基隆高中 111 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (E)。先求直線 $AB$：斜率 $\frac{-3-5}{4-0}=-2$，$y$ 截距 $5$，所以 $AB:y=-2x+5$。代入 $L$：$x-3(-2x+5)+4=0$，$7x-11=0$，$x=\frac{11}{7}$。$P$ 在 $A$、$B$ 之間，$A$、$P$、$B$ 共線，線段長的比等於 $x$ 坐標差的比：

$$\overline{AP}:\overline{PB}=\left(\frac{11}{7}-0\right):\left(4-\frac{11}{7}\right)=\frac{11}{7}:\frac{17}{7}=11:17$$

答案 (B)。$A(2,3)$、$B(5,1)$ 都在 $x$ 軸上方，取 $B$ 對 $x$ 軸的對稱點 $B^{\prime }(5,-1)$，$x$ 軸上任一點 $P$ 都有 $\overline{PB}=\overline{P{B}^{\prime }}$。所以

$$\overline{PA}+\overline{PB}=\overline{PA}+\overline{P{B}^{\prime }}\ge \overline{A{B}^{\prime }}=\sqrt{(5-2{)}^2+(-1-3{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$$

當 $P$ 是 $\overline{A{B}^{\prime }}$ 與 $x$ 軸的交點時等號成立，最小值為 $5$。

答案 (D)。$3x-2y\le 0$ 即 $y\ge \frac{3}{2}x$；$x+y\le 5$ 即 $y\le 5-x$；再加上 $x\ge 0$。逐一看 $x$ 的整數值：

$x=0$：$0\le y\le 5$，$y=0,1,2,3,4,5$，共 $6$ 個。

$x=1$：$\frac{3}{2}\le y\le 4$，$y=2,3,4$，共 $3$ 個。

$x=2$：$3\le y\le 3$，$y=3$，共 $1$ 個。

$x=3$：要 $y\ge \frac{9}{2}$ 且 $y\le 2$，沒有。$x$ 再大也沒有。

合計 $6+3+1=10$ 個。

答案 (A)。角平分線上的點到兩直線等距離：

$$\frac{|x+y+3|}{\sqrt{2}}=\frac{|x-7y+4|}{\sqrt{50}}=\frac{|x-7y+4|}{5\sqrt{2}}$$

所以 $5(x+y+3)=\pm (x-7y+4)$，得兩條角平分線 $4x+12y+11=0$ 與 $6x-2y+19=0$。

判斷哪一條是銳角的：兩條角平分線互相垂直，$L_1$ 與銳角平分線的夾角是銳角的一半（小於 $45^{\circ }$），與鈍角平分線的夾角大於 $45^{\circ }$，所以 $L_1$ 上（交點以外）的點離銳角平分線比較近。取 $L_1$ 上一點 $Q(0,-3)$：

到 $4x+12y+11=0$ 的距離 $\frac{|0-36+11|}{\sqrt{160}}=\frac{25}{4\sqrt{10}}$；到 $6x-2y+19=0$ 的距離 $\frac{|0+6+19|}{\sqrt{40}}=\frac{25}{2\sqrt{10}}$。

前者較小，所以銳角平分線是 $4x+12y+11=0$。

$2x+y-3=0$ 改寫成 $y=-2x+3$。

(A) 正確。 斜率是 $-2$。

(B) 錯誤。 斜率是 $-2$，不是 $2$。

(C) 錯誤。 令 $y=0$，$2x=3$，$x$ 截距是 $\frac{3}{2}$。

(D) 錯誤。 令 $x=0$，$y=3$，$y$ 截距是 $3$。

(E) 正確。 $y$ 截距是 $3$。

兩個方程式各代表一條直線。兩直線平行或重合時，$x$、$y$ 的係數成比例：$\frac{6}{a+5}=\frac{a-2}{-2}$，即 $-12=(a-2)(a+5)$，$a^2+3a+2=0$，$a=-1$ 或 $a=-2$。其他的 $a$ 兩直線斜率不同，恰交於一點，有唯一解。

(A) 錯誤。 $a=1$：$6x-y=-10$、$6x-2y=-32$，斜率 $6$ 與 $3$ 不同，有唯一解。

(B) 正確。 $a=-2$：$6x-4y=-31$、$3x-2y=-8$。第二式乘 $2$ 得 $6x-4y=-16$，左邊相同、右邊 $-31\ne -16$，兩直線平行不重合，無解。

(C) 正確。 $a=-1$：$6x-3y=-24$、$4x-2y=-16$，兩式分別除以 $3$、$2$ 都是 $2x-y=-8$，兩直線重合，有無窮多組解。

(D) 錯誤。 $a=2$：$6x=-3$、$7x-2y=-40$，得 $x=-\frac{1}{2}$、$y=\frac{73}{4}$，有唯一解。

(E) 正確。 $a=3$：$6x+y=4$、$8x-2y=-48$，斜率 $-6$ 與 $4$ 不同，有唯一解。

三直線圍不成三角形有兩種情形：其中兩條平行（或重合），或三條交於同一點。$L_1$ 斜率 $-a$，$L_2$ 斜率 $2$，$L_3$ 斜率 $-\frac{1}{3}$。

① $L_2$ 與 $L_3$ 斜率不同，不平行。$L_1\parallel L_2$：$-a=2$，$a=-2$。$L_1\parallel L_3$：$-a=-\frac{1}{3}$，$a=\frac{1}{3}$。

② 三線共點：$L_2$ 與 $L_3$ 的交點，由 $y=2x$ 代入 $x+3y+7=0$ 得 $7x+7=0$，交點 $(-1,-2)$。$L_1$ 過此點：$-a-2-10=0$，$a=-12$。

所以 $a=-12$、$-2$、$\frac{1}{3}$。

(A) 正確。 三線共點。

(B) 正確。 $L_1\parallel L_2$。

(C) 錯誤。 $a=-\frac{2}{3}$ 時 $L_1$ 斜率 $\frac{2}{3}$，與另兩條都不平行，也不過 $(-1,-2)$（代入得 $\frac{2}{3}-12\ne 0$），可以圍成三角形。

(D) 正確。 $L_1\parallel L_3$。

(E) 錯誤。 $a=12$ 時 $L_1$ 斜率 $-12$，與另兩條都不平行；代入 $(-1,-2)$ 得 $-12-2-10=-24\ne 0$，可以圍成三角形。

(1) 點斜式：$y-2=3(x+1)$，即 $y=3x+5$，整理成一般式 $3x-y+5=0$。

(2) 斜截式：$y=-2x-1$，整理成一般式 $2x+y+1=0$。

配方：$x^2-6x+9+y^2-12y+36=-20+9+36$，即

$$(x-3{)}^2+(y-6{)}^2=25$$

(1) 圓心為 $(3,6)$。

(2) 半徑 $r=\sqrt{25}=5$。

過頂點 $A$ 的直線把三角形分成兩塊，兩塊有共同的高（從 $A$ 到直線 $BC$ 的距離），面積相等表示底邊相等，所以直線要過 $\overline{BC}$ 的中點 $D\left(\frac{3+5}{2},\frac{2+4}{2}\right)=(4,3)$。

直線 $AD$ 的斜率 $\frac{3-1}{4-(-2)}=\frac{1}{3}$，方程式 $y-1=\frac{1}{3}(x+2)$，$3y-3=x+2$，即 $x-3y+5=0$。

配方：$(x+2{)}^2+(y-2{)}^2=5$，圓心 $(-2,2)$，半徑 $\sqrt{5}$。圓心到 $L$ 的距離

$$d=\frac{|-2-2+2|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$$

$d=\sqrt{2}<\sqrt{5}=r$，直線與圓相交於 $2$ 點。

由第 9 題，圓 $C$ 的圓心 $O_1(3,6)$、半徑 $5$。切線與過切點的半徑垂直，所以 $\angle PA{O}_1=\angle PB{O}_1=90^{\circ }$，$A$、$B$ 都在以 $\overline{P{O}_1}$ 為直徑的圓上；這個圓也通過 $P$，所以它就是 $△PAB$ 的外接圓。

圓心是 $\overline{P{O}_1}$ 的中點 $\left(\frac{5+3}{2},\frac{-2+6}{2}\right)=(4,2)$；$\overline{P{O}_1}=\sqrt{(5-3{)}^2+(-2-6{)}^2}=\sqrt{68}$，半徑平方 $=\frac{68}{4}=17$。

$$(x-4{)}^2+(y-2{)}^2=17$$

展開：$x^2+y^2-8x-4y+3=0$。

配方：$(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=4$，圓心 $Q(3,4)$，半徑 $2$。$\sqrt{a^2+b^2}$ 是 $P$ 到原點 $O$ 的距離，而 $\overline{OQ}=\sqrt{9+16}=5>2$，原點在圓外。

(1) 圓上的點到 $O$ 的距離，最大是 $\overline{OQ}+2=7$（直線 $OQ$ 與圓較遠的交點），最小是 $\overline{OQ}-2=3$（較近的交點），所以 $(M,m)=(7,3)$。

(2) 距離為整數，只能是 $3,4,5,6,7$。距離 $3$ 與 $7$ 各只有一個點（直線 $OQ$ 與圓的兩個交點）。從最近點沿著圓走到最遠點有兩條半圓弧，每條弧上的點到 $O$ 的距離從 $3$ 連續增加到 $7$，所以 $4$、$5$、$6$ 在兩條弧上各出現一次，各有 $2$ 個點。共 $1+2\times 3+1=8$ 個。

學校答案印 $(3\sqrt{5}+5,3\sqrt{5}-5)$ 與 $20$，本站計算為 $(7,3)$ 與 $8$。學校的答案是把圓換成第 9 題的 $x^2+y^2-6x-12y+20=0$（圓心 $(3,6)$、半徑 $5$、圓心到原點 $\sqrt{45}=3\sqrt{5}$）算出來的：那時距離介於 $3\sqrt{5}-5\approx 1.7$ 與 $3\sqrt{5}+5\approx 11.7$ 之間，整數 $2$ 到 $11$ 共 $10$ 個，每個 $2$ 點，共 $20$ 個。卷面第 13 題印的圓是 $x^2+y^2-6x-8y+21=0$，本頁照卷面計算。

設 $P(x,y)$。$\overline{PA}=2\overline{PB}$，兩邊平方：

$$(x-5{)}^2+(y-4{)}^2=4\left[(x-2{)}^2+(y-1{)}^2\right]$$

左邊 $=x^2+y^2-10x-8y+41$，右邊 $=4x^2+4y^2-16x-8y+20$。移項：$3x^2+3y^2-6x-21=0$，同除以 $3$：$x^2+y^2-2x-7=0$。

圓心 $(-2,3)$、半徑 $\sqrt{2}$：

$$(x+2{)}^2+(y-3{)}^2=2$$

展開：$x^2+4x+4+y^2-6y+9=2$，即 $x^2+y^2+4x-6y+11=0$。

影子的邊界是從 $P$ 向圓所作的兩條切線。鉛直線 $x=0$ 到圓心的距離是 $2>\sqrt{2}$，不是切線；其餘過 $P$ 的直線設為 $y=mx+7$，即 $mx-y+7=0$。相切時圓心到直線的距離等於半徑：

$$\frac{|-2m-3+7|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt{2}$$

平方：$(4-2m{)}^2=2(m^2+1)$，$4m^2-16m+16=2m^2+2$，$m^2-8m+7=0$，$m=1$ 或 $m=7$。切線為 $x-y+7=0$ 與 $7x-y+7=0$。

(A) 錯誤。 $x+y-7=0$ 斜率 $-1$，圓心到它的距離 $\frac{|-2+3-7|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\ne \sqrt{2}$。

(B) 正確。 $m=1$ 的切線。

(C) 正確。 $m=7$ 的切線。

(D) 錯誤。 $7x+y-7=0$ 斜率 $-7$，距離 $\frac{|-14+3-7|}{\sqrt{50}}=\frac{18}{5\sqrt{2}}\ne \sqrt{2}$。

(E) 錯誤。 $7x+y+7=0$ 不過 $P(0,7)$（代入得 $14\ne 0$）。