ）。正方形 $Γ$ 中心 $(1, 1)$ 、邊長 $4$ ，範圍是 $- 1 \leq x \leq 3$ 、 $- 1 \leq y \leq 3$ 。

① $a = 0$ ： $y = 0$ 穿過 $Γ$ 。

② $a > 0$ ： $y = a \cdot 3^{x}$ 遞增，在 $- 1 \leq x \leq 3$ 上最低點在 $x = - 1$ ，值為 $\frac{a}{3}$ 。要碰到 $Γ$ ，需要 $\frac{a}{3} \leq 3$ ，即 $a \leq 9$ ；這時圖形一定穿過正方形。

③ $a < 0$ ： $y = a \cdot 3^{x}$ 遞減，最高點在 $x = - 1$ ，值為 $\frac{a}{3}$ 。需要 $\frac{a}{3} \geq - 1$ ，即 $a \geq - 3$ 。

所以 $- 3 \leq a \leq 9$ ；臨界時圖形分別通過左上角 $(- 1, 3)$ 與左下角 $(- 1, - 1)$ 。

載入中...

第 20 題

答案 $\frac{3}{4}$ 。

① 每隔 $12$ 天增為 $5$ 倍： $P_{n + 12} = 5 P_{n}$ ，即 $(1 + r)^{12} = 5$ ，所以 $lo g_{5} (1 + r) = \frac{1}{12}$ 。

② $lo g_{5} P_{20} - lo g_{5} P_{11} = lo g_{5} \frac{P _{20}}{P _{11}} = lo g_{5} (1 + r)^{9} = 9 \times \frac{1}{12} = \frac{3}{4}$ 。

第 21 題

答案 16。用卷頭的等比級數公式，公比 $\frac{3}{2}$ ：

$1 + \frac{3}{2} + \dots + (\frac{3}{2})^{n - 1} = \frac{( \frac{3}{2} ) ^{n} - 1}{\frac{3}{2} - 1} = 2 [(\frac{3}{2})^{n} - 1]$

① 不等式化成 $(\frac{3}{2})^{n} > 500$ 。

② 取常用對數： $n (lo g 3 - lo g 2) > lo g 500 = 3 - lo g 2$ ，即 $n \times 0.1761 > 2.6990$ 。

③ $n > 15.32 \dots$ ，最小自然數 $n = 16$ 。

檢查：

(\frac{3}{2})^{15} \approx 437.9 < 500

，

(\frac{3}{2})^{16} \approx 656.8 > 500

。

第 22 題

答案 120。設 $A$ 的 $x$ 坐標為 $p$ ， $\overline{A B} = h$ ，則 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的 $x$ 坐標為 $p + h$ 、 $p + 2 h$ 、 $p + 3 h$ 。

① 鉛直線段長就是函數值： $\overline{A E} = a^{p} = 6$ ， $\overline{D H} = a^{p + 3 h} = 384$ 。

② 相除得 $a^{3 h} = 64$ ，所以 $a^{h} = 4$ ：每往右一格，函數值乘 $4$ 。

③ $\overline{B F} = 6 \times 4 = 24$ ， $\overline{C G} = 24 \times 4 = 96$ 。

所以 $\overline{B F} + \overline{C G} = 120$ 。

載入中...

第 23 題

答案 5。

① 由圖， $(1, 3)$ 在圖形上： $3 = a lo g 1 + b$ ， $b = 3$ 。

② $(10, \frac{9}{2})$ 在圖形上： $\frac{9}{2} = a + 3$ ， $a = \frac{3}{2}$ 。

③ 設原蛋糕甜度 $x_{0}$ 、新蛋糕甜度 $x_{1}$ 。要 $\frac{3}{2} lo g x_{1} + 3 > (\frac{3}{2} lo g x_{0} + 3) + 1$ ，即 $lo g \frac{x _{1}}{x _{0}} > \frac{2}{3}$ 。

④ $\frac{x _{1}}{x _{0}} > 1 0^{\frac{2}{3}} = 3100$ ，而 $4^{3} = 64 < 100 < 125 = 5^{3}$ ，所以 $4 < 3100 < 5$ 。

整數倍至少要 $5$ 倍。

載入中...

等距點上的指數函數值成等比；圖形與區域相交看端點的臨界位置；模型題先由圖上的點定出常數。

這一章的單元冊

每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

興大附中 110 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 23 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 110 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 8 題（費馬數相除後的位數）、第 11 題（指數與對數圖形的交點與凹凸）、選填 H（指數圖形與正方形相交的範圍）與選填 L（由圖定出常數再比較倍數）最容易失分。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自興大附中 110 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

興大附中 110 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 23 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01配合題 1～5：由基本圖形翻轉、對稱得到新圖形

02單選 6～8：同次方比大小、函數值夾範圍、位數

03多選 9～11：拋物線與指數圖形、取對數成直線、指數與對數圖形的性質

04選填 A～F：換元解方程式、複利、指數式化簡、換底、質因數比對、取對數

05選填 G～L：等比中項、圖形與正方形相交、成長模型、等比級數、等距點、甜度模型

這一章的單元冊

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

興大附中 110 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

興大附中 110 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

興大附中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

興大附中 110 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

興大附中 110 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？