段考詳解範圍：高三數學乙（函數的極限與連續、勘根定理、導數的定義、多項式函數的導函數、切線與法線）

苑裡高中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 30 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 30 題，照原卷順序

單選題 3 題與填充題 24 格合計 27 格，依答對格數給分，共 85 分：答對 1～27 格依序得 5、10、14、18、22、26、30、33、36、39、42、45、48、51、54、57、60、63、65、68、71、74、77、79、81、83、85 分，填充第 10、11 題答案卷註明可半對；多選題 3 題，每題 5 分，每答錯一格扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 15 分。原卷三大題各自從 1 編號，本頁改為全卷連續：單選 1～3 為第 1～3 題，多選 1～3 為第 4～6 題，填充 1 的九小題為第 7～15 題，填充 2～7 為第 16～21 題，填充 8 的兩小題為第 22、23 題，填充 9 的三小題為第 24～26 題，填充 10～13 為第 27～30 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題：(與填充題一起合計答對格數)

下列各函數

y = f (x)

之圖形中，關於

x \to k lim f (x)

，何者不存在？

(A) 如圖 (A)
(B) 如圖 (B)
(C) 如圖 (C)
(D) 如圖 (D)

載入中...

設函數

f (x) = 2 x^{3} - 3 x + 1

，則在

x = - 1

處的導數為多少？

(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $4$

設函數

f (x) = - x^{2} + 2 x

，

P (2, 0)

在

f (x)

圖形上，則以

P

為切點的切線方程式為何？

(A) $2 x + y = 0$
(B) $2 x + y = 4$
(C) $2 x - y = 0$
(D) $2 x - y = 4$

二、多選題：(3題，每題5分，每答錯一格扣2分，扣至該題0分為止，共15分)

設函數

f (x)

在

x = a

處有導數，則下列哪些選項可表示

f^{'} (a)

？

(A) $x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$
(B) $x \to a lim \frac{f ( x ) + f ( a )}{x + a}$
(C) $x \to a lim f (x)$
(D) $h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$
(E) $h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) + f ( a )}{h}$

三次方程式

x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 5 = 0

在下列哪些連續整數之間有根？

(A) $- 3$ 與 $- 2$ 之間
(B) $- 2$ 與 $- 1$ 之間
(C) $- 1$ 與 $0$ 之間
(D) $0$ 與 $1$ 之間
(E) $1$ 與 $2$ 之間

關於函數極限與連續的敘述，試選出正確的選項。

(A) 若 $x \to a^{-} lim f (x)$ 與 $x \to a^{+} lim f (x)$ 存在，則 $x \to a lim f (x)$ 存在。
(B) 若 $x \to a lim f (x)$ 存在，則 $x \to a^{-} lim f (x)$ 與 $x \to a^{+} lim f (x)$ 皆存在。
(C) 若 $x \to a lim f (x)$ 存在，則 $f (x)$ 在 $x = a$ 連續。
(D) 若 $f (x)$ 在 $x = a$ 連續，則 $x \to a lim f (x)$ 存在。
(E) 若 $x \to a lim f (x)$ 與 $f (a)$ 皆存在，則 $x \to a lim f (x) = f (a)$ 。

三、填充題：(13題，共24格，配分請參閱答案卷)

填充第 1 題（第 7～15 題）　試求下列的極限值：(若極限值存在請求出其值；若極限值不存在請寫不存在)。

(1)

x \to 2 lim \frac{1}{x} =

【　　　】。

(2)

x \to 0 lim \frac{1}{x} =

【　　　】。

(3)

x \to 0 lim \frac{∣ x ∣}{x} =

【　　　】。

(4)

x \to 1 lim \frac{∣ x ∣}{x} =

【　　　】。

(5)

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} =

【　　　】。

(6)

x \to 1 lim \frac{x + 4}{2 x ^{2} - x - 1} =

【　　　】。

(7)

x \to 1 lim [x] =

【　　　】。

(8)

x \to 1.5 lim [x] =

【　　　】。

(9)

x \to 0 lim x [x] =

【　　　】。

設函數

f (x) = {x^{2} - x + a, - 2 x + b, x \geq 1 x < 1

，且

x \to 1 lim f (x) = 5

，試求數對

(a, b) =

【　　　】。

設

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + a x + 3}{x - 1}

存在，試求

a =

【　　　】。

設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 2}, x + 1, x > 2 x \leq 2

，且

x \to 2 lim f (x)

存在，試求數對

(a, b) =

【　　　】。

設

f (x)

為三次多項式，且

x \to - 1 lim \frac{f ( x )}{x + 1} = 4

，

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 8

，試求

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x - 2} =

【　　　】。

試求

x \to 0 lim x cos \frac{1}{x} =

【　　　】。

設

x

為一正實數且滿足

x \cdot 3^{x} = 3^{18}

；若

x

落在連續正整數

k

與

k + 1

之間，則

k =

【　　　】。

填充第 8 題（第 22～23 題）　設函數

f (x) = - \frac{1}{4} x^{4} + x^{2} + 3 x - 7

，試求

(1) 導函數

f^{'} (1) =

【　　　】。

(2) 二階導函數

f^{''} (1) =

【　　　】。

填充第 9 題（第 24～26 題）　設函數

f (x) = x^{2} + 2 x - 2

，試回答下列問題：

(1)

x \to 1 lim \frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1} =

【　　　】。

(2) 過拋物線

f (x)

上點

P (1, 1)

的切線方程式為【　　　】。

(3) 過拋物線

f (x)

上點

P (1, 1)

的法線方程式為【　　　】。

自點

P (0, - 3)

作曲線

y = 4 x^{2} - 3 x + 1

之切線，則切線斜率為【　　　】。(有兩解)

求過拋物線

y = x^{2} + x + 1

外一點

P (1, 2)

的切線方程式為【　　　】。(有兩解)

設函數

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + k

，若連接

(0, 2)

與

(2, - 4)

的直線恰與

f (x)

圖形相切，則

k =

【　　　】。

求函數

f (x) = - x^{3} + 3 x^{2}

的圖形之所有切線中，斜率最大之切線方程式為【　　　】。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(C)

第 3 題(B)

第 4 題(A)(D)

第 5 題(A)(B)(E)

第 6 題(B)(D)

第 7 題

\frac{1}{2}

第 8 題不存在

第 9 題不存在

第 10 題

1

第 11 題

4

第 12 題不存在

第 13 題不存在

第 14 題

1

第 15 題

0

第 16 題

(5, 7)

第 17 題

- 4

第 18 題

(- 1, - 2)

第 19 題

\frac{1}{2}

第 20 題

0

第 21 題

15

第 22 題

4

第 23 題

- 1

第 24 題

4

第 25 題

4 x - y - 3 = 0

第 26 題

x + 4 y - 5 = 0

第 27 題

5

或

- 11

第 28 題

x - y + 1 = 0

或

5 x - y - 3 = 0

第 29 題

3

第 30 題

3 x - y - 1 = 0

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：由圖形判斷極限、某點的導數、以圖形上一點為切點的切線

第 1 題答案 (D)。

x \to k lim f (x)

存在，要從左邊、右邊逼近

x = k

時，圖形的高度趨近同一個值；與

f (k)

有沒有定義、等於多少無關。(A) 曲線在

x = k

只缺一個點（空心），左右兩側都趨近空心點的高度，極限存在。(B) 左右兩側都趨近空心點的高度，極限存在；實心點只是

f (k)

的值，與極限無關。(C) 折線在

x = k

是尖角，但左右兩側都趨近頂點的高度，極限存在。(D) 左側趨近上方實心點的高度，右側趨近下方空心點的高度，左右極限不相等，極限不存在。

極限只看「附近」，不看「那一點」；(B) 的實心點不在曲線上，影響的是連續，不影響極限；(C) 有尖角影響的是可不可微分。

第 2 題答案 (C)。

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 3

，

f^{'} (- 1) = 6 \times 1 - 3 = 3

。

第 3 題答案 (B)。

f (2) = - 4 + 4 = 0

，

P

確實在圖形上。

f^{'} (x) = - 2 x + 2

，切線斜率

f^{'} (2) = - 2

。切線：

y - 0 = - 2 (x - 2)

，即

y = - 2 x + 4

，整理成

2 x + y = 4

。

(A)

2 x + y = 0

的斜率也是

- 2

，但不通過

P (2, 0)

；選切線要同時檢查斜率與通過切點。

極限看附近、連續看那一點、可微分還要看有沒有尖角；切線＝切點加上斜率 f'(切點)。

02多選題：導數的定義式、勘根定理、極限與連續的關係

第 4 題答案 (A)(D)。導數的定義是

f^{'} (a) = x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}

，令

x = a + h

也可寫成

h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}

。以

f (x) = x^{2}

、

a = 1

檢查其他選項（此時

f^{'} (1) = 2

）。(A) 正確：就是定義。(B) 錯誤：

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + 1}{x + 1} = \frac{2}{2} = 1 \neq = 2

。(C) 錯誤：

x \to 1 lim x^{2} = 1 \neq = 2

；可微分的函數連續，

x \to a lim f (x)

等於

f (a)

，不是

f^{'} (a)

。(D) 正確：定義的另一種寫法。(E) 錯誤：分子趨近

2 f (a) = 2

，分母趨近

0

，極限不存在。

分子是「相減」才會趨近

0

，形成

\frac{0}{0}

型、算出切線斜率；改成相加，分子一般不趨近

0

。

第 5 題答案 (A)(B)(E)。令

f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 5

，多項式函數處處連續，可用勘根定理：在兩端點函數值異號的區間內至少有一根。

f (- 3) = - 27 + 18 + 9 - 5 = - 5

，

f (- 2) = - 8 + 8 + 6 - 5 = 1

，

f (- 1) = - 1 + 2 + 3 - 5 = - 1

，

f (0) = - 5

，

f (1) = 1 + 2 - 3 - 5 = - 5

，

f (2) = 8 + 8 - 6 - 5 = 5

。(A) 正確：

f (- 3) < 0 < f (- 2)

。(B) 正確：

f (- 2) > 0 > f (- 1)

。(C) 錯誤、(D) 錯誤：見下。(E) 正確：

f (1) < 0 < f (2)

。三次方程式最多

3

個實根，而 (A)(B)(E) 三個區間各至少有一根，所以三個根恰好各在這三個區間，

- 1

與

0

之間、

0

與

1

之間都沒有根。

兩端同號不代表中間一定沒有根（可能有兩個根）；本題是靠「三次最多三根、已找到三個」才排除 (C)(D)。

第 6 題答案 (B)(D)。

x \to a lim f (x)

存在，等於左、右極限都存在而且相等；

f (x)

在

x = a

連續，等於

x \to a lim f (x) = f (a)

。(A) 錯誤：左右極限存在但可能不相等，例如

f (x) = [x]

在

a = 1

：左極限

0

、右極限

1

，極限不存在。(B) 正確：極限存在就表示左右極限都存在（而且相等）。(C) 錯誤：例如

f (x) = {x, 1, x \neq = 0 x = 0

，

x \to 0 lim f (x) = 0

存在，但

f (0) = 1

，不連續。(D) 正確：連續的定義就包含極限存在。(E) 錯誤：同 (C) 的例子，極限

0

與

f (0) = 1

都存在，但不相等。

連續要三件事都成立：f(a) 有定義、極限存在、兩者相等；極限存在只是其中一件。

03填充題第 1 題：九個極限值

第 7 題

\frac{1}{x}

在

x = 2

附近有定義且連續，直接代入：

x \to 2 lim \frac{1}{x} = \frac{1}{2}

。

第 8 題

x

從右邊趨近

0

時

\frac{1}{x}

越來越大、沒有上限；從左邊趨近

0

時

\frac{1}{x}

越來越小、沒有下限。不會趨近一個定數，極限不存在。

第 9 題

x > 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = 1

；

x < 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = - 1

。右極限

1

、左極限

- 1

，不相等，極限不存在。

第 10 題

x

在

1

附近都是正數，

\frac{∣ x ∣}{x} = \frac{x}{x} = 1

，所以極限為

1

。

和上一題同一個式子，趨近的點不同結果就不同：只有在

0

的兩側

∣ x ∣

才換寫法。

第 11 題

x \neq = 2

時

\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x + 2

，所以極限為

2 + 2 = 4

。

第 12 題分母

2 x^{2} - x - 1 = (2 x + 1) (x - 1)

，

x \to 1

時趨近

0

；分子

x + 4

趨近

5 \neq = 0

。分子趨近非零的數、分母趨近

0

，整個分式的絕對值越來越大，極限不存在。

x

從右邊趨近

1

時分母是正的、分式往正無限大；從左邊趨近時分母是負的、分式往負無限大，兩邊方向也不同。

第 13 題

0 \leq x < 1

時

[x] = 0

；

1 \leq x < 2

時

[x] = 1

。左極限

0

、右極限

1

，不相等，極限不存在。

第 14 題

x

在

1.5

附近（例如

1 < x < 2

）時

[x] = 1

是常數，所以極限為

1

。

第 15 題

0 \leq x < 1

時

[x] = 0

，

x [x] = 0

，右極限為

0

。

- 1 \leq x < 0

時

[x] = - 1

，

x [x] = - x

，左極限為

0

。左右極限都是

0

，極限為

0

。

[x]

本身在

0

沒有極限，但乘上趨近

0

的

x

之後，左右兩邊都被壓到

0

。

先試代入；分母趨近 0 時看分子：分子也趨近 0 就約分，分子不趨近 0 就不存在；遇到絕對值與高斯符號，在分界點要分左右算。

04填充題第 2～7 題：反求係數、由極限決定多項式、夾擠原理、勘根定理

第 16 題極限為

5

，左右極限都要是

5

。右極限：

x \to 1^{+} lim (x^{2} - x + a) = 1 - 1 + a = a = 5

。左極限：

x \to 1^{-} lim (- 2 x + b) = - 2 + b = 5

，

b = 7

。

(a, b) = (5, 7)

。

第 17 題分母趨近

0

而極限存在，分子也要趨近

0

：

1 + a + 3 = 0

，

a = - 4

。檢查：

\frac{x ^{2} - 4 x + 3}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) ( x - 3 )}{x - 1} = x - 3

，極限為

- 2

，確實存在。

第 18 題左極限：

x \to 2^{-} lim (x + 1) = 3

。右極限要存在，分母

x - 2

趨近

0

，分子也要趨近

0

：

4 + 2 a + b = 0

，

b = - 4 - 2 a

。此時分子

x^{2} + a x - 4 - 2 a = (x - 2) (x + 2 + a)

，右極限

= x \to 2^{+} lim (x + 2 + a) = 4 + a

。左右相等：

4 + a = 3

，

a = - 1

，

b = - 4 + 2 = - 2

。

(a, b) = (- 1, - 2)

。

檢查：

\frac{x ^{2} - x - 2}{x - 2} = \frac{( x - 2 ) ( x + 1 )}{x - 2} = x + 1

，右極限

3

，與左極限相同。

第 19 題

x \to - 1 lim \frac{f ( x )}{x + 1}

存在而分母趨近

0

，所以

f (- 1) = 0

；同理

f (1) = 0

。

f (x)

是三次多項式，可設

f (x) = (x + 1) (x - 1) (p x + q)

。

\frac{f ( x )}{x + 1} = (x - 1) (p x + q)

，

x \to - 1

時趨近

- 2 (- p + q) = 4

，得

q - p = - 2

。

\frac{f ( x )}{x - 1} = (x + 1) (p x + q)

，

x \to 1

時趨近

2 (p + q) = 8

，得

p + q = 4

。解得

p = 3

、

q = 1

，

f (x) = (x + 1) (x - 1) (3 x + 1)

。

\frac{f ( x )}{x - 2}

在

x = 0

附近分母不為

0

，直接代入：

\frac{f ( 0 )}{0 - 2} = \frac{1 \times ( - 1 ) \times 1}{- 2} = \frac{1}{2}

。

最後所求的極限分母不趨近

0

，只要算

f (0)

；前兩個條件是用來決定

f (x)

。

第 20 題

x \neq = 0

時

- 1 \leq cos \frac{1}{x} \leq 1

，乘上

∣ x ∣

：

0 \leq x cos \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣

。

x \to 0

時

∣ x ∣ \to 0

，由夾擠原理，

x cos \frac{1}{x} \to 0

，所以

x \to 0 lim x cos \frac{1}{x} = 0

。

cos \frac{1}{x}

本身在

x \to 0

時不停在

- 1

與

1

之間擺動、沒有極限，不能拆成兩個極限相乘；要用夾擠。

第 21 題令

g (x) = x \cdot 3^{x}

。

x > 0

時

x

與

3^{x}

都是正的且都隨

x

增大而增大，所以

g (x)

在

x > 0

遞增，方程式

g (x) = 3^{18}

至多一個正根。比較：

g (15) = 15 \cdot 3^{15}

，而

3^{18} = 27 \cdot 3^{15}

，

g (15) < 3^{18}

；

g (16) = 16 \cdot 3^{16} = 48 \cdot 3^{15} > 3^{18}

。

g (x) - 3^{18}

在

[15, 16]

連續且兩端異號，由勘根定理，根在

15

與

16

之間，

k = 15

。

都化成

3^{15}

的倍數比較，不用算出

3^{15}

的值。

分母趨近 0 而極限存在，分子必須也趨近 0，這是反求係數的第一個方程式；擺動但有界的因子乘上趨近 0 的因子，用夾擠。

05填充題第 8、9 題：導數、二階導數、導數的定義式、切線與法線

第 22 題

f^{'} (x) = - x^{3} + 2 x + 3

，

f^{'} (1) = - 1 + 2 + 3 = 4

。

第 23 題

f^{''} (x) = - 3 x^{2} + 2

，

f^{''} (1) = - 3 + 2 = - 1

。

第 24 題

x \to 1 lim \frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1}

就是

f^{'} (1)

。

f^{'} (x) = 2 x + 2

，

f^{'} (1) = 4

。

也可直接算：

f (x) - f (1) = x^{2} + 2 x - 3 = (x - 1) (x + 3)

，約分後極限為

1 + 3 = 4

。

第 25 題

f (1) = 1 + 2 - 2 = 1

，

P (1, 1)

在圖形上。切線斜率

f^{'} (1) = 4

，切線：

y - 1 = 4 (x - 1)

，即

y = 4 x - 3

，寫成

4 x - y - 3 = 0

。

第 26 題法線通過切點且與切線垂直，斜率為

- \frac{1}{4}

。法線：

y - 1 = - \frac{1}{4} (x - 1)

，兩邊乘

4

：

4 y - 4 = - x + 1

，即

x + 4 y - 5 = 0

。

法線斜率是切線斜率的負倒數；看到 (f(x)-f(a))/(x-a) 的極限，直接認出是 f'(a)。

06填充題第 10～13 題：過圖形外一點的切線、反求常數、斜率最大的切線

第 27 題令

f (x) = 4 x^{2} - 3 x + 1

，

f (0) = 1 \neq = - 3

，

P

不在曲線上，要另設切點

(t, 4 t^{2} - 3 t + 1)

。切線斜率

f^{'} (t) = 8 t - 3

，切線

y = (8 t - 3) (x - t) + 4 t^{2} - 3 t + 1

。通過

P (0, - 3)

：

- 3 = (8 t - 3) (- t) + 4 t^{2} - 3 t + 1 = - 4 t^{2} + 1

，

t^{2} = 1

，

t = 1

或

t = - 1

。斜率

8 \times 1 - 3 = 5

，或

8 \times (- 1) - 3 = - 11

。

檢查：

t = 1

時切線

y = 5 x - 3

，

t = - 1

時切線

y = - 11 x - 3

，都通過

(0, - 3)

。

第 28 題令

f (x) = x^{2} + x + 1

，

f (1) = 3 \neq = 2

，

P

在拋物線外。設切點

(t, t^{2} + t + 1)

，斜率

2 t + 1

，切線

y = (2 t + 1) (x - t) + t^{2} + t + 1

。通過

P (1, 2)

：

2 = (2 t + 1) (1 - t) + t^{2} + t + 1 = - t^{2} + 2 t + 2

，

t^{2} - 2 t = 0

，

t = 0

或

t = 2

。

t = 0

：切點

(0, 1)

，斜率

1

，切線

y = x + 1

，即

x - y + 1 = 0

。

t = 2

：切點

(2, 7)

，斜率

5

，切線

y = 5 x - 3

，即

5 x - y - 3 = 0

。

檢查：

1 - 2 + 1 = 0

，

5 - 2 - 3 = 0

，兩條都通過

P (1, 2)

。

第 29 題過

(0, 2)

、

(2, - 4)

的直線斜率

\frac{- 4 - 2}{2 - 0} = - 3

，方程式

y = - 3 x + 2

。相切時切點處的斜率要是

- 3

：

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x = - 3

，

x^{2} + 2 x + 1 = 0

，

x = - 1

。切點在直線上：

f (- 1) = - 1 + 3 + k = k + 2

，直線在

x = - 1

的高度

3 + 2 = 5

，所以

k + 2 = 5

，

k = 3

。

斜率

- 3

的點只有

x = - 1

一個，所以

k

只有一個值。

第 30 題切線斜率

f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 6 x = - 3 (x - 1)^{2} + 3

，在

x = 1

時最大，最大斜率為

3

。切點

f (1) = - 1 + 3 = 2

，即

(1, 2)

。切線：

y - 2 = 3 (x - 1)

，即

y = 3 x - 1

，寫成

3 x - y - 1 = 0

。

斜率最大的點

x = 1

正是

f^{''} (x) = - 6 x + 6 = 0

的地方。

已知點不在圖形上時，先設切點 (t, f(t))，用「切線通過已知點」解 t；斜率的最大最小值就是對 f'(x) 配方。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

苑裡高中 111 上高三第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 30 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 111 上高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題要看出只有分子相減的兩種寫法是導數的定義；第 5 題排除中間兩個區間要用三次方程式最多三根；第 6 題要分清楚極限存在與連續的差別；第 15 題高斯符號乘上 x 之後左右極限都是 0；第 18、19 題要先用分母趨近 0 推出分子也趨近 0；第 27、28 題的點不在圖形上，要先設切點，各得兩解。

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題目取自苑裡高中 111 學年度上學期高三第二次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：高三數學乙（函數的極限與連續、勘根定理、導數的定義、多項式函數的導函數、切線與法線）

苑裡高中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 30 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 30 題，照原卷順序

一、單選題：(與填充題一起合計答對格數)

下列各函數

y = f (x)

之圖形中，關於

x \to k lim f (x)

，何者不存在？

(A) 如圖 (A)
(B) 如圖 (B)
(C) 如圖 (C)
(D) 如圖 (D)

載入中...

設函數

f (x) = 2 x^{3} - 3 x + 1

，則在

x = - 1

處的導數為多少？

(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $4$

設函數

f (x) = - x^{2} + 2 x

，

P (2, 0)

在

f (x)

圖形上，則以

P

為切點的切線方程式為何？

(A) $2 x + y = 0$
(B) $2 x + y = 4$
(C) $2 x - y = 0$
(D) $2 x - y = 4$

二、多選題：(3題，每題5分，每答錯一格扣2分，扣至該題0分為止，共15分)

設函數

f (x)

在

x = a

處有導數，則下列哪些選項可表示

f^{'} (a)

？

(A) $x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$
(B) $x \to a lim \frac{f ( x ) + f ( a )}{x + a}$
(C) $x \to a lim f (x)$
(D) $h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$
(E) $h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) + f ( a )}{h}$

三次方程式

x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 5 = 0

在下列哪些連續整數之間有根？

(A) $- 3$ 與 $- 2$ 之間
(B) $- 2$ 與 $- 1$ 之間
(C) $- 1$ 與 $0$ 之間
(D) $0$ 與 $1$ 之間
(E) $1$ 與 $2$ 之間

關於函數極限與連續的敘述，試選出正確的選項。

(A) 若 $x \to a^{-} lim f (x)$ 與 $x \to a^{+} lim f (x)$ 存在，則 $x \to a lim f (x)$ 存在。
(B) 若 $x \to a lim f (x)$ 存在，則 $x \to a^{-} lim f (x)$ 與 $x \to a^{+} lim f (x)$ 皆存在。
(C) 若 $x \to a lim f (x)$ 存在，則 $f (x)$ 在 $x = a$ 連續。
(D) 若 $f (x)$ 在 $x = a$ 連續，則 $x \to a lim f (x)$ 存在。
(E) 若 $x \to a lim f (x)$ 與 $f (a)$ 皆存在，則 $x \to a lim f (x) = f (a)$ 。

三、填充題：(13題，共24格，配分請參閱答案卷)

填充第 1 題（第 7～15 題）　試求下列的極限值：(若極限值存在請求出其值；若極限值不存在請寫不存在)。

(1)

x \to 2 lim \frac{1}{x} =

【　　　】。

(2)

x \to 0 lim \frac{1}{x} =

【　　　】。

(3)

x \to 0 lim \frac{∣ x ∣}{x} =

【　　　】。

(4)

x \to 1 lim \frac{∣ x ∣}{x} =

【　　　】。

(5)

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} =

【　　　】。

(6)

x \to 1 lim \frac{x + 4}{2 x ^{2} - x - 1} =

【　　　】。

(7)

x \to 1 lim [x] =

【　　　】。

(8)

x \to 1.5 lim [x] =

【　　　】。

(9)

x \to 0 lim x [x] =

【　　　】。

設函數

f (x) = {x^{2} - x + a, - 2 x + b, x \geq 1 x < 1

，且

x \to 1 lim f (x) = 5

，試求數對

(a, b) =

【　　　】。

設

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + a x + 3}{x - 1}

存在，試求

a =

【　　　】。

設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 2}, x + 1, x > 2 x \leq 2

，且

x \to 2 lim f (x)

存在，試求數對

(a, b) =

【　　　】。

設

f (x)

為三次多項式，且

x \to - 1 lim \frac{f ( x )}{x + 1} = 4

，

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 8

，試求

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x - 2} =

【　　　】。

試求

x \to 0 lim x cos \frac{1}{x} =

【　　　】。

設

x

為一正實數且滿足

x \cdot 3^{x} = 3^{18}

；若

x

落在連續正整數

k

與

k + 1

之間，則

k =

【　　　】。

填充第 8 題（第 22～23 題）　設函數

f (x) = - \frac{1}{4} x^{4} + x^{2} + 3 x - 7

，試求

(1) 導函數

f^{'} (1) =

【　　　】。

(2) 二階導函數

f^{''} (1) =

【　　　】。

填充第 9 題（第 24～26 題）　設函數

f (x) = x^{2} + 2 x - 2

，試回答下列問題：

(1)

x \to 1 lim \frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1} =

【　　　】。

(2) 過拋物線

f (x)

上點

P (1, 1)

的切線方程式為【　　　】。

(3) 過拋物線

f (x)

上點

P (1, 1)

的法線方程式為【　　　】。

自點

P (0, - 3)

作曲線

y = 4 x^{2} - 3 x + 1

之切線，則切線斜率為【　　　】。(有兩解)

求過拋物線

y = x^{2} + x + 1

外一點

P (1, 2)

的切線方程式為【　　　】。(有兩解)

設函數

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + k

，若連接

(0, 2)

與

(2, - 4)

的直線恰與

f (x)

圖形相切，則

k =

【　　　】。

求函數

f (x) = - x^{3} + 3 x^{2}

的圖形之所有切線中，斜率最大之切線方程式為【　　　】。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(C)

第 3 題(B)

第 4 題(A)(D)

第 5 題(A)(B)(E)

第 6 題(B)(D)

第 7 題

\frac{1}{2}

第 8 題不存在

第 9 題不存在

第 10 題

1

第 11 題

4

第 12 題不存在

第 13 題不存在

第 14 題

1

第 15 題

0

第 16 題

(5, 7)

第 17 題

- 4

第 18 題

(- 1, - 2)

第 19 題

\frac{1}{2}

第 20 題

0

第 21 題

15

第 22 題

4

第 23 題

- 1

第 24 題

4

第 25 題

4 x - y - 3 = 0

第 26 題

x + 4 y - 5 = 0

第 27 題

5

或

- 11

第 28 題

x - y + 1 = 0

或

5 x - y - 3 = 0

第 29 題

3

第 30 題

3 x - y - 1 = 0

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：由圖形判斷極限、某點的導數、以圖形上一點為切點的切線

第 1 題答案 (D)。

x \to k lim f (x)

存在，要從左邊、右邊逼近

x = k

時，圖形的高度趨近同一個值；與

f (k)

有沒有定義、等於多少無關。(A) 曲線在

x = k

只缺一個點（空心），左右兩側都趨近空心點的高度，極限存在。(B) 左右兩側都趨近空心點的高度，極限存在；實心點只是

f (k)

的值，與極限無關。(C) 折線在

x = k

是尖角，但左右兩側都趨近頂點的高度，極限存在。(D) 左側趨近上方實心點的高度，右側趨近下方空心點的高度，左右極限不相等，極限不存在。

極限只看「附近」，不看「那一點」；(B) 的實心點不在曲線上，影響的是連續，不影響極限；(C) 有尖角影響的是可不可微分。

第 2 題答案 (C)。

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 3

，

f^{'} (- 1) = 6 \times 1 - 3 = 3

。

第 3 題答案 (B)。

f (2) = - 4 + 4 = 0

，

P

確實在圖形上。

f^{'} (x) = - 2 x + 2

，切線斜率

f^{'} (2) = - 2

。切線：

y - 0 = - 2 (x - 2)

，即

y = - 2 x + 4

，整理成

2 x + y = 4

。

(A)

2 x + y = 0

的斜率也是

- 2

，但不通過

P (2, 0)

；選切線要同時檢查斜率與通過切點。

極限看附近、連續看那一點、可微分還要看有沒有尖角；切線＝切點加上斜率 f'(切點)。

02多選題：導數的定義式、勘根定理、極限與連續的關係

第 4 題答案 (A)(D)。導數的定義是

f^{'} (a) = x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}

，令

x = a + h

也可寫成

h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}

。以

f (x) = x^{2}

、

a = 1

檢查其他選項（此時

f^{'} (1) = 2

）。(A) 正確：就是定義。(B) 錯誤：

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + 1}{x + 1} = \frac{2}{2} = 1 \neq = 2

。(C) 錯誤：

x \to 1 lim x^{2} = 1 \neq = 2

；可微分的函數連續，

x \to a lim f (x)

等於

f (a)

，不是

f^{'} (a)

。(D) 正確：定義的另一種寫法。(E) 錯誤：分子趨近

2 f (a) = 2

，分母趨近

0

，極限不存在。

分子是「相減」才會趨近

0

，形成

\frac{0}{0}

型、算出切線斜率；改成相加，分子一般不趨近

0

。

第 5 題答案 (A)(B)(E)。令

f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 5

，多項式函數處處連續，可用勘根定理：在兩端點函數值異號的區間內至少有一根。

f (- 3) = - 27 + 18 + 9 - 5 = - 5

，

f (- 2) = - 8 + 8 + 6 - 5 = 1

，

f (- 1) = - 1 + 2 + 3 - 5 = - 1

，

f (0) = - 5

，

f (1) = 1 + 2 - 3 - 5 = - 5

，

f (2) = 8 + 8 - 6 - 5 = 5

。(A) 正確：

f (- 3) < 0 < f (- 2)

。(B) 正確：

f (- 2) > 0 > f (- 1)

。(C) 錯誤、(D) 錯誤：見下。(E) 正確：

f (1) < 0 < f (2)

。三次方程式最多

3

個實根，而 (A)(B)(E) 三個區間各至少有一根，所以三個根恰好各在這三個區間，

- 1

與

0

之間、

0

與

1

之間都沒有根。

兩端同號不代表中間一定沒有根（可能有兩個根）；本題是靠「三次最多三根、已找到三個」才排除 (C)(D)。

第 6 題答案 (B)(D)。

x \to a lim f (x)

存在，等於左、右極限都存在而且相等；

f (x)

在

x = a

連續，等於

x \to a lim f (x) = f (a)

。(A) 錯誤：左右極限存在但可能不相等，例如

f (x) = [x]

在

a = 1

：左極限

0

、右極限

1

，極限不存在。(B) 正確：極限存在就表示左右極限都存在（而且相等）。(C) 錯誤：例如

f (x) = {x, 1, x \neq = 0 x = 0

，

x \to 0 lim f (x) = 0

存在，但

f (0) = 1

，不連續。(D) 正確：連續的定義就包含極限存在。(E) 錯誤：同 (C) 的例子，極限

0

與

f (0) = 1

都存在，但不相等。

連續要三件事都成立：f(a) 有定義、極限存在、兩者相等；極限存在只是其中一件。

03填充題第 1 題：九個極限值

第 7 題

\frac{1}{x}

在

x = 2

附近有定義且連續，直接代入：

x \to 2 lim \frac{1}{x} = \frac{1}{2}

。

第 8 題

x

從右邊趨近

0

時

\frac{1}{x}

越來越大、沒有上限；從左邊趨近

0

時

\frac{1}{x}

越來越小、沒有下限。不會趨近一個定數，極限不存在。

第 9 題

x > 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = 1

；

x < 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = - 1

。右極限

1

、左極限

- 1

，不相等，極限不存在。

第 10 題

x

在

1

附近都是正數，

\frac{∣ x ∣}{x} = \frac{x}{x} = 1

，所以極限為

1

。

和上一題同一個式子，趨近的點不同結果就不同：只有在

0

的兩側

∣ x ∣

才換寫法。

第 11 題

x \neq = 2

時

\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x + 2

，所以極限為

2 + 2 = 4

。

第 12 題分母

2 x^{2} - x - 1 = (2 x + 1) (x - 1)

，

x \to 1

時趨近

0

；分子

x + 4

趨近

5 \neq = 0

。分子趨近非零的數、分母趨近

0

，整個分式的絕對值越來越大，極限不存在。

x

從右邊趨近

1

時分母是正的、分式往正無限大；從左邊趨近時分母是負的、分式往負無限大，兩邊方向也不同。

第 13 題

0 \leq x < 1

時

[x] = 0

；

1 \leq x < 2

時

[x] = 1

。左極限

0

、右極限

1

，不相等，極限不存在。

第 14 題

x

在

1.5

附近（例如

1 < x < 2

）時

[x] = 1

是常數，所以極限為

1

。

第 15 題

0 \leq x < 1

時

[x] = 0

，

x [x] = 0

，右極限為

0

。

- 1 \leq x < 0

時

[x] = - 1

，

x [x] = - x

，左極限為

0

。左右極限都是

0

，極限為

0

。

[x]

本身在

0

沒有極限，但乘上趨近

0

的

x

之後，左右兩邊都被壓到

0

。

先試代入；分母趨近 0 時看分子：分子也趨近 0 就約分，分子不趨近 0 就不存在；遇到絕對值與高斯符號，在分界點要分左右算。

04填充題第 2～7 題：反求係數、由極限決定多項式、夾擠原理、勘根定理

第 16 題極限為

5

，左右極限都要是

5

。右極限：

x \to 1^{+} lim (x^{2} - x + a) = 1 - 1 + a = a = 5

。左極限：

x \to 1^{-} lim (- 2 x + b) = - 2 + b = 5

，

b = 7

。

(a, b) = (5, 7)

。

第 17 題分母趨近

0

而極限存在，分子也要趨近

0

：

1 + a + 3 = 0

，

a = - 4

。檢查：

\frac{x ^{2} - 4 x + 3}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) ( x - 3 )}{x - 1} = x - 3

，極限為

- 2

，確實存在。

第 18 題左極限：

x \to 2^{-} lim (x + 1) = 3

。右極限要存在，分母

x - 2

趨近

0

，分子也要趨近

0

：

4 + 2 a + b = 0

，

b = - 4 - 2 a

。此時分子

x^{2} + a x - 4 - 2 a = (x - 2) (x + 2 + a)

，右極限

= x \to 2^{+} lim (x + 2 + a) = 4 + a

。左右相等：

4 + a = 3

，

a = - 1

，

b = - 4 + 2 = - 2

。

(a, b) = (- 1, - 2)

。

檢查：

\frac{x ^{2} - x - 2}{x - 2} = \frac{( x - 2 ) ( x + 1 )}{x - 2} = x + 1

，右極限

3

，與左極限相同。

第 19 題

x \to - 1 lim \frac{f ( x )}{x + 1}

存在而分母趨近

0

，所以

f (- 1) = 0

；同理

f (1) = 0

。

f (x)

是三次多項式，可設

f (x) = (x + 1) (x - 1) (p x + q)

。

\frac{f ( x )}{x + 1} = (x - 1) (p x + q)

，

x \to - 1

時趨近

- 2 (- p + q) = 4

，得

q - p = - 2

。

\frac{f ( x )}{x - 1} = (x + 1) (p x + q)

，

x \to 1

時趨近

2 (p + q) = 8

，得

p + q = 4

。解得

p = 3

、

q = 1

，

f (x) = (x + 1) (x - 1) (3 x + 1)

。

\frac{f ( x )}{x - 2}

在

x = 0

附近分母不為

0

，直接代入：

\frac{f ( 0 )}{0 - 2} = \frac{1 \times ( - 1 ) \times 1}{- 2} = \frac{1}{2}

。

最後所求的極限分母不趨近

0

，只要算

f (0)

；前兩個條件是用來決定

f (x)

。

第 20 題

x \neq = 0

時

- 1 \leq cos \frac{1}{x} \leq 1

，乘上

∣ x ∣

：

0 \leq x cos \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣

。

x \to 0

時

∣ x ∣ \to 0

，由夾擠原理，

x cos \frac{1}{x} \to 0

，所以

x \to 0 lim x cos \frac{1}{x} = 0

。

cos \frac{1}{x}

本身在

x \to 0

時不停在

- 1

與

1

之間擺動、沒有極限，不能拆成兩個極限相乘；要用夾擠。

第 21 題令

g (x) = x \cdot 3^{x}

。

x > 0

時

x

與

3^{x}

都是正的且都隨

x

增大而增大，所以

g (x)

在

x > 0

遞增，方程式

g (x) = 3^{18}

至多一個正根。比較：

g (15) = 15 \cdot 3^{15}

，而

3^{18} = 27 \cdot 3^{15}

，

g (15) < 3^{18}

；

g (16) = 16 \cdot 3^{16} = 48 \cdot 3^{15} > 3^{18}

。

g (x) - 3^{18}

在

[15, 16]

連續且兩端異號，由勘根定理，根在

15

與

16

之間，

k = 15

。

都化成

3^{15}

的倍數比較，不用算出

3^{15}

的值。

分母趨近 0 而極限存在，分子必須也趨近 0，這是反求係數的第一個方程式；擺動但有界的因子乘上趨近 0 的因子，用夾擠。

05填充題第 8、9 題：導數、二階導數、導數的定義式、切線與法線

第 22 題

f^{'} (x) = - x^{3} + 2 x + 3

，

f^{'} (1) = - 1 + 2 + 3 = 4

。

第 23 題

f^{''} (x) = - 3 x^{2} + 2

，

f^{''} (1) = - 3 + 2 = - 1

。

第 24 題

x \to 1 lim \frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1}

就是

f^{'} (1)

。

f^{'} (x) = 2 x + 2

，

f^{'} (1) = 4

。

也可直接算：

f (x) - f (1) = x^{2} + 2 x - 3 = (x - 1) (x + 3)

，約分後極限為

1 + 3 = 4

。

第 25 題

f (1) = 1 + 2 - 2 = 1

，

P (1, 1)

在圖形上。切線斜率

f^{'} (1) = 4

，切線：

y - 1 = 4 (x - 1)

，即

y = 4 x - 3

，寫成

4 x - y - 3 = 0

。

第 26 題法線通過切點且與切線垂直，斜率為

- \frac{1}{4}

。法線：

y - 1 = - \frac{1}{4} (x - 1)

，兩邊乘

4

：

4 y - 4 = - x + 1

，即

x + 4 y - 5 = 0

。

法線斜率是切線斜率的負倒數；看到 (f(x)-f(a))/(x-a) 的極限，直接認出是 f'(a)。

06填充題第 10～13 題：過圖形外一點的切線、反求常數、斜率最大的切線

第 27 題令

f (x) = 4 x^{2} - 3 x + 1

，

f (0) = 1 \neq = - 3

，

P

不在曲線上，要另設切點

(t, 4 t^{2} - 3 t + 1)

。切線斜率

f^{'} (t) = 8 t - 3

，切線

y = (8 t - 3) (x - t) + 4 t^{2} - 3 t + 1

。通過

P (0, - 3)

：

- 3 = (8 t - 3) (- t) + 4 t^{2} - 3 t + 1 = - 4 t^{2} + 1

，

t^{2} = 1

，

t = 1

或

t = - 1

。斜率

8 \times 1 - 3 = 5

，或

8 \times (- 1) - 3 = - 11

。

檢查：

t = 1

時切線

y = 5 x - 3

，

t = - 1

時切線

y = - 11 x - 3

，都通過

(0, - 3)

。

第 28 題令

f (x) = x^{2} + x + 1

，

f (1) = 3 \neq = 2

，

P

在拋物線外。設切點

(t, t^{2} + t + 1)

，斜率

2 t + 1

，切線

y = (2 t + 1) (x - t) + t^{2} + t + 1

。通過

P (1, 2)

：

2 = (2 t + 1) (1 - t) + t^{2} + t + 1 = - t^{2} + 2 t + 2

，

t^{2} - 2 t = 0

，

t = 0

或

t = 2

。

t = 0

：切點

(0, 1)

，斜率

1

，切線

y = x + 1

，即

x - y + 1 = 0

。

t = 2

：切點

(2, 7)

，斜率

5

，切線

y = 5 x - 3

，即

5 x - y - 3 = 0

。

檢查：

1 - 2 + 1 = 0

，

5 - 2 - 3 = 0

，兩條都通過

P (1, 2)

。

第 29 題過

(0, 2)

、

(2, - 4)

的直線斜率

\frac{- 4 - 2}{2 - 0} = - 3

，方程式

y = - 3 x + 2

。相切時切點處的斜率要是

- 3

：

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x = - 3

，

x^{2} + 2 x + 1 = 0

，

x = - 1

。切點在直線上：

f (- 1) = - 1 + 3 + k = k + 2

，直線在

x = - 1

的高度

3 + 2 = 5

，所以

k + 2 = 5

，

k = 3

。

斜率

- 3

的點只有

x = - 1

一個，所以

k

只有一個值。

第 30 題切線斜率

f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 6 x = - 3 (x - 1)^{2} + 3

，在

x = 1

時最大，最大斜率為

3

。切點

f (1) = - 1 + 3 = 2

，即

(1, 2)

。切線：

y - 2 = 3 (x - 1)

，即

y = 3 x - 1

，寫成

3 x - y - 1 = 0

。

斜率最大的點

x = 1

正是

f^{''} (x) = - 6 x + 6 = 0

的地方。

已知點不在圖形上時，先設切點 (t, f(t))，用「切線通過已知點」解 t；斜率的最大最小值就是對 f'(x) 配方。

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