段考詳解範圍：數與式（有理數與無理數、絕對值與數線上的分點、乘法公式與根式）、指數與算幾不等式、常用對數

基隆高中 111 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 6 題（30 分）、多選題 4 題（20 分）、選填題 7 題（35 分）、混合題 1 題組 2 小題（15 分）。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

第壹部分：選擇（填）題（占 85 分）一、單選題（每題 5 分，共 30 分）

9 + 48

介於哪兩個整數之間？

(A) $0 \sim 1$ 之間
(B) $1 \sim 2$ 之間
(C) $2 \sim 3$ 之間
(D) $3 \sim 4$ 之間
(E) $4 \sim 5$ 之間

已知

a

、

b

均大於

0

，

6 a^{2} + b^{2}

可化簡為下列何者？

(A) $a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}$
(B) $(a^{2} + b^{2})^{\frac{1}{6}}$
(C) $a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}$
(D) $3 a + b$
(E) $3 ab$

若

a = (0.5)^{0.5}

，下列何者正確？

(A) $a < 0.5$
(B) $0.5 \leq a < 0.6$
(C) $0.6 \leq a < 0.7$
(D) $0.7 \leq a < 0.8$
(E) $a \geq 0.8$

設

a, b

為實數，且

a < b

，令甲

= \frac{a + b}{2}

，乙

= \frac{5 a + 2 b}{7}

，丙

= \frac{11 a + 3 b}{14}

，則甲、乙、丙之大小順序為何？

(A) 甲 $>$ 乙 $>$ 丙
(B) 乙 $>$ 甲 $>$ 丙
(C) 乙 $>$ 丙 $>$ 甲
(D) 丙 $>$ 甲 $>$ 乙
(E) 丙 $>$ 乙 $>$ 甲

計算

(2 + 1)^{2022} \times (2 - 1)^{2022} =

？

(A) $0$
(B) $\frac{1}{2}$
(C) $1$
(D) $2$
(E) 無窮大

關於下列式子，試選出正確的選項。

(A) $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} + ab + b^{2})$
(B) $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} - ab - b^{2})$
(C) $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$
(D) $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3}$
(E) $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

二、多選題（每題 5 分，共 20 分）（錯 1 個，得 3 分；錯 2 個，得 1 分；錯 3 個以上，得 0 分）

下列哪些分數可化成有限小數？

(A) $\frac{9}{50}$
(B) $\frac{5}{60}$
(C) $\frac{37}{14}$
(D) $\frac{63}{30}$
(E) $\frac{137}{16}$

試選出正確的選項。

(A) $169$ 是有理數
(B) $0. \overline{69}$ 是有理數
(C) $0. \overline{9} = 1$
(D) $0. \overline{31} + 0. \overline{69} = 1$
(E) $0. \overline{34} = 0. \overline{343}$

關於常用對數的敘述，下列哪些選項是正確的？

(A) $lo g 1 = 0$
(B) $lo g 10 = 1$
(C) $1 0^{l o g 2} > 1$
(D) $10 0^{l o g 2} = 2$
(E) $1 0^{2 l o g 3} > 1 0^{3 l o g 2}$

試選出正確的選項。

(A) $0^{2022} = 0$
(B) $0^{- 2} = 0$
(C) $(- 2)^{0.5} = (- 2)^{\frac{1}{2}} = ((- 2)^{2})^{\frac{1}{4}} = 4^{\frac{1}{4}} = 2$
(D) $(π)^{0} = 1$
(E) $(- 3)^{- 2} > 0$

三、選填題（每題 5 分，共 35 分）說明：第 A 題至第 G 題，每題 5 分。｜（原卷題號 A～G，本頁編為第 11～17 題）

（原卷 A）循環小數

0.1 \overline{07}

化為最簡分數為 ____。（原卷的答案格是一個分數，分子兩格、分母三格）

（原卷 B）設

∣ a x - 6∣ \leq b

的解為

- 5 \leq x \leq - 1

，則

a + b =

____。

（原卷 C）化簡

8 + 215 = a + b

，其中

a > b

，求數對

(a, b) =

( ____ , ____ )。

（原卷 D）方程式

∣ x + 2∣ + ∣2 x - 5∣ = 6

之解

x = a

或

x = b

，其中

a > b

，求數對

(a, b) =

( ____ , ____ )。

（原卷 E）設

a > 0

，

x

為實數，若

a^{2 x} = 2

，試求

\frac{a ^{3 x} - a ^{- 3 x}}{a ^{x} + a ^{- x}} =

____。（原卷的答案格是一個分數，分子、分母各一格）

（原卷 F）已知

a, b

為實數，若

(a + b)^{3}

比

a^{3} + b^{3}

多了

720

，

(a - b)^{3}

比

a^{3} - b^{3}

少了

144

，求數對

(a, b) =

( ____ , ____ )。

（原卷 G）已知直角三角形斜邊上的高其長度為

5

，則直角三角形的最小面積為 ____。（原卷的答案格是兩格）

第貳部分、混合題或非選擇題（占 15 分）｜（原卷題號 27、28，本頁編為第 18、19 題）

題組（原卷第 27～28 題，本頁第 18～19 題）（第 18～19 題）　「萊克多巴胺」為乙型受體素類（在畜牧界俗稱為瘦肉精）之動物飼料添加物，以增加牛、豬體重及改善飼料效率，提高瘦肉比率。衛福部於 101 年修正「動物用藥殘留標準」，將牛肌肉之萊克多巴胺最大殘留容許量（MRL）訂為

0.01

ppm，其他肉品則未訂定，即不得檢出。依據世界衛生組織聯合食品添加物專家委員會（JECFA, 2004）的報告指出萊克多巴胺於動物體中可迅速經由尿液或排泄物代謝，在人類血漿中之半衰期約

4

小時。（資料來源—食藥署「108 食用肉品暴露萊克多巴胺之健康風險評估報告」）請依上文中的資訊回答下列問題：

（原卷第 27 題）所謂的 ppm 即百萬分率（Parts Per Million），定義為

100

萬分之

1

。依照標準所示，每斤的牛肌肉檢驗出萊克多巴胺最大殘留容許量為多少微克（

1 0^{- 6}

克）？（不考慮精準度是否四捨五入）（5 分）（單選）＊一斤

= 600

克

(A) $0.01$
(B) $0.1$
(C) $1$
(D) $6$
(E) $10$

（原卷第 28 題）血漿「半衰期」指的是藥物在生物體內濃度下降一半所需要的時間。當殘留的藥物濃度為原來的

\frac{1}{32}

時，可認定為代謝完成。試問一般人食用含萊克多巴胺的豬肉需多少小時可代謝完成？（10 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(B)

第 3 題(D)

第 4 題(A)

第 5 題(C)

第 6 題(E)

第 7 題(A)(D)(E)

第 8 題(A)(B)(C)

第 9 題(A)(B)(C)(E)

第 10 題(A)(D)(E)

第 11 題

\frac{53}{495}

第 12 題

2

第 13 題

(5, 3)

第 14 題

(3, 1)

第 15 題

\frac{7}{6}

第 16 題

(6, 4)

第 17 題

25

第 18 題(D)

第 19 題

20

小時

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～6：根式的估計、分數指數、分點公式、乘法公式

第 1 題答案 (D)。先估裡面的根號：

36 < 48 < 49

，所以

6 < 48 < 7

，

15 < 9 + 48 < 16

。再開根號：

9 < 15 < 9 + 48 < 16

，所以

3 < 9 + 48 < 4

。

48 \approx 6.93

，

9 + 48 \approx 15.93

，很接近

16

但沒有到，所以答案很接近

4

但仍小於

4

。

第 2 題答案 (B)。

a^{2} + b^{2} > 0

，由分數指數的定義

n k = k^{\frac{1}{n}}

，

6 a^{2} + b^{2} = (a^{2} + b^{2})^{\frac{1}{6}}

，只能這樣改寫。

根號（或指數）不能分給加法的每一項：取

a = b = 1

，原式是

62 \approx 1.12

，而 (A) 是

2

、(C) 是

1

、(D) 是

32 \approx 1.26

、(E) 是

1

，都不相等。

第 3 題答案 (D)。

a = (0.5)^{0.5} = 0.5

，所以

a > 0

且

a^{2} = 0.5

。因為

0. 7^{2} = 0.49 \leq 0.5 < 0.64 = 0. 8^{2}

，而正數的平方愈大本身愈大，所以

0.7 \leq a < 0.8

。

也可以寫成

a = \frac{1}{2} = \frac{2}{2} \approx \frac{1.414}{2} = 0.707

。底數在

0

與

1

之間時，開根號反而變大，所以

a

比

0.5

大。

第 4 題答案 (A)。把三個數都寫成「

a

加上

(b - a)

的幾倍」：甲

= a + \frac{1}{2} (b - a)

，乙

= \frac{5 a + 2 b}{7} = a + \frac{2}{7} (b - a)

，丙

= \frac{11 a + 3 b}{14} = a + \frac{3}{14} (b - a)

。因為

b - a > 0

，倍數愈大數愈大。通分比較：

\frac{1}{2} = \frac{7}{14}

，

\frac{2}{7} = \frac{4}{14}

，

\frac{3}{14}

，所以甲

>

乙

>

丙。

這三個數都是數線上

a

、

b

之間的分點（分點公式）：

b

的係數占的比例愈大，點愈靠近

b

，也就愈大。也可以直接相減：甲

-

乙

= \frac{3 ( b - a )}{14} > 0

，乙

-

丙

= \frac{b - a}{14} > 0

。

第 5 題答案 (C)。指數相同，先把底數相乘：

(2 + 1)^{2022} \times (2 - 1)^{2022} = [(2 + 1) (2 - 1)]^{2022}

。由平方差公式，

(2 + 1) (2 - 1) = 2 - 1 = 1

，所以原式

= 1^{2022} = 1

。

第 6 題答案 (E)。逐一對照乘法公式。(A) 錯：立方和是

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

，中間是減號。(B) 錯：立方差是

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

，後面兩項都是加號。(C) 錯：

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

，少了

2 ab

。(D) 錯：

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

，少了中間兩項。(E) 對：

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

。

不確定時代數字檢查：取

a = 2

、

b = 1

，(A) 左邊

9

、右邊

3 \times 7 = 21

；(B) 左邊

7

、右邊

1 \times 1 = 1

；(C) 左邊

9

、右邊

5

；(D) 左邊

27

、右邊

9

；(E) 左邊

1

、右邊

8 - 12 + 6 - 1 = 1

。

估根式的大小用平方去夾；分數指數與根號都不能分配給加法；比較分點的大小看兩端係數的比例。

02多選 7～10：有限小數、循環小數、常用對數、指數的定義

第 7 題答案 (A)(D)(E)。先約成最簡分數，再看分母：分母的質因數只有

2

和

5

才能化成有限小數。(A) 對：

\frac{9}{50}

已最簡，

50 = 2 \times 5^{2}

，

\frac{9}{50} = 0.18

。(B) 錯：

\frac{5}{60} = \frac{1}{12}

，

12 = 2^{2} \times 3

有質因數

3

。(C) 錯：

\frac{37}{14}

已最簡，

14 = 2 \times 7

有質因數

7

。(D) 對：

\frac{63}{30} = \frac{21}{10} = 2.1

。(E) 對：

16 = 2^{4}

，

\frac{137}{16} = 8.5625

。

一定要先約分再判斷：(D) 的分母

30

有質因數

3

，但被分子的

63

約掉了；(B) 的分母

60

約分之後

3

還在。

第 8 題答案 (A)(B)(C)。(A) 對：

169 = 13

是整數，當然是有理數。(B) 對：循環小數都可以化成分數，

0. \overline{69} = \frac{69}{99} = \frac{23}{33}

。(C) 對：

0. \overline{9} = \frac{9}{9} = 1

。(D) 錯：

0. \overline{31} + 0. \overline{69} = \frac{31}{99} + \frac{69}{99} = \frac{100}{99} = 1. \overline{01}

，比

1

大。(E) 錯：

0. \overline{34} = 0.343434 \dots

，

0. \overline{343} = 0.343343 \dots

，小數點後第

4

位一個是

4

、一個是

3

，不相等。

(D) 容易想成

0.31 + 0.69 = 1

；但循環小數後面還有數字，

0.3131 \dots + 0.6969 \dots = 1.0101 \dots

。

第 9 題答案 (A)(B)(C)(E)。

lo g k

的意義是「

10

的幾次方等於

k

」，所以

1 0^{l o g k} = k

。(A) 對：

1 0^{0} = 1

，所以

lo g 1 = 0

。(B) 對：

1 0^{1} = 10

，所以

lo g 10 = 1

。(C) 對：

1 0^{l o g 2} = 2 > 1

。(D) 錯：

10 0^{l o g 2} = (1 0^{2})^{l o g 2} = (1 0^{l o g 2})^{2} = 2^{2} = 4

，不是

2

。(E) 對：

1 0^{2 l o g 3} = (1 0^{l o g 3})^{2} = 3^{2} = 9

，

1 0^{3 l o g 2} = (1 0^{l o g 2})^{3} = 2^{3} = 8

，

9 > 8

。

第 10 題答案 (A)(D)(E)。(A) 對：

2022

個

0

相乘是

0

。(B) 錯：負指數的定義是

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

（

a \neq = 0

），

0^{- 2}

會變成

\frac{1}{0}

，沒有定義。(C) 錯：分數指數的底數必須是正數，

(- 2)^{0.5}

沒有定義，後面的等式都不能寫。(D) 對：

π \neq = 0

，所以

π^{0} = 1

。(E) 對：

(- 3)^{- 2} = \frac{1}{( - 3 ) ^{2}} = \frac{1}{9} > 0

。

\frac{1}{2}

換成

\frac{2}{4}

就會算出

2

，但沒有任何實數的平方是

- 2

，前後矛盾。(E) 的負指數是取倒數，不是變成負數。

有限小數看約分後的分母；指數題先看底數：零指數與負指數的底數不可為

0

，分數指數的底數要是正數。

03選填 A～D（第 11～14 題）：循環小數、絕對值不等式與方程式、雙重根號

第 11 題循環節是橫線底下的

07

，前面的

1

不循環。設

x = 0.1 \overline{07} = 0.1070707 \dots

，則

10 x = 1.070707 \dots

，

1000 x = 107.070707 \dots

。相減：

990 x = 106

，所以

x = \frac{106}{990} = \frac{53}{495}

。

53

是質數，

495 = 3^{2} \times 5 \times 11

，已經是最簡分數。

如果把橫線看成蓋住

107

三個數字，會得到

\frac{107}{999}

，分子是三位數，和答案格（分子兩格）對不上。

第 12 題

∣ a x - 6∣ \leq b

就是

- b \leq a x - 6 \leq b

，也就是

6 - b \leq a x \leq 6 + b

。解

- 5 \leq x \leq - 1

的兩個端點要讓等號成立，所以

x = - 5

與

x = - 1

代入，

a x

一個是

6 - b

、一個是

6 + b

，兩者相加：

- 5 a + (- a) = (6 - b) + (6 + b) = 12

，得

a = - 2

。這時

a x

在

x = - 5

是

10

、在

x = - 1

是

2

，所以

6 + b = 10

，

b = 4

。驗算：

∣ - 2 x - 6∣ \leq 4

即

∣ x + 3∣ \leq 2

，解是

- 5 \leq x \leq - 1

。所以

a + b = - 2 + 4 = 2

。

另一種看法：解的中點是

- 3

、半徑是

2

，所以解是

∣ x + 3∣ \leq 2

；兩邊同乘

2

得

∣2 x + 6∣ \leq 4

，而

∣2 x + 6∣ = ∣ - 2 x - 6∣

，對照

∣ a x - 6∣ \leq b

得

a = - 2

、

b = 4

。

a

是負的，別寫成

2

。

第 13 題找兩個數，和是

8

、積是

15

：

5

和

3

。所以

8 + 215 = 5 + 3 + 2 5 \times 3 = (5 + 3)^{2}

，

8 + 215 = 5 + 3

。因為

a > b

，

(a, b) = (5, 3)

。

第 14 題絕對值裡面變號的地方是

x = - 2

與

x = \frac{5}{2}

，分三段。①

x < - 2

：

- (x + 2) - (2 x - 5) = 6

，

- 3 x + 3 = 6

，

x = - 1

，不在這一段，不合。②

- 2 \leq x < \frac{5}{2}

：

(x + 2) - (2 x - 5) = 6

，

- x + 7 = 6

，

x = 1

，在這一段，合。③

x \geq \frac{5}{2}

：

(x + 2) + (2 x - 5) = 6

，

3 x - 3 = 6

，

x = 3

，在這一段，合。所以解是

x = 3

或

x = 1

，

(a, b) = (3, 1)

。

每一段解出來都要檢查是否落在那一段裡。驗算：

x = 3

時

5 + 1 = 6

；

x = 1

時

3 + 3 = 6

；

x = - 1

時

1 + 7 = 8 \neq = 6

。

循環小數化分數先分清楚哪幾位循環；絕對值分段討論後，每一段的解都要檢查範圍。

04選填 E～G（第 15～17 題）：指數律、立方公式、算幾不等式

第 15 題分子、分母同乘

a^{3 x}

：

\frac{a ^{3 x} - a ^{- 3 x}}{a ^{x} + a ^{- x}} = \frac{a ^{6 x} - 1}{a ^{4 x} + a ^{2 x}}

。由

a^{2 x} = 2

，

a^{4 x} = (a^{2 x})^{2} = 4

，

a^{6 x} = (a^{2 x})^{3} = 8

，所以原式

= \frac{8 - 1}{4 + 2} = \frac{7}{6}

。

也可以用立方差公式：分子

= (a^{x} - a^{- x}) (a^{2 x} + 1 + a^{- 2 x})

，但分母是

a^{x} + a^{- x}

，約不掉；同乘

a^{3 x}

把負指數消掉最直接。

第 16 題

(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 ab (a + b)

，多出來的是

3 ab (a + b) = 720

，所以

ab (a + b) = 240

……①。

(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3 ab (a - b)

，少掉的是

3 ab (a - b) = 144

，所以

ab (a - b) = 48

……②。② 的右邊不是

0

，所以

ab \neq = 0

且

a - b \neq = 0

，可以 ① 除以 ②：

\frac{a + b}{a - b} = 5

，

a + b = 5 a - 5 b

，

a = \frac{3}{2} b

。代回 ②：

\frac{3}{2} b \cdot b \cdot \frac{1}{2} b = \frac{3}{4} b^{3} = 48

，

b^{3} = 64

，

b = 4

，

a = 6

。驗算：

1 0^{3} - (216 + 64) = 720

，

(216 - 64) - 2^{3} = 144

。所以

(a, b) = (6, 4)

。

b

是實數，

b^{3} = 64

只有

b = 4

一個解。「少了

144

」是指

a^{3} - b^{3}

減去

(a - b)^{3}

等於

144

，方向別弄反。

第 17 題設兩股長為

p

、

q

，斜邊長為

c

。面積用兩種方式算：

\frac{1}{2} pq = \frac{1}{2} \times c \times 5

，所以

pq = 5 c

。由畢氏定理與算幾不等式（用在

p^{2}

、

q^{2}

兩個正數上）：

c^{2} = p^{2} + q^{2} \geq 2 p^{2} q^{2} = 2 pq = 10 c

。因為

c > 0

，兩邊同除以

c

得

c \geq 10

。面積

= \frac{5 c}{2} \geq 25

。等號在

p^{2} = q^{2}

，即

p = q

時成立：這時

c = 10

，

p = q = 52

，斜邊上的高是

\frac{pq}{c} = \frac{50}{10} = 5

，確實做得到。所以最小面積是

25

。

高固定是

5

，面積

= \frac{5 c}{2}

只由斜邊決定，所以問題變成「斜邊最短是多少」。等號成立時是等腰直角三角形。

負指數與正指數混在一起時，同乘一個次方把負指數消掉；求極值寫出算幾不等式後，要交代等號成立的條件。

05混合題（原卷第 27～28 題，第 18～19 題）：百萬分率與半衰期

第 18 題答案 (D)。

0.01

ppm 是

0.01 \times \frac{1}{1 0 ^{6}} = 1 0^{- 2} \times 1 0^{- 6} = 1 0^{- 8}

，也就是每

1

克牛肌肉最多容許

1 0^{- 8}

克。一斤是

600

克，容許量是

600 \times 1 0^{- 8} = 6 \times 1 0^{2} \times 1 0^{- 8} = 6 \times 1 0^{- 6}

克。

1

微克是

1 0^{- 6}

克，所以是

6

微克。

也可以先換單位：

600

克

= 6 \times 1 0^{8}

微克，乘以

1 0^{- 8}

得

6

微克。(A)

0.01

是把 ppm 的數字直接當成微克，沒有乘上一斤的克數。

第 19 題每經過一個半衰期（

4

小時），濃度變成原來的

\frac{1}{2}

。經過

n

個半衰期後，濃度是原來的

(\frac{1}{2})^{n}

。因為

\frac{1}{32} = \frac{1}{2 ^{5}} = (\frac{1}{2})^{5}

，所以

n = 5

，需要

5 \times 4 = 20

小時。

用

x

小時來寫：經過

x

小時是

\frac{x}{4}

個半衰期，濃度是原來的

(\frac{1}{2})^{\frac{x}{4}}

；令它等於

(\frac{1}{2})^{5}

，得

\frac{x}{4} = 5

，

x = 20

。題目問的是豬肉，但問的是人體代謝所需的時間，用的是文中「在人類血漿中之半衰期約

4

小時」。

單位換算全部寫成

10

的次方再用指數律；半衰期的題目先算經過幾個半衰期，再乘上一個半衰期的時間。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

基隆高中 111 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

基隆高中 111 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 8 題兩個循環小數相加會超過一，循環節不同的兩個循環小數也不相等；多選第 10 題底數是零或負數時，負指數與分數指數沒有定義；選填 B 題（第 12 題）由解的範圍反推，係數是負的；選填 G 題（第 17 題）要先把面積用斜邊表示，再用算幾不等式求斜邊的最小值。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自基隆高中 111 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（有理數與無理數、絕對值與數線上的分點、乘法公式與根式）、指數與算幾不等式、常用對數

基隆高中 111 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 6 題（30 分）、多選題 4 題（20 分）、選填題 7 題（35 分）、混合題 1 題組 2 小題（15 分）。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

第壹部分：選擇（填）題（占 85 分）一、單選題（每題 5 分，共 30 分）

9 + 48

介於哪兩個整數之間？

(A) $0 \sim 1$ 之間
(B) $1 \sim 2$ 之間
(C) $2 \sim 3$ 之間
(D) $3 \sim 4$ 之間
(E) $4 \sim 5$ 之間

已知

a

、

b

均大於

0

，

6 a^{2} + b^{2}

可化簡為下列何者？

(A) $a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}$
(B) $(a^{2} + b^{2})^{\frac{1}{6}}$
(C) $a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}$
(D) $3 a + b$
(E) $3 ab$

若

a = (0.5)^{0.5}

，下列何者正確？

(A) $a < 0.5$
(B) $0.5 \leq a < 0.6$
(C) $0.6 \leq a < 0.7$
(D) $0.7 \leq a < 0.8$
(E) $a \geq 0.8$

設

a, b

為實數，且

a < b

，令甲

= \frac{a + b}{2}

，乙

= \frac{5 a + 2 b}{7}

，丙

= \frac{11 a + 3 b}{14}

，則甲、乙、丙之大小順序為何？

(A) 甲 $>$ 乙 $>$ 丙
(B) 乙 $>$ 甲 $>$ 丙
(C) 乙 $>$ 丙 $>$ 甲
(D) 丙 $>$ 甲 $>$ 乙
(E) 丙 $>$ 乙 $>$ 甲

計算

(2 + 1)^{2022} \times (2 - 1)^{2022} =

？

(A) $0$
(B) $\frac{1}{2}$
(C) $1$
(D) $2$
(E) 無窮大

關於下列式子，試選出正確的選項。

(A) $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} + ab + b^{2})$
(B) $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} - ab - b^{2})$
(C) $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$
(D) $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3}$
(E) $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

二、多選題（每題 5 分，共 20 分）（錯 1 個，得 3 分；錯 2 個，得 1 分；錯 3 個以上，得 0 分）

下列哪些分數可化成有限小數？

(A) $\frac{9}{50}$
(B) $\frac{5}{60}$
(C) $\frac{37}{14}$
(D) $\frac{63}{30}$
(E) $\frac{137}{16}$

試選出正確的選項。

(A) $169$ 是有理數
(B) $0. \overline{69}$ 是有理數
(C) $0. \overline{9} = 1$
(D) $0. \overline{31} + 0. \overline{69} = 1$
(E) $0. \overline{34} = 0. \overline{343}$

關於常用對數的敘述，下列哪些選項是正確的？

(A) $lo g 1 = 0$
(B) $lo g 10 = 1$
(C) $1 0^{l o g 2} > 1$
(D) $10 0^{l o g 2} = 2$
(E) $1 0^{2 l o g 3} > 1 0^{3 l o g 2}$

試選出正確的選項。

(A) $0^{2022} = 0$
(B) $0^{- 2} = 0$
(C) $(- 2)^{0.5} = (- 2)^{\frac{1}{2}} = ((- 2)^{2})^{\frac{1}{4}} = 4^{\frac{1}{4}} = 2$
(D) $(π)^{0} = 1$
(E) $(- 3)^{- 2} > 0$

三、選填題（每題 5 分，共 35 分）說明：第 A 題至第 G 題，每題 5 分。｜（原卷題號 A～G，本頁編為第 11～17 題）

（原卷 A）循環小數

0.1 \overline{07}

化為最簡分數為 ____。（原卷的答案格是一個分數，分子兩格、分母三格）

（原卷 B）設

∣ a x - 6∣ \leq b

的解為

- 5 \leq x \leq - 1

，則

a + b =

____。

（原卷 C）化簡

8 + 215 = a + b

，其中

a > b

，求數對

(a, b) =

( ____ , ____ )。

（原卷 D）方程式

∣ x + 2∣ + ∣2 x - 5∣ = 6

之解

x = a

或

x = b

，其中

a > b

，求數對

(a, b) =

( ____ , ____ )。

（原卷 E）設

a > 0

，

x

為實數，若

a^{2 x} = 2

，試求

\frac{a ^{3 x} - a ^{- 3 x}}{a ^{x} + a ^{- x}} =

____。（原卷的答案格是一個分數，分子、分母各一格）

（原卷 F）已知

a, b

為實數，若

(a + b)^{3}

比

a^{3} + b^{3}

多了

720

，

(a - b)^{3}

比

a^{3} - b^{3}

少了

144

，求數對

(a, b) =

( ____ , ____ )。

（原卷 G）已知直角三角形斜邊上的高其長度為

5

，則直角三角形的最小面積為 ____。（原卷的答案格是兩格）

第貳部分、混合題或非選擇題（占 15 分）｜（原卷題號 27、28，本頁編為第 18、19 題）

0.01

4

小時。（資料來源—食藥署「108 食用肉品暴露萊克多巴胺之健康風險評估報告」）請依上文中的資訊回答下列問題：

（原卷第 27 題）所謂的 ppm 即百萬分率（Parts Per Million），定義為

100

萬分之

1

。依照標準所示，每斤的牛肌肉檢驗出萊克多巴胺最大殘留容許量為多少微克（

1 0^{- 6}

克）？（不考慮精準度是否四捨五入）（5 分）（單選）＊一斤

= 600

克

(A) $0.01$
(B) $0.1$
(C) $1$
(D) $6$
(E) $10$

（原卷第 28 題）血漿「半衰期」指的是藥物在生物體內濃度下降一半所需要的時間。當殘留的藥物濃度為原來的

\frac{1}{32}

時，可認定為代謝完成。試問一般人食用含萊克多巴胺的豬肉需多少小時可代謝完成？（10 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(B)

第 3 題(D)

第 4 題(A)

第 5 題(C)

第 6 題(E)

第 7 題(A)(D)(E)

第 8 題(A)(B)(C)

第 9 題(A)(B)(C)(E)

第 10 題(A)(D)(E)

第 11 題

\frac{53}{495}

第 12 題

2

第 13 題

(5, 3)

第 14 題

(3, 1)

第 15 題

\frac{7}{6}

第 16 題

(6, 4)

第 17 題

25

第 18 題(D)

第 19 題

20

小時

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～6：根式的估計、分數指數、分點公式、乘法公式

第 1 題答案 (D)。先估裡面的根號：

36 < 48 < 49

，所以

6 < 48 < 7

，

15 < 9 + 48 < 16

。再開根號：

9 < 15 < 9 + 48 < 16

，所以

3 < 9 + 48 < 4

。

48 \approx 6.93

，

9 + 48 \approx 15.93

，很接近

16

但沒有到，所以答案很接近

4

但仍小於

4

。

第 2 題答案 (B)。

a^{2} + b^{2} > 0

，由分數指數的定義

n k = k^{\frac{1}{n}}

，

6 a^{2} + b^{2} = (a^{2} + b^{2})^{\frac{1}{6}}

，只能這樣改寫。

根號（或指數）不能分給加法的每一項：取

a = b = 1

，原式是

62 \approx 1.12

，而 (A) 是

2

、(C) 是

1

、(D) 是

32 \approx 1.26

、(E) 是

1

，都不相等。

第 3 題答案 (D)。

a = (0.5)^{0.5} = 0.5

，所以

a > 0

且

a^{2} = 0.5

。因為

0. 7^{2} = 0.49 \leq 0.5 < 0.64 = 0. 8^{2}

，而正數的平方愈大本身愈大，所以

0.7 \leq a < 0.8

。

也可以寫成

a = \frac{1}{2} = \frac{2}{2} \approx \frac{1.414}{2} = 0.707

。底數在

0

與

1

之間時，開根號反而變大，所以

a

比

0.5

大。

第 4 題答案 (A)。把三個數都寫成「

a

加上

(b - a)

的幾倍」：甲

= a + \frac{1}{2} (b - a)

，乙

= \frac{5 a + 2 b}{7} = a + \frac{2}{7} (b - a)

，丙

= \frac{11 a + 3 b}{14} = a + \frac{3}{14} (b - a)

。因為

b - a > 0

，倍數愈大數愈大。通分比較：

\frac{1}{2} = \frac{7}{14}

，

\frac{2}{7} = \frac{4}{14}

，

\frac{3}{14}

，所以甲

>

乙

>

丙。

這三個數都是數線上

a

、

b

之間的分點（分點公式）：

b

的係數占的比例愈大，點愈靠近

b

，也就愈大。也可以直接相減：甲

-

乙

= \frac{3 ( b - a )}{14} > 0

，乙

-

丙

= \frac{b - a}{14} > 0

。

第 5 題答案 (C)。指數相同，先把底數相乘：

(2 + 1)^{2022} \times (2 - 1)^{2022} = [(2 + 1) (2 - 1)]^{2022}

。由平方差公式，

(2 + 1) (2 - 1) = 2 - 1 = 1

，所以原式

= 1^{2022} = 1

。

第 6 題答案 (E)。逐一對照乘法公式。(A) 錯：立方和是

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

，中間是減號。(B) 錯：立方差是

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

，後面兩項都是加號。(C) 錯：

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

，少了

2 ab

。(D) 錯：

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

，少了中間兩項。(E) 對：

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

。

不確定時代數字檢查：取

a = 2

、

b = 1

，(A) 左邊

9

、右邊

3 \times 7 = 21

；(B) 左邊

7

、右邊

1 \times 1 = 1

；(C) 左邊

9

、右邊

5

；(D) 左邊

27

、右邊

9

；(E) 左邊

1

、右邊

8 - 12 + 6 - 1 = 1

。

估根式的大小用平方去夾；分數指數與根號都不能分配給加法；比較分點的大小看兩端係數的比例。

02多選 7～10：有限小數、循環小數、常用對數、指數的定義

第 7 題答案 (A)(D)(E)。先約成最簡分數，再看分母：分母的質因數只有

2

和

5

才能化成有限小數。(A) 對：

\frac{9}{50}

已最簡，

50 = 2 \times 5^{2}

，

\frac{9}{50} = 0.18

。(B) 錯：

\frac{5}{60} = \frac{1}{12}

，

12 = 2^{2} \times 3

有質因數

3

。(C) 錯：

\frac{37}{14}

已最簡，

14 = 2 \times 7

有質因數

7

。(D) 對：

\frac{63}{30} = \frac{21}{10} = 2.1

。(E) 對：

16 = 2^{4}

，

\frac{137}{16} = 8.5625

。

一定要先約分再判斷：(D) 的分母

30

有質因數

3

，但被分子的

63

約掉了；(B) 的分母

60

約分之後

3

還在。

第 8 題答案 (A)(B)(C)。(A) 對：

169 = 13

是整數，當然是有理數。(B) 對：循環小數都可以化成分數，

0. \overline{69} = \frac{69}{99} = \frac{23}{33}

。(C) 對：

0. \overline{9} = \frac{9}{9} = 1

。(D) 錯：

0. \overline{31} + 0. \overline{69} = \frac{31}{99} + \frac{69}{99} = \frac{100}{99} = 1. \overline{01}

，比

1

大。(E) 錯：

0. \overline{34} = 0.343434 \dots

，

0. \overline{343} = 0.343343 \dots

，小數點後第

4

位一個是

4

、一個是

3

，不相等。

(D) 容易想成

0.31 + 0.69 = 1

；但循環小數後面還有數字，

0.3131 \dots + 0.6969 \dots = 1.0101 \dots

。

第 9 題答案 (A)(B)(C)(E)。

lo g k

的意義是「

10

的幾次方等於

k

」，所以

1 0^{l o g k} = k

。(A) 對：

1 0^{0} = 1

，所以

lo g 1 = 0

。(B) 對：

1 0^{1} = 10

，所以

lo g 10 = 1

。(C) 對：

1 0^{l o g 2} = 2 > 1

。(D) 錯：

10 0^{l o g 2} = (1 0^{2})^{l o g 2} = (1 0^{l o g 2})^{2} = 2^{2} = 4

，不是

2

。(E) 對：

1 0^{2 l o g 3} = (1 0^{l o g 3})^{2} = 3^{2} = 9

，

1 0^{3 l o g 2} = (1 0^{l o g 2})^{3} = 2^{3} = 8

，

9 > 8

。

第 10 題答案 (A)(D)(E)。(A) 對：

2022

個

0

相乘是

0

。(B) 錯：負指數的定義是

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

（

a \neq = 0

），

0^{- 2}

會變成

\frac{1}{0}

，沒有定義。(C) 錯：分數指數的底數必須是正數，

(- 2)^{0.5}

沒有定義，後面的等式都不能寫。(D) 對：

π \neq = 0

，所以

π^{0} = 1

。(E) 對：

(- 3)^{- 2} = \frac{1}{( - 3 ) ^{2}} = \frac{1}{9} > 0

。

\frac{1}{2}

換成

\frac{2}{4}

就會算出

2

，但沒有任何實數的平方是

- 2

，前後矛盾。(E) 的負指數是取倒數，不是變成負數。

有限小數看約分後的分母；指數題先看底數：零指數與負指數的底數不可為

0

，分數指數的底數要是正數。

03選填 A～D（第 11～14 題）：循環小數、絕對值不等式與方程式、雙重根號

第 11 題循環節是橫線底下的

07

，前面的

1

不循環。設

x = 0.1 \overline{07} = 0.1070707 \dots

，則

10 x = 1.070707 \dots

，

1000 x = 107.070707 \dots

。相減：

990 x = 106

，所以

x = \frac{106}{990} = \frac{53}{495}

。

53

是質數，

495 = 3^{2} \times 5 \times 11

，已經是最簡分數。

如果把橫線看成蓋住

107

三個數字，會得到

\frac{107}{999}

，分子是三位數，和答案格（分子兩格）對不上。

第 12 題

∣ a x - 6∣ \leq b

就是

- b \leq a x - 6 \leq b

，也就是

6 - b \leq a x \leq 6 + b

。解

- 5 \leq x \leq - 1

的兩個端點要讓等號成立，所以

x = - 5

與

x = - 1

代入，

a x

一個是

6 - b

、一個是

6 + b

，兩者相加：

- 5 a + (- a) = (6 - b) + (6 + b) = 12

，得

a = - 2

。這時

a x

在

x = - 5

是

10

、在

x = - 1

是

2

，所以

6 + b = 10

，

b = 4

。驗算：

∣ - 2 x - 6∣ \leq 4

即

∣ x + 3∣ \leq 2

，解是

- 5 \leq x \leq - 1

。所以

a + b = - 2 + 4 = 2

。

另一種看法：解的中點是

- 3

、半徑是

2

，所以解是

∣ x + 3∣ \leq 2

；兩邊同乘

2

得

∣2 x + 6∣ \leq 4

，而

∣2 x + 6∣ = ∣ - 2 x - 6∣

，對照

∣ a x - 6∣ \leq b

得

a = - 2

、

b = 4

。

a

是負的，別寫成

2

。

第 13 題找兩個數，和是

8

、積是

15

：

5

和

3

。所以

8 + 215 = 5 + 3 + 2 5 \times 3 = (5 + 3)^{2}

，

8 + 215 = 5 + 3

。因為

a > b

，

(a, b) = (5, 3)

。

第 14 題絕對值裡面變號的地方是

x = - 2

與

x = \frac{5}{2}

，分三段。①

x < - 2

：

- (x + 2) - (2 x - 5) = 6

，

- 3 x + 3 = 6

，

x = - 1

，不在這一段，不合。②

- 2 \leq x < \frac{5}{2}

：

(x + 2) - (2 x - 5) = 6

，

- x + 7 = 6

，

x = 1

，在這一段，合。③

x \geq \frac{5}{2}

：

(x + 2) + (2 x - 5) = 6

，

3 x - 3 = 6

，

x = 3

，在這一段，合。所以解是

x = 3

或

x = 1

，

(a, b) = (3, 1)

。

每一段解出來都要檢查是否落在那一段裡。驗算：

x = 3

時

5 + 1 = 6

；

x = 1

時

3 + 3 = 6

；

x = - 1

時

1 + 7 = 8 \neq = 6

。

循環小數化分數先分清楚哪幾位循環；絕對值分段討論後，每一段的解都要檢查範圍。

04選填 E～G（第 15～17 題）：指數律、立方公式、算幾不等式

第 15 題分子、分母同乘

a^{3 x}

：

\frac{a ^{3 x} - a ^{- 3 x}}{a ^{x} + a ^{- x}} = \frac{a ^{6 x} - 1}{a ^{4 x} + a ^{2 x}}

。由

a^{2 x} = 2

，

a^{4 x} = (a^{2 x})^{2} = 4

，

a^{6 x} = (a^{2 x})^{3} = 8

，所以原式

= \frac{8 - 1}{4 + 2} = \frac{7}{6}

。

也可以用立方差公式：分子

= (a^{x} - a^{- x}) (a^{2 x} + 1 + a^{- 2 x})

，但分母是

a^{x} + a^{- x}

，約不掉；同乘

a^{3 x}

把負指數消掉最直接。

第 16 題

(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 ab (a + b)

，多出來的是

3 ab (a + b) = 720

，所以

ab (a + b) = 240

……①。

(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3 ab (a - b)

，少掉的是

3 ab (a - b) = 144

，所以

ab (a - b) = 48

……②。② 的右邊不是

0

，所以

ab \neq = 0

且

a - b \neq = 0

，可以 ① 除以 ②：

\frac{a + b}{a - b} = 5

，

a + b = 5 a - 5 b

，

a = \frac{3}{2} b

。代回 ②：

\frac{3}{2} b \cdot b \cdot \frac{1}{2} b = \frac{3}{4} b^{3} = 48

，

b^{3} = 64

，

b = 4

，

a = 6

。驗算：

1 0^{3} - (216 + 64) = 720

，

(216 - 64) - 2^{3} = 144

。所以

(a, b) = (6, 4)

。

b

是實數，

b^{3} = 64

只有

b = 4

一個解。「少了

144

」是指

a^{3} - b^{3}

減去

(a - b)^{3}

等於

144

，方向別弄反。

第 17 題設兩股長為

p

、

q

，斜邊長為

c

。面積用兩種方式算：

\frac{1}{2} pq = \frac{1}{2} \times c \times 5

，所以

pq = 5 c

。由畢氏定理與算幾不等式（用在

p^{2}

、

q^{2}

兩個正數上）：

c^{2} = p^{2} + q^{2} \geq 2 p^{2} q^{2} = 2 pq = 10 c

。因為

c > 0

，兩邊同除以

c

得

c \geq 10

。面積

= \frac{5 c}{2} \geq 25

。等號在

p^{2} = q^{2}

，即

p = q

時成立：這時

c = 10

，

p = q = 52

，斜邊上的高是

\frac{pq}{c} = \frac{50}{10} = 5

，確實做得到。所以最小面積是

25

。

高固定是

5

，面積

= \frac{5 c}{2}

只由斜邊決定，所以問題變成「斜邊最短是多少」。等號成立時是等腰直角三角形。

負指數與正指數混在一起時，同乘一個次方把負指數消掉；求極值寫出算幾不等式後，要交代等號成立的條件。

05混合題（原卷第 27～28 題，第 18～19 題）：百萬分率與半衰期

第 18 題答案 (D)。

0.01

ppm 是

0.01 \times \frac{1}{1 0 ^{6}} = 1 0^{- 2} \times 1 0^{- 6} = 1 0^{- 8}

，也就是每

1

克牛肌肉最多容許

1 0^{- 8}

克。一斤是

600

克，容許量是

600 \times 1 0^{- 8} = 6 \times 1 0^{2} \times 1 0^{- 8} = 6 \times 1 0^{- 6}

克。

1

微克是

1 0^{- 6}

克，所以是

6

微克。

也可以先換單位：

600

克

= 6 \times 1 0^{8}

微克，乘以

1 0^{- 8}

得

6

微克。(A)

0.01

是把 ppm 的數字直接當成微克，沒有乘上一斤的克數。

第 19 題每經過一個半衰期（

4

小時），濃度變成原來的

\frac{1}{2}

。經過

n

個半衰期後，濃度是原來的

(\frac{1}{2})^{n}

。因為

\frac{1}{32} = \frac{1}{2 ^{5}} = (\frac{1}{2})^{5}

，所以

n = 5

，需要

5 \times 4 = 20

小時。

用

x

小時來寫：經過

x

小時是

\frac{x}{4}

個半衰期，濃度是原來的

(\frac{1}{2})^{\frac{x}{4}}

；令它等於

(\frac{1}{2})^{5}

，得

\frac{x}{4} = 5

，

x = 20

。題目問的是豬肉，但問的是人體代謝所需的時間，用的是文中「在人類血漿中之半衰期約

4

小時」。

單位換算全部寫成

10

的次方再用指數律；半衰期的題目先算經過幾個半衰期，再乘上一個半衰期的時間。

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03選填 A～D（第 11～14 題）：循環小數、絕對值不等式與方程式、雙重根號

04選填 E～G（第 15～17 題）：指數律、立方公式、算幾不等式

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