01 · 試題原卷 22 題，照原卷順序
多重選擇題 4 題，每題 5 分，錯一個選項扣 2 分，直到該題扣完為止，共 20 分。填充題 15 題，依答對格數給分，共 70 分：答對 1～15 格依序得 6、12、18、24、30、35、40、45、50、55、59、63、66、68、70 分。計算題 1 題 3 小題（2 分、4 分、4 分），共 10 分。本頁題號全卷連續：第 1～4 題是多重選擇題，第 5～19 題是填充題第 1～15 題，第 20～22 題是計算題的 (1)～(3)。答案已與學校公布的答案逐題核對。
一、多重選擇題（每題5分，錯一個選項扣2分，直到該題扣完為止，共20分）
1
設 f(x)=∣x−2∣，則下列敘述何者正確？- (A) f(x) 在 x=2 有定義
- (B) f(x) 在 x=2 極限存在
- (C) f(x) 在 x=2 處連續
- (D) f(x) 在 x=2 處可微分
- (E) f(x) 在 x=3 處可微分。
2
關於函數 f(x)=x4−4x3+4x2+5 在閉區間 [−1,3] 上的敘述，下列何者正確？- (A) x=−1 時有極大值 14
- (B) x=0 時有極小值 5
- (C) x=1 時有極大值 6
- (D) x=2 時有最小值 5
- (E) x=3 時有最大值 14。
3
函數 f(x)=x3−3x2 圖形的特性，下列何者正確？- (A) 遞增區間為 [2,∞)
- (B) 遞減區間為 (−∞,0]
- (C) 凹向下區間為 (−∞,1)
- (D) 凹向上區間為 (1,∞)
- (E) 反曲點為 (1,−2)。
4
設三次函數 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的圖形如下，試根據此圖形判定下列何者正確？- (A) a<0
- (B) b>0
- (C) c<0
- (D) d>0
- (E) a−b+c−d<0
二、填充題（配分如答案卷，共70分。）
5
求 y=f(x)=x3 的圖形上，以 P(−2,−8) 為切點的切線方程式為【 】。
6
若多項式函數 f(x) 滿足 f(5)=0 及 f′(5)=−15，則 h→0lim5hf(5+h)=【 】。
7
設 f(x) 為一多項式函數，若 f(3)=5，f′(3)=3，則 x→3limx−3xf(3)−3f(x)=【 】。
8
設 f(x)=31x3+21x2+2x+5，則 f′(2)+f′′(−2)=【 】。
9
設 f(x)=(2x2+x+1)(x3−1)，則 f′(−2)=【 】。
10
設 f(x)=x−3x2+2x+1，則 f′(−1)=【 】。
11
設 f(x)=(x2−x+1)3，則 f′(−1)=【 】。
12
試求過拋物線 Γ:y=x2−2x 外一點 (−1,−6) 且與 Γ 相切的切線方程式為【 】。
13
設 f(x)=x4+x+4，則 f(x) 在 x=−2 附近的一次近似為【 】。
14
求函數 f(x)=−2x3+3x2+12x+5 圖形的遞增函數區間為【 】。
15
若函數 f(x)=x3+3ax2−3(a−2)x+12 在實數集 R 上遞增，則實數 a 的範圍為【 】。
16
設函數 f(x)=−x3+6x2−12x+4，則 f(x) 的圖形上以反曲點為切點的切線方程式為【 】。
17
設函數 f(x)=−2x3+3x2+12x−6 的極大值為 M、極小值為 m，則數對 (M,m)=【 】。
18
設函數 f(x)=x3+ax2+bx+c 圖形的反曲點為 (2,5)，且 f′(1)=−1，則序列 (a,b,c)=【 】。
19
設 f(x)=x3+ax2+bx−3，若 f(x) 在 x=−4 處有極大值，在 x=2 處有極小值，則數對 (a,b)=【 】。
三、計算題（10分）
計算題（第 20～22 題） 有一 36 公分的正方形硬紙板，從四個角落各截去相同大小的小正方形，以便摺成一個無蓋的紙盒。設截去的小正方形邊長為 x 公分，紙盒的容積為 f(x) 立方公分（紙板厚度不計）。
22
(3) 當 x 為多少時，紙盒容積 f(x) 最大？又 f(x) 最大值是少？（4分）
第 1 題(A)(B)(C)(E)
第 2 題(A)(B)(C)(D)(E)
第 3 題(A)(C)(D)(E)
第 4 題(A)(C)(D)(E)
第 5 題12x−y+16=0
第 6 題−3
第 7 題−4
第 8 題5
第 9 題147
第 10 題0
第 11 題−81
第 12 題2x−y−4=0 或 10x+y+16=0
第 13 題y=−31x−44
第 14 題[−1,2]
第 15 題−2≤a≤1
第 16 題y+4=0
第 17 題(14,−13)
第 18 題(−6,8,5)
第 19 題(3,−24)
第 20 題0<x<18
第 21 題f(x)=x(36−2x)2=4x3−144x2+1296x
第 22 題x=6 時最大，最大值為 3456 立方公分
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01多重選擇題：可微分與連續、閉區間上的極值、凹向與反曲點、由圖形看係數
第 1 題答案 (A)(B)(C)(E)。f(x)=∣x−2∣ 在 x≥2 時是 x−2，在 x<2 時是 2−x。
(A) 正確。 f(2)=0，有定義。
(B) 正確。 x→2+lim(x−2)=0，x→2−lim(2−x)=0，左右極限相等，極限為 0。
(C) 正確。 極限 0 等於 f(2)=0，在 x=2 連續。
(D) 錯誤。 右導數 h→0+limh∣h∣−0=1，左導數 h→0−limh∣h∣−0=−1，不相等，f′(2) 不存在（圖形在 x=2 是尖角）。
(E) 正確。 在 x=3 附近 f(x)=x−2，f′(3)=1。
第 2 題答案 (A)(B)(C)(D)(E)。
f′(x)=4x3−12x2+8x=4x(x−1)(x−2)
臨界點 x=0、1、2。在 [−1,3] 上：−1<x<0 時 f′(x)<0，0<x<1 時 f′(x)>0，1<x<2 時 f′(x)<0，2<x<3 時 f′(x)>0。函數值：
f(−1)=14, f(0)=5, f(1)=6, f(2)=5, f(3)=14
(A) 正確。 函數只定義在 [−1,3] 上，在 −1≤x≤0 遞減，所以在 x=−1 附近（定義域內）的函數值都不超過 f(−1)=14，f(−1)=14 是極大值。
(B) 正確。 在 x=0 由遞減轉為遞增，極小值 f(0)=5。
(C) 正確。 在 x=1 由遞增轉為遞減，極大值 f(1)=6。
(D) 正確。 最小值從臨界點與端點的函數值中挑：最小是 5，在 x=0 與 x=2 都取到，所以 x=2 時有最小值 5。
(E) 正確。 最大是 14，在 x=−1 與 x=3 都取到，所以 x=3 時有最大值 14。
(A) 的判斷依「在定義域內某個鄰近範圍裡最大」的極大值意義，端點也可以是極值；若採用「極值點必須在某個開區間的內部」的說法，端點不算極值，(A) 就要判錯。本頁照學校公布的答案。
第 3 題答案 (A)(C)(D)(E)。
f′(x)=3x2−6x=3x(x−2),f′′(x)=6x−6
(A) 正確。 x≥2 時 f′(x)≥0（只在 x=2 為 0），f 在 [2,∞) 遞增。（另一段遞增區間是 (−∞,0]。）
(B) 錯誤。 0<x<2 時 f′(x)<0，遞減區間是 [0,2]；在 (−∞,0] 上 f′(x)≥0，是遞增。
(C) 正確。 x<1 時 f′′(x)<0，凹向下。
(D) 正確。 x>1 時 f′′(x)>0，凹向上。
(E) 正確。 f′′(x) 在 x=1 左右變號，f(1)=1−3=−2，反曲點為 (1,−2)。
第 4 題答案 (A)(C)(D)(E)。
(A) 正確。 圖形往左一路往上、往右一路往下（x 很大時 f(x) 很小），三次項係數 a<0。
(B) 錯誤。 f′(x)=3ax2+2bx+c。圖上的極小點與極大點都在 y 軸左邊，所以 f′(x)=0 的兩根 α、β 都是負數。兩根和 α+β=−3a2b<0，而 a<0，所以 b<0。
(C) 正確。 兩根積 αβ=3ac>0，而 a<0，所以 c<0。（也可以看 c=f′(0)：圖形在 x=0 處正往下走。）
(D) 正確。 d=f(0) 是圖形與 y 軸交點的 y 坐標，在 x 軸上方，d>0。
(E) 正確。 f(−1)=−a+b−c+d，所以 a−b+c−d=−f(−1)。圖形只在 y 軸右邊與 x 軸相交一次，極小點也在 x 軸上方，所以 x<0 時 f(x)>0，f(−1)>0，得 a−b+c−d<0。
可微分必連續，尖角處連續但不可微分；閉區間上的最大最小值要把臨界點與端點的函數值一起比。
02填充第 1～7 題：切線、由導數定義求極限、微分公式
第 5 題f′(x)=3x2，切線斜率 f′(−2)=12。切線：
y+8=12(x+2)⟺12x−y+16=0
第 6 題f(5)=0，所以
h→0lim5hf(5+h)=51h→0limhf(5+h)−f(5)=51f′(5)=5−15=−3
第 7 題f(3)=5，分子 5x−3f(x)=5(x−3)+15−3f(x)=5(x−3)−3(f(x)−f(3))。所以
x→3limx−3xf(3)−3f(x)=5−3x→3limx−3f(x)−f(3)=5−3f′(3)=5−9=−4
第 8 題f′(x)=x2+x+2，f′(2)=4+2+2=8。
f′′(x)=2x+1，f′′(−2)=−3。
所以 f′(2)+f′′(−2)=8−3=5。
第 9 題乘法公式：
f′(x)=(4x+1)(x3−1)+(2x2+x+1)⋅3x2
代 x=−2：(4x+1)(x3−1)=(−7)(−9)=63，(2x2+x+1)⋅3x2=7⋅12=84，
f′(−2)=63+84=147
第 10 題除法公式：
f′(x)=(x−3)2(2x+2)(x−3)−(x2+2x+1)⋅1
代 x=−1：2x+2=0，x2+2x+1=(x+1)2=0，分子為 0，所以 f′(−1)=160=0。
第 11 題連鎖法則：
f′(x)=3(x2−x+1)2⋅(2x−1)
代 x=−1：x2−x+1=3，2x−1=−3，f′(−1)=3⋅9⋅(−3)=−81。
看到 f(a+h) 或 f(x) 減去常數除以 x 減 a，就湊成導數的定義。
03填充第 8～15 題：過外一點的切線、一次近似、遞增、反曲點、極值
第 12 題y′=2x−2。設切點 (t,t2−2t)，切線
y=(2t−2)(x−t)+t2−2t
過 (−1,−6)：−6=(2t−2)(−1−t)+t2−2t=−(2t2−2)+t2−2t=−t2−2t+2，整理得
t2+2t−8=0⟺(t−2)(t+4)=0
t=2：切點 (2,0)、斜率 2，切線 y=2(x−2)，即 2x−y−4=0。
t=−4：切點 (−4,24)、斜率 −10，切線 y−24=−10(x+4)，即 10x+y+16=0。
兩條都要寫。
檢查：(−1,−6) 代入 2x−y−4 得 −2+6−4=0，代入 10x+y+16 得 −10−6+16=0。
第 13 題一次近似就是以 (−2,f(−2)) 為切點的切線。f(−2)=16−2+4=18，f′(x)=4x3+1，f′(−2)=−32+1=−31。
y=18−31(x+2)=−31x−44
第 14 題f′(x)=−6x2+6x+12=−6(x2−x−2)=−6(x−2)(x+1)
−1≤x≤2 時 f′(x)≥0（只在兩端為 0），所以遞增區間為 [−1,2]。
第 15 題f′(x)=3x2+6ax−3(a−2)。在實數上遞增，要 f′(x)≥0 對所有實數 x 都成立；f′(x) 是開口向上的二次式，條件是判別式 ≤0：
(6a)2−4⋅3⋅(−3(a−2))=36a2+36(a−2)=36(a+2)(a−1)≤0
得 −2≤a≤1。
判別式 =0 時 f′(x) 只在一點為 0，其他地方都是正的，函數仍在整個實數上遞增，等號要取。
第 16 題f′(x)=−3x2+12x−12，f′′(x)=−6x+12。f′′(x) 在 x=2 左右變號，反曲點的 x 坐標是 2，f(2)=−8+24−24+4=−4。
切線斜率 f′(2)=−12+24−12=0，切線是水平線 y=−4，即 y+4=0。
第 17 題f′(x)=−6x2+6x+12=−6(x−2)(x+1)
x<−1 時 f′(x)<0，−1<x<2 時 f′(x)>0，x>2 時 f′(x)<0。在 x=−1 由遞減轉為遞增，極小值 m=f(−1)=2+3−12−6=−13；在 x=2 由遞增轉為遞減，極大值 M=f(2)=−16+12+24−6=14。所以 (M,m)=(14,−13)。
第 18 題f′(x)=3x2+2ax+b，f′′(x)=6x+2a。
反曲點的 x 坐標為 2：f′′(2)=12+2a=0，a=−6。
f′(1)=3+2a+b=3−12+b=−1，b=8。
(2,5) 在圖形上：f(2)=8−24+16+c=5，c=5。所以 (a,b,c)=(−6,8,5)。
第 19 題f′(x)=3x2+2ax+b，x=−4、x=2 是 f′(x)=0 的兩根：
3x2+2ax+b=3(x+4)(x−2)=3x2+6x−24
得 a=3、b=−24。
檢查：f′(x)=3(x+4)(x−2) 在 x<−4 為正、−4<x<2 為負、x>2 為正，x=−4 是極大、x=2 是極小，與題意相符。
在實數上遞增看 f′ 的判別式（等號要取）；反曲點先用 f″ 等於 0 找 x 坐標。
04計算題：無蓋紙盒的最大容積
第 20 題截去的小正方形邊長 x 要是正數；每一邊截去兩端共 2x，紙盒底面邊長 36−2x 也要是正數：
x>0,36−2x>0
所以 0<x<18。
第 21 題摺起來後，紙盒底面是邊長 36−2x 的正方形，高為 x。容積
f(x)=x(36−2x)2=x(4x2−144x+1296)=4x3−144x2+1296x
第 22 題f′(x)=12x2−288x+1296=12(x2−24x+108)=12(x−6)(x−18)
在 0<x<18 內：0<x<6 時 f′(x)>0，6<x<18 時 f′(x)<0。函數在 x=6 由遞增轉為遞減，而且在範圍內只有這一個極值，所以 x=6 時容積最大：
f(6)=6⋅(36−12)2=6⋅576=3456
當 x=6 公分時，紙盒容積最大，最大值為 3456 立方公分。
圖上小正方形的大小是示意，不是容積最大時的大小。
應用題先寫出變數的範圍，再在範圍內看導數的正負找最大處。
同一次段考的其他學校
同樣是高三第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。
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苑裡高中 111 上 高三第二次段考數學的答案在哪裡？
本頁列出全部 22 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。
苑裡高中 111 上 高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？
多重選擇題第 2 題：函數只看閉區間，端點 x 等於負 1 的函數值也算極大值，而且最小值與最大值都各在兩處取到。填充題第 8 題（本頁第 12 題）：過拋物線外一點的切線有兩條，要都寫出來。填充題第 11 題（本頁第 15 題）：在實數上遞增的條件是導函數的判別式小於或等於 0，等號要取。多重選擇題第 4 題：要把 a 減 b 加 c 減 d 看成負的 f(負 1)，再由圖形判斷正負。詳解逐題寫在本頁。
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