段考詳解範圍：弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合

基隆高中 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 5 題（每題 6 分，共 30 分）、多選題 4 題（每題 5 分，共 20 分）、填充題 5 題共 7 格（每格 5 分，共 35 分）、混合題 3 小題（每題 5 分，共 15 分），合計 100 分。卷面混合題的三個小題印作 (15)、(16)、(17)，本頁列為第 15～17 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

一、單選題（第 1 題至第 5 題每題 6 分，共 30 分）

有關度與弧度的換算，下列選項何者正確（卷面把弧度的單位印作「徑」，即課本的「弳」，以下照卷面）

(1) $π^{\circ} = 1$ 徑
(2) $3$ 徑為第 $3$ 象限角
(3) $1$ 徑 $= \frac{18 0 ^{\circ}}{π}$
(4) $10$ 徑的最小正同界角是 $10 - 3 π$ 徑
(5) $π$ 徑 $= 3.14$ 徑

在

- π \leq x \leq 3 π

的範圍中，

y = sin x

與

y = cos x

的圖形有幾個交點

(1) $0$ 個
(2) $1$ 個
(3) $2$ 個
(4) $3$ 個
(5) $4$ 個

將

y = sin x

的圖形先水平伸縮為

\frac{1}{3}

倍，鉛直伸縮為

2

倍，再向上平移

4

單位可得下列哪個函數

(1) $y = 2 sin (3 x) + 4$
(2) $y = \frac{1}{2} sin (3 x) + 4$
(3) $y = 2 sin (\frac{1}{3} x) + 4$
(4) $y = 2 sin (3 x) - 4$
(5) $y = \frac{1}{2} sin (3 x) - 4$

已知

P

點座標為

(sin 9, cos 9)

，則

P

點落在第幾象限

(1) 一
(2) 二
(3) 三
(4) 四
(5) 落在坐標軸上

已知

a = sin 1

、

b = sin 3

、

c = sin 5

，有關

a

、

b

、

c

的大小順序，下列哪個選項正確

(1) $a > b > c$
(2) $b > c > a$
(3) $c > b > a$
(4) $a > c > b$
(5) $b > a > c$

二、多選題（第 6 題至第 9 題每題 5 分，共 20 分；每題全對得 5 分，錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個以上選項或該題未作答得 0 分）

將

y = sin x

的圖形向右平移

\frac{π}{2}

後，與下列哪些圖形可以重合？

(1) $y = sin (x + \frac{π}{2})$
(2) $y = sin (x - \frac{π}{2})$
(3) $y = cos x$
(4) $y = cos (x - π)$
(5) $y = sin (x + \frac{3 π}{2})$

下列何者與

y = tan x

有相同週期

(1) $y = sin 2 x$
(2) $y = cos^{2} x - sin^{2} x$
(3) $y = sin x + cos x$
(4) $y = 4 cos^{3} x - 3 cos x$
(5) $y = sin x \cdot cos x$

已知

9 0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ}

且

cos x = - \frac{3}{5}

，則下列哪些選項正確

(1) $sin x = \frac{4}{5}$
(2) $sin 2 x = - \frac{24}{25}$
(3) $cos \frac{x}{2} = \frac{1}{10}$
(4) $sin \frac{x}{2} = \frac{1}{10}$
(5) $2 x$ 在第四象限

下列哪些選項敘述正確？

(1) 若 $x \in R$ ， $sin x + cos x$ 最大值為 $2$
(2) 若 $π \leq x \leq 2 π$ ， $sin x + cos x$ 最大值為 $2$
(3) 若 $x \in R$ ， $sin x \cdot cos x$ 最大值為 $\frac{1}{2}$
(4) 若 $0 \leq x \leq π$ ， $sin x \cdot cos x$ 最大值為 $\frac{1}{2}$
(5) 若 $x \in R$ ， $2 sin x + cos 2 x$ 最大值為 $5$

三、填充題（第 10 題至第 14 題每格 5 分，共 35 分）

sin \frac{π}{6} + cos \frac{2 π}{3} + tan \frac{5 π}{4} =

____

如圖為

y = a sin (b x - \frac{π}{3}) + c

的部分圖形，若

a > 0, b > 0, c > 0

，試求

(a, b, c) =

____

載入中...

已知

0 \leq x \leq π

，試求：(1)

cos x \leq - \frac{1}{2}

的解為 ____（

x

的範圍）　(2)

sin x + 3 cos x = 1

的解為 ____

已知

△ A B C

中，

tan A = - \frac{4}{3}

、

cos B = \frac{24}{25}

，且

\overline{A B} = 15

，試求：(1)

sin C =

____　(2)

\overline{B C} =

____

求坐標平面上兩直線

y = - 3 x + 3

與

y = - \frac{1}{2} x + \frac{10}{3}

的銳夾角為 ____

四、混合題（3 小題，每題 5 分，共 15 分）

第 15～17 題為題組（混合題）（第 15～17 題）　在美國舊金山，有一些市政檢修井井蓋的形狀就是勒洛三角形（英語：Reuleaux triangle），其最大優點是這種形狀的井蓋絕不會掉到井裡去（圖一）；而勒洛三角形是以正三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，最後由三段弧圍成的曲邊三角形，如圖二所示，其中

△ A B C

為正三角形。勒洛三角形還有個特點，與圓在直線上滾動時一樣，其滾動時可以實現上下區間高度一致，如圖三，

L_{1}

、

L_{2}

為互相平行的兩條線，勒洛三角形與圓

O

都可在兩平行線中滾動並與兩線相切，試回答下列問題：（圖一是井蓋的圖片，本頁沒有重畫；圖二、圖三見第 15 題的附圖）

若圖二中的正

△ A B C

邊長為

2

，則在圖三中兩平行線

L_{1}

、

L_{2}

距離為何？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $2$
(4) $3$
(5) $3$

載入中...

同 (15)，此勒洛三角形滾動一圈的距離跟圓

O

滾動一圈的距離，何者比較長？

同 (15)，此勒洛三角形與圓

O

的面積何者較大？（

π \approx 3.14

、

3 \approx 1.73

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(5)

第 3 題(1)

第 4 題(4)

第 5 題(1)

第 6 題(2)(4)(5)

第 7 題(1)(2)(5)

第 8 題(1)(2)

第 9 題(1)(3)(4)

第 10 題

1

第 11 題

(3, 2, 1)

第 12 題(1)

\frac{2 π}{3} \leq x \leq π

　(2)

x = \frac{π}{2}

第 13 題(1)

\frac{3}{5}

　(2)

20

第 14 題

4 5^{\circ}

第 15 題(2)

第 16 題一樣長（都是

2 π

）

第 17 題圓

O

的面積較大（勒洛三角形

2 π - 23 \approx 2.82

，圓

O

為

π \approx 3.14

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選第 1～5 題：度與弧度、圖形的交點、伸縮與平移、用弧度判斷正負與大小

第 1 題答案 (3)。

π

弳

= 18 0^{\circ}

，兩邊同除以

π

得

1

弳

= \frac{18 0 ^{\circ}}{π}

，(3) 正確。(1)

1

弳

= \frac{18 0 ^{\circ}}{π} \approx 57. 3^{\circ}

，不是

π^{\circ} \approx 3.1 4^{\circ}

，錯誤。(2)

\frac{π}{2} \approx 1.57 < 3 < π \approx 3.14

，

3

弳是第二象限角，錯誤。(4) 同界角相差

2 π

的整數倍；

10 - 2 π \approx 3.72

是正的，再減

2 π

就變負的，所以最小正同界角是

10 - 2 π

弳。

10 - 3 π

與

10

相差

3 π

，不是同界角，錯誤。(5)

π = 3.14159 \dots

是無理數，

3.14

只是近似值，兩者不相等，錯誤。

卷面的「徑」就是課本的「弳」。

第 2 題答案 (5)。交點滿足

sin x = cos x

。若

cos x = 0

，則

sin x = \pm 1

，兩邊不會相等，所以

cos x \neq = 0

，同除以

cos x

得

tan x = 1

，

x = \frac{π}{4} + k π

（

k

為整數）。在

- π \leq x \leq 3 π

內：

k = - 1, 0, 1, 2

得

x = - \frac{3 π}{4}, \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}, \frac{9 π}{4}

；

k = - 2

時

x = - \frac{7 π}{4} < - π

，

k = 3

時

x = \frac{13 π}{4} > 3 π

，都不在範圍內。共

4

個交點。

範圍的長度是

4 π

，恰好是兩個週期；兩圖形在每個週期內交兩次。

第 3 題答案 (1)。水平伸縮為

\frac{1}{3}

倍：每一點的

x

坐標變成原來的

\frac{1}{3}

，要把

x

換成

3 x

，得

y = sin (3 x)

。鉛直伸縮為

2

倍：函數值乘以

2

，得

y = 2 sin (3 x)

。再向上平移

4

單位：函數值加

4

，得

y = 2 sin (3 x) + 4

。

水平方向縮成

\frac{1}{3}

，週期由

2 π

變成

\frac{2 π}{3}

，所以

x

的係數是

3

而不是

\frac{1}{3}

。

第 4 題答案 (4)。

9

弳扣掉一圈：

9 - 2 π \approx 9 - 6.28 = 2.72

，而

\frac{π}{2} \approx 1.57 < 2.72 < π \approx 3.14

，所以

9

弳是第二象限角。第二象限角的正弦為正、餘弦為負：

sin 9 > 0

，

cos 9 < 0

。

P

的

x

坐標為正、

y

坐標為負，落在第四象限。

P

的

x

坐標是

sin 9

、

y

坐標是

cos 9

，順序與平常的

(cos θ, sin θ)

相反；角在第二象限，點卻在第四象限。

第 5 題答案 (1)。

π \approx 3.14

。

1

與

3

都在

0

與

π

之間，正弦為正；

5

在

π

與

2 π \approx 6.28

之間，正弦為負，所以

c

最小。再比

a

、

b

：

b = sin 3 = sin (π - 3)

，其中

π - 3 \approx 0.14

。

0 < 0.14 < 1 < \frac{π}{2}

，而正弦函數在

0

到

\frac{π}{2}

之間遞增，所以

sin (π - 3) < sin 1

，即

b < a

。合起來

a > b > c

。

數值約為

a \approx 0.84

、

b \approx 0.14

、

c \approx - 0.96

。

02多選第 6～9 題：圖形的平移、週期、倍角與半角、最大值

第 6 題答案 (2)(4)(5)。向右平移

\frac{π}{2}

是把

x

換成

x - \frac{π}{2}

，得

y = sin (x - \frac{π}{2})

；由差角公式，

sin (x - \frac{π}{2}) = sin x cos \frac{π}{2} - cos x sin \frac{π}{2} = - cos x

。(1)

sin (x + \frac{π}{2}) = cos x

，與

- cos x

不同（

x = 0

時一個是

1

、一個是

- 1

），不重合。(2) 就是平移後的式子，重合。(3)

cos x

與

- cos x

不同，不重合。(4)

cos (x - π) = cos x cos π + sin x sin π = - cos x

，重合。(5)

x + \frac{3 π}{2} = (x - \frac{π}{2}) + 2 π

，正弦的週期是

2 π

，所以

sin (x + \frac{3 π}{2}) = sin (x - \frac{π}{2})

，重合。

第 7 題答案 (1)(2)(5)。

y = tan x

的週期是

π

。(1)

y = sin 2 x

的週期是

\frac{2 π}{2} = π

，相同。(2) 由二倍角公式

cos^{2} x - sin^{2} x = cos 2 x

，週期

π

，相同。(3) 疊合：

sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，週期

2 π

，不同。(4) 用和角公式展開

cos 3 x = cos (2 x + x) = cos 2 x cos x - sin 2 x sin x = (2 cos^{2} x - 1) cos x - 2 sin^{2} x cos x

，把

sin^{2} x

換成

1 - cos^{2} x

得

cos 3 x = 4 cos^{3} x - 3 cos x

；所以 (4) 是

y = cos 3 x

，週期

\frac{2 π}{3}

，不同。(5)

sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

，週期

π

，相同。

(2)(4)(5) 都要先化成單一個正弦或餘弦，才看得出週期。

第 8 題答案 (1)(2)。

x

在

9 0^{\circ}

到

18 0^{\circ}

之間，

sin x \geq 0

，所以

sin x = 1 - (- \frac{3}{5})^{2} = \frac{4}{5}

，(1) 正確。(2)

sin 2 x = 2 sin x cos x = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot (- \frac{3}{5}) = - \frac{24}{25}

，正確。(3)(4)

\frac{x}{2}

在

4 5^{\circ}

到

9 0^{\circ}

之間，正弦、餘弦都不是負的。由半角公式

cos^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 + cos x}{2} = \frac{1}{5}

，

cos \frac{x}{2} = \frac{1}{5}

；

sin^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 - cos x}{2} = \frac{4}{5}

，

sin \frac{x}{2} = \frac{2}{5}

。兩個都不是

\frac{1}{10}

，(3)(4) 錯誤。(5)

cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1 = 2 \cdot \frac{9}{25} - 1 = - \frac{7}{25} < 0

，又

sin 2 x < 0

；正弦、餘弦都是負的，

2 x

在第三象限，錯誤。

cos x = - \frac{3}{5}

時

x \approx 126. 9^{\circ}

，

2 x \approx 253. 7^{\circ}

，在

18 0^{\circ}

與

27 0^{\circ}

之間。

第 9 題答案 (1)(3)(4)。(1) 疊合：

sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，

x

為任意實數時最大值是

2

（例如

x = \frac{π}{4}

），正確。(2)

π \leq x \leq 2 π

時

\frac{5 π}{4} \leq x + \frac{π}{4} \leq \frac{9 π}{4}

。在這個範圍內，正弦值從

- \frac{2}{2}

先降到

- 1

，再一路升到

sin \frac{9 π}{4} = \frac{2}{2}

，最大是

\frac{2}{2}

，所以原式的最大值是

2 \cdot \frac{2}{2} = 1

（

x = 2 π

時），不是

2

，錯誤。(3)

sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

，最大值

\frac{1}{2}

，正確。(4)

0 \leq x \leq π

時

0 \leq 2 x \leq 2 π

，範圍內有

2 x = \frac{π}{2}

（

x = \frac{π}{4}

），

sin 2 x

可以取到

1

，最大值仍是

\frac{1}{2}

，正確。(5)

cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x

，令

t = sin x

（

- 1 \leq t \leq 1

），原式

= - 2 t^{2} + 2 t + 1 = - 2 (t - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2}

；

t = \frac{1}{2}

在範圍內，最大值是

\frac{3}{2}

，不是

5

，錯誤。

(5) 的

sin x

與

cos 2 x

角度不同，不能疊合；

5 = 2^{2} + 1^{2}

是把它當成同角去疊合的結果。

限制了

x

的範圍時，先把疊合後括號裡的角的範圍寫出來，再看正弦在那一段的最大值，不能直接取振幅。

03填充第 10～14 題：特殊角、由圖形求係數、解不等式與方程式、和角公式、兩直線的夾角

第 10 題

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

。

\frac{2 π}{3}

在第二象限，

cos \frac{2 π}{3} = - cos \frac{π}{3} = - \frac{1}{2}

。正切的週期是

π

，

tan \frac{5 π}{4} = tan \frac{π}{4} = 1

。原式

= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 = 1

。

第 11 題

a > 0

時，函數的最大值是

a + c

、最小值是

- a + c

。由圖，最高點的

y

坐標是

4

、最低點是

- 2

：

a + c = 4

，

- a + c = - 2

，解得

a = 3

，

c = 1

。圖上相鄰的最高點

(\frac{5 π}{12}, 4)

與最低點

(\frac{11 π}{12}, - 2)

的

x

坐標相差

\frac{11 π}{12} - \frac{5 π}{12} = \frac{π}{2}

，這是半個週期，所以週期是

π

；

b > 0

時週期為

\frac{2 π}{b} = π

，得

b = 2

。所以

(a, b, c) = (3, 2, 1)

。

檢查：

x = \frac{5 π}{12}

時

2 x - \frac{π}{3} = \frac{π}{2}

，

y = 3 sin \frac{π}{2} + 1 = 4

；

x = \frac{11 π}{12}

時

2 x - \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}

，

y = - 3 + 1 = - 2

，與圖相符。

第 12 題(1) 在

0 \leq x \leq π

內，

y = cos x

由

1

遞減到

- 1

，而

cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

。所以

cos x \leq - \frac{1}{2}

的解是

\frac{2 π}{3} \leq x \leq π

。(2) 疊合：

sin x + 3 cos x = 2 (\frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x) = 2 sin (x + \frac{π}{3})

。方程式變成

sin (x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

。

0 \leq x \leq π

時

\frac{π}{3} \leq x + \frac{π}{3} \leq \frac{4 π}{3}

，在這個範圍內正弦值等於

\frac{1}{2}

的角只有

\frac{5 π}{6}

（

\frac{π}{6}

比

\frac{π}{3}

小，不在範圍內）。所以

x + \frac{π}{3} = \frac{5 π}{6}

，

x = \frac{π}{2}

。

驗算 (2)：

sin \frac{π}{2} + 3 cos \frac{π}{2} = 1 + 0 = 1

。

第 13 題(1) 三角形的內角在

0^{\circ}

與

18 0^{\circ}

之間；

tan A < 0

，所以

A

是鈍角，

sin A > 0

、

cos A < 0

。由

tan A = - \frac{4}{3}

與

sin^{2} A + cos^{2} A = 1

得

sin A = \frac{4}{5}

，

cos A = - \frac{3}{5}

。

cos B = \frac{24}{25} > 0

，

B

是銳角，

sin B = 1 - (\frac{24}{25})^{2} = \frac{7}{25}

。

C = 18 0^{\circ} - (A + B)

，所以

sin C = sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B = \frac{4}{5} \cdot \frac{24}{25} + (- \frac{3}{5}) \cdot \frac{7}{25} = \frac{96 - 21}{125} = \frac{3}{5}

。(2)

\overline{B C}

是

A

的對邊，

\overline{A B}

是

C

的對邊。由正弦定理

\frac{B C}{sin A} = \frac{A B}{sin C}

，

\overline{B C} = 15 \times \frac{4}{5} \div \frac{3}{5} = 20

。

鈍角所對的邊最長，

\overline{B C} = 20 > \overline{A B} = 15

，合理。

第 14 題設兩直線的斜角分別為

θ_{1}

、

θ_{2}

，斜率就是斜角的正切：

tan θ_{1} = - 3

，

tan θ_{2} = - \frac{1}{2}

。兩直線的一個夾角是

θ_{2} - θ_{1}

，由正切的差角公式

tan (θ_{2} - θ_{1}) = \frac{tan θ _{2} - tan θ _{1}}{1 + tan θ _{2} tan θ _{1}} = \frac{- \frac{1}{2} - ( - 3 )}{1 + ( - \frac{1}{2} ) ( - 3 )} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}} = 1

。正切值為正，這個夾角是銳角

4 5^{\circ}

（另一個夾角是

13 5^{\circ}

）。所以銳夾角為

4 5^{\circ}

。

寫成弧度是

\frac{π}{4}

。兩條直線的常數項

3

與

\frac{10}{3}

只影響位置，不影響夾角。

04混合題第 15～17 題：勒洛三角形的寬度、周長與面積

第 15 題答案 (2)。圖三中頂點

C

在

L_{1}

上，對面的弧

A B

與

L_{2}

相切，設切點為

H

。弧

A B

是以

C

為圓心、邊長

2

為半徑的圓弧，圓的切線與過切點的半徑垂直，所以

\overline{C H} ⊥ L_{2}

且

\overline{C H} = 2

。

C

在

L_{1}

上，

L_{1}

與

L_{2}

平行，所以兩線的距離就是

\overline{C H} = 2

。

弧上每一點到對面頂點的距離都是

2

，所以勒洛三角形不管怎麼轉，夾住它的兩條平行線距離都是

2

。圓

O

也與兩線相切，直徑是

2

、半徑是

1

。

第 16 題滾動一圈的距離就是周長。勒洛三角形的每一段弧，半徑是

2

，所對的圓心角是正三角形的內角

6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

，弧長

= 2 \times \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

；三段合計

3 \times \frac{2 π}{3} = 2 π

。圓

O

與兩平行線都相切，直徑等於兩線的距離

2

，半徑是

1

，圓周長

= 2 π \times 1 = 2 π

。兩者一樣長。

弧長公式「弧長

=

半徑

\times

圓心角」的圓心角要用弧度。

第 17 題以

A

為圓心的扇形（半徑

2

、圓心角

\frac{π}{3}

）面積是

\frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

。三個頂點各有一個這樣的扇形，三個扇形合起來蓋滿整個勒洛三角形，但中間的正三角形被算了三次，要扣掉兩次。正三角形面積

= \frac{3}{4} \times 2^{2} = 3

。勒洛三角形面積

= 3 \times \frac{2 π}{3} - 23 = 2 π - 23 \approx 6.28 - 3.46 = 2.82

。圓

O

的半徑是

1

，面積

= π \approx 3.14

。

2.82 < 3.14

，圓

O

的面積較大。

兩者相減：

(2 π - 23) - π = π - 23 \approx 3.14 - 3.46 = - 0.32 < 0

。寬度相同、周長也相同，面積卻是圓比較大。

弧長與扇形面積的圓心角都用弧度。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

基隆高中 111 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

基隆高中 111 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題的點是把正弦放在橫坐標、餘弦放在縱坐標，角在第二象限，點卻在第四象限；第 7 題要先用倍角公式把式子化成單一個正弦或餘弦才看得出週期；第 9 題限制了範圍以後，最大值不一定是振幅；第 12 題第二格疊合後要先寫出角的範圍再找解；第 17 題三個扇形相加時，中間的正三角形多算了兩次。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自基隆高中 111 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合

基隆高中 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

一、單選題（第 1 題至第 5 題每題 6 分，共 30 分）

有關度與弧度的換算，下列選項何者正確（卷面把弧度的單位印作「徑」，即課本的「弳」，以下照卷面）

(1) $π^{\circ} = 1$ 徑
(2) $3$ 徑為第 $3$ 象限角
(3) $1$ 徑 $= \frac{18 0 ^{\circ}}{π}$
(4) $10$ 徑的最小正同界角是 $10 - 3 π$ 徑
(5) $π$ 徑 $= 3.14$ 徑

在

- π \leq x \leq 3 π

的範圍中，

y = sin x

與

y = cos x

的圖形有幾個交點

(1) $0$ 個
(2) $1$ 個
(3) $2$ 個
(4) $3$ 個
(5) $4$ 個

將

y = sin x

的圖形先水平伸縮為

\frac{1}{3}

倍，鉛直伸縮為

2

倍，再向上平移

4

單位可得下列哪個函數

(1) $y = 2 sin (3 x) + 4$
(2) $y = \frac{1}{2} sin (3 x) + 4$
(3) $y = 2 sin (\frac{1}{3} x) + 4$
(4) $y = 2 sin (3 x) - 4$
(5) $y = \frac{1}{2} sin (3 x) - 4$

已知

P

點座標為

(sin 9, cos 9)

，則

P

點落在第幾象限

(1) 一
(2) 二
(3) 三
(4) 四
(5) 落在坐標軸上

已知

a = sin 1

、

b = sin 3

、

c = sin 5

，有關

a

、

b

、

c

的大小順序，下列哪個選項正確

(1) $a > b > c$
(2) $b > c > a$
(3) $c > b > a$
(4) $a > c > b$
(5) $b > a > c$

二、多選題（第 6 題至第 9 題每題 5 分，共 20 分；每題全對得 5 分，錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個以上選項或該題未作答得 0 分）

將

y = sin x

的圖形向右平移

\frac{π}{2}

後，與下列哪些圖形可以重合？

(1) $y = sin (x + \frac{π}{2})$
(2) $y = sin (x - \frac{π}{2})$
(3) $y = cos x$
(4) $y = cos (x - π)$
(5) $y = sin (x + \frac{3 π}{2})$

下列何者與

y = tan x

有相同週期

(1) $y = sin 2 x$
(2) $y = cos^{2} x - sin^{2} x$
(3) $y = sin x + cos x$
(4) $y = 4 cos^{3} x - 3 cos x$
(5) $y = sin x \cdot cos x$

已知

9 0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ}

且

cos x = - \frac{3}{5}

，則下列哪些選項正確

(1) $sin x = \frac{4}{5}$
(2) $sin 2 x = - \frac{24}{25}$
(3) $cos \frac{x}{2} = \frac{1}{10}$
(4) $sin \frac{x}{2} = \frac{1}{10}$
(5) $2 x$ 在第四象限

下列哪些選項敘述正確？

(1) 若 $x \in R$ ， $sin x + cos x$ 最大值為 $2$
(2) 若 $π \leq x \leq 2 π$ ， $sin x + cos x$ 最大值為 $2$
(3) 若 $x \in R$ ， $sin x \cdot cos x$ 最大值為 $\frac{1}{2}$
(4) 若 $0 \leq x \leq π$ ， $sin x \cdot cos x$ 最大值為 $\frac{1}{2}$
(5) 若 $x \in R$ ， $2 sin x + cos 2 x$ 最大值為 $5$

三、填充題（第 10 題至第 14 題每格 5 分，共 35 分）

sin \frac{π}{6} + cos \frac{2 π}{3} + tan \frac{5 π}{4} =

____

如圖為

y = a sin (b x - \frac{π}{3}) + c

的部分圖形，若

a > 0, b > 0, c > 0

，試求

(a, b, c) =

____

載入中...

已知

0 \leq x \leq π

，試求：(1)

cos x \leq - \frac{1}{2}

的解為 ____（

x

的範圍）　(2)

sin x + 3 cos x = 1

的解為 ____

已知

△ A B C

中，

tan A = - \frac{4}{3}

、

cos B = \frac{24}{25}

，且

\overline{A B} = 15

，試求：(1)

sin C =

____　(2)

\overline{B C} =

____

求坐標平面上兩直線

y = - 3 x + 3

與

y = - \frac{1}{2} x + \frac{10}{3}

的銳夾角為 ____

四、混合題（3 小題，每題 5 分，共 15 分）

△ A B C

為正三角形。勒洛三角形還有個特點，與圓在直線上滾動時一樣，其滾動時可以實現上下區間高度一致，如圖三，

L_{1}

、

L_{2}

為互相平行的兩條線，勒洛三角形與圓

O

都可在兩平行線中滾動並與兩線相切，試回答下列問題：（圖一是井蓋的圖片，本頁沒有重畫；圖二、圖三見第 15 題的附圖）

若圖二中的正

△ A B C

邊長為

2

，則在圖三中兩平行線

L_{1}

、

L_{2}

距離為何？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $2$
(4) $3$
(5) $3$

載入中...

同 (15)，此勒洛三角形滾動一圈的距離跟圓

O

滾動一圈的距離，何者比較長？

同 (15)，此勒洛三角形與圓

O

的面積何者較大？（

π \approx 3.14

、

3 \approx 1.73

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(5)

第 3 題(1)

第 4 題(4)

第 5 題(1)

第 6 題(2)(4)(5)

第 7 題(1)(2)(5)

第 8 題(1)(2)

第 9 題(1)(3)(4)

第 10 題

1

第 11 題

(3, 2, 1)

第 12 題(1)

\frac{2 π}{3} \leq x \leq π

　(2)

x = \frac{π}{2}

第 13 題(1)

\frac{3}{5}

　(2)

20

第 14 題

4 5^{\circ}

第 15 題(2)

第 16 題一樣長（都是

2 π

）

第 17 題圓

O

的面積較大（勒洛三角形

2 π - 23 \approx 2.82

，圓

O

為

π \approx 3.14

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～5 題：度與弧度、圖形的交點、伸縮與平移、用弧度判斷正負與大小

第 1 題答案 (3)。

π

弳

= 18 0^{\circ}

，兩邊同除以

π

得

1

弳

= \frac{18 0 ^{\circ}}{π}

，(3) 正確。(1)

1

弳

= \frac{18 0 ^{\circ}}{π} \approx 57. 3^{\circ}

，不是

π^{\circ} \approx 3.1 4^{\circ}

，錯誤。(2)

\frac{π}{2} \approx 1.57 < 3 < π \approx 3.14

，

3

弳是第二象限角，錯誤。(4) 同界角相差

2 π

的整數倍；

10 - 2 π \approx 3.72

是正的，再減

2 π

就變負的，所以最小正同界角是

10 - 2 π

弳。

10 - 3 π

與

10

相差

3 π

，不是同界角，錯誤。(5)

π = 3.14159 \dots

是無理數，

3.14

只是近似值，兩者不相等，錯誤。

卷面的「徑」就是課本的「弳」。

第 2 題答案 (5)。交點滿足

sin x = cos x

。若

cos x = 0

，則

sin x = \pm 1

，兩邊不會相等，所以

cos x \neq = 0

，同除以

cos x

得

tan x = 1

，

x = \frac{π}{4} + k π

（

k

為整數）。在

- π \leq x \leq 3 π

內：

k = - 1, 0, 1, 2

得

x = - \frac{3 π}{4}, \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}, \frac{9 π}{4}

；

k = - 2

時

x = - \frac{7 π}{4} < - π

，

k = 3

時

x = \frac{13 π}{4} > 3 π

，都不在範圍內。共

4

個交點。

範圍的長度是

4 π

，恰好是兩個週期；兩圖形在每個週期內交兩次。

第 3 題答案 (1)。水平伸縮為

\frac{1}{3}

倍：每一點的

x

坐標變成原來的

\frac{1}{3}

，要把

x

換成

3 x

，得

y = sin (3 x)

。鉛直伸縮為

2

倍：函數值乘以

2

，得

y = 2 sin (3 x)

。再向上平移

4

單位：函數值加

4

，得

y = 2 sin (3 x) + 4

。

水平方向縮成

\frac{1}{3}

，週期由

2 π

變成

\frac{2 π}{3}

，所以

x

的係數是

3

而不是

\frac{1}{3}

。

第 4 題答案 (4)。

9

弳扣掉一圈：

9 - 2 π \approx 9 - 6.28 = 2.72

，而

\frac{π}{2} \approx 1.57 < 2.72 < π \approx 3.14

，所以

9

弳是第二象限角。第二象限角的正弦為正、餘弦為負：

sin 9 > 0

，

cos 9 < 0

。

P

的

x

坐標為正、

y

坐標為負，落在第四象限。

P

的

x

坐標是

sin 9

、

y

坐標是

cos 9

，順序與平常的

(cos θ, sin θ)

相反；角在第二象限，點卻在第四象限。

第 5 題答案 (1)。

π \approx 3.14

。

1

與

3

都在

0

與

π

之間，正弦為正；

5

在

π

與

2 π \approx 6.28

之間，正弦為負，所以

c

最小。再比

a

、

b

：

b = sin 3 = sin (π - 3)

，其中

π - 3 \approx 0.14

。

0 < 0.14 < 1 < \frac{π}{2}

，而正弦函數在

0

到

\frac{π}{2}

之間遞增，所以

sin (π - 3) < sin 1

，即

b < a

。合起來

a > b > c

。

數值約為

a \approx 0.84

、

b \approx 0.14

、

c \approx - 0.96

。

02多選第 6～9 題：圖形的平移、週期、倍角與半角、最大值

第 6 題答案 (2)(4)(5)。向右平移

\frac{π}{2}

是把

x

換成

x - \frac{π}{2}

，得

y = sin (x - \frac{π}{2})

；由差角公式，

sin (x - \frac{π}{2}) = sin x cos \frac{π}{2} - cos x sin \frac{π}{2} = - cos x

。(1)

sin (x + \frac{π}{2}) = cos x

，與

- cos x

不同（

x = 0

時一個是

1

、一個是

- 1

），不重合。(2) 就是平移後的式子，重合。(3)

cos x

與

- cos x

不同，不重合。(4)

cos (x - π) = cos x cos π + sin x sin π = - cos x

，重合。(5)

x + \frac{3 π}{2} = (x - \frac{π}{2}) + 2 π

，正弦的週期是

2 π

，所以

sin (x + \frac{3 π}{2}) = sin (x - \frac{π}{2})

，重合。

第 7 題答案 (1)(2)(5)。

y = tan x

的週期是

π

。(1)

y = sin 2 x

的週期是

\frac{2 π}{2} = π

，相同。(2) 由二倍角公式

cos^{2} x - sin^{2} x = cos 2 x

，週期

π

，相同。(3) 疊合：

sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，週期

2 π

，不同。(4) 用和角公式展開

cos 3 x = cos (2 x + x) = cos 2 x cos x - sin 2 x sin x = (2 cos^{2} x - 1) cos x - 2 sin^{2} x cos x

，把

sin^{2} x

換成

1 - cos^{2} x

得

cos 3 x = 4 cos^{3} x - 3 cos x

；所以 (4) 是

y = cos 3 x

，週期

\frac{2 π}{3}

，不同。(5)

sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

，週期

π

，相同。

(2)(4)(5) 都要先化成單一個正弦或餘弦，才看得出週期。

第 8 題答案 (1)(2)。

x

在

9 0^{\circ}

到

18 0^{\circ}

之間，

sin x \geq 0

，所以

sin x = 1 - (- \frac{3}{5})^{2} = \frac{4}{5}

，(1) 正確。(2)

sin 2 x = 2 sin x cos x = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot (- \frac{3}{5}) = - \frac{24}{25}

，正確。(3)(4)

\frac{x}{2}

在

4 5^{\circ}

到

9 0^{\circ}

之間，正弦、餘弦都不是負的。由半角公式

cos^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 + cos x}{2} = \frac{1}{5}

，

cos \frac{x}{2} = \frac{1}{5}

；

sin^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 - cos x}{2} = \frac{4}{5}

，

sin \frac{x}{2} = \frac{2}{5}

。兩個都不是

\frac{1}{10}

，(3)(4) 錯誤。(5)

cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1 = 2 \cdot \frac{9}{25} - 1 = - \frac{7}{25} < 0

，又

sin 2 x < 0

；正弦、餘弦都是負的，

2 x

在第三象限，錯誤。

cos x = - \frac{3}{5}

時

x \approx 126. 9^{\circ}

，

2 x \approx 253. 7^{\circ}

，在

18 0^{\circ}

與

27 0^{\circ}

之間。

第 9 題答案 (1)(3)(4)。(1) 疊合：

sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，

x

為任意實數時最大值是

2

（例如

x = \frac{π}{4}

），正確。(2)

π \leq x \leq 2 π

時

\frac{5 π}{4} \leq x + \frac{π}{4} \leq \frac{9 π}{4}

。在這個範圍內，正弦值從

- \frac{2}{2}

先降到

- 1

，再一路升到

sin \frac{9 π}{4} = \frac{2}{2}

，最大是

\frac{2}{2}

，所以原式的最大值是

2 \cdot \frac{2}{2} = 1

（

x = 2 π

時），不是

2

，錯誤。(3)

sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

，最大值

\frac{1}{2}

，正確。(4)

0 \leq x \leq π

時

0 \leq 2 x \leq 2 π

，範圍內有

2 x = \frac{π}{2}

（

x = \frac{π}{4}

），

sin 2 x

可以取到

1

，最大值仍是

\frac{1}{2}

，正確。(5)

cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x

，令

t = sin x

（

- 1 \leq t \leq 1

），原式

= - 2 t^{2} + 2 t + 1 = - 2 (t - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2}

；

t = \frac{1}{2}

在範圍內，最大值是

\frac{3}{2}

，不是

5

，錯誤。

(5) 的

sin x

與

cos 2 x

角度不同，不能疊合；

5 = 2^{2} + 1^{2}

是把它當成同角去疊合的結果。

限制了

x

的範圍時，先把疊合後括號裡的角的範圍寫出來，再看正弦在那一段的最大值，不能直接取振幅。

03填充第 10～14 題：特殊角、由圖形求係數、解不等式與方程式、和角公式、兩直線的夾角

第 10 題

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

。

\frac{2 π}{3}

在第二象限，

cos \frac{2 π}{3} = - cos \frac{π}{3} = - \frac{1}{2}

。正切的週期是

π

，

tan \frac{5 π}{4} = tan \frac{π}{4} = 1

。原式

= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 = 1

。

第 11 題

a > 0

時，函數的最大值是

a + c

、最小值是

- a + c

。由圖，最高點的

y

坐標是

4

、最低點是

- 2

：

a + c = 4

，

- a + c = - 2

，解得

a = 3

，

c = 1

。圖上相鄰的最高點

(\frac{5 π}{12}, 4)

與最低點

(\frac{11 π}{12}, - 2)

的

x

坐標相差

\frac{11 π}{12} - \frac{5 π}{12} = \frac{π}{2}

，這是半個週期，所以週期是

π

；

b > 0

時週期為

\frac{2 π}{b} = π

，得

b = 2

。所以

(a, b, c) = (3, 2, 1)

。

檢查：

x = \frac{5 π}{12}

時

2 x - \frac{π}{3} = \frac{π}{2}

，

y = 3 sin \frac{π}{2} + 1 = 4

；

x = \frac{11 π}{12}

時

2 x - \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}

，

y = - 3 + 1 = - 2

，與圖相符。

第 12 題(1) 在

0 \leq x \leq π

內，

y = cos x

由

1

遞減到

- 1

，而

cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

。所以

cos x \leq - \frac{1}{2}

的解是

\frac{2 π}{3} \leq x \leq π

。(2) 疊合：

sin x + 3 cos x = 2 (\frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x) = 2 sin (x + \frac{π}{3})

。方程式變成

sin (x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

。

0 \leq x \leq π

時

\frac{π}{3} \leq x + \frac{π}{3} \leq \frac{4 π}{3}

，在這個範圍內正弦值等於

\frac{1}{2}

的角只有

\frac{5 π}{6}

（

\frac{π}{6}

比

\frac{π}{3}

小，不在範圍內）。所以

x + \frac{π}{3} = \frac{5 π}{6}

，

x = \frac{π}{2}

。

驗算 (2)：

sin \frac{π}{2} + 3 cos \frac{π}{2} = 1 + 0 = 1

。

第 13 題(1) 三角形的內角在

0^{\circ}

與

18 0^{\circ}

之間；

tan A < 0

，所以

A

是鈍角，

sin A > 0

、

cos A < 0

。由

tan A = - \frac{4}{3}

與

sin^{2} A + cos^{2} A = 1

得

sin A = \frac{4}{5}

，

cos A = - \frac{3}{5}

。

cos B = \frac{24}{25} > 0

，

B

是銳角，

sin B = 1 - (\frac{24}{25})^{2} = \frac{7}{25}

。

C = 18 0^{\circ} - (A + B)

，所以

sin C = sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B = \frac{4}{5} \cdot \frac{24}{25} + (- \frac{3}{5}) \cdot \frac{7}{25} = \frac{96 - 21}{125} = \frac{3}{5}

。(2)

\overline{B C}

是

A

的對邊，

\overline{A B}

是

C

的對邊。由正弦定理

\frac{B C}{sin A} = \frac{A B}{sin C}

，

\overline{B C} = 15 \times \frac{4}{5} \div \frac{3}{5} = 20

。

鈍角所對的邊最長，

\overline{B C} = 20 > \overline{A B} = 15

，合理。

第 14 題設兩直線的斜角分別為

θ_{1}

、

θ_{2}

，斜率就是斜角的正切：

tan θ_{1} = - 3

，

tan θ_{2} = - \frac{1}{2}

。兩直線的一個夾角是

θ_{2} - θ_{1}

，由正切的差角公式

tan (θ_{2} - θ_{1}) = \frac{tan θ _{2} - tan θ _{1}}{1 + tan θ _{2} tan θ _{1}} = \frac{- \frac{1}{2} - ( - 3 )}{1 + ( - \frac{1}{2} ) ( - 3 )} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}} = 1

。正切值為正，這個夾角是銳角

4 5^{\circ}

（另一個夾角是

13 5^{\circ}

）。所以銳夾角為

4 5^{\circ}

。

寫成弧度是

\frac{π}{4}

。兩條直線的常數項

3

與

\frac{10}{3}

只影響位置，不影響夾角。

04混合題第 15～17 題：勒洛三角形的寬度、周長與面積

第 15 題答案 (2)。圖三中頂點

C

在

L_{1}

上，對面的弧

A B

與

L_{2}

相切，設切點為

H

。弧

A B

是以

C

為圓心、邊長

2

為半徑的圓弧，圓的切線與過切點的半徑垂直，所以

\overline{C H} ⊥ L_{2}

且

\overline{C H} = 2

。

C

在

L_{1}

上，

L_{1}

與

L_{2}

平行，所以兩線的距離就是

\overline{C H} = 2

。

弧上每一點到對面頂點的距離都是

2

，所以勒洛三角形不管怎麼轉，夾住它的兩條平行線距離都是

2

。圓

O

也與兩線相切，直徑是

2

、半徑是

1

。

第 16 題滾動一圈的距離就是周長。勒洛三角形的每一段弧，半徑是

2

，所對的圓心角是正三角形的內角

6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

，弧長

= 2 \times \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

；三段合計

3 \times \frac{2 π}{3} = 2 π

。圓

O

與兩平行線都相切，直徑等於兩線的距離

2

，半徑是

1

，圓周長

= 2 π \times 1 = 2 π

。兩者一樣長。

弧長公式「弧長

=

半徑

\times

圓心角」的圓心角要用弧度。

第 17 題以

A

為圓心的扇形（半徑

2

、圓心角

\frac{π}{3}

）面積是

\frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

。三個頂點各有一個這樣的扇形，三個扇形合起來蓋滿整個勒洛三角形，但中間的正三角形被算了三次，要扣掉兩次。正三角形面積

= \frac{3}{4} \times 2^{2} = 3

。勒洛三角形面積

= 3 \times \frac{2 π}{3} - 23 = 2 π - 23 \approx 6.28 - 3.46 = 2.82

。圓

O

的半徑是

1

，面積

= π \approx 3.14

。

2.82 < 3.14

，圓

O

的面積較大。

兩者相減：

(2 π - 23) - π = π - 23 \approx 3.14 - 3.46 = - 0.32 < 0

。寬度相同、周長也相同，面積卻是圓比較大。

弧長與扇形面積的圓心角都用弧度。

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03填充第 10～14 題：特殊角、由圖形求係數、解不等式與方程式、和角公式、兩直線的夾角

04混合題第 15～17 題：勒洛三角形的寬度、周長與面積

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