段考詳解範圍：數學甲上（函數的極限與連續、導數與微分公式、導數的應用）＋高一高二複習（對數、機率與期望值、數據分析、三角）

基隆高中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

單一選擇題 4 題（每題 6 分，共 24 分）、多選題 3 題（每題 6 分，共 18 分，答錯一個選項得 4 分，答錯兩個選項得 2 分）、填充題第 8～14 題（第 8～13 題每題 6 分，第 14 題三小題每小題 4 分，共 48 分）、混合題 2 題（第 15 題單選、第 16 題非選，每題 5 分，共 10 分），合計 100 分。題號與原卷相同。卷末印有參考公式（標準差、相關係數、迴歸直線）；其中迴歸直線的公式把斜率印成 r 乘以 y 的平均數除以 x 的平均數，正確應為 r 乘以 y 的標準差除以 x 的標準差，本頁詳解照正確的公式計算。答案已與學校公布的答案逐題核對，16 題全部一致。第 4 題附圖只是示意，未依實際比例繪製。

一、單一選擇題（每題 6 分，共 24 分。）

連續投擲一公正骰子兩次，設出現的點數依序為

a

，

b

。試問發生

lo g (a^{2}) + lo g b \leq 2

的機率為多少？

(A) $\frac{5}{6}$
(B) $\frac{3}{4}$
(C) $\frac{2}{3}$
(D) $\frac{1}{2}$
(E) $\frac{1}{3}$

某知名冰店依據過去的銷售紀錄，夏天平均氣溫在

1 9^{\circ} C

到

3 7^{\circ} C

時，每日平均售出的冰棒數量與當天的平均氣溫之相關係數為

0.99

，部分紀錄如表。

平均氣溫（^{\circ} C ） 平均售出量（枝） 232052527327349294313150733582

某日平均氣溫為

3 6^{\circ} C

，依據上述資訊推測，試問該日賣出的冰棒數量接近下列哪個選項？

(A) $640$ 枝
(B) $695$ 枝
(C) $770$ 枝
(D) $825$ 枝
(E) $870$ 枝

設正實數

b

滿足

(lo g 100) (lo g b) + lo g 100 + lo g b = 9

。試選出正確的選項。

(A) $1 \leq b \leq 10$
(B) $10 \leq b \leq 10$
(C) $10 \leq b \leq 1010$
(D) $1010 \leq b \leq 100$
(E) $100 \leq b \leq 10010$

如圖，設一扇形的圓心角為

\frac{π}{3}

，若此扇形的面積為

A_{1}

，內切圓的面積為

A_{2}

，則

A_{1} : A_{2}

的比值為

(A) $\frac{2 3}{3}$
(B) $\frac{4}{3}$
(C) $\frac{3}{2}$
(D) $3$
(E) $2$

載入中...

二、多選題（每題 6 分，共 18 分。答錯一個選項得 4 分，答錯兩個選項得 2 分。）

下列各函數圖形中已標出

x = a

的位置，試問哪幾個函數在

x = a

處不可微分？

(A) 圖 (A)
(B) 圖 (B)
(C) 圖 (C)
(D) 圖 (D)
(E) 圖 (E)

載入中...

已知

sin θ = - \frac{3}{4}

且

cos θ > 0

，請問下列選項何者正確？

(A) $tan θ < 0$
(B) $tan^{2} θ > \frac{9}{8}$
(C) $sin^{2} θ > cos^{2} θ$
(D) $sin 2 θ > 0$
(E) 標準位置角 $θ$ 與 $2 θ$ 的終邊位在不同的象限。

設兩變數

x

與

y

的

10

組數據為

(x_{1}, y_{1})

，

(x_{2}, y_{2})

，

(x_{3}, y_{3})

，

\dots\dots

，

(x_{10}, y_{10})

，其中

\sum_{i = 1}^{10} x_{i} = 650

，

\sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 700

，

\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} = 43250

，

\sum_{i = 1}^{10} y_{i}^{2} = 49250

，

\sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i} = 45900

，則下列哪些選項是正確的？

(A) $x$ 的標準差小於 $y$ 的標準差
(B) $x$ 與 $y$ 的相關係數為 $0.4$
(C) 利用最小平方法求得 $y$ 對 $x$ 之迴歸直線斜率為 $\frac{2}{5}$
(D) 利用最小平方法求得 $y$ 對 $x$ 之迴歸直線過點 $(- 50, - 3)$
(E) 設 $u = - 2 x - 1$ ， $v = y + 1$ ，則 $u$ 與 $v$ 的相關係數為 $- 0.8$ 。

三、填充題（第 8~13 題：每題 6 分，第 14 題：每小題 4 分，共 48 分。）

平面一箏形

A B C D

，其中

\overline{A B} = \overline{B C} = 3

，

\overline{A D} = \overline{C D} = 5

，

∠ B A D = 12 0^{\circ}

，則

\overline{A C} =

____。

袋中有

3

顆白球與

2

顆黑球，每次隨機從袋中抽出

1

球，袋中每一球被抽到的機率皆相同，抽出後不放回，直到抽中黑球時遊戲結束。若在第

k

次抽到黑球，則得到

k

元獎金。此遊戲可獲得獎金的數學期望值為 ____ 元。

若

a

，

b

為定數，且

x \to 2 lim \frac{x + a - b}{x - 2} = \frac{1}{4}

，則數對

(a, b) =

____。

設

g (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x^{2}, a x + b, x^{3}, x \leq 1 1 < x < 2 x \geq 2

，若此函數是連續函數，則數對

(a, b) =

____。

試求過函數

y = x^{2} + x

圖形外一點

P (2, 5)

向函數圖形所作之切線方程式為 ____。

取一張邊長

18

公分的正方形卡紙，將四個角落切去大小相同的小正方形，再將它摺為一個無蓋的小紙盒。則此小紙盒最大容積為 ____ 立方公分。

試求下列各函數的一階導數

f^{'} (1)

之值為何。 (1)

f (x) = (x^{3} + 2) (3 x^{2} - 2 x + 1)

。 (2)

f (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 3}

。 (3)

f (x) = (x^{2} + x - 1)^{10}

。

四、混合題（每題 5 分，共 10 分。）

混合題（第 15～16 題）　每年五月是申報所得稅的月分，根據一份報導資料指出，臺灣貧富差距日益懸殊，個人所得最高族群（前

10 %

）其所得是最低族群（後

10 %

）的

61

倍。為了縮短貧富差距，有學者建議政府採取以下方案：甲方案：每人每月加薪

5000

元；乙方案：每人每月加薪

10 %

；丙方案：個人所得最低族群，每人每月發放救濟金

3000

元

下列有關這幾個方案的敘述，哪些是正確的？（單選）

(A) 實施甲方案後，臺灣貧富差距的倍數會高於 $61$ 倍
(B) 實施乙方案後，臺灣貧富差距的倍數會低於 $61$ 倍
(C) 實施丙方案後，臺灣貧富差距的倍數會低於 $61$ 倍
(D) 實施甲方案後，臺灣個人所得的全距會增加
(E) 實施乙方案後，個人所得的標準差會縮小 $10 %$ 。

承上題，和學者討論後，最終政府採取個人所得最低族群每人每月發放救濟金，且已知最低族群所得平均為

22000

元。試問，個人所得最低族群應發放多少元救濟金，才可使貧富差距縮小至

50

倍？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(B)

第 3 題(E)

第 4 題(C)

第 5 題(A)(D)(E)

第 6 題(A)(B)(C)(E)

第 7 題(C)(E)

第 8 題

\frac{15 3}{7}

第 9 題

2

第 10 題

(2, 2)

第 11 題

(7, - 6)

第 12 題

7 x - y = 9

或

3 x - y = 1

第 13 題

432

第 14 題(1)

18

　(2)

\frac{1}{4}

　(3)

30

第 15 題(C)

第 16 題

4840

元

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：對數與機率、迴歸直線推估

第 1 題答案 (A)。

a

、

b

都是正整數，對數有意義。由對數律，

lo g (a^{2}) + lo g b = lo g (a^{2} b)

，所以

lo g (a^{2} b) \leq 2

等價於

a^{2} b \leq 1 0^{2} = 100

。樣本空間共

6 \times 6 = 36

個等可能的結果，依

a

逐一數

b

：

a = 1

時

b \leq 100

，

6

個；

a = 2

時

4 b \leq 100

，

b \leq 25

，

6

個；

a = 3

時

9 b \leq 100

，

b \leq 11

，

6

個；

a = 4

時

16 b \leq 100

，

b \leq 6

，

6

個；

a = 5

時

25 b \leq 100

，

b \leq 4

，

4

個；

a = 6

時

36 b \leq 100

，

b \leq 2

，

2

個。共

6 + 6 + 6 + 6 + 4 + 2 = 30

個，機率

\frac{30}{36} = \frac{5}{6}

。

也可以數不合的：

a = 5

時

b = 5, 6

，

a = 6

時

b = 3, 4, 5, 6

，共

6

個，

1 - \frac{6}{36} = \frac{5}{6}

。

第 2 題答案 (B)。相關係數

0.99

很接近

1

，而且

3 6^{\circ} C

在

1 9^{\circ} C

到

3 7^{\circ} C

之內，可以用迴歸直線推估。設氣溫為

x

、售出量為

y

。

x

的平均數是

28

，令

d = x - 28

，六個

d

依序是

- 5, - 3, - 1, 1, 3, 5

，

\sum d^{2} = 25 + 9 + 1 + 1 + 9 + 25 = 70

。

y

的平均數是

\frac{205 + 273 + 349 + 431 + 507 + 582}{6} = \frac{2347}{6} \approx 391.2

。因為

\sum d = 0

，

\sum d (y - \overset{y}{ˉ}) = \sum d y = - 5 \cdot 205 - 3 \cdot 273 - 349 + 431 + 3 \cdot 507 + 5 \cdot 582 = 2669

。迴歸直線斜率

= \frac{\sum d ( y - y ˉ )}{\sum d ^{2}} = \frac{2669}{70} \approx 38.13

。迴歸直線

y - 391.2 = 38.13 (x - 28)

，代

x = 36

：

y \approx 391.2 + 38.13 \times 8 \approx 696.2

，最接近

695

枝。

粗估也可以：從

2 3^{\circ} C

到

3 3^{\circ} C

售出量約增加

582 - 205 = 377

枝，每度約

38

枝；從

3 3^{\circ} C

再升

3

度約多

113

枝，

582 + 113 = 695

。

02單選第 3、4 題：對數方程式、扇形的內切圓

第 3 題答案 (E)。

lo g 100 = 2

，代入得

2 lo g b + 2 + lo g b = 9

，

3 lo g b = 7

，

lo g b = \frac{7}{3}

，所以

b = 1 0^{\frac{7}{3}} = 100 \times 1 0^{\frac{1}{3}}

。比較選項端點的常用對數：

lo g 100 = 2

，

lo g (10010) = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

。因為

2 < \frac{7}{3} < \frac{5}{2}

，所以

100 \leq b \leq 10010

。

1 0^{\frac{1}{3}} = 310 \approx 2.15

，

10 \approx 3.16

，

b \approx 215

，確實在

100

與

316

之間。

第 4 題答案 (C)。設扇形的圓心為

O

、半徑為

R

，內切圓的圓心為

I

、半徑為

r

。內切圓與扇形的兩條半徑都相切，所以

I

在圓心角的角平分線上，

I

到任一條半徑的距離是

r

；角平分線與半徑的夾角是

\frac{π}{6}

，所以

\overline{O I} sin \frac{π}{6} = r

，

\overline{O I} = 2 r

。內切圓又與圓弧相切，切點在直線

O I

上，所以

\overline{O I} + r = R

，

3 r = R

，

r = \frac{R}{3}

。扇形面積

A_{1} = \frac{1}{2} R^{2} \cdot \frac{π}{3} = \frac{π R ^{2}}{6}

，內切圓面積

A_{2} = π r^{2} = \frac{π R ^{2}}{9}

。所以

A_{1} : A_{2} = \frac{1}{6} : \frac{1}{9} = 3 : 2

，比值

\frac{3}{2}

。

兩圓（扇形所在的大圓與內切圓）內切時，切點與兩個圓心共線，所以

\overline{O I} = R - r

。

03多選第 5～7 題：可微分、三角函數值、數據分析

第 5 題答案 (A)(D)(E)。函數在

x = a

可微分，圖形在

x = a

必須連續，而且左右兩側的切線斜率要相同（沒有尖角）。(A) 圖形在

x = a

處是兩條斜率不同的直線接成的尖角，左側斜率為負、右側斜率為正，左右導數不相等，不可微分。(B) 跳躍發生在

a

的左側；在

x = a

附近，函數圖形是一段水平線，

f (x)

為常數，所以

f^{'} (a) = 0

，可微分。(C) 圖形在

x = a

處平滑，有唯一的切線，可微分。(D) 圖形在

x = a

處由下降轉為上升，左右兩段在該點接成尖角，左側切線斜率為負、右側為正，不可微分。(E) 曲線在

x = a

處是空心點，

f (a)

是上方的實心點，

x \to a lim f (x) \neq = f (a)

，在

x = a

不連續，所以不可微分。

可微分一定連續；反過來，連續不一定可微分，像 (A)、(D) 的尖角。(B) 的不連續點不在

x = a

，判斷時只看

x = a

附近。

第 6 題答案 (A)(B)(C)(E)。

sin θ < 0

、

cos θ > 0

，

θ

的終邊在第四象限。

cos^{2} θ = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}

，

cos θ = \frac{7}{4}

。(A)

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} = - \frac{3}{7} < 0

，正確。(B)

tan^{2} θ = \frac{9}{7}

；

\frac{9}{7}

與

\frac{9}{8}

分子相同、分母

7 < 8

，所以

\frac{9}{7} > \frac{9}{8}

，正確。(C)

sin^{2} θ = \frac{9}{16} > \frac{7}{16} = cos^{2} θ

，正確。(D)

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 \cdot (- \frac{3}{4}) \cdot \frac{7}{4} = - \frac{3 7}{8} < 0

，錯誤。(E)

cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ = 1 - \frac{9}{8} = - \frac{1}{8} < 0

，又

sin 2 θ < 0

，所以

2 θ

的終邊在第三象限，與

θ

（第四象限）不同，正確。

判斷

2 θ

的象限要同時看

sin 2 θ

與

cos 2 θ

的正負，兩個都用二倍角公式算。

第 7 題答案 (C)(E)。

n = 10

，

μ_{x} = \frac{650}{10} = 65

，

μ_{y} = \frac{700}{10} = 70

。

σ_{x}^{2} = \frac{43250}{10} - 6 5^{2} = 4325 - 4225 = 100

，

σ_{x} = 10

；

σ_{y}^{2} = \frac{49250}{10} - 7 0^{2} = 4925 - 4900 = 25

，

σ_{y} = 5

。

\sum x_{i} y_{i} - n μ_{x} μ_{y} = 45900 - 10 \cdot 65 \cdot 70 = 45900 - 45500 = 400

，

\sum x_{i}^{2} - n μ_{x}^{2} = 43250 - 42250 = 1000

，

\sum y_{i}^{2} - n μ_{y}^{2} = 49250 - 49000 = 250

，所以

r = \frac{400}{1000 250} = \frac{400}{500} = 0.8

。(A)

σ_{x} = 10 > 5 = σ_{y}

，錯誤。(B) 相關係數是

0.8

，不是

0.4

，錯誤。(C) 迴歸直線斜率

= r \cdot \frac{σ _{y}}{σ _{x}} = 0.8 \cdot \frac{5}{10} = \frac{2}{5}

，正確。(D) 迴歸直線為

y - 70 = \frac{2}{5} (x - 65)

。代

x = - 50

：

y = 70 + \frac{2}{5} \cdot (- 115) = 70 - 46 = 24

，不是

- 3

，錯誤。(E)

u = - 2 x - 1

、

v = y + 1

，兩個變換的倍數

- 2

與

1

異號，相關係數的大小不變、正負號改變，所以

u

與

v

的相關係數為

- 0.8

，正確。

卷末參考公式的迴歸直線印作

y - μ_{y} = r \frac{μ _{y}}{μ _{x}} (x - μ_{x})

，斜率應該是

r \frac{σ _{y}}{σ _{x}}

（

y

的標準差除以

x

的標準差）。照印錯的式子算，斜率是

0.8 \cdot \frac{70}{65} = \frac{56}{65}

，(C) 也不成立；學校答案 (C) 是照正確公式。不論用哪一個，迴歸直線在

x = - 50

時都不是

- 3

，(D) 錯誤。

04填充第 8～10 題：箏形、期望值、根式的極限

第 8 題

\overline{A B} = \overline{C B}

、

\overline{A D} = \overline{C D}

，

B

、

D

都在

\overline{A C}

的中垂線上，所以直線

B D

是

\overline{A C}

的中垂線：

\overline{A C} ⊥ \overline{B D}

，且

\overline{B D}

平分

\overline{A C}

。在

△ A B D

中由餘弦定理，

\overline{B D}^{2} = 3^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 5 cos 12 0^{\circ} = 9 + 25 + 15 = 49

，

\overline{B D} = 7

。

△ A B D

的面積

= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 sin 12 0^{\circ} = \frac{15 3}{4}

。設

A

到

\overline{B D}

的距離為

h

，則

\frac{1}{2} \cdot 7 \cdot h = \frac{15 3}{4}

，

h = \frac{15 3}{14}

。

A

到

\overline{B D}

的垂足正是

\overline{A C}

的中點，所以

\overline{A C} = 2 h = \frac{15 3}{7}

。

箏形的兩條對角線互相垂直，連接「兩對等邊交點」的那一條（

\overline{B D}

）平分另一條。

第 9 題設在第

k

次抽到黑球。

P (k = 1) = \frac{2}{5}

；

P (k = 2) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}

；

P (k = 3) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{5}

；

P (k = 4) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} = \frac{1}{10}

。三顆白球最多抽完，第

4

次一定抽到黑球；四個機率相加

\frac{4 + 3 + 2 + 1}{10} = 1

。期望值

= 1 \cdot \frac{2}{5} + 2 \cdot \frac{3}{10} + 3 \cdot \frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{1}{10} = \frac{4 + 6 + 6 + 4}{10} = 2

元。

不放回時每一次的機率要用「袋中剩下的球」來算，第

2

次抽之前袋中只剩

4

顆。

第 10 題

x \to 2

時分母

x - 2 \to 0

，而極限存在，所以分子也必須趨近

0

：

2 + a - b = 0

，

b = 2 + a

，且

b \geq 0

。分子有理化：

\frac{x + a - b}{x - 2} = \frac{( x + a ) - b ^{2}}{( x - 2 ) ( x + a + b )}

。因為

b^{2} = 2 + a

，分子

(x + a) - b^{2} = x - 2

，約去後得

\frac{1}{x + a + b}

。所以極限

= \frac{1}{2 + a + b} = \frac{1}{2 b} = \frac{1}{4}

，

b = 2

，

a = b^{2} - 2 = 2

。

(a, b) = (2, 2)

。

若分子不趨近

0

，分式的絕對值會無限變大，極限不存在；這是由極限值反求常數的第一步。

05填充第 11～14 題：連續、切線、最大容積、導數

第 11 題三段各自是多項式，在自己的範圍內都連續，只要檢查接點

x = 1

與

x = 2

。

x = 1

：

g (1) = 1^{2} = 1

，右極限

x \to 1^{+} lim (a x + b) = a + b

，連續要求

a + b = 1

。

x = 2

：

g (2) = 2^{3} = 8

，左極限

x \to 2^{-} lim (a x + b) = 2 a + b

，連續要求

2 a + b = 8

。兩式相減得

a = 7

，

b = - 6

。

(a, b) = (7, - 6)

。

中間那段的兩個端點都沒有取到，函數值由左右兩段給，所以兩個接點各用中間那段的單側極限。

第 12 題先確認

P

不在圖形上：

x = 2

時

y = 4 + 2 = 6 \neq = 5

。設切點為

(t, t^{2} + t)

。

y^{'} = 2 x + 1

，切線斜率為

2 t + 1

，切線為

y - (t^{2} + t) = (2 t + 1) (x - t)

。切線過

P (2, 5)

：

5 - t^{2} - t = (2 t + 1) (2 - t) = - 2 t^{2} + 3 t + 2

，整理得

t^{2} - 4 t + 3 = 0

，

t = 1

或

t = 3

。

t = 1

：切點

(1, 2)

，斜率

3

，切線

y - 2 = 3 (x - 1)

，即

3 x - y = 1

。

t = 3

：切點

(3, 12)

，斜率

7

，切線

y - 12 = 7 (x - 3)

，即

7 x - y = 9

。兩條都要寫。

P

不在圖形上，不能直接用

P

的

x

坐標代入導數求斜率；要設切點，再要求切線通過

P

。

第 13 題設切去的小正方形邊長為

x

公分，紙盒的底是邊長

18 - 2 x

的正方形，高是

x

，

0 < x < 9

。容積

V (x) = x (18 - 2 x)^{2} = 4 x^{3} - 72 x^{2} + 324 x

。

V^{'} (x) = 12 x^{2} - 144 x + 324 = 12 (x^{2} - 12 x + 27) = 12 (x - 3) (x - 9)

。在

0 < x < 9

中，

V^{'} (x) = 0

只有

x = 3

；

0 < x < 3

時

V^{'} (x) > 0

，

V

遞增；

3 < x < 9

時

V^{'} (x) < 0

，

V

遞減。所以

x = 3

時容積最大，

V (3) = 3 \cdot 1 2^{2} = 432

立方公分。

x = 9

不在範圍內（底邊長變成

0

），只是方程式

V^{'} (x) = 0

的另一個根。

第 14 題(1) 由乘法公式，

f^{'} (x) = 3 x^{2} (3 x^{2} - 2 x + 1) + (x^{3} + 2) (6 x - 2)

。

f^{'} (1) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 4 = 6 + 12 = 18

。(2) 由除法公式，

f^{'} (x) = \frac{2 ( x ^{2} + 3 ) - 2 x \cdot 2 x}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}} = \frac{6 - 2 x ^{2}}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}

。

f^{'} (1) = \frac{6 - 2}{16} = \frac{1}{4}

。(3) 由連鎖律，

f^{'} (x) = 10 (x^{2} + x - 1)^{9} \cdot (2 x + 1)

。

x = 1

時

x^{2} + x - 1 = 1

，

f^{'} (1) = 10 \cdot 1^{9} \cdot 3 = 30

。

(3) 不必展開十次方：外層

u^{10}

的導數是

10 u^{9}

，再乘上內層

x^{2} + x - 1

的導數

2 x + 1

。

06混合題第 15、16 題：所得的倍數、全距與標準差

第 15 題答案 (C)。設最低族群的所得為

L

，最高族群為

H = 61 L

（

L > 0

）。(A) 甲方案每人都加

5000

元，倍數變成

\frac{61 L + 5000}{L + 5000}

。因為

61 L + 5000 < 61 (L + 5000) = 61 L + 305000

，這個倍數小於

61

，不會高於

61

倍，錯誤。(B) 乙方案每人都加薪

10 %

，倍數變成

\frac{1.1 \times 61 L}{1.1 L} = 61

，不變，錯誤。(C) 丙方案只有最低族群多

3000

元，倍數變成

\frac{61 L}{L + 3000} < \frac{61 L}{L} = 61

，低於

61

倍，正確。(D) 甲方案每人都加同樣的

5000

元，最高與最低所得都加

5000

，全距不變，錯誤。(E) 乙方案每人所得都乘以

1.1

，標準差也乘以

1.1

，是增加

10 %

，不是縮小，錯誤。

每個數據都加同一個數，全距與標準差不變；都乘以

k

（

k > 0

），全距與標準差都乘以

k

。

第 16 題最低族群所得平均

22000

元，最高族群是它的

61

倍：

61 \times 22000 = 1342000

元。設最低族群每人每月發放救濟金

x

元，最高族群的所得不變，要使倍數縮小至

50

倍：

\frac{1342000}{22000 + x} = 50

，

22000 + x = \frac{1342000}{50} = 26840

，

x = 4840

。所以應發放

4840

元救濟金。

救濟金只發給最低族群，分子（最高族群的所得）不變，只有分母增加。

比較「倍數」看比值，比較「全距、標準差」看差距：加同一個數只縮小比值，乘同一個倍數只放大差距。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

基隆高中 111 上高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題圖 B 的跳躍發生在 a 的左側，在 x 等於 a 附近函數是常數，其實可微分；第 7 題卷末參考公式的迴歸直線斜率印錯，要用標準差的比而不是平均數的比；第 8 題要先看出箏形的對角線 BD 垂直平分 AC；第 12 題點 P 不在圖形上，要設切點，而且有兩條切線都要寫；第 15 題甲方案每人加同樣金額，倍數其實下降、全距不變。詳解逐題寫在本頁。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自基隆高中 111 學年度上學期高三第二次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

基隆高中 111 上高三第二次段考數學試題、答案與詳解

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01單選第 1、2 題：對數與機率、迴歸直線推估

02單選第 3、4 題：對數方程式、扇形的內切圓

03多選第 5～7 題：可微分、三角函數值、數據分析

04填充第 8～10 題：箏形、期望值、根式的極限

05填充第 11～14 題：連續、切線、最大容積、導數

06混合題第 15、16 題：所得的倍數、全距與標準差

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基隆高中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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