苑裡高中 111 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (A)。把每條直線化成 $y=mx+b$ 讀斜率：

(A) $y=-2x-1$，斜率 $-2$。

(B) $x=-6$ 是鉛直線，斜率不存在。

(C) 點斜式，斜率 $8$。

(D) 同乘 $6$：$3x+2y=6$，$y=-\frac{3}{2}x+3$，斜率 $-\frac{3}{2}$。

(E) $4y=3x+5$，斜率 $\frac{3}{4}$。

$-2<-\frac{3}{2}<\frac{3}{4}<8$，斜率最小的是 (A)。

答案 (C)。配方：

$$(x^2+4x+4)+(y^2+2ky+k^2)=-13+4+k^2$$

$$(x+2{)}^2+(y+k{)}^2=k^2-9$$

半徑為 $4$，所以 $k^2-9=16$，$k^2=25$，$k=5$ 或 $-5$。選項中只有 $5$。

答案 (E)。圓心 $O(2,-1)$，半徑 $r=4$。直線與圓心的距離（弦心距）為 $d$ 時，弦長 $=2\sqrt{r^2-d^2}$，$d$ 越大弦越短（$d<r$ 才有弦）。逐一算圓心到各直線的距離：

(A) $x$ 軸：$d=|-1|=1$。

(B) $y$ 軸：$d=|2|=2$。

(C) $d=\frac{|2-1-3|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。

(D) $d=\frac{|6-4|}{5}=\frac{2}{5}$。

(E) $d=\frac{|4+1|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$。

五個距離都小於 $4$，五條直線都截出弦；最大的是 $\sqrt{5}$（約 $2.24$），所以 (E) 截的弦最短。

答案 (B)。三條邊界直線是 $3x=y$、$4x-3y=12$、$2x+3y=6$，其中後兩條都通過 $x$ 軸上的點 $(3,0)$（代入可驗證）。由圖，$x$ 軸上原點 $O$ 與 $(3,0)$ 之間的點都在鋪色區域內，取 $(1,0)$ 當代表點，看它在每條直線的哪一側：

$3x-y=3>0$，所以鋪色區域滿足 $3x\ge y$。

$4x-3y=4<12$，所以滿足 $4x-3y\le 12$。

$2x+3y=2<6$，所以滿足 $2x+3y\le 6$。

再加上含邊界，得 $\{\begin{array}{l}3x\ge y\\ 4x-3y\le 12\\ 2x+3y\le 6\end{array}$，是 (B)。

答案 (B)(D)(E)。$L_1$ 斜率 $-\frac{1}{3}$、$L_2$ 斜率 $1$，兩者不平行，交於一點：$x+3y=1$ 與 $x-y=-3$ 相減得 $4y=4$，$y=1$，$x=-2$，交點 $(-2,1)$。

三直線不能圍成三角形，有兩種情形：

第一種，$L_3$ 與 $L_1$ 或 $L_2$ 平行（或重合）。$L_3$ 的斜率為 $-\frac{2}{k}$（$k=0$ 時 $L_3$ 是鉛直線，與兩者都不平行）。

$-\frac{2}{k}=-\frac{1}{3}$ 得 $k=6$，此時 $L_3:2x+6y+1=0$，與 $L_1:2x+6y-2=0$ 平行。

$-\frac{2}{k}=1$ 得 $k=-2$，此時 $L_3:2x-2y+1=0$，與 $L_2:2x-2y+6=0$ 平行。

第二種，三線共點：$L_3$ 通過 $(-2,1)$，$-4+k+1=0$，$k=3$。

所以 $k=-2$、$3$、$6$。

(A) 錯誤。 $k=-3$ 時三線兩兩相交於不同點，圍成三角形。

(B) 正確。 $L_3\parallel L_2$。

(C) 錯誤。 $k=2$ 時 $L_3$ 斜率 $-1$，與兩者都不平行；$(-2,1)$ 代入 $-4+2+1=-1\ne 0$，不共點。

(D) 正確。 三線共點。

(E) 正確。 $L_3\parallel L_1$。

答案 (A)(B)(E)。

(A) 正確。 水平直線上任兩點 $y$ 坐標相同，斜率 $=\frac{0}{x_2-x_1}=0$。

(B) 正確。 鉛直線上任兩點 $x$ 坐標相同，分母為 $0$，斜率不存在。

(C) 錯誤。 方程式要求 $x\ne 1$，去分母得 $y+2=5(x-1)$，但直線 $y+2=5(x-1)$ 上的點 $(1,-2)$ 使分母為 $0$，不滿足原方程式。圖形是直線挖掉一點 $(1,-2)$，不是一整條直線。

(D) 錯誤。 令 $y=0$：$3x+6=0$，$x=-2$，$x$ 截距為 $-2$。

(E) 正確。 $y=2x+3$，斜率 $2>0$，$y$ 截距 $3>0$，$x$ 截距 $-\frac{3}{2}<0$。當 $x>0$ 時 $y=2x+3>3>0$，所以直線上沒有 $x>0$、$y<0$ 的點，不通過第四象限（它通過第一、二、三象限）。

答案 (A)(D)(E)。都化成標準式 $(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=c$：$c>0$ 才是圓，$c=0$ 只是一點，$c<0$ 沒有圖形。

(A) 正確。 $c=49>0$，圓心 $(-1,-1)$，半徑 $7$。

(B) 錯誤。 $c=0$，只有一點 $(1,2)$。

(C) 錯誤。 $(x+2{)}^2+(y+2{)}^2=4+4-9=-1<0$，沒有圖形。

(D) 正確。 $(x+2{)}^2+(y+2{)}^2=8>0$，圓心 $(-2,-2)$，半徑 $2\sqrt{2}$。

(E) 正確。 展開：$x^2-4x+3+y^2-2y-8=0$，配方 $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=4+1+5=10>0$，是圓。

答案 $3x+4y-2=0$。點斜式：$y+1=-\frac{3}{4}(x-2)$。

同乘 $4$：$4y+4=-3x+6$，移項得 $3x+4y-2=0$。

答案 $3$。三點共線，$\overline{AB}$ 與 $\overline{AC}$ 的斜率相等：

$$\frac{0-(-1)}{a-(-2)}=\frac{1-(-1)}{8-(-2)}$$

$\frac{1}{a+2}=\frac{1}{5}$，$a+2=5$，$a=3$。

答案 $2x+3y+3=0$。$L$ 上的點 $(x,y)$ 往右 $3$、往下 $1$ 移到 $(x+3,y-1)$，這個點在 $2x+3y=0$ 上：

$$2(x+3)+3(y-1)=0$$

整理得 $2x+3y+3=0$。

答案 $(-1,4)$。把含 $m$ 的項整理在一起：

$$m(x+1)+(-y+4)=0$$

要對每一個實數 $m$ 都成立，必須 $x+1=0$ 且 $-y+4=0$，得 $x=-1$、$y=4$。所以 $P(-1,4)$。

答案 $(6,5)$。設學校在 $(x,y)$，與三點等距離（就是 $△ABC$ 的外心）。

到 $A$、$B$ 等距：$(x-9{)}^2+(y-9{)}^2=(x-1{)}^2+(y-5{)}^2$，展開消去 $x^2$、$y^2$：$-16x-8y+136=0$，即 $2x+y=17$。

到 $B$、$C$ 等距：$(x-1{)}^2+(y-5{)}^2=(x-6{)}^2+y^2$，展開得 $10x-10y-10=0$，即 $x-y=1$。

兩式相加 $3x=18$，$x=6$，$y=5$。

檢查：到 $A$ 的距離 $\sqrt{3^2+4^2}=5$，到 $B$ 的距離 $\sqrt{5^2+0^2}=5$，到 $C$ 的距離 $\sqrt{0^2+5^2}=5$。

答案 $(x+3{)}^2+(y-2{)}^2=5$。$\overline{AB}$ 是圓的一條弦，直徑是圓內最長的弦，所以直徑 $\ge \overline{AB}$；以 $\overline{AB}$ 為直徑的圓半徑最小，面積也最小。

圓心是 $\overline{AB}$ 的中點 $\left(\frac{-1-5}{2},\frac{3+1}{2}\right)=(-3,2)$，

半徑平方 $={\left(\frac{\overline{AB}}{2}\right)}^2=\frac{(-1+5{)}^2+(3-1{)}^2}{4}=\frac{20}{4}=5$。

所求圓為 $(x+3{)}^2+(y-2{)}^2=5$。

答案 $(12,2)$。配方：$(x+4{)}^2+(y+3{)}^2=16+9+24=49$，圓心 $Q(-4,-3)$，半徑 $7$。

原點到圓心的距離 $\overline{OQ}=\sqrt{16+9}=5<7$，原點在圓內。

過原點與圓心的直線交圓於兩點：離原點最遠的距離 $M=7+5=12$，最近的距離 $m=7-5=2$。所以 $(M,m)=(12,2)$。

答案 $m>-3$。配方：

$$(x+m{)}^2+(y-3{)}^2=m^2+9-m^2+3m=3m+9$$

表一圓要右邊大於 $0$：$3m+9>0$，$m>-3$。

答案 $12$。圓心 $Q(7,8)$，半徑 $3$，$\overline{OQ}=\sqrt{49+64}=\sqrt{113}$。因為 $100<113<121$，$10<\sqrt{113}<11$（約 $10.63$）。

原點在圓外，圓上的點到原點的距離，最小是 $\sqrt{113}-3$（約 $7.63$），最大是 $\sqrt{113}+3$（約 $13.63$），中間的值都取得到。

這個範圍內的整數有 $8,9,10,11,12,13$，共 $6$ 個。對每一個整數 $d$，以原點為圓心、半徑 $d$ 的圓，因為 $d$ 嚴格介於最小值與最大值之間，與圓 $C$ 交於兩點。

所以共有 $6\times 2=12$ 個點。

答案 $x^2+(y+4{)}^2=64$。$\overline{PA}=\frac{1}{2}\overline{PB}$，兩邊平方再乘 $4$：$4{\overline{PA}}^2={\overline{PB}}^2$，

$$4(x^2+y^2)=x^2+(y-12{)}^2$$

$$3x^2+3y^2+24y-144=0$$

同除以 $3$：$x^2+y^2+8y-48=0$，配方得 $x^2+(y+4{)}^2=64$（以 $(0,-4)$ 為圓心、半徑 $8$ 的圓）。

答案 $(2,4)$。切點與圓心的連線垂直切線，所以切點就是圓心 $(0,2)$ 在直線 $L_1$ 上的投影點。

$L_1$ 的斜率 $-1$，垂直方向的斜率 $1$，過圓心的垂直線為 $y=x+2$。與 $x+y-6=0$ 聯立：$x+(x+2)=6$，$x=2$，$y=4$。

檢查：$(2,4)$ 到圓心距離 $\sqrt{4+4}=\sqrt{8}$，正是半徑。

答案 $\sqrt{51}$。兩直線 $x-y=1$、$x-y=5$ 互相平行。弦長相等，表示圓心到兩直線的距離相等，圓心在兩平行線正中間的直線 $x-y=3$ 上。

圓心到 $x-y=1$ 的距離（弦心距）$d=\frac{|3-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。

半弦長 $7$、弦心距 $\sqrt{2}$、半徑 $r$ 構成直角三角形：$r^2=7^2+(\sqrt{2}{)}^2=51$，$r=\sqrt{51}$。

答案 $x+4y+10=0$。配方：${\left(x-\frac{5}{2}\right)}^2+(y+1{)}^2=\frac{25}{4}+1-3=\frac{17}{4}$，圓心 $Q\left(\frac{5}{2},-1\right)$。

先看 $P$ 的位置：$P(2,-3)$ 代入，$4+9-10-6+3=0$，$P$ 在圓上，切線只有一條。

切線垂直半徑 $\overline{QP}$。$\overline{QP}$ 的斜率 $=\frac{-3-(-1)}{2-\frac{5}{2}}=\frac{-2}{-\frac{1}{2}}=4$，切線斜率為 $-\frac{1}{4}$：

$$y+3=-\frac{1}{4}(x-2)$$

同乘 $4$ 整理得 $x+4y+10=0$。

答案 $12$。配方：$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=4$，圓心 $(1,2)$，半徑 $2$；圓的最高點 $y=4$，低於光源的 $y=5$，圓也剛好碰到 $x$ 軸於 $(1,0)$。

影子的兩端，是從 $P$ 對圓作的兩條切線與 $x$ 軸的交點。

鉛直線 $x=3$ 過 $P$，圓心到它的距離 $|1-3|=2$，等於半徑，所以 $x=3$ 是一條切線，交 $x$ 軸於 $(3,0)$。

另一條切線設為 $y-5=s(x-3)$，即 $sx-y+5-3s=0$。圓心到它的距離等於半徑：

$$\frac{|s-2+5-3s|}{\sqrt{s^2+1}}=2,(3-2s{)}^2=4(s^2+1)$$

$9-12s=4$，$s=\frac{5}{12}$。切線 $y-5=\frac{5}{12}(x-3)$，令 $y=0$：$x-3=-12$，$x=-9$。

圓在兩條切線之間，影子是 $x$ 軸上從 $-9$ 到 $3$ 的線段，長 $3-(-9)=12$。

答案 $-6<k<-2\sqrt{7}$ 或 $2\sqrt{7}<k<10$。

第一步，$C$ 要真的是圓。配方：${\left(x+\frac{k}{2}\right)}^2+(y-1{)}^2=\frac{k^2}{4}+1-8=\frac{k^2}{4}-7$，要 $\frac{k^2}{4}-7>0$，$k^2>28$，即 $k>2\sqrt{7}$ 或 $k<-2\sqrt{7}$。

第二步，與直線不相交。把 $y=x$ 代入：$2x^2+(k-2)x+8=0$ 沒有實數解，判別式小於 $0$：

$$(k-2{)}^2-64<0,-8<k-2<8,-6<k<10$$

兩個條件同時成立：$-6<k<-2\sqrt{7}$ 或 $2\sqrt{7}<k<10$。

答案 $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=81$。念能力圓以宗哥所在的 $A(2,1)$ 為圓心、最大半徑 $9$ 為半徑：

$$(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=9^2=81$$

答案：是。敵人 $B(6,9)$ 到圓心 $A(2,1)$ 的距離

$$\overline{AB}=\sqrt{(6-2{)}^2+(9-1{)}^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$$

${\overline{AB}}^2=80<81=9^2$，所以 $\overline{AB}<9$，$B$ 在圓內，敵人在念能力圓的感知範圍內。

答案 $P(0,3)$。靈彈從 $A$ 射到 $y$ 軸上的 $P$，反射後到 $B$；反射時入射角等於反射角，所以 $A$ 關於 $y$ 軸的對稱點 $A^{\prime }(-2,1)$、$P$、$B$ 三點共線（$A$、$B$ 都在 $y$ 軸右側）。

直線 $A^{\prime }B$ 的斜率 $=\frac{9-1}{6-(-2)}=1$，方程式 $y-1=x+2$，即 $y=x+3$。

與 $y$ 軸（$x=0$）的交點 $y=3$，所以 $P(0,3)$。