段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、無窮級數與無窮等比級數、函數的概念、函數的極限、連續函數）

苑裡高中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 25 題，照原卷順序

單選題 5 題、多選題 2 題、填充題 12 題共 18 格。多選題每題 5 分，共 10 分，答錯一個選項扣 2 分，扣至該題 0 分為止；單選與填充合計 23 格，依答案卷印的答對格數對照表給分，共 90 分；卷面兩份答案卷的對照表在答對 13～19 格時相差 1 分。答案已與學校公布的答案逐題核對，25 題全部一致。

一、單選題：（與填充題合併計分）

右圖為何者之部分圖形？

(A) $f (x) = (- 2 x + 1) + 2 + (2 x + 1)$
(B) $f (x) = (x + 1)^{2} + 2 + (x - 1)^{2}$
(C) $f (x) = ∣ x + 1∣ + ∣ x - 1∣$
(D) $f (x) = ∣ x ∣^{2} + 2$
(E) $f (x) = [x + 1] + 1$ ，（其中符號 $[]$ 為高斯符號）

載入中...

設

1 \times 3 + 3 \times 5 + 5 \times 7 + \dots + 97 \times 99 = k = 1 \sum 49 a_{k}

，則

a_{20} =

？

(A) $20 \times 22$
(B) $39 \times 41$
(C) $21 \times 23$
(D) $41 \times 43$
(E) $40 \times 42$

已知偶函數圖形會對稱

y

軸。下列何者是偶函數？

(A) $f (x) = x$
(B) $f (x) = 2 x^{3} + 4 x$
(C) $f (x) = sin x$
(D) $f (x) = x sin x$
(E) $f (x) = 2^{x}$

已知

f (x) = {- x + 5, 5 x - 7, 當 x \leq 2 當 x > 2

，則

f (x)

為下列哪一選項？

(A) $3∣ x - 2∣ + 2 x - 1$
(B) $2∣ x - 2∣ + x + 3$
(C) $3∣ x - 2∣ - x + 2$
(D) $2∣ x - 2∣ + 3 x + 1$
(E) $∣ x - 2∣ + 2 x - 3$

設

f (x) = - 3 x^{3} + x - 2

，若有實數

c

滿足

f (c) = 2

，則

c

在

(A) $- 2$ 和 $- 1$ 之間
(B) $- 1$ 和 $0$ 之間
(C) $0$ 和 $1$ 之間
(D) $1$ 和 $2$ 之間
(E) $2$ 和 $3$ 之間

二、多選題：（每題 5 分，共 10 分，答錯一個選項扣 2 分，扣至該題 0 分為止）

下列各式極限，何者「存在」？

(A) $⟨ 1 + (- 1)^{n} ⟩$
(B) $⟨ \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} ⟩$
(C) $⟨ (\frac{4}{5})^{n} ⟩$
(D) $⟨ (- \frac{10}{9})^{n} ⟩$
(E) $⟨ 3 \times (0.9)^{n} ⟩$

下列各函數中，何者是一對一函數？

(A) $f (x) = x + 1$
(B) $f (x) = x^{2} + 1$
(C) $f (x) = 2^{x}$
(D) $f (x) = lo g x$
(E) $f (x) = sin x$

三、填充題：（與單選題合併計分，得分比照對照表，共 90 分）

填充第 1 題（第 8～10 題）　求下列各式極限，若極限不存在，則填「不存在」

【填充 1-(1)】

n \to \infty lim (3 + \frac{100}{n + 1}) =

＿＿＿。

【填充 1-(2)】

n \to \infty lim (\frac{2 n ^{3} - 1000 n + 4}{n ^{2} + 1000}) =

＿＿＿。

【填充 1-(3)】

n \to \infty lim (\frac{3 \times 5 ^{n + 1} + 4 \times 6 ^{n}}{6 ^{n}}) =

＿＿＿。

【填充 2】

n \to \infty lim (n^{2} + 4 - n^{2} + 1) =

＿＿＿。

【填充 3】

k = 1 \sum 10 (k^{2} - 2 k + 1) =

＿＿＿。

【填充 4】將循環小數

0.1 \overline{9}

化為分數＿＿＿（須化為最簡分數）。

【填充 5】設

a_{n} = 1 \times 2 + 2 \times 3 + \dots + n (n + 1)

，則

n \to \infty lim \frac{2 a _{n}}{n ^{2}} =

＿＿＿。

【填充 6】設無窮數列

⟨ a_{n} ⟩

為收斂數列，且

n \to \infty lim \frac{5 a _{n} + 2}{3 a _{n} - 2} = 2

，則

n \to \infty lim a_{n} =

＿＿＿。

填充第 7 題（第 16～17 題）　設求下列無窮級數的和：

【填充 7-(1)】

5 + \frac{5}{2} + \frac{5}{2 ^{2}} + \dots + \frac{5}{2 ^{n - 1}} + \dots =

＿＿＿。

【填充 7-(2)】

\frac{1}{6} + \frac{2}{6 ^{2}} + \frac{3}{6 ^{3}} + \dots + \frac{n}{6 ^{n}} + \dots =

＿＿＿。

填充第 8 題（第 18～21 題）　求下列各式極限，如果極限不存在就填「不存在」

【填充 8-(1)】

x \to 0 lim (3 x^{2} + x + 2) =

＿＿＿。

【填充 8-(2)】

x \to 1.5 lim [x] =

＿＿＿。

【填充 8-(3)】

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} =

＿＿＿。

【填充 8-(4)】

x \to 3 lim (\frac{3}{x - 3} - \frac{3}{x ^{2} - 5 x + 6}) =

＿＿＿。

【填充 9】已知當

\frac{- π}{2} < x < \frac{π}{2}

，

∣ sin x ∣ < ∣ x ∣ < ∣ tan x ∣

，則

x \to 0 lim \frac{2 \cdot sin x}{x} =

＿＿＿。

【填充 10】函數

f (x) = {x^{3} + a, x + 3, x \geq 2 x < 2

為連續函數，則

a =

＿＿＿。

【填充 11】假設有一個邊長為

1

的正方形紙板，第一步將各邊兩等分，則可分割成面積相等的

4

個小正方形，將右下角的小正方形除去斜邊是對角線的等腰直角三角形，剩下

3

個小正方形和

1

個等腰直角三角形；第二步將剩下的

3

個正方形，把每個分成四等分，然後將其中一等分的小正方形除去等腰直角三角形（如第一步驟）（註：第二步驟除去了

3

個等腰直角三角形），如此繼續下去，試問除去之等腰直角三角形面積總和為＿＿＿。

【填充 12】設

f (x)

是三次多項式，

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = - 3

，

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = 5

，則

f (x) =

＿＿＿。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(B)

第 3 題(D)

第 4 題(A)

第 5 題(A)

第 6 題(B)(C)(E)

第 7 題(A)(C)(D)

第 8 題

3

第 9 題不存在

第 10 題

4

第 11 題

0

第 12 題

285

第 13 題

\frac{1}{5}

第 14 題

1

第 15 題

6

第 16 題

10

第 17 題

\frac{6}{25}

第 18 題

2

第 19 題

1

第 20 題

4

第 21 題

3

第 22 題

2

第 23 題

- 3

第 24 題

\frac{1}{2}

第 25 題

(x - 1) (x - 2) (2 x + 1)

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

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01單選題：絕對值函數、Σ 的一般項、偶函數、中間值定理

第 1 題答案 (C)。圖形對稱於

y

軸，中間是一段水平線段，兩側各是一段向外上升的斜線。(A) 化簡後

f (x) = 4

，是一條水平線，沒有斜的部分。(B) 展開得

f (x) = 2 x^{2} + 4

，是拋物線。(C) 分段去絕對值：

x < - 1

時

f (x) = - (x + 1) - (x - 1) = - 2 x

；

- 1 \leq x \leq 1

時

f (x) = (x + 1) - (x - 1) = 2

；

x > 1

時

f (x) = (x + 1) + (x - 1) = 2 x

。中間水平、兩側是斜線，與圖形相符。(D)

f (x) = x^{2} + 2

，是拋物線。(E) 高斯函數的圖形是一段一段的水平線段，沒有斜線。

第 2 題答案 (B)。各項依序是

1 \times 3

、

3 \times 5

、

5 \times 7

、…，第

k

項的兩個因數是第

k

個正奇數

2 k - 1

與下一個奇數

2 k + 1

，所以

a_{k} = (2 k - 1) (2 k + 1)

。檢查末項：

k = 49

時

a_{49} = 97 \times 99

，與題目相符。因此

a_{20} = 39 \times 41

。

第 3 題答案 (D)。偶函數要對定義域內每個

x

都有

f (- x) = f (x)

。(A)

f (- x) = - x = - f (x)

，是奇函數。(B)

f (- x) = - 2 x^{3} - 4 x = - f (x)

，是奇函數。(C)

sin (- x) = - sin x

，是奇函數。(D)

f (- x) = (- x) sin (- x) = (- x) (- sin x) = x sin x = f (x)

，是偶函數。(E)

f (1) = 2

、

f (- 1) = \frac{1}{2}

，兩者不相等，不是偶函數。

第 4 題答案 (A)。五個選項都是

p ∣ x - 2∣ + q x + r

的形式。

x > 2

時它等於

p (x - 2) + q x + r = (p + q) x + (r - 2 p)

，要等於

5 x - 7

；

x \leq 2

時它等於

- p (x - 2) + q x + r = (q - p) x + (r + 2 p)

，要等於

- x + 5

。比較

x

的係數：

p + q = 5

、

q - p = - 1

，得

p = 3

、

q = 2

。比較常數項：

r - 6 = - 7

，得

r = - 1

，而且

r + 6 = 5

也成立。所以

f (x) = 3∣ x - 2∣ + 2 x - 1

。

也可以代數字篩選：

f (0) = 5

，只有 (A)、(D) 在

x = 0

的值是

5

；再代

f (3) = 8

，(A) 得

3 + 6 - 1 = 8

，(D) 得

2 + 9 + 1 = 12

，所以選 (A)。

第 5 題答案 (A)。

f (x)

是多項式函數，處處連續。計算各選項端點的函數值：

f (- 2) = 24 - 2 - 2 = 20

，

f (- 1) = 3 - 1 - 2 = 0

，

f (0) = - 2

，

f (1) = - 4

，

f (2) = - 24

，

f (3) = - 80

。因為

f (- 1) = 0 < 2 < 20 = f (- 2)

，由中間值定理，在

- 2

和

- 1

之間存在

c

使得

f (c) = 2

。

其他區間沒有這樣的

c

：

f (x) - 2 = - 3 x^{3} + x - 4

。當

- 1 \leq x < 0

時

- 3 x^{3} \leq 3

且

x < 0

，所以

f (x) - 2 < 3 - 4 < 0

；當

0 \leq x \leq 1

時

- 3 x^{3} \leq 0

且

x \leq 1

，所以

f (x) - 2 \leq 1 - 4 < 0

；當

x > 1

時

x - 3 x^{3} = x (1 - 3 x^{2}) < 0

，所以

f (x) - 2 < - 4 < 0

。因此

x \geq - 1

時

f (x)

都小於

2

。

含絕對值的函數先分段去絕對值再看圖形；連續函數在兩端點的值把目標值夾在中間，就能用中間值定理。

02多選題：數列的收斂與發散、一對一函數

第 6 題答案 (B)(C)(E)。(A) 不存在：各項依序是

0, 2, 0, 2, \dots

，在兩個數之間跳動，不趨近任何一個定值。(B) 存在：

- \frac{1}{n} \leq \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} \leq \frac{1}{n}

，兩邊都趨近

0

，由夾擠定理極限為

0

。(C) 存在：公比

\frac{4}{5}

介於

- 1

與

1

之間，極限為

0

。(D) 不存在：公比

- \frac{10}{9}

小於

- 1

，各項正負交錯而且絕對值愈來愈大。(E) 存在：

(0.9)^{n}

趨近

0

，所以

3 \times (0.9)^{n}

趨近

0

。

等比數列

⟨ r^{n} ⟩

收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

。

第 7 題答案 (A)(C)(D)。一對一函數是指不同的

x

一定對應到不同的函數值。(A) 是：若

x_{1} + 1 = x_{2} + 1

，則

x_{1} = x_{2}

。(B) 不是：

f (1) = f (- 1) = 2

。(C) 是：

2^{x}

是遞增函數，

x_{1} < x_{2}

時

2^{x_{1}} < 2^{x_{2}}

，函數值不會相同。(D) 是：

lo g x

在定義域

x > 0

上是遞增函數，函數值不會相同。(E) 不是：

sin 0 = sin π = 0

。

要說明不是一對一，找出兩個不同的 x 有相同的函數值就夠了；遞增或遞減的函數一定是一對一。

03填充第 1、2 題：數列的極限

第 8 題答案

3

。

n \to \infty

時

\frac{100}{n + 1} \to 0

，所以極限為

3 + 0 = 3

。

第 9 題答案：不存在。分子、分母同除以

n^{2}

：

\frac{2 n - \frac{1000}{n} + \frac{4}{n ^{2}}}{1 + \frac{1000}{n ^{2}}}

。分母趨近

1

，分子隨

n

無限增大，所以數列發散，極限不存在。

分子的次數比分母高，數列會無限增大；題目規定這種情形填「不存在」。

第 10 題答案

4

。

3 \times 5^{n + 1} = 15 \times 5^{n}

，分子、分母同除以

6^{n}

：原式

= 15 (\frac{5}{6})^{n} + 4

。因為

(\frac{5}{6})^{n} \to 0

，極限為

4

。

第 11 題答案

0

。分子有理化：

n^{2} + 4 - n^{2} + 1 = \frac{( n ^{2} + 4 ) - ( n ^{2} + 1 )}{n ^{2} + 4 + n ^{2} + 1} = \frac{3}{n ^{2} + 4 + n ^{2} + 1}

。分母大於

2 n

，所以

0 < \frac{3}{n ^{2} + 4 + n ^{2} + 1} < \frac{3}{2 n}

，右邊趨近

0

，由夾擠定理極限為

0

。

兩項各自都無限增大，不能直接相減，要先有理化。

分式型同除以分母的最高次項（或底數最大的指數項）；兩個根式相減先有理化。

04填充第 3～6 題：Σ、循環小數、夾擠定理、反求極限

第 12 題答案

285

。

k^{2} - 2 k + 1 = (k - 1)^{2}

，所以原式

= 0^{2} + 1^{2} + 2^{2} + \dots + 9^{2} = \frac{9 \cdot 10 \cdot 19}{6} = 285

。

也可以分開算：

k = 1 \sum 10 k^{2} - 2 k = 1 \sum 10 k + 10 = 385 - 110 + 10 = 285

。

第 13 題答案

\frac{1}{5}

。循環節只有

9

：

0.1 \overline{9} = 0.1 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + \dots

。從第二項起是首項

0.09

、公比

0.1

的無窮等比級數，和為

\frac{0.09}{1 - 0.1} = 0.1

。所以

0.1 \overline{9} = 0.1 + 0.1 = 0.2 = \frac{1}{5}

。

第 14 題答案

1

。對每個正整數

k

，

k^{2} < k (k + 1) < (k + 1)^{2}

，所以

k < k (k + 1) < k + 1

。把

k = 1, 2, \dots, n

加起來：

\frac{n ( n + 1 )}{2} < a_{n} < \frac{n ( n + 1 )}{2} + n = \frac{n ( n + 3 )}{2}

。同乘以

\frac{2}{n ^{2}}

：

\frac{n + 1}{n} < \frac{2 a _{n}}{n ^{2}} < \frac{n + 3}{n}

。左、右兩邊的極限都是

1

，由夾擠定理

n \to \infty lim \frac{2 a _{n}}{n ^{2}} = 1

。

第 15 題答案

6

。題目已知

⟨ a_{n} ⟩

收斂，設

n \to \infty lim a_{n} = L

。若

3 L - 2 = 0

，分母趨近

0

而分子趨近

5 \cdot \frac{2}{3} + 2 \neq = 0

，分式不會收斂，所以

3 L - 2 \neq = 0

。由極限的運算性質

\frac{5 L + 2}{3 L - 2} = 2

，

5 L + 2 = 6 L - 4

，得

L = 6

。

檢查：

\frac{5 \cdot 6 + 2}{3 \cdot 6 - 2} = \frac{32}{16} = 2

。

和求不出來時，把每一項夾在兩個好算的量之間，兩邊的極限相同就用夾擠定理。

05填充第 7 題：無窮級數的和

第 16 題答案

10

。這是首項

5

、公比

\frac{1}{2}

的無窮等比級數，公比的絕對值小於

1

，和為

\frac{5}{1 - \frac{1}{2}} = 10

。

第 17 題答案

\frac{6}{25}

。設部分和

S_{n} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6 ^{2}} + \frac{3}{6 ^{3}} + \dots + \frac{n}{6 ^{n}}

，則

\frac{1}{6} S_{n} = \frac{1}{6 ^{2}} + \frac{2}{6 ^{3}} + \dots + \frac{n - 1}{6 ^{n}} + \frac{n}{6 ^{n + 1}}

。兩式相減：

\frac{5}{6} S_{n} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6 ^{2}} + \dots + \frac{1}{6 ^{n}} - \frac{n}{6 ^{n + 1}}

。

n \to \infty

時，前面的等比級數趨近

\frac{\frac{1}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{1}{5}

；又

0 < \frac{n}{6 ^{n + 1}} < \frac{2 ^{n}}{6 ^{n}} = (\frac{1}{3})^{n}

，由夾擠定理

\frac{n}{6 ^{n + 1}} \to 0

。所以

\frac{5}{6} S_{n} \to \frac{1}{5}

，級數的和為

\frac{1}{5} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{25}

。

分子是等差、分母是等比的級數，把部分和乘以公比後錯開一項相減，就會變成等比級數。

無窮等比級數的和是首項除以 1 減公比；等差乘等比型先乘公比再錯位相減。

06填充第 8～10 題：函數的極限與連續

第 18 題答案

2

。多項式函數的極限直接代入：

3 \cdot 0^{2} + 0 + 2 = 2

。

第 19 題答案

1

。

[x]

表示不大於

x

的最大整數。當

1 \leq x < 2

時

[x] = 1

，所以

x

從左、右兩邊接近

1.5

時函數值都是

1

，極限為

1

。

高斯函數只在整數點的極限不存在（左、右兩邊差

1

），

1.5

不是整數。

第 20 題答案

4

。

x \neq = 2

時

\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x + 2

，所以極限為

2 + 2 = 4

。

第 21 題答案

3

。兩項在

x \to 3

時各自的極限都不存在，先通分。

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

，原式

= \frac{3 ( x - 2 ) - 3}{( x - 2 ) ( x - 3 )} = \frac{3 ( x - 3 )}{( x - 2 ) ( x - 3 )}

。

x \neq = 3

時約去

x - 3

得

\frac{3}{x - 2}

，代入

x = 3

：

\frac{3}{1} = 3

。

第 22 題答案

2

。取

0 < ∣ x ∣ < \frac{π}{2}

，此時

sin x

與

x

同號，

\frac{sin x}{x} = \frac{∣ sin x ∣}{∣ x ∣} > 0

。由

∣ sin x ∣ < ∣ x ∣

得

\frac{sin x}{x} < 1

。由

∣ x ∣ < ∣ tan x ∣ = \frac{∣ sin x ∣}{cos x}

（這個範圍內

cos x > 0

）得

\frac{∣ sin x ∣}{∣ x ∣} > cos x

。所以

cos x < \frac{sin x}{x} < 1

。

x \to 0

時

cos x \to 1

，由夾擠定理

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

，所求為

2 \times 1 = 2

。

題目給的不等式在

x = 0

時三個量都是

0

，並不成立；它要在

x \neq = 0

時才成立。求

x \to 0

的極限本來就不看

x = 0

那一點，所以不影響答案。

第 23 題答案

- 3

。兩段各自都是多項式，只要在

x = 2

接得起來就是連續函數。左極限

x \to 2^{-} lim (x + 3) = 5

，右極限與函數值

x \to 2^{+} lim (x^{3} + a) = f (2) = 8 + a

。令

8 + a = 5

，得

a = - 3

。

分母趨近 0 的分式先因式分解、通分，約去公因式後再代入；分段函數連續只要檢查接點。

07填充第 11、12 題：無窮等比級數的應用、由極限決定多項式

第 24 題答案

\frac{1}{2}

。第一步：小正方形的面積是

\frac{1}{4}

，除去的等腰直角三角形是它的一半，面積

\frac{1}{8}

，共

1

個；剩下

3

個面積

\frac{1}{4}

的正方形。第二步：每個正方形分成四個面積

\frac{1}{16}

的小正方形，其中一個除去面積

\frac{1}{32}

的三角形，共除去

3

個，面積和

\frac{3}{32}

；每個正方形留下

3

個完整的小正方形，共

9

個。依此類推，每一步除去的三角形個數是前一步的

3

倍，每個的面積是前一步的

\frac{1}{4}

，所以每一步除去的面積是前一步的

\frac{3}{4}

倍。總和

= \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{8} (\frac{3}{4})^{2} + \dots = \frac{\frac{1}{8}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}

。

第

n

步除去

3^{n - 1}

個三角形，每個面積

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4 ^{n}}

。

第 25 題答案

f (x) = (x - 1) (x - 2) (2 x + 1)

。

x \to 1

時分母

x - 1 \to 0

而極限存在，所以

f (1) = 0

；同理

f (2) = 0

。

f (x)

是三次多項式，設

f (x) = (x - 1) (x - 2) (p x + q)

。第一個條件：

x \to 1 lim (x - 2) (p x + q) = - (p + q) = - 3

，

p + q = 3

。第二個條件：

x \to 2 lim (x - 1) (p x + q) = 2 p + q = 5

。解得

p = 2

、

q = 1

，所以

f (x) = (x - 1) (x - 2) (2 x + 1)

。

展開是

2 x^{3} - 5 x^{2} + x + 2

，寫成哪一種都可以。

分母趨近 0 而極限存在，分子在那一點的值一定是 0，多項式就有對應的一次因式。

同一次段考的其他學校

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常見問題

苑裡高中 111 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 25 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 111 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 5 題（本頁第 14 題）：根號的和沒有公式，要把每一項夾在 k 與 k+1 之間，再用夾擠定理。填充第 11 題（本頁第 24 題）：要看出每一步除去的三角形個數變 3 倍、每個面積變四分之一，公比是四分之三。填充第 7 題第 2 小題（本頁第 17 題）：分子等差、分母等比，要乘公比後錯位相減。填充第 9 題（本頁第 22 題）：要把題目給的不等式整理成餘弦值小於所求的比值、比值又小於 1，再用夾擠定理。單選題第 5 題：先算各端點的函數值，再用中間值定理。詳解逐題寫在本頁。

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御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、無窮級數與無窮等比級數、函數的概念、函數的極限、連續函數）

苑裡高中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 25 題，照原卷順序

一、單選題：（與填充題合併計分）

右圖為何者之部分圖形？

(A) $f (x) = (- 2 x + 1) + 2 + (2 x + 1)$
(B) $f (x) = (x + 1)^{2} + 2 + (x - 1)^{2}$
(C) $f (x) = ∣ x + 1∣ + ∣ x - 1∣$
(D) $f (x) = ∣ x ∣^{2} + 2$
(E) $f (x) = [x + 1] + 1$ ，（其中符號 $[]$ 為高斯符號）

載入中...

設

1 \times 3 + 3 \times 5 + 5 \times 7 + \dots + 97 \times 99 = k = 1 \sum 49 a_{k}

，則

a_{20} =

？

(A) $20 \times 22$
(B) $39 \times 41$
(C) $21 \times 23$
(D) $41 \times 43$
(E) $40 \times 42$

已知偶函數圖形會對稱

y

軸。下列何者是偶函數？

(A) $f (x) = x$
(B) $f (x) = 2 x^{3} + 4 x$
(C) $f (x) = sin x$
(D) $f (x) = x sin x$
(E) $f (x) = 2^{x}$

已知

f (x) = {- x + 5, 5 x - 7, 當 x \leq 2 當 x > 2

，則

f (x)

為下列哪一選項？

(A) $3∣ x - 2∣ + 2 x - 1$
(B) $2∣ x - 2∣ + x + 3$
(C) $3∣ x - 2∣ - x + 2$
(D) $2∣ x - 2∣ + 3 x + 1$
(E) $∣ x - 2∣ + 2 x - 3$

設

f (x) = - 3 x^{3} + x - 2

，若有實數

c

滿足

f (c) = 2

，則

c

在

(A) $- 2$ 和 $- 1$ 之間
(B) $- 1$ 和 $0$ 之間
(C) $0$ 和 $1$ 之間
(D) $1$ 和 $2$ 之間
(E) $2$ 和 $3$ 之間

二、多選題：（每題 5 分，共 10 分，答錯一個選項扣 2 分，扣至該題 0 分為止）

下列各式極限，何者「存在」？

(A) $⟨ 1 + (- 1)^{n} ⟩$
(B) $⟨ \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} ⟩$
(C) $⟨ (\frac{4}{5})^{n} ⟩$
(D) $⟨ (- \frac{10}{9})^{n} ⟩$
(E) $⟨ 3 \times (0.9)^{n} ⟩$

下列各函數中，何者是一對一函數？

(A) $f (x) = x + 1$
(B) $f (x) = x^{2} + 1$
(C) $f (x) = 2^{x}$
(D) $f (x) = lo g x$
(E) $f (x) = sin x$

三、填充題：（與單選題合併計分，得分比照對照表，共 90 分）

填充第 1 題（第 8～10 題）　求下列各式極限，若極限不存在，則填「不存在」

【填充 1-(1)】

n \to \infty lim (3 + \frac{100}{n + 1}) =

＿＿＿。

【填充 1-(2)】

n \to \infty lim (\frac{2 n ^{3} - 1000 n + 4}{n ^{2} + 1000}) =

＿＿＿。

【填充 1-(3)】

n \to \infty lim (\frac{3 \times 5 ^{n + 1} + 4 \times 6 ^{n}}{6 ^{n}}) =

＿＿＿。

【填充 2】

n \to \infty lim (n^{2} + 4 - n^{2} + 1) =

＿＿＿。

【填充 3】

k = 1 \sum 10 (k^{2} - 2 k + 1) =

＿＿＿。

【填充 4】將循環小數

0.1 \overline{9}

化為分數＿＿＿（須化為最簡分數）。

【填充 5】設

a_{n} = 1 \times 2 + 2 \times 3 + \dots + n (n + 1)

，則

n \to \infty lim \frac{2 a _{n}}{n ^{2}} =

＿＿＿。

【填充 6】設無窮數列

⟨ a_{n} ⟩

為收斂數列，且

n \to \infty lim \frac{5 a _{n} + 2}{3 a _{n} - 2} = 2

，則

n \to \infty lim a_{n} =

＿＿＿。

填充第 7 題（第 16～17 題）　設求下列無窮級數的和：

【填充 7-(1)】

5 + \frac{5}{2} + \frac{5}{2 ^{2}} + \dots + \frac{5}{2 ^{n - 1}} + \dots =

＿＿＿。

【填充 7-(2)】

\frac{1}{6} + \frac{2}{6 ^{2}} + \frac{3}{6 ^{3}} + \dots + \frac{n}{6 ^{n}} + \dots =

＿＿＿。

填充第 8 題（第 18～21 題）　求下列各式極限，如果極限不存在就填「不存在」

【填充 8-(1)】

x \to 0 lim (3 x^{2} + x + 2) =

＿＿＿。

【填充 8-(2)】

x \to 1.5 lim [x] =

＿＿＿。

【填充 8-(3)】

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} =

＿＿＿。

【填充 8-(4)】

x \to 3 lim (\frac{3}{x - 3} - \frac{3}{x ^{2} - 5 x + 6}) =

＿＿＿。

【填充 9】已知當

\frac{- π}{2} < x < \frac{π}{2}

，

∣ sin x ∣ < ∣ x ∣ < ∣ tan x ∣

，則

x \to 0 lim \frac{2 \cdot sin x}{x} =

＿＿＿。

【填充 10】函數

f (x) = {x^{3} + a, x + 3, x \geq 2 x < 2

為連續函數，則

a =

＿＿＿。

【填充 11】假設有一個邊長為

1

的正方形紙板，第一步將各邊兩等分，則可分割成面積相等的

4

個小正方形，將右下角的小正方形除去斜邊是對角線的等腰直角三角形，剩下

3

個小正方形和

1

個等腰直角三角形；第二步將剩下的

3

個正方形，把每個分成四等分，然後將其中一等分的小正方形除去等腰直角三角形（如第一步驟）（註：第二步驟除去了

3

個等腰直角三角形），如此繼續下去，試問除去之等腰直角三角形面積總和為＿＿＿。

【填充 12】設

f (x)

是三次多項式，

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = - 3

，

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = 5

，則

f (x) =

＿＿＿。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(B)

第 3 題(D)

第 4 題(A)

第 5 題(A)

第 6 題(B)(C)(E)

第 7 題(A)(C)(D)

第 8 題

3

第 9 題不存在

第 10 題

4

第 11 題

0

第 12 題

285

第 13 題

\frac{1}{5}

第 14 題

1

第 15 題

6

第 16 題

10

第 17 題

\frac{6}{25}

第 18 題

2

第 19 題

1

第 20 題

4

第 21 題

3

第 22 題

2

第 23 題

- 3

第 24 題

\frac{1}{2}

第 25 題

(x - 1) (x - 2) (2 x + 1)

03 · 勾錯題號

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選題：絕對值函數、Σ 的一般項、偶函數、中間值定理

第 1 題答案 (C)。圖形對稱於

y

軸，中間是一段水平線段，兩側各是一段向外上升的斜線。(A) 化簡後

f (x) = 4

，是一條水平線，沒有斜的部分。(B) 展開得

f (x) = 2 x^{2} + 4

，是拋物線。(C) 分段去絕對值：

x < - 1

時

f (x) = - (x + 1) - (x - 1) = - 2 x

；

- 1 \leq x \leq 1

時

f (x) = (x + 1) - (x - 1) = 2

；

x > 1

時

f (x) = (x + 1) + (x - 1) = 2 x

。中間水平、兩側是斜線，與圖形相符。(D)

f (x) = x^{2} + 2

，是拋物線。(E) 高斯函數的圖形是一段一段的水平線段，沒有斜線。

第 2 題答案 (B)。各項依序是

1 \times 3

、

3 \times 5

、

5 \times 7

、…，第

k

項的兩個因數是第

k

個正奇數

2 k - 1

與下一個奇數

2 k + 1

，所以

a_{k} = (2 k - 1) (2 k + 1)

。檢查末項：

k = 49

時

a_{49} = 97 \times 99

，與題目相符。因此

a_{20} = 39 \times 41

。

第 3 題答案 (D)。偶函數要對定義域內每個

x

都有

f (- x) = f (x)

。(A)

f (- x) = - x = - f (x)

，是奇函數。(B)

f (- x) = - 2 x^{3} - 4 x = - f (x)

，是奇函數。(C)

sin (- x) = - sin x

，是奇函數。(D)

f (- x) = (- x) sin (- x) = (- x) (- sin x) = x sin x = f (x)

，是偶函數。(E)

f (1) = 2

、

f (- 1) = \frac{1}{2}

，兩者不相等，不是偶函數。

第 4 題答案 (A)。五個選項都是

p ∣ x - 2∣ + q x + r

的形式。

x > 2

時它等於

p (x - 2) + q x + r = (p + q) x + (r - 2 p)

，要等於

5 x - 7

；

x \leq 2

時它等於

- p (x - 2) + q x + r = (q - p) x + (r + 2 p)

，要等於

- x + 5

。比較

x

的係數：

p + q = 5

、

q - p = - 1

，得

p = 3

、

q = 2

。比較常數項：

r - 6 = - 7

，得

r = - 1

，而且

r + 6 = 5

也成立。所以

f (x) = 3∣ x - 2∣ + 2 x - 1

。

也可以代數字篩選：

f (0) = 5

，只有 (A)、(D) 在

x = 0

的值是

5

；再代

f (3) = 8

，(A) 得

3 + 6 - 1 = 8

，(D) 得

2 + 9 + 1 = 12

，所以選 (A)。

第 5 題答案 (A)。

f (x)

是多項式函數，處處連續。計算各選項端點的函數值：

f (- 2) = 24 - 2 - 2 = 20

，

f (- 1) = 3 - 1 - 2 = 0

，

f (0) = - 2

，

f (1) = - 4

，

f (2) = - 24

，

f (3) = - 80

。因為

f (- 1) = 0 < 2 < 20 = f (- 2)

，由中間值定理，在

- 2

和

- 1

之間存在

c

使得

f (c) = 2

。

其他區間沒有這樣的

c

：

f (x) - 2 = - 3 x^{3} + x - 4

。當

- 1 \leq x < 0

時

- 3 x^{3} \leq 3

且

x < 0

，所以

f (x) - 2 < 3 - 4 < 0

；當

0 \leq x \leq 1

時

- 3 x^{3} \leq 0

且

x \leq 1

，所以

f (x) - 2 \leq 1 - 4 < 0

；當

x > 1

時

x - 3 x^{3} = x (1 - 3 x^{2}) < 0

，所以

f (x) - 2 < - 4 < 0

。因此

x \geq - 1

時

f (x)

都小於

2

。

含絕對值的函數先分段去絕對值再看圖形；連續函數在兩端點的值把目標值夾在中間，就能用中間值定理。

02多選題：數列的收斂與發散、一對一函數

第 6 題答案 (B)(C)(E)。(A) 不存在：各項依序是

0, 2, 0, 2, \dots

，在兩個數之間跳動，不趨近任何一個定值。(B) 存在：

- \frac{1}{n} \leq \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} \leq \frac{1}{n}

，兩邊都趨近

0

，由夾擠定理極限為

0

。(C) 存在：公比

\frac{4}{5}

介於

- 1

與

1

之間，極限為

0

。(D) 不存在：公比

- \frac{10}{9}

小於

- 1

，各項正負交錯而且絕對值愈來愈大。(E) 存在：

(0.9)^{n}

趨近

0

，所以

3 \times (0.9)^{n}

趨近

0

。

等比數列

⟨ r^{n} ⟩

收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

。

第 7 題答案 (A)(C)(D)。一對一函數是指不同的

x

一定對應到不同的函數值。(A) 是：若

x_{1} + 1 = x_{2} + 1

，則

x_{1} = x_{2}

。(B) 不是：

f (1) = f (- 1) = 2

。(C) 是：

2^{x}

是遞增函數，

x_{1} < x_{2}

時

2^{x_{1}} < 2^{x_{2}}

，函數值不會相同。(D) 是：

lo g x

在定義域

x > 0

上是遞增函數，函數值不會相同。(E) 不是：

sin 0 = sin π = 0

。

要說明不是一對一，找出兩個不同的 x 有相同的函數值就夠了；遞增或遞減的函數一定是一對一。

03填充第 1、2 題：數列的極限

第 8 題答案

3

。

n \to \infty

時

\frac{100}{n + 1} \to 0

，所以極限為

3 + 0 = 3

。

第 9 題答案：不存在。分子、分母同除以

n^{2}

：

\frac{2 n - \frac{1000}{n} + \frac{4}{n ^{2}}}{1 + \frac{1000}{n ^{2}}}

。分母趨近

1

，分子隨

n

無限增大，所以數列發散，極限不存在。

分子的次數比分母高，數列會無限增大；題目規定這種情形填「不存在」。

第 10 題答案

4

。

3 \times 5^{n + 1} = 15 \times 5^{n}

，分子、分母同除以

6^{n}

：原式

= 15 (\frac{5}{6})^{n} + 4

。因為

(\frac{5}{6})^{n} \to 0

，極限為

4

。

第 11 題答案

0

。分子有理化：

n^{2} + 4 - n^{2} + 1 = \frac{( n ^{2} + 4 ) - ( n ^{2} + 1 )}{n ^{2} + 4 + n ^{2} + 1} = \frac{3}{n ^{2} + 4 + n ^{2} + 1}

。分母大於

2 n

，所以

0 < \frac{3}{n ^{2} + 4 + n ^{2} + 1} < \frac{3}{2 n}

，右邊趨近

0

，由夾擠定理極限為

0

。

兩項各自都無限增大，不能直接相減，要先有理化。

分式型同除以分母的最高次項（或底數最大的指數項）；兩個根式相減先有理化。

04填充第 3～6 題：Σ、循環小數、夾擠定理、反求極限

第 12 題答案

285

。

k^{2} - 2 k + 1 = (k - 1)^{2}

，所以原式

= 0^{2} + 1^{2} + 2^{2} + \dots + 9^{2} = \frac{9 \cdot 10 \cdot 19}{6} = 285

。

也可以分開算：

k = 1 \sum 10 k^{2} - 2 k = 1 \sum 10 k + 10 = 385 - 110 + 10 = 285

。

第 13 題答案

\frac{1}{5}

。循環節只有

9

：

0.1 \overline{9} = 0.1 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + \dots

。從第二項起是首項

0.09

、公比

0.1

的無窮等比級數，和為

\frac{0.09}{1 - 0.1} = 0.1

。所以

0.1 \overline{9} = 0.1 + 0.1 = 0.2 = \frac{1}{5}

。

第 14 題答案

1

。對每個正整數

k

，

k^{2} < k (k + 1) < (k + 1)^{2}

，所以

k < k (k + 1) < k + 1

。把

k = 1, 2, \dots, n

加起來：

\frac{n ( n + 1 )}{2} < a_{n} < \frac{n ( n + 1 )}{2} + n = \frac{n ( n + 3 )}{2}

。同乘以

\frac{2}{n ^{2}}

：

\frac{n + 1}{n} < \frac{2 a _{n}}{n ^{2}} < \frac{n + 3}{n}

。左、右兩邊的極限都是

1

，由夾擠定理

n \to \infty lim \frac{2 a _{n}}{n ^{2}} = 1

。

第 15 題答案

6

。題目已知

⟨ a_{n} ⟩

收斂，設

n \to \infty lim a_{n} = L

。若

3 L - 2 = 0

，分母趨近

0

而分子趨近

5 \cdot \frac{2}{3} + 2 \neq = 0

，分式不會收斂，所以

3 L - 2 \neq = 0

。由極限的運算性質

\frac{5 L + 2}{3 L - 2} = 2

，

5 L + 2 = 6 L - 4

，得

L = 6

。

檢查：

\frac{5 \cdot 6 + 2}{3 \cdot 6 - 2} = \frac{32}{16} = 2

。

和求不出來時，把每一項夾在兩個好算的量之間，兩邊的極限相同就用夾擠定理。

05填充第 7 題：無窮級數的和

第 16 題答案

10

。這是首項

5

、公比

\frac{1}{2}

的無窮等比級數，公比的絕對值小於

1

，和為

\frac{5}{1 - \frac{1}{2}} = 10

。

第 17 題答案

\frac{6}{25}

。設部分和

S_{n} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6 ^{2}} + \frac{3}{6 ^{3}} + \dots + \frac{n}{6 ^{n}}

，則

\frac{1}{6} S_{n} = \frac{1}{6 ^{2}} + \frac{2}{6 ^{3}} + \dots + \frac{n - 1}{6 ^{n}} + \frac{n}{6 ^{n + 1}}

。兩式相減：

\frac{5}{6} S_{n} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6 ^{2}} + \dots + \frac{1}{6 ^{n}} - \frac{n}{6 ^{n + 1}}

。

n \to \infty

時，前面的等比級數趨近

\frac{\frac{1}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{1}{5}

；又

0 < \frac{n}{6 ^{n + 1}} < \frac{2 ^{n}}{6 ^{n}} = (\frac{1}{3})^{n}

，由夾擠定理

\frac{n}{6 ^{n + 1}} \to 0

。所以

\frac{5}{6} S_{n} \to \frac{1}{5}

，級數的和為

\frac{1}{5} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{25}

。

分子是等差、分母是等比的級數，把部分和乘以公比後錯開一項相減，就會變成等比級數。

無窮等比級數的和是首項除以 1 減公比；等差乘等比型先乘公比再錯位相減。

06填充第 8～10 題：函數的極限與連續

第 18 題答案

2

。多項式函數的極限直接代入：

3 \cdot 0^{2} + 0 + 2 = 2

。

第 19 題答案

1

。

[x]

表示不大於

x

的最大整數。當

1 \leq x < 2

時

[x] = 1

，所以

x

從左、右兩邊接近

1.5

時函數值都是

1

，極限為

1

。

高斯函數只在整數點的極限不存在（左、右兩邊差

1

），

1.5

不是整數。

第 20 題答案

4

。

x \neq = 2

時

\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x + 2

，所以極限為

2 + 2 = 4

。

第 21 題答案

3

。兩項在

x \to 3

時各自的極限都不存在，先通分。

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

，原式

= \frac{3 ( x - 2 ) - 3}{( x - 2 ) ( x - 3 )} = \frac{3 ( x - 3 )}{( x - 2 ) ( x - 3 )}

。

x \neq = 3

時約去

x - 3

得

\frac{3}{x - 2}

，代入

x = 3

：

\frac{3}{1} = 3

。

第 22 題答案

2

。取

0 < ∣ x ∣ < \frac{π}{2}

，此時

sin x

與

x

同號，

\frac{sin x}{x} = \frac{∣ sin x ∣}{∣ x ∣} > 0

。由

∣ sin x ∣ < ∣ x ∣

得

\frac{sin x}{x} < 1

。由

∣ x ∣ < ∣ tan x ∣ = \frac{∣ sin x ∣}{cos x}

（這個範圍內

cos x > 0

）得

\frac{∣ sin x ∣}{∣ x ∣} > cos x

。所以

cos x < \frac{sin x}{x} < 1

。

x \to 0

時

cos x \to 1

，由夾擠定理

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

，所求為

2 \times 1 = 2

。

題目給的不等式在

x = 0

時三個量都是

0

，並不成立；它要在

x \neq = 0

時才成立。求

x \to 0

的極限本來就不看

x = 0

那一點，所以不影響答案。

第 23 題答案

- 3

。兩段各自都是多項式，只要在

x = 2

接得起來就是連續函數。左極限

x \to 2^{-} lim (x + 3) = 5

，右極限與函數值

x \to 2^{+} lim (x^{3} + a) = f (2) = 8 + a

。令

8 + a = 5

，得

a = - 3

。

分母趨近 0 的分式先因式分解、通分，約去公因式後再代入；分段函數連續只要檢查接點。

07填充第 11、12 題：無窮等比級數的應用、由極限決定多項式

第 24 題答案

\frac{1}{2}

。第一步：小正方形的面積是

\frac{1}{4}

，除去的等腰直角三角形是它的一半，面積

\frac{1}{8}

，共

1

個；剩下

3

個面積

\frac{1}{4}

的正方形。第二步：每個正方形分成四個面積

\frac{1}{16}

的小正方形，其中一個除去面積

\frac{1}{32}

的三角形，共除去

3

個，面積和

\frac{3}{32}

；每個正方形留下

3

個完整的小正方形，共

9

個。依此類推，每一步除去的三角形個數是前一步的

3

倍，每個的面積是前一步的

\frac{1}{4}

，所以每一步除去的面積是前一步的

\frac{3}{4}

倍。總和

= \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{8} (\frac{3}{4})^{2} + \dots = \frac{\frac{1}{8}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}

。

第

n

步除去

3^{n - 1}

個三角形，每個面積

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4 ^{n}}

。

第 25 題答案

f (x) = (x - 1) (x - 2) (2 x + 1)

。

x \to 1

時分母

x - 1 \to 0

而極限存在，所以

f (1) = 0

；同理

f (2) = 0

。

f (x)

是三次多項式，設

f (x) = (x - 1) (x - 2) (p x + q)

。第一個條件：

x \to 1 lim (x - 2) (p x + q) = - (p + q) = - 3

，

p + q = 3

。第二個條件：

x \to 2 lim (x - 1) (p x + q) = 2 p + q = 5

。解得

p = 2

、

q = 1

，所以

f (x) = (x - 1) (x - 2) (2 x + 1)

。

展開是

2 x^{3} - 5 x^{2} + x + 2

，寫成哪一種都可以。

分母趨近 0 而極限存在，分子在那一點的值一定是 0，多項式就有對應的一次因式。

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03填充第 1、2 題：數列的極限

04填充第 3～6 題：Σ、循環小數、夾擠定理、反求極限

05填充第 7 題：無窮級數的和

06填充第 8～10 題：函數的極限與連續

07填充第 11、12 題：無窮等比級數的應用、由極限決定多項式

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