段考詳解範圍：高三數學乙第三章（導數與導函數、切線方程式、函數的遞增與遞減、極值與最大最小值、凹凸性與反曲點、函數圖形）

苑裡高中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 苑裡高中 112 上 高三第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 24 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 苑裡高中 112 上 高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題要從圖形上兩個極值都在 y 軸左邊推出 b 與 c 的正負；第 9 題要看出反曲點的切線不是水平而排除 (C)；第 15、16 題的判別式要取等號；第 20 題的點不在圖形上，要先設切點，會得到兩條切線；第 23 題的端點 F 也算極大。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

多重選擇題 4 題，每題 5 分，錯一個選項扣 2 分，扣至 0 分為止，共 20 分；單一選擇題 5 題與填充題（共 15 格）合計 20 格，依答對格數給分：1～4 格每格 10 分，5～10 格依序 45、48、51、54、57、60 分，11～20 格依序 62、64、…、80 分（答案卷大題標題印共 72 分，但其對照表 20 格全對為 80 分，與試題卷的共 80 分一致）。本頁第 1～4 題是多選 1～4，第 5～9 題是單選 1～5，第 10～24 題是填充 6～18（填充 14、18 各兩格）。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多重選擇題（每題5分，錯一個選項扣2分，扣至0分為止，共20分。）

若函數

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

之圖形如圖所示，則下列哪些選項正確？

(A) $a > 0$
(B) $b < 0$
(C) $c > 0$
(D) $d < 0$
(E) $b^{2} - 3 a c > 0$

載入中...

設函數

f (x) = 2 x^{3} + a x^{2} + b x + 9

在

x = 1

及

x = 2

處均有極值，則下列選項哪些正確？

(A) $a = - 9$
(B) $b = - 12$
(C) $f (x)$ 的極小值為 $f (2)$
(D) $f (x)$ 的極大值為 $f (1)$
(E) $y = f (x)$ 的圖形與 $x$ 軸有三個相異的交點

設

f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 1

，則

f (x)

在下列哪些區間遞增。

(A) $(- \infty, 0]$
(B) $[- 1, 1]$
(C) $[0, 1]$
(D) $[0, \infty)$
(E) $[3, \infty)$

設函數

f (x)

，其

f^{'} (x) = (x + 1) (x - 2)

，下列選項哪些正確？

(A) $f (- 3) < f (- 2)$
(B) $f (- 1) < f (2)$
(C) $f^{'} (- 3) < f^{'} (2)$
(D) $f^{'} (1) < f^{'} (3)$
(E) $f^{''} (0) < f^{''} (1)$

二、單一選擇題與填充題（依答對格數給分，共80分。）

函數

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 5

的極小值為何？

(A) 不存在
(B) $5$
(C) $\frac{139}{27}$
(D) $\frac{1}{3}$
(E) $1$

下列各函數圖形中，何者

f^{'} (0)

存在？

(A) 如圖 (A)
(B) 如圖 (B)
(C) 如圖 (C)
(D) 如圖 (D)
(E) 如圖 (E)

載入中...

函數定義如下：

f (x) = {a x + b, x^{2}, x \geq 1 x < 1

；若

f (x)

在

x = 1

處可微分，則

a =

(A) $0$
(B) $1$
(C) $2$
(D) $- 1$
(E) $- 2$

若

y = f^{'} (x)

之圖形如下圖，則

y = f (x)

之圖形可能為何者？

(A) 如圖 (A)
(B) 如圖 (B)
(C) 如圖 (C)
(D) 如圖 (D)
(E) 如圖 (E)

載入中...

設

f (x)

為實係數三次多項式，如下圖所示為函數

y = f (x)

的圖形，其中

(5, f (5))

為反曲點。試問

f (x)

的導函數

f^{'} (x)

可能為下列哪一個選項？

(A) $(x - 5)^{2} - 1$
(B) $(x - 5)^{2} + 1$
(C) $(x - 5)^{2}$
(D) $- (x - 5)^{2} + 1$
(E) $- (x - 5)^{2} - 1$

載入中...

令函數

f (x) = 3 x^{2} - 1

，試求

f^{'} (4) =

【　　　】。

試求

f (x) = 4 x^{3} - 2 x^{2} + 1

的三階導函數

f^{(3)} (x) =

【　　　】。

設

f (x) = (x^{2} + 2)^{4}

，試求導函數

f^{'} (x) =

【　　　】。

設函數

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x - 3

在

x = 1

及

- 3

處有極值，則數對

(a, b) =

【　　　】。

已知

f (x) = {x^{2}, a x + b, x \geq 7 x < 7

在

x = 7

處可微分，則

(a, b) =

【　　　】。

多項式函數

f (x) = x^{4} + a x^{3} + 3 a x^{2} + 1

的圖形沒有反曲點，求實數

a

的範圍為【　　　】。

已知三次函數

f (x) = a x^{3} - 3 x^{2} + (a + 2) x - 7

沒有極值，求實數

a

的範圍為【　　　】。

試求函數

f (x) = - x^{3} + 2 x^{2} - 2 x + 11

圖形凹口向下之區間＝【　　　】。

填充第 14 題（第 18～19 題）　函數

f (x) = x^{3} + 6 x^{2} - 13

在

x

區間

[- 2, 3]

，則：

(1) 最大值為【　　　】。

(2) 最小值為【　　　】。

設函數

f (x) = - x^{2} - x + 4

，試求過函數外一點

P (- 1, 8)

的切線方程式＝【　　　】。

若函數

f (x) = a x^{2} + b x

，其圖形上以點

P (1, 3)

為切點的切線方程式為

y = 9 x - 6

，試求此函數

f (x) =

【　　　】。

已知在函數

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 5 x + 2

圖形上所有切線斜率中，試求切線斜率最小的切線方程式為【　　　】。

填充第 18 題（第 23～24 題）　設

y = f (x)

之圖形如圖，試求其：

(1) 極大值出現的點為【　　　】。

載入中...

(2) 最小值出現的點為【　　　】。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(E)

第 2 題(A)(C)(D)

第 3 題(C)(E)

第 4 題(A)(D)(E)

第 5 題(B)

第 6 題(E)

第 7 題(C)

第 8 題(D)

第 9 題(B)

第 10 題

24

第 11 題

24

第 12 題

8 x (x^{2} + 2)^{3}

第 13 題

(3, - 9)

第 14 題

(14, - 49)

第 15 題

0 \leq a \leq 8

第 16 題

a \leq - 3

或

a \geq 1

第 17 題

[\frac{2}{3}, \infty)

第 18 題

68

第 19 題

- 13

第 20 題

y = 5 x + 13

或

y = - 3 x + 5

第 21 題

6 x^{2} - 3 x

第 22 題

y = - 8 x + 1

第 23 題

B

、

F

第 24 題

E

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題：由圖形判斷係數、由極值反求係數、遞增區間、由導函數比大小

第 1 題答案 (B)(E)。

f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c

。圖形最右邊往下延伸，所以最高次項係數

a < 0

。圖形有一個極小、一個極大，兩個都在

y

軸左邊，所以

f^{'} (x) = 0

有兩個相異的負根

α

、

β

。由根與係數的關係：

α + β = - \frac{2 b}{3 a} < 0

，得

\frac{b}{a} > 0

，又

a < 0

，所以

b < 0

；

α β = \frac{c}{3 a} > 0

，得

c

與

a

同號，

c < 0

。

d = f (0)

是圖形與

y

軸交點的縱坐標，在原點上方，

d > 0

。

f^{'} (x) = 0

有兩個相異實根，判別式

(2 b)^{2} - 4 \cdot 3 a \cdot c = 4 (b^{2} - 3 a c) > 0

。(A) 錯誤。 (B) 正確。 (C) 錯誤。 (D) 錯誤。 (E) 正確。

三次函數有極大、極小，等於

f^{'} (x) = 0

有兩個相異實根，判別式寫出來就是

b^{2} - 3 a c > 0

。

第 2 題答案 (A)(C)(D)。

f^{'} (x) = 6 x^{2} + 2 a x + b

，在

x = 1

、

2

有極值，所以

1

、

2

是

f^{'} (x) = 0

的兩根，

f^{'} (x) = 6 (x - 1) (x - 2) = 6 x^{2} - 18 x + 12

，比較係數得

a = - 9

、

b = 12

。(A) 正確。 (B) 錯誤：

b = 12

。

f^{'} (x)

在

x < 1

為正、

1 < x < 2

為負、

x > 2

為正，所以

f (x)

先增、再減、再增：(C) 正確，極小值是

f (2)

；(D) 正確，極大值是

f (1)

。(E) 錯誤：

f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 9

，

f (1) = 14

，

f (2) = 16 - 36 + 24 + 9 = 13

，極大值與極小值都是正的，圖形只在

x < 1

的地方穿過

x

軸一次，只有一個交點。

第 3 題答案 (C)(E)。

f^{'} (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 x = 4 x (x^{2} - 3 x + 2) = 4 x (x - 1) (x - 2)

。列正負：

x < 0

時

f^{'} (x) < 0

；

0 < x < 1

時

f^{'} (x) > 0

；

1 < x < 2

時

f^{'} (x) < 0

；

x > 2

時

f^{'} (x) > 0

。所以

f (x)

在

[0, 1]

與

[2, \infty)

遞增，在

(- \infty, 0]

與

[1, 2]

遞減。(A) 錯誤：整段遞減。(B) 錯誤：

[- 1, 0]

這段遞減。(C) 正確。 (D) 錯誤：

[1, 2]

這段遞減。(E) 正確：

[3, \infty)

包含在

[2, \infty)

裡。

第 4 題答案 (A)(D)(E)。

f^{'} (x) = (x + 1) (x - 2)

：

x < - 1

時為正，

- 1 < x < 2

時為負，

x > 2

時為正。(A) 正確：

f (x)

在

(- \infty, - 1]

遞增，

- 3 < - 2

，所以

f (- 3) < f (- 2)

。(B) 錯誤：

f (x)

在

[- 1, 2]

遞減，所以

f (- 1) > f (2)

。(C) 錯誤：

f^{'} (- 3) = (- 2) (- 5) = 10

，

f^{'} (2) = 0

，

10 > 0

。(D) 正確：

f^{'} (1) = 2 \times (- 1) = - 2

，

f^{'} (3) = 4 \times 1 = 4

。(E) 正確：

f^{'} (x) = x^{2} - x - 2

，

f^{''} (x) = 2 x - 1

，

f^{''} (0) = - 1 < f^{''} (1) = 1

。

看圖判斷係數：右端走向定 a 的正負，極值位置用 f'(x)=0 的兩根和與兩根積，y 截距就是 d。

02單選題：極小值、由圖形判斷可微分、分段函數可微分、導函數與函數圖形的對應

第 5 題答案 (B)。

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1 = (3 x - 1) (x - 1)

。

x < \frac{1}{3}

時

f^{'} (x) > 0

，

\frac{1}{3} < x < 1

時

f^{'} (x) < 0

，

x > 1

時

f^{'} (x) > 0

，所以

x = 1

是極小值的位置，極小值

f (1) = 1 - 2 + 1 + 5 = 5

。

x = \frac{1}{3}

是極大值的位置，

f (\frac{1}{3}) = \frac{139}{27}

，是選項 (C)，別把極大值當成極小值。

第 6 題答案 (E)。

f^{'} (0)

存在，圖形在

x = 0

一定要連續，而且從左右兩邊算出的切線斜率要相同（沒有尖角）。(A) 兩條斜線在原點接成尖角，左邊斜率為負、右邊為正，左右不同，

f^{'} (0)

不存在。(B)

x = 0

是空心點，

f (0)

沒有定義，

f^{'} (0)

不存在。(C) 在

x = 0

左右兩段高度不同，圖形斷開，不連續，

f^{'} (0)

不存在。(D)

f (0)

是上方的實心點，與曲線在

x = 0

附近趨近的高度不同，不連續，

f^{'} (0)

不存在。(E) 水平線，每一點的切線斜率都是

0

，

f^{'} (0) = 0

存在。

可微分一定連續；所以先看連續，再看有沒有尖角。

第 7 題答案 (C)。可微分一定連續，所以先要

x \to 1^{-} lim x^{2} = f (1)

，即

1 = a + b

。再用導數的定義看左右兩邊：右邊

h \to 0^{+} lim \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = h \to 0^{+} lim \frac{a ( 1 + h ) + b - ( a + b )}{h} = a

；左邊

h \to 0^{-} lim \frac{( 1 + h ) ^{2} - 1}{h} = h \to 0^{-} lim (2 + h) = 2

。左右要相等，

a = 2

（此時

b = - 1

）。

左邊算的時候用

f (1) = a + b = 1

，所以分子是

(1 + h)^{2} - 1

；如果還沒確定連續就直接比斜率，條件會漏掉一半。

第 8 題答案 (D)。從

y = f^{'} (x)

的圖形讀出：

x < 0

時

f^{'} (x) < 0

，

0 < x < 2

時

f^{'} (x) > 0

，

x > 2

時

f^{'} (x) < 0

。所以

f (x)

先減、再增、再減：在

x = 0

有極小值，在

x = 2

有極大值，最右邊往下。(A) 的極大、極小在

0

與

1

之間和

1

與

2

之間，位置不對。(B) 的極小、極大也在這兩個位置，不在

0

、

2

。(C) 在

x = 0

附近是極大、在

x = 2

是極小，增減剛好相反。(D) 在

x = 0

極小、

x = 2

極大，最右邊往下，符合。(E) 的極大在

y

軸左邊、極小在

0

附近，最右邊往上，不符合。

f^{'} (x)

在

x = 1

最大，表示

f (x)

在

x = 1

上升得最快，也就是反曲點；(D) 的圖形在

x = 1

附近確實最陡。

第 9 題答案 (B)。五個選項都是頂點在

x = 5

的二次函數，與「

(5, f (5))

是反曲點」相合。從圖形看：

f (x)

一直往上升，所以

f^{'} (x) \geq 0

；而且在

(5, f (5))

的切線是往右上斜的，不是水平，所以

f^{'} (5) > 0

。(A)

f^{'} (5) = - 1 < 0

，在

x = 5

附近遞減，不合。(B)

f^{'} (x) = (x - 5)^{2} + 1 \geq 1 > 0

，處處遞增，

f^{'} (5) = 1 > 0

，符合。(C)

f^{'} (5) = 0

，在反曲點的切線是水平的，與圖形不合。(D)

x

很大時

f^{'} (x) < 0

，圖形最後會往下，不合。(E)

f^{'} (x) < 0

處處遞減，不合。

也可以看凹凸：圖形在

x = 5

左邊凹口向下、右邊凹口向上，

f^{''} (x)

由負變正，

f^{'} (x)

在

x = 5

是最小值，所以

f^{'} (x)

的圖形開口向上，只剩 (A)(B)(C) 三個。

由 f' 看 f：f' 的正負決定 f 的增減，f' 的零點是 f 的極值位置，f' 的頂點是 f 的反曲點。

03填充題：導數、高階導函數、展開後微分、由極值與可微分反求係數

第 10 題

f^{'} (x) = 6 x

，所以

f^{'} (4) = 24

。

第 11 題

f^{'} (x) = 12 x^{2} - 4 x

，

f^{''} (x) = 24 x - 4

，

f^{(3)} (x) = 24

。

三次多項式微分三次就是常數：

4 x^{3}

微三次得

4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24

。

第 12 題用二項式定理展開：

(x^{2} + 2)^{4} = x^{8} + 4 \cdot 2 x^{6} + 6 \cdot 4 x^{4} + 4 \cdot 8 x^{2} + 16 = x^{8} + 8 x^{6} + 24 x^{4} + 32 x^{2} + 16

。逐項微分：

f^{'} (x) = 8 x^{7} + 48 x^{5} + 96 x^{3} + 64 x = 8 x (x^{6} + 6 x^{4} + 12 x^{2} + 8)

。括號內正是

(x^{2} + 2)^{3} = x^{6} + 6 x^{4} + 12 x^{2} + 8

，所以

f^{'} (x) = 8 x (x^{2} + 2)^{3}

。

檢查：

x = 1

代入展開後的式子得

8 + 48 + 96 + 64 = 216

，代入

8 x (x^{2} + 2)^{3}

得

8 \times 27 = 216

，相同。

第 13 題

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b

。在

x = 1

、

- 3

有極值，所以

f^{'} (1) = 0

、

f^{'} (- 3) = 0

：

3 + 2 a + b = 0

，

27 - 6 a + b = 0

。兩式相減：

24 - 8 a = 0

，

a = 3

，

b = - 9

。檢查：

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x - 9 = 3 (x - 1) (x + 3)

，在

1

、

- 3

兩側確實變號。

(a, b) = (3, - 9)

。

第 14 題

f (7) = 7^{2} = 49

。先要連續：

x \to 7^{-} lim (a x + b) = 7 a + b = 49

。再看左右兩邊的導數：右邊

h \to 0^{+} lim \frac{( 7 + h ) ^{2} - 49}{h} = h \to 0^{+} lim (14 + h) = 14

；左邊

h \to 0^{-} lim \frac{a ( 7 + h ) + b - 49}{h} = h \to 0^{-} lim \frac{ah}{h} = a

（用了

7 a + b = 49

）。左右相等，

a = 14

，

b = 49 - 98 = - 49

。

(a, b) = (14, - 49)

。

y = 14 x - 49

正是

y = x^{2}

在

(7, 49)

的切線；分段的直線要「接上」又「同斜率」，就是拋物線的切線。

由極值反求係數：極值的位置是 f'(x)=0 的根；分段函數可微分要同時檢查連續與左右導數相等。

04填充題：沒有反曲點、沒有極值、凹口向下、閉區間上的最大與最小值

第 15 題

f^{'} (x) = 4 x^{3} + 3 a x^{2} + 6 a x

，

f^{''} (x) = 12 x^{2} + 6 a x + 6 a = 6 (2 x^{2} + a x + a)

。反曲點是

f^{''} (x)

變號的地方；沒有反曲點，就是

2 x^{2} + a x + a

不會變號，判別式

a^{2} - 8 a \leq 0

，即

a (a - 8) \leq 0

，

0 \leq a \leq 8

。

判別式等於

0

時（

a = 0

或

8

），

f^{''} (x)

只在一點等於

0

但不變號，例如

a = 8

時

f^{''} (x) = 12 (x + 2)^{2} \geq 0

，仍然沒有反曲點，所以兩端要包含。

第 16 題三次函數

a \neq = 0

。

f^{'} (x) = 3 a x^{2} - 6 x + (a + 2)

。沒有極值，就是

f^{'} (x)

不變號，判別式

36 - 12 a (a + 2) \leq 0

，即

a^{2} + 2 a - 3 \geq 0

，

(a + 3) (a - 1) \geq 0

，得

a \leq - 3

或

a \geq 1

（都滿足

a \neq = 0

）。

判別式等於

0

時

f^{'} (x)

只在一點為

0

，兩側同號，不是極值，所以等號要取。

第 17 題

f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 4 x - 2

，

f^{''} (x) = - 6 x + 4

。凹口向下就是

f^{''} (x) < 0

：

- 6 x + 4 < 0

，

x > \frac{2}{3}

。凹口向下的區間是

[\frac{2}{3}, \infty)

。

x = \frac{2}{3}

是反曲點，區間端點寫開或寫閉都表示同一段圖形；學校答案寫成閉區間。

第 18 題

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 12 x = 3 x (x + 4)

，在

[- 2, 3]

內只有

x = 0

使

f^{'} (x) = 0

（

x = - 4

不在區間內）。比較端點與這一點的函數值：

f (- 2) = - 8 + 24 - 13 = 3

，

f (0) = - 13

，

f (3) = 27 + 54 - 13 = 68

。最大值為

68

。

第 19 題沿用上一題：

f (- 2) = 3

，

f (0) = - 13

，

f (3) = 68

；

f^{'} (x)

在

[- 2, 0]

為負、在

[0, 3]

為正，

f (x)

先減後增，最小值為

f (0) = - 13

。

閉區間上的最大、最小值要把端點一起比；本題的最大值就出現在端點

x = 3

。

沒有極值看 f' 的判別式，沒有反曲點看 f'' 的判別式，等號都要取；閉區間求最大最小值，端點一定要算。

05填充題：過圖形外一點的切線、由切線反求函數、斜率最小的切線

第 20 題

f (- 1) = - 1 + 1 + 4 = 4 \neq = 8

，

P

不在圖形上，切點要另外設。設切點

(t, - t^{2} - t + 4)

，切線斜率

f^{'} (t) = - 2 t - 1

，切線為

y = (- 2 t - 1) (x - t) - t^{2} - t + 4

。切線通過

P (- 1, 8)

：

8 = (- 2 t - 1) (- 1 - t) - t^{2} - t + 4 = (2 t^{2} + 3 t + 1) - t^{2} - t + 4 = t^{2} + 2 t + 5

，得

t^{2} + 2 t - 3 = 0

，

t = 1

或

t = - 3

。

t = 1

：切點

(1, 2)

，斜率

- 3

，切線

y = - 3 x + 5

。

t = - 3

：切點

(- 3, - 2)

，斜率

5

，切線

y = 5 x + 13

。

兩條都檢查：

- 3 \times (- 1) + 5 = 8

，

5 \times (- 1) + 13 = 8

，都通過

P

。從圖形外一點可以作兩條切線。

第 21 題

P (1, 3)

在圖形上：

f (1) = a + b = 3

。切線斜率

9

等於

f^{'} (1)

：

f^{'} (x) = 2 a x + b

，

2 a + b = 9

。兩式相減得

a = 6

，

b = - 3

，

f (x) = 6 x^{2} - 3 x

。

檢查：

P (1, 3)

也在切線

y = 9 x - 6

上，

9 - 6 = 3

。

第 22 題切線斜率是

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x - 5 = 3 (x + 1)^{2} - 8

，在

x = - 1

時最小，最小斜率為

- 8

。切點

f (- 1) = - 1 + 3 + 5 + 2 = 9

，即

(- 1, 9)

。切線：

y - 9 = - 8 (x + 1)

，

y = - 8 x + 1

。

斜率最小的地方

f^{''} (x) = 6 x + 6 = 0

，正好是反曲點

x = - 1

。

切點不在已知點時，先設切點 (t, f(t))，再用切線通過已知點列方程式解 t。

06填充題：由圖形找極大值與最小值出現的點

第 23 題極大值是「在這一點附近（定義域內）的函數值都不比它大」。

B

是一段弧的最高點，左右附近都比它低，是極大。

F

是圖形最右端的端點，它左邊附近的圖形都比它低，在定義域內

F

附近沒有更高的點，也是極大。

C

、

D

兩點左右一邊高一邊低，不是極值；

A

、

E

附近的點都比它們高，是極小。所以極大值出現在

B

、

F

。

圖形兩端

A

、

F

是實心點，函數只定義在這一段閉區間上；端點只和定義域內附近的點比較，所以

F

也是極大（

A

是極小）。學校答案也把

F

算進去。

第 24 題最小值是整個圖形中最低的點。圖形中縱坐標最低的是

E

（

D

還在

E

的上方，

A

、

C

在

x

軸上方），所以最小值出現在

E

。

E

是尖角，那裡導數不存在，但仍可以是極小值與最小值；找極值不能只找導數為

0

的點。

極值看附近、最大最小值看全部；端點與導數不存在的尖角都要列入候選。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

苑裡高中 112 上高三第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 24 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 112 上高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題要從圖形上兩個極值都在 y 軸左邊推出 b 與 c 的正負；第 9 題要看出反曲點的切線不是水平而排除 (C)；第 15、16 題的判別式要取等號；第 20 題的點不在圖形上，要先設切點，會得到兩條切線；第 23 題的端點 F 也算極大。

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題目取自苑裡高中 112 學年度上學期高三第二次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：高三數學乙第三章（導數與導函數、切線方程式、函數的遞增與遞減、極值與最大最小值、凹凸性與反曲點、函數圖形）

苑裡高中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

一、多重選擇題（每題5分，錯一個選項扣2分，扣至0分為止，共20分。）

若函數

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

之圖形如圖所示，則下列哪些選項正確？

(A) $a > 0$
(B) $b < 0$
(C) $c > 0$
(D) $d < 0$
(E) $b^{2} - 3 a c > 0$

載入中...

設函數

f (x) = 2 x^{3} + a x^{2} + b x + 9

在

x = 1

及

x = 2

處均有極值，則下列選項哪些正確？

(A) $a = - 9$
(B) $b = - 12$
(C) $f (x)$ 的極小值為 $f (2)$
(D) $f (x)$ 的極大值為 $f (1)$
(E) $y = f (x)$ 的圖形與 $x$ 軸有三個相異的交點

設

f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 1

，則

f (x)

在下列哪些區間遞增。

(A) $(- \infty, 0]$
(B) $[- 1, 1]$
(C) $[0, 1]$
(D) $[0, \infty)$
(E) $[3, \infty)$

設函數

f (x)

，其

f^{'} (x) = (x + 1) (x - 2)

，下列選項哪些正確？

(A) $f (- 3) < f (- 2)$
(B) $f (- 1) < f (2)$
(C) $f^{'} (- 3) < f^{'} (2)$
(D) $f^{'} (1) < f^{'} (3)$
(E) $f^{''} (0) < f^{''} (1)$

二、單一選擇題與填充題（依答對格數給分，共80分。）

函數

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 5

的極小值為何？

(A) 不存在
(B) $5$
(C) $\frac{139}{27}$
(D) $\frac{1}{3}$
(E) $1$

下列各函數圖形中，何者

f^{'} (0)

存在？

(A) 如圖 (A)
(B) 如圖 (B)
(C) 如圖 (C)
(D) 如圖 (D)
(E) 如圖 (E)

載入中...

函數定義如下：

f (x) = {a x + b, x^{2}, x \geq 1 x < 1

；若

f (x)

在

x = 1

處可微分，則

a =

(A) $0$
(B) $1$
(C) $2$
(D) $- 1$
(E) $- 2$

若

y = f^{'} (x)

之圖形如下圖，則

y = f (x)

之圖形可能為何者？

(A) 如圖 (A)
(B) 如圖 (B)
(C) 如圖 (C)
(D) 如圖 (D)
(E) 如圖 (E)

載入中...

設

f (x)

為實係數三次多項式，如下圖所示為函數

y = f (x)

的圖形，其中

(5, f (5))

為反曲點。試問

f (x)

的導函數

f^{'} (x)

可能為下列哪一個選項？

(A) $(x - 5)^{2} - 1$
(B) $(x - 5)^{2} + 1$
(C) $(x - 5)^{2}$
(D) $- (x - 5)^{2} + 1$
(E) $- (x - 5)^{2} - 1$

載入中...

令函數

f (x) = 3 x^{2} - 1

，試求

f^{'} (4) =

【　　　】。

試求

f (x) = 4 x^{3} - 2 x^{2} + 1

的三階導函數

f^{(3)} (x) =

【　　　】。

設

f (x) = (x^{2} + 2)^{4}

，試求導函數

f^{'} (x) =

【　　　】。

設函數

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x - 3

在

x = 1

及

- 3

處有極值，則數對

(a, b) =

【　　　】。

已知

f (x) = {x^{2}, a x + b, x \geq 7 x < 7

在

x = 7

處可微分，則

(a, b) =

【　　　】。

多項式函數

f (x) = x^{4} + a x^{3} + 3 a x^{2} + 1

的圖形沒有反曲點，求實數

a

的範圍為【　　　】。

已知三次函數

f (x) = a x^{3} - 3 x^{2} + (a + 2) x - 7

沒有極值，求實數

a

的範圍為【　　　】。

試求函數

f (x) = - x^{3} + 2 x^{2} - 2 x + 11

圖形凹口向下之區間＝【　　　】。

填充第 14 題（第 18～19 題）　函數

f (x) = x^{3} + 6 x^{2} - 13

在

x

區間

[- 2, 3]

，則：

(1) 最大值為【　　　】。

(2) 最小值為【　　　】。

設函數

f (x) = - x^{2} - x + 4

，試求過函數外一點

P (- 1, 8)

的切線方程式＝【　　　】。

若函數

f (x) = a x^{2} + b x

，其圖形上以點

P (1, 3)

為切點的切線方程式為

y = 9 x - 6

，試求此函數

f (x) =

【　　　】。

已知在函數

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 5 x + 2

圖形上所有切線斜率中，試求切線斜率最小的切線方程式為【　　　】。

填充第 18 題（第 23～24 題）　設

y = f (x)

之圖形如圖，試求其：

(1) 極大值出現的點為【　　　】。

載入中...

(2) 最小值出現的點為【　　　】。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(E)

第 2 題(A)(C)(D)

第 3 題(C)(E)

第 4 題(A)(D)(E)

第 5 題(B)

第 6 題(E)

第 7 題(C)

第 8 題(D)

第 9 題(B)

第 10 題

24

第 11 題

24

第 12 題

8 x (x^{2} + 2)^{3}

第 13 題

(3, - 9)

第 14 題

(14, - 49)

第 15 題

0 \leq a \leq 8

第 16 題

a \leq - 3

或

a \geq 1

第 17 題

[\frac{2}{3}, \infty)

第 18 題

68

第 19 題

- 13

第 20 題

y = 5 x + 13

或

y = - 3 x + 5

第 21 題

6 x^{2} - 3 x

第 22 題

y = - 8 x + 1

第 23 題

B

、

F

第 24 題

E

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題：由圖形判斷係數、由極值反求係數、遞增區間、由導函數比大小

第 1 題答案 (B)(E)。

f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c

。圖形最右邊往下延伸，所以最高次項係數

a < 0

。圖形有一個極小、一個極大，兩個都在

y

軸左邊，所以

f^{'} (x) = 0

有兩個相異的負根

α

、

β

。由根與係數的關係：

α + β = - \frac{2 b}{3 a} < 0

，得

\frac{b}{a} > 0

，又

a < 0

，所以

b < 0

；

α β = \frac{c}{3 a} > 0

，得

c

與

a

同號，

c < 0

。

d = f (0)

是圖形與

y

軸交點的縱坐標，在原點上方，

d > 0

。

f^{'} (x) = 0

有兩個相異實根，判別式

(2 b)^{2} - 4 \cdot 3 a \cdot c = 4 (b^{2} - 3 a c) > 0

。(A) 錯誤。 (B) 正確。 (C) 錯誤。 (D) 錯誤。 (E) 正確。

三次函數有極大、極小，等於

f^{'} (x) = 0

有兩個相異實根，判別式寫出來就是

b^{2} - 3 a c > 0

。

第 2 題答案 (A)(C)(D)。

f^{'} (x) = 6 x^{2} + 2 a x + b

，在

x = 1

、

2

有極值，所以

1

、

2

是

f^{'} (x) = 0

的兩根，

f^{'} (x) = 6 (x - 1) (x - 2) = 6 x^{2} - 18 x + 12

，比較係數得

a = - 9

、

b = 12

。(A) 正確。 (B) 錯誤：

b = 12

。

f^{'} (x)

在

x < 1

為正、

1 < x < 2

為負、

x > 2

為正，所以

f (x)

先增、再減、再增：(C) 正確，極小值是

f (2)

；(D) 正確，極大值是

f (1)

。(E) 錯誤：

f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 9

，

f (1) = 14

，

f (2) = 16 - 36 + 24 + 9 = 13

，極大值與極小值都是正的，圖形只在

x < 1

的地方穿過

x

軸一次，只有一個交點。

第 3 題答案 (C)(E)。

f^{'} (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 x = 4 x (x^{2} - 3 x + 2) = 4 x (x - 1) (x - 2)

。列正負：

x < 0

時

f^{'} (x) < 0

；

0 < x < 1

時

f^{'} (x) > 0

；

1 < x < 2

時

f^{'} (x) < 0

；

x > 2

時

f^{'} (x) > 0

。所以

f (x)

在

[0, 1]

與

[2, \infty)

遞增，在

(- \infty, 0]

與

[1, 2]

遞減。(A) 錯誤：整段遞減。(B) 錯誤：

[- 1, 0]

這段遞減。(C) 正確。 (D) 錯誤：

[1, 2]

這段遞減。(E) 正確：

[3, \infty)

包含在

[2, \infty)

裡。

第 4 題答案 (A)(D)(E)。

f^{'} (x) = (x + 1) (x - 2)

：

x < - 1

時為正，

- 1 < x < 2

時為負，

x > 2

時為正。(A) 正確：

f (x)

在

(- \infty, - 1]

遞增，

- 3 < - 2

，所以

f (- 3) < f (- 2)

。(B) 錯誤：

f (x)

在

[- 1, 2]

遞減，所以

f (- 1) > f (2)

。(C) 錯誤：

f^{'} (- 3) = (- 2) (- 5) = 10

，

f^{'} (2) = 0

，

10 > 0

。(D) 正確：

f^{'} (1) = 2 \times (- 1) = - 2

，

f^{'} (3) = 4 \times 1 = 4

。(E) 正確：

f^{'} (x) = x^{2} - x - 2

，

f^{''} (x) = 2 x - 1

，

f^{''} (0) = - 1 < f^{''} (1) = 1

。

看圖判斷係數：右端走向定 a 的正負，極值位置用 f'(x)=0 的兩根和與兩根積，y 截距就是 d。

02單選題：極小值、由圖形判斷可微分、分段函數可微分、導函數與函數圖形的對應

第 5 題答案 (B)。

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1 = (3 x - 1) (x - 1)

。

x < \frac{1}{3}

時

f^{'} (x) > 0

，

\frac{1}{3} < x < 1

時

f^{'} (x) < 0

，

x > 1

時

f^{'} (x) > 0

，所以

x = 1

是極小值的位置，極小值

f (1) = 1 - 2 + 1 + 5 = 5

。

x = \frac{1}{3}

是極大值的位置，

f (\frac{1}{3}) = \frac{139}{27}

，是選項 (C)，別把極大值當成極小值。

第 6 題答案 (E)。

f^{'} (0)

存在，圖形在

x = 0

一定要連續，而且從左右兩邊算出的切線斜率要相同（沒有尖角）。(A) 兩條斜線在原點接成尖角，左邊斜率為負、右邊為正，左右不同，

f^{'} (0)

不存在。(B)

x = 0

是空心點，

f (0)

沒有定義，

f^{'} (0)

不存在。(C) 在

x = 0

左右兩段高度不同，圖形斷開，不連續，

f^{'} (0)

不存在。(D)

f (0)

是上方的實心點，與曲線在

x = 0

附近趨近的高度不同，不連續，

f^{'} (0)

不存在。(E) 水平線，每一點的切線斜率都是

0

，

f^{'} (0) = 0

存在。

可微分一定連續；所以先看連續，再看有沒有尖角。

第 7 題答案 (C)。可微分一定連續，所以先要

x \to 1^{-} lim x^{2} = f (1)

，即

1 = a + b

。再用導數的定義看左右兩邊：右邊

h \to 0^{+} lim \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = h \to 0^{+} lim \frac{a ( 1 + h ) + b - ( a + b )}{h} = a

；左邊

h \to 0^{-} lim \frac{( 1 + h ) ^{2} - 1}{h} = h \to 0^{-} lim (2 + h) = 2

。左右要相等，

a = 2

（此時

b = - 1

）。

左邊算的時候用

f (1) = a + b = 1

，所以分子是

(1 + h)^{2} - 1

；如果還沒確定連續就直接比斜率，條件會漏掉一半。

第 8 題答案 (D)。從

y = f^{'} (x)

的圖形讀出：

x < 0

時

f^{'} (x) < 0

，

0 < x < 2

時

f^{'} (x) > 0

，

x > 2

時

f^{'} (x) < 0

。所以

f (x)

先減、再增、再減：在

x = 0

有極小值，在

x = 2

有極大值，最右邊往下。(A) 的極大、極小在

0

與

1

之間和

1

與

2

之間，位置不對。(B) 的極小、極大也在這兩個位置，不在

0

、

2

。(C) 在

x = 0

附近是極大、在

x = 2

是極小，增減剛好相反。(D) 在

x = 0

極小、

x = 2

極大，最右邊往下，符合。(E) 的極大在

y

軸左邊、極小在

0

附近，最右邊往上，不符合。

f^{'} (x)

在

x = 1

最大，表示

f (x)

在

x = 1

上升得最快，也就是反曲點；(D) 的圖形在

x = 1

附近確實最陡。

第 9 題答案 (B)。五個選項都是頂點在

x = 5

的二次函數，與「

(5, f (5))

是反曲點」相合。從圖形看：

f (x)

一直往上升，所以

f^{'} (x) \geq 0

；而且在

(5, f (5))

的切線是往右上斜的，不是水平，所以

f^{'} (5) > 0

。(A)

f^{'} (5) = - 1 < 0

，在

x = 5

附近遞減，不合。(B)

f^{'} (x) = (x - 5)^{2} + 1 \geq 1 > 0

，處處遞增，

f^{'} (5) = 1 > 0

，符合。(C)

f^{'} (5) = 0

，在反曲點的切線是水平的，與圖形不合。(D)

x

很大時

f^{'} (x) < 0

，圖形最後會往下，不合。(E)

f^{'} (x) < 0

處處遞減，不合。

也可以看凹凸：圖形在

x = 5

左邊凹口向下、右邊凹口向上，

f^{''} (x)

由負變正，

f^{'} (x)

在

x = 5

是最小值，所以

f^{'} (x)

的圖形開口向上，只剩 (A)(B)(C) 三個。

由 f' 看 f：f' 的正負決定 f 的增減，f' 的零點是 f 的極值位置，f' 的頂點是 f 的反曲點。

03填充題：導數、高階導函數、展開後微分、由極值與可微分反求係數

第 10 題

f^{'} (x) = 6 x

，所以

f^{'} (4) = 24

。

第 11 題

f^{'} (x) = 12 x^{2} - 4 x

，

f^{''} (x) = 24 x - 4

，

f^{(3)} (x) = 24

。

三次多項式微分三次就是常數：

4 x^{3}

微三次得

4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24

。

第 12 題用二項式定理展開：

(x^{2} + 2)^{4} = x^{8} + 4 \cdot 2 x^{6} + 6 \cdot 4 x^{4} + 4 \cdot 8 x^{2} + 16 = x^{8} + 8 x^{6} + 24 x^{4} + 32 x^{2} + 16

。逐項微分：

f^{'} (x) = 8 x^{7} + 48 x^{5} + 96 x^{3} + 64 x = 8 x (x^{6} + 6 x^{4} + 12 x^{2} + 8)

。括號內正是

(x^{2} + 2)^{3} = x^{6} + 6 x^{4} + 12 x^{2} + 8

，所以

f^{'} (x) = 8 x (x^{2} + 2)^{3}

。

檢查：

x = 1

代入展開後的式子得

8 + 48 + 96 + 64 = 216

，代入

8 x (x^{2} + 2)^{3}

得

8 \times 27 = 216

，相同。

第 13 題

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b

。在

x = 1

、

- 3

有極值，所以

f^{'} (1) = 0

、

f^{'} (- 3) = 0

：

3 + 2 a + b = 0

，

27 - 6 a + b = 0

。兩式相減：

24 - 8 a = 0

，

a = 3

，

b = - 9

。檢查：

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x - 9 = 3 (x - 1) (x + 3)

，在

1

、

- 3

兩側確實變號。

(a, b) = (3, - 9)

。

第 14 題

f (7) = 7^{2} = 49

。先要連續：

x \to 7^{-} lim (a x + b) = 7 a + b = 49

。再看左右兩邊的導數：右邊

h \to 0^{+} lim \frac{( 7 + h ) ^{2} - 49}{h} = h \to 0^{+} lim (14 + h) = 14

；左邊

h \to 0^{-} lim \frac{a ( 7 + h ) + b - 49}{h} = h \to 0^{-} lim \frac{ah}{h} = a

（用了

7 a + b = 49

）。左右相等，

a = 14

，

b = 49 - 98 = - 49

。

(a, b) = (14, - 49)

。

y = 14 x - 49

正是

y = x^{2}

在

(7, 49)

的切線；分段的直線要「接上」又「同斜率」，就是拋物線的切線。

由極值反求係數：極值的位置是 f'(x)=0 的根；分段函數可微分要同時檢查連續與左右導數相等。

04填充題：沒有反曲點、沒有極值、凹口向下、閉區間上的最大與最小值

第 15 題

f^{'} (x) = 4 x^{3} + 3 a x^{2} + 6 a x

，

f^{''} (x) = 12 x^{2} + 6 a x + 6 a = 6 (2 x^{2} + a x + a)

。反曲點是

f^{''} (x)

變號的地方；沒有反曲點，就是

2 x^{2} + a x + a

不會變號，判別式

a^{2} - 8 a \leq 0

，即

a (a - 8) \leq 0

，

0 \leq a \leq 8

。

判別式等於

0

時（

a = 0

或

8

），

f^{''} (x)

只在一點等於

0

但不變號，例如

a = 8

時

f^{''} (x) = 12 (x + 2)^{2} \geq 0

，仍然沒有反曲點，所以兩端要包含。

第 16 題三次函數

a \neq = 0

。

f^{'} (x) = 3 a x^{2} - 6 x + (a + 2)

。沒有極值，就是

f^{'} (x)

不變號，判別式

36 - 12 a (a + 2) \leq 0

，即

a^{2} + 2 a - 3 \geq 0

，

(a + 3) (a - 1) \geq 0

，得

a \leq - 3

或

a \geq 1

（都滿足

a \neq = 0

）。

判別式等於

0

時

f^{'} (x)

只在一點為

0

，兩側同號，不是極值，所以等號要取。

第 17 題

f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 4 x - 2

，

f^{''} (x) = - 6 x + 4

。凹口向下就是

f^{''} (x) < 0

：

- 6 x + 4 < 0

，

x > \frac{2}{3}

。凹口向下的區間是

[\frac{2}{3}, \infty)

。

x = \frac{2}{3}

是反曲點，區間端點寫開或寫閉都表示同一段圖形；學校答案寫成閉區間。

第 18 題

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 12 x = 3 x (x + 4)

，在

[- 2, 3]

內只有

x = 0

使

f^{'} (x) = 0

（

x = - 4

不在區間內）。比較端點與這一點的函數值：

f (- 2) = - 8 + 24 - 13 = 3

，

f (0) = - 13

，

f (3) = 27 + 54 - 13 = 68

。最大值為

68

。

第 19 題沿用上一題：

f (- 2) = 3

，

f (0) = - 13

，

f (3) = 68

；

f^{'} (x)

在

[- 2, 0]

為負、在

[0, 3]

為正，

f (x)

先減後增，最小值為

f (0) = - 13

。

閉區間上的最大、最小值要把端點一起比；本題的最大值就出現在端點

x = 3

。

沒有極值看 f' 的判別式，沒有反曲點看 f'' 的判別式，等號都要取；閉區間求最大最小值，端點一定要算。

05填充題：過圖形外一點的切線、由切線反求函數、斜率最小的切線

第 20 題

f (- 1) = - 1 + 1 + 4 = 4 \neq = 8

，

P

不在圖形上，切點要另外設。設切點

(t, - t^{2} - t + 4)

，切線斜率

f^{'} (t) = - 2 t - 1

，切線為

y = (- 2 t - 1) (x - t) - t^{2} - t + 4

。切線通過

P (- 1, 8)

：

8 = (- 2 t - 1) (- 1 - t) - t^{2} - t + 4 = (2 t^{2} + 3 t + 1) - t^{2} - t + 4 = t^{2} + 2 t + 5

，得

t^{2} + 2 t - 3 = 0

，

t = 1

或

t = - 3

。

t = 1

：切點

(1, 2)

，斜率

- 3

，切線

y = - 3 x + 5

。

t = - 3

：切點

(- 3, - 2)

，斜率

5

，切線

y = 5 x + 13

。

兩條都檢查：

- 3 \times (- 1) + 5 = 8

，

5 \times (- 1) + 13 = 8

，都通過

P

。從圖形外一點可以作兩條切線。

第 21 題

P (1, 3)

在圖形上：

f (1) = a + b = 3

。切線斜率

9

等於

f^{'} (1)

：

f^{'} (x) = 2 a x + b

，

2 a + b = 9

。兩式相減得

a = 6

，

b = - 3

，

f (x) = 6 x^{2} - 3 x

。

檢查：

P (1, 3)

也在切線

y = 9 x - 6

上，

9 - 6 = 3

。

第 22 題切線斜率是

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x - 5 = 3 (x + 1)^{2} - 8

，在

x = - 1

時最小，最小斜率為

- 8

。切點

f (- 1) = - 1 + 3 + 5 + 2 = 9

，即

(- 1, 9)

。切線：

y - 9 = - 8 (x + 1)

，

y = - 8 x + 1

。

斜率最小的地方

f^{''} (x) = 6 x + 6 = 0

，正好是反曲點

x = - 1

。

切點不在已知點時，先設切點 (t, f(t))，再用切線通過已知點列方程式解 t。

06填充題：由圖形找極大值與最小值出現的點

第 23 題極大值是「在這一點附近（定義域內）的函數值都不比它大」。

B

是一段弧的最高點，左右附近都比它低，是極大。

F

是圖形最右端的端點，它左邊附近的圖形都比它低，在定義域內

F

附近沒有更高的點，也是極大。

C

、

D

兩點左右一邊高一邊低，不是極值；

A

、

E

附近的點都比它們高，是極小。所以極大值出現在

B

、

F

。

圖形兩端

A

、

F

是實心點，函數只定義在這一段閉區間上；端點只和定義域內附近的點比較，所以

F

也是極大（

A

是極小）。學校答案也把

F

算進去。

第 24 題最小值是整個圖形中最低的點。圖形中縱坐標最低的是

E

（

D

還在

E

的上方，

A

、

C

在

x

軸上方），所以最小值出現在

E

。

E

是尖角，那裡導數不存在，但仍可以是極小值與最小值；找極值不能只找導數為

0

的點。

極值看附近、最大最小值看全部；端點與導數不存在的尖角都要列入候選。

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