段考詳解範圍：第一、二冊複習＋數列的極限、無窮等比級數、函數

基隆高中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 基隆高中 111 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 基隆高中 111 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要先判斷六十度角的平分線是斜率九分之十一的那一條，再用垂直求斜率，還要代點分辨兩個斜率相同的選項；第 4 題的選項 D 公比的絕對值大於一，級數發散，不能直接套求和公式；第 7 題的 R 係數和不是一，不一定落在線段上；第 17 題第二天躲新洞窟的那一類最容易漏算。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單一選擇題 4 題（每題 6 分，共 24 分）、多重選擇題 6 題（每題 5 分，共 30 分，錯 1 選項得 3 分、錯 2 選項得 1 分，錯 3 選項以上不給分）、填充題 5 題（每題 7 分，共 35 分）、混合題 2 題（第 16 題 5 分、第 17 題 6 分）。卷面第四大題的標題印「共 10 分」，兩題配分相加是 11 分，學校答案卷第四大題印共 11 分，四個大題合計 100 分。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單一選擇題（每題 6 分，共 24 分）

試問有多少個整數

x

滿足

2∣ x ∣ + x < 10

？

(A) $13$ 個
(B) $14$ 個
(C) $15$ 個
(D) $16$ 個
(E) 無窮多個

設坐標平面上兩直線

L_{1}

，

L_{2}

的斜率皆為正，且

L_{1}

，

L_{2}

有一夾角的平分線斜率為

\frac{11}{9}

。另一直線

L

通過點

(2, \frac{1}{3})

且與

L_{1}

，

L_{2}

所圍的有界區域為正三角形，試問

L

的方程式為下列哪一選項？

(A) $11 x - 9 y = 19$
(B) $9 x + 11 y = 25$
(C) $11 x + 9 y = 25$
(D) $27 x - 33 y = 43$
(E) $27 x + 33 y = 65$

設無窮級數

⟨ a_{n} ⟩

滿足

2 n - 5 < n a_{n} < 2 n + 7

，則

n \to \infty lim a_{n}

之值為何？（卷面把

⟨ a_{n} ⟩

印作「無窮級數」，依記號與題意是無窮數列）

(A) $1$
(B) $\frac{3}{2}$
(C) $2$
(D) $3$
(E) $8$

下列何者正確？

(A) $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \dots\dots = \frac{3}{2}$
(B) $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 ^{2}} + \frac{2}{3 ^{3}} + \dots\dots = 1$
(C) $3 + 2 + \frac{4}{3} + \dots\dots = 8$
(D) $1 - 2 + (- 2)^{2} + \dots\dots = \frac{1}{1 + 2}$
(E) $1 + (- 1) + 1 + (- 1) + \dots\dots$ 為收斂級數

二、多重選擇題（每題 5 分，共 30 分，錯 1 選項得 3 分、錯 2 選項得 1 分，錯 3 選項以上不給分。）

如圖為三次函數

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

的圖形，且圖形通過

(1, 0)

、

(2, 0)

、

(3, 0)

，選出正確的選項：

(A) $a > 0$
(B) 方程式 $f (x) = 0$ 的解為 $x = 1$ 或 $2$ 或 $3$
(C) $f (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3)$
(D) $a + b + c + d > 0$
(E) $f (x) > 0$ 的解為 $2 < x < 3$ 或 $x < 1$

載入中...

設圓

C

方程式為

x^{2} + (y - 3)^{2} = 4

，則下列直線何者與圓

C

「相割」（交

2

點）？

(A) $4 x + 3 y - 20 = 0$
(B) $4 x + 3 y - 10 = 0$
(C) $4 x + 3 y = 0$
(D) $4 x + 3 y + 10 = 0$
(E) $4 x + 3 y + 20 = 0$

已知

a < b

，

A (a)

、

B (b)

、

P (\frac{11 a + 4 b}{15})

、

Q (\frac{9 a + 6 b}{15})

、

R (\frac{8 a + 7 b}{14})

為數線上之點且此數線以右方為正向。試問下列哪些選項是正確的？

(A) 當 $\overline{P Q}$ 長度為 $4$ 時， $\overline{A B}$ 長度為 $30$
(B) $P$ 必在 $Q$ 的右邊
(C) $P$ 必在 $\overline{A B}$ 上
(D) $R$ 必在 $\overline{A B}$ 上
(E) $R$ 有可能和 $A$ 重合

下列各圖形中，何者不是

x

的函數圖形？（各選項的圖形見附圖）

(A) 圖 (A)
(B) 圖 (B)
(C) 圖 (C)
(D) 圖 (D)
(E) 圖 (E)

載入中...

若用火柴棒拼成下列圖形：（見附圖的第 1 圖、第 2 圖、第 3 圖）

a_{n}

表示第

n

個圖形的火柴數，請問下列何者為正確？

(A) $a_{5} = 16$
(B) $a_{10} = 31$
(C) $a_{6}$ 是一質數
(D) $⟨ a_{n} ⟩$ 非一等差數列
(E) 若有 $100$ 根火柴棒可拼成 $33$ 個正方形

載入中...

坐標平面上，兩直線

L_{1} : a x + y = b

與

L_{2} : x - cy = d

的圖形如圖所示，下列哪些選項正確？

(A) $a > 0$
(B) $c < 0$
(C) $a c \neq = - 1$
(D) 直線 $L_{3} : \frac{x}{d} + \frac{y}{b} = 1$ 的圖形不通過第四象限
(E) 直線 $L_{3} : \frac{x}{d} + \frac{y}{b} = 1$ 與兩軸所圍之三角形面積為 $\frac{b d}{2}$

載入中...

三、填充題（每題 7 分，共 35 分）

數列

\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{4}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{5}{5}, \dots\dots

，依此規則下去，

\frac{7}{12}

為第 ____ 項。

若將

(x^{2} - 3 y^{3})^{8}

展開後作同類項的合併化簡，則

x^{10} y^{9}

項的係數為 ____。

設

⟨ a_{n} ⟩

為一等差數列。已知

a_{2} + a_{4} + a_{6} = 186

，

a_{3} + a_{7} = 110

。令

S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots\dots + a_{n}

。則極限

n \to \infty lim \frac{S _{n}}{n ^{2}} =

____。

若一皮球自離地面

12

公尺高處落下，每次返跳高度為其落下時高度的

\frac{3}{5}

，則這皮球到靜止時所經過的距離為 ____ 公尺。

設函數

f

定義為

f (x) = x^{2} + 2 x + 5

，

- 4 \leq x \leq 4

，則

f

的值域為 ____。

四、混合題（第 16 題 5 分、第 17 題 6 分，共 10 分。）

混合題（第 16～17 題）　小兔有三個可以藏身的洞窟

A

、

B

、

C

，且小兔每天都會躲在這三個藏身處的其中之一；若小兔第一天不躲

A

窟，第二天不躲

B

窟，第三天不躲

C

窟，且不連續二天躲在同一洞窟。

請問小兔前三天的藏身安排共有多少種？（單選題）

(A) $4$ 種
(B) $5$ 種
(C) $6$ 種
(D) $7$ 種
(E) $8$ 種

在相同的躲藏規則下，小兔想多挖一些洞窟

D

、

E

、

F \dots

，使得前三天的藏身安排超過

100

種，則牠總共至少需要有多少個洞窟？（包含原來的洞窟

A

、

B

、

C

）（請詳列計算過程否則不予計分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(E)

第 3 題(C)

第 4 題(B)

第 5 題(B)(E)

第 6 題(B)(C)

第 7 題(A)(C)(E)

第 8 題(C)(E)

第 9 題(A)(B)(C)(E)

第 10 題(A)(B)(C)(D)

第 11 題

73

第 12 題

- 1512

第 13 題

- \frac{7}{2}

第 14 題

48

第 15 題

{y ∣ 4 \leq y \leq 29, y \in R}

第 16 題(A)

第 17 題

7

個

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：絕對值不等式、角平分線與正三角形

第 1 題答案 (A)。依

x

的正負分開討論。

x \geq 0

時

∣ x ∣ = x

，不等式變成

3 x < 10

，

x < \frac{10}{3}

，整數有

0, 1, 2, 3

共

4

個。

x < 0

時

∣ x ∣ = - x

，不等式變成

- 2 x + x < 10

，即

x > - 10

，整數有

- 9, - 8, \dots, - 1

共

9

個。合計

4 + 9 = 13

個。

兩段合起來就是

- 10 < x < \frac{10}{3}

，整數從

- 9

到

3

，共

3 - (- 9) + 1 = 13

個。

第 2 題答案 (E)。設

L_{1}

、

L_{2}

交於

V

。

L

與

L_{1}

、

L_{2}

圍成正三角形，所以這個三角形在

V

的內角是

6 0^{\circ}

，而且

L

是

V

的對邊；正三角形中，頂角的角平分線與對邊垂直，所以

L

與這個

6 0^{\circ}

角的平分線垂直。

L_{1}

、

L_{2}

的兩條角平分線互相垂直，斜率分別是

\frac{11}{9}

與

- \frac{9}{11}

，要判斷

6 0^{\circ}

角的平分線是哪一條。設斜率

\frac{11}{9}

的直線的斜角是

θ

；因為

1 < \frac{11}{9} < 3

，所以

4 5^{\circ} < θ < 6 0^{\circ}

。若

6 0^{\circ}

角的平分線是斜率

\frac{11}{9}

的那一條，

L_{1}

、

L_{2}

的斜角是

θ - 3 0^{\circ}

與

θ + 3 0^{\circ}

，都介於

1 5^{\circ}

與

9 0^{\circ}

之間，斜率都是正的，合乎題意。若是另一條，則斜率

\frac{11}{9}

的那一條平分的是

12 0^{\circ}

的角，

L_{1}

、

L_{2}

之中有一條的斜角是

θ + 6 0^{\circ}

，介於

10 5^{\circ}

與

12 0^{\circ}

之間，斜率是負的，不合。所以

L

與斜率

\frac{11}{9}

的直線垂直，

L

的斜率是

- \frac{9}{11}

。又

L

過

(2, \frac{1}{3})

：

y - \frac{1}{3} = - \frac{9}{11} (x - 2)

，兩邊同乘

33

得

33 y - 11 = - 27 x + 54

，即

27 x + 33 y = 65

。

(B)

9 x + 11 y = 25

的斜率也是

- \frac{9}{11}

，但代入

(2, \frac{1}{3})

得

18 + \frac{11}{3} = \frac{65}{3}

，不等於

25

，不通過這個點。

02單選第 3、4 題：夾擠定理、無窮等比級數

第 3 題答案 (C)。

n

是正整數，不等式各邊同除以

n

：

2 - \frac{5}{n} < a_{n} < 2 + \frac{7}{n}

。

n \to \infty

時

\frac{5}{n} \to 0

、

\frac{7}{n} \to 0

，左右兩邊的極限都是

2

。

a_{n}

夾在中間，由夾擠定理，

n \to \infty lim a_{n} = 2

。

卷面把

⟨ a_{n} ⟩

稱作「無窮級數」；角括號是數列的記號，所求也是數列

⟨ a_{n} ⟩

的極限，所以這裡照無窮數列來解。

第 4 題答案 (B)。無窮等比級數的首項為

a

、公比為

r

，當

∣ r ∣ < 1

時收斂，和是

\frac{a}{1 - r}

；

∣ r ∣ \geq 1

（且

a \neq = 0

）時發散。(A) 首項

1

、公比

- \frac{1}{3}

，和是

\frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{3}{4}

，不是

\frac{3}{2}

，錯誤。(B) 首項

\frac{2}{3}

、公比

\frac{1}{3}

，和是

\frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = 1

，正確。(C) 首項

3

、公比

\frac{2}{3}

，和是

\frac{3}{1 - \frac{2}{3}} = 9

，不是

8

，錯誤。(D) 首項

1

、公比

- 2

，

∣ - 2 ∣ > 1

，級數發散，沒有和；右邊的

\frac{1}{1 + 2}

只是把公比硬代進公式得到的數，錯誤。(E) 前

n

項的和依序是

1, 0, 1, 0, \dots

，不會趨近一個定值，級數發散，錯誤。

求和公式

\frac{a}{1 - r}

只有在

∣ r ∣ < 1

時才能用，要先檢查公比。

03多選第 5～7 題：三次函數的圖形、圓與直線、數線上的分點

第 5 題答案 (B)(E)。圖形與

x

軸交於

1

、

2

、

3

三點，三次式最多三個根，所以

f (x) = a (x - 1) (x - 2) (x - 3)

。(A) 圖形的右邊往下走（

x

很大時

f (x) < 0

），所以

a < 0

，錯誤。(B)

f (x) = 0

的解就是圖形與

x

軸交點的

x

坐標：

x = 1

或

2

或

3

，正確。(C)

(x - 1) (x - 2) (x - 3)

的領導係數是

1

，但

a < 0

，兩者不相等，錯誤。(D)

a + b + c + d = f (1) = 0

，不是正的，錯誤。(E)

f (x) > 0

是圖形在

x

軸上方的部分，由圖看出是

x < 1

或

2 < x < 3

，正確。

(E) 也可以用式子檢查：

a < 0

時

f (x) > 0

相當於

(x - 1) (x - 2) (x - 3) < 0

，解是

x < 1

或

2 < x < 3

。

第 6 題答案 (B)(C)。圓心

(0, 3)

、半徑

2

。直線與圓交於兩點，表示圓心到直線的距離小於半徑。五條直線都是

4 x + 3 y + k = 0

的形式，圓心到直線的距離是

\frac{∣4 \cdot 0 + 3 \cdot 3 + k ∣}{4 ^{2} + 3 ^{2}} = \frac{∣9 + k ∣}{5}

。(A)

k = - 20

：距離

\frac{11}{5} > 2

，不相交。(B)

k = - 10

：距離

\frac{1}{5} < 2

，交於兩點。(C)

k = 0

：距離

\frac{9}{5} < 2

，交於兩點。(D)

k = 10

：距離

\frac{19}{5} > 2

，不相交。(E)

k = 20

：距離

\frac{29}{5} > 2

，不相交。

條件

\frac{∣9 + k ∣}{5} < 2

即

- 19 < k < 1

，五個選項裡只有

k = - 10

與

k = 0

在這個範圍內。

第 7 題答案 (A)(C)(E)。

P

的坐標是

\frac{11 a + 4 b}{15}

，係數

\frac{11}{15} + \frac{4}{15} = 1

且都是正的，所以

P

是

\overline{A B}

的內分點，

\overline{A P} : \overline{P B} = 4 : 11

；同理

Q

是內分點，

\overline{A Q} : \overline{QB} = 6 : 9

。(A)

Q

的坐標減

P

的坐標是

\frac{( 9 a + 6 b ) - ( 11 a + 4 b )}{15} = \frac{2 ( b - a )}{15}

，所以

\overline{P Q} = \frac{2}{15} \overline{A B}

；

\overline{P Q} = 4

時

\overline{A B} = 30

，正確。(B) 上式是正的，

Q

的坐標比

P

大，

P

在

Q

的左邊，錯誤。(C)

P

是內分點，一定在

\overline{A B}

上，正確。(D)

R

的坐標

\frac{8 a + 7 b}{14}

的係數和是

\frac{15}{14}

，不是

1

，

R

不一定在

\overline{A B}

上；例如

a = - 8

、

b = - 7

時，

R

的坐標是

\frac{- 64 - 49}{14} = - \frac{113}{14} \approx - 8.07

，比

a

還小，在

A

的左邊，錯誤。(E)

R

與

A

重合的條件是

\frac{8 a + 7 b}{14} = a

，即

7 b = 6 a

；取

a = - 7

、

b = - 6

就符合

a < b

，此時

R

的坐標是

\frac{- 56 - 42}{14} = - 7 = a

，正確。

R

的坐標可以寫成

\frac{8 a + 7 b}{15} \times \frac{15}{14}

：先取

\overline{A B}

的內分點，再把坐標放大成

\frac{15}{14}

倍，放大以後的位置和

a

、

b

本身的大小有關，所以不一定留在

\overline{A B}

上。

04多選第 8～10 題：函數圖形的判斷、火柴棒數列、直線的係數

第 8 題答案 (C)(E)。

y

是

x

的函數，表示每一個

x

只對應到一個

y

；在圖上就是任何一條鉛直線與圖形最多只交於一點。(A) 斜直線，每條鉛直線只與它交於一點，是函數圖形。(B) 開口向上的拋物線，每條鉛直線只交於一點，是函數圖形。(C) 開口向右的拋物線，頂點右邊的鉛直線與它交於上下兩點，一個

x

對應兩個

y

，不是函數圖形。(D) 折線由左到右一路畫過去，沒有往回折，每條鉛直線只交於一點，是函數圖形。(E) 折線左右來回折，

y

軸這條鉛直線就與它交於好幾個點，不是函數圖形。題目問「不是」的，選 (C)(E)。

水平線與圖形交於很多點沒有關係（例如 (B)、(D)），那只表示不同的

x

對應到同一個

y

。

第 9 題答案 (A)(B)(C)(E)。第 1 圖是一個正方形，用

4

根；之後每多一個正方形，因為與前一個共用一邊，只要多

3

根：

a_{1} = 4

、

a_{2} = 7

、

a_{3} = 10

。所以

⟨ a_{n} ⟩

是首項

4

、公差

3

的等差數列，

a_{n} = 4 + 3 (n - 1) = 3 n + 1

。(A)

a_{5} = 16

，正確。(B)

a_{10} = 31

，正確。(C)

a_{6} = 19

，是質數，正確。(D)

⟨ a_{n} ⟩

是等差數列，錯誤。(E) 拼

33

個正方形要

a_{33} = 3 \times 33 + 1 = 100

根，

100

根剛好夠用，正確。

第 10 題答案 (A)(B)(C)(D)。

L_{1} : y = - a x + b

，斜率

- a

、

y

截距

b

。由圖，

L_{1}

由左上往右下，斜率是負的，所以

a > 0

；

L_{1}

與

y

軸交在原點上方，所以

b > 0

。

L_{2} : x - cy = d

，令

y = 0

得

x

截距

d

；由圖，

L_{2}

與

x

軸交在原點左邊，所以

d < 0

。

L_{2}

不是鉛直線，所以

c \neq = 0

，斜率是

\frac{1}{c}

；

L_{2}

也是由左上往右下，斜率是負的，所以

c < 0

。(A)

a > 0

，正確。(B)

c < 0

，正確。(C) 兩直線交於一點，不平行，斜率不相等：

- a \neq = \frac{1}{c}

，即

a c \neq = - 1

，正確。(D)

L_{3}

的

x

截距是

d < 0

、

y

截距是

b > 0

，通過

(d, 0)

與

(0, b)

，是由左下往右上的直線，經過第三、第二、第一象限，不通過第四象限，正確。(E)

L_{3}

與兩軸圍成的直角三角形，兩股長是

∣ d ∣

與

∣ b ∣

，面積是

\frac{∣ b d ∣}{2}

；因為

b > 0

、

d < 0

，

\frac{b d}{2}

是負數，面積應是

- \frac{b d}{2}

，錯誤。

檢查

L_{2}

的

y

截距：令

x = 0

得

y = - \frac{d}{c}

，

d < 0

、

c < 0

時是負的，與圖上

L_{2}

交

y

軸於原點下方一致。

05填充第 11～13 題：分群數列、二項式定理、等差數列與極限

第 11 題把分母相同的項看成一群：分母是

k

的那一群有

\frac{1}{k}, \frac{2}{k}, \dots, \frac{k}{k}

共

k

項。

\frac{7}{12}

在分母是

12

的那一群裡的第

7

項（數列裡的項不約分，例如

\frac{2}{2}

、

\frac{2}{4}

都照寫）。前面分母

1

到

11

的各群共有

1 + 2 + \dots + 11 = \frac{11 \times 12}{2} = 66

項，所以

\frac{7}{12}

是第

66 + 7 = 73

項。

第 12 題由二項式定理，

(x^{2} - 3 y^{3})^{8}

的展開式中各項是

C_{k}^{8} (x^{2})^{8 - k} (- 3 y^{3})^{k} = C_{k}^{8} (- 3)^{k} x^{16 - 2 k} y^{3 k}

，

k = 0, 1, \dots, 8

。要

x^{10} y^{9}

：

16 - 2 k = 10

且

3 k = 9

，兩式都得

k = 3

。係數是

C_{3}^{8} (- 3)^{3} = 56 \times (- 27) = - 1512

。

第 13 題等差數列中

a_{2} + a_{6} = 2 a_{4}

，所以

a_{2} + a_{4} + a_{6} = 3 a_{4} = 186

，

a_{4} = 62

。同理

a_{3} + a_{7} = 2 a_{5} = 110

，

a_{5} = 55

。公差

d = a_{5} - a_{4} = - 7

，首項

a_{1} = a_{4} - 3 d = 62 + 21 = 83

。

S_{n} = \frac{n [ 2 \times 83 + ( n - 1 ) ( - 7 ) ]}{2} = \frac{n ( 173 - 7 n )}{2}

。所以

\frac{S _{n}}{n ^{2}} = \frac{173 - 7 n}{2 n} = \frac{173}{2 n} - \frac{7}{2}

，

n \to \infty

時

\frac{173}{2 n} \to 0

，極限是

- \frac{7}{2}

。

等差數列的

S_{n}

是

n

的二次式，

n^{2}

的係數是

\frac{d}{2}

，所以這個極限就是公差的一半。

06填充第 14、15 題：皮球的總路程、二次函數的值域

第 14 題第一次落下走

12

公尺。之後每一次反彈都是先上升再落下同樣的高度：第一次反彈高度

12 \times \frac{3}{5} = \frac{36}{5}

公尺，上下共走

2 \times \frac{36}{5} = \frac{72}{5}

公尺；以後每次都是前一次的

\frac{3}{5}

。這些上下的路程是首項

\frac{72}{5}

、公比

\frac{3}{5}

的無窮等比級數，

\frac{3}{5} < 1

，和是

\frac{\frac{72}{5}}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{72}{5} \times \frac{5}{2} = 36

公尺。總路程

12 + 36 = 48

公尺。

第一次落下只有「下」沒有「上」，要另外算，不能把

12

也乘以

2

。

第 15 題配方：

f (x) = (x + 1)^{2} + 4

，圖形是開口向上的拋物線，頂點

(- 1, 4)

。

x = - 1

在

- 4 \leq x \leq 4

的範圍內，所以最小值是

f (- 1) = 4

。最大值在離

x = - 1

較遠的端點：

x = - 4

與

- 1

相距

3

，

x = 4

與

- 1

相距

5

，所以最大值是

f (4) = 16 + 8 + 5 = 29

。

x

從

- 1

連續變到

4

時，

f (x)

從

4

連續增加到

29

，中間每個值都取得到，所以值域是

{y ∣ 4 \leq y \leq 29, y \in R}

。

另一個端點

f (- 4) = 16 - 8 + 5 = 13

，比

29

小。值域也可以寫成

4 \leq f (x) \leq 29

。

07混合題第 16、17 題：小兔的藏身安排

第 16 題答案 (A)。第一天只能躲

B

或

C

，第二天只能躲

A

或

C

，第三天只能躲

A

或

B

，而且相鄰兩天不同窟。依第二天分類。第二天躲

A

：第一天躲

B

或

C

都可以（

2

種）；第三天不能躲

C

、也不能和第二天一樣躲

A

，只能躲

B

（

1

種），共

2 \times 1 = 2

種。第二天躲

C

：第一天不能躲

A

、也不能躲

C

，只能躲

B

（

1

種）；第三天躲

A

或

B

都可以（

2

種），共

1 \times 2 = 2

種。合計

2 + 2 = 4

種。

四種安排依序是

B \to A \to B

、

C \to A \to B

、

B \to C \to A

、

B \to C \to B

。

第 17 題設總共有

n

個洞窟（

n \geq 3

）。和第 16 題一樣依第二天躲的洞窟分類；第二天不能躲

B

。第一類，第二天躲

A

：第一天本來就不能躲

A

，所以有

n - 1

種；第三天不能躲

C

也不能躲

A

，有

n - 2

種；共

(n - 1) (n - 2)

種。第二類，第二天躲

C

：第一天不能躲

A

也不能躲

C

，有

n - 2

種；第三天本來就不能躲

C

，有

n - 1

種；共

(n - 1) (n - 2)

種。第三類，第二天躲

A

、

B

、

C

以外的洞窟，有

n - 3

種選法：第一天不能躲

A

也不能和第二天同窟，有

n - 2

種；第三天不能躲

C

也不能和第二天同窟，有

n - 2

種；共

(n - 3) (n - 2)^{2}

種。所以安排總數是

2 (n - 1) (n - 2) + (n - 3) (n - 2)^{2}

。逐一代入：

n = 3

時

4 + 0 = 4

（與第 16 題相符）；

n = 4

時

12 + 4 = 16

；

n = 5

時

24 + 18 = 42

；

n = 6

時

40 + 48 = 88

；

n = 7

時

60 + 100 = 160

。洞窟愈多安排愈多，

n = 6

時還不到

100

種，

n = 7

時超過

100

種，所以總共至少需要

7

個洞窟。

總數可以整理成

(n - 2) (n^{2} - 3 n + 4)

。第三類容易漏掉：新挖的洞窟三天都可以躲，第二天躲新洞窟時，第一天與第三天各只少兩個選擇。

三天的限制都卡在中間那一天，依第二天躲哪裡分類，前後兩天就可以各自獨立計數。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

基隆高中 111 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

基隆高中 111 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要先判斷六十度角的平分線是斜率九分之十一的那一條，再用垂直求斜率，還要代點分辨兩個斜率相同的選項；第 4 題的選項 D 公比的絕對值大於一，級數發散，不能直接套求和公式；第 7 題的 R 係數和不是一，不一定落在線段上；第 17 題第二天躲新洞窟的那一類最容易漏算。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自基隆高中 111 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：第一、二冊複習＋數列的極限、無窮等比級數、函數

基隆高中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

一、單一選擇題（每題 6 分，共 24 分）

試問有多少個整數

x

滿足

2∣ x ∣ + x < 10

？

(A) $13$ 個
(B) $14$ 個
(C) $15$ 個
(D) $16$ 個
(E) 無窮多個

設坐標平面上兩直線

L_{1}

，

L_{2}

的斜率皆為正，且

L_{1}

，

L_{2}

有一夾角的平分線斜率為

\frac{11}{9}

。另一直線

L

通過點

(2, \frac{1}{3})

且與

L_{1}

，

L_{2}

所圍的有界區域為正三角形，試問

L

的方程式為下列哪一選項？

(A) $11 x - 9 y = 19$
(B) $9 x + 11 y = 25$
(C) $11 x + 9 y = 25$
(D) $27 x - 33 y = 43$
(E) $27 x + 33 y = 65$

設無窮級數

⟨ a_{n} ⟩

滿足

2 n - 5 < n a_{n} < 2 n + 7

，則

n \to \infty lim a_{n}

之值為何？（卷面把

⟨ a_{n} ⟩

印作「無窮級數」，依記號與題意是無窮數列）

(A) $1$
(B) $\frac{3}{2}$
(C) $2$
(D) $3$
(E) $8$

下列何者正確？

(A) $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \dots\dots = \frac{3}{2}$
(B) $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 ^{2}} + \frac{2}{3 ^{3}} + \dots\dots = 1$
(C) $3 + 2 + \frac{4}{3} + \dots\dots = 8$
(D) $1 - 2 + (- 2)^{2} + \dots\dots = \frac{1}{1 + 2}$
(E) $1 + (- 1) + 1 + (- 1) + \dots\dots$ 為收斂級數

二、多重選擇題（每題 5 分，共 30 分，錯 1 選項得 3 分、錯 2 選項得 1 分，錯 3 選項以上不給分。）

如圖為三次函數

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

的圖形，且圖形通過

(1, 0)

、

(2, 0)

、

(3, 0)

，選出正確的選項：

(A) $a > 0$
(B) 方程式 $f (x) = 0$ 的解為 $x = 1$ 或 $2$ 或 $3$
(C) $f (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3)$
(D) $a + b + c + d > 0$
(E) $f (x) > 0$ 的解為 $2 < x < 3$ 或 $x < 1$

載入中...

設圓

C

方程式為

x^{2} + (y - 3)^{2} = 4

，則下列直線何者與圓

C

「相割」（交

2

點）？

(A) $4 x + 3 y - 20 = 0$
(B) $4 x + 3 y - 10 = 0$
(C) $4 x + 3 y = 0$
(D) $4 x + 3 y + 10 = 0$
(E) $4 x + 3 y + 20 = 0$

已知

a < b

，

A (a)

、

B (b)

、

P (\frac{11 a + 4 b}{15})

、

Q (\frac{9 a + 6 b}{15})

、

R (\frac{8 a + 7 b}{14})

為數線上之點且此數線以右方為正向。試問下列哪些選項是正確的？

(A) 當 $\overline{P Q}$ 長度為 $4$ 時， $\overline{A B}$ 長度為 $30$
(B) $P$ 必在 $Q$ 的右邊
(C) $P$ 必在 $\overline{A B}$ 上
(D) $R$ 必在 $\overline{A B}$ 上
(E) $R$ 有可能和 $A$ 重合

下列各圖形中，何者不是

x

的函數圖形？（各選項的圖形見附圖）

(A) 圖 (A)
(B) 圖 (B)
(C) 圖 (C)
(D) 圖 (D)
(E) 圖 (E)

載入中...

若用火柴棒拼成下列圖形：（見附圖的第 1 圖、第 2 圖、第 3 圖）

a_{n}

表示第

n

個圖形的火柴數，請問下列何者為正確？

(A) $a_{5} = 16$
(B) $a_{10} = 31$
(C) $a_{6}$ 是一質數
(D) $⟨ a_{n} ⟩$ 非一等差數列
(E) 若有 $100$ 根火柴棒可拼成 $33$ 個正方形

載入中...

坐標平面上，兩直線

L_{1} : a x + y = b

與

L_{2} : x - cy = d

的圖形如圖所示，下列哪些選項正確？

(A) $a > 0$
(B) $c < 0$
(C) $a c \neq = - 1$
(D) 直線 $L_{3} : \frac{x}{d} + \frac{y}{b} = 1$ 的圖形不通過第四象限
(E) 直線 $L_{3} : \frac{x}{d} + \frac{y}{b} = 1$ 與兩軸所圍之三角形面積為 $\frac{b d}{2}$

載入中...

三、填充題（每題 7 分，共 35 分）

數列

\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{4}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{5}{5}, \dots\dots

，依此規則下去，

\frac{7}{12}

為第 ____ 項。

若將

(x^{2} - 3 y^{3})^{8}

展開後作同類項的合併化簡，則

x^{10} y^{9}

項的係數為 ____。

設

⟨ a_{n} ⟩

為一等差數列。已知

a_{2} + a_{4} + a_{6} = 186

，

a_{3} + a_{7} = 110

。令

S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots\dots + a_{n}

。則極限

n \to \infty lim \frac{S _{n}}{n ^{2}} =

____。

若一皮球自離地面

12

公尺高處落下，每次返跳高度為其落下時高度的

\frac{3}{5}

，則這皮球到靜止時所經過的距離為 ____ 公尺。

設函數

f

定義為

f (x) = x^{2} + 2 x + 5

，

- 4 \leq x \leq 4

，則

f

的值域為 ____。

四、混合題（第 16 題 5 分、第 17 題 6 分，共 10 分。）

混合題（第 16～17 題）　小兔有三個可以藏身的洞窟

A

、

B

、

C

，且小兔每天都會躲在這三個藏身處的其中之一；若小兔第一天不躲

A

窟，第二天不躲

B

窟，第三天不躲

C

窟，且不連續二天躲在同一洞窟。

請問小兔前三天的藏身安排共有多少種？（單選題）

(A) $4$ 種
(B) $5$ 種
(C) $6$ 種
(D) $7$ 種
(E) $8$ 種

在相同的躲藏規則下，小兔想多挖一些洞窟

D

、

E

、

F \dots

，使得前三天的藏身安排超過

100

種，則牠總共至少需要有多少個洞窟？（包含原來的洞窟

A

、

B

、

C

）（請詳列計算過程否則不予計分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(E)

第 3 題(C)

第 4 題(B)

第 5 題(B)(E)

第 6 題(B)(C)

第 7 題(A)(C)(E)

第 8 題(C)(E)

第 9 題(A)(B)(C)(E)

第 10 題(A)(B)(C)(D)

第 11 題

73

第 12 題

- 1512

第 13 題

- \frac{7}{2}

第 14 題

48

第 15 題

{y ∣ 4 \leq y \leq 29, y \in R}

第 16 題(A)

第 17 題

7

個

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：絕對值不等式、角平分線與正三角形

第 1 題答案 (A)。依

x

的正負分開討論。

x \geq 0

時

∣ x ∣ = x

，不等式變成

3 x < 10

，

x < \frac{10}{3}

，整數有

0, 1, 2, 3

共

4

個。

x < 0

時

∣ x ∣ = - x

，不等式變成

- 2 x + x < 10

，即

x > - 10

，整數有

- 9, - 8, \dots, - 1

共

9

個。合計

4 + 9 = 13

個。

兩段合起來就是

- 10 < x < \frac{10}{3}

，整數從

- 9

到

3

，共

3 - (- 9) + 1 = 13

個。

第 2 題答案 (E)。設

L_{1}

、

L_{2}

交於

V

。

L

與

L_{1}

、

L_{2}

圍成正三角形，所以這個三角形在

V

的內角是

6 0^{\circ}

，而且

L

是

V

的對邊；正三角形中，頂角的角平分線與對邊垂直，所以

L

與這個

6 0^{\circ}

角的平分線垂直。

L_{1}

、

L_{2}

的兩條角平分線互相垂直，斜率分別是

\frac{11}{9}

與

- \frac{9}{11}

，要判斷

6 0^{\circ}

角的平分線是哪一條。設斜率

\frac{11}{9}

的直線的斜角是

θ

；因為

1 < \frac{11}{9} < 3

，所以

4 5^{\circ} < θ < 6 0^{\circ}

。若

6 0^{\circ}

角的平分線是斜率

\frac{11}{9}

的那一條，

L_{1}

、

L_{2}

的斜角是

θ - 3 0^{\circ}

與

θ + 3 0^{\circ}

，都介於

1 5^{\circ}

與

9 0^{\circ}

之間，斜率都是正的，合乎題意。若是另一條，則斜率

\frac{11}{9}

的那一條平分的是

12 0^{\circ}

的角，

L_{1}

、

L_{2}

之中有一條的斜角是

θ + 6 0^{\circ}

，介於

10 5^{\circ}

與

12 0^{\circ}

之間，斜率是負的，不合。所以

L

與斜率

\frac{11}{9}

的直線垂直，

L

的斜率是

- \frac{9}{11}

。又

L

過

(2, \frac{1}{3})

：

y - \frac{1}{3} = - \frac{9}{11} (x - 2)

，兩邊同乘

33

得

33 y - 11 = - 27 x + 54

，即

27 x + 33 y = 65

。

(B)

9 x + 11 y = 25

的斜率也是

- \frac{9}{11}

，但代入

(2, \frac{1}{3})

得

18 + \frac{11}{3} = \frac{65}{3}

，不等於

25

，不通過這個點。

02單選第 3、4 題：夾擠定理、無窮等比級數

第 3 題答案 (C)。

n

是正整數，不等式各邊同除以

n

：

2 - \frac{5}{n} < a_{n} < 2 + \frac{7}{n}

。

n \to \infty

時

\frac{5}{n} \to 0

、

\frac{7}{n} \to 0

，左右兩邊的極限都是

2

。

a_{n}

夾在中間，由夾擠定理，

n \to \infty lim a_{n} = 2

。

卷面把

⟨ a_{n} ⟩

稱作「無窮級數」；角括號是數列的記號，所求也是數列

⟨ a_{n} ⟩

的極限，所以這裡照無窮數列來解。

第 4 題答案 (B)。無窮等比級數的首項為

a

、公比為

r

，當

∣ r ∣ < 1

時收斂，和是

\frac{a}{1 - r}

；

∣ r ∣ \geq 1

（且

a \neq = 0

）時發散。(A) 首項

1

、公比

- \frac{1}{3}

，和是

\frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{3}{4}

，不是

\frac{3}{2}

，錯誤。(B) 首項

\frac{2}{3}

、公比

\frac{1}{3}

，和是

\frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = 1

，正確。(C) 首項

3

、公比

\frac{2}{3}

，和是

\frac{3}{1 - \frac{2}{3}} = 9

，不是

8

，錯誤。(D) 首項

1

、公比

- 2

，

∣ - 2 ∣ > 1

，級數發散，沒有和；右邊的

\frac{1}{1 + 2}

只是把公比硬代進公式得到的數，錯誤。(E) 前

n

項的和依序是

1, 0, 1, 0, \dots

，不會趨近一個定值，級數發散，錯誤。

求和公式

\frac{a}{1 - r}

只有在

∣ r ∣ < 1

時才能用，要先檢查公比。

03多選第 5～7 題：三次函數的圖形、圓與直線、數線上的分點

第 5 題答案 (B)(E)。圖形與

x

軸交於

1

、

2

、

3

三點，三次式最多三個根，所以

f (x) = a (x - 1) (x - 2) (x - 3)

。(A) 圖形的右邊往下走（

x

很大時

f (x) < 0

），所以

a < 0

，錯誤。(B)

f (x) = 0

的解就是圖形與

x

軸交點的

x

坐標：

x = 1

或

2

或

3

，正確。(C)

(x - 1) (x - 2) (x - 3)

的領導係數是

1

，但

a < 0

，兩者不相等，錯誤。(D)

a + b + c + d = f (1) = 0

，不是正的，錯誤。(E)

f (x) > 0

是圖形在

x

軸上方的部分，由圖看出是

x < 1

或

2 < x < 3

，正確。

(E) 也可以用式子檢查：

a < 0

時

f (x) > 0

相當於

(x - 1) (x - 2) (x - 3) < 0

，解是

x < 1

或

2 < x < 3

。

第 6 題答案 (B)(C)。圓心

(0, 3)

、半徑

2

。直線與圓交於兩點，表示圓心到直線的距離小於半徑。五條直線都是

4 x + 3 y + k = 0

的形式，圓心到直線的距離是

\frac{∣4 \cdot 0 + 3 \cdot 3 + k ∣}{4 ^{2} + 3 ^{2}} = \frac{∣9 + k ∣}{5}

。(A)

k = - 20

：距離

\frac{11}{5} > 2

，不相交。(B)

k = - 10

：距離

\frac{1}{5} < 2

，交於兩點。(C)

k = 0

：距離

\frac{9}{5} < 2

，交於兩點。(D)

k = 10

：距離

\frac{19}{5} > 2

，不相交。(E)

k = 20

：距離

\frac{29}{5} > 2

，不相交。

條件

\frac{∣9 + k ∣}{5} < 2

即

- 19 < k < 1

，五個選項裡只有

k = - 10

與

k = 0

在這個範圍內。

第 7 題答案 (A)(C)(E)。

P

的坐標是

\frac{11 a + 4 b}{15}

，係數

\frac{11}{15} + \frac{4}{15} = 1

且都是正的，所以

P

是

\overline{A B}

的內分點，

\overline{A P} : \overline{P B} = 4 : 11

；同理

Q

是內分點，

\overline{A Q} : \overline{QB} = 6 : 9

。(A)

Q

的坐標減

P

的坐標是

\frac{( 9 a + 6 b ) - ( 11 a + 4 b )}{15} = \frac{2 ( b - a )}{15}

，所以

\overline{P Q} = \frac{2}{15} \overline{A B}

；

\overline{P Q} = 4

時

\overline{A B} = 30

，正確。(B) 上式是正的，

Q

的坐標比

P

大，

P

在

Q

的左邊，錯誤。(C)

P

是內分點，一定在

\overline{A B}

上，正確。(D)

R

的坐標

\frac{8 a + 7 b}{14}

的係數和是

\frac{15}{14}

，不是

1

，

R

不一定在

\overline{A B}

上；例如

a = - 8

、

b = - 7

時，

R

的坐標是

\frac{- 64 - 49}{14} = - \frac{113}{14} \approx - 8.07

，比

a

還小，在

A

的左邊，錯誤。(E)

R

與

A

重合的條件是

\frac{8 a + 7 b}{14} = a

，即

7 b = 6 a

；取

a = - 7

、

b = - 6

就符合

a < b

，此時

R

的坐標是

\frac{- 56 - 42}{14} = - 7 = a

，正確。

R

的坐標可以寫成

\frac{8 a + 7 b}{15} \times \frac{15}{14}

：先取

\overline{A B}

的內分點，再把坐標放大成

\frac{15}{14}

倍，放大以後的位置和

a

、

b

本身的大小有關，所以不一定留在

\overline{A B}

上。

04多選第 8～10 題：函數圖形的判斷、火柴棒數列、直線的係數

第 8 題答案 (C)(E)。

y

是

x

的函數，表示每一個

x

只對應到一個

y

x

對應兩個

y

，不是函數圖形。(D) 折線由左到右一路畫過去，沒有往回折，每條鉛直線只交於一點，是函數圖形。(E) 折線左右來回折，

y

軸這條鉛直線就與它交於好幾個點，不是函數圖形。題目問「不是」的，選 (C)(E)。

水平線與圖形交於很多點沒有關係（例如 (B)、(D)），那只表示不同的

x

對應到同一個

y

。

第 9 題答案 (A)(B)(C)(E)。第 1 圖是一個正方形，用

4

根；之後每多一個正方形，因為與前一個共用一邊，只要多

3

根：

a_{1} = 4

、

a_{2} = 7

、

a_{3} = 10

。所以

⟨ a_{n} ⟩

是首項

4

、公差

3

的等差數列，

a_{n} = 4 + 3 (n - 1) = 3 n + 1

。(A)

a_{5} = 16

，正確。(B)

a_{10} = 31

，正確。(C)

a_{6} = 19

，是質數，正確。(D)

⟨ a_{n} ⟩

是等差數列，錯誤。(E) 拼

33

個正方形要

a_{33} = 3 \times 33 + 1 = 100

根，

100

根剛好夠用，正確。

第 10 題答案 (A)(B)(C)(D)。

L_{1} : y = - a x + b

，斜率

- a

、

y

截距

b

。由圖，

L_{1}

由左上往右下，斜率是負的，所以

a > 0

；

L_{1}

與

y

軸交在原點上方，所以

b > 0

。

L_{2} : x - cy = d

，令

y = 0

得

x

截距

d

；由圖，

L_{2}

與

x

軸交在原點左邊，所以

d < 0

。

L_{2}

不是鉛直線，所以

c \neq = 0

，斜率是

\frac{1}{c}

；

L_{2}

也是由左上往右下，斜率是負的，所以

c < 0

。(A)

a > 0

，正確。(B)

c < 0

，正確。(C) 兩直線交於一點，不平行，斜率不相等：

- a \neq = \frac{1}{c}

，即

a c \neq = - 1

，正確。(D)

L_{3}

的

x

截距是

d < 0

、

y

截距是

b > 0

，通過

(d, 0)

與

(0, b)

，是由左下往右上的直線，經過第三、第二、第一象限，不通過第四象限，正確。(E)

L_{3}

與兩軸圍成的直角三角形，兩股長是

∣ d ∣

與

∣ b ∣

，面積是

\frac{∣ b d ∣}{2}

；因為

b > 0

、

d < 0

，

\frac{b d}{2}

是負數，面積應是

- \frac{b d}{2}

，錯誤。

檢查

L_{2}

的

y

截距：令

x = 0

得

y = - \frac{d}{c}

，

d < 0

、

c < 0

時是負的，與圖上

L_{2}

交

y

軸於原點下方一致。

05填充第 11～13 題：分群數列、二項式定理、等差數列與極限

第 11 題把分母相同的項看成一群：分母是

k

的那一群有

\frac{1}{k}, \frac{2}{k}, \dots, \frac{k}{k}

共

k

項。

\frac{7}{12}

在分母是

12

的那一群裡的第

7

項（數列裡的項不約分，例如

\frac{2}{2}

、

\frac{2}{4}

都照寫）。前面分母

1

到

11

的各群共有

1 + 2 + \dots + 11 = \frac{11 \times 12}{2} = 66

項，所以

\frac{7}{12}

是第

66 + 7 = 73

項。

第 12 題由二項式定理，

(x^{2} - 3 y^{3})^{8}

的展開式中各項是

C_{k}^{8} (x^{2})^{8 - k} (- 3 y^{3})^{k} = C_{k}^{8} (- 3)^{k} x^{16 - 2 k} y^{3 k}

，

k = 0, 1, \dots, 8

。要

x^{10} y^{9}

：

16 - 2 k = 10

且

3 k = 9

，兩式都得

k = 3

。係數是

C_{3}^{8} (- 3)^{3} = 56 \times (- 27) = - 1512

。

第 13 題等差數列中

a_{2} + a_{6} = 2 a_{4}

，所以

a_{2} + a_{4} + a_{6} = 3 a_{4} = 186

，

a_{4} = 62

。同理

a_{3} + a_{7} = 2 a_{5} = 110

，

a_{5} = 55

。公差

d = a_{5} - a_{4} = - 7

，首項

a_{1} = a_{4} - 3 d = 62 + 21 = 83

。

S_{n} = \frac{n [ 2 \times 83 + ( n - 1 ) ( - 7 ) ]}{2} = \frac{n ( 173 - 7 n )}{2}

。所以

\frac{S _{n}}{n ^{2}} = \frac{173 - 7 n}{2 n} = \frac{173}{2 n} - \frac{7}{2}

，

n \to \infty

時

\frac{173}{2 n} \to 0

，極限是

- \frac{7}{2}

。

等差數列的

S_{n}

是

n

的二次式，

n^{2}

的係數是

\frac{d}{2}

，所以這個極限就是公差的一半。

06填充第 14、15 題：皮球的總路程、二次函數的值域

第 14 題第一次落下走

12

公尺。之後每一次反彈都是先上升再落下同樣的高度：第一次反彈高度

12 \times \frac{3}{5} = \frac{36}{5}

公尺，上下共走

2 \times \frac{36}{5} = \frac{72}{5}

公尺；以後每次都是前一次的

\frac{3}{5}

。這些上下的路程是首項

\frac{72}{5}

、公比

\frac{3}{5}

的無窮等比級數，

\frac{3}{5} < 1

，和是

\frac{\frac{72}{5}}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{72}{5} \times \frac{5}{2} = 36

公尺。總路程

12 + 36 = 48

公尺。

第一次落下只有「下」沒有「上」，要另外算，不能把

12

也乘以

2

。

第 15 題配方：

f (x) = (x + 1)^{2} + 4

，圖形是開口向上的拋物線，頂點

(- 1, 4)

。

x = - 1

在

- 4 \leq x \leq 4

的範圍內，所以最小值是

f (- 1) = 4

。最大值在離

x = - 1

較遠的端點：

x = - 4

與

- 1

相距

3

，

x = 4

與

- 1

相距

5

，所以最大值是

f (4) = 16 + 8 + 5 = 29

。

x

從

- 1

連續變到

4

時，

f (x)

從

4

連續增加到

29

，中間每個值都取得到，所以值域是

{y ∣ 4 \leq y \leq 29, y \in R}

。

另一個端點

f (- 4) = 16 - 8 + 5 = 13

，比

29

小。值域也可以寫成

4 \leq f (x) \leq 29

。

07混合題第 16、17 題：小兔的藏身安排

第 16 題答案 (A)。第一天只能躲

B

或

C

，第二天只能躲

A

或

C

，第三天只能躲

A

或

B

，而且相鄰兩天不同窟。依第二天分類。第二天躲

A

：第一天躲

B

或

C

都可以（

2

種）；第三天不能躲

C

、也不能和第二天一樣躲

A

，只能躲

B

（

1

種），共

2 \times 1 = 2

種。第二天躲

C

：第一天不能躲

A

、也不能躲

C

，只能躲

B

（

1

種）；第三天躲

A

或

B

都可以（

2

種），共

1 \times 2 = 2

種。合計

2 + 2 = 4

種。

四種安排依序是

B \to A \to B

、

C \to A \to B

、

B \to C \to A

、

B \to C \to B

。

第 17 題設總共有

n

個洞窟（

n \geq 3

）。和第 16 題一樣依第二天躲的洞窟分類；第二天不能躲

B

。第一類，第二天躲

A

：第一天本來就不能躲

A

，所以有

n - 1

種；第三天不能躲

C

也不能躲

A

，有

n - 2

種；共

(n - 1) (n - 2)

種。第二類，第二天躲

C

：第一天不能躲

A

也不能躲

C

，有

n - 2

種；第三天本來就不能躲

C

，有

n - 1

種；共

(n - 1) (n - 2)

種。第三類，第二天躲

A

、

B

、

C

以外的洞窟，有

n - 3

種選法：第一天不能躲

A

也不能和第二天同窟，有

n - 2

種；第三天不能躲

C

也不能和第二天同窟，有

n - 2

種；共

(n - 3) (n - 2)^{2}

種。所以安排總數是

2 (n - 1) (n - 2) + (n - 3) (n - 2)^{2}

。逐一代入：

n = 3

時

4 + 0 = 4

（與第 16 題相符）；

n = 4

時

12 + 4 = 16

；

n = 5

時

24 + 18 = 42

；

n = 6

時

40 + 48 = 88

；

n = 7

時

60 + 100 = 160

。洞窟愈多安排愈多，

n = 6

時還不到

100

種，

n = 7

時超過

100

種，所以總共至少需要

7

個洞窟。

總數可以整理成

(n - 2) (n^{2} - 3 n + 4)

。第三類容易漏掉：新挖的洞窟三天都可以躲，第二天躲新洞窟時，第一天與第三天各只少兩個選擇。

三天的限制都卡在中間那一天，依第二天躲哪裡分類，前後兩天就可以各自獨立計數。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

基隆高中 111 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

基隆高中 111 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自基隆高中 111 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

基隆高中 111 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 17 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選第 1、2 題：絕對值不等式、角平分線與正三角形

02單選第 3、4 題：夾擠定理、無窮等比級數

03多選第 5～7 題：三次函數的圖形、圓與直線、數線上的分點

04多選第 8～10 題：函數圖形的判斷、火柴棒數列、直線的係數

05填充第 11～13 題：分群數列、二項式定理、等差數列與極限

06填充第 14、15 題：皮球的總路程、二次函數的值域

07混合題第 16、17 題：小兔的藏身安排

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

基隆高中 111 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

基隆高中 111 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

基隆高中 111 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 17 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選第 1、2 題：絕對值不等式、角平分線與正三角形

02單選第 3、4 題：夾擠定理、無窮等比級數

03多選第 5～7 題：三次函數的圖形、圓與直線、數線上的分點

04多選第 8～10 題：函數圖形的判斷、火柴棒數列、直線的係數

05填充第 11～13 題：分群數列、二項式定理、等差數列與極限

06填充第 14、15 題：皮球的總路程、二次函數的值域

07混合題第 16、17 題：小兔的藏身安排

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

基隆高中 111 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

基隆高中 111 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

基隆高中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

基隆高中 111 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

基隆高中 111 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

基隆高中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

基隆高中 111 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

基隆高中 111 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？