基隆高中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (D)。半徑 $r$、圓心角 $\theta$（弳）的扇形面積是 $\frac{1}{2}{r}^2\theta$。代入 $r=20$： $$\frac{1}{2}\times 20^2\times \theta =200\theta =150\pi$$

得 $\theta =\frac{150\pi }{200}=\frac{3\pi }{4}$。

答案 (B)。小數點後的數字每 $3$ 位一循環：第 $1$、$4$、$7$、… 位是 $2$，第 $2$、$5$、$8$、… 位是 $3$，第 $3$、$6$、$9$、… 位是 $7$。

$20=3\times 6+2$，餘數是 $2$，所以第 $20$ 位和第 $2$ 位一樣，是 $3$。

答案 (B)。由對數的定義，$x=7^{5.6}$，$y=7^{2.3}$，所以 $x^2=7^{11.2}$。 $$x^2+y=7^{11.2}+7^{2.3}=7^{11.2}\left(1+7^{-8.9}\right)$$

$7^{-8.9}$ 比 $7^{-8}$ 還小，非常接近 $0$，所以 $${\log }_7(x^2+y)=11.2+{\log }_7\left(1+7^{-8.9}\right)$$

後面那一項是比 $0$ 大一點點的正數（遠小於 $0.1$），整個值約為 $11.2$，最接近的整數是 $11$。

答案 (D)。逐項化成銳角：

$\sin 210^{\circ }=\sin (180^{\circ }+30^{\circ })=-\sin 30^{\circ }=-\frac{1}{2}$。

$\tan (-135^{\circ })$：$-135^{\circ }$ 的終邊在第三象限，與 $225^{\circ }$ 同界，$\tan (-135^{\circ })=\tan 225^{\circ }=\tan (180^{\circ }+45^{\circ })=\tan 45^{\circ }=1$。

$\tan 225^{\circ }=1$（同上）。

$\cos (-840^{\circ })$：$-840^{\circ }+3\times 360^{\circ }=240^{\circ }$，$\cos 240^{\circ }=\cos (180^{\circ }+60^{\circ })=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$。

相加：$-\frac{1}{2}+1+1-\frac{1}{2}=1$。

答案 (B)。由 $\log E=11.8+1.5M$ 得 $$E=10^{11.8+1.5M}=10^{11.8}\times {\left(10^{1.5}\right)}^M$$

這是底數 $10^{1.5}>1$ 的指數函數（乘上正數 $10^{11.8}$），所以：$E$ 恆為正，圖形在 $M$ 軸上方；$M$ 愈大 $E$ 愈大，而且增加得愈來愈快；$M$ 往左愈小，$E$ 愈接近 $0$ 但不會等於 $0$。

(A) 是直線，$E$ 與 $M$ 不是一次函數的關係，不對。(B) 在 $M$ 軸上方、遞增、愈往右愈陡、往左貼近 $M$ 軸，符合。(C) 是遞減的，不對。(D) 有 $E<0$ 的部分，而且像對數函數的圖形，只在 $M>0$ 有定義，不對。

$5$ 人中高二至少 $2$ 名、高一至少 $2$ 名，只有兩種分法：

高二 $2$ 名、高一 $3$ 名：$C_2^{10}\times C_3^8=45\times 56=2520$ 種。

高二 $3$ 名、高一 $2$ 名：$C_3^{10}\times C_2^8=120\times 28=3360$ 種。

共 $2520+3360=5880$ 種。

分三部分算，期望值可以相加。

確定答對的 $17$ 題：$17\times 4=68$ 分。

刪去兩個錯誤選項的 $3$ 題：每題從剩下 $3$ 個選項猜 $1$ 個，答對機率 $\frac{1}{3}$、答錯機率 $\frac{2}{3}$，每題期望值 $4\times \frac{1}{3}+(-1)\times \frac{2}{3}=\frac{2}{3}$ 分，$3$ 題共 $2$ 分。

亂猜的 $5$ 題：每題答對機率 $\frac{1}{5}$、答錯機率 $\frac{4}{5}$，每題期望值 $4\times \frac{1}{5}+(-1)\times \frac{4}{5}=0$ 分。

得分期望值 $68+2+0=70$ 分。

設大樓底部為 $O$，$\overline{OC}=80$，$\overline{OC}$ 與地面垂直。

在 $A$ 點的仰角是 $45^{\circ }$：直角三角形 $COA$ 中 $\tan 45^{\circ }=\frac{\overline{OC}}{\overline{OA}}$，得 $\overline{OA}=80$。

在 $B$ 點的仰角是 $30^{\circ }$：直角三角形 $COB$ 中 $\tan 30^{\circ }=\frac{\overline{OC}}{\overline{OB}}$，得 $\overline{OB}=\frac{80}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=80\sqrt{3}$。

$A$ 在正東方、$B$ 在正南方，所以 $\angle AOB=90^{\circ }$，由畢氏定理 $$\overline{AB}=\sqrt{80^2+{\left(80\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{6400+19200}=\sqrt{25600}=160$$

$A$ 與 $B$ 相距 $160$ 公尺。

$\theta$ 是銳角，$\sin \theta >0$，由 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$： $$\sin \theta =\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3},\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{\sqrt{5}}{2}$$

$180^{\circ }-\theta$ 是第二象限角，正切為負，且 $\tan (180^{\circ }-\theta )=-\tan \theta$，所以 $$\tan (180^{\circ }-\theta )=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

設 $\overline{AB}=c$。由餘弦定理（$\angle A$ 的對邊是 $\overline{BC}$）： $${\overline{BC}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{AC}}^2-2\times \overline{AB}\times \overline{AC}\times \cos A$$ $$28=c^2+16-2\times c\times 4\times \frac{1}{2}=c^2-4c+16$$

整理得 $c^2-4c-12=0$，$(c-6)(c+2)=0$，$c=6$ 或 $c=-2$（邊長為正，不合）。所以 $\overline{AB}=6$。

由圖，最低點是 $(6,12)$、最高點是 $(13,32)$，所以當天 $6$ 時至 $13$ 時的最低溫 $12$、最高溫 $32$。

$\sin (ax+b)$ 的值介於 $-1$ 與 $1$ 之間，且在一整段從最低點到最高點的曲線上兩個值都取得到。因為 $A>0$：

最大值 $A+B=32$，最小值 $-A+B=12$。

兩式相加得 $2B=44$，$B=22$；相減得 $2A=20$，$A=10$。所以 $(A,B)=(10,22)$。

每年貶 $10\%$，$n$ 年後幣值是原來的 $0.9^n$ 倍。貶 $40\%$ 以上，就是剩下的不超過原來的 $60\%$： $$0.9^n\le 0.6$$

兩邊取常用對數（$\log$ 是遞增的，不等號方向不變）：$n\log 0.9\le \log 0.6$。

$\log 0.9=\log \frac{9}{10}=2\log 3-1\approx -0.0458$，$\log 0.6=\log \frac{6}{10}=\log 2+\log 3-1\approx -0.2219$。

$\log 0.9$ 是負數，兩邊同除以它，不等號反向： $$n\ge \frac{-0.2219}{-0.0458}\approx 4.84$$

$n$ 是整數，所以至少 $5$ 年後貶 $40\%$ 以上。

$1-\frac{1}{k}=\frac{k-1}{k}$。由對數律 $\log a+\log b=\log ab$，整串合併成一個連乘積： $$\log \left(\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}\times \frac{4}{5}\times \cdots \times \frac{1999}{2000}\right)$$

相鄰兩項的分子分母依序消去，只剩第一項的分子 $2$ 與最後一項的分母 $2000$： $$\log \frac{2}{2000}=\log \frac{1}{1000}=\log 10^{-3}=-3$$