段考詳解範圍：對數與對數律、指數函數與對數函數的圖形、指數與對數的應用

基隆高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

是非題 5 題（每題 3 分，共 15 分）、單一選擇題 5 題（每題 6 分，共 30 分）、多重選擇題 2 題（每題 10 分，共 20 分；錯一個選項得 6 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個選項以上得 0 分）、填充題 5 題（每題 5 分，共 25 分）、混合題 2 小題（每小題 5 分，共 10 分），合計 100 分；題號與原卷相同。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

一、是非題：(對選「是」、錯選「否」；每題 3 分；共 15 分)

若

lo g a = 12.02

，

lo g b = 10.02

，則可知

a

是

b

的

10

倍。

函數

y = (\frac{3}{2})^{x} + 1

的圖形為

載入中...

\frac{2 ^{10} + 2 ^{30}}{2} > 2^{20}

。

若

lo g a = 4.56

，則

a

的整數部分為

5

位數。

若

a > 0

，

a \neq = 1

，

y = lo g_{a} x

的圖形凹口向上。

二、單一選擇題：(每題 6 分；共 30 分)

已知一張影印紙的厚度是

0.01

公分，理論上，至少對摺多少次後，厚度可以達到

100

公尺高？（已知

lo g 2 \approx 0.3010

）

(A) $10$ 次
(B) $15$ 次
(C) $20$ 次
(D) $25$ 次

當溶液的氫離子濃度為

r

莫耳／升時，此溶液的 pH 值為

- lo g r

。若有一種液體的氫離子濃度是

3 \times 1 0^{- 6}

莫耳／升，則其 pH 值最接近下列哪個值？（已知

lo g 3 \approx 0.4771

）

(A) $5$
(B) $5.5$
(C) $6$
(D) $6.5$

若兩直線

y = 4

與

y = 20

交

y = 5^{x}

之圖形於

P

、

Q

兩點，則直線

P Q

的斜率為？

(A) $4$
(B) $10$
(C) $12$
(D) $16$

若

5^{x} = 6

、

7^{y} = 6

，則下列哪個選項的值和

\frac{x}{y}

相等？

(A) $lo g \frac{7}{5}$
(B) $\frac{lo g 5}{lo g 7}$
(C) $lo g_{5} 7$
(D) $lo g_{7} 5$

設

0 < a < 1

，若

y = f (x) = a^{- x}

、

y = g (x) = lo g_{a} x

、

y_{1} = f (- x)

與

y_{2} = - g (x)

圖形皆在下圖中，則下列哪個選項是正確的？

(A) $y_{1} = f (- x)$ 的圖形為 $D$
(B) $y_{2} = - g (x)$ 的圖形為 $E$
(C) $y = f (x)$ 的圖形為 $D$
(D) $y = g (x)$ 的圖形為 $B$

載入中...

三、多重選擇題：(每題 10 分，共 20 分，錯一個選項得 6 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個選項以上得 0 分)

下列選項何者正確？

(A) $lo g_{(- 2)} 1 = 0$
(B) $lo g_{2} (- 3)^{2} = 2 lo g_{2} 3$
(C) $lo g_{3} 7 = lo g_{3} 49$
(D) $\frac{lo g 30}{lo g 3} = lo g 10$
(E) $lo g_{8} 2 = \frac{1}{3}$

已知點

(a, b)

是指數函數

y = f (x) = (\frac{1}{2})^{x}

圖形上的任一點，則下列哪些選項中的點也會在此

f (x)

的圖形上？

(A) $(2 a, b^{2})$
(B) $(a + 1, 2 b)$
(C) $(a - 1, 2 b)$
(D) $(2 a, b - 1)$
(E) $(\frac{a}{4}, b - 2)$

四、填充題(每題 5 分，共 25 分)

熱鬧的跨年晚會上，藝人阿妹在高升的舞臺上飆出她的招牌高音，無緣進入會場的小君只好觀看現場直播的電視牆，已知每一臺電視發出

90

分貝的聲音，則有

50

臺電視的電視牆共發出 ____ 分貝的聲音。(答案四捨五入到整數部位) （聲音的分貝

s

與強度

w

關係：

s = 10 \times lo g w

，

lo g 2 \approx 0.3010

）

已知水生植物

A

每經過

2

個月，覆蓋水面的面積會增加為原來的

3

倍；水生植物

B

每經過

5

個月，覆蓋水面的面積會增加為原來的

9

倍。若

20

個月以後，

A

植物面積是

B

植物面積的

10

倍，則原來

A

植物面積是

B

植物面積的 ____ 倍。

若

2^{x} = 9

，

3^{y} = 16

，則

x y =

____。

化簡

lo g \frac{9}{25} - 8 lo g 2 - 2 lo g 15

之值為 ____。

試求

lo g (1 + \frac{1}{2}) + lo g (1 + \frac{1}{3}) + lo g (1 + \frac{1}{4}) + \dots\dots + lo g (1 + \frac{1}{199}) =

____。

五、混合題(每小題 5 分，共 10 分，「非選擇題」請將過程寫至答案卷上。)

第 18、19 題為題組（混合題）（第 18～19 題）　生物學家透過觀察 DNA 甲基化的速度，得到拉布拉多犬的年齡

x

（歲）所對應的人類年齡

y

（歲）會滿足

y = 37 lo g x + 31

，其中

x

必須大於或等於

1

。根據上述法則，試回答下列問題：

1

歲的拉布拉多犬所對應的人類年歲，最接近下列哪個選項？

(A) $40$
(B) $30$
(C) $20$
(D) $10$

15

歲的拉布拉多犬相當於人類多少歲？（四捨五入至整數位）〔可使用參考數值：

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

〕

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：是＝正確、否＝錯誤（照原卷作答規定）

1否

2否

3是

4是

5否

第 6 題(C)

第 7 題(B)

第 8 題(D)

第 9 題(C)

第 10 題(A)

第 11 題(B)(C)(E)

第 12 題(A)(C)

第 13 題

107

第 14 題

\frac{10}{9}

第 15 題

8

第 16 題

- 4

第 17 題

2

第 18 題(B)

第 19 題

75

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～5 題：對數的意義、指數與對數函數的圖形

第 1 題否答「否」。

lo g a - lo g b = 12.02 - 10.02 = 2

，即

lo g \frac{a}{b} = 2

，所以

\frac{a}{b} = 1 0^{2} = 100

，

a

是

b

的

100

倍，不是

10

倍。

常用對數差

1

，真數差

10

倍；差

2

就差

100

倍。

第 2 題否答「否」。

y = (\frac{3}{2})^{x} + 1

是把

y = (\frac{3}{2})^{x}

往上平移

1

。它通過

(0, 2)

、以

y = 1

為漸近線，這兩點和圖相符；但底數

\frac{3}{2} > 1

，函數遞增，圖形應該由左向右上升，在左邊貼近

y = 1

。題目的圖由左向右下降、在右邊貼近

y = 1

，所以不是它的圖形。

圖中畫的是

y = (\frac{2}{3})^{x} + 1

的樣子，底數要小於

1

才會遞減。

第 3 題是答「是」。

\frac{2 ^{10} + 2 ^{30}}{2} - 2^{20} = \frac{2 ^{10} - 2 \cdot 2 ^{20} + 2 ^{30}}{2} = \frac{( 2 ^{15} - 2 ^{5} ) ^{2}}{2}

。因為

2^{5} \cdot 2^{15} = 2^{20}

，所以

2 \cdot 2^{20} = 2 \cdot 2^{5} \cdot 2^{15}

，分子正好是完全平方式。而

2^{15} \neq = 2^{5}

，這個平方大於

0

，不等式成立。

這就是算幾不等式：兩個不相等的正數，算術平均大於幾何平均，而

2^{10} \cdot 2^{30} = 2^{20}

。實際數值左邊約

5.4 \times 1 0^{8}

，右邊約

1.05 \times 1 0^{6}

。

第 4 題是答「是」。

lo g a = 4.56

介於

4

與

5

之間，所以

1 0^{4} < a < 1 0^{5}

。

a

比

10000

大、比

100000

小，整數部分是

5

位數。

lo g a

的整數部分是

n

（

n \geq 0

）時，

a

的整數部分是

n + 1

位數。

第 5 題否答「否」。凹口方向要看底數。以

a = 10

為例：

y = lo g x

的圖形上取

(1, 0)

、

(100, 2)

，連線的中點是

(50.5, 1)

，而

lo g 50.5 > lo g 10 = 1

，圖形在線段的上方，凹口向下。所以

a > 1

時凹口向下，敘述不成立。

0 < a < 1

時

y = lo g_{a} x

的圖形是

y = lo g_{\frac{1}{a}} x

對

x

軸鏡射，凹口向上。題目沒有限制

a

的範圍，不能說一定凹口向上。

指數函數

y = a^{x}

不論底數，凹口都向上；對數函數

y = lo g_{a} x

的凹口方向跟著底數改變：

a > 1

向下，

0 < a < 1

向上。

02單選第 6、7 題：倍增次數與 pH 值

第 6 題答案 (C)。

100

公尺

= 10000

公分。對摺

n

次後厚度是

0.01 \times 2^{n}

公分。要

0.01 \times 2^{n} \geq 10000

，即

2^{n} \geq 1 0^{6}

。兩邊取常用對數：

n lo g 2 \geq 6

，

n \geq \frac{6}{0.3010} \approx 19.93

。

n

是整數，至少

20

次。

檢查：

2^{19} = 524288 < 1 0^{6}

，

2^{20} = 1048576 \geq 1 0^{6}

。

第 7 題答案 (B)。

pH = - lo g (3 \times 1 0^{- 6}) = - (lo g 3 + lo g 1 0^{- 6}) = - (0.4771 - 6) = 5.5229

，最接近

5.5

。

氫離子濃度在

1 0^{- 6}

與

1 0^{- 5}

之間，pH 值就在

5

與

6

之間。

03單選第 8～10 題：指數函數圖形上的點、換底公式、由圖形辨認函數

第 8 題答案 (D)。

P

在

y = 4

上：

5^{x} = 4

，

x = lo g_{5} 4

，

P (lo g_{5} 4, 4)

。

Q

在

y = 20

上：

5^{x} = 20

，

x = lo g_{5} 20

，

Q (lo g_{5} 20, 20)

。兩點橫坐標的差

lo g_{5} 20 - lo g_{5} 4 = lo g_{5} \frac{20}{4} = lo g_{5} 5 = 1

，縱坐標的差

20 - 4 = 16

，所以斜率

= \frac{16}{1} = 16

。

不必算出

lo g_{5} 4

的值：

20 = 4 \times 5

，

Q

的橫坐標正好比

P

多

1

。

第 9 題答案 (C)。由對數的定義，

x = lo g_{5} 6 = \frac{lo g 6}{lo g 5}

，

y = lo g_{7} 6 = \frac{lo g 6}{lo g 7}

。

\frac{x}{y} = \frac{lo g 6}{lo g 5} \times \frac{lo g 7}{lo g 6} = \frac{lo g 7}{lo g 5} = lo g_{5} 7

。(A)

lo g \frac{7}{5} = lo g 7 - lo g 5

，是相減不是相除，不相等；(B) 與 (D) 都是

lo g_{7} 5 = \frac{y}{x}

，是所求的倒數。

lo g_{5} 7 > 1

，而

lo g_{7} 5 < 1

，大小也看得出 (B)(D) 不對。

第 10 題答案 (A)。先把四個函數都改寫成看得出圖形的樣子。

0 < a < 1

，所以

\frac{1}{a} > 1

。

f (x) = a^{- x} = (\frac{1}{a})^{x}

：底數大於

1

的指數函數，過

(0, 1)

、遞增，是

C

。

y_{1} = f (- x) = a^{x}

：底數小於

1

的指數函數，過

(0, 1)

、遞減，是

D

。

g (x) = lo g_{a} x

：底數小於

1

的對數函數，過

(1, 0)

、遞減，是

A

。

y_{2} = - g (x) = - lo g_{a} x = lo g_{\frac{1}{a}} x

：底數大於

1

的對數函數，過

(1, 0)

、遞增，是

B

。所以 (A) 正確；(B)

y_{2}

是

B

不是

E

；(C)

f (x)

是

C

不是

D

；(D)

g (x)

是

A

不是

B

。

E

在

y

軸左邊，

x < 0

，四個函數裡的對數函數都只有

x > 0

的部分，指數函數又都通過

(0, 1)

，所以

E

不是這四個函數中任何一個的圖形。

C

與

D

對稱於

y

軸，

A

與

B

對稱於

x

軸。

辨認圖形先找兩件事：過

(0, 1)

還是

(1, 0)

（指數或對數），再看底數大於

1

還是小於

1

（遞增或遞減）。

04多選第 11、12 題：對數律的判斷、指數函數圖形上的點

第 11 題

答案 (B)(C)(E)。

(A) 錯誤。對數的底數要大於 $0$ 且不等於 $1$ ，底數 $- 2$ 沒有意義，這個式子不成立。

(B) 正確。 $(- 3)^{2} = 9$ ，所以 $lo g_{2} (- 3)^{2} = lo g_{2} 9 = lo g_{2} 3^{2} = 2 lo g_{2} 3$ 。

(C) 正確。 $lo g_{3} 7 = \frac{lo g 7}{lo g 3} = \frac{lo g 7}{\frac{1}{2} lo g 3} = \frac{2 lo g 7}{lo g 3} = \frac{lo g 49}{lo g 3} = lo g_{3} 49$ 。

(D) 錯誤。 $\frac{lo g 30}{lo g 3} = lo g_{3} 30$ ； $3^{3} = 27 < 30 < 81 = 3^{4}$ ，所以 $lo g_{3} 30$ 介於 $3$ 與 $4$ 之間，而 $lo g 10 = 1$ ，不相等。

(E) 正確。 $8^{\frac{1}{3}} = 2$ ，所以 $lo g_{8} 2 = \frac{1}{3}$ 。

(B) 先算真數

(- 3)^{2} = 9

再取對數就沒有問題；若寫成

2 lo g_{2} (- 3)

才沒有意義。(D) 是把換底公式誤當成對數律「相除變相減」。

第 12 題

答案 (A)(C)。點 $(a, b)$ 在圖形上，表示 $b = (\frac{1}{2})^{a}$ ，而且 $b > 0$ 。逐一把新點的橫坐標代入 $(\frac{1}{2})^{x}$ ，看結果是不是新點的縱坐標。

(A) 正確。 $(\frac{1}{2})^{2 a} = [(\frac{1}{2})^{a}]^{2} = b^{2}$ ，點 $(2 a, b^{2})$ 在圖形上。

(B) 錯誤。 $(\frac{1}{2})^{a + 1} = (\frac{1}{2})^{a} \times \frac{1}{2} = \frac{b}{2}$ ，而 $\frac{b}{2} \neq = 2 b$ （因為 $b > 0$ ）。

(D) 錯誤。 $(\frac{1}{2})^{2 a} = b^{2}$ ，要在圖形上必須 $b^{2} = b - 1$ ，即 $b^{2} - b + 1 = 0$ ，但 $b^{2} - b + 1 = (b - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0$ ，不可能成立。

(E) 錯誤。取圖形上的點 $(0, 1)$ ：新點是 $(0, - 1)$ ，縱坐標是負的，不在圖形上。題目說「任一點」都要成立，一個反例就夠了。

(E) 的一般情形：

(\frac{1}{2})^{\frac{a}{4}} = b^{\frac{1}{4}}

，要在圖形上必須

b^{\frac{1}{4}} = b - 2

，只有個別的

b

會成立，不是每一點都成立。

判斷點在不在指數函數的圖形上：把新點的橫坐標代入

(\frac{1}{2})^{x}

，用指數律寫成

b

的式子，再和新的縱坐標比。

05填充第 13、14 題：分貝與兩種植物的增長

第 13 題一臺電視

90

分貝：

90 = 10 lo g w

，

lo g w = 9

，

w = 1 0^{9}

。

50

臺電視的聲音強度是

50 w = 50 \times 1 0^{9}

，分貝數

s = 10 lo g (50 \times 1 0^{9}) = 10 (lo g 50 + 9)

。

lo g 50 = lo g \frac{100}{2} = 2 - lo g 2 \approx 1.699

，所以

s \approx 10 \times 10.699 = 106.99

，四捨五入到整數是

107

分貝。

要加起來的是聲音的強度，不是分貝數；

50

臺不會是

4500

分貝，強度變成

50

倍，分貝只多

10 lo g 50 \approx 17

。

第 14 題設原來

A

、

B

的面積分別是

p

、

q

。

20

個月是

10

個「

2

個月」，

A

變成

p \cdot 3^{10}

；

20

個月是

4

個「

5

個月」，

B

變成

q \cdot 9^{4} = q \cdot 3^{8}

。由題意

p \cdot 3^{10} = 10 \cdot q \cdot 3^{8}

，兩邊除以

3^{8}

：

9 p = 10 q

，

\frac{p}{q} = \frac{10}{9}

。原來

A

植物面積是

B

植物面積的

\frac{10}{9}

倍。

9^{4} = (3^{2})^{4} = 3^{8}

，化成同底數後直接相消。

06填充第 15～17 題：換底公式與對數律

第 15 題由對數的定義，

x = lo g_{2} 9 = 2 lo g_{2} 3

，

y = lo g_{3} 16 = 4 lo g_{3} 2

。

x y = 2 lo g_{2} 3 \times 4 lo g_{3} 2 = 8 \times (lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 2) = 8 \times 1 = 8

。

lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 2 = \frac{lo g 3}{lo g 2} \times \frac{lo g 2}{lo g 3} = 1

。

第 16 題

8 lo g 2 = lo g (2)^{8} = lo g 16

，

2 lo g 15 = lo g 1 5^{2} = lo g 225

。原式

= lo g \frac{9}{25} - lo g 16 - lo g 225 = lo g \frac{9}{25 \times 16 \times 225} = lo g \frac{9}{90000} = lo g \frac{1}{10000} = - 4

。

25 \times 16 = 400

，

400 \times 225 = 90000

。

第 17 題每一項

1 + \frac{1}{k} = \frac{k + 1}{k}

。對數相加就是真數相乘：原式

= lo g (\frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{4} \times \dots \times \frac{200}{199})

。相鄰的分子分母一路相消，只剩

\frac{200}{2} = 100

，所以原式

= lo g 100 = 2

。

最後一項是

1 + \frac{1}{199} = \frac{200}{199}

，分子

200

留下；第一項的分母

2

留下。

lo g_{a} b \times lo g_{b} a = 1

；一串對數相加先合併成真數的連乘積，常常可以相消。

07混合題第 18、19 題：拉布拉多犬的年齡

第 18 題答案 (B)。

x = 1

代入：

y = 37 lo g 1 + 31 = 37 \times 0 + 31 = 31

，最接近

30

。

第 19 題

x = 15

代入：

y = 37 lo g 15 + 31

。用題目給的數值算

lo g 15

：

15 = \frac{3 \times 10}{2}

，

lo g 15 = lo g 3 + lo g 10 - lo g 2 \approx 0.4771 + 1 - 0.3010 = 1.1761

。

y \approx 37 \times 1.1761 + 31 = 43.5157 + 31 = 74.5157

，四捨五入至整數位是

75

歲。

15

不是

2

、

3

的乘積，要借用

lo g 10 = 1

：

15 = 30 \div 2

或

15 = 3 \times 5

、

lo g 5 = 1 - lo g 2

，結果一樣。

常用對數的應用題，把要用的數拆成

2

、

3

、

10

的乘除，就能只用

lo g 2

、

lo g 3

算出來。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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常見問題

基隆高中 111 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案，是非題 5 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

基隆高中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題圖形通過的點與漸近線都對，但底數大於一的指數函數應該由左向右上升；第 5 題底數沒有限制大於一，凹口方向會跟著底數改變；第 10 題五條曲線要先把四個函數都化成底數大於一或小於一的指數、對數函數再對號入座；第 12 題要把新點代回 y 等於二分之一的 x 次方，看能不能由原來的關係推出；第 13 題是把強度乘以五十，不是把分貝乘以五十。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自基隆高中 111 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：對數與對數律、指數函數與對數函數的圖形、指數與對數的應用

基隆高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

一、是非題：(對選「是」、錯選「否」；每題 3 分；共 15 分)

若

lo g a = 12.02

，

lo g b = 10.02

，則可知

a

是

b

的

10

倍。

函數

y = (\frac{3}{2})^{x} + 1

的圖形為

載入中...

\frac{2 ^{10} + 2 ^{30}}{2} > 2^{20}

。

若

lo g a = 4.56

，則

a

的整數部分為

5

位數。

若

a > 0

，

a \neq = 1

，

y = lo g_{a} x

的圖形凹口向上。

二、單一選擇題：(每題 6 分；共 30 分)

已知一張影印紙的厚度是

0.01

公分，理論上，至少對摺多少次後，厚度可以達到

100

公尺高？（已知

lo g 2 \approx 0.3010

）

(A) $10$ 次
(B) $15$ 次
(C) $20$ 次
(D) $25$ 次

當溶液的氫離子濃度為

r

莫耳／升時，此溶液的 pH 值為

- lo g r

。若有一種液體的氫離子濃度是

3 \times 1 0^{- 6}

莫耳／升，則其 pH 值最接近下列哪個值？（已知

lo g 3 \approx 0.4771

）

(A) $5$
(B) $5.5$
(C) $6$
(D) $6.5$

若兩直線

y = 4

與

y = 20

交

y = 5^{x}

之圖形於

P

、

Q

兩點，則直線

P Q

的斜率為？

(A) $4$
(B) $10$
(C) $12$
(D) $16$

若

5^{x} = 6

、

7^{y} = 6

，則下列哪個選項的值和

\frac{x}{y}

相等？

(A) $lo g \frac{7}{5}$
(B) $\frac{lo g 5}{lo g 7}$
(C) $lo g_{5} 7$
(D) $lo g_{7} 5$

設

0 < a < 1

，若

y = f (x) = a^{- x}

、

y = g (x) = lo g_{a} x

、

y_{1} = f (- x)

與

y_{2} = - g (x)

圖形皆在下圖中，則下列哪個選項是正確的？

(A) $y_{1} = f (- x)$ 的圖形為 $D$
(B) $y_{2} = - g (x)$ 的圖形為 $E$
(C) $y = f (x)$ 的圖形為 $D$
(D) $y = g (x)$ 的圖形為 $B$

載入中...

三、多重選擇題：(每題 10 分，共 20 分，錯一個選項得 6 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個選項以上得 0 分)

下列選項何者正確？

(A) $lo g_{(- 2)} 1 = 0$
(B) $lo g_{2} (- 3)^{2} = 2 lo g_{2} 3$
(C) $lo g_{3} 7 = lo g_{3} 49$
(D) $\frac{lo g 30}{lo g 3} = lo g 10$
(E) $lo g_{8} 2 = \frac{1}{3}$

已知點

(a, b)

是指數函數

y = f (x) = (\frac{1}{2})^{x}

圖形上的任一點，則下列哪些選項中的點也會在此

f (x)

的圖形上？

(A) $(2 a, b^{2})$
(B) $(a + 1, 2 b)$
(C) $(a - 1, 2 b)$
(D) $(2 a, b - 1)$
(E) $(\frac{a}{4}, b - 2)$

四、填充題(每題 5 分，共 25 分)

熱鬧的跨年晚會上，藝人阿妹在高升的舞臺上飆出她的招牌高音，無緣進入會場的小君只好觀看現場直播的電視牆，已知每一臺電視發出

90

分貝的聲音，則有

50

臺電視的電視牆共發出 ____ 分貝的聲音。(答案四捨五入到整數部位) （聲音的分貝

s

與強度

w

關係：

s = 10 \times lo g w

，

lo g 2 \approx 0.3010

）

已知水生植物

A

每經過

2

個月，覆蓋水面的面積會增加為原來的

3

倍；水生植物

B

每經過

5

個月，覆蓋水面的面積會增加為原來的

9

倍。若

20

個月以後，

A

植物面積是

B

植物面積的

10

倍，則原來

A

植物面積是

B

植物面積的 ____ 倍。

若

2^{x} = 9

，

3^{y} = 16

，則

x y =

____。

化簡

lo g \frac{9}{25} - 8 lo g 2 - 2 lo g 15

之值為 ____。

試求

lo g (1 + \frac{1}{2}) + lo g (1 + \frac{1}{3}) + lo g (1 + \frac{1}{4}) + \dots\dots + lo g (1 + \frac{1}{199}) =

____。

五、混合題(每小題 5 分，共 10 分，「非選擇題」請將過程寫至答案卷上。)

第 18、19 題為題組（混合題）（第 18～19 題）　生物學家透過觀察 DNA 甲基化的速度，得到拉布拉多犬的年齡

x

（歲）所對應的人類年齡

y

（歲）會滿足

y = 37 lo g x + 31

，其中

x

必須大於或等於

1

。根據上述法則，試回答下列問題：

1

歲的拉布拉多犬所對應的人類年歲，最接近下列哪個選項？

(A) $40$
(B) $30$
(C) $20$
(D) $10$

15

歲的拉布拉多犬相當於人類多少歲？（四捨五入至整數位）〔可使用參考數值：

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

〕

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：是＝正確、否＝錯誤（照原卷作答規定）

1否

2否

3是

4是

5否

第 6 題(C)

第 7 題(B)

第 8 題(D)

第 9 題(C)

第 10 題(A)

第 11 題(B)(C)(E)

第 12 題(A)(C)

第 13 題

107

第 14 題

\frac{10}{9}

第 15 題

8

第 16 題

- 4

第 17 題

2

第 18 題(B)

第 19 題

75

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～5 題：對數的意義、指數與對數函數的圖形

第 1 題否答「否」。

lo g a - lo g b = 12.02 - 10.02 = 2

，即

lo g \frac{a}{b} = 2

，所以

\frac{a}{b} = 1 0^{2} = 100

，

a

是

b

的

100

倍，不是

10

倍。

常用對數差

1

，真數差

10

倍；差

2

就差

100

倍。

第 2 題否答「否」。

y = (\frac{3}{2})^{x} + 1

是把

y = (\frac{3}{2})^{x}

往上平移

1

。它通過

(0, 2)

、以

y = 1

為漸近線，這兩點和圖相符；但底數

\frac{3}{2} > 1

，函數遞增，圖形應該由左向右上升，在左邊貼近

y = 1

。題目的圖由左向右下降、在右邊貼近

y = 1

，所以不是它的圖形。

圖中畫的是

y = (\frac{2}{3})^{x} + 1

的樣子，底數要小於

1

才會遞減。

第 3 題是答「是」。

\frac{2 ^{10} + 2 ^{30}}{2} - 2^{20} = \frac{2 ^{10} - 2 \cdot 2 ^{20} + 2 ^{30}}{2} = \frac{( 2 ^{15} - 2 ^{5} ) ^{2}}{2}

。因為

2^{5} \cdot 2^{15} = 2^{20}

，所以

2 \cdot 2^{20} = 2 \cdot 2^{5} \cdot 2^{15}

，分子正好是完全平方式。而

2^{15} \neq = 2^{5}

，這個平方大於

0

，不等式成立。

這就是算幾不等式：兩個不相等的正數，算術平均大於幾何平均，而

2^{10} \cdot 2^{30} = 2^{20}

。實際數值左邊約

5.4 \times 1 0^{8}

，右邊約

1.05 \times 1 0^{6}

。

第 4 題是答「是」。

lo g a = 4.56

介於

4

與

5

之間，所以

1 0^{4} < a < 1 0^{5}

。

a

比

10000

大、比

100000

小，整數部分是

5

位數。

lo g a

的整數部分是

n

（

n \geq 0

）時，

a

的整數部分是

n + 1

位數。

第 5 題否答「否」。凹口方向要看底數。以

a = 10

為例：

y = lo g x

的圖形上取

(1, 0)

、

(100, 2)

，連線的中點是

(50.5, 1)

，而

lo g 50.5 > lo g 10 = 1

，圖形在線段的上方，凹口向下。所以

a > 1

時凹口向下，敘述不成立。

0 < a < 1

時

y = lo g_{a} x

的圖形是

y = lo g_{\frac{1}{a}} x

對

x

軸鏡射，凹口向上。題目沒有限制

a

的範圍，不能說一定凹口向上。

指數函數

y = a^{x}

不論底數，凹口都向上；對數函數

y = lo g_{a} x

的凹口方向跟著底數改變：

a > 1

向下，

0 < a < 1

向上。

02單選第 6、7 題：倍增次數與 pH 值

第 6 題答案 (C)。

100

公尺

= 10000

公分。對摺

n

次後厚度是

0.01 \times 2^{n}

公分。要

0.01 \times 2^{n} \geq 10000

，即

2^{n} \geq 1 0^{6}

。兩邊取常用對數：

n lo g 2 \geq 6

，

n \geq \frac{6}{0.3010} \approx 19.93

。

n

是整數，至少

20

次。

檢查：

2^{19} = 524288 < 1 0^{6}

，

2^{20} = 1048576 \geq 1 0^{6}

。

第 7 題答案 (B)。

pH = - lo g (3 \times 1 0^{- 6}) = - (lo g 3 + lo g 1 0^{- 6}) = - (0.4771 - 6) = 5.5229

，最接近

5.5

。

氫離子濃度在

1 0^{- 6}

與

1 0^{- 5}

之間，pH 值就在

5

與

6

之間。

03單選第 8～10 題：指數函數圖形上的點、換底公式、由圖形辨認函數

第 8 題答案 (D)。

P

在

y = 4

上：

5^{x} = 4

，

x = lo g_{5} 4

，

P (lo g_{5} 4, 4)

。

Q

在

y = 20

上：

5^{x} = 20

，

x = lo g_{5} 20

，

Q (lo g_{5} 20, 20)

。兩點橫坐標的差

lo g_{5} 20 - lo g_{5} 4 = lo g_{5} \frac{20}{4} = lo g_{5} 5 = 1

，縱坐標的差

20 - 4 = 16

，所以斜率

= \frac{16}{1} = 16

。

不必算出

lo g_{5} 4

的值：

20 = 4 \times 5

，

Q

的橫坐標正好比

P

多

1

。

第 9 題答案 (C)。由對數的定義，

x = lo g_{5} 6 = \frac{lo g 6}{lo g 5}

，

y = lo g_{7} 6 = \frac{lo g 6}{lo g 7}

。

\frac{x}{y} = \frac{lo g 6}{lo g 5} \times \frac{lo g 7}{lo g 6} = \frac{lo g 7}{lo g 5} = lo g_{5} 7

。(A)

lo g \frac{7}{5} = lo g 7 - lo g 5

，是相減不是相除，不相等；(B) 與 (D) 都是

lo g_{7} 5 = \frac{y}{x}

，是所求的倒數。

lo g_{5} 7 > 1

，而

lo g_{7} 5 < 1

，大小也看得出 (B)(D) 不對。

第 10 題答案 (A)。先把四個函數都改寫成看得出圖形的樣子。

0 < a < 1

，所以

\frac{1}{a} > 1

。

f (x) = a^{- x} = (\frac{1}{a})^{x}

：底數大於

1

的指數函數，過

(0, 1)

、遞增，是

C

。

y_{1} = f (- x) = a^{x}

：底數小於

1

的指數函數，過

(0, 1)

、遞減，是

D

。

g (x) = lo g_{a} x

：底數小於

1

的對數函數，過

(1, 0)

、遞減，是

A

。

y_{2} = - g (x) = - lo g_{a} x = lo g_{\frac{1}{a}} x

：底數大於

1

的對數函數，過

(1, 0)

、遞增，是

B

。所以 (A) 正確；(B)

y_{2}

是

B

不是

E

；(C)

f (x)

是

C

不是

D

；(D)

g (x)

是

A

不是

B

。

E

在

y

軸左邊，

x < 0

，四個函數裡的對數函數都只有

x > 0

的部分，指數函數又都通過

(0, 1)

，所以

E

不是這四個函數中任何一個的圖形。

C

與

D

對稱於

y

軸，

A

與

B

對稱於

x

軸。

辨認圖形先找兩件事：過

(0, 1)

還是

(1, 0)

（指數或對數），再看底數大於

1

還是小於

1

（遞增或遞減）。

04多選第 11、12 題：對數律的判斷、指數函數圖形上的點

第 11 題

答案 (B)(C)(E)。

(A) 錯誤。對數的底數要大於 $0$ 且不等於 $1$ ，底數 $- 2$ 沒有意義，這個式子不成立。

(B) 正確。 $(- 3)^{2} = 9$ ，所以 $lo g_{2} (- 3)^{2} = lo g_{2} 9 = lo g_{2} 3^{2} = 2 lo g_{2} 3$ 。

(C) 正確。 $lo g_{3} 7 = \frac{lo g 7}{lo g 3} = \frac{lo g 7}{\frac{1}{2} lo g 3} = \frac{2 lo g 7}{lo g 3} = \frac{lo g 49}{lo g 3} = lo g_{3} 49$ 。

(D) 錯誤。 $\frac{lo g 30}{lo g 3} = lo g_{3} 30$ ； $3^{3} = 27 < 30 < 81 = 3^{4}$ ，所以 $lo g_{3} 30$ 介於 $3$ 與 $4$ 之間，而 $lo g 10 = 1$ ，不相等。

(E) 正確。 $8^{\frac{1}{3}} = 2$ ，所以 $lo g_{8} 2 = \frac{1}{3}$ 。

(B) 先算真數

(- 3)^{2} = 9

再取對數就沒有問題；若寫成

2 lo g_{2} (- 3)

才沒有意義。(D) 是把換底公式誤當成對數律「相除變相減」。

第 12 題

答案 (A)(C)。點 $(a, b)$ 在圖形上，表示 $b = (\frac{1}{2})^{a}$ ，而且 $b > 0$ 。逐一把新點的橫坐標代入 $(\frac{1}{2})^{x}$ ，看結果是不是新點的縱坐標。

(A) 正確。 $(\frac{1}{2})^{2 a} = [(\frac{1}{2})^{a}]^{2} = b^{2}$ ，點 $(2 a, b^{2})$ 在圖形上。

(B) 錯誤。 $(\frac{1}{2})^{a + 1} = (\frac{1}{2})^{a} \times \frac{1}{2} = \frac{b}{2}$ ，而 $\frac{b}{2} \neq = 2 b$ （因為 $b > 0$ ）。

(E) 錯誤。取圖形上的點 $(0, 1)$ ：新點是 $(0, - 1)$ ，縱坐標是負的，不在圖形上。題目說「任一點」都要成立，一個反例就夠了。

(E) 的一般情形：

(\frac{1}{2})^{\frac{a}{4}} = b^{\frac{1}{4}}

，要在圖形上必須

b^{\frac{1}{4}} = b - 2

，只有個別的

b

會成立，不是每一點都成立。

判斷點在不在指數函數的圖形上：把新點的橫坐標代入

(\frac{1}{2})^{x}

，用指數律寫成

b

的式子，再和新的縱坐標比。

05填充第 13、14 題：分貝與兩種植物的增長

第 13 題一臺電視

90

分貝：

90 = 10 lo g w

，

lo g w = 9

，

w = 1 0^{9}

。

50

臺電視的聲音強度是

50 w = 50 \times 1 0^{9}

，分貝數

s = 10 lo g (50 \times 1 0^{9}) = 10 (lo g 50 + 9)

。

lo g 50 = lo g \frac{100}{2} = 2 - lo g 2 \approx 1.699

，所以

s \approx 10 \times 10.699 = 106.99

，四捨五入到整數是

107

分貝。

要加起來的是聲音的強度，不是分貝數；

50

臺不會是

4500

分貝，強度變成

50

倍，分貝只多

10 lo g 50 \approx 17

。

第 14 題設原來

A

、

B

的面積分別是

p

、

q

。

20

個月是

10

個「

2

個月」，

A

變成

p \cdot 3^{10}

；

20

個月是

4

個「

5

個月」，

B

變成

q \cdot 9^{4} = q \cdot 3^{8}

。由題意

p \cdot 3^{10} = 10 \cdot q \cdot 3^{8}

，兩邊除以

3^{8}

：

9 p = 10 q

，

\frac{p}{q} = \frac{10}{9}

。原來

A

植物面積是

B

植物面積的

\frac{10}{9}

倍。

9^{4} = (3^{2})^{4} = 3^{8}

，化成同底數後直接相消。

06填充第 15～17 題：換底公式與對數律

第 15 題由對數的定義，

x = lo g_{2} 9 = 2 lo g_{2} 3

，

y = lo g_{3} 16 = 4 lo g_{3} 2

。

x y = 2 lo g_{2} 3 \times 4 lo g_{3} 2 = 8 \times (lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 2) = 8 \times 1 = 8

。

lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 2 = \frac{lo g 3}{lo g 2} \times \frac{lo g 2}{lo g 3} = 1

。

第 16 題

8 lo g 2 = lo g (2)^{8} = lo g 16

，

2 lo g 15 = lo g 1 5^{2} = lo g 225

。原式

= lo g \frac{9}{25} - lo g 16 - lo g 225 = lo g \frac{9}{25 \times 16 \times 225} = lo g \frac{9}{90000} = lo g \frac{1}{10000} = - 4

。

25 \times 16 = 400

，

400 \times 225 = 90000

。

第 17 題每一項

1 + \frac{1}{k} = \frac{k + 1}{k}

。對數相加就是真數相乘：原式

= lo g (\frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{4} \times \dots \times \frac{200}{199})

。相鄰的分子分母一路相消，只剩

\frac{200}{2} = 100

，所以原式

= lo g 100 = 2

。

最後一項是

1 + \frac{1}{199} = \frac{200}{199}

，分子

200

留下；第一項的分母

2

留下。

lo g_{a} b \times lo g_{b} a = 1

；一串對數相加先合併成真數的連乘積，常常可以相消。

07混合題第 18、19 題：拉布拉多犬的年齡

第 18 題答案 (B)。

x = 1

代入：

y = 37 lo g 1 + 31 = 37 \times 0 + 31 = 31

，最接近

30

。

第 19 題

x = 15

代入：

y = 37 lo g 15 + 31

。用題目給的數值算

lo g 15

：

15 = \frac{3 \times 10}{2}

，

lo g 15 = lo g 3 + lo g 10 - lo g 2 \approx 0.4771 + 1 - 0.3010 = 1.1761

。

y \approx 37 \times 1.1761 + 31 = 43.5157 + 31 = 74.5157

，四捨五入至整數位是

75

歲。

15

不是

2

、

3

的乘積，要借用

lo g 10 = 1

：

15 = 30 \div 2

或

15 = 3 \times 5

、

lo g 5 = 1 - lo g 2

，結果一樣。

常用對數的應用題，把要用的數拆成

2

、

3

、

10

的乘除，就能只用

lo g 2

、

lo g 3

算出來。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

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上傳考卷

常見問題

基隆高中 111 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案，是非題 5 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

基隆高中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自基隆高中 111 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

基隆高中 111 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 19 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01是非第 1～5 題：對數的意義、指數與對數函數的圖形

02單選第 6、7 題：倍增次數與 pH 值

03單選第 8～10 題：指數函數圖形上的點、換底公式、由圖形辨認函數

04多選第 11、12 題：對數律的判斷、指數函數圖形上的點

05填充第 13、14 題：分貝與兩種植物的增長

06填充第 15～17 題：換底公式與對數律

07混合題第 18、19 題：拉布拉多犬的年齡

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我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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基隆高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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高二第二次段考
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