段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數及其圖形、對數與對數律、換底公式、常用對數、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

苑裡高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 苑裡高中 111 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 22 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 苑裡高中 111 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 3 題要逐一判斷交點個數，y 等於 log 以 2 為底 x 的絕對值在 x 小於 0 的那半邊會與 y=x 相交一次；單選第 4 題的第二項是 3 倍的 log（x 平方），等於 6 倍的 log x，等於 6 倍的 log x，令 t 等於 log x 後在 0 到 4 之間求最大最小值；填充第 8 題第 3 小題 x 等於 13 不滿足真數為正要捨去；填充第 9 題第 1 小題要與真數條件 x 大於 0 取交集。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

多選題 4 題，每題 5 分，錯一個選項扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 20 分；單選與填充題第 1 至 18 題（第 5、8 題各 3 格，第 9 題 2 格）共 23 格，依答案卷上的對照表給分，共 80 分：答對 1 至 23 格依序得 6、12、17、22、27、32、37、41、45、49、53、56、59、62、65、68、70、72、74、76、78、79、80 分。合計 100 分。本頁題號全卷連續：第 1 至 4 題是多選第 1 至 4 題，第 5 至 22 題依序是單選與填充題的第 1 至 18 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多選題（每題 5 分，錯一個選項扣 2 分，扣至 0 分為止，共 20 分。）

關於函數圖形的敘述，下列選項哪些是正確的？

(A) $y = lo g x$ 為嚴格遞增函數
(B) $y = lo g x$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{10}} x$ 的圖形對稱於 $x$ 軸
(C) $y = lo g x$ 與 $y = lo g (- x)$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(D) $y = lo g x$ 對稱直線 $y = x$ 之後的函數為 $y = (\frac{1}{10})^{x}$
(E) 在 $y = lo g x$ 的圖形上任取相異兩點 $A$ ， $B$ ，則直線 $A B$ 的斜率為正

若

a > 0

，

a \neq = 1

，有關

y = lo g_{a} x

圖形的敘述，下列選項哪些是正確的？

(A) 以 $y$ 軸為漸近線
(B) $y = lo g_{a} x$ 的圖形恆在 $y$ 軸右方
(C) 任一水平線都恰與 $y = lo g_{a} x$ 的圖形交於一點
(D) $y = lo g_{a} x$ 的圖形通過 $(0, 1)$
(E) 將 $y = lo g_{a} x$ 向右移兩單位得 $y = lo g_{a} (x + 2)$

下列選項中的函數圖形哪些與直線

y = x

恰交於一點？

(A) $y = lo g x$
(B) $y = lo g_{\frac{1}{10}} x$
(C) $y = 2^{x}$
(D) $y = lo g_{2} ∣ x ∣$
(E) $y = 2^{- x}$

下列選項中的運算哪些是正確的？

(A) $lo g_{5} 25 = 2$
(B) $lo g 3 + lo g 4 = lo g (3 + 4)$
(C) $lo g (- 5)^{2} = 2 lo g (- 5)$
(D) $lo g_{5} 3 = \frac{1}{lo g _{3} 5}$
(E) $lo g_{3} 7 = lo g_{3} 49$

二、單選與填充題（依答對格數給分，共 80 分）

若

a = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16}

，

b = 0

，

c = lo g_{\frac{1}{2}} 2

，關於

a, b, c

的大小關係，下列選項何者正確？

(A) $a < b < c$
(B) $a < c < b$
(C) $b < a < c$
(D) $b < c < a$
(E) $c < b < a$

兩直線

y = 4

及

y = 12

與曲線

y = 3^{x}

分別交於

P

、

Q

兩點，則直線

P Q

的斜率為？

(A) $8$
(B) $6$
(C) $4$
(D) $2$
(E) $1$

已知某新元素的半衰期為

1000

年（半衰期是指衰變到質量的一半所需的時間），則其衰變到原質量的

\frac{5}{8}

所需的時間最接近下列哪個選項（

lo g 2 \approx 0.3010

）

(A) $550$
(B) $600$
(C) $680$
(D) $760$
(E) $850$ 年

設

1 \leq x \leq 10000

，關於

f (x) = (lo g x)^{2} - 3 lo g x^{2}

的敘述，下列選項何者正確？

(A) 當 $x = 1$ 時 $f (x)$ 有最小值
(B) $f (x)$ 最小值為 $- 1$
(C) 當 $x = 10000$ 時 $f (x)$ 有最大值
(D) $f (x)$ 最大值為 $0$
(E) $f (10) = 2$

化簡： (1)

lo g 50 + lo g 20 =

____ (2)

lo g (lo g_{5} (lo g_{3} 243)) =

____ (3)

lo g 2 + lo g (1 + \frac{1}{2}) + lo g (1 + \frac{1}{3}) + \dots + lo g (1 + \frac{1}{99}) =

____。

若

a = lo g_{2} 3

，則

2^{a} =

____。

設

a = lo g 2

，

b = lo g 3

，則

lo g_{6} 24 =

____。（以

a

、

b

表示）

求下列各方程式的解： (1)

(\frac{2}{3})^{x^{2}} = (\frac{3}{2})^{x}

，則

x =

____ (2) 若

2^{2 x} - 7 \times 2^{x} - 2^{3} = 0

，則

x =

____ (3) 若

2 lo g_{3} (4 - x) - lo g_{3} (x + 14) = 1

，則實數

x =

____。

求下列各不等式的解： (1)

lo g_{3} (x + 8) > 2 + lo g_{3} x

的解為 ____ (2)

lo g_{2} x < 1

的解為 ____。

若對數

lo g_{(x - 1)} (3 - x)

有意義，求

x

的範圍為 ____。

已知函數

f (x) = a + lo g_{3} x

的圖形通過

(2, 4)

與

(k, 5)

兩點，則

k =

____。

已知坐標平面上三點

(3, lo g 3)

、

(5, lo g 6)

與

(11, y)

在同一直線上，則

y =

____。

已知

lo g 3.49 = 0.5428

，若

lo g A = 4.5428

則

A =

____。

設

a

，

b

，

c

為正整數，若

a lo g_{260} 2 + b lo g_{260} 5 + c lo g_{260} 13 = 2

，則數對

(a, b, c) =

____。

若

a > b > 0

且

lo g a, lo g b

為

x^{2} - 3 x + 1 = 0

的兩根，則

a \cdot b =

____。

若

a = 3^{2}, b = 9^{\frac{1}{3}}, c = 3243

，則

a

，

b

，

c

三數的大小關係為 ____。

設年利率為

12.5%

，若依每年複利一次計算，則至少要 ____ 年後（取整數年數），本利和會超過本金的

2

倍。（

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

已知某種細菌每經過一天數量增加

3

倍（即原來的

4

倍），若此細菌現有

500

隻，請問至少要經過 ____ 天後，此細菌數量會超過

5 \times 1 0^{10}

隻（

lo g 2 \approx 0.3010

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(B)(C)(E)

第 2 題(A)(B)(C)

第 3 題(B)(D)(E)

第 4 題(A)(D)(E)

第 5 題(E)

第 6 題(A)

第 7 題(C)

第 8 題(D)

第 9 題(1)

3

　(2)

0

　(3)

2

第 10 題

9

第 11 題

\frac{3 a + b}{a + b}

第 12 題(1)

0

或

- 1

　(2)

3

　(3)

- 2

第 13 題(1)

0 < x < 1

　(2)

0 < x < 2

第 14 題

1 < x < 3

，但

x \neq = 2

第 15 題

6

第 16 題

lo g 48

第 17 題

34900

第 18 題

(4, 2, 2)

第 19 題

1000

第 20 題

b < c < a

第 21 題

6

第 22 題

14

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題：對數函數圖形的性質、與直線的交點、對數的運算

第 1 題

答案 (A)(B)(C)(E)。

(A) 正確。 底數 $10 > 1$ ， $y = lo g x$ 在 $x > 0$ 上嚴格遞增。

(B) 正確。 由換底公式 $lo g_{\frac{1}{10}} x = \frac{lo g x}{lo g \frac{1}{10}} = \frac{lo g x}{- 1} = - lo g x$ 。點 $(p, q)$ 在 $y = lo g x$ 上，點 $(p, - q)$ 就在 $y = lo g_{\frac{1}{10}} x$ 上，兩圖形對稱於 $x$ 軸。

(C) 正確。 點 $(p, q)$ 在 $y = lo g x$ 上，即 $q = lo g p$ ；這時 $lo g (- (- p)) = lo g p = q$ ，所以點 $(- p, q)$ 在 $y = lo g (- x)$ 上。兩圖形對稱於 $y$ 軸。

(D) 錯誤。 $y = lo g x$ 與 $y = 1 0^{x}$ 互為反函數，圖形對稱於直線 $y = x$ 。對稱過去得到的是 $y = 1 0^{x}$ ，不是 $y = (\frac{1}{10})^{x}$ 。

(E) 正確。 設兩點的 $x$ 坐標 $x_{1} < x_{2}$ ，因為 $y = lo g x$ 嚴格遞增， $lo g x_{1} < lo g x_{2}$ ，斜率 $\frac{lo g x _{2} - lo g x _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ 的分子分母都是正數，斜率為正。

第 2 題

答案 (A)(B)(C)。

(A) 正確。 不論 $a > 1$ 或 $0 < a < 1$ ， $x$ 越接近 $0$ ， $lo g_{a} x$ 的絕對值越大，圖形越來越貼近 $y$ 軸卻碰不到， $y$ 軸是漸近線。

(B) 正確。 定義域是 $x > 0$ ，圖形上每一點的 $x$ 坐標都是正數，恆在 $y$ 軸右方。

(D) 錯誤。 $x = 0$ 不在定義域內，圖形不可能通過 $(0, 1)$ ；對數函數的圖形恆通過的是 $(1, 0)$ 。

(E) 錯誤。 圖形向右移兩單位，要把 $x$ 換成 $x - 2$ ，得 $y = lo g_{a} (x - 2)$ ； $y = lo g_{a} (x + 2)$ 是向左移兩單位。

第 3 題

答案 (B)(D)(E)。先記住兩件事：對每個正整數 $n$ ， $1 0^{n} \geq n + 1$ 、 $2^{n} \geq n + 1$ （ $n = 0$ 時 $2^{0} = 1$ 也成立）。

(A) 錯誤。 當 $0 < x \leq 1$ ， $lo g x \leq 0 < x$ 。當 $x > 1$ ，取正整數 $n$ 使 $n \leq x < n + 1$ ，則 $lo g x < lo g (n + 1) \leq lo g 1 0^{n} = n \leq x$ 。所以 $lo g x < x$ 恆成立，與 $y = x$ 沒有交點。

(B) 正確。 $y = lo g_{\frac{1}{10}} x$ 嚴格遞減， $y = x$ 嚴格遞增，兩者相減 $lo g_{\frac{1}{10}} x - x$ 隨 $x$ 增大而嚴格遞減，最多一個交點。又 $x = \frac{1}{10}$ 時 $lo g_{\frac{1}{10}} \frac{1}{10} = 1 > \frac{1}{10}$ ， $x = 1$ 時 $lo g_{\frac{1}{10}} 1 = 0 < 1$ ，兩圖形的上下位置互換，中間恰有一個交點。

(C) 錯誤。 當 $x \leq 0$ ， $2^{x} > 0 \geq x$ 。當 $x > 0$ ，取整數 $n \geq 0$ 使 $n \leq x < n + 1$ ，則 $2^{x} \geq 2^{n} \geq n + 1 > x$ 。所以 $2^{x} > x$ 恆成立，沒有交點。

(D) 正確。 $x > 0$ 時 $y = lo g_{2} x$ ：若 $lo g_{2} x = x$ ，則 $x = 2^{x}$ ，與 (C) 的 $2^{x} > x$ 矛盾，沒有交點。 $x < 0$ 時 $y = lo g_{2} (- x)$ ： $x$ 越大， $- x$ 越小， $lo g_{2} (- x)$ 越小，是嚴格遞減； $y = x$ 嚴格遞增，最多一個交點。又 $x = - 1$ 時 $lo g_{2} 1 = 0 > - 1$ ， $x = - \frac{1}{2}$ 時 $lo g_{2} \frac{1}{2} = - 1 < - \frac{1}{2}$ ，上下位置互換，恰有一個交點。合起來恰交於一點。

(E) 正確。 $y = 2^{- x} = (\frac{1}{2})^{x}$ 嚴格遞減， $y = x$ 嚴格遞增，最多一個交點。 $x = 0$ 時 $2^{0} = 1 > 0$ ， $x = 1$ 時 $2^{- 1} = \frac{1}{2} < 1$ ，上下位置互換，恰有一個交點。

(D) 的交點介於

x = - 1

與

x = - \frac{1}{2}

之間；

y = lo g_{2} ∣ x ∣

的圖形對稱於

y

軸，左半邊由左往右下降，所以會與

y = x

相交一次。

第 4 題

答案 (A)(D)(E)。

(A) 正確。 $5^{2} = 25$ ，所以 $lo g_{5} 25 = 2$ 。

(B) 錯誤。 $lo g 3 + lo g 4 = lo g (3 \times 4) = lo g 12$ ，而 $lo g (3 + 4) = lo g 7$ ，兩者不相等。

(C) 錯誤。 左邊 $lo g (- 5)^{2} = lo g 25$ 有意義，但右邊的 $lo g (- 5)$ 真數是負數，沒有意義，等式不成立。對數律 $lo g a^{n} = n lo g a$ 要求 $a > 0$ 。

(D) 正確。 由換底公式 $lo g_{5} 3 = \frac{lo g 3}{lo g 5}$ ， $lo g_{3} 5 = \frac{lo g 5}{lo g 3}$ ，兩者互為倒數。

(E) 正確。 $lo g_{3} 7 = \frac{lo g 7}{lo g 3} = \frac{lo g 7}{\frac{1}{2} lo g 3} = \frac{2 lo g 7}{lo g 3} = \frac{lo g 49}{lo g 3} = lo g_{3} 49$ 。

對數函數只在 y 軸右邊、恆過 (1,0)、以 y 軸為漸近線；判斷與直線 y=x 的交點，一增一減最多一個交點，再找兩個點看上下位置有沒有互換。

02單選題：比大小、指數函數上兩點的斜率、半衰期、換元求最大最小值

第 5 題答案 (E)。

(\frac{1}{2})^{4} = \frac{1}{16}

，所以

a = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16} = 4

；

(\frac{1}{2})^{- 1} = 2

，所以

c = lo g_{\frac{1}{2}} 2 = - 1

。又

b = 0

，故

c < b < a

。

第 6 題答案 (A)。

P

在

y = 4

上：

3^{x} = 4

，

x = lo g_{3} 4

，

P (lo g_{3} 4, 4)

。

Q

在

y = 12

上：

3^{x} = 12

，

x = lo g_{3} 12

，

Q (lo g_{3} 12, 12)

。斜率

\frac{12 - 4}{lo g _{3} 12 - lo g _{3} 4} = \frac{8}{lo g _{3} \frac{12}{4}} = \frac{8}{lo g _{3} 3} = 8

第 7 題答案 (C)。設經過

t

年，剩下的質量是原來的

(\frac{1}{2})^{\frac{t}{1000}}

倍。要

(\frac{1}{2})^{\frac{t}{1000}} = \frac{5}{8}

，即

2^{\frac{t}{1000}} = \frac{8}{5}

。兩邊取常用對數：

\frac{t}{1000} lo g 2 = lo g 8 - lo g 5 = 3 lo g 2 - (1 - lo g 2) = 4 lo g 2 - 1

代入

lo g 2 \approx 0.3010

：

\frac{t}{1000} \approx \frac{1.2040 - 1}{0.3010} = \frac{0.2040}{0.3010} \approx 0.678

，

t \approx 678

年，最接近

680

年。

lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = 1 - lo g 2

，題目只給

lo g 2

也能算出

lo g 5

。

第 8 題

答案 (D)。 $lo g x^{2}$ 是 $lo g (x^{2}) = 2 lo g x$ （ $x > 0$ ）。令 $t = lo g x$ ， $1 \leq x \leq 10000$ 對應 $0 \leq t \leq 4$ ， $f (x) = t^{2} - 6 t = (t - 3)^{2} - 9$ 在 $0 \leq t \leq 4$ 上， $t = 3$ （ $x = 1000$ ）時有最小值 $- 9$ ；離 $t = 3$ 越遠值越大，兩端 $t = 0$ 時為 $0$ 、 $t = 4$ 時為 $- 8$ ，所以 $t = 0$ （ $x = 1$ ）時有最大值 $0$ 。

(A) 錯誤： $x = 1$ 時是最大值。(B) 錯誤：最小值是 $- 9$ 。(C) 錯誤： $f (10000) = 16 - 24 = - 8$ ，不是最大值。(D) 正確。(E) 錯誤： $f (10) = 1 - 6 = - 5$ 。

第二項是

3 lo g x^{2} = 6 lo g x

，不是

3 (lo g x)^{2}

，也不是

3 lo g x

。

看到 (log x) 的平方與 log x 同時出現，令 t 等於 log x，先把 x 的範圍換成 t 的範圍，再用配方法找二次函數在區間上的最大最小值。

03填充題第 5～8 題：對數律化簡、換底公式、指數與對數方程式

第 9 題

(1) $lo g 50 + lo g 20 = lo g (50 \times 20) = lo g 1000 = 3$ 。

(2) 由內往外算： $3^{5} = 243$ ， $lo g_{3} 243 = 5$ ； $lo g_{5} 5 = 1$ ； $lo g 1 = 0$ 。

(3) $1 + \frac{1}{k} = \frac{k + 1}{k}$ ，原式 $lo g (2 \times \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \dots \times \frac{100}{99}) = lo g \frac{2 \times 100}{2} = lo g 100 = 2$

(3) 的連乘中每個分母都與前一項的分子約掉，只剩最前面的

2

、第一個分母

2

與最後的分子

100

。

第 10 題由換底公式

a = lo g_{2} 3 = \frac{lo g _{2} 3}{lo g _{2} 2} = \frac{lo g _{2} 3}{\frac{1}{2}} = 2 lo g_{2} 3 = lo g_{2} 9

。所以

2^{a} = 2^{l o g_{2} 9} = 9

。

也可以直接看：

(2)^{a} = 3

，兩邊平方得

2^{a} = 9

。

第 11 題由換底公式

lo g_{6} 24 = \frac{lo g 24}{lo g 6} = \frac{lo g ( 2 ^{3} \times 3 )}{lo g ( 2 \times 3 )} = \frac{3 lo g 2 + lo g 3}{lo g 2 + lo g 3} = \frac{3 a + b}{a + b}

第 12 題

(1) $(\frac{3}{2})^{x} = (\frac{2}{3})^{- x}$ ，方程式化成 $(\frac{2}{3})^{x^{2}} = (\frac{2}{3})^{- x}$ 。底數相同而且不是 $1$ ，指數相等： $x^{2} = - x$ ， $x (x + 1) = 0$ ， $x = 0$ 或 $x = - 1$ 。

(2) 令 $t = 2^{x} > 0$ ， $2^{2 x} = t^{2}$ ，方程式化成 $t^{2} - 7 t - 8 = 0$ ， $(t - 8) (t + 1) = 0$ 。 $t > 0$ ，所以 $t = 8$ ， $2^{x} = 2^{3}$ ， $x = 3$ 。

(3) 真數要為正： $4 - x > 0$ 且 $x + 14 > 0$ ，即 $- 14 < x < 4$ 。 $2 lo g_{3} (4 - x) = lo g_{3} (4 - x)^{2}$ ， $1 = lo g_{3} 3$ ，方程式化成 $lo g_{3} \frac{( 4 - x ) ^{2}}{x + 14} = lo g_{3} 3$ 所以 $(4 - x)^{2} = 3 (x + 14)$ ， $x^{2} - 8 x + 16 = 3 x + 42$ ， $x^{2} - 11 x - 26 = 0$ ， $(x - 13) (x + 2) = 0$ ， $x = 13$ 或 $x = - 2$ 。 $x = 13$ 不滿足 $x < 4$ ，捨去；故 $x = - 2$ 。

(3) 檢查

x = - 2

：

2 lo g_{3} 6 - lo g_{3} 12 = lo g_{3} \frac{36}{12} = lo g_{3} 3 = 1

。

指數方程式化成同底數或令 t 等於 2 的 x 次方；對數方程式先寫真數為正的條件，解完再刪掉不合的根。

04填充題第 9～13 題：對數不等式、對數有意義的條件、圖形上的點、共線、常用對數

第 13 題

(1) 真數要為正： $x + 8 > 0$ 且 $x > 0$ ，即 $x > 0$ 。 $2 + lo g_{3} x = lo g_{3} 9 + lo g_{3} x = lo g_{3} 9 x$ ，不等式化成 $lo g_{3} (x + 8) > lo g_{3} 9 x$ 。底數 $3 > 1$ ， $y = lo g_{3} x$ 嚴格遞增，所以 $x + 8 > 9 x$ ， $x < 1$ 。與 $x > 0$ 取交集，得 $0 < x < 1$ 。

(2) 真數 $x > 0$ 。 $1 = lo g_{2} 2$ ， $lo g_{2} x < lo g_{2} 2$ ，底數 $2 > 1$ ，所以 $x < 2$ 。與 $x > 0$ 取交集，得 $0 < x < 2$ 。

兩小題都容易漏掉真數

x > 0

的條件，只寫成

x < 1

、

x < 2

。

第 14 題

lo g_{(x - 1)} (3 - x)

要有意義：底數

x - 1 > 0

且

x - 1 \neq = 1

，真數

3 - x > 0

。由

x - 1 > 0

得

x > 1

；由

x - 1 \neq = 1

得

x \neq = 2

；由

3 - x > 0

得

x < 3

。合起來

1 < x < 3

，但

x \neq = 2

。

底數不可以是

1

，這一條最容易漏掉。

第 15 題圖形通過

(2, 4)

：

a + lo g_{3} 2 = 4

。圖形通過

(k, 5)

：

a + lo g_{3} k = 5

。兩式相減得

lo g_{3} k - lo g_{3} 2 = 1

，即

lo g_{3} \frac{k}{2} = 1

，

\frac{k}{2} = 3

，

k = 6

。

a = 4 - lo g_{3} 2

，不必算出來；相減就把

a

消掉了。

第 16 題三點共線，任兩點連線的斜率相同。前兩點的斜率是

\frac{lo g 6 - lo g 3}{5 - 3} = \frac{lo g 2}{2}

第一點與第三點的斜率也要是

\frac{lo g 2}{2}

：

\frac{y - lo g 3}{11 - 3} = \frac{lo g 2}{2}

，

y = lo g 3 + 4 lo g 2 = lo g 3 + lo g 16 = lo g 48

。

第 17 題

lo g A = 4.5428 = 4 + 0.5428 = lo g 1 0^{4} + lo g 3.49 = lo g (3.49 \times 1 0^{4})

。所以

A = 3.49 \times 1 0^{4} = 34900

。

lo g A

的整數部分

4

決定小數點的位置，小數部分

0.5428

決定數字

349

。

解對數不等式先寫真數為正，底數大於 1 時去掉 log 不等號方向不變，最後取交集；常用對數拆成整數部分與小數部分，整數部分只管小數點位置。

05填充題第 14～18 題：質因數分解、根與係數、比大小、複利、細菌成長

第 18 題由對數律，左邊

= lo g_{260} (2^{a} \times 5^{b} \times 1 3^{c})

。右邊

2 = lo g_{260} 26 0^{2}

。所以

2^{a} \times 5^{b} \times 1 3^{c} = 26 0^{2}

。

260 = 2^{2} \times 5 \times 13

，

26 0^{2} = 2^{4} \times 5^{2} \times 1 3^{2}

。質因數分解唯一，比較指數得

a = 4

，

b = 2

，

c = 2

，數對

(a, b, c) = (4, 2, 2)

。

第 19 題由根與係數的關係，兩根之和

lo g a + lo g b = 3

。由對數律

lo g a + lo g b = lo g ab

，所以

lo g ab = 3

，

ab = 1 0^{3} = 1000

。

判別式

9 - 4 = 5 > 0

，兩根

\frac{3 \pm 5}{2}

都是正實數，確實可取

a = 1 0^{\frac{3 + 5}{2}} > b = 1 0^{\frac{3 - 5}{2}} > 0

。

第 20 題都化成以

3

為底：

a = 3^{2}

；

b = 9^{\frac{1}{3}} = (3^{2})^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{2}{3}}

；

c = 3243 = 3 3^{5} = 3^{\frac{5}{3}}

。底數

3 > 1

，

y = 3^{x}

嚴格遞增，指數

\frac{2}{3} < \frac{5}{3} < 2

，所以

b < c < a

。

第 21 題年利率

12.5%

，每年複利一次，

n

年後本利和是本金的

(1.125)^{n}

倍。

1.125 = \frac{9}{8}

，要

(\frac{9}{8})^{n} > 2

。兩邊取常用對數：

n (2 lo g 3 - 3 lo g 2) > lo g 2

2 lo g 3 - 3 lo g 2 \approx 0.9542 - 0.9030 = 0.0512

，

n > \frac{0.3010}{0.0512} \approx 5.88

。

n

取整數，至少

6

年。

檢查：

(1.125)^{5} \approx 1.80 < 2

，

(1.125)^{6} \approx 2.03 > 2

。

第 22 題每天變成原來的

4

倍，

n

天後有

500 \times 4^{n}

隻。要

500 \times 4^{n} > 5 \times 1 0^{10}

，即

4^{n} > 1 0^{8}

。兩邊取常用對數：

n lo g 4 > 8

，

n \times 2 \times 0.3010 > 8

，

n > \frac{8}{0.6020} \approx 13.29

。

n

取整數，至少

14

天。

「增加

3

倍」是增加的量為原來的

3

倍，所以變成原來的

4

倍，題目括號已說明。檢查：

4^{13} = 67108864 < 1 0^{8}

，

4^{14} = 268435456 > 1 0^{8}

。

成長或複利的題目寫成「初始量乘以倍率的 n 次方」，取常用對數解出 n 的範圍，題目要「超過」就取比它大的最小整數。

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同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 22 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 3 題要逐一判斷交點個數，y 等於 log 以 2 為底 x 的絕對值在 x 小於 0 的那半邊會與 y=x 相交一次；單選第 4 題的第二項是 3 倍的 log（x 平方），等於 6 倍的 log x，等於 6 倍的 log x，令 t 等於 log x 後在 0 到 4 之間求最大最小值；填充第 8 題第 3 小題 x 等於 13 不滿足真數為正要捨去；填充第 9 題第 1 小題要與真數條件 x 大於 0 取交集。詳解逐題寫在本頁。

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苑裡高中 111 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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03填充題第 5～8 題：對數律化簡、換底公式、指數與對數方程式

04填充題第 9～13 題：對數不等式、對數有意義的條件、圖形上的點、共線、常用對數

05填充題第 14～18 題：質因數分解、根與係數、比大小、複利、細菌成長

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