段考詳解範圍：指數與對數函數（指數、指數函數、對數與對數律、對數函數）

基隆高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 基隆高中 111 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題兩個數看起來不同，其實化成同一個底後完全相等；第 12 題要畫出對數曲線與拋物線，並驗出 x=10 剛好是一個交點；第 14 題要先由定義域限制 x 大於 4；第 15 題容易漏掉底數不可為 1；第 23 題除以負的對數值要把不等號反向，答案取能背完的最少整數週。詳解逐題寫在本頁。

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

是非題 10 題（每題 3 分，共 30 分）、單選題 4 題（每題 5 分，共 20 分）、填充題 7 題（每格 6 分，共 42 分）、混合題 2 小題（每題 4 分，共 8 分），合計 100 分；題號與原卷相同。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致；第 23 題卷面寫四捨五入至整數位，學校答案取能背完的最少週數 60 週，詳解寫明。

一、是非題：(敘述正確請選是，錯誤請選否) 10 小題，每題 3 分，共 30 分

已知

a > 1

，指數函數

f (x) = a^{x}

的圖形為由左向右上升。

若

2^{x} = 5

，則

4^{x} = 10

。

lo g (- 4)^{2} = 2 lo g (- 4)

。

lo g_{2} 44 = \frac{1}{2}

。

若

2^{a} = 33

且

b = lo g_{8} 3

，則

a > b

。

設

lo g 2 = a

，

lo g 3 = b

，則

lo g_{6} 5 = \frac{1 - a}{ab}

。

設

a > 0

且

a \neq = 1

，則

y = a^{x}

的圖形與

y = lo g_{a} x

的圖形對稱於直線

x = y

。

若

x > 0

，則

3^{x} > lo g_{3} x

恆成立。

設

t > 0

，關於函數

f (x) = t lo g x

，則

f (x)

的圖形凹口向下。

設

a > 1

，函數

y = lo g_{a} x

和

y = (1 - a) x

的圖形可能是下列圖形。

載入中...

二、單選題：(4 小題，每題 5 分，共 20 分)

四函數

y = lo g x

，

y = - lo g x

，

y = 1 0^{x}

，

y = (\frac{1}{3})^{- x}

圖形中，遞增函數有多少個？

(A) $0$
(B) $1$
(C) $2$
(D) $3$
(E) $4$

解方程式

lo g x = 0.01 x^{2}

，有幾組解？

(A) $0$
(B) $1$
(C) $2$
(D) $3$
(E) $4$

設

a = (0.5)^{0.7}

、

b = 4 \frac{1}{8}

、

c = (\frac{1}{16})^{0.25}

、

d = (\frac{1}{2})^{3}

、

e = (0.25)^{0.36}

，則此五數最小的數為

(A) $a$
(B) $b$
(C) $c$
(D) $d$
(E) $e$

滿足不等式

lo g (x - 1) + lo g (x - 4) \leq 1

的整數

x

共有多少個？

(A) $0$
(B) $1$
(C) $2$
(D) $3$
(E) $4$

三、填充題：(7 小題，每格 6 分，共 42 分)

若對數

lo g_{2 x - 3} (6 - x)

有意義，則

x

的範圍為 ____。

試求：

(lo g_{2} \frac{1}{25} + lo g_{8} 625) (lo g_{5} 8 + lo g_{25} 8)

的值 ____。

已知

a

，

b

，

c

為正整數，若

\frac{a}{lo g _{2} 120} + \frac{b}{lo g _{3} 120} + \frac{c}{lo g _{5} 120} = 2

，則序組

(a, b, c) =

____。

已知

0 \leq x \leq 2

，若

f (x) = 4^{x} - 2^{x + 1} + 5

的最大值為

M

，最小值

m

，試求

(M, m) =

____。

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，則

2^{100}

是 ____ 位數。

如圖，

y = 8

與

y = (\frac{1}{4})^{x}

及

y = 2^{x}

分別交於

P

、

Q

兩點，試求

\overline{P Q}

長度為 ____。

載入中...

設

f (x) = \frac{4 ^{x}}{4 ^{x} + 2}

，則

f (\frac{1}{5}) + f (\frac{2}{5}) + f (\frac{3}{5}) + f (\frac{4}{5}) =

____。

四、混合題(2 小題，每題 4 分，共 8 分)

第 22、23 題為題組（混合題）（第 22～23 題）　心理學家常用數學模型

L (t) = a (1 - 1 0^{- b t})

來描述學生經過

t

週的學習之後所得的成果，此處的常數

a

、

b

會與學生及學習的科目有關。

帥駿一週可以背熟

100

個英文單字，兩週可以背熟

199

個英文單字，則

a =

？（單選題）

(A) $100$
(B) $1000$
(C) $4500$
(D) $7000$
(E) $10000$

如果帥駿要將新式學測的

4500

單字完全背熟，最少需要幾週的時間？（四捨五入至整數位）（參考值：

lo g 55 = 1.7403

，

lo g 99 = 1.9956

），（非選擇題）（要有計算過程）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

101

第 11 題(D)

第 12 題(C)

第 13 題(D)

第 14 題(C)

第 15 題

\frac{3}{2} < x < 6

且

x \neq = 2

第 16 題

- 3

第 17 題

(6, 2, 2)

第 18 題

(13, 4)

第 19 題

31

第 20 題

4.5

第 21 題

2

第 22 題(E)

第 23 題

60

週

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～5 題：單調性、指數律、對數的定義、根式的對數、比大小

第 1 題1答「是」。

a > 1

時，若

x_{1} < x_{2}

，則

a^{x_{2}} = a^{x_{1}} \cdot a^{x_{2} - x_{1}}

，而

x_{2} - x_{1} > 0

、

a > 1

使

a^{x_{2} - x_{1}} > 1

，所以

a^{x_{2}} > a^{x_{1}}

。

y = a^{x}

是遞增函數，圖形由左向右上升。

第 2 題2答「否」。

4^{x} = (2^{2})^{x} = (2^{x})^{2} = 5^{2} = 25

，不是

10

。

10 = 2 \times 5

是把

4^{x}

誤當成

2 \cdot 2^{x}

。

第 3 題2答「否」。

lo g (- 4)

的真數是負數，沒有意義，所以右邊

2 lo g (- 4)

不存在。左邊

lo g (- 4)^{2} = lo g 16 = 2 lo g 4

有意義，兩邊不相等。

對數律

lo g a^{n} = n lo g a

要在

a > 0

時才能用；這裡應該寫成

lo g (- 4)^{2} = 2 lo g ∣ - 4 ∣ = 2 lo g 4

。

第 4 題1答「是」。

44 = 4^{\frac{1}{4}} = (2^{2})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}}

，所以

lo g_{2} 44 = lo g_{2} 2^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}

。

第 5 題2答「否」。由

2^{a} = 33 = 3^{\frac{1}{3}}

得

a = lo g_{2} 3^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} lo g_{2} 3

。又

b = lo g_{8} 3 = \frac{lo g _{2} 3}{lo g _{2} 8} = \frac{1}{3} lo g_{2} 3

。所以

a = b

，不是

a > b

。

也可以反過來看：

8^{b} = 3

，即

2^{3 b} = 3

，

2^{b} = 33 = 2^{a}

，所以

a = b

。

02是非第 6～10 題：換底、對稱、大小關係、凹凸、圖形判讀

第 6 題2答「否」。

lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = 1 - lo g 2 = 1 - a

，

lo g 6 = lo g 2 + lo g 3 = a + b

。由換底公式

lo g_{6} 5 = \frac{lo g 5}{lo g 6} = \frac{1 - a}{a + b}

，分母是

a + b

，不是

ab

。

乘積的對數是對數的和：

lo g (2 \times 3) = lo g 2 + lo g 3

。

第 7 題1答「是」。

y = a^{x}

與

y = lo g_{a} x

互為反函數：點

(p, q)

在

y = a^{x}

上，即

q = a^{p}

，等價於

p = lo g_{a} q

，也就是點

(q, p)

在

y = lo g_{a} x

上。

(p, q)

與

(q, p)

對稱於直線

y = x

（即

x = y

），所以兩圖形對稱於直線

x = y

。

第 8 題1

答「是」。分兩段看。

當 $0 < x < 1$ ： $lo g_{3} x < 0$ ，而 $3^{x} > 0$ ，所以 $3^{x} > lo g_{3} x$ 。

當 $x \geq 1$ ：先說明 $3^{x} > x$ 。取整數 $k$ 使 $k - 1 < x \leq k$ （ $k \geq 1$ ）。因為 $y = 3^{x}$ 遞增， $3^{x} > 3^{k - 1}$ ；又對正整數 $k$ 有 $3^{k - 1} \geq k$ （ $k = 1$ 時 $1 \geq 1$ ；每增加 $1$ ，左邊乘 $3$ 、右邊只加 $1$ ），所以 $3^{x} > 3^{k - 1} \geq k \geq x$ 。再由 $x < 3^{x}$ 與 $y = lo g_{3} x$ 遞增，得 $lo g_{3} x < lo g_{3} 3^{x} = x$ 。合起來 $lo g_{3} x < x < 3^{x}$ 。

所以 $x > 0$ 時 $3^{x} > lo g_{3} x$ 恆成立。

看圖也可以：

y = 3^{x}

的圖形整個在直線

y = x

的上方，

y = lo g_{3} x

的圖形與它對稱於

y = x

，整個在直線

y = x

的下方。

第 9 題1答「是」。任取

0 < x_{1} < x_{2}

，比較圖形上兩點連線中點的高度

\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2}

與

f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2})

：

\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} = \frac{t}{2} lo g (x_{1} x_{2}) = t lo g x_{1} x_{2}

。由算幾不等式

x_{1} x_{2} < \frac{x _{1} + x _{2}}{2}

，又

y = lo g x

遞增、

t > 0

，所以

\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} < f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2})

：任兩點連線的中點都在圖形下方，圖形凹口向下。

若

t < 0

，圖形上下翻轉，就變成凹口向上。

第 10 題1答「是」。

a > 1

時，

y = lo g_{a} x

是遞增函數，圖形過

(1, 0)

，由左下往右上，與圖中的曲線相符。直線

y = (1 - a) x

過原點，斜率

1 - a < 0

，由左上往右下，也與圖中的直線相符。所以兩圖形可能是此圖。

03單選第 11～14 題：遞增函數、交點個數、比大小、對數不等式

第 11 題答案 (D)。

y = lo g x

底數

10 > 1

，遞增。

y = - lo g x

是

y = lo g x

對

x

軸翻轉，遞減。

y = 1 0^{x}

底數

10 > 1

，遞增。

y = (\frac{1}{3})^{- x} = (3^{- 1})^{- x} = 3^{x}

，底數

3 > 1

，遞增。遞增的有

3

個。

第 12 題

答案 (C)。方程式的解就是 $y = lo g x$ 與 $y = 0.01 x^{2}$ （ $x > 0$ ）兩圖形交點的 $x$ 坐標。比較兩邊在幾個點的值：

$x lo g x 0.01 x^{2} 10 0.01 2 0.301 0.04 5 0.699 0.25 1011 20 1.301 4$

$x = 1$ 時拋物線在上， $x = 2$ 時對數曲線在上，所以在 $1$ 與 $2$ 之間有一個交點； $x = 10$ 時兩邊都是 $1$ ， $x = 10$ 是第二個交點。

在 $0 < x < 1$ 時 $lo g x < 0 < 0.01 x^{2}$ ，沒有交點。當 $x \geq 1$ ，令 $x = 1 0^{s}$ （ $s \geq 0$ ），方程式變成 $s = 0.01 \cdot 10 0^{s}$ ，即 $10 0^{s} = 100 s$ ：左邊 $y = 10 0^{s}$ 是凹口向上的指數曲線，右邊 $y = 100 s$ 是一條直線，直線與凹口向上的曲線至多交於兩點。 $s = 1$ （ $x = 10$ ）是一個交點；表中 $x = 1$ 時拋物線在上、 $x = 2$ 時對數曲線在上，所以 $1 < x < 2$ 之間另有一個。共 $2$ 組解。

x = 10

這個解可以直接驗算：

lo g 10 = 1

，

0.01 \times 1 0^{2} = 1

。另一個解約為

x \approx 1.02

。

第 13 題答案 (D)。全部化成以

2

為底：

a = (2^{- 1})^{0.7} = 2^{- 0.7}

；

b = (2^{- 3})^{\frac{1}{4}} = 2^{- 0.75}

；

c = (2^{- 4})^{0.25} = 2^{- 1}

；

d = (2^{- \frac{1}{2}})^{3} = 2^{- 1.5}

；

e = (2^{- 2})^{0.36} = 2^{- 0.72}

。

y = 2^{x}

遞增，指數最小的

- 1.5

對應的數最小，所以

d

最小。

由大到小是

a > e > b > c > d

。

第 14 題答案 (C)。先要兩個對數都有意義：

x - 1 > 0

且

x - 4 > 0

，即

x > 4

。在此條件下，左邊

= lo g [(x - 1) (x - 4)] \leq 1 = lo g 10

，

y = lo g x

遞增，所以

(x - 1) (x - 4) \leq 10

，即

x^{2} - 5 x - 6 \leq 0

，

(x - 6) (x + 1) \leq 0

，

- 1 \leq x \leq 6

。與

x > 4

合起來是

4 < x \leq 6

，整數

x = 5, 6

，共

2

個。

若忘了定義域，會把

- 1 \leq x \leq 6

裡的整數都算進去。

04填充第 15～17 題：有意義的條件、換底化簡、質因數分解

第 15 題對數

lo g_{2 x - 3} (6 - x)

有意義要同時滿足：底數

2 x - 3 > 0

且

2 x - 3 \neq = 1

，真數

6 - x > 0

。得

x > \frac{3}{2}

、

x \neq = 2

、

x < 6

。所以範圍是

\frac{3}{2} < x < 6

且

x \neq = 2

。

x = 2

時底數是

1

，對數沒有意義，這是最容易漏掉的條件。

第 16 題

第一個括號： $lo g_{2} \frac{1}{25} = - 2 lo g_{2} 5$ ， $lo g_{8} 625 = \frac{lo g _{2} 5 ^{4}}{lo g _{2} 8} = \frac{4}{3} lo g_{2} 5$ ，和為 $- \frac{2}{3} lo g_{2} 5$ 。

第二個括號： $lo g_{5} 8 = 3 lo g_{5} 2$ ， $lo g_{25} 8 = \frac{lo g _{5} 2 ^{3}}{lo g _{5} 25} = \frac{3}{2} lo g_{5} 2$ ，和為 $\frac{9}{2} lo g_{5} 2$ 。

相乘： $- \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{2} \cdot lo g_{2} 5 \cdot lo g_{5} 2 = - 3 \times 1 = - 3$ 。

第 17 題由換底公式，

\frac{1}{lo g _{2} 120} = lo g_{120} 2

，同理

\frac{1}{lo g _{3} 120} = lo g_{120} 3

、

\frac{1}{lo g _{5} 120} = lo g_{120} 5

。條件化為

a lo g_{120} 2 + b lo g_{120} 3 + c lo g_{120} 5 = 2

，即

lo g_{120} (2^{a} 3^{b} 5^{c}) = 2

，所以

2^{a} 3^{b} 5^{c} = 12 0^{2} = (2^{3} \cdot 3 \cdot 5)^{2} = 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}

。

a

、

b

、

c

是正整數，由質因數分解的唯一性，

(a, b, c) = (6, 2, 2)

。

05填充第 18～21 題：換元求極值、位數、交點距離、配對求和

第 18 題令

t = 2^{x}

，

0 \leq x \leq 2

時

1 \leq t \leq 4

。

f (x) = (2^{x})^{2} - 2 \cdot 2^{x} + 5 = t^{2} - 2 t + 5 = (t - 1)^{2} + 4

。在

1 \leq t \leq 4

上，

t = 1

（

x = 0

）時最小，

m = 4

；

t = 4

（

x = 2

）時最大，

M = 3^{2} + 4 = 13

。所以

(M, m) = (13, 4)

。

第 19 題

lo g 2^{100} = 100 lo g 2 \approx 100 \times 0.3010 = 30.10

，首數是

30

，所以

1 0^{30} < 2^{100} < 1 0^{31}

，

2^{100}

是

31

位數。

1 0^{30}

是

1

後面

30

個

0

，是

31

位數；比它大、比

1 0^{31}

小的整數都是

31

位數。

第 20 題

P

在

y = (\frac{1}{4})^{x}

上且

y = 8

：

(2^{- 2})^{x} = 2^{3}

，

- 2 x = 3

，

x = - \frac{3}{2}

。

Q

在

y = 2^{x}

上且

y = 8

：

2^{x} = 2^{3}

，

x = 3

。

P

、

Q

在同一條水平線上，

\overline{P Q} = 3 - (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} = 4.5

。

第 21 題

先找 $f (x) + f (1 - x)$ ： $f (1 - x) = \frac{4 ^{1 - x}}{4 ^{1 - x} + 2}$ ，分子分母同乘 $4^{x}$ 得 $\frac{4}{4 + 2 \cdot 4 ^{x}} = \frac{2}{2 + 4 ^{x}}$ 。所以

$f (x) + f (1 - x) = \frac{4 ^{x}}{4 ^{x} + 2} + \frac{2}{4 ^{x} + 2} = 1$

$\frac{1}{5}$ 與 $\frac{4}{5}$ 相加為 $1$ ， $\frac{2}{5}$ 與 $\frac{3}{5}$ 相加為 $1$ ，所以所求 $= [f (\frac{1}{5}) + f (\frac{4}{5})] + [f (\frac{2}{5}) + f (\frac{3}{5})] = 1 + 1 = 2$ 。

06混合題第 22、23 題：學習成果模型

第 22 題

答案 (E)。由題意 $L (1) = 100$ 、 $L (2) = 199$ 。令 $u = 1 0^{- b}$ ，則 $1 0^{- 2 b} = u^{2}$ ：

$a (1 - u) = 100$ ， $a (1 - u^{2}) = 199$ 。

兩式相除： $\frac{1 - u ^{2}}{1 - u} = 1 + u = \frac{199}{100}$ ，所以 $u = 0.99$ 。代回 $a (1 - 0.99) = 100$ ， $a = \frac{100}{0.01} = 10000$ 。

第 23 題

由第 22 題， $a = 10000$ 、 $1 0^{- b} = 0.99$ ，所以 $L (t) = 10000 (1 - 0.9 9^{t})$ 。要背熟 $4500$ 個：

$10000 (1 - 0.9 9^{t}) \geq 4500$ ，即 $0.9 9^{t} \leq 0.55$ 。

兩邊取常用對數（ $y = lo g x$ 遞增，不等號方向不變）： $t lo g 0.99 \leq lo g 0.55$ 。

$lo g 0.99 = lo g 99 - 2 = 1.9956 - 2 = - 0.0044$ ， $lo g 0.55 = lo g 55 - 2 = 1.7403 - 2 = - 0.2597$ 。

除以負數 $- 0.0044$ ，不等號反向： $t \geq \frac{- 0.2597}{- 0.0044} = \frac{2597}{44} \approx 59.02$ 。

$t$ 要大於約 $59.02$ 週，59 週還背不完，最少需要 $60$ 週。

卷面寫「四捨五入至整數位」：

59.02

照字面四捨五入是

59

，但

59

週時

L (59)

還不到

4500

；學校答案取能背完的最少週數

60

週。用更精確的對數值算，

t

約為

59.5

，同樣要

60

週。

模型裡有兩個未知常數，就用兩組資料列兩個式子；把

1 0^{- b}

整個當成一個未知數，兩式相除最快。解指數不等式時取對數，除以負的對數值要記得把不等號反向。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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常見問題

基隆高中 111 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 23 題的答案，是非題 10 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

基隆高中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題兩個數看起來不同，其實化成同一個底後完全相等；第 12 題要畫出對數曲線與拋物線，並驗出 x=10 剛好是一個交點；第 14 題要先由定義域限制 x 大於 4；第 15 題容易漏掉底數不可為 1；第 23 題除以負的對數值要把不等號反向，答案取能背完的最少整數週。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自基隆高中 111 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數、指數函數、對數與對數律、對數函數）

基隆高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

一、是非題：(敘述正確請選是，錯誤請選否) 10 小題，每題 3 分，共 30 分

已知

a > 1

，指數函數

f (x) = a^{x}

的圖形為由左向右上升。

若

2^{x} = 5

，則

4^{x} = 10

。

lo g (- 4)^{2} = 2 lo g (- 4)

。

lo g_{2} 44 = \frac{1}{2}

。

若

2^{a} = 33

且

b = lo g_{8} 3

，則

a > b

。

設

lo g 2 = a

，

lo g 3 = b

，則

lo g_{6} 5 = \frac{1 - a}{ab}

。

設

a > 0

且

a \neq = 1

，則

y = a^{x}

的圖形與

y = lo g_{a} x

的圖形對稱於直線

x = y

。

若

x > 0

，則

3^{x} > lo g_{3} x

恆成立。

設

t > 0

，關於函數

f (x) = t lo g x

，則

f (x)

的圖形凹口向下。

設

a > 1

，函數

y = lo g_{a} x

和

y = (1 - a) x

的圖形可能是下列圖形。

載入中...

二、單選題：(4 小題，每題 5 分，共 20 分)

四函數

y = lo g x

，

y = - lo g x

，

y = 1 0^{x}

，

y = (\frac{1}{3})^{- x}

圖形中，遞增函數有多少個？

(A) $0$
(B) $1$
(C) $2$
(D) $3$
(E) $4$

解方程式

lo g x = 0.01 x^{2}

，有幾組解？

(A) $0$
(B) $1$
(C) $2$
(D) $3$
(E) $4$

設

a = (0.5)^{0.7}

、

b = 4 \frac{1}{8}

、

c = (\frac{1}{16})^{0.25}

、

d = (\frac{1}{2})^{3}

、

e = (0.25)^{0.36}

，則此五數最小的數為

(A) $a$
(B) $b$
(C) $c$
(D) $d$
(E) $e$

滿足不等式

lo g (x - 1) + lo g (x - 4) \leq 1

的整數

x

共有多少個？

(A) $0$
(B) $1$
(C) $2$
(D) $3$
(E) $4$

三、填充題：(7 小題，每格 6 分，共 42 分)

若對數

lo g_{2 x - 3} (6 - x)

有意義，則

x

的範圍為 ____。

試求：

(lo g_{2} \frac{1}{25} + lo g_{8} 625) (lo g_{5} 8 + lo g_{25} 8)

的值 ____。

已知

a

，

b

，

c

為正整數，若

\frac{a}{lo g _{2} 120} + \frac{b}{lo g _{3} 120} + \frac{c}{lo g _{5} 120} = 2

，則序組

(a, b, c) =

____。

已知

0 \leq x \leq 2

，若

f (x) = 4^{x} - 2^{x + 1} + 5

的最大值為

M

，最小值

m

，試求

(M, m) =

____。

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，則

2^{100}

是 ____ 位數。

如圖，

y = 8

與

y = (\frac{1}{4})^{x}

及

y = 2^{x}

分別交於

P

、

Q

兩點，試求

\overline{P Q}

長度為 ____。

載入中...

設

f (x) = \frac{4 ^{x}}{4 ^{x} + 2}

，則

f (\frac{1}{5}) + f (\frac{2}{5}) + f (\frac{3}{5}) + f (\frac{4}{5}) =

____。

四、混合題(2 小題，每題 4 分，共 8 分)

第 22、23 題為題組（混合題）（第 22～23 題）　心理學家常用數學模型

L (t) = a (1 - 1 0^{- b t})

來描述學生經過

t

週的學習之後所得的成果，此處的常數

a

、

b

會與學生及學習的科目有關。

帥駿一週可以背熟

100

個英文單字，兩週可以背熟

199

個英文單字，則

a =

？（單選題）

(A) $100$
(B) $1000$
(C) $4500$
(D) $7000$
(E) $10000$

如果帥駿要將新式學測的

4500

單字完全背熟，最少需要幾週的時間？（四捨五入至整數位）（參考值：

lo g 55 = 1.7403

，

lo g 99 = 1.9956

），（非選擇題）（要有計算過程）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

101

第 11 題(D)

第 12 題(C)

第 13 題(D)

第 14 題(C)

第 15 題

\frac{3}{2} < x < 6

且

x \neq = 2

第 16 題

- 3

第 17 題

(6, 2, 2)

第 18 題

(13, 4)

第 19 題

31

第 20 題

4.5

第 21 題

2

第 22 題(E)

第 23 題

60

週

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～5 題：單調性、指數律、對數的定義、根式的對數、比大小

第 1 題1答「是」。

a > 1

時，若

x_{1} < x_{2}

，則

a^{x_{2}} = a^{x_{1}} \cdot a^{x_{2} - x_{1}}

，而

x_{2} - x_{1} > 0

、

a > 1

使

a^{x_{2} - x_{1}} > 1

，所以

a^{x_{2}} > a^{x_{1}}

。

y = a^{x}

是遞增函數，圖形由左向右上升。

第 2 題2答「否」。

4^{x} = (2^{2})^{x} = (2^{x})^{2} = 5^{2} = 25

，不是

10

。

10 = 2 \times 5

是把

4^{x}

誤當成

2 \cdot 2^{x}

。

第 3 題2答「否」。

lo g (- 4)

的真數是負數，沒有意義，所以右邊

2 lo g (- 4)

不存在。左邊

lo g (- 4)^{2} = lo g 16 = 2 lo g 4

有意義，兩邊不相等。

對數律

lo g a^{n} = n lo g a

要在

a > 0

時才能用；這裡應該寫成

lo g (- 4)^{2} = 2 lo g ∣ - 4 ∣ = 2 lo g 4

。

第 4 題1答「是」。

44 = 4^{\frac{1}{4}} = (2^{2})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}}

，所以

lo g_{2} 44 = lo g_{2} 2^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}

。

第 5 題2答「否」。由

2^{a} = 33 = 3^{\frac{1}{3}}

得

a = lo g_{2} 3^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} lo g_{2} 3

。又

b = lo g_{8} 3 = \frac{lo g _{2} 3}{lo g _{2} 8} = \frac{1}{3} lo g_{2} 3

。所以

a = b

，不是

a > b

。

也可以反過來看：

8^{b} = 3

，即

2^{3 b} = 3

，

2^{b} = 33 = 2^{a}

，所以

a = b

。

02是非第 6～10 題：換底、對稱、大小關係、凹凸、圖形判讀

第 6 題2答「否」。

lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = 1 - lo g 2 = 1 - a

，

lo g 6 = lo g 2 + lo g 3 = a + b

。由換底公式

lo g_{6} 5 = \frac{lo g 5}{lo g 6} = \frac{1 - a}{a + b}

，分母是

a + b

，不是

ab

。

乘積的對數是對數的和：

lo g (2 \times 3) = lo g 2 + lo g 3

。

第 7 題1答「是」。

y = a^{x}

與

y = lo g_{a} x

互為反函數：點

(p, q)

在

y = a^{x}

上，即

q = a^{p}

，等價於

p = lo g_{a} q

，也就是點

(q, p)

在

y = lo g_{a} x

上。

(p, q)

與

(q, p)

對稱於直線

y = x

（即

x = y

），所以兩圖形對稱於直線

x = y

。

第 8 題1

答「是」。分兩段看。

當 $0 < x < 1$ ： $lo g_{3} x < 0$ ，而 $3^{x} > 0$ ，所以 $3^{x} > lo g_{3} x$ 。

所以 $x > 0$ 時 $3^{x} > lo g_{3} x$ 恆成立。

看圖也可以：

y = 3^{x}

的圖形整個在直線

y = x

的上方，

y = lo g_{3} x

的圖形與它對稱於

y = x

，整個在直線

y = x

的下方。

第 9 題1答「是」。任取

0 < x_{1} < x_{2}

，比較圖形上兩點連線中點的高度

\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2}

與

f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2})

：

\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} = \frac{t}{2} lo g (x_{1} x_{2}) = t lo g x_{1} x_{2}

。由算幾不等式

x_{1} x_{2} < \frac{x _{1} + x _{2}}{2}

，又

y = lo g x

遞增、

t > 0

，所以

\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} < f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2})

：任兩點連線的中點都在圖形下方，圖形凹口向下。

若

t < 0

，圖形上下翻轉，就變成凹口向上。

第 10 題1答「是」。

a > 1

時，

y = lo g_{a} x

是遞增函數，圖形過

(1, 0)

，由左下往右上，與圖中的曲線相符。直線

y = (1 - a) x

過原點，斜率

1 - a < 0

，由左上往右下，也與圖中的直線相符。所以兩圖形可能是此圖。

03單選第 11～14 題：遞增函數、交點個數、比大小、對數不等式

第 11 題答案 (D)。

y = lo g x

底數

10 > 1

，遞增。

y = - lo g x

是

y = lo g x

對

x

軸翻轉，遞減。

y = 1 0^{x}

底數

10 > 1

，遞增。

y = (\frac{1}{3})^{- x} = (3^{- 1})^{- x} = 3^{x}

，底數

3 > 1

，遞增。遞增的有

3

個。

第 12 題

答案 (C)。方程式的解就是 $y = lo g x$ 與 $y = 0.01 x^{2}$ （ $x > 0$ ）兩圖形交點的 $x$ 坐標。比較兩邊在幾個點的值：

$x lo g x 0.01 x^{2} 10 0.01 2 0.301 0.04 5 0.699 0.25 1011 20 1.301 4$

$x = 1$ 時拋物線在上， $x = 2$ 時對數曲線在上，所以在 $1$ 與 $2$ 之間有一個交點； $x = 10$ 時兩邊都是 $1$ ， $x = 10$ 是第二個交點。

x = 10

這個解可以直接驗算：

lo g 10 = 1

，

0.01 \times 1 0^{2} = 1

。另一個解約為

x \approx 1.02

。

第 13 題答案 (D)。全部化成以

2

為底：

a = (2^{- 1})^{0.7} = 2^{- 0.7}

；

b = (2^{- 3})^{\frac{1}{4}} = 2^{- 0.75}

；

c = (2^{- 4})^{0.25} = 2^{- 1}

；

d = (2^{- \frac{1}{2}})^{3} = 2^{- 1.5}

；

e = (2^{- 2})^{0.36} = 2^{- 0.72}

。

y = 2^{x}

遞增，指數最小的

- 1.5

對應的數最小，所以

d

最小。

由大到小是

a > e > b > c > d

。

第 14 題答案 (C)。先要兩個對數都有意義：

x - 1 > 0

且

x - 4 > 0

，即

x > 4

。在此條件下，左邊

= lo g [(x - 1) (x - 4)] \leq 1 = lo g 10

，

y = lo g x

遞增，所以

(x - 1) (x - 4) \leq 10

，即

x^{2} - 5 x - 6 \leq 0

，

(x - 6) (x + 1) \leq 0

，

- 1 \leq x \leq 6

。與

x > 4

合起來是

4 < x \leq 6

，整數

x = 5, 6

，共

2

個。

若忘了定義域，會把

- 1 \leq x \leq 6

裡的整數都算進去。

04填充第 15～17 題：有意義的條件、換底化簡、質因數分解

第 15 題對數

lo g_{2 x - 3} (6 - x)

有意義要同時滿足：底數

2 x - 3 > 0

且

2 x - 3 \neq = 1

，真數

6 - x > 0

。得

x > \frac{3}{2}

、

x \neq = 2

、

x < 6

。所以範圍是

\frac{3}{2} < x < 6

且

x \neq = 2

。

x = 2

時底數是

1

，對數沒有意義，這是最容易漏掉的條件。

第 16 題

第一個括號： $lo g_{2} \frac{1}{25} = - 2 lo g_{2} 5$ ， $lo g_{8} 625 = \frac{lo g _{2} 5 ^{4}}{lo g _{2} 8} = \frac{4}{3} lo g_{2} 5$ ，和為 $- \frac{2}{3} lo g_{2} 5$ 。

第二個括號： $lo g_{5} 8 = 3 lo g_{5} 2$ ， $lo g_{25} 8 = \frac{lo g _{5} 2 ^{3}}{lo g _{5} 25} = \frac{3}{2} lo g_{5} 2$ ，和為 $\frac{9}{2} lo g_{5} 2$ 。

相乘： $- \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{2} \cdot lo g_{2} 5 \cdot lo g_{5} 2 = - 3 \times 1 = - 3$ 。

第 17 題由換底公式，

\frac{1}{lo g _{2} 120} = lo g_{120} 2

，同理

\frac{1}{lo g _{3} 120} = lo g_{120} 3

、

\frac{1}{lo g _{5} 120} = lo g_{120} 5

。條件化為

a lo g_{120} 2 + b lo g_{120} 3 + c lo g_{120} 5 = 2

，即

lo g_{120} (2^{a} 3^{b} 5^{c}) = 2

，所以

2^{a} 3^{b} 5^{c} = 12 0^{2} = (2^{3} \cdot 3 \cdot 5)^{2} = 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}

。

a

、

b

、

c

是正整數，由質因數分解的唯一性，

(a, b, c) = (6, 2, 2)

。

05填充第 18～21 題：換元求極值、位數、交點距離、配對求和

第 18 題令

t = 2^{x}

，

0 \leq x \leq 2

時

1 \leq t \leq 4

。

f (x) = (2^{x})^{2} - 2 \cdot 2^{x} + 5 = t^{2} - 2 t + 5 = (t - 1)^{2} + 4

。在

1 \leq t \leq 4

上，

t = 1

（

x = 0

）時最小，

m = 4

；

t = 4

（

x = 2

）時最大，

M = 3^{2} + 4 = 13

。所以

(M, m) = (13, 4)

。

第 19 題

lo g 2^{100} = 100 lo g 2 \approx 100 \times 0.3010 = 30.10

，首數是

30

，所以

1 0^{30} < 2^{100} < 1 0^{31}

，

2^{100}

是

31

位數。

1 0^{30}

是

1

後面

30

個

0

，是

31

位數；比它大、比

1 0^{31}

小的整數都是

31

位數。

第 20 題

P

在

y = (\frac{1}{4})^{x}

上且

y = 8

：

(2^{- 2})^{x} = 2^{3}

，

- 2 x = 3

，

x = - \frac{3}{2}

。

Q

在

y = 2^{x}

上且

y = 8

：

2^{x} = 2^{3}

，

x = 3

。

P

、

Q

在同一條水平線上，

\overline{P Q} = 3 - (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} = 4.5

。

第 21 題

先找 $f (x) + f (1 - x)$ ： $f (1 - x) = \frac{4 ^{1 - x}}{4 ^{1 - x} + 2}$ ，分子分母同乘 $4^{x}$ 得 $\frac{4}{4 + 2 \cdot 4 ^{x}} = \frac{2}{2 + 4 ^{x}}$ 。所以

$f (x) + f (1 - x) = \frac{4 ^{x}}{4 ^{x} + 2} + \frac{2}{4 ^{x} + 2} = 1$

06混合題第 22、23 題：學習成果模型

第 22 題

答案 (E)。由題意 $L (1) = 100$ 、 $L (2) = 199$ 。令 $u = 1 0^{- b}$ ，則 $1 0^{- 2 b} = u^{2}$ ：

$a (1 - u) = 100$ ， $a (1 - u^{2}) = 199$ 。

兩式相除： $\frac{1 - u ^{2}}{1 - u} = 1 + u = \frac{199}{100}$ ，所以 $u = 0.99$ 。代回 $a (1 - 0.99) = 100$ ， $a = \frac{100}{0.01} = 10000$ 。

第 23 題

由第 22 題， $a = 10000$ 、 $1 0^{- b} = 0.99$ ，所以 $L (t) = 10000 (1 - 0.9 9^{t})$ 。要背熟 $4500$ 個：

$10000 (1 - 0.9 9^{t}) \geq 4500$ ，即 $0.9 9^{t} \leq 0.55$ 。

兩邊取常用對數（ $y = lo g x$ 遞增，不等號方向不變）： $t lo g 0.99 \leq lo g 0.55$ 。

$lo g 0.99 = lo g 99 - 2 = 1.9956 - 2 = - 0.0044$ ， $lo g 0.55 = lo g 55 - 2 = 1.7403 - 2 = - 0.2597$ 。

除以負數 $- 0.0044$ ，不等號反向： $t \geq \frac{- 0.2597}{- 0.0044} = \frac{2597}{44} \approx 59.02$ 。

$t$ 要大於約 $59.02$ 週，59 週還背不完，最少需要 $60$ 週。

卷面寫「四捨五入至整數位」：

59.02

照字面四捨五入是

59

，但

59

週時

L (59)

還不到

4500

；學校答案取能背完的最少週數

60

週。用更精確的對數值算，

t

約為

59.5

，同樣要

60

週。

模型裡有兩個未知常數，就用兩組資料列兩個式子；把

1 0^{- b}

整個當成一個未知數，兩式相除最快。解指數不等式時取對數，除以負的對數值要記得把不等號反向。

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基隆高中 111 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 23 題的答案，是非題 10 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

基隆高中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自基隆高中 111 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

基隆高中 111 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 23 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01是非第 1～5 題：單調性、指數律、對數的定義、根式的對數、比大小

02是非第 6～10 題：換底、對稱、大小關係、凹凸、圖形判讀

03單選第 11～14 題：遞增函數、交點個數、比大小、對數不等式

04填充第 15～17 題：有意義的條件、換底化簡、質因數分解

05填充第 18～21 題：換元求極值、位數、交點距離、配對求和

06混合題第 22、23 題：學習成果模型

這一章的單元冊

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03單選第 11～14 題：遞增函數、交點個數、比大小、對數不等式

04填充第 15～17 題：有意義的條件、換底化簡、質因數分解

05填充第 18～21 題：換元求極值、位數、交點距離、配對求和

06混合題第 22、23 題：學習成果模型

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基隆高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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