段考詳解範圍：弧度量、扇形的弧長與面積、正弦函數的圖形（週期、振幅、平移）與週期性現象

基隆高中 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

第壹部分選擇（填）題占 82 分：是非題 8 題（每題 4 分，共 32 分）、單選題 2 題（每題 5 分，共 10 分）、填充題 7 題共 8 格（每格 5 分，共 40 分）；第貳部分混合題 1 題組占 18 分（第 18 題 7 分、第 19 題 6 分、第 20 題 5 分）。題號照原卷全卷連續編為 1 到 20。答案已與學校公布的答案逐題核對。

第壹部分、選擇（填）題（占 82 分）　一、是非題（共 32 分）說明：請於答案卷卡上答案格之「是」或「否」欄劃記答案。第 1 題至第 8 題每題 4 分。

若函數

f (x) = 2 sin (5 x)

，則

f (x)

的函數值範圍為

- 2 \leq f (x) \leq 2

。

若函數

f (x) = 3 sin (2 x) + 1

，

f (x)

的週期為

π

。

若函數

f (x) = sin (3 x)

，則

f (x)

的振幅為

3

。

若函數

f (x) = sin (\frac{x}{2})

，則

f (x)

對稱

y

軸。

y = sin (x + \frac{3 π}{5})

的圖形可由

y = sin (x)

的圖形向右平移

\frac{3 π}{5}

單位得到。

y = 2 sin (2 x - \frac{π}{6})

的圖形在

x = \frac{π}{3}

時會產生最大值。

y = 2 sin (2 x - \frac{π}{6}) + 1

的圖形與

y + 1 = 0

的圖形無交點。

由於

\frac{7 π}{5}

弳與

\frac{- 3 π}{5}

弳相差

2 π

，故

\frac{7 π}{5}

弳為

\frac{- 3 π}{5}

弳的同界角。

二、單選題（共 10 分）說明：請於答案卷卡上答案格之對應欄位劃記答案，每題之答案完全答對才給分。第 9 題至第 10 題，每格 5 分。

右圖是下列哪個函數的圖形？

(A) $y = sin (3 x)$
(B) $y = sin (- 3 x)$
(C) $y = - 3 sin (2 x)$
(D) $y = 3 sin (2 x)$
(E) $y = 3 sin (x)$

載入中...

下列五圖形中，有一個是

y = - x (sin x)

的部分圖形，判斷哪個選項是該圖形？

(A) 圖 (A)
(B) 圖 (B)
(C) 圖 (C)
(D) 圖 (D)
(E) 圖 (E)

載入中...

三、填充題（共 40 分）說明：請於答案卷卡上答案格之對應欄位劃記答案，每題之答案完全答對才給分。第 11 題至第 17 題，共 8 格，每格 5 分。

- 4

弳是在第 ____ 象限角。

一位同學想利用圓的部分圖形來設計婚禮拍照看板，如右圖所示；已知

O

為圓心，圓半徑為

5

公尺且

∠ A O B = 12 0^{\circ}

，求此看板的面積為

\frac{□□}{□} π + \frac{25}{□} □

平方公尺？

載入中...

試問點

P (sin (\frac{- 2 π}{3}), cos (\frac{- 2 π}{3}))

在第 ____ 象限。

已知

y = sin (x) + k

的部分圖形如圖，則

k =

____。

載入中...

若

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{7 π}{6}

，求

y = sin (x)

最大值

M

與最小值

m

，則

(M, m) = (□, \frac{□□}{□})

。

求方程式

\frac{x}{3 π} - sin x = 0

有 ____ 個根，當中有 ____ 個正根。

求

sin (\frac{7 π}{6}) \cdot cos (\frac{π}{6}) \cdot tan (\frac{2 π}{3})

的值為

\frac{□}{□}

。

第貳部分、混合題（占 18 分）說明：本部分共有 1 題組（18 題至 20 題），每一子題配分標於題末。限在答題卷標示題號的作答區內作答。選擇題使用 2B 鉛筆作答，更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。非選擇題請由左而右橫式書寫，19 題與 20 題作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

第 18～20 題為題組（第 18～20 題）　遊樂區中有一圓形摩天輪，摩天輪中心至地面高

22

公尺，直徑

40

公尺，逆時針方向運轉一圈需時

18

分鐘。設摩天輪開始運轉時，甲車廂恰在離地最近的位置上，試問在運轉

12

分鐘後，試回答下列問題：

甲車廂繞圓心旋轉 ____ 弳？（單選）（7 分）

(A) $\frac{π}{3}$
(B) $\frac{2 π}{3}$
(C) $\frac{4 π}{3}$
(D) $\frac{5 π}{3}$
(E) $\frac{3 π}{4}$

甲車廂共繞行多少公尺？（6 分）

甲車廂離地面多少公尺？（5 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：是＝正確、否＝錯誤（照原卷作答規定）

1是

2是

3否

4否

5否

6是

7否

8是

第 9 題(C)

第 10 題(E)

第 11 題

2

第 12 題

\frac{50}{3} π + \frac{25}{4} 3

第 13 題

3

第 14 題

3

第 15 題

(1, - \frac{1}{2})

第 16 題

7

個根，當中有

3

個正根

第 17 題

\frac{3}{4}

第 18 題(C)

第 19 題

\frac{80 π}{3}

公尺

第 20 題

32

公尺

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～4 題：值域、週期、振幅與對稱

第 1 題是是。不論括號裡是什麼角，正弦值都在

- 1

與

1

之間，而且

5 x

可以是任何實數，所以

- 1

到

1

的每個值都取得到。乘以

2

之後，

- 2 \leq 2 sin (5 x) \leq 2

。

x

的係數

5

只改變週期，不影響函數值的範圍。

第 2 題是是。

y = a sin (b x) + d

（

b > 0

）的週期是

\frac{2 π}{b}

。這裡

b = 2

，週期是

\frac{2 π}{2} = π

。

前面的

3

是振幅，後面的

+ 1

是把圖形向上平移

1

單位，兩者都不改變週期。

第 3 題否否。振幅看的是

sin

前面的係數。

f (x) = sin (3 x) = 1 \cdot sin (3 x)

，最大值

1

、最小值

- 1

，所以振幅是

1

，不是

3

。

括號裡的

3

讓週期變成

\frac{2 π}{3}

，不是振幅。

第 4 題否否。圖形對稱於

y

軸，表示把

x

換成

- x

之後函數值不變。但

f (- x) = sin (- \frac{x}{2}) = - sin (\frac{x}{2}) = - f (x)

，函數值變號。例如

f (π) = sin \frac{π}{2} = 1

，

f (- π) = - 1

，兩者不相等，所以圖形不對稱於

y

軸。

f (- x) = - f (x)

表示圖形對稱於原點。

y = a sin (b x) + d

（

a > 0

、

b > 0

）：振幅是

a

，週期是

\frac{2 π}{b}

，函數值在

d - a

與

d + a

之間。

02是非第 5～8 題：平移、最大值、與水平線的交點、同界角

第 5 題否否。把

y = sin x

的圖形向右平移

\frac{3 π}{5}

單位，得到的是

y = sin (x - \frac{3 π}{5})

。

y = sin (x + \frac{3 π}{5})

是向左平移

\frac{3 π}{5}

單位。

檢查一個點：

y = sin x

通過

(0, 0)

；

y = sin (x + \frac{3 π}{5})

在

x = - \frac{3 π}{5}

時才是

0

，原來的點跑到左邊去了。

第 6 題是是。

x = \frac{π}{3}

時，

2 x - \frac{π}{6} = \frac{2 π}{3} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}

，

sin \frac{π}{2} = 1

是正弦的最大值，所以這時

y = 2 \times 1 = 2

是函數的最大值。

第 7 題否否。

y + 1 = 0

就是水平線

y = - 1

。

sin

的值在

- 1

與

1

之間，所以

y = 2 sin (2 x - \frac{π}{6}) + 1

的值在

- 1

與

3

之間，最小值剛好是

- 1

。例如

2 x - \frac{π}{6} = - \frac{π}{2}

，即

x = - \frac{π}{6}

時，

y = 2 \times (- 1) + 1 = - 1

。圖形的每個最低點都落在直線

y = - 1

上，有交點。

只有比

- 1

低或比

3

高的水平線才和這個圖形沒有交點。

第 8 題是是。兩個角相差

2 π

的整數倍，就是同界角。

\frac{7 π}{5} - (- \frac{3 π}{5}) = \frac{10 π}{5} = 2 π

，剛好差一圈，所以兩者是同界角。

y = sin (x - h)

是把

y = sin x

向右平移

h

；括號裡寫成加，就是向左。

03單選第 9、10 題：由圖形判斷函數

第 9 題答案 (C)。圖形最高到

3

、最低到

- 3

，振幅是

3

，(A)(B) 的振幅是

1

，不合。圖形在

x = 0

、

\frac{π}{2}

、

π

通過

x

軸，從

0

到

π

剛好是一個完整的波，週期是

π

，所以

x

的係數是

\frac{2 π}{π} = 2

，(E) 的週期是

2 π

，不合。剩下 (C)(D)：圖形在原點右邊先往下走，

0

與

\frac{π}{2}

之間是最低點。代

x = \frac{π}{4}

：(C) 是

- 3 sin \frac{π}{2} = - 3

，(D) 是

3

。所以是 (C)

y = - 3 sin (2 x)

。

y = - 3 sin (2 x)

是把

y = 3 sin (2 x)

的圖形對

x

軸上下翻轉。

第 10 題答案 (E)。先看對稱：把

x

換成

- x

，

- (- x) sin (- x) = - (- x) (- sin x) = - x sin x

，函數值不變，所以圖形對稱於

y

軸。(A)(B) 的圖形是對稱於原點，(C) 的圖形有一條鉛直線和它交於三點、不是函數圖形，都不合，剩下 (D)(E)。再看原點右邊：

0 < x < π

時

x > 0

且

sin x > 0

，所以

y = - x sin x < 0

，圖形在

x

軸下方；

x = 0

時

y = 0

，通過原點。(D) 在原點兩側是在

x

軸上方，(E) 在原點兩側是在

x

軸下方，所以是 (E)。

過了

x = π

之後

sin x < 0

，

y

變成正的，所以圖形兩端又往上走，整個像英文字母 W。(D) 是

y = x sin x

的樣子。

04填充第 11～13 題：弧度角的象限、看板的面積

第 11 題負角是順時針轉。先加一圈換成

0

到

2 π

之間的同界角：

- 4 + 2 π \approx - 4 + 6.28 = 2.28

。而

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

，

1.57 < 2.28 < 3.14

，所以落在第

2

象限。

直接看也可以：順時針轉

π \approx 3.14

到負

x

軸，轉

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

到正

y

軸；

4

介於兩者之間，停在第二象限。

第 12 題看板是圓被弦

A B

切掉下面一小塊之後剩下的部分，可以拆成「圓心角較大的那個扇形」加上「三角形

O A B

」。扇形的圓心角是

36 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 24 0^{\circ} = \frac{4 π}{3}

，面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 25 \times \frac{4 π}{3} = \frac{50}{3} π

。三角形

O A B

：

O A = O B = 5

，夾角

12 0^{\circ}

，面積

= \frac{1}{2} \times 5 \times 5 \times sin 12 0^{\circ} = \frac{25}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{25}{4} 3

。看板面積

= \frac{50}{3} π + \frac{25}{4} 3

平方公尺。

三角形也可以用底乘高：從

O

向

A B

作垂線，把

12 0^{\circ}

平分成兩個

6 0^{\circ}

，高

= 5 cos 6 0^{\circ} = \frac{5}{2}

，底

A B = 2 \times 5 sin 6 0^{\circ} = 53

，面積

= \frac{1}{2} \times 53 \times \frac{5}{2} = \frac{25}{4} 3

。扇形面積公式裡的角要用弧度。

第 13 題

- \frac{2 π}{3}

是順時針轉

12 0^{\circ}

，終邊在第三象限，參考角是

\frac{π}{3}

。第三象限的正弦、餘弦都是負的：

sin (- \frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2}

，

cos (- \frac{2 π}{3}) = - \frac{1}{2}

。點

P (- \frac{3}{2}, - \frac{1}{2})

的兩個坐標都是負的，在第

3

象限。

這題

P

的橫坐標放的是正弦、縱坐標放的是餘弦，和單位圓上的點（橫坐標是餘弦）順序相反；這裡兩個值剛好都是負的，要是角換成別的象限就要小心。

05填充第 14、15 題：上下平移、一段範圍內的最大最小

第 14 題

y = sin x + k

是把

y = sin x

的圖形上下平移

k

單位，最大值是

1 + k

、最小值是

- 1 + k

。圖上最高到

4

、最低到

2

，所以

1 + k = 4

，

k = 3

（用最小值檢查：

- 1 + 3 = 2

，相符）。

也可以看圖形的起點：

x = 0

時

y = sin 0 + k = k

，圖上起點的高度是

3

。

第 15 題看

y = sin x

的圖形從

x = \frac{π}{3}

到

x = \frac{7 π}{6}

這一段。

\frac{π}{2}

在這個範圍裡，

sin \frac{π}{2} = 1

是正弦能到的最高值，所以

M = 1

。過了

\frac{π}{2}

之後圖形一路下降到

\frac{3 π}{2}

，而

\frac{7 π}{6} < \frac{3 π}{2}

，所以最低點在右端：

sin \frac{7 π}{6} = - sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2}

。左端

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

比它大。所以

m = - \frac{1}{2}

，

(M, m) = (1, - \frac{1}{2})

。

不能只代兩個端點：兩端的值是

\frac{3}{2}

與

- \frac{1}{2}

，但最大值出現在中間的

\frac{π}{2}

。

求一段範圍內的最大最小，先看範圍裡有沒有包含圖形的最高點或最低點，再比兩個端點。

06填充第 16、17 題：用圖形數實根、特殊角的值

第 16 題方程式就是

sin x = \frac{x}{3 π}

，實根的個數是

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{3 π}

的交點個數。直線通過原點與

(3 π, 1)

、

(- 3 π, - 1)

。

x > 3 π

時直線高於

1

，

x < - 3 π

時直線低於

- 1

，都不會再和正弦曲線相交，只要看

- 3 π \leq x \leq 3 π

。先看

x > 0

，這時直線在

x

軸上方，只可能在

sin x > 0

的地方相交：在

0 < x < π

，正弦曲線一開始比直線高（例如

x = \frac{π}{2}

時

1 > \frac{1}{6}

），到

x = π

時

sin π = 0 < \frac{1}{3}

已經比直線低，交

1

點；在

π \leq x \leq 2 π

，

sin x \leq 0

，沒有交點；在

2 π < x < 3 π

，

x = 2 π

時

0 < \frac{2}{3}

，

x = \frac{5 π}{2}

時

1 > \frac{5}{6}

，

x = 3 π

時

0 < 1

，曲線先超過直線再落回直線下方，交

2

點。所以正根有

3

個。兩個圖形都對稱於原點，負根也是

3

個，再加上

x = 0

，共

3 + 3 + 1 = 7

個根。

x = 3 π

時直線的高度是

1

，但

sin 3 π = 0

，那裡不是交點。直線的高度到

1

的地方就是要畫的範圍的邊界，這個邊界由分母

3 π

決定。

第 17 題三個值分開算。

\frac{7 π}{6}

在第三象限，參考角

\frac{π}{6}

，正弦為負：

sin \frac{7 π}{6} = - \frac{1}{2}

。

cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}

。

\frac{2 π}{3}

在第二象限，參考角

\frac{π}{3}

，正切為負：

tan \frac{2 π}{3} = - 3

。相乘：

(- \frac{1}{2}) \times \frac{3}{2} \times (- 3) = \frac{3}{4}

。

兩個負號相乘變成正的；

3 \times 3 = 3

。

07混合題第 18～20 題：摩天輪

第 18 題答案 (C)。轉一圈是

2 π

弳，需時

18

分鐘。

12

分鐘轉了

\frac{12}{18} = \frac{2}{3}

圈，轉過的角是

\frac{2}{3} \times 2 π = \frac{4 π}{3}

弳。

第 19 題車廂走的是半徑

20

公尺（直徑

40

公尺的一半）的圓弧，圓心角是上一題的

\frac{4 π}{3}

。弧長

= r θ = 20 \times \frac{4 π}{3} = \frac{80 π}{3}

公尺。

也可以用圓周長算：一圈是

40 π

公尺，走了

\frac{2}{3}

圈，

40 π \times \frac{2}{3} = \frac{80 π}{3}

公尺。半徑要用

20

，不是直徑

40

。

第 20 題車廂從最低點出發，逆時針轉了

\frac{4 π}{3}

，也就是

24 0^{\circ}

：轉

9 0^{\circ}

到與中心同高的位置，轉

18 0^{\circ}

到最高點，再多轉

6 0^{\circ}

。這時它已經過了最高點，和中心的連線與通過中心的水平線夾

9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}

，位置在中心的上方。車廂比中心高

20 sin 3 0^{\circ} = 10

公尺，所以離地面

22 + 10 = 32

公尺。

也可以寫成一個式子：轉過

θ

時，車廂離地面的高度是

22 - 20 cos θ

（

θ = 0

時是最低點

2

公尺，

θ = π

時是最高點

42

公尺）。代

θ = \frac{4 π}{3}

：

22 - 20 \times (- \frac{1}{2}) = 32

公尺。學校的參考算式是

22 + 20 \cdot sin 3 0^{\circ} = 32

。

圓周運動的題目先算轉了幾圈、換成弧度，再畫出車廂的位置，高度就是中心的高度加上（或減去）半徑乘以正弦或餘弦。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

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本頁列出全部 20 題的答案，是非題 8 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

基隆高中 111 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題括號裡是加，圖形是向左平移不是向右；第 7 題的最小值剛好是負一，和那條水平線碰在一點，所以有交點；第 10 題先看圖形對稱於縱軸，再看原點右邊一小段是在橫軸下方；第 16 題要把斜直線和正弦曲線畫在一起數交點，別漏掉原點，也要確認直線升到一的那個位置不是交點；第 20 題車廂已經轉過最高點，要先找出它和水平線的夾角再算高度。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自基隆高中 111 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：弧度量、扇形的弧長與面積、正弦函數的圖形（週期、振幅、平移）與週期性現象

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

第壹部分、選擇（填）題（占 82 分）　一、是非題（共 32 分）說明：請於答案卷卡上答案格之「是」或「否」欄劃記答案。第 1 題至第 8 題每題 4 分。

若函數

f (x) = 2 sin (5 x)

，則

f (x)

的函數值範圍為

- 2 \leq f (x) \leq 2

。

若函數

f (x) = 3 sin (2 x) + 1

，

f (x)

的週期為

π

。

若函數

f (x) = sin (3 x)

，則

f (x)

的振幅為

3

。

若函數

f (x) = sin (\frac{x}{2})

，則

f (x)

對稱

y

軸。

y = sin (x + \frac{3 π}{5})

的圖形可由

y = sin (x)

的圖形向右平移

\frac{3 π}{5}

單位得到。

y = 2 sin (2 x - \frac{π}{6})

的圖形在

x = \frac{π}{3}

時會產生最大值。

y = 2 sin (2 x - \frac{π}{6}) + 1

的圖形與

y + 1 = 0

的圖形無交點。

由於

\frac{7 π}{5}

弳與

\frac{- 3 π}{5}

弳相差

2 π

，故

\frac{7 π}{5}

弳為

\frac{- 3 π}{5}

弳的同界角。

二、單選題（共 10 分）說明：請於答案卷卡上答案格之對應欄位劃記答案，每題之答案完全答對才給分。第 9 題至第 10 題，每格 5 分。

右圖是下列哪個函數的圖形？

(A) $y = sin (3 x)$
(B) $y = sin (- 3 x)$
(C) $y = - 3 sin (2 x)$
(D) $y = 3 sin (2 x)$
(E) $y = 3 sin (x)$

載入中...

下列五圖形中，有一個是

y = - x (sin x)

的部分圖形，判斷哪個選項是該圖形？

(A) 圖 (A)
(B) 圖 (B)
(C) 圖 (C)
(D) 圖 (D)
(E) 圖 (E)

載入中...

三、填充題（共 40 分）說明：請於答案卷卡上答案格之對應欄位劃記答案，每題之答案完全答對才給分。第 11 題至第 17 題，共 8 格，每格 5 分。

- 4

弳是在第 ____ 象限角。

一位同學想利用圓的部分圖形來設計婚禮拍照看板，如右圖所示；已知

O

為圓心，圓半徑為

5

公尺且

∠ A O B = 12 0^{\circ}

，求此看板的面積為

\frac{□□}{□} π + \frac{25}{□} □

平方公尺？

載入中...

試問點

P (sin (\frac{- 2 π}{3}), cos (\frac{- 2 π}{3}))

在第 ____ 象限。

已知

y = sin (x) + k

的部分圖形如圖，則

k =

____。

載入中...

若

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{7 π}{6}

，求

y = sin (x)

最大值

M

與最小值

m

，則

(M, m) = (□, \frac{□□}{□})

。

求方程式

\frac{x}{3 π} - sin x = 0

有 ____ 個根，當中有 ____ 個正根。

求

sin (\frac{7 π}{6}) \cdot cos (\frac{π}{6}) \cdot tan (\frac{2 π}{3})

的值為

\frac{□}{□}

。

第 18～20 題為題組（第 18～20 題）　遊樂區中有一圓形摩天輪，摩天輪中心至地面高

22

公尺，直徑

40

公尺，逆時針方向運轉一圈需時

18

分鐘。設摩天輪開始運轉時，甲車廂恰在離地最近的位置上，試問在運轉

12

分鐘後，試回答下列問題：

甲車廂繞圓心旋轉 ____ 弳？（單選）（7 分）

(A) $\frac{π}{3}$
(B) $\frac{2 π}{3}$
(C) $\frac{4 π}{3}$
(D) $\frac{5 π}{3}$
(E) $\frac{3 π}{4}$

甲車廂共繞行多少公尺？（6 分）

甲車廂離地面多少公尺？（5 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：是＝正確、否＝錯誤（照原卷作答規定）

1是

2是

3否

4否

5否

6是

7否

8是

第 9 題(C)

第 10 題(E)

第 11 題

2

第 12 題

\frac{50}{3} π + \frac{25}{4} 3

第 13 題

3

第 14 題

3

第 15 題

(1, - \frac{1}{2})

第 16 題

7

個根，當中有

3

個正根

第 17 題

\frac{3}{4}

第 18 題(C)

第 19 題

\frac{80 π}{3}

公尺

第 20 題

32

公尺

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～4 題：值域、週期、振幅與對稱

第 1 題是是。不論括號裡是什麼角，正弦值都在

- 1

與

1

之間，而且

5 x

可以是任何實數，所以

- 1

到

1

的每個值都取得到。乘以

2

之後，

- 2 \leq 2 sin (5 x) \leq 2

。

x

的係數

5

只改變週期，不影響函數值的範圍。

第 2 題是是。

y = a sin (b x) + d

（

b > 0

）的週期是

\frac{2 π}{b}

。這裡

b = 2

，週期是

\frac{2 π}{2} = π

。

前面的

3

是振幅，後面的

+ 1

是把圖形向上平移

1

單位，兩者都不改變週期。

第 3 題否否。振幅看的是

sin

前面的係數。

f (x) = sin (3 x) = 1 \cdot sin (3 x)

，最大值

1

、最小值

- 1

，所以振幅是

1

，不是

3

。

括號裡的

3

讓週期變成

\frac{2 π}{3}

，不是振幅。

第 4 題否否。圖形對稱於

y

軸，表示把

x

換成

- x

之後函數值不變。但

f (- x) = sin (- \frac{x}{2}) = - sin (\frac{x}{2}) = - f (x)

，函數值變號。例如

f (π) = sin \frac{π}{2} = 1

，

f (- π) = - 1

，兩者不相等，所以圖形不對稱於

y

軸。

f (- x) = - f (x)

表示圖形對稱於原點。

y = a sin (b x) + d

（

a > 0

、

b > 0

）：振幅是

a

，週期是

\frac{2 π}{b}

，函數值在

d - a

與

d + a

之間。

02是非第 5～8 題：平移、最大值、與水平線的交點、同界角

第 5 題否否。把

y = sin x

的圖形向右平移

\frac{3 π}{5}

單位，得到的是

y = sin (x - \frac{3 π}{5})

。

y = sin (x + \frac{3 π}{5})

是向左平移

\frac{3 π}{5}

單位。

檢查一個點：

y = sin x

通過

(0, 0)

；

y = sin (x + \frac{3 π}{5})

在

x = - \frac{3 π}{5}

時才是

0

，原來的點跑到左邊去了。

第 6 題是是。

x = \frac{π}{3}

時，

2 x - \frac{π}{6} = \frac{2 π}{3} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}

，

sin \frac{π}{2} = 1

是正弦的最大值，所以這時

y = 2 \times 1 = 2

是函數的最大值。

第 7 題否否。

y + 1 = 0

就是水平線

y = - 1

。

sin

的值在

- 1

與

1

之間，所以

y = 2 sin (2 x - \frac{π}{6}) + 1

的值在

- 1

與

3

之間，最小值剛好是

- 1

。例如

2 x - \frac{π}{6} = - \frac{π}{2}

，即

x = - \frac{π}{6}

時，

y = 2 \times (- 1) + 1 = - 1

。圖形的每個最低點都落在直線

y = - 1

上，有交點。

只有比

- 1

低或比

3

高的水平線才和這個圖形沒有交點。

第 8 題是是。兩個角相差

2 π

的整數倍，就是同界角。

\frac{7 π}{5} - (- \frac{3 π}{5}) = \frac{10 π}{5} = 2 π

，剛好差一圈，所以兩者是同界角。

y = sin (x - h)

是把

y = sin x

向右平移

h

；括號裡寫成加，就是向左。

03單選第 9、10 題：由圖形判斷函數

第 9 題答案 (C)。圖形最高到

3

、最低到

- 3

，振幅是

3

，(A)(B) 的振幅是

1

，不合。圖形在

x = 0

、

\frac{π}{2}

、

π

通過

x

軸，從

0

到

π

剛好是一個完整的波，週期是

π

，所以

x

的係數是

\frac{2 π}{π} = 2

，(E) 的週期是

2 π

，不合。剩下 (C)(D)：圖形在原點右邊先往下走，

0

與

\frac{π}{2}

之間是最低點。代

x = \frac{π}{4}

：(C) 是

- 3 sin \frac{π}{2} = - 3

，(D) 是

3

。所以是 (C)

y = - 3 sin (2 x)

。

y = - 3 sin (2 x)

是把

y = 3 sin (2 x)

的圖形對

x

軸上下翻轉。

第 10 題答案 (E)。先看對稱：把

x

換成

- x

，

- (- x) sin (- x) = - (- x) (- sin x) = - x sin x

，函數值不變，所以圖形對稱於

y

軸。(A)(B) 的圖形是對稱於原點，(C) 的圖形有一條鉛直線和它交於三點、不是函數圖形，都不合，剩下 (D)(E)。再看原點右邊：

0 < x < π

時

x > 0

且

sin x > 0

，所以

y = - x sin x < 0

，圖形在

x

軸下方；

x = 0

時

y = 0

，通過原點。(D) 在原點兩側是在

x

軸上方，(E) 在原點兩側是在

x

軸下方，所以是 (E)。

過了

x = π

之後

sin x < 0

，

y

變成正的，所以圖形兩端又往上走，整個像英文字母 W。(D) 是

y = x sin x

的樣子。

04填充第 11～13 題：弧度角的象限、看板的面積

第 11 題負角是順時針轉。先加一圈換成

0

到

2 π

之間的同界角：

- 4 + 2 π \approx - 4 + 6.28 = 2.28

。而

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

，

1.57 < 2.28 < 3.14

，所以落在第

2

象限。

直接看也可以：順時針轉

π \approx 3.14

到負

x

軸，轉

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

到正

y

軸；

4

介於兩者之間，停在第二象限。

第 12 題看板是圓被弦

A B

切掉下面一小塊之後剩下的部分，可以拆成「圓心角較大的那個扇形」加上「三角形

O A B

」。扇形的圓心角是

36 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 24 0^{\circ} = \frac{4 π}{3}

，面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 25 \times \frac{4 π}{3} = \frac{50}{3} π

。三角形

O A B

：

O A = O B = 5

，夾角

12 0^{\circ}

，面積

= \frac{1}{2} \times 5 \times 5 \times sin 12 0^{\circ} = \frac{25}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{25}{4} 3

。看板面積

= \frac{50}{3} π + \frac{25}{4} 3

平方公尺。

三角形也可以用底乘高：從

O

向

A B

作垂線，把

12 0^{\circ}

平分成兩個

6 0^{\circ}

，高

= 5 cos 6 0^{\circ} = \frac{5}{2}

，底

A B = 2 \times 5 sin 6 0^{\circ} = 53

，面積

= \frac{1}{2} \times 53 \times \frac{5}{2} = \frac{25}{4} 3

。扇形面積公式裡的角要用弧度。

第 13 題

- \frac{2 π}{3}

是順時針轉

12 0^{\circ}

，終邊在第三象限，參考角是

\frac{π}{3}

。第三象限的正弦、餘弦都是負的：

sin (- \frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2}

，

cos (- \frac{2 π}{3}) = - \frac{1}{2}

。點

P (- \frac{3}{2}, - \frac{1}{2})

的兩個坐標都是負的，在第

3

象限。

這題

P

的橫坐標放的是正弦、縱坐標放的是餘弦，和單位圓上的點（橫坐標是餘弦）順序相反；這裡兩個值剛好都是負的，要是角換成別的象限就要小心。

05填充第 14、15 題：上下平移、一段範圍內的最大最小

第 14 題

y = sin x + k

是把

y = sin x

的圖形上下平移

k

單位，最大值是

1 + k

、最小值是

- 1 + k

。圖上最高到

4

、最低到

2

，所以

1 + k = 4

，

k = 3

（用最小值檢查：

- 1 + 3 = 2

，相符）。

也可以看圖形的起點：

x = 0

時

y = sin 0 + k = k

，圖上起點的高度是

3

。

第 15 題看

y = sin x

的圖形從

x = \frac{π}{3}

到

x = \frac{7 π}{6}

這一段。

\frac{π}{2}

在這個範圍裡，

sin \frac{π}{2} = 1

是正弦能到的最高值，所以

M = 1

。過了

\frac{π}{2}

之後圖形一路下降到

\frac{3 π}{2}

，而

\frac{7 π}{6} < \frac{3 π}{2}

，所以最低點在右端：

sin \frac{7 π}{6} = - sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2}

。左端

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

比它大。所以

m = - \frac{1}{2}

，

(M, m) = (1, - \frac{1}{2})

。

不能只代兩個端點：兩端的值是

\frac{3}{2}

與

- \frac{1}{2}

，但最大值出現在中間的

\frac{π}{2}

。

求一段範圍內的最大最小，先看範圍裡有沒有包含圖形的最高點或最低點，再比兩個端點。

06填充第 16、17 題：用圖形數實根、特殊角的值

第 16 題方程式就是

sin x = \frac{x}{3 π}

，實根的個數是

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{3 π}

的交點個數。直線通過原點與

(3 π, 1)

、

(- 3 π, - 1)

。

x > 3 π

時直線高於

1

，

x < - 3 π

時直線低於

- 1

，都不會再和正弦曲線相交，只要看

- 3 π \leq x \leq 3 π

。先看

x > 0

，這時直線在

x

軸上方，只可能在

sin x > 0

的地方相交：在

0 < x < π

，正弦曲線一開始比直線高（例如

x = \frac{π}{2}

時

1 > \frac{1}{6}

），到

x = π

時

sin π = 0 < \frac{1}{3}

已經比直線低，交

1

點；在

π \leq x \leq 2 π

，

sin x \leq 0

，沒有交點；在

2 π < x < 3 π

，

x = 2 π

時

0 < \frac{2}{3}

，

x = \frac{5 π}{2}

時

1 > \frac{5}{6}

，

x = 3 π

時

0 < 1

，曲線先超過直線再落回直線下方，交

2

點。所以正根有

3

個。兩個圖形都對稱於原點，負根也是

3

個，再加上

x = 0

，共

3 + 3 + 1 = 7

個根。

x = 3 π

時直線的高度是

1

，但

sin 3 π = 0

，那裡不是交點。直線的高度到

1

的地方就是要畫的範圍的邊界，這個邊界由分母

3 π

決定。

第 17 題三個值分開算。

\frac{7 π}{6}

在第三象限，參考角

\frac{π}{6}

，正弦為負：

sin \frac{7 π}{6} = - \frac{1}{2}

。

cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}

。

\frac{2 π}{3}

在第二象限，參考角

\frac{π}{3}

，正切為負：

tan \frac{2 π}{3} = - 3

。相乘：

(- \frac{1}{2}) \times \frac{3}{2} \times (- 3) = \frac{3}{4}

。

兩個負號相乘變成正的；

3 \times 3 = 3

。

07混合題第 18～20 題：摩天輪

第 18 題答案 (C)。轉一圈是

2 π

弳，需時

18

分鐘。

12

分鐘轉了

\frac{12}{18} = \frac{2}{3}

圈，轉過的角是

\frac{2}{3} \times 2 π = \frac{4 π}{3}

弳。

第 19 題車廂走的是半徑

20

公尺（直徑

40

公尺的一半）的圓弧，圓心角是上一題的

\frac{4 π}{3}

。弧長

= r θ = 20 \times \frac{4 π}{3} = \frac{80 π}{3}

公尺。

也可以用圓周長算：一圈是

40 π

公尺，走了

\frac{2}{3}

圈，

40 π \times \frac{2}{3} = \frac{80 π}{3}

公尺。半徑要用

20

，不是直徑

40

。

第 20 題車廂從最低點出發，逆時針轉了

\frac{4 π}{3}

，也就是

24 0^{\circ}

：轉

9 0^{\circ}

到與中心同高的位置，轉

18 0^{\circ}

到最高點，再多轉

6 0^{\circ}

。這時它已經過了最高點，和中心的連線與通過中心的水平線夾

9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}

，位置在中心的上方。車廂比中心高

20 sin 3 0^{\circ} = 10

公尺，所以離地面

22 + 10 = 32

公尺。

也可以寫成一個式子：轉過

θ

時，車廂離地面的高度是

22 - 20 cos θ

（

θ = 0

時是最低點

2

公尺，

θ = π

時是最高點

42

公尺）。代

θ = \frac{4 π}{3}

：

22 - 20 \times (- \frac{1}{2}) = 32

公尺。學校的參考算式是

22 + 20 \cdot sin 3 0^{\circ} = 32

。

圓周運動的題目先算轉了幾圈、換成弧度，再畫出車廂的位置，高度就是中心的高度加上（或減去）半徑乘以正弦或餘弦。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自基隆高中 111 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

基隆高中 111 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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03單選第 9、10 題：由圖形判斷函數

04填充第 11～13 題：弧度角的象限、看板的面積

05填充第 14、15 題：上下平移、一段範圍內的最大最小

06填充第 16、17 題：用圖形數實根、特殊角的值

07混合題第 18～20 題：摩天輪

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