段考詳解範圍：高三數學乙（數列的極限、Σ 記號與無窮等比級數、函數的圖形、定義域、合成函數與高斯符號）

苑裡高中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

單選題 2 題與填充題 17 格合計 19 格，依答對格數給分，共 85 分：答對 1～19 格依序得 6、12、18、24、30、35、40、45、50、54、58、62、66、70、73、76、79、82、85 分；多選題 3 題，每題 5 分，每答錯一格扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 15 分。原卷三大題各自從 1 編號，本頁改為全卷連續：單選 1～2 為第 1～2 題，多選 1～3 為第 3～5 題，填充 1～9 為第 6～14 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題：(2 題，與填充題一起合計答對格數)

下列哪個數列發散？

(A) $⟨ 1 + \frac{1}{n} ⟩$
(B) $⟨ 1 ⟩$
(C) $⟨ \frac{2 n + 2}{n} ⟩$
(D) $⟨ (\frac{2}{2})^{n} ⟩$

下列何者為

f (x) = ∣ x - 1∣ - ∣ x + 2∣

的圖形？

(A) 如圖 (A)
(B) 如圖 (B)
(C) 如圖 (C)
(D) 如圖 (D)

載入中...

二、多選題：(3 題，每題 5 分，每答錯一格扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 15 分)

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ b_{n} ⟩

為

⟨ 1 ⟩

、

⟨(- 1)^{n} ⟩

、

⟨ n ⟩

、

⟨ n^{2} ⟩

4

個數列中的其中

2

數列，則下列何者正確？

(A) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂、 $⟨ b_{n} ⟩$ 發散，則 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 發散
(B) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂、 $⟨ b_{n} ⟩$ 發散，則 $⟨ a_{n} \times b_{n} ⟩$ 發散
(C) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂、 $⟨ b_{n} ⟩$ 發散，則 $⟨ \frac{a _{n}}{b _{n}} ⟩$ 發散
(D) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂、 $⟨ b_{n} ⟩$ 發散，則 $⟨ \frac{b _{n}}{a _{n}} ⟩$ 發散
(E) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 發散、 $⟨ b_{n} ⟩$ 發散，則 $⟨ a_{n} \times b_{n} ⟩$ 發散

k = 1 \sum 5 a_{k} = 15

，

k = 1 \sum 5 b_{k} = - 5

，則下列何者正確？

(A) $k = 1 \sum 5 (a_{k} + b_{k}) = 10$
(B) $k = 1 \sum 5 (a_{k} \times b_{k}) = 75$
(C) $k = 1 \sum 5 2 a_{k} = 30$
(D) $k = 1 \sum 5 (k \cdot a_{k}) = 225$
(E) $k = 1 \sum 5 \frac{a _{k}}{b _{k}} = - 3$

哪些圖形為

y

是

x

的函數圖形？

(A) 如圖 (A)
(B) 如圖 (B)
(C) 如圖 (C)
(D) 如圖 (D)
(E) 如圖 (E)

載入中...

三、填充題：(共 17 格，配分請參閱答案卷)

請求出下列極限值（若發散請寫「不存在」）： (1)

n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n}) (\frac{2 n + 2}{n}) =

____ (2)

n \to \infty lim (\frac{2 n + 2}{n}) (\frac{2}{2})^{n} =

____ (3)

n \to \infty lim (\frac{2 ^{n} + 4 ^{n}}{2 ^{n} + 3 ^{n}}) =

____。

若數列

⟨ (\frac{2}{3 x - 1})^{n} ⟩

收斂，請求

x

範圍。

用

Σ

表示下列各級數。（注意上下標） (1)

3 + 5 + 7 + 9 + 11 = k = 1 \sum 5 (

____

)

(2)

\frac{1}{27} + \frac{1}{81} + \frac{1}{243} + \frac{1}{729} = k = 3 \sum 6 (

____

)

請求下列級數和。(1)

k = 2 \sum 6 (2 k - 1) =

____　(2)

k = 1 \sum 3 (\frac{1}{3})^{k} =

____　(3)

k = 2 \sum 5 1 =

____

一無窮等比級數

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots

，試求：(1) 前

n

項和

S_{n} =

____　(2)

n \to \infty lim S_{n} =

____

圖 1 是面積為

4

的正三角形；圖 2 為將圖 1 各邊中點連線後，中間的三角形剪掉；圖 3 為將圖 2 剩的三角形各邊中點連線後，中間的三角形剪掉，以此類推。求圖 1 三角形面積＋圖 2 剩下的三角形面積＋…＋圖

\infty

剩下的三角形面積。

載入中...

f (x) = x

、

g (x) = x + 2

，求：(1)

(\frac{f}{g}) (x)

的定義域 ____　(2)

(f \circ g) (x)

的定義域 ____　(3)

(f \circ g) (2) =

____

f (x) = {x^{2} + 1, [x], x < 0 x \geq 0

，其中

[x]

為不大於

x

的最大整數，求

f (2.9) + f (- 2)

。

台北計程車資計算方式為，（舒適型）

1.25

km 內（含）

70

元，之後每

0.2

km 加收

5

元，不足

0.2

km 以

0.2

km 算。求從台北車站坐舒適型計程車到台北 101（約

6.1

km）的車資。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(A)

第 3 題(A)(B)(D)(E)

第 4 題(A)(C)

第 5 題(A)(C)(E)

第 6 題(1)

2

　(2) 不存在　(3) 不存在

第 7 題

x \geq 1

或

x < - \frac{1}{3}

第 8 題(1)

2 k + 1

　(2)

\frac{1}{3 ^{k}}

第 9 題(1)

35

　(2)

\frac{13}{27}

　(3)

4

第 10 題(1)

\frac{1 - ( 1/2 ) ^{n}}{1 - 1/2}

（化簡後是

2 - (\frac{1}{2})^{n - 1}

）　(2)

2

第 11 題

16

第 12 題(1)

{x ∣ x \in R, x \geq 0}

　(2)

{x ∣ x \in R, x \geq - 2}

　(3)

2

第 13 題

7

第 14 題

195

元

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：數列的斂散、含絕對值的函數圖形

第 1 題答案 (D)。(A)

1 + \frac{1}{n}

：

\frac{1}{n}

趨近

0

，數列趨近

1

，收斂。(B) 每一項都是

1

的常數數列，極限是

1

，收斂。(C)

\frac{2 n + 2}{n} = 2 + \frac{2}{n}

，趨近

2

，收斂。(D)

\frac{2}{2} = 2 \approx 1.414

，是公比大於

1

的等比數列，各項

2, 2, 22, 4, \dots

越來越大，不趨近任何定值，發散。

\frac{2}{2}

要先有理化成

2

才看得出它比

1

大；等比數列

⟨ r^{n} ⟩

只有在

- 1 < r \leq 1

時收斂。

第 2 題答案 (A)。絕對值在

x = - 2

與

x = 1

變號，分三段去掉絕對值。

x < - 2

時，

f (x) = - (x - 1) + (x + 2) = 3

。

- 2 \leq x < 1

時，

f (x) = - (x - 1) - (x + 2) = - 2 x - 1

。

x \geq 1

時，

f (x) = (x - 1) - (x + 2) = - 3

。所以圖形是：左邊一段高度

3

的水平線，中間從

(- 2, 3)

斜向下到

(1, - 3)

，右邊一段高度

- 3

的水平線，就是圖 (A)。其他三個圖：(B) 中間是水平線、兩邊往上，是

∣ x - 1∣ + ∣ x + 2∣

的形狀；(C) 在兩處碰到

x

軸又彈回去，是

∣ x - 1∣ \times ∣ x + 2∣

的形狀；(D) 有一條鉛直的漸近線，是

\frac{∣ x - 1∣}{∣ x + 2∣}

的形狀。

快速判斷：

x

很大時

f (x) = - 3

是負的定值，

x

是很小的負數（

x < - 2

）時

f (x) = 3

是正的定值；(B)(C)(D) 的函數值都不會是負的，直接排除。

含絕對值的函數先找出變號的點，分段去掉絕對值再畫圖。

02多選題：收斂與發散的運算、Σ 的性質、函數的圖形

第 3 題答案 (A)(B)(D)(E)。四個數列中只有

⟨ 1 ⟩

收斂；

⟨(- 1)^{n} ⟩

在

- 1

與

1

之間跳動，

⟨ n ⟩

、

⟨ n^{2} ⟩

越來越大，三個都發散。所以「

⟨ a_{n} ⟩

收斂、

⟨ b_{n} ⟩

發散」就是

a_{n} = 1

，

b_{n}

是

(- 1)^{n}

、

n

、

n^{2}

其中之一。(A) 對：

a_{n} + b_{n}

是

1 + (- 1)^{n}

（在

0

與

2

之間跳動）、

1 + n

或

1 + n^{2}

（越來越大），都發散。(B) 對：

a_{n} \times b_{n} = b_{n}

，發散。(C) 錯：取

b_{n} = n

，

\frac{a _{n}}{b _{n}} = \frac{1}{n}

收斂到

0

。(D) 對：

\frac{b _{n}}{a _{n}} = b_{n}

，發散。(E) 對：題目說的是

4

個數列中的「其中

2

數列」，所以

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ b_{n} ⟩

取的是不同的兩個數列；兩個不同的發散數列有三種配法，乘積是

(- 1)^{n} \cdot n

、

(- 1)^{n} \cdot n^{2}

或

n^{3}

；前兩個的絕對值越來越大且正負交錯，第三個越來越大，都發散。

一般情形下「發散乘發散」不一定發散，例如

(- 1)^{n} \times (- 1)^{n} = 1

就收斂；(E) 是因為只能從這幾個數列裡挑不同的兩個才成立。

第 4 題答案 (A)(C)。(A) 對：

k = 1 \sum 5 (a_{k} + b_{k}) = k = 1 \sum 5 a_{k} + k = 1 \sum 5 b_{k} = 15 + (- 5) = 10

。(C) 對：常數可以提出來，

k = 1 \sum 5 2 a_{k} = 2 k = 1 \sum 5 a_{k} = 30

。(B)(D)(E) 都不一定成立，舉同一個例子：每個

a_{k} = 3

、每個

b_{k} = - 1

，滿足

\sum a_{k} = 15

、

\sum b_{k} = - 5

。這時 (B)

k = 1 \sum 5 (a_{k} \times b_{k}) = 5 \times (- 3) = - 15

，不是

75

；(D)

k = 1 \sum 5 (k \cdot a_{k}) = 3 \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 45

，不是

225

；(E)

k = 1 \sum 5 \frac{a _{k}}{b _{k}} = 5 \times (- 3) = - 15

，不是

- 3

。

Σ

只能拆加減、提出常數倍；乘積的和不等於和的乘積，商的和也不等於和的商。(D) 的

k

會跟著變，不是常數，不能提到

Σ

外面。

第 5 題答案 (A)(C)(E)。

y

是

x

的函數，表示每一個

x

值至多對應一個

y

值；在圖形上就是任何一條鉛直線與圖形至多交於一點。(A) 是：水平線，每條鉛直線與它恰交於一點（這是常數函數）。(B) 不是：鉛直線，同一個

x

對應到無限多個

y

。(C) 是：從原點往右上的曲線，一路往右沒有往回走，每條鉛直線至多交於一點。(D) 不是：橢圓是封閉曲線，穿過內部的鉛直線會交於上下兩點。(E) 是：左上、右下兩支曲線各在

y

軸的一側，每條鉛直線至多與其中一支交於一點。

(A) 是「很多個

x

對到同一個

y

」，仍然是函數；不行的是「一個

x

對到很多個

y

」，例如 (B) 與 (D)。

收斂與發散的運算先把可能的數列列出來逐一檢查；Σ 只能拆加減與提常數；判斷函數用鉛直線檢查。

03填充題：數列的極限、等比數列收斂的範圍

第 6 題(1)

1 + \frac{1}{n}

趨近

1

，

\frac{2 n + 2}{n} = 2 + \frac{2}{n}

趨近

2

，兩個收斂數列相乘，極限

= 1 \times 2 = 2

。(2)

\frac{2 n + 2}{n} = 2 + \frac{2}{n} > 2

，而

(\frac{2}{2})^{n} = (2)^{n}

越來越大、沒有上限，所以乘積大於

2 (2)^{n}

，也越來越大，極限不存在。(3) 分子、分母同除以

3^{n}

：

\frac{2 ^{n} + 4 ^{n}}{2 ^{n} + 3 ^{n}} = \frac{( \frac{2}{3} ) ^{n} + ( \frac{4}{3} ) ^{n}}{( \frac{2}{3} ) ^{n} + 1}

。分母趨近

0 + 1 = 1

；分子中

(\frac{2}{3})^{n}

趨近

0

，但

(\frac{4}{3})^{n}

越來越大、沒有上限，所以整個式子越來越大，極限不存在。

(3) 分子最大的底數是

4

、分母最大的底數是

3

，分子長得比分母快，所以發散；如果兩邊最大的底數一樣，極限才會是定值。

第 7 題這是公比

r = \frac{2}{3 x - 1}

的等比數列

⟨ r^{n} ⟩

，收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

。先解

r \leq 1

：

\frac{2}{3 x - 1} - 1 = \frac{3 - 3 x}{3 x - 1} \leq 0

，即

\frac{x - 1}{3 x - 1} \geq 0

，得

x \geq 1

或

x < \frac{1}{3}

。再解

r > - 1

：

\frac{2}{3 x - 1} + 1 = \frac{3 x + 1}{3 x - 1} > 0

，得

x > \frac{1}{3}

或

x < - \frac{1}{3}

。兩者同時成立：

x \geq 1

或

x < - \frac{1}{3}

。

x = 1

時

r = 1

，每一項都是

1

，收斂，要包含；

x = - \frac{1}{3}

時

r = - 1

，數列在

- 1

與

1

之間跳動，發散，不包含。分式不等式不可以直接兩邊同乘

3 x - 1

，因為它的正負還不知道；移項通分後再判斷正負。

等比數列收斂的條件是公比大於 −1 且小於等於 1，兩個端點一個要、一個不要。

04填充題：Σ 記號、等比級數的和、無窮等比級數

第 8 題(1)

3, 5, 7, 9, 11

是首項

3

、公差

2

的等差數列，第

k

項

= 3 + 2 (k - 1) = 2 k + 1

；

k

從

1

到

5

剛好是這五項，所以括號內填

2 k + 1

。(2)

27 = 3^{3}

、

81 = 3^{4}

、

243 = 3^{5}

、

729 = 3^{6}

，四項是

\frac{1}{3 ^{3}}, \frac{1}{3 ^{4}}, \frac{1}{3 ^{5}}, \frac{1}{3 ^{6}}

；下標從

k = 3

到

k = 6

，所以括號內填

\frac{1}{3 ^{k}}

（寫成

(\frac{1}{3})^{k}

也一樣）。

(2) 的

k

是從

3

開始，不是從

1

開始；如果習慣寫成

\frac{1}{3 ^{k + 2}}

，那是

k

從

1

到

4

的寫法，和題目給的上下標對不上。

第 9 題(1) 把

k = 2, 3, 4, 5, 6

代入

2 k - 1

：

3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35

。(2)

\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} = \frac{9 + 3 + 1}{27} = \frac{13}{27}

。(3)

k

從

2

到

5

5 - 2 + 1 = 4

項，每一項都是

1

，和

= 4

。

項數是「上標減下標再加

1

」；(1) 與 (3) 的下標都是

2

，不是

1

，(1) 共

5

項、(3) 共

4

項。

第 10 題首項

a = 1

、公比

r = \frac{1}{2}

。(1) 等比級數前

n

項和

S_{n} = \frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r} = \frac{1 - ( \frac{1}{2} ) ^{n}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 [1 - (\frac{1}{2})^{n}] = 2 - (\frac{1}{2})^{n - 1}

。(2)

n

越來越大時

(\frac{1}{2})^{n - 1}

趨近

0

，所以

n \to \infty lim S_{n} = 2

。

學校的答案寫的是未化簡的

\frac{1 - ( 1/2 ) ^{n}}{1 - 1/2}

，與

2 - (\frac{1}{2})^{n - 1}

相等。(2) 也可以直接用無窮等比級數的和

\frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2

檢查。

第 11 題連接三邊中點會把一個正三角形分成

4

個全等的小正三角形，剪掉中間一個，剩下

3

個，所以每做一次，剩下的面積變成原來的

\frac{3}{4}

。圖 1 面積

4

，圖 2 剩

4 \times \frac{3}{4} = 3

，圖 3 剩

3 \times \frac{3}{4} = \frac{9}{4}

，依此類推。所求是首項

4

、公比

\frac{3}{4}

的無窮等比級數，因為

\frac{3}{4} < 1

，和

= \frac{4}{1 - \frac{3}{4}} = 16

。

公比是「剩下」的比例

\frac{3}{4}

，不是剪掉的比例

\frac{1}{4}

。每個圖剩下的面積越來越接近

0

，但全部加起來是

16

。

Σ 先看下標從幾開始、共幾項；圖形規律題先找出每一步面積變成原來的幾倍。

05填充題：定義域、合成函數、高斯符號

第 12 題(1)

(\frac{f}{g}) (x) = \frac{x}{x + 2}

：根號內不可為負，

x \geq 0

；分母不可為

0

，

x \neq = - 2

。

x \geq 0

時本來就不會等於

- 2

，所以定義域是

{x ∣ x \in R, x \geq 0}

。(2)

(f \circ g) (x) = f (g (x)) = x + 2

：根號內

x + 2 \geq 0

，定義域是

{x ∣ x \in R, x \geq - 2}

。(3)

(f \circ g) (2) = f (g (2)) = f (4) = 4 = 2

。

f \circ g

是先算

g

再算

f

，順序不能反：

(g \circ f) (x) = x + 2

是另一個函數，定義域是

x \geq 0

。

第 13 題

2.9 \geq 0

，用第二個式子：

f (2.9) = [2.9] = 2

（不大於

2.9

的最大整數是

2

）。

- 2 < 0

，用第一個式子：

f (- 2) = (- 2)^{2} + 1 = 5

。所以

f (2.9) + f (- 2) = 2 + 5 = 7

。

高斯符號是往小的方向取整數，不是四捨五入：

[2.9] = 2

，不是

3

。

第 14 題超過起跳里程的部分是

6.1 - 1.25 = 4.85

km。每

0.2

km 加收一次：

4.85 \div 0.2 = 24.25

，不足

0.2

km 以

0.2

km 算，所以要加收

25

次。車資

= 70 + 5 \times 25 = 195

元。

這裡是「無條件進位」：

24

次只夠算到

1.25 + 24 \times 0.2 = 6.05

km，剩下的

0.05

km 還要再加收一次。

合成函數由裡往外算；分段定義的函數先看 x 落在哪一段；不足一段以一段計是無條件進位。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 111 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要先看出四個數列裡只有常數數列收斂，再把每種配法列出來檢查，其中選項 (C) 的 n 分之 1 會收斂；第 4 題 Σ 只能拆加減與提出常數，乘積、相除與乘上 k 都不能直接用兩個總和去算；第 7 題公比等於 1 時收斂、等於負 1 時發散，而且要解分式不等式；第 6 題第 (3) 小題分子最大的底數比分母大，極限不存在；第 14 題不足 0.2 公里要多算一次。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自苑裡高中 111 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：高三數學乙（數列的極限、Σ 記號與無窮等比級數、函數的圖形、定義域、合成函數與高斯符號）

苑裡高中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

一、單選題：(2 題，與填充題一起合計答對格數)

下列哪個數列發散？

(A) $⟨ 1 + \frac{1}{n} ⟩$
(B) $⟨ 1 ⟩$
(C) $⟨ \frac{2 n + 2}{n} ⟩$
(D) $⟨ (\frac{2}{2})^{n} ⟩$

下列何者為

f (x) = ∣ x - 1∣ - ∣ x + 2∣

的圖形？

(A) 如圖 (A)
(B) 如圖 (B)
(C) 如圖 (C)
(D) 如圖 (D)

載入中...

二、多選題：(3 題，每題 5 分，每答錯一格扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 15 分)

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ b_{n} ⟩

為

⟨ 1 ⟩

、

⟨(- 1)^{n} ⟩

、

⟨ n ⟩

、

⟨ n^{2} ⟩

4

個數列中的其中

2

數列，則下列何者正確？

(A) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂、 $⟨ b_{n} ⟩$ 發散，則 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 發散
(B) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂、 $⟨ b_{n} ⟩$ 發散，則 $⟨ a_{n} \times b_{n} ⟩$ 發散
(C) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂、 $⟨ b_{n} ⟩$ 發散，則 $⟨ \frac{a _{n}}{b _{n}} ⟩$ 發散
(D) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂、 $⟨ b_{n} ⟩$ 發散，則 $⟨ \frac{b _{n}}{a _{n}} ⟩$ 發散
(E) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 發散、 $⟨ b_{n} ⟩$ 發散，則 $⟨ a_{n} \times b_{n} ⟩$ 發散

k = 1 \sum 5 a_{k} = 15

，

k = 1 \sum 5 b_{k} = - 5

，則下列何者正確？

(A) $k = 1 \sum 5 (a_{k} + b_{k}) = 10$
(B) $k = 1 \sum 5 (a_{k} \times b_{k}) = 75$
(C) $k = 1 \sum 5 2 a_{k} = 30$
(D) $k = 1 \sum 5 (k \cdot a_{k}) = 225$
(E) $k = 1 \sum 5 \frac{a _{k}}{b _{k}} = - 3$

哪些圖形為

y

是

x

的函數圖形？

(A) 如圖 (A)
(B) 如圖 (B)
(C) 如圖 (C)
(D) 如圖 (D)
(E) 如圖 (E)

載入中...

三、填充題：(共 17 格，配分請參閱答案卷)

請求出下列極限值（若發散請寫「不存在」）： (1)

n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n}) (\frac{2 n + 2}{n}) =

____ (2)

n \to \infty lim (\frac{2 n + 2}{n}) (\frac{2}{2})^{n} =

____ (3)

n \to \infty lim (\frac{2 ^{n} + 4 ^{n}}{2 ^{n} + 3 ^{n}}) =

____。

若數列

⟨ (\frac{2}{3 x - 1})^{n} ⟩

收斂，請求

x

範圍。

用

Σ

表示下列各級數。（注意上下標） (1)

3 + 5 + 7 + 9 + 11 = k = 1 \sum 5 (

____

)

(2)

\frac{1}{27} + \frac{1}{81} + \frac{1}{243} + \frac{1}{729} = k = 3 \sum 6 (

____

)

請求下列級數和。(1)

k = 2 \sum 6 (2 k - 1) =

____　(2)

k = 1 \sum 3 (\frac{1}{3})^{k} =

____　(3)

k = 2 \sum 5 1 =

____

一無窮等比級數

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots

，試求：(1) 前

n

項和

S_{n} =

____　(2)

n \to \infty lim S_{n} =

____

圖 1 是面積為

4

\infty

剩下的三角形面積。

載入中...

f (x) = x

、

g (x) = x + 2

，求：(1)

(\frac{f}{g}) (x)

的定義域 ____　(2)

(f \circ g) (x)

的定義域 ____　(3)

(f \circ g) (2) =

____

f (x) = {x^{2} + 1, [x], x < 0 x \geq 0

，其中

[x]

為不大於

x

的最大整數，求

f (2.9) + f (- 2)

。

台北計程車資計算方式為，（舒適型）

1.25

km 內（含）

70

元，之後每

0.2

km 加收

5

元，不足

0.2

km 以

0.2

km 算。求從台北車站坐舒適型計程車到台北 101（約

6.1

km）的車資。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(A)

第 3 題(A)(B)(D)(E)

第 4 題(A)(C)

第 5 題(A)(C)(E)

第 6 題(1)

2

　(2) 不存在　(3) 不存在

第 7 題

x \geq 1

或

x < - \frac{1}{3}

第 8 題(1)

2 k + 1

　(2)

\frac{1}{3 ^{k}}

第 9 題(1)

35

　(2)

\frac{13}{27}

　(3)

4

第 10 題(1)

\frac{1 - ( 1/2 ) ^{n}}{1 - 1/2}

（化簡後是

2 - (\frac{1}{2})^{n - 1}

）　(2)

2

第 11 題

16

第 12 題(1)

{x ∣ x \in R, x \geq 0}

　(2)

{x ∣ x \in R, x \geq - 2}

　(3)

2

第 13 題

7

第 14 題

195

元

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：數列的斂散、含絕對值的函數圖形

第 1 題答案 (D)。(A)

1 + \frac{1}{n}

：

\frac{1}{n}

趨近

0

，數列趨近

1

，收斂。(B) 每一項都是

1

的常數數列，極限是

1

，收斂。(C)

\frac{2 n + 2}{n} = 2 + \frac{2}{n}

，趨近

2

，收斂。(D)

\frac{2}{2} = 2 \approx 1.414

，是公比大於

1

的等比數列，各項

2, 2, 22, 4, \dots

越來越大，不趨近任何定值，發散。

\frac{2}{2}

要先有理化成

2

才看得出它比

1

大；等比數列

⟨ r^{n} ⟩

只有在

- 1 < r \leq 1

時收斂。

第 2 題答案 (A)。絕對值在

x = - 2

與

x = 1

變號，分三段去掉絕對值。

x < - 2

時，

f (x) = - (x - 1) + (x + 2) = 3

。

- 2 \leq x < 1

時，

f (x) = - (x - 1) - (x + 2) = - 2 x - 1

。

x \geq 1

時，

f (x) = (x - 1) - (x + 2) = - 3

。所以圖形是：左邊一段高度

3

的水平線，中間從

(- 2, 3)

斜向下到

(1, - 3)

，右邊一段高度

- 3

的水平線，就是圖 (A)。其他三個圖：(B) 中間是水平線、兩邊往上，是

∣ x - 1∣ + ∣ x + 2∣

的形狀；(C) 在兩處碰到

x

軸又彈回去，是

∣ x - 1∣ \times ∣ x + 2∣

的形狀；(D) 有一條鉛直的漸近線，是

\frac{∣ x - 1∣}{∣ x + 2∣}

的形狀。

快速判斷：

x

很大時

f (x) = - 3

是負的定值，

x

是很小的負數（

x < - 2

）時

f (x) = 3

是正的定值；(B)(C)(D) 的函數值都不會是負的，直接排除。

含絕對值的函數先找出變號的點，分段去掉絕對值再畫圖。

02多選題：收斂與發散的運算、Σ 的性質、函數的圖形

第 3 題答案 (A)(B)(D)(E)。四個數列中只有

⟨ 1 ⟩

收斂；

⟨(- 1)^{n} ⟩

在

- 1

與

1

之間跳動，

⟨ n ⟩

、

⟨ n^{2} ⟩

越來越大，三個都發散。所以「

⟨ a_{n} ⟩

收斂、

⟨ b_{n} ⟩

發散」就是

a_{n} = 1

，

b_{n}

是

(- 1)^{n}

、

n

、

n^{2}

其中之一。(A) 對：

a_{n} + b_{n}

是

1 + (- 1)^{n}

（在

0

與

2

之間跳動）、

1 + n

或

1 + n^{2}

（越來越大），都發散。(B) 對：

a_{n} \times b_{n} = b_{n}

，發散。(C) 錯：取

b_{n} = n

，

\frac{a _{n}}{b _{n}} = \frac{1}{n}

收斂到

0

。(D) 對：

\frac{b _{n}}{a _{n}} = b_{n}

，發散。(E) 對：題目說的是

4

個數列中的「其中

2

數列」，所以

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ b_{n} ⟩

取的是不同的兩個數列；兩個不同的發散數列有三種配法，乘積是

(- 1)^{n} \cdot n

、

(- 1)^{n} \cdot n^{2}

或

n^{3}

；前兩個的絕對值越來越大且正負交錯，第三個越來越大，都發散。

一般情形下「發散乘發散」不一定發散，例如

(- 1)^{n} \times (- 1)^{n} = 1

就收斂；(E) 是因為只能從這幾個數列裡挑不同的兩個才成立。

第 4 題答案 (A)(C)。(A) 對：

k = 1 \sum 5 (a_{k} + b_{k}) = k = 1 \sum 5 a_{k} + k = 1 \sum 5 b_{k} = 15 + (- 5) = 10

。(C) 對：常數可以提出來，

k = 1 \sum 5 2 a_{k} = 2 k = 1 \sum 5 a_{k} = 30

。(B)(D)(E) 都不一定成立，舉同一個例子：每個

a_{k} = 3

、每個

b_{k} = - 1

，滿足

\sum a_{k} = 15

、

\sum b_{k} = - 5

。這時 (B)

k = 1 \sum 5 (a_{k} \times b_{k}) = 5 \times (- 3) = - 15

，不是

75

；(D)

k = 1 \sum 5 (k \cdot a_{k}) = 3 \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 45

，不是

225

；(E)

k = 1 \sum 5 \frac{a _{k}}{b _{k}} = 5 \times (- 3) = - 15

，不是

- 3

。

Σ

只能拆加減、提出常數倍；乘積的和不等於和的乘積，商的和也不等於和的商。(D) 的

k

會跟著變，不是常數，不能提到

Σ

外面。

第 5 題答案 (A)(C)(E)。

y

是

x

的函數，表示每一個

x

值至多對應一個

y

值；在圖形上就是任何一條鉛直線與圖形至多交於一點。(A) 是：水平線，每條鉛直線與它恰交於一點（這是常數函數）。(B) 不是：鉛直線，同一個

x

對應到無限多個

y

y

軸的一側，每條鉛直線至多與其中一支交於一點。

(A) 是「很多個

x

對到同一個

y

」，仍然是函數；不行的是「一個

x

對到很多個

y

」，例如 (B) 與 (D)。

收斂與發散的運算先把可能的數列列出來逐一檢查；Σ 只能拆加減與提常數；判斷函數用鉛直線檢查。

03填充題：數列的極限、等比數列收斂的範圍

第 6 題(1)

1 + \frac{1}{n}

趨近

1

，

\frac{2 n + 2}{n} = 2 + \frac{2}{n}

趨近

2

，兩個收斂數列相乘，極限

= 1 \times 2 = 2

。(2)

\frac{2 n + 2}{n} = 2 + \frac{2}{n} > 2

，而

(\frac{2}{2})^{n} = (2)^{n}

越來越大、沒有上限，所以乘積大於

2 (2)^{n}

，也越來越大，極限不存在。(3) 分子、分母同除以

3^{n}

：

\frac{2 ^{n} + 4 ^{n}}{2 ^{n} + 3 ^{n}} = \frac{( \frac{2}{3} ) ^{n} + ( \frac{4}{3} ) ^{n}}{( \frac{2}{3} ) ^{n} + 1}

。分母趨近

0 + 1 = 1

；分子中

(\frac{2}{3})^{n}

趨近

0

，但

(\frac{4}{3})^{n}

越來越大、沒有上限，所以整個式子越來越大，極限不存在。

(3) 分子最大的底數是

4

、分母最大的底數是

3

，分子長得比分母快，所以發散；如果兩邊最大的底數一樣，極限才會是定值。

第 7 題這是公比

r = \frac{2}{3 x - 1}

的等比數列

⟨ r^{n} ⟩

，收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

。先解

r \leq 1

：

\frac{2}{3 x - 1} - 1 = \frac{3 - 3 x}{3 x - 1} \leq 0

，即

\frac{x - 1}{3 x - 1} \geq 0

，得

x \geq 1

或

x < \frac{1}{3}

。再解

r > - 1

：

\frac{2}{3 x - 1} + 1 = \frac{3 x + 1}{3 x - 1} > 0

，得

x > \frac{1}{3}

或

x < - \frac{1}{3}

。兩者同時成立：

x \geq 1

或

x < - \frac{1}{3}

。

x = 1

時

r = 1

，每一項都是

1

，收斂，要包含；

x = - \frac{1}{3}

時

r = - 1

，數列在

- 1

與

1

之間跳動，發散，不包含。分式不等式不可以直接兩邊同乘

3 x - 1

，因為它的正負還不知道；移項通分後再判斷正負。

等比數列收斂的條件是公比大於 −1 且小於等於 1，兩個端點一個要、一個不要。

04填充題：Σ 記號、等比級數的和、無窮等比級數

第 8 題(1)

3, 5, 7, 9, 11

是首項

3

、公差

2

的等差數列，第

k

項

= 3 + 2 (k - 1) = 2 k + 1

；

k

從

1

到

5

剛好是這五項，所以括號內填

2 k + 1

。(2)

27 = 3^{3}

、

81 = 3^{4}

、

243 = 3^{5}

、

729 = 3^{6}

，四項是

\frac{1}{3 ^{3}}, \frac{1}{3 ^{4}}, \frac{1}{3 ^{5}}, \frac{1}{3 ^{6}}

；下標從

k = 3

到

k = 6

，所以括號內填

\frac{1}{3 ^{k}}

（寫成

(\frac{1}{3})^{k}

也一樣）。

(2) 的

k

是從

3

開始，不是從

1

開始；如果習慣寫成

\frac{1}{3 ^{k + 2}}

，那是

k

從

1

到

4

的寫法，和題目給的上下標對不上。

第 9 題(1) 把

k = 2, 3, 4, 5, 6

代入

2 k - 1

：

3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35

。(2)

\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} = \frac{9 + 3 + 1}{27} = \frac{13}{27}

。(3)

k

從

2

到

5

5 - 2 + 1 = 4

項，每一項都是

1

，和

= 4

。

項數是「上標減下標再加

1

」；(1) 與 (3) 的下標都是

2

，不是

1

，(1) 共

5

項、(3) 共

4

項。

第 10 題首項

a = 1

、公比

r = \frac{1}{2}

。(1) 等比級數前

n

項和

S_{n} = \frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r} = \frac{1 - ( \frac{1}{2} ) ^{n}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 [1 - (\frac{1}{2})^{n}] = 2 - (\frac{1}{2})^{n - 1}

。(2)

n

越來越大時

(\frac{1}{2})^{n - 1}

趨近

0

，所以

n \to \infty lim S_{n} = 2

。

學校的答案寫的是未化簡的

\frac{1 - ( 1/2 ) ^{n}}{1 - 1/2}

，與

2 - (\frac{1}{2})^{n - 1}

相等。(2) 也可以直接用無窮等比級數的和

\frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2

檢查。

第 11 題連接三邊中點會把一個正三角形分成

4

個全等的小正三角形，剪掉中間一個，剩下

3

個，所以每做一次，剩下的面積變成原來的

\frac{3}{4}

。圖 1 面積

4

，圖 2 剩

4 \times \frac{3}{4} = 3

，圖 3 剩

3 \times \frac{3}{4} = \frac{9}{4}

，依此類推。所求是首項

4

、公比

\frac{3}{4}

的無窮等比級數，因為

\frac{3}{4} < 1

，和

= \frac{4}{1 - \frac{3}{4}} = 16

。

公比是「剩下」的比例

\frac{3}{4}

，不是剪掉的比例

\frac{1}{4}

。每個圖剩下的面積越來越接近

0

，但全部加起來是

16

。

Σ 先看下標從幾開始、共幾項；圖形規律題先找出每一步面積變成原來的幾倍。

05填充題：定義域、合成函數、高斯符號

第 12 題(1)

(\frac{f}{g}) (x) = \frac{x}{x + 2}

：根號內不可為負，

x \geq 0

；分母不可為

0

，

x \neq = - 2

。

x \geq 0

時本來就不會等於

- 2

，所以定義域是

{x ∣ x \in R, x \geq 0}

。(2)

(f \circ g) (x) = f (g (x)) = x + 2

：根號內

x + 2 \geq 0

，定義域是

{x ∣ x \in R, x \geq - 2}

。(3)

(f \circ g) (2) = f (g (2)) = f (4) = 4 = 2

。

f \circ g

是先算

g

再算

f

，順序不能反：

(g \circ f) (x) = x + 2

是另一個函數，定義域是

x \geq 0

。

第 13 題

2.9 \geq 0

，用第二個式子：

f (2.9) = [2.9] = 2

（不大於

2.9

的最大整數是

2

）。

- 2 < 0

，用第一個式子：

f (- 2) = (- 2)^{2} + 1 = 5

。所以

f (2.9) + f (- 2) = 2 + 5 = 7

。

高斯符號是往小的方向取整數，不是四捨五入：

[2.9] = 2

，不是

3

。

第 14 題超過起跳里程的部分是

6.1 - 1.25 = 4.85

km。每

0.2

km 加收一次：

4.85 \div 0.2 = 24.25

，不足

0.2

km 以

0.2

km 算，所以要加收

25

次。車資

= 70 + 5 \times 25 = 195

元。

這裡是「無條件進位」：

24

次只夠算到

1.25 + 24 \times 0.2 = 6.05

km，剩下的

0.05

km 還要再加收一次。

合成函數由裡往外算；分段定義的函數先看 x 落在哪一段；不足一段以一段計是無條件進位。

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每一題，錯在哪一步

01單選題：數列的斂散、含絕對值的函數圖形

02多選題：收斂與發散的運算、Σ 的性質、函數的圖形

03填充題：數列的極限、等比數列收斂的範圍

04填充題：Σ 記號、等比級數的和、無窮等比級數

05填充題：定義域、合成函數、高斯符號

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常見問題

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苑裡高中 111 上
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