段考詳解範圍：指數與對數函數（對數與對數律、換底公式、對數函數的圖形、指數對數方程式與不等式、常用對數的應用）、平面向量的表示法

苑裡高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 苑裡高中 111 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 苑裡高中 111 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要分別說明哪些圖形與 y＝x 不相交、哪些恰交一次，(D) 的 x 小於 0 那一支容易漏；第 14 題 (2) 要拆成 x 小於 1 與 x 大於等於 1 兩段數交點；第 16 題負對數的尾數要向下借 1；第 13 題 (2) 外層對數要求內層大於 0。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 21 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

多選題 4 題，每題 5 分，錯一個選項扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 20 分；單選與填充題 17 題共 23 格（卷面第 1～4 題是單選、第 5～17 題是填充，其中第 5、8、9、10、15 題分小題），依答對格數給分，共 80 分：答對 1～23 格依序得 6、12、17、22、27、32、37、41、45、49、53、56、59、62、65、68、70、72、74、76、78、79、80 分。卷面兩個大題各自從 1 編號，本頁全卷連續編號：多選第 1～4 題為本頁第 1～4 題，單選與填充第 1～17 題為本頁第 5～21 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多選題（每題5分，錯一個選項扣2分，扣至0分為止，共20分。）

關於函數圖形的敘述，下列選項哪些是正確的？

(A) $y = lo g x$ 為嚴格遞增函數
(B) $y = lo g x$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{10}} x$ 的圖形對稱於 $x$ 軸
(C) $y = lo g x$ 與 $y = lo g (- x)$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(D) $y = lo g x$ 對稱直線 $y = x$ 之後的函數為 $y = (\frac{1}{10})^{x}$
(E) 在 $y = lo g x$ 的圖形上任取相異兩點 $A$ ， $B$ ，則直線 $A B$ 的斜率為正

若

a > 0

，

a \neq = 1

，有關

y = lo g_{a} x

圖形的敘述，下列選項哪些是正確的？

(A) 以 $y$ 軸為漸近線
(B) $y = lo g_{a} x$ 的圖形恆在 $y$ 軸右方
(C) 任一水平線都恰與 $y = lo g_{a} x$ 的圖形交於一點
(D) $y = lo g_{a} x$ 的圖形通過 $(0, 1)$
(E) 將 $y = lo g_{a} x$ 向右移兩單位得 $y = lo g_{a} (x + 2)$

下列選項中的函數圖形哪些與直線

y = x

恰交於一點？

(A) $y = lo g x$
(B) $y = lo g_{\frac{1}{10}} x$
(C) $y = 2^{x}$
(D) $y = lo g_{2} ∣ x ∣$
(E) $y = 2^{- x}$

如下圖所示，兩射線

O A

與

O B

交於

O

點，試問下列選項中哪些向量的終點會落在陰影區域內？

(A) $\frac{3}{4} O A - 2 O B$
(B) $4 O A - 2 O B$
(C) $\frac{3}{4} O A + \frac{1}{3} O B$
(D) $\frac{3}{4} O A + \frac{1}{5} O B$
(E) $O A + 2 O B$

載入中...

二、單選與填充題（依答對格數給分，共80分）

若

a = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16}

，

b = 0

，

c = lo g_{\frac{1}{2}} 2

，關於

a, b, c

的大小關係，下列選項何者正確？

(A) $a < b < c$
(B) $a < c < b$
(C) $b < a < c$
(D) $b < c < a$
(E) $c < b < a$

兩直線

y = 4

及

y = 12

與曲線

y = 3^{x}

分別交於

P

、

Q

兩點，則直線

P Q

的斜率為？

(A) $8$
(B) $6$
(C) $4$
(D) $2$
(E) $1$

已知某新元素的半衰期為1000年(半衰期是指衰變到質量的一半所需的時間)，則其衰變到原質量的

\frac{5}{8}

所需的時間最接近下列哪個選項（

lo g 2 \approx 0.3010

）

(A) $550$
(B) $600$
(C) $680$
(D) $760$
(E) $850$ 年

設

1 \leq x \leq 10000

，關於

f (x) = (lo g x)^{2} - 3 lo g x^{2}

的敘述，下列選項何者正確？

(A) 當 $x = 1$ 時 $f (x)$ 有最小值
(B) $f (x)$ 最小值為 $- 1$
(C) 當 $x = 10000$ 時 $f (x)$ 有最大值
(D) $f (x)$ 最大值為 $0$
(E) $f (10) = 2$

化簡： (1)

lo g_{2} 50 - 3 lo g_{2} 5 + 2 lo g_{2} 3 - lo g_{2} \frac{9}{80} =

____ (2)

(lo g_{7} 32 + lo g_{49} 2) \times (lo g_{16} 49 + lo g_{4} 7) =

____。

設

a = lo g_{3} 5

，

b = lo g_{2} 3

，則

9^{a} + 4^{b} =

____。

設

lo g_{4} 18 = t

，則

lo g_{3} 2 =

____。（以

t

表示）

求下列各方程式的解： (1) 若

9^{x} + 4 \times 3^{x} - 45 = 0

，則實數

x =

____ (2) 若

2 lo g_{3} (4 - x) - lo g_{3} (x + 14) = 1

，則實數

x =

____ (3) 若

lo g_{2} x - lo g_{x} 4 + 1 = 0

，則實數

x =

____。

求下列各對數不等式的解： (1)

lo g_{2} (x - 1) \leq lo g_{4} (7 - x)

的解為 ____ (2)

lo g_{2} (lo g_{\frac{1}{3}} x) < 2

的解為 ____

利用函數圖形判斷 (1) 方程式

2^{∣ x ∣} = x - 2

有 ____ 個實數解 (2) 方程式

x = 4 \times ∣ lo g_{2} x ∣

有 ____ 個實數解

已知函數

f (x) = a + lo g_{b} x

的圖形通過

(4, 1)

且其反函數

f^{- 1} (x)

的圖形通過

(2, 8)

，則數對

(a, b) =

____。

已知

lo g x = - 4.1405

，則

lo g x

的尾數為 ____。

設自然數

x

滿足

lo g_{5} (lo g_{2} x) = 2

，若

x

是

n

位數且最高位數為

t

，則數對

(n, t) =

____。（

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

設兩直線參數方程式為

L_{1} : {x = 3 + 2 t y = 2 - t, t \in R L_{2} : {x = - 1 + s y = 5 - s, s \in R

則此兩直線之交點坐標為 ____。

坐標平面上，設

A

，

B

，

C

三點的坐標分別為

A (2, 5)

，

B (- 1, 3)

，

C (8, t)

， (1) 試以坐標表示法表示向量

A B =

____ (2) 若

A B / / A C

，則

t =

____。

如下圖，正六邊形

A B C D E F

中，若

C D = a

，

D E = b

，則

E F =

____。（以

a

與

b

表示）

載入中...

坐標平面上的

Δ A B C

中，若

P

為

\overline{B C}

邊之中點，

Q

在

\overline{A C}

邊上且

\overline{A Q} = 2 \overline{QC}

。若

P Q = m A B + n A C

，則數對

(m, n) =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(B)(C)(E)

第 2 題(A)(B)(C)

第 3 題(B)(D)(E)

第 4 題(C)(E)

第 5 題(E)

第 6 題(A)

第 7 題(C)

第 8 題(D)

第 9 題(1)

5

　(2)

\frac{11}{2}

第 10 題

86

第 11 題

\frac{2}{2 t - 1}

第 12 題(1)

lo g_{3} 5

　(2)

- 2

　(3)

\frac{1}{4}

或

2

第 13 題(1)

1 < x \leq 3

　(2)

\frac{1}{81} < x < 1

第 14 題(1)

0

　(2)

3

第 15 題

(- 1, 2)

第 16 題

0.8595

第 17 題

(8, 3)

第 18 題

(1, 3)

第 19 題(1)

(- 3, - 2)

　(2)

9

第 20 題

- a + b

第 21 題

(- \frac{1}{2}, \frac{1}{6})

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題：對數函數圖形的性質

第 1 題

答案 (A)(B)(C)(E)。

(A) 正確。 底數 $10 > 1$ ， $y = lo g x$ 是嚴格遞增函數： $0 < x_{1} < x_{2}$ 時 $lo g x_{1} < lo g x_{2}$ 。

(B) 正確。 換底： $lo g_{\frac{1}{10}} x = \frac{lo g x}{lo g \frac{1}{10}} = \frac{lo g x}{- 1} = - lo g x$ 。點 $(s, t)$ 在 $y = lo g x$ 上若且唯若 $(s, - t)$ 在 $y = - lo g x$ 上，而 $(s, t)$ 與 $(s, - t)$ 對稱於 $x$ 軸。

(C) 正確。 點 $(s, t)$ 在 $y = lo g x$ 上（ $t = lo g s$ ）若且唯若 $(- s, t)$ 在 $y = lo g (- x)$ 上（ $lo g (- (- s)) = lo g s = t$ ），而 $(s, t)$ 與 $(- s, t)$ 對稱於 $y$ 軸。

(D) 錯誤。 對稱於直線 $y = x$ 就是把每個點 $(s, t)$ 換成 $(t, s)$ ： $t = lo g s$ 變成 $s = 1 0^{t}$ ，所得函數是 $y = 1 0^{x}$ ，不是 $y = (\frac{1}{10})^{x}$ （後者是遞減函數，與 $y = 1 0^{x}$ 對稱於 $y$ 軸）。

(E) 正確。 設 $A (x_{1}, lo g x_{1})$ 、 $B (x_{2}, lo g x_{2})$ ， $x_{1} < x_{2}$ 。由 (A) 嚴格遞增， $lo g x_{2} - lo g x_{1} > 0$ ，而 $x_{2} - x_{1} > 0$ ，所以斜率 $\frac{lo g x _{2} - lo g x _{1}}{x _{2} - x _{1}} > 0$ 。

第 2 題

答案 (A)(B)(C)。

(A) 正確。 $a > 1$ 時， $x$ 從右邊趨近 $0$ ， $lo g_{a} x$ 往下無限變小； $0 < a < 1$ 時往上無限變大。兩種情形圖形都無限靠近 $y$ 軸而不碰到， $y$ 軸是漸近線。

(B) 正確。 定義域是 $x > 0$ ，圖形上每一點的 $x$ 坐標都是正的，恆在 $y$ 軸右方。

(D) 錯誤。 $x = 0$ 不在定義域內，圖形不通過 $(0, 1)$ 。（對數函數的圖形通過的是 $(1, 0)$ 。）

(E) 錯誤。 向右移兩單位是把 $x$ 換成 $x - 2$ ，得 $y = lo g_{a} (x - 2)$ ； $y = lo g_{a} (x + 2)$ 是向左移兩單位。

圖形的對稱與平移都回到「點怎麼換」：對 x 軸換 y 的正負、對 y 軸換 x 的正負、對 y＝x 交換 x 與 y、向右移把 x 換成 x 減。

02多選題：與 y＝x 的交點個數、線性組合的終點位置

第 3 題

答案 (B)(D)(E)。先說明一個事實：對所有實數 $x$ ， $2^{x} > x$ 。分段看： $x < 0$ 時 $2^{x} > 0 > x$ ； $0 \leq x < 1$ 時 $2^{x} \geq 1 > x$ ； $x \geq 1$ 時取整數 $k \geq 1$ 使 $k \leq x < k + 1$ ， $2^{x} \geq 2^{k} \geq k + 1 > x$ （ $2^{k} \geq k + 1$ 由 $2^{1} = 2$ 起每次乘 $2$ 至少多 $1$ 可知）。

(A) 錯誤。 若 $lo g s = s$ ，則 $s = 1 0^{s}$ ；但 $s > 0$ 時 $1 0^{s} \geq 2^{s} > s$ ，矛盾。所以沒有交點。

(B) 正確。 令 $g (x) = lo g_{\frac{1}{10}} x - x$ （ $x > 0$ ）。 $lo g_{\frac{1}{10}} x$ 嚴格遞減、 $- x$ 嚴格遞減，所以 $g$ 嚴格遞減，最多一個零點。又 $g (\frac{1}{10}) = 1 - \frac{1}{10} > 0$ ， $g (1) = 0 - 1 < 0$ ，圖形連續，所以在兩者之間恰有一個交點。

(D) 正確。 $x > 0$ 時要 $lo g_{2} x = x$ ，即 $x = 2^{x}$ ，與 $2^{x} > x$ 矛盾，沒有交點。 $x < 0$ 時要 $lo g_{2} (- x) = x$ ：令 $h (x) = lo g_{2} (- x) - x$ ， $x$ 由 $- \infty$ 往 $0$ 增加時 $- x$ 變小， $lo g_{2} (- x)$ 嚴格遞減， $- x$ 也嚴格遞減，所以 $h$ 嚴格遞減； $h (- 1) = 0 + 1 > 0$ ， $h (- \frac{1}{2}) = - 1 + \frac{1}{2} < 0$ ，恰有一個交點。共一個交點。

(E) 正確。 令 $k (x) = 2^{- x} - x$ ， $2^{- x} = (\frac{1}{2})^{x}$ 嚴格遞減、 $- x$ 嚴格遞減， $k$ 嚴格遞減； $k (0) = 1 > 0$ ， $k (1) = \frac{1}{2} - 1 < 0$ ，恰有一個交點。

(B)(E) 是「一條遞減、一條遞增」，最多交一次；(A)(C) 是兩條都遞增，要另外說明它們永遠不相交。

第 4 題

答案 (C)(E)。由圖，陰影區域在 $∠ A O B$ 內部、線段 $A B$ 的另一側（遠離 $O$ 的一側）。把向量寫成 $O P = x O A + y O B$ ：

終點在 $∠ A O B$ 內（含兩邊） $⟺ x \geq 0$ 且 $y \geq 0$ 。

當 $x, y \geq 0$ 、 $x + y = s > 0$ 時， $O P = s (\frac{x}{s} O A + \frac{y}{s} O B)$ ，括號裡兩係數非負且和為 $1$ ，終點 $P^{'}$ 在線段 $A B$ 上， $P$ 是把 $O P^{'}$ 伸縮 $s$ 倍。所以 $s > 1$ 時 $P$ 在線段 $A B$ 外側（陰影內）， $s < 1$ 時在 $△ O A B$ 內， $s = 1$ 時在線段 $A B$ 上。

(A) 錯誤。 $O B$ 的係數 $- 2 < 0$ ，終點不在 $∠ A O B$ 內。

(B) 錯誤。 $O B$ 的係數 $- 2 < 0$ ，同上。

(D) 錯誤。 係數都正，但和 $\frac{3}{4} + \frac{1}{5} = \frac{19}{20} < 1$ ，終點在 $△ O A B$ 內，不在陰影內。

(E) 正確。 係數都正，和 $1 + 2 = 3 > 1$ 。

陰影區域代表的是

x \geq 0

、

y \geq 0

、

x + y \geq 1

這一塊，往外延伸；圖上只畫出一部分。

用 OA、OB 的係數判斷位置：兩個係數都非負才在角內，係數和與 1 比較決定在線段 AB 的哪一側。

03單選題：對數比大小、圖形上兩點的斜率、半衰期、二次函數型的極值

第 5 題答案 (E)。

a = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16}

：

(\frac{1}{2})^{4} = \frac{1}{16}

，所以

a = 4

。

c = lo g_{\frac{1}{2}} 2

：

(\frac{1}{2})^{- 1} = 2

，所以

c = - 1

。

- 1 < 0 < 4

，即

c < b < a

。

第 6 題答案 (A)。

P

：

3^{x} = 4

，

x = lo g_{3} 4

，

P (lo g_{3} 4, 4)

。

Q

：

3^{x} = 12

，

x = lo g_{3} 12

，

Q (lo g_{3} 12, 12)

。斜率

= \frac{12 - 4}{lo g _{3} 12 - lo g _{3} 4} = \frac{8}{lo g _{3} \frac{12}{4}} = \frac{8}{lo g _{3} 3} = 8

。

第 7 題

答案 (C)。經過 $T$ 年後剩下原質量的 $(\frac{1}{2})^{\frac{T}{1000}}$ 倍，要 $(\frac{1}{2})^{\frac{T}{1000}} = \frac{5}{8}$ 。兩邊取倒數再取常用對數： $\frac{T}{1000} lo g 2 = lo g \frac{8}{5}$ 。

$lo g \frac{8}{5} = lo g \frac{16}{10} = 4 lo g 2 - 1 \approx 1.2040 - 1 = 0.2040$ ，

所以 $T = 1000 \times \frac{0.2040}{0.3010} \approx 677.7$ 年，最接近 $680$ 年。

lo g \frac{8}{5}

也可寫成

3 lo g 2 - lo g 5

，再用

lo g 5 = 1 - lo g 2

，結果相同。

第 8 題

答案 (D)。 $lo g x^{2} = 2 lo g x$ ，令 $t = lo g x$ ， $1 \leq x \leq 10000$ 對應 $0 \leq t \leq 4$ 。

$f (x) = t^{2} - 6 t = (t - 3)^{2} - 9$ ， $0 \leq t \leq 4$ 。

$t = 3$ （ $x = 1000$ ）時有最小值 $- 9$ ；兩端 $t = 0$ 時為 $0$ ， $t = 4$ 時為 $- 8$ ，所以 $t = 0$ （ $x = 1$ ）時有最大值 $0$ 。

(A) 錯： $x = 1$ 時是最大值。(B) 錯：最小值是 $- 9$ 。(C) 錯： $x = 10000$ 時 $f = - 8$ ，不是最大。(D) 對。(E) 錯： $f (10) = 1 - 6 = - 5$ 。

3 lo g x^{2}

的平方只在

x

上，先用對數律化成

6 lo g x

，再看成

t

的二次函數，注意

t

的範圍。

含 log x 的二次式令 t＝log x，先把 x 的範圍換成 t 的範圍，再配方看頂點與兩端。

04填充題：對數律、換底公式、指數與對數互換

第 9 題

(1) 合成一個對數：原式 $= lo g_{2} \frac{50 \times 3 ^{2}}{5 ^{3} \times \frac{9}{80}} = lo g_{2} \frac{50 \times 9 \times 80}{125 \times 9} = lo g_{2} \frac{4000}{125} = lo g_{2} 32 = 5$ 。

(2) 都換成以 $2$ 為底和以 $7$ 為底的式子： $lo g_{7} 32 = 5 lo g_{7} 2$ ， $lo g_{49} 2 = \frac{lo g _{7} 2}{lo g _{7} 49} = \frac{1}{2} lo g_{7} 2$ ，第一個括號 $= \frac{11}{2} lo g_{7} 2$ 。

$lo g_{16} 49 = \frac{lo g _{2} 49}{lo g _{2} 16} = \frac{2 lo g _{2} 7}{4} = \frac{1}{2} lo g_{2} 7$ ， $lo g_{4} 7 = \frac{lo g _{2} 7}{2}$ ，第二個括號 $= lo g_{2} 7$ 。

相乘： $\frac{11}{2} lo g_{7} 2 \times lo g_{2} 7 = \frac{11}{2}$ 。

第 10 題

$9^{a} = 3^{2 a} = 3^{2 l o g_{3} 5} = 3^{l o g_{3} 5} = 5$ 。

$b = lo g_{2} 3 = \frac{lo g _{2} 3}{lo g _{2} 2} = 2 lo g_{2} 3$ ， $4^{b} = 2^{2 b} = 2^{4 l o g_{2} 3} = 2^{l o g_{2} 81} = 81$ 。

所以 $9^{a} + 4^{b} = 5 + 81 = 86$ 。

第 11 題

$t = lo g_{4} 18 = \frac{lo g _{2} 18}{lo g _{2} 4} = \frac{lo g _{2} ( 2 \times 3 ^{2} )}{2} = \frac{1 + 2 lo g _{2} 3}{2}$ ，所以 $lo g_{2} 3 = \frac{2 t - 1}{2}$ 。

$lo g_{3} 2 = \frac{1}{lo g _{2} 3} = \frac{2}{2 t - 1}$ 。

換底後係數用對數律搬進搬出；a 的 log_a b 次方等於 b，是指數與對數互換的關鍵。

05填充題：指數與對數方程式、對數不等式

第 12 題

(1) 令 $u = 3^{x} > 0$ ， $9^{x} = u^{2}$ ： $u^{2} + 4 u - 45 = 0$ ， $(u + 9) (u - 5) = 0$ ， $u = 5$ （ $u = - 9$ 不合）。 $3^{x} = 5$ ， $x = lo g_{3} 5$ 。

(2) 真數條件： $4 - x > 0$ 且 $x + 14 > 0$ ，即 $- 14 < x < 4$ 。原式化為 $lo g_{3} (4 - x)^{2} = lo g_{3} (x + 14) + lo g_{3} 3 = lo g_{3} [3 (x + 14)]$ ，所以 $(4 - x)^{2} = 3 (x + 14)$ ， $x^{2} - 11 x - 26 = 0$ ， $(x - 13) (x + 2) = 0$ 。 $x = 13$ 不合條件， $x = - 2$ 。

(3) 條件： $x > 0$ ， $x \neq = 1$ 。令 $u = lo g_{2} x$ （ $u \neq = 0$ ）， $lo g_{x} 4 = \frac{lo g _{2} 4}{lo g _{2} x} = \frac{2}{u}$ 。原式 $u - \frac{2}{u} + 1 = 0$ ，乘以 $u$ ： $u^{2} + u - 2 = 0$ ， $(u + 2) (u - 1) = 0$ ， $u = 1$ 或 $u = - 2$ 。 $x = 2$ 或 $x = 2^{- 2} = \frac{1}{4}$ ，兩者都合條件。

(2) 中

x = 13

代回時

4 - x < 0

，真數無意義，要捨去。

第 13 題

(1) 真數條件： $x - 1 > 0$ 且 $7 - x > 0$ ，即 $1 < x < 7$ 。左邊換成以 $4$ 為底： $lo g_{2} (x - 1) = lo g_{4} (x - 1)^{2}$ 。底數 $4 > 1$ ，所以 $(x - 1)^{2} \leq 7 - x$ ， $x^{2} - x - 6 \leq 0$ ， $(x - 3) (x + 2) \leq 0$ ， $- 2 \leq x \leq 3$ 。與 $1 < x < 7$ 取交集： $1 < x \leq 3$ 。

(2) $2 = lo g_{2} 4$ ，底數 $2 > 1$ ，且 $lo g_{2}$ 的真數要為正，所以原式等價於 $0 < lo g_{\frac{1}{3}} x < 4$ 。

$lo g_{\frac{1}{3}} x$ 的底數小於 $1$ ，嚴格遞減： $lo g_{\frac{1}{3}} 1 = 0$ ， $lo g_{\frac{1}{3}} \frac{1}{81} = 4$ ，所以 $\frac{1}{81} < x < 1$ 。

(2) 外層的

lo g_{2}

本身要求

lo g_{\frac{1}{3}} x > 0

，這個條件不能漏。

對數方程式與不等式第一步寫真數條件，最後取交集；底數小於 1 時比較真數不等號反向。

06填充題：用圖形判斷解的個數、函數與反函數

第 14 題

(1) $y = 2^{∣ x ∣}$ 的圖形： $x \geq 0$ 時 $2^{x} > x > x - 2$ ； $x < 0$ 時 $2^{∣ x ∣} > 0 > x - 2$ 。所以 $y = 2^{∣ x ∣}$ 的圖形整個在直線 $y = x - 2$ 上方，沒有交點， $0$ 個實數解。

(2) 定義域 $x > 0$ 。

$0 < x < 1$ 時方程式為 $x = - 4 lo g_{2} x$ ：右邊從 $+ \infty$ 嚴格遞減到 $0$ ，左邊從 $0$ 嚴格遞增到 $1$ ，恰交一次（例如 $x = \frac{1}{2}$ 時右邊 $4 > \frac{1}{2}$ ， $x$ 接近 $1$ 時右邊接近 $0 < 1$ ）。

$x \geq 1$ 時方程式為 $x = 4 lo g_{2} x$ ： $y = 4 lo g_{2} x$ 的圖形凹口向下，直線與它最多兩個交點。 $x = 1$ 時 $4 lo g_{2} 1 = 0 < 1$ ， $x = 2$ 時 $4 lo g_{2} 2 = 4 > 2$ ，在 $1$ 與 $2$ 之間有一個交點； $x = 16$ 時 $4 lo g_{2} 16 = 16$ ，又是一個交點。共兩個。

合計 $1 + 2 = 3$ 個實數解。

x \geq 1

的兩個交點：一個介於 1 與 2 之間，一個是

x = 16

；

0 < x < 1

那一段是

y = 4 lo g_{2} x

對

x

軸翻上去的部分。

第 15 題圖形通過

(4, 1)

：

a + lo g_{b} 4 = 1

。反函數的圖形通過

(2, 8)

，表示

f

的圖形通過

(8, 2)

：

a + lo g_{b} 8 = 2

。兩式相減：

lo g_{b} 8 - lo g_{b} 4 = lo g_{b} 2 = 1

，所以

b = 2

。代回

a + 2 = 1

，

a = - 1

。

(a, b) = (- 1, 2)

。

數解的個數就畫兩邊的圖數交點；反函數過 (p,q) 等於原函數過 (q,p)。

07填充題：首數與尾數、位數與最高位數字

第 16 題尾數要介於

0

與

1

之間（含

0

），所以把

lo g x

寫成「整數＋

[0, 1)

的小數」：

- 4.1405 = - 5 + 0.8595

。首數

- 5

，尾數

0.8595

。

不是

0.1405

：

- 4.1405 = - 4 - 0.1405

，小數部分是負的，要向下借 1。

第 17 題

$lo g_{5} (lo g_{2} x) = 2$ ，所以 $lo g_{2} x = 5^{2} = 25$ ， $x = 2^{25}$ 。

$lo g x = 25 lo g 2 \approx 25 \times 0.3010 = 7.525$ ，首數 $7$ ，所以 $x$ 是 $8$ 位數， $n = 8$ 。

尾數 $0.525$ ： $lo g 3 \approx 0.4771 < 0.525 < 0.6020 \approx lo g 4$ ，所以 $3 \times 1 0^{7} < x < 4 \times 1 0^{7}$ ，最高位數字 $t = 3$ 。 $(n, t) = (8, 3)$ 。

實際上

2^{25} = 33554432

，是 8 位數、最高位是 3。

尾數一定在 0 與 1 之間，負的對數要向下借 1；首數決定位數，尾數夾在哪兩個 log 之間決定最高位。

08填充題：參數式求交點、向量的坐標與平行、正六邊形、分點

第 18 題交點同時在兩直線上：

3 + 2 t = - 1 + s

且

2 - t = 5 - s

。兩式相加：

5 + t = 4

，

t = - 1

；代回

s = 3 + 2 t + 1 = 2

。交點

x = 3 + 2 (- 1) = 1

，

y = 2 - (- 1) = 3

，即

(1, 3)

。

檢查：

s = 2

時

L_{2}

上的點是

(- 1 + 2, 5 - 2) = (1, 3)

，一致。

第 19 題

(1) $A B = (- 1 - 2, 3 - 5) = (- 3, - 2)$ 。

(2) $A C = (8 - 2, t - 5) = (6, t - 5)$ 。兩向量平行，坐標成比例： $(- 3) (t - 5) - (- 2) \times 6 = 0$ ， $- 3 t + 15 + 12 = 0$ ， $t = 9$ 。

檢查：

A C = (6, 4) = - 2 A B

。

第 20 題

正六邊形的中心 $O$ 把它分成六個全等的正三角形，所以 $O C D E$ 四邊等長，是菱形（平行四邊形）， $O E = C D = a$ ；同理 $O D E F$ 是菱形， $O F = D E = b$ 。

$E F = O F - O E = b - a = - a + b$ 。

用坐標檢查：取

a = (1, 0)

，則

b = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})

，

E F = (- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}) = b - a

。

第 21 題

$P$ 是 $\overline{B C}$ 中點： $A P = \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} A C$ 。 $Q$ 在 $\overline{A C}$ 上且 $\overline{A Q} = 2 \overline{QC}$ ，所以 $\overline{A Q} = \frac{2}{3} \overline{A C}$ ， $A Q = \frac{2}{3} A C$ 。

$P Q = A Q - A P = \frac{2}{3} A C - \frac{1}{2} A B - \frac{1}{2} A C = - \frac{1}{2} A B + \frac{1}{6} A C$ 。

$A B$ 、 $A C$ 不平行，係數唯一， $(m, n) = (- \frac{1}{2}, \frac{1}{6})$ 。

向量題先選一個起點（例如 A 或中心 O），每個向量都寫成「終點減起點」，再用分點公式與平行條件。

這一章的單元冊

每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

苑裡高中 111 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要分別說明哪些圖形與 y＝x 不相交、哪些恰交一次，(D) 的 x 小於 0 那一支容易漏；第 14 題 (2) 要拆成 x 小於 1 與 x 大於等於 1 兩段數交點；第 16 題負對數的尾數要向下借 1；第 13 題 (2) 外層對數要求內層大於 0。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自苑裡高中 111 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

苑裡高中 111 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 21 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多選題：對數函數圖形的性質

02多選題：與 y＝x 的交點個數、線性組合的終點位置

03單選題：對數比大小、圖形上兩點的斜率、半衰期、二次函數型的極值

04填充題：對數律、換底公式、指數與對數互換

05填充題：指數與對數方程式、對數不等式

06填充題：用圖形判斷解的個數、函數與反函數

07填充題：首數與尾數、位數與最高位數字

08填充題：參數式求交點、向量的坐標與平行、正六邊形、分點

這一章的單元冊

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

苑裡高中 111 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

苑裡高中 111 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

苑裡高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

苑裡高中 111 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

苑裡高中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？