段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角公式、正餘弦的疊合）、指數函數

苑裡高中 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

多選題 4 題，每題 5 分，每錯一個選項扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 20 分；單選與填充題 20 題（卷面第 1～5 題是單選、第 6～20 題是填充），依答對題數給分，共 80 分：答對 1～20 題依序得 7、14、20、26、31、36、41、46、50、54、58、61、64、67、70、72、74、76、78、80 分。卷面兩個大題各自從 1 編號，本頁全卷連續編號：多選第 1～4 題為本頁第 1～4 題，單選與填充第 1～20 題為本頁第 5～24 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，其中 1 題（本頁第 16 題）學校答案的右端點與題目給的範圍不合，本頁照學校答案並加註。

一、多選題（每題 5 分，每錯一個選項扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 20 分。）

如圖，

△ A B C

與

△ E C D

為直角三角形，且

B

，

C

，

D

三點共線，若

\overline{A B} = 1

，

\overline{B C} = 2

，

\overline{C D} = 2

，

\overline{D E} = 3

，

∠ A C B = α

，

∠ E C D = β

，下列選項哪些正確？

(A) $tan α = \frac{1}{2}$ ， $tan β = \frac{3}{2}$
(B) $tan (α + β) = 8$
(C) $tan ∠ A C E = 8$
(D) $sin ∠ A C E = \frac{1}{8}$
(E) $△ A C E$ 的面積 $= 4$

載入中...

下列哪些函數的圖形與

x + y = 0

恰有一交點？

(A) $y = 2^{x}$
(B) $y = - 2^{x}$
(C) $y = 2^{- ∣ x ∣}$
(D) $y = 2^{∣ x ∣}$
(E) $y = 2^{x - 2}$

將函數

y = 7 cos x - 24 sin x

化為

y = A cos (x - θ)

的型式，其中

A > 0

且

0 < θ < 2 π

；下列選項哪些正確？

(A) 振幅是 $50$
(B) $sin θ = \frac{24}{25}$
(C) 最小值為 $- 25$
(D) 當 $x = θ + π$ 時有最小值
(E) 函數線對稱於 $(θ + \frac{3 π}{2}, 0)$

若

sin θ > 0

，則下列選項哪些正確？

(A) $cos 2 θ > 0$
(B) $sin^{2} \frac{θ}{2} > 0$
(C) $cos \frac{θ}{2} > 0$
(D) $tan \frac{θ}{2} > 0$
(E) $tan θ > 0$

二、單選與填充題（依照答案卷上標註題數給分，共 80 分）

將

- 24 0^{\circ}

化為弧度應為何？

(A) $\frac{4 π}{3}$ 弳
(B) $- \frac{4 π}{3}$ 弳
(C) $\frac{3 π}{4}$ 弳
(D) $- \frac{3 π}{4}$ 弳
(E) $- \frac{5 π}{6}$ 弳

下列哪個三角函數的值為正數？

(A) $sin 4$
(B) $cos 4$
(C) $sin 1$
(D) $cos 60$
(E) $tan 5$

對任意實數而言，

3^{- x^{2} + 2 x + 3}

的最大值為何？

(A) $1$
(B) $3$
(C) $9$
(D) $27$
(E) $81$

設

a > 0

，指數函數

f (x) = a^{x}

的概圖如圖，試問

a

最有可能是下列哪一個數？

(A) $\frac{1}{4}$
(B) $\frac{1}{2}$
(C) $\frac{2}{3}$
(D) $2$
(E) $3$

載入中...

下列各函數圖形中，何者週期最小？

(A) $y = 2 sin x$
(B) $y = sin x + 2$
(C) $y = sin (x + 2)$
(D) $y = sin 2 x$
(E) $y = sin x + ∣ sin x ∣$

試求

3 tan 2 4^{\circ} tan 3 6^{\circ} + tan 2 4^{\circ} + tan 3 6^{\circ} =

____。

設函數

f (x) = (1 + 3 tan x) cos x

且

0 \leq x < \frac{π}{2}

，則

f (x)

的最小值為 ____。

時鐘在

2

點

50

分時，時針與分針所夾的較小的夾角為 ____ 弧度。

已知

tan A = 2

，

tan B = 3

，求

\frac{cos ( A + B )}{sin ( A - B )}

的值為 ____。

設

y = 4 sin x - 23 sin (x - \frac{π}{6})

，

- π \leq x \leq π

，若當

x = m

時，

y

有最小值

n

，則數對

(m, n)

為 ____。

如右圖，直線

L

與

x

軸的角平分線有一條斜率為

\frac{1}{2}

，若

L

的斜率為正，試求

L

的斜率為 ____。

載入中...

設

0 \leq x < 2 π

，則不等式

cos x \geq \frac{3}{2}

之解為 ____。

如下圖，

A B C D

為正方形，邊長為

2

，四個等圓的圓心分別為

A

，

B

，

C

，

D

，則陰影部分之面積為 ____。

載入中...

如右圖，若已知扇形

O A D

的半徑及正方形

O A B C

的邊長都是

3

，且

A D

弧長等於

6

，試求扇形

O C D

及正方形

O A B C

的白色區域面積為 ____。

載入中...

方程式

6 sin x - x = 0

的實數解有 ____ 個。

已知一繩索的長度為

60

，用此繩圍成的扇形面積最大值為 ____。

將魚從冷凍庫取出，放在

2 5^{\circ} C

的室溫下解凍，放置

x

小時後魚的溫度為

f (x) = 25 - 32 a^{x}

攝氏度，其中

a

是常數。根據經驗，魚在解凍

1

小時後的溫度為

9^{\circ} C

。問：解凍

6

小時後，魚的溫度為 ____ 度。

如圖為彈簧長度

y

（公分）與隨時間

t

（秒）變化的函數

f (t) = a sin (b t + c)

所繪出的部分函數圖形，其中

a

，

b > 0

，

0 \leq c < π

，則序組

(a, b, c) =

____。

載入中...

已知四個函數

y = 3^{x}

，

y = (3)^{x}

，

y = 3^{- 0.5 x}

，

y = 3^{- x}

的圖形如圖，則序組

(a, b, c, d) =

____。

載入中...

有一半徑為

1

公尺的水車，水車圓心

O

點距離水面

50

公分，水車為順時針旋轉，以

O

點為原點建立坐標系，最高點

A

點位於

y

軸正向，最右點

B

點位於

x

軸正向。車輪上有一點

P

，在時間

t

秒時，其高度

y

公尺可用函數

y = sin (- \frac{π}{45} t)

來描述，其中

t \geq 0

，試問從

P

點出發後，最快經過 ____ 秒可到達最高點

A

處？（本站說明：原卷附圖把

P

點畫在水車右側輪緣與水面相交的位置）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(B)(E)

第 2 題(A)(C)(E)

第 3 題(C)(D)（選項 (E) 卷面寫的是線對稱，圖形對那個點是點對稱而不是線對稱，故不選，見詳解）

第 4 題(B)(D)

第 5 題(B)

第 6 題(C)

第 7 題(E)

第 8 題(A)

第 9 題(D)

第 10 題

3

第 11 題

1

第 12 題

\frac{29 π}{36}

第 13 題

5

第 14 題

(- \frac{5 π}{6}, - 2)

第 15 題

\frac{4}{3}

第 16 題

0 \leq x \leq \frac{π}{6}

或

\frac{11 π}{6} \leq x \leq 2 π

（照學校公布的答案；題目限定

x < 2 π

，嚴格來說右端應寫成

x < 2 π

，見詳解）

第 17 題

4 + (22 - 4) π

第 18 題

18 - \frac{9}{2} π

第 19 題

3

第 20 題

225

第 21 題

24.5

第 22 題

(10, 75 π, \frac{π}{4})

第 23 題

(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 3, 3)

第 24 題

60

（照學校公布的答案，從附圖

P

的位置起算；若從

t = 0

起算是

67.5

，見詳解）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題：正切和角、指數圖形的交點、疊合成餘弦、半角的象限

第 1 題答案 (A)(B)(E)。直角在

B

與

D

。(A) 對：

tan α = \frac{A B}{B C} = \frac{1}{2}

，

tan β = \frac{D E}{C D} = \frac{3}{2}

。(B) 對：

tan (α + β) = \frac{tan α + tan β}{1 - tan α tan β} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{2}{\frac{1}{4}} = 8

。(C) 錯：

B

、

C

、

D

共線，所以

∠ A C E = 18 0^{\circ} - (α + β)

，

tan ∠ A C E = - tan (α + β) = - 8

。(D) 錯：

sin ∠ A C E = sin (α + β)

。由

\overline{A C} = 5

、

\overline{C E} = 13

得

sin α = \frac{1}{5}

、

cos α = \frac{2}{5}

、

sin β = \frac{3}{13}

、

cos β = \frac{2}{13}

，所以

sin (α + β) = \frac{1 \times 2 + 2 \times 3}{5 13} = \frac{8}{65}

，不是

\frac{1}{8}

。(E) 對：梯形

A B D E

的面積是

\frac{( 1 + 3 ) \times 4}{2} = 8

，扣掉

△ A B C

的

1

與

△ E C D

的

3

，

△ A C E

的面積

= 8 - 1 - 3 = 4

。

(E) 也可以用

\frac{1}{2} \cdot \overline{A C} \cdot \overline{C E} \cdot sin ∠ A C E = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 13 \cdot \frac{8}{65} = 4

檢查。(C) 的

∠ A C E

是鈍角，正切為負。

第 2 題答案 (A)(C)(E)。直線是

y = - x

，由左上往右下遞減。(A) 對：

y = 2^{x}

遞增。

x = - 1

時

2^{- 1} = \frac{1}{2} < 1

，曲線在直線下方；

x = 0

時

1 > 0

，曲線在直線上方，所以中間有交點；一個遞增、一個遞減，交點只有一個。(B) 錯：

- 2^{x} < 0

，交點只可能在直線

y = - x < 0

的地方，也就是

x > 0

；這時要

2^{x} = x

，但

x > 0

時

y = 2^{x}

的圖形都在

y = x

的上方，沒有交點。(C) 對：

2^{- ∣ x ∣} > 0

，交點只可能在

x < 0

；這時

y = 2^{- ∣ x ∣} = 2^{x}

，和 (A) 一樣恰有一個交點（(A) 的交點也在

- 1 < x < 0

）。(D) 錯：同樣只看

x < 0

，這時

y = 2^{- x}

，令

u = - x > 0

，要

2^{u} = u

，沒有解。(E) 對：

y = 2^{x - 2}

遞增。

x = - 1

時

2^{- 3} = \frac{1}{8} < 1

，

x = 0

時

2^{- 2} = \frac{1}{4} > 0

，中間有一個交點，而且只有一個。

畫圖最快：

y = 2^{∣ x ∣}

是把

y = 2^{x}

右半邊對

y

軸翻過去，最低點

(0, 1)

，整條都在

y = ∣ x ∣

的上方，碰不到

y = - x

。

第 3 題答案 (C)(D)。

7^{2} + 2 4^{2} = 25

，所以

y = 25 (\frac{7}{25} cos x - \frac{24}{25} sin x)

。和

25 cos (x - θ) = 25 (cos x cos θ + sin x sin θ)

比較，得

A = 25

，

cos θ = \frac{7}{25}

，

sin θ = - \frac{24}{25}

（

θ

在第四象限）。(A) 錯：振幅是

25

。(B) 錯：

sin θ = - \frac{24}{25}

。(C) 對：

cos (x - θ)

最小是

- 1

，

y

最小值

- 25

。(D) 對：

x = θ + π

時

cos (x - θ) = cos π = - 1

。(E) 錯：

x = θ + \frac{3 π}{2}

時

y = 25 cos \frac{3 π}{2} = 0

，這是圖形與

x

軸的交點，圖形對這個點是點對稱；線對稱的對稱軸要通過最高點或最低點（例如

x = θ

、

x = θ + π

），直線

x = θ + \frac{3 π}{2}

不是對稱軸。

(E) 卷面的用字是「線對稱於」後面接一個點的坐標。學校答案不選 (E)，是照「線對稱」來判斷。如果把它讀成「圖形對稱於點

(θ + \frac{3 π}{2}, 0)

」（點對稱），這句話是成立的。

第 4 題答案 (B)(D)。

sin θ > 0

表示

2 k π < θ < 2 k π + π

（

k

為整數），所以

k π < \frac{θ}{2} < k π + \frac{π}{2}

：

\frac{θ}{2}

在第一象限（

k

為偶數）或第三象限（

k

為奇數）。(A) 錯：取

θ = \frac{π}{2}

，

cos 2 θ = cos π = - 1

。(B) 對：

\frac{θ}{2}

不在坐標軸上，

sin \frac{θ}{2} \neq = 0

，平方後為正。(C) 錯：

\frac{θ}{2}

在第三象限時餘弦為負，例如

θ = \frac{5 π}{2}

，

cos \frac{5 π}{4} < 0

。(D) 對：第一、三象限的正切都是正的。(E) 錯：取

θ = \frac{2 π}{3}

，

sin θ > 0

但

tan θ = - 3 < 0

。

題目沒有限制

θ

的範圍，所以

θ

可以超過

2 π

，

\frac{θ}{2}

才會跑到第三象限。

多選題的每個選項都要自己算一次或找一個反例，不要只看像不像公式。

02單選題：弧度、正負號、指數的最大值、底數、週期

第 5 題答案 (B)。

18 0^{\circ} = π

弳，所以

- 24 0^{\circ} = - 240 \times \frac{π}{180} = - \frac{4 π}{3}

弳。

第 6 題答案 (C)。這裡的角都是弧度，

π \approx 3.14

，

\frac{π}{2} \approx 1.57

，

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，

2 π \approx 6.28

。(A)(B)：

3.14 < 4 < 4.71

，

4

在第三象限，正弦、餘弦都是負的。(C)：

0 < 1 < 1.57

，

1

在第一象限，

sin 1 > 0

。(D)：

60 - 18 π \approx 60 - 56.55 = 3.45

，與

3.45

同界，

3.14 < 3.45 < 4.71

，在第三象限，

cos 60 < 0

。(E)：

4.71 < 5 < 6.28

，

5

在第四象限，

tan 5 < 0

。

(D) 的

60

沒有度的符號，是

60

弳，不是

6 0^{\circ}

；

cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

才是正的。

第 7 題答案 (E)。底數

3 > 1

，指數越大值越大。指數

- x^{2} + 2 x + 3 = - (x - 1)^{2} + 4

，在

x = 1

時最大，是

4

。所以最大值是

3^{4} = 81

。

第 8 題答案 (A)。

y = a^{x}

的圖形由左上往右下遞減，所以

0 < a < 1

，(D)(E) 不對。再和

y = 2^{x}

比：把

y = 2^{x}

對

y

軸翻過去是

y = (\frac{1}{2})^{x}

，兩條會左右對稱；但圖上

y = a^{x}

在

y

軸左邊升得比

y = 2^{x}

在右邊升得快，所以

a

比

\frac{1}{2}

更小。看格線：

y = 2^{x}

在

x = 1

時到

2

，而

y = a^{x}

大約在

x = - \frac{1}{2}

就到

2

，

a^{- \frac{1}{2}} = 2

得

a = \frac{1}{4}

。

底數在

0

與

1

之間時，底數越小，圖形在左邊越陡。

\frac{2}{3}

的圖形會比

y = 2^{x}

的鏡射還平緩。

第 9 題答案 (D)。(A) 只改振幅，(B) 是上下平移，(C) 是左右平移，週期都還是

2 π

。(D)

y = sin 2 x

的週期是

\frac{2 π}{2} = π

。(E)

sin x \geq 0

時

y = 2 sin x

，

sin x < 0

時

y = 0

，圖形是「一個拱、一段平線」交替出現，週期是

2 π

。所以週期最小的是 (D)。

(E) 不要和

y = ∣ sin x ∣

弄混，

∣ sin x ∣

的週期才是

π

。

沒寫度的符號就是弧度；先用 π 約 3.14 找出角在哪個象限。

03填充題：和差角公式、疊合求極值、時鐘的夾角、正切的倍角

第 10 題

2 4^{\circ} + 3 6^{\circ} = 6 0^{\circ}

。由正切的和角公式

tan 6 0^{\circ} = \frac{tan 2 4 ^{\circ} + tan 3 6 ^{\circ}}{1 - tan 2 4 ^{\circ} tan 3 6 ^{\circ}} = 3

，去分母得

tan 2 4^{\circ} + tan 3 6^{\circ} = 3 - 3 tan 2 4^{\circ} tan 3 6^{\circ}

，移項：

3 tan 2 4^{\circ} tan 3 6^{\circ} + tan 2 4^{\circ} + tan 3 6^{\circ} = 3

。

第 11 題在

0 \leq x < \frac{π}{2}

內

cos x \neq = 0

，

tan x cos x = sin x

，所以

f (x) = cos x + 3 sin x = 2 (\frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) = 2 sin (x + \frac{π}{6})

。

0 \leq x < \frac{π}{2}

時

\frac{π}{6} \leq x + \frac{π}{6} < \frac{2 π}{3}

。這段裡正弦從

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

升到

1

，再降向

sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}

（取不到）。因為

\frac{1}{2} < \frac{3}{2}

，最小值在左端點

x = 0

：

f (0) = 2 \times \frac{1}{2} = 1

。

驗算：

f (0) = (1 + 0) \times 1 = 1

。範圍受限時，極值要比兩個端點，不是直接寫

- 2

。

第 12 題分針每分鐘走

6^{\circ}

，時針每分鐘走

0. 5^{\circ}

。從

12

點方向順時針量：

2

點

50

分時分針在

50 \times 6^{\circ} = 30 0^{\circ}

，時針在

2 \times 3 0^{\circ} + 50 \times 0. 5^{\circ} = 8 5^{\circ}

。兩針相差

30 0^{\circ} - 8 5^{\circ} = 21 5^{\circ}

，較小的夾角是

36 0^{\circ} - 21 5^{\circ} = 14 5^{\circ}

。化成弧度：

145 \times \frac{π}{180} = \frac{29 π}{36}

。

時針不是停在

2

上，

50

分鐘裡它又走了

2 5^{\circ}

。

第 13 題展開：

\frac{cos ( A + B )}{sin ( A - B )} = \frac{cos A cos B - sin A sin B}{sin A cos B - cos A sin B}

。分子分母同除以

cos A cos B

，得

\frac{1 - tan A tan B}{tan A - tan B} = \frac{1 - 2 \times 3}{2 - 3} = \frac{- 5}{- 1} = 5

。

第 14 題先用差角公式展開：

sin (x - \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} sin x - \frac{1}{2} cos x

，所以

y = 4 sin x - 23 (\frac{3}{2} sin x - \frac{1}{2} cos x) = 4 sin x - 3 sin x + 3 cos x = sin x + 3 cos x

。疊合：

y = 2 (\frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x) = 2 sin (x + \frac{π}{3})

。

- π \leq x \leq π

時

- \frac{2 π}{3} \leq x + \frac{π}{3} \leq \frac{4 π}{3}

，這個範圍包含

- \frac{π}{2}

，正弦可以取到

- 1

。所以最小值

n = - 2

，發生在

x + \frac{π}{3} = - \frac{π}{2}

，即

m = - \frac{5 π}{6}

。

(m, n) = (- \frac{5 π}{6}, - 2)

。

範圍內另一個讓正弦等於

- 1

的角是

\frac{3 π}{2}

，但

\frac{3 π}{2} > \frac{4 π}{3}

，不在範圍內，所以

m

只有一個。

第 15 題設圖中那條角平分線與

x

軸正向的夾角是

θ

，斜率就是

tan θ = \frac{1}{2}

。它平分

L

與

x

軸正向所夾的角，所以

L

與

x

軸正向的夾角是

2 θ

，

L

的斜率

= tan 2 θ = tan (θ + θ) = \frac{tan θ + tan θ}{1 - tan θ tan θ} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}

。

兩條相交直線有兩條互相垂直的角平分線，另一條的斜率是

- 2

。題目說「有一條」斜率為

\frac{1}{2}

，再加上

L

的斜率為正，答案就確定是

\frac{4}{3}

。附圖是示意圖，沒有照實際斜率畫。

正弦與餘弦相加先疊合；直線的斜率就是傾斜角的正切，角度加倍用正切的和角公式。

04填充題：餘弦不等式、扇形與圓的面積、解的個數

第 16 題在

0 \leq x < 2 π

內，

cos x = \frac{3}{2}

的解是

x = \frac{π}{6}

與

x = \frac{11 π}{6}

。由

y = cos x

的圖形：從

x = 0

（值為

1

）遞減，到

\frac{π}{6}

降到

\frac{3}{2}

，之後都比

\frac{3}{2}

小，直到

\frac{11 π}{6}

才又回到

\frac{3}{2}

，接著繼續上升。所以解是

0 \leq x \leq \frac{π}{6}

或

\frac{11 π}{6} \leq x < 2 π

。

學校公布的答案右端寫

\frac{11 π}{6} \leq x \leq 2 π

。

x = 2 π

代入確實有

cos 2 π = 1 \geq \frac{3}{2}

，但題目限定

0 \leq x < 2 π

，

2 π

不在範圍內，嚴格來說右端要寫

x < 2 π

。

第 17 題四個圓的半徑都是

1

（邊長

2

，相鄰兩圓外切）。正方形內、四個圓外的部分：正方形面積

4

，扣掉四個四分之一圓（合起來是一個圓，面積

π

），剩

4 - π

。中間的小圓與四個圓都外切：正方形中心到頂點的距離是

2

，所以小圓半徑

= 2 - 1

，面積

= (2 - 1)^{2} π = (3 - 22) π

。陰影

= (4 - π) - (3 - 22) π = 4 - 4 π + 22 π = 4 + (22 - 4) π

。

數值約

0.32

，是正數，合理。

第 18 題扇形

O A D

半徑

3

、弧長

6

，圓心角

∠ A O D = \frac{6}{3} = 2

（弳）。

∠ A O C = \frac{π}{2}

，所以扇形

O C D

的圓心角是

2 - \frac{π}{2}

，面積

= \frac{1}{2} \times 3^{2} \times (2 - \frac{π}{2}) = 9 - \frac{9 π}{4}

。正方形內的白色區域＝正方形扣掉四分之一圓

= 9 - \frac{1}{4} \times 9 π = 9 - \frac{9 π}{4}

。兩塊白色合計

(9 - \frac{9 π}{4}) + (9 - \frac{9 π}{4}) = 18 - \frac{9}{2} π

。

也可以整塊算：扇形

O A D

面積

\frac{1}{2} \times 3 \times 6 = 9

，加正方形

9

，扣掉灰色的四分之一圓兩次（它同時在扇形與正方形裡）：

18 - 2 \times \frac{9 π}{4}

。

第 19 題方程式即

sin x = \frac{x}{6}

，解的個數是

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{6}

的交點個數。

x = 0

是一個解。兩個圖形都對稱於原點，正的解與負的解一樣多，只數

x > 0

。因為

sin x \leq 1

，交點只可能在

\frac{x}{6} \leq 1

，即

0 < x \leq 6

。在

0 < x < π

：

x = \frac{π}{2}

時

sin x = 1 > \frac{π}{12}

，正弦在直線上方；

x = π

時

sin π = 0 < \frac{π}{6}

，正弦在直線下方，由圖形這一段有

1

個交點。在

π \leq x \leq 6

：因為

6 < 2 π \approx 6.28

，這段

sin x \leq 0 < \frac{x}{6}

，沒有交點。正的解

1

個，負的解

1

個，加上

x = 0

，共

3

個。

關鍵是

6 < 2 π

：直線在正弦的第二個波峰出現之前就已經超過

1

了。

第 20 題設扇形半徑

r

、弧長

s

，繩子圍一圈：

2 r + s = 60

，

s = 60 - 2 r

。面積

= \frac{1}{2} r s = \frac{1}{2} r (60 - 2 r) = 30 r - r^{2} = - (r - 15)^{2} + 225

。

r = 15

時面積最大，為

225

。

這時弧長

s = 30

，圓心角

\frac{30}{15} = 2

弳，小於

2 π

，確實圍得出來。

扇形面積等於二分之一乘半徑乘弧長，圓心角的弧度等於弧長除以半徑；解的個數畫兩個圖形數交點。

05填充題：指數模型、由圖形求正弦型函數、指數函數的底數、水車

第 21 題解凍

1

小時後是

9

度：

f (1) = 25 - 32 a = 9

，

32 a = 16

，

a = \frac{1}{2}

。所以

f (6) = 25 - 32 \times (\frac{1}{2})^{6} = 25 - \frac{32}{64} = 25 - 0.5 = 24.5

（度）。

x = 0

時

f (0) = 25 - 32 = - 7

度，是剛從冷凍庫拿出來的溫度；時間越久越接近室溫

25

度。

第 22 題最高

10

、最低

- 10

，

a > 0

，所以

a = 10

。最高點在

t = \frac{1}{300}

，下一個最低點在

t = \frac{5}{300}

，相差半個週期：

\frac{5}{300} - \frac{1}{300} = \frac{4}{300}

，週期

= \frac{8}{300} = \frac{2}{75}

。

b > 0

，

\frac{2 π}{b} = \frac{2}{75}

，

b = 75 π

。代最高點：

sin (75 π \times \frac{1}{300} + c) = 1

，即

\frac{π}{4} + c = \frac{π}{2} + 2 k π

，

c = \frac{π}{4} + 2 k π

；在

0 \leq c < π

內只有

c = \frac{π}{4}

。所以

(a, b, c) = (10, 75 π, \frac{π}{4})

。

檢查最低點：

75 π \times \frac{5}{300} + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2}

，

sin \frac{3 π}{2} = - 1

，相符。

第 23 題先把四個函數都寫成「底數的

x

次方」：

3^{x}

的底數是

3

，

(3)^{x}

的底數是

3

，

3^{- 0.5 x} = (3^{- \frac{1}{2}})^{x}

的底數是

\frac{1}{3}

，

3^{- x}

的底數是

\frac{1}{3}

。圖上

y = c^{x}

、

y = d^{x}

遞增，底數大於

1

；在

x = 1

的地方

y = c^{x}

比較高（它比較靠近

y

軸、比較陡），所以

c > d

，

c = 3

、

d = 3

。

y = a^{x}

、

y = b^{x}

遞減，底數在

0

與

1

之間；在

x = - 1

的地方

y = b^{x}

比較高，即

\frac{1}{b} > \frac{1}{a}

，所以

b < a

，

b = \frac{1}{3}

、

a = \frac{1}{3}

。

(a, b, c, d) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 3, 3)

。

y = 3^{- x}

與

y = 3^{x}

對稱於

y

軸，

y = 3^{- 0.5 x}

與

y = (3)^{x}

對稱於

y

軸，所以圖是左右對稱的：內側兩條是一對，外側兩條是一對。

第 24 題

y = sin (- \frac{π}{45} t) = - sin \frac{π}{45} t

，週期

= \frac{2 π}{\frac{π}{45}} = 90

秒，水車每秒轉

\frac{36 0 ^{\circ}}{90} = 4^{\circ}

。

t = 0

時高度

0

而且接著往下降，水車又是順時針轉，所以這時車輪上這一點在最右點

B

。水面在圓心下方

50

公分，也就是

y = - \frac{1}{2}

；附圖的

P

點在右側輪緣與水面相交的位置：

- sin \frac{π}{45} t = - \frac{1}{2}

，第一次是

\frac{π}{45} t = \frac{π}{6}

，

t = 7.5

。到最高點

A

時

y = 1

：

sin \frac{π}{45} t = - 1

，第一次是

\frac{π}{45} t = \frac{3 π}{2}

，

t = 67.5

。從

P

點到

A

點經過

67.5 - 7.5 = 60

秒。

用角度看更快：

P

在

B

下方

3 0^{\circ}

（因為

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

），順時針轉到最高點要經過最低點與最左點，共轉

36 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 24 0^{\circ}

，

240 \div 4 = 60

秒。這題要配合附圖才知道

P

的位置；如果把「出發」讀成

t = 0

（那時在

B

點），會得到

67.5

秒，學校公布的答案是

60

。

正弦型函數看振幅、週期，再代一個已知點定相位；比較指數函數的底數就在 x 等於 1 或負 1 的地方看誰高。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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苑裡高中 111 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 24 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 111 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 24 題水車要配合附圖看出 P 點在右側輪緣與水面相交的位置，學校答案是從那個位置起算的 60 秒，若從 t 等於 0 起算會得到 67.5 秒；第 2 題五個指數圖形與直線的交點要逐一畫圖判斷，帶絕對值的兩個選項只需看 x 小於 0 的那一半；第 3 題疊合成餘弦時角在第四象限，正弦值是負的，選項 (E) 還要分清楚點對稱與線對稱；第 11 題範圍受限，最小值出現在端點而不是負的振幅。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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題目取自苑裡高中 111 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

苑裡高中 111 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01多選題：正切和角、指數圖形的交點、疊合成餘弦、半角的象限

02單選題：弧度、正負號、指數的最大值、底數、週期

03填充題：和差角公式、疊合求極值、時鐘的夾角、正切的倍角

04填充題：餘弦不等式、扇形與圓的面積、解的個數

05填充題：指數模型、由圖形求正弦型函數、指數函數的底數、水車

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高二第一次段考
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