段考詳解範圍：高一數學複習（卷頭印範圍：第 1～5 單元；內容為數與式、直線與圓、多項式函數、數列與級數、數據分析）

基隆高中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

本頁是卷頭印「高三數學乙(B)」的那一份。是非題 5 題（每題 3 分，共 15 分）、單一選擇題 5 題（每題 6 分，共 30 分）、多重選擇題 2 題（每題 10 分，共 20 分）、填充題 5 題（每題 5 分，共 25 分）、混合題 2 小題（每小題 5 分，共 10 分）。題號照原卷全卷連續編為 1 到 19。答案已與學校公布的答案逐題核對，19 題的答案都照學校公布的寫；其中第 12 題有 1 個選項本站的判斷與學校不同，第 8 題另一條切線的斜率也在選項裡，兩題都在答案附註與詳解說明。

一、是非題：(對選「是」、錯選「否」；每題 3 分；共 15 分)

若

lo g a = 10.11

，

lo g b = 11.11

，則可知

a

是

b

的

10

倍。

點

(0, 0)

在圓

x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y - 1 = 0

的內部？

試問右圖中陰影部分（包含邊界）為不等式組

⎩ ⎨ ⎧ 3 x \geq y 4 x - 3 y \leq 12 2 x + 3 y \leq 6

之解？

載入中...

若資料

(x, y)

的相關係數為

0.8

，則

(3 x - 7, - 4 y + 9)

的相關係數仍為

0.8

。

數列

⟨ 5 n - 5 ⟩

的第

5

項為

5

？

二、單一選擇題：(每題 6 分；共 30 分)

設

x

、

y

皆為實數，且

1 > x > y > 0

。則下列選項何者最大？

(A) $\frac{x + y}{2}$
(B) $x y$
(C) $\frac{x ^{2} + y ^{2}}{2}$
(D) $x y$

設海嘯的速度

V

（公尺／秒）公式為

V = (10 h)^{\frac{1}{2}}

，其中

h

為海水深度（公尺）。已知 2011 年的日本海嘯發生於平均水深約

4000

公尺的太平洋，求此海嘯的速度最接近以下哪一個等級的選項？

(A) 小狗約 $16$ 公尺／秒
(B) 高鐵約 $80$ 公尺／秒
(C) 飛機約 $200$ 公尺／秒
(D) 聲音約 $340$ 公尺／秒

有一光線通過點

A (- 4, 5)

，經

x

軸反射後與圓

(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 5

相切，則反射線的斜率為？

(A) $\frac{22}{31}$
(B) $1$
(C) $\frac{31}{22}$
(D) $2$

請問滿足絕對值不等式

(x^{2} + x + 1) (x - 1)^{3} (x + 3) \leq 0

的實數

x

所形成的區間，其長度為下列哪一個選項？

(A) $3$
(B) $4$
(C) $5$
(D) $6$

有

10

萬筆資料

(x_{i}, y_{i})

，已知平均數

μ_{x} = 10

，

μ_{y} = 8

，且

x

，

y

的相關係數

r = 0.8

，若

y

對

x

的最適直線通過點

(2, 6)

，試求這

10

萬筆資料

\frac{σ _{y}}{σ _{x}}

的值為？

(A) $\frac{1}{4}$
(B) $\frac{5}{16}$
(C) $0.8$
(D) $3.2$

三、多重選擇題：(每題 10 分，共 20 分，錯一個選項得 6 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個選項以上得 0 分)

下列何者正確？

(A) $2^{0} = (\frac{1}{2})^{0}$
(B) $2^{- 3} = - 8$
(C) $2^{- \frac{1}{2}} = 4^{- \frac{1}{4}}$
(D) $4 2^{3} = 8 2^{6}$
(E) $4^{2} \times 4^{2} = (\frac{1}{2})^{- 4}$ 。

有一數列

⟨ a_{n} ⟩ = ⟨ 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, \dots\dots

（正整數

n

出現

n

次）

⟩

，試求下列哪些選項是正確的？

(A) $a_{15} = 6$
(B) $a_{30} = 7$
(C) 若 $a_{n} = 8$ ，則 $28 \leq n \leq 36$
(D) $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots\dots + a_{10} = 30$
(E) $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots\dots + a_{30} = 156$ 。

四、填充題(每題 5 分，共 25 分)

已知

a < b

，則

∣ a - b - 15∣ - ∣ b - a + 2∣ =

____。

湖面上有一大圓圈可用圓方程式

x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y - 11 = 0

來表示，現在因水流關係而飄動，此大圓圈的圓心移到

(3, - 4)

的位置且半徑縮減為原來的

\frac{1}{2}

，則此小圓圈的方程式為 ____。

若二次函數

f (x) = a x^{2} + b x + c

的圖形為開口向下的拋物線，且與

x

軸交於

A (2, 0)

，

B (3, 0)

兩點，則不等式

- b x^{2} + c x + a < 0

的解為 ____。

網路賣家以

400

元的成本取得某件模型，並以成本的

4

倍作為售價，差價即為利潤。但過了一段時間無人問津，因此賣家決定以逐次減少一半利潤的方式調降售價。若依此方式進行，則調降三次後該模型的售價為 ____ 元。

一組資料共有五筆數據，經標準化後為

1.2

、

- 0.7

、

0.3

、

- 1.6

、

a

。若已知原來五個數的算術平均數為

50

，標準差為

10

，則原來五個數的中位數為 ____？

五、混合題(每小題 5 分，共 10 分，「非選擇題」請將過程寫至答案卷上。)

第 18～19 題為題組（混合題）（第 18～19 題）　近年臺灣食品安全意識提高，商家所販售的食品都需要有清楚的食品標示。今有一款濾掛式咖啡包，外包裝上標示如下：

品名：黃金曼特寧濾掛式咖啡 成分：研磨咖啡粉 咖啡豆產地：印尼蘇門答臘 烘焙度：中深烘焙 淨重： 20 公克 \pm 5 % 建議沖泡水量： 240 c.c.

設咖啡淨重

W

公克，試選出

W

所滿足的數學式。

(A) $15 \leq W \leq 25$
(B) $19 \leq W \leq 21$
(C) $∣ W - 20∣ \leq 5$
(D) $∣ W - 1∣ \leq 20$ 。

假設同款小包裝咖啡淨重

15

公克，建議沖泡水量

200

c.c.，試問若同款大包裝咖啡淨重

30

公克，則建議沖泡水量應為多少 c.c.？（請利用咖啡淨重

x

公克與建議沖泡水量

y

c.c. 建立一次函數關係

y = a x + b

解題）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：是＝正確、否＝錯誤（照原卷作答規定）

1否

2是

3是

4否

5否

第 6 題(A)

第 7 題(C)

第 8 題(D)（照學校公布的答案；過對稱點的切線有兩條，另一條的斜率就是選項 (A)，兩條的差別見詳解）

第 9 題(B)

第 10 題(B)

第 11 題(A)(C)(D)

第 12 題(D)(E)（照學校公布的答案；選項 (C) 照「若…則…」的字面來看也成立，見詳解）

第 13 題

13

第 14 題

(x - 3)^{2} + (y + 4)^{2} = 9

第 15 題

x > - \frac{1}{5}

或

x < - 1

第 16 題

550

第 17 題

53

第 18 題(B)

第 19 題

320

c.c.

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～5 題：對數、點與圓、不等式組的圖形、相關係數、數列的項

第 1 題否錯誤。

lo g a = 10.11

表示

a = 1 0^{10.11}

，

lo g b = 11.11

表示

b = 1 0^{11.11}

。所以

\frac{b}{a} = 1 0^{11.11 - 10.11} = 1 0^{1} = 10

，是

b

等於

a

的

10

倍；反過來

a

是

b

的

\frac{1}{10}

倍，不是

10

倍。

對數值多

1

，真數變成

10

倍。對數值比較大的那一個（

b

）才是比較大的數。

第 2 題是正確。配方：

(x^{2} - 6 x + 9) + (y^{2} - 2 y + 1) = 1 + 9 + 1

，即

(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 11

。圓心

(3, 1)

，半徑

11

。原點到圓心的距離是

3^{2} + 1^{2} = 10

，比半徑

11

小，所以原點在圓的內部。

也可以直接把

(0, 0)

代入方程式左邊：

0 + 0 - 0 - 0 - 1 = - 1 < 0

。代入後小於

0

的點在圓內，等於

0

在圓上，大於

0

在圓外。

第 3 題是正確。三條直線兩兩相交。

3 x = y

與

2 x + 3 y = 6

：代入得

11 x = 6

，交點

(\frac{6}{11}, \frac{18}{11})

。

4 x - 3 y = 12

與

2 x + 3 y = 6

：相加得

6 x = 18

，交點

(3, 0)

。

3 x = y

與

4 x - 3 y = 12

：代入得

- 5 x = 12

，交點

(- \frac{12}{5}, - \frac{36}{5})

。圖中的陰影就是以這三點為頂點的三角形。在三角形內部取一點檢查，例如

(1, 0)

：

3 \times 1 \geq 0

成立；

4 \times 1 - 3 \times 0 = 4 \leq 12

成立；

2 \times 1 + 3 \times 0 = 2 \leq 6

成立。三個不等式的解都是在各自那條直線的「含

(1, 0)

的那一側」（連同直線本身），三個半平面的共同部分正是這個三角形（含邊界），所以敘述正確。

判斷一個不等式是直線的哪一側，取一個不在直線上的點代入就知道。這裡三條直線圍出的三角形以外的區域，至少會違反其中一個不等式，例如

(4, 0)

違反

4 x - 3 y \leq 12

。

第 4 題否錯誤。把

x

換成

p x + q

、

y

換成

sy + t

時，加上的常數

q

、

t

不影響相關係數；

p

與

s

同號時相關係數不變，異號時變成相反數。這裡

p = 3

是正數、

s = - 4

是負數，異號，所以新資料的相關係數是

- 0.8

，不是

0.8

。

只有

y

乘上負數，散布圖上下翻轉，原來的正相關變成負相關。倍數的大小（

3

倍、

4

倍）不影響相關係數的絕對值。

第 5 題否錯誤。一般項是

a_{n} = 5 n - 5

，代

n = 5

：

a_{5} = 5 \times 5 - 5 = 20

，不是

5

。

第

2

項才是

5

：

a_{2} = 5 \times 2 - 5 = 5

。

對數相差 1 是 10 倍；相關係數只看兩個倍數同號還是異號。

02單選第 6、7 題：比較大小、二分之一次方

第 6 題答案 (A)。把 (A) 跟其他三個各比一次。 (A) 與 (B)：

\frac{x + y}{2} - x y = \frac{( x - y ) ^{2}}{2}

，因為

x \neq = y

，這個數大於

0

，所以

\frac{x + y}{2} > x y

（算幾不等式）。 (A) 與 (C)：

\frac{x + y}{2} - \frac{x ^{2} + y ^{2}}{2} = \frac{x ( 1 - x ) + y ( 1 - y )}{2}

，因為

0 < y < x < 1

，

x (1 - x)

與

y (1 - y)

都是正數，所以

\frac{x + y}{2} > \frac{x ^{2} + y ^{2}}{2}

。 (B) 與 (D)：

0 < x y < 1

，介於

0

與

1

之間的數開根號會變大，所以

x y > x y

，因此

\frac{x + y}{2} > x y > x y

。三個都比 (A) 小，最大的是 (A)。

用數字檢查：取

x = 0.5

、

y = 0.2

，四個選項依序是

0.35

、

0.1 \approx 0.316

、

0.145

、

0.1

，最大的是 (A)。關鍵是

x

、

y

都小於

1

，平方之後變小，所以 (C) 贏不了 (A)。

第 7 題答案 (C)。

\frac{1}{2}

次方就是開平方。代

h = 4000

：

V = (10 \times 4000)^{\frac{1}{2}} = 40000 = 200

（公尺／秒），正好是飛機的等級。

40000 = 20 0^{2}

。每秒

200

公尺換成時速是

720

公里。

03單選第 8 題：反射光線與圓相切

第 8 題學校公布的答案是 (D)。光線經

x

軸反射，反射線所在的直線會通過

A

對

x

軸的對稱點

A^{'} (- 4, - 5)

。設反射線的斜率為

m

，直線是

y + 5 = m (x + 4)

，即

m x - y + 4 m - 5 = 0

。圓心

(2, 2)

，半徑

5

；相切表示圓心到直線的距離等於半徑：

\frac{∣2 m - 2 + 4 m - 5∣}{m ^{2} + 1} = 5

，即

∣6 m - 7∣ = 5 \cdot m^{2} + 1

。兩邊平方：

36 m^{2} - 84 m + 49 = 5 m^{2} + 5

，

31 m^{2} - 84 m + 44 = 0

，

(m - 2) (31 m - 22) = 0

，得

m = 2

或

m = \frac{22}{31}

。這兩個值分別是選項 (D) 與 (A)。兩條的差別在入射的那一段。

m = 2

時，反射線

y = 2 x + 3

與

x

軸交於

(- \frac{3}{2}, 0)

，入射線是

A

與這一點的連線

2 x + y + 3 = 0

，圓心到它的距離是

\frac{∣4 + 2 + 3∣}{5} = \frac{9}{5} \approx 4.02

，比半徑

5 \approx 2.24

大，光線到達

x

軸之前不會碰到圓。

m = \frac{22}{31}

時，反射點是

(\frac{67}{22}, 0)

，入射線是

22 x + 31 y - 67 = 0

，圓心到它的距離是

\frac{∣44 + 62 - 67∣}{2 2 ^{2} + 3 1 ^{2}} = \frac{39}{1445} \approx 1.03

，比半徑小，光線還沒到

x

軸就先穿過圓的內部。把圓當成擋得住光線的物體時，只有

m = 2

這一條的入射光不會先穿過圓，這也是學校公布的答案 (D)。

若只把題目當成「求過

A^{'}

的切線斜率」的計算，

2

與

\frac{22}{31}

兩個都是算得出來的斜率，兩條切線的切點

(0, 3)

與

(\frac{56}{17}, \frac{3}{17})

也都在

x

軸上方、反射點之後。題目是單選，學校公布的答案是 (D)，本頁照學校的答案寫。

反射問題先作對稱點；過圓外一點的切線有兩條，算完兩個斜率要回到題目的情境檢查。

04單選第 9、10 題：高次不等式、最適直線的斜率

第 9 題答案 (B)。先看每個因式的正負。

x^{2} + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

，恆為正數，可以從不等式中約掉而不改變方向。

(x - 1)^{3} = (x - 1)^{2} (x - 1)

，其中

(x - 1)^{2} \geq 0

，所以

(x - 1)^{3}

的正負與

x - 1

相同（

x = 1

時兩者都是

0

）。於是原不等式與

(x - 1) (x + 3) \leq 0

的解相同，解得

- 3 \leq x \leq 1

。這個區間的長度是

1 - (- 3) = 4

。

題幹寫「絕對值不等式」，但式子裡沒有絕對值，照式子解就可以。檢查：

x = 0

時

1 \times (- 1) \times 3 = - 3 \leq 0

成立；

x = 2

時

7 \times 1 \times 5 = 35

不成立；

x = - 4

時

13 \times (- 125) \times (- 1)

是正數，不成立。

第 10 題答案 (B)。

y

對

x

的最適直線一定通過

(μ_{x}, μ_{y}) = (10, 8)

，題目又說它通過

(2, 6)

，所以斜率是

\frac{8 - 6}{10 - 2} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}

。最適直線的斜率等於

r \times \frac{σ _{y}}{σ _{x}}

，所以

0.8 \times \frac{σ _{y}}{σ _{x}} = \frac{1}{4}

，

\frac{σ _{y}}{σ _{x}} = \frac{1}{4} \div \frac{4}{5} = \frac{5}{16}

。

選項 (A) 的

\frac{1}{4}

是直線的斜率，還要再除以

r

才是標準差的比。資料有幾筆（

10

萬筆）不影響計算。

最適直線通過兩個平均數所成的點，斜率是相關係數乘上 y 的標準差再除以 x 的標準差。

05多選第 11、12 題：指數律、數列找規律

第 11 題答案 (A)(C)(D)。(A) 正確：不是

0

的數的

0

次方都是

1

，兩邊都等於

1

。(B) 錯誤：

2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}

，負指數是取倒數，不會變成負數。(C) 正確：右邊

4^{- \frac{1}{4}} = (2^{2})^{- \frac{1}{4}} = 2^{- \frac{1}{2}}

，與左邊相同。(D) 正確：左邊

4 2^{3} = 2^{\frac{3}{4}}

，右邊

8 2^{6} = 2^{\frac{6}{8}} = 2^{\frac{3}{4}}

，兩邊相同。(E) 錯誤：左邊

4^{2} \times 4^{2} = 4^{22} = 2^{42}

，右邊

(\frac{1}{2})^{- 4} = 2^{4}

；

42 \approx 5.66

不等於

4

，所以兩邊不相等。

(E) 同底數相乘是指數相加：

2 + 2 = 22

，不是相乘得到

2

。若誤算成

4^{2 \times 2} = 4^{2} = 16

，就會以為等於右邊的

16

。

第 12 題學校公布的答案是 (D)(E)。正整數

k

出現

k

次，所以

k

最後一次出現在第

1 + 2 + \dots + k = \frac{k ( k + 1 )}{2}

項：

1

到第

1

項、

2

到第

3

項、

3

到第

6

項、

4

到第

10

項、

5

到第

15

項、

6

到第

21

項、

7

到第

28

項、

8

到第

36

項。(A) 錯誤：第

11

到第

15

項都是

5

，

a_{15} = 5

。(B) 錯誤：第

29

到第

36

項都是

8

，

a_{30} = 8

。(C) 學校的答案不選：

a_{n} = 8

的

n

是

29 \leq n \leq 36

，第

28

項是

7

不是

8

，選項把範圍的左端寫成

28

，與正確的範圍不同。(D) 正確：前

10

項是

1

個

1

、

2

個

2

、

3

個

3

、

4

個

4

，和是

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} = 30

。(E) 正確：前

28

項的和是

1^{2} + 2^{2} + \dots + 7^{2} = \frac{7 \times 8 \times 15}{6} = 140

，第

29

、

30

項都是

8

，所以前

30

項的和是

140 + 8 + 8 = 156

。

選項 (C) 另一種看法：它寫的是「若

a_{n} = 8

，則

28 \leq n \leq 36

」。

a_{n} = 8

時

n

一定是

29

到

36

之中的一個，這些數都滿足

28 \leq n \leq 36

，所以照「若…則…」的字面，這句話本身是成立的；它只是沒有把範圍寫到最精確。找不到

a_{n} = 8

但

n

不在

28

～

36

之間的例子，所以照條件句的字面，選項 (C) 成立。學校的答案是把它當成「

a_{n} = 8

的

n

的範圍恰好是

28 \leq n \leq 36

」來判斷，所以不選。本頁答案照學校公布的寫。

同一個數重複出現的數列，先算每個數最後出現在第幾項，再分組求和。

06填充第 13～15 題：絕對值、圓方程式、二次不等式

第 13 題

a < b

，所以

a - b < 0

、

b - a > 0

。第一個絕對值裡面

a - b - 15

是負數再減

15

，仍是負數，

∣ a - b - 15∣ = - (a - b - 15) = b - a + 15

。第二個絕對值裡面

b - a + 2

是正數，

∣ b - a + 2∣ = b - a + 2

。相減：

(b - a + 15) - (b - a + 2) = 13

。

用數字檢查：

a = 0

、

b = 1

時，

∣ - 16∣ - ∣3∣ = 16 - 3 = 13

。

第 14 題先配方求原來的圓心與半徑：

(x^{2} + 6 x + 9) + (y^{2} - 8 y + 16) = 11 + 9 + 16

，即

(x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 36

，圓心

(- 3, 4)

，半徑

6

。新的圓心是

(3, - 4)

，半徑是

6 \times \frac{1}{2} = 3

，所以小圓圈的方程式是

(x - 3)^{2} + (y + 4)^{2} = 9

。

半徑變成一半，方程式右邊（半徑的平方）是變成

\frac{1}{4}

：

36 \times \frac{1}{4} = 9

，不是

18

。展開寫成

x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y + 16 = 0

也是同一個圓。

第 15 題圖形與

x

軸交於

(2, 0)

、

(3, 0)

，所以

f (x) = a (x - 2) (x - 3) = a x^{2} - 5 a x + 6 a

，比較係數得

b = - 5 a

、

c = 6 a

；開口向下，所以

a < 0

。代入不等式：

- b x^{2} + c x + a = 5 a x^{2} + 6 a x + a = a (5 x^{2} + 6 x + 1) < 0

。兩邊同除以負數

a

，不等號變向：

5 x^{2} + 6 x + 1 > 0

，即

(5 x + 1) (x + 1) > 0

，解得

x > - \frac{1}{5}

或

x < - 1

。

最容易漏掉的是

a < 0

：除以

a

時不等號要變向。若忘了變向，會得到相反的範圍

- 1 < x < - \frac{1}{5}

。

07填充第 16、17 題：利潤減半、標準化數據

第 16 題成本

400

元，原來的售價是

400 \times 4 = 1600

元，利潤是

1600 - 400 = 1200

元。每調降一次，利潤變成前一次的一半：第一次

600

元，第二次

300

元，第三次

150

元，也就是

1200 \times (\frac{1}{2})^{3} = 150

。調降三次後的售價是成本加利潤：

400 + 150 = 550

（元）。

減半的是利潤，不是售價。若把售價直接減半三次會得到

200

元，比成本還低。

第 17 題標準化是把每個數減去平均數、再除以標準差，所以標準化後五個數的平均數是

0

，總和是

0

：

1.2 + (- 0.7) + 0.3 + (- 1.6) + a = 0

，

- 0.8 + a = 0

，

a = 0.8

。五個標準化後的數由小到大是

- 1.6, - 0.7, 0.3, 0.8, 1.2

，中間的是

0.3

。原來的數

= 50 + 10 \times

（標準化後的數），大小順序不變，所以原來的中位數是

50 + 10 \times 0.3 = 53

。

原來的五個數是

62, 43, 53, 34, 58

，平均確實是

50

。標準化後的數平方和應該等於資料筆數

5

，這裡是

1.44 + 0.49 + 0.09 + 2.56 + 0.64 = 5.22

，與

5

不完全相符（題目給的數值本身如此）；求中位數只用到「總和為

0

」，不受影響。

標準化後的數平均是 0，而且大小順序與原來的數相同。

08混合題第 18、19 題：誤差範圍、一次函數

第 18 題答案 (B)。淨重標示

20

公克

\pm 5 %

，誤差是

20

公克的

5 %

，也就是

20 \times 0.05 = 1

公克。所以

W

最少

20 - 1 = 19

，最多

20 + 1 = 21

，即

19 \leq W \leq 21

。

寫成絕對值是

∣ W - 20∣ \leq 1

。選項 (C) 把

5 %

當成

5

公克；選項 (D) 把

20

與

1

的位置寫反了。(A) 與 (C) 是同一個範圍

15 \leq W \leq 25

。

第 19 題設建議沖泡水量

y

（c.c.）與咖啡淨重

x

（公克）的關係是

y = a x + b

。由外包裝標示，

x = 20

時

y = 240

：

20 a + b = 240

。小包裝

x = 15

時

y = 200

：

15 a + b = 200

。兩式相減：

5 a = 40

，

a = 8

；代回得

b = 240 - 160 = 80

。所以

y = 8 x + 80

。大包裝

x = 30

：

y = 8 \times 30 + 80 = 320

。建議沖泡水量為

320

c.c.。

淨重每多

1

公克，水量多

8

c.c.；從

20

公克到

30

公克多了

10

公克，水量多

80

c.c.，

240 + 80 = 320

。不能用正比來算（

240 \times \frac{30}{20} = 360

），因為

b = 80

不是

0

。

兩組對應的數值就能決定一次函數；先求斜率，再求常數項。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

基隆高中 111 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案，是非題 5 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

基隆高中 111 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題對數值多 1 是真數變成 10 倍，要看清楚是誰比較大；第 4 題兩個變數一個乘正數、一個乘負數，相關係數會變號；第 8 題要先把 A 點對 x 軸作對稱，再求過對稱點的切線，算出來有兩個斜率；第 12 題要先找出每個正整數最後一次出現在第幾項；第 15 題要把 b、c 都用 a 表示，而且 a 是負數，約掉時不等號要變向。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自基隆高中 111 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：高一數學複習（卷頭印範圍：第 1～5 單元；內容為數與式、直線與圓、多項式函數、數列與級數、數據分析）

基隆高中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

一、是非題：(對選「是」、錯選「否」；每題 3 分；共 15 分)

若

lo g a = 10.11

，

lo g b = 11.11

，則可知

a

是

b

的

10

倍。

點

(0, 0)

在圓

x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y - 1 = 0

的內部？

試問右圖中陰影部分（包含邊界）為不等式組

⎩ ⎨ ⎧ 3 x \geq y 4 x - 3 y \leq 12 2 x + 3 y \leq 6

之解？

載入中...

若資料

(x, y)

的相關係數為

0.8

，則

(3 x - 7, - 4 y + 9)

的相關係數仍為

0.8

。

數列

⟨ 5 n - 5 ⟩

的第

5

項為

5

？

二、單一選擇題：(每題 6 分；共 30 分)

設

x

、

y

皆為實數，且

1 > x > y > 0

。則下列選項何者最大？

(A) $\frac{x + y}{2}$
(B) $x y$
(C) $\frac{x ^{2} + y ^{2}}{2}$
(D) $x y$

設海嘯的速度

V

（公尺／秒）公式為

V = (10 h)^{\frac{1}{2}}

，其中

h

為海水深度（公尺）。已知 2011 年的日本海嘯發生於平均水深約

4000

公尺的太平洋，求此海嘯的速度最接近以下哪一個等級的選項？

(A) 小狗約 $16$ 公尺／秒
(B) 高鐵約 $80$ 公尺／秒
(C) 飛機約 $200$ 公尺／秒
(D) 聲音約 $340$ 公尺／秒

有一光線通過點

A (- 4, 5)

，經

x

軸反射後與圓

(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 5

相切，則反射線的斜率為？

(A) $\frac{22}{31}$
(B) $1$
(C) $\frac{31}{22}$
(D) $2$

請問滿足絕對值不等式

(x^{2} + x + 1) (x - 1)^{3} (x + 3) \leq 0

的實數

x

所形成的區間，其長度為下列哪一個選項？

(A) $3$
(B) $4$
(C) $5$
(D) $6$

有

10

萬筆資料

(x_{i}, y_{i})

，已知平均數

μ_{x} = 10

，

μ_{y} = 8

，且

x

，

y

的相關係數

r = 0.8

，若

y

對

x

的最適直線通過點

(2, 6)

，試求這

10

萬筆資料

\frac{σ _{y}}{σ _{x}}

的值為？

(A) $\frac{1}{4}$
(B) $\frac{5}{16}$
(C) $0.8$
(D) $3.2$

三、多重選擇題：(每題 10 分，共 20 分，錯一個選項得 6 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個選項以上得 0 分)

下列何者正確？

(A) $2^{0} = (\frac{1}{2})^{0}$
(B) $2^{- 3} = - 8$
(C) $2^{- \frac{1}{2}} = 4^{- \frac{1}{4}}$
(D) $4 2^{3} = 8 2^{6}$
(E) $4^{2} \times 4^{2} = (\frac{1}{2})^{- 4}$ 。

有一數列

⟨ a_{n} ⟩ = ⟨ 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, \dots\dots

（正整數

n

出現

n

次）

⟩

，試求下列哪些選項是正確的？

(A) $a_{15} = 6$
(B) $a_{30} = 7$
(C) 若 $a_{n} = 8$ ，則 $28 \leq n \leq 36$
(D) $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots\dots + a_{10} = 30$
(E) $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots\dots + a_{30} = 156$ 。

四、填充題(每題 5 分，共 25 分)

已知

a < b

，則

∣ a - b - 15∣ - ∣ b - a + 2∣ =

____。

湖面上有一大圓圈可用圓方程式

x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y - 11 = 0

來表示，現在因水流關係而飄動，此大圓圈的圓心移到

(3, - 4)

的位置且半徑縮減為原來的

\frac{1}{2}

，則此小圓圈的方程式為 ____。

若二次函數

f (x) = a x^{2} + b x + c

的圖形為開口向下的拋物線，且與

x

軸交於

A (2, 0)

，

B (3, 0)

兩點，則不等式

- b x^{2} + c x + a < 0

的解為 ____。

網路賣家以

400

元的成本取得某件模型，並以成本的

4

一組資料共有五筆數據，經標準化後為

1.2

、

- 0.7

、

0.3

、

- 1.6

、

a

。若已知原來五個數的算術平均數為

50

，標準差為

10

，則原來五個數的中位數為 ____？

五、混合題(每小題 5 分，共 10 分，「非選擇題」請將過程寫至答案卷上。)

品名：黃金曼特寧濾掛式咖啡 成分：研磨咖啡粉 咖啡豆產地：印尼蘇門答臘 烘焙度：中深烘焙 淨重： 20 公克 \pm 5 % 建議沖泡水量： 240 c.c.

設咖啡淨重

W

公克，試選出

W

所滿足的數學式。

(A) $15 \leq W \leq 25$
(B) $19 \leq W \leq 21$
(C) $∣ W - 20∣ \leq 5$
(D) $∣ W - 1∣ \leq 20$ 。

假設同款小包裝咖啡淨重

15

公克，建議沖泡水量

200

c.c.，試問若同款大包裝咖啡淨重

30

公克，則建議沖泡水量應為多少 c.c.？（請利用咖啡淨重

x

公克與建議沖泡水量

y

c.c. 建立一次函數關係

y = a x + b

解題）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：是＝正確、否＝錯誤（照原卷作答規定）

1否

2是

3是

4否

5否

第 6 題(A)

第 7 題(C)

第 8 題(D)（照學校公布的答案；過對稱點的切線有兩條，另一條的斜率就是選項 (A)，兩條的差別見詳解）

第 9 題(B)

第 10 題(B)

第 11 題(A)(C)(D)

第 12 題(D)(E)（照學校公布的答案；選項 (C) 照「若…則…」的字面來看也成立，見詳解）

第 13 題

13

第 14 題

(x - 3)^{2} + (y + 4)^{2} = 9

第 15 題

x > - \frac{1}{5}

或

x < - 1

第 16 題

550

第 17 題

53

第 18 題(B)

第 19 題

320

c.c.

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1～5 題：對數、點與圓、不等式組的圖形、相關係數、數列的項

第 1 題否錯誤。

lo g a = 10.11

表示

a = 1 0^{10.11}

，

lo g b = 11.11

表示

b = 1 0^{11.11}

。所以

\frac{b}{a} = 1 0^{11.11 - 10.11} = 1 0^{1} = 10

，是

b

等於

a

的

10

倍；反過來

a

是

b

的

\frac{1}{10}

倍，不是

10

倍。

對數值多

1

，真數變成

10

倍。對數值比較大的那一個（

b

）才是比較大的數。

第 2 題是正確。配方：

(x^{2} - 6 x + 9) + (y^{2} - 2 y + 1) = 1 + 9 + 1

，即

(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 11

。圓心

(3, 1)

，半徑

11

。原點到圓心的距離是

3^{2} + 1^{2} = 10

，比半徑

11

小，所以原點在圓的內部。

也可以直接把

(0, 0)

代入方程式左邊：

0 + 0 - 0 - 0 - 1 = - 1 < 0

。代入後小於

0

的點在圓內，等於

0

在圓上，大於

0

在圓外。

第 3 題是正確。三條直線兩兩相交。

3 x = y

與

2 x + 3 y = 6

：代入得

11 x = 6

，交點

(\frac{6}{11}, \frac{18}{11})

。

4 x - 3 y = 12

與

2 x + 3 y = 6

：相加得

6 x = 18

，交點

(3, 0)

。

3 x = y

與

4 x - 3 y = 12

：代入得

- 5 x = 12

，交點

(- \frac{12}{5}, - \frac{36}{5})

。圖中的陰影就是以這三點為頂點的三角形。在三角形內部取一點檢查，例如

(1, 0)

：

3 \times 1 \geq 0

成立；

4 \times 1 - 3 \times 0 = 4 \leq 12

成立；

2 \times 1 + 3 \times 0 = 2 \leq 6

成立。三個不等式的解都是在各自那條直線的「含

(1, 0)

的那一側」（連同直線本身），三個半平面的共同部分正是這個三角形（含邊界），所以敘述正確。

判斷一個不等式是直線的哪一側，取一個不在直線上的點代入就知道。這裡三條直線圍出的三角形以外的區域，至少會違反其中一個不等式，例如

(4, 0)

違反

4 x - 3 y \leq 12

。

第 4 題否錯誤。把

x

換成

p x + q

、

y

換成

sy + t

時，加上的常數

q

、

t

不影響相關係數；

p

與

s

同號時相關係數不變，異號時變成相反數。這裡

p = 3

是正數、

s = - 4

是負數，異號，所以新資料的相關係數是

- 0.8

，不是

0.8

。

只有

y

乘上負數，散布圖上下翻轉，原來的正相關變成負相關。倍數的大小（

3

倍、

4

倍）不影響相關係數的絕對值。

第 5 題否錯誤。一般項是

a_{n} = 5 n - 5

，代

n = 5

：

a_{5} = 5 \times 5 - 5 = 20

，不是

5

。

第

2

項才是

5

：

a_{2} = 5 \times 2 - 5 = 5

。

對數相差 1 是 10 倍；相關係數只看兩個倍數同號還是異號。

02單選第 6、7 題：比較大小、二分之一次方

第 6 題答案 (A)。把 (A) 跟其他三個各比一次。 (A) 與 (B)：

\frac{x + y}{2} - x y = \frac{( x - y ) ^{2}}{2}

，因為

x \neq = y

，這個數大於

0

，所以

\frac{x + y}{2} > x y

（算幾不等式）。 (A) 與 (C)：

\frac{x + y}{2} - \frac{x ^{2} + y ^{2}}{2} = \frac{x ( 1 - x ) + y ( 1 - y )}{2}

，因為

0 < y < x < 1

，

x (1 - x)

與

y (1 - y)

都是正數，所以

\frac{x + y}{2} > \frac{x ^{2} + y ^{2}}{2}

。 (B) 與 (D)：

0 < x y < 1

，介於

0

與

1

之間的數開根號會變大，所以

x y > x y

，因此

\frac{x + y}{2} > x y > x y

。三個都比 (A) 小，最大的是 (A)。

用數字檢查：取

x = 0.5

、

y = 0.2

，四個選項依序是

0.35

、

0.1 \approx 0.316

、

0.145

、

0.1

，最大的是 (A)。關鍵是

x

、

y

都小於

1

，平方之後變小，所以 (C) 贏不了 (A)。

第 7 題答案 (C)。

\frac{1}{2}

次方就是開平方。代

h = 4000

：

V = (10 \times 4000)^{\frac{1}{2}} = 40000 = 200

（公尺／秒），正好是飛機的等級。

40000 = 20 0^{2}

。每秒

200

公尺換成時速是

720

公里。

03單選第 8 題：反射光線與圓相切

第 8 題學校公布的答案是 (D)。光線經

x

軸反射，反射線所在的直線會通過

A

對

x

軸的對稱點

A^{'} (- 4, - 5)

。設反射線的斜率為

m

，直線是

y + 5 = m (x + 4)

，即

m x - y + 4 m - 5 = 0

。圓心

(2, 2)

，半徑

5

；相切表示圓心到直線的距離等於半徑：

\frac{∣2 m - 2 + 4 m - 5∣}{m ^{2} + 1} = 5

，即

∣6 m - 7∣ = 5 \cdot m^{2} + 1

。兩邊平方：

36 m^{2} - 84 m + 49 = 5 m^{2} + 5

，

31 m^{2} - 84 m + 44 = 0

，

(m - 2) (31 m - 22) = 0

，得

m = 2

或

m = \frac{22}{31}

。這兩個值分別是選項 (D) 與 (A)。兩條的差別在入射的那一段。

m = 2

時，反射線

y = 2 x + 3

與

x

軸交於

(- \frac{3}{2}, 0)

，入射線是

A

與這一點的連線

2 x + y + 3 = 0

，圓心到它的距離是

\frac{∣4 + 2 + 3∣}{5} = \frac{9}{5} \approx 4.02

，比半徑

5 \approx 2.24

大，光線到達

x

軸之前不會碰到圓。

m = \frac{22}{31}

時，反射點是

(\frac{67}{22}, 0)

，入射線是

22 x + 31 y - 67 = 0

，圓心到它的距離是

\frac{∣44 + 62 - 67∣}{2 2 ^{2} + 3 1 ^{2}} = \frac{39}{1445} \approx 1.03

，比半徑小，光線還沒到

x

軸就先穿過圓的內部。把圓當成擋得住光線的物體時，只有

m = 2

這一條的入射光不會先穿過圓，這也是學校公布的答案 (D)。

若只把題目當成「求過

A^{'}

的切線斜率」的計算，

2

與

\frac{22}{31}

兩個都是算得出來的斜率，兩條切線的切點

(0, 3)

與

(\frac{56}{17}, \frac{3}{17})

也都在

x

軸上方、反射點之後。題目是單選，學校公布的答案是 (D)，本頁照學校的答案寫。

反射問題先作對稱點；過圓外一點的切線有兩條，算完兩個斜率要回到題目的情境檢查。

04單選第 9、10 題：高次不等式、最適直線的斜率

第 9 題答案 (B)。先看每個因式的正負。

x^{2} + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

，恆為正數，可以從不等式中約掉而不改變方向。

(x - 1)^{3} = (x - 1)^{2} (x - 1)

，其中

(x - 1)^{2} \geq 0

，所以

(x - 1)^{3}

的正負與

x - 1

相同（

x = 1

時兩者都是

0

）。於是原不等式與

(x - 1) (x + 3) \leq 0

的解相同，解得

- 3 \leq x \leq 1

。這個區間的長度是

1 - (- 3) = 4

。

題幹寫「絕對值不等式」，但式子裡沒有絕對值，照式子解就可以。檢查：

x = 0

時

1 \times (- 1) \times 3 = - 3 \leq 0

成立；

x = 2

時

7 \times 1 \times 5 = 35

不成立；

x = - 4

時

13 \times (- 125) \times (- 1)

是正數，不成立。

第 10 題答案 (B)。

y

對

x

的最適直線一定通過

(μ_{x}, μ_{y}) = (10, 8)

，題目又說它通過

(2, 6)

，所以斜率是

\frac{8 - 6}{10 - 2} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}

。最適直線的斜率等於

r \times \frac{σ _{y}}{σ _{x}}

，所以

0.8 \times \frac{σ _{y}}{σ _{x}} = \frac{1}{4}

，

\frac{σ _{y}}{σ _{x}} = \frac{1}{4} \div \frac{4}{5} = \frac{5}{16}

。

選項 (A) 的

\frac{1}{4}

是直線的斜率，還要再除以

r

才是標準差的比。資料有幾筆（

10

萬筆）不影響計算。

最適直線通過兩個平均數所成的點，斜率是相關係數乘上 y 的標準差再除以 x 的標準差。

05多選第 11、12 題：指數律、數列找規律

第 11 題答案 (A)(C)(D)。(A) 正確：不是

0

的數的

0

次方都是

1

，兩邊都等於

1

。(B) 錯誤：

2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}

，負指數是取倒數，不會變成負數。(C) 正確：右邊

4^{- \frac{1}{4}} = (2^{2})^{- \frac{1}{4}} = 2^{- \frac{1}{2}}

，與左邊相同。(D) 正確：左邊

4 2^{3} = 2^{\frac{3}{4}}

，右邊

8 2^{6} = 2^{\frac{6}{8}} = 2^{\frac{3}{4}}

，兩邊相同。(E) 錯誤：左邊

4^{2} \times 4^{2} = 4^{22} = 2^{42}

，右邊

(\frac{1}{2})^{- 4} = 2^{4}

；

42 \approx 5.66

不等於

4

，所以兩邊不相等。

(E) 同底數相乘是指數相加：

2 + 2 = 22

，不是相乘得到

2

。若誤算成

4^{2 \times 2} = 4^{2} = 16

，就會以為等於右邊的

16

。

第 12 題學校公布的答案是 (D)(E)。正整數

k

出現

k

次，所以

k

最後一次出現在第

1 + 2 + \dots + k = \frac{k ( k + 1 )}{2}

項：

1

到第

1

項、

2

到第

3

項、

3

到第

6

項、

4

到第

10

項、

5

到第

15

項、

6

到第

21

項、

7

到第

28

項、

8

到第

36

項。(A) 錯誤：第

11

到第

15

項都是

5

，

a_{15} = 5

。(B) 錯誤：第

29

到第

36

項都是

8

，

a_{30} = 8

。(C) 學校的答案不選：

a_{n} = 8

的

n

是

29 \leq n \leq 36

，第

28

項是

7

不是

8

，選項把範圍的左端寫成

28

，與正確的範圍不同。(D) 正確：前

10

項是

1

個

1

、

2

個

2

、

3

個

3

、

4

個

4

，和是

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} = 30

。(E) 正確：前

28

項的和是

1^{2} + 2^{2} + \dots + 7^{2} = \frac{7 \times 8 \times 15}{6} = 140

，第

29

、

30

項都是

8

，所以前

30

項的和是

140 + 8 + 8 = 156

。

選項 (C) 另一種看法：它寫的是「若

a_{n} = 8

，則

28 \leq n \leq 36

」。

a_{n} = 8

時

n

一定是

29

到

36

之中的一個，這些數都滿足

28 \leq n \leq 36

，所以照「若…則…」的字面，這句話本身是成立的；它只是沒有把範圍寫到最精確。找不到

a_{n} = 8

但

n

不在

28

～

36

之間的例子，所以照條件句的字面，選項 (C) 成立。學校的答案是把它當成「

a_{n} = 8

的

n

的範圍恰好是

28 \leq n \leq 36

」來判斷，所以不選。本頁答案照學校公布的寫。

同一個數重複出現的數列，先算每個數最後出現在第幾項，再分組求和。

06填充第 13～15 題：絕對值、圓方程式、二次不等式

第 13 題

a < b

，所以

a - b < 0

、

b - a > 0

。第一個絕對值裡面

a - b - 15

是負數再減

15

，仍是負數，

∣ a - b - 15∣ = - (a - b - 15) = b - a + 15

。第二個絕對值裡面

b - a + 2

是正數，

∣ b - a + 2∣ = b - a + 2

。相減：

(b - a + 15) - (b - a + 2) = 13

。

用數字檢查：

a = 0

、

b = 1

時，

∣ - 16∣ - ∣3∣ = 16 - 3 = 13

。

第 14 題先配方求原來的圓心與半徑：

(x^{2} + 6 x + 9) + (y^{2} - 8 y + 16) = 11 + 9 + 16

，即

(x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 36

，圓心

(- 3, 4)

，半徑

6

。新的圓心是

(3, - 4)

，半徑是

6 \times \frac{1}{2} = 3

，所以小圓圈的方程式是

(x - 3)^{2} + (y + 4)^{2} = 9

。

半徑變成一半，方程式右邊（半徑的平方）是變成

\frac{1}{4}

：

36 \times \frac{1}{4} = 9

，不是

18

。展開寫成

x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y + 16 = 0

也是同一個圓。

第 15 題圖形與

x

軸交於

(2, 0)

、

(3, 0)

，所以

f (x) = a (x - 2) (x - 3) = a x^{2} - 5 a x + 6 a

，比較係數得

b = - 5 a

、

c = 6 a

；開口向下，所以

a < 0

。代入不等式：

- b x^{2} + c x + a = 5 a x^{2} + 6 a x + a = a (5 x^{2} + 6 x + 1) < 0

。兩邊同除以負數

a

，不等號變向：

5 x^{2} + 6 x + 1 > 0

，即

(5 x + 1) (x + 1) > 0

，解得

x > - \frac{1}{5}

或

x < - 1

。

最容易漏掉的是

a < 0

：除以

a

時不等號要變向。若忘了變向，會得到相反的範圍

- 1 < x < - \frac{1}{5}

。

07填充第 16、17 題：利潤減半、標準化數據

第 16 題成本

400

元，原來的售價是

400 \times 4 = 1600

元，利潤是

1600 - 400 = 1200

元。每調降一次，利潤變成前一次的一半：第一次

600

元，第二次

300

元，第三次

150

元，也就是

1200 \times (\frac{1}{2})^{3} = 150

。調降三次後的售價是成本加利潤：

400 + 150 = 550

（元）。

減半的是利潤，不是售價。若把售價直接減半三次會得到

200

元，比成本還低。

第 17 題標準化是把每個數減去平均數、再除以標準差，所以標準化後五個數的平均數是

0

，總和是

0

：

1.2 + (- 0.7) + 0.3 + (- 1.6) + a = 0

，

- 0.8 + a = 0

，

a = 0.8

。五個標準化後的數由小到大是

- 1.6, - 0.7, 0.3, 0.8, 1.2

，中間的是

0.3

。原來的數

= 50 + 10 \times

（標準化後的數），大小順序不變，所以原來的中位數是

50 + 10 \times 0.3 = 53

。

原來的五個數是

62, 43, 53, 34, 58

，平均確實是

50

。標準化後的數平方和應該等於資料筆數

5

，這裡是

1.44 + 0.49 + 0.09 + 2.56 + 0.64 = 5.22

，與

5

不完全相符（題目給的數值本身如此）；求中位數只用到「總和為

0

」，不受影響。

標準化後的數平均是 0，而且大小順序與原來的數相同。

08混合題第 18、19 題：誤差範圍、一次函數

第 18 題答案 (B)。淨重標示

20

公克

\pm 5 %

，誤差是

20

公克的

5 %

，也就是

20 \times 0.05 = 1

公克。所以

W

最少

20 - 1 = 19

，最多

20 + 1 = 21

，即

19 \leq W \leq 21

。

寫成絕對值是

∣ W - 20∣ \leq 1

。選項 (C) 把

5 %

當成

5

公克；選項 (D) 把

20

與

1

的位置寫反了。(A) 與 (C) 是同一個範圍

15 \leq W \leq 25

。

第 19 題設建議沖泡水量

y

（c.c.）與咖啡淨重

x

（公克）的關係是

y = a x + b

。由外包裝標示，

x = 20

時

y = 240

：

20 a + b = 240

。小包裝

x = 15

時

y = 200

：

15 a + b = 200

。兩式相減：

5 a = 40

，

a = 8

；代回得

b = 240 - 160 = 80

。所以

y = 8 x + 80

。大包裝

x = 30

：

y = 8 \times 30 + 80 = 320

。建議沖泡水量為

320

c.c.。

淨重每多

1

公克，水量多

8

c.c.；從

20

公克到

30

公克多了

10

公克，水量多

80

c.c.，

240 + 80 = 320

。不能用正比來算（

240 \times \frac{30}{20} = 360

），因為

b = 80

不是

0

。

兩組對應的數值就能決定一次函數；先求斜率，再求常數項。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

基隆高中 111 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案，是非題 5 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

基隆高中 111 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自基隆高中 111 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

基隆高中 111 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 19 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01是非第 1～5 題：對數、點與圓、不等式組的圖形、相關係數、數列的項

02單選第 6、7 題：比較大小、二分之一次方

03單選第 8 題：反射光線與圓相切

04單選第 9、10 題：高次不等式、最適直線的斜率

05多選第 11、12 題：指數律、數列找規律

06填充第 13～15 題：絕對值、圓方程式、二次不等式

07填充第 16、17 題：利潤減半、標準化數據

08混合題第 18、19 題：誤差範圍、一次函數

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

基隆高中 111 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

基隆高中 111 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

基隆高中 111 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 19 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01是非第 1～5 題：對數、點與圓、不等式組的圖形、相關係數、數列的項

02單選第 6、7 題：比較大小、二分之一次方

03單選第 8 題：反射光線與圓相切

04單選第 9、10 題：高次不等式、最適直線的斜率

05多選第 11、12 題：指數律、數列找規律

06填充第 13～15 題：絕對值、圓方程式、二次不等式

07填充第 16、17 題：利潤減半、標準化數據

08混合題第 18、19 題：誤差範圍、一次函數

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

基隆高中 111 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

基隆高中 111 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

基隆高中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

基隆高中 111 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

基隆高中 111 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

基隆高中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

基隆高中 111 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

基隆高中 111 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？