段考詳解範圍：微分（導數與導函數、微分公式、切線、函數的遞增與遞減、極值與最大最小值、凹凸性與反曲點）

苑裡高中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

多重選擇題 4 題，每題 5 分，錯一個選項扣 2 分，扣至 0 分為止，共 20 分。單一選擇題與填充題共 20 格（單選 5 題、填充 15 題），依答對格數給分，共 80 分：答對 1～10 格依序得 10、20、30、40、45、48、51、54、57、60 分，答對 11～20 格依序得 62、64、66、68、70、72、74、76、78、80 分。本頁題號全卷連續：第 1～4 題是多重選擇題第 1～4 題，第 5～24 題是第二大題第 1～20 題（第 1～5 題單選、第 6～20 題填充）。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多重選擇題（每題5分，錯一個選項扣2分，扣至0分為止，共20分。）

若函數

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

之圖形如圖所示，則下列哪些選項正確？

(A) $a > 0$
(B) $b < 0$
(C) $c > 0$
(D) $d < 0$
(E) $b^{2} - 3 a c > 0$

載入中...

設函數

f (x) = 2 x^{3} + a x^{2} + b x + 9

在

x = 1

及

x = 2

處均有極值，則下列哪些選項正確？

(A) $a = - 9$
(B) $b = - 12$
(C) $f (x)$ 的極小值為 $f (2)$
(D) $f (x)$ 的極大值為 $f (1)$
(E) $y = f (x)$ 的圖形與 $x$ 軸有三個相異的交點。

下列選項哪些正確？

(A) 若 $f^{'} (0)$ 存在，則 $f^{'} (0) = x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x}$
(B) 若 $f^{'} (0)$ 存在，則 $x \to 0 lim f (x) = 0$
(C) 若 $f^{'} (0)$ 存在，則 $x \to 0 lim f (x)$ 存在
(D) 若 $f^{'} (0)$ 不存在，則 $x \to 0 lim f (x) \neq = f (0)$
(E) 若 $x \to 0 lim f (x) \neq = f (0)$ ，則 $f^{'} (0)$ 不存在。

設三次函數

f (x) = x^{3} - (2 a + 1) x^{2} + b x - c

，且

a

、

b

、

c

均為整數，若

f (x) = 0

恰有一實根，且

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x ^{3} - 1} = \frac{1}{3}

，則下列敘述哪些正確？

(A) $2 a - b + c = 0$
(B) $4 a - b = 0$
(C) $a = 1$
(D) $a = 2$
(E) $b + c = 6$ 。

二、單一選擇題與填充題（依答對格數給分，共80分。）

設函數

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 5

，則

f (x)

的極小值為何？

(A) $- 15$
(B) $5$
(C) $\frac{139}{27}$
(D) $\frac{1}{3}$
(E) $1$ 。

下列各函數圖形中，何者

f^{'} (0)

存在？（本站補註：五個選項的圖形見下圖）

(A) 如圖 (A)
(B) 如圖 (B)
(C) 如圖 (C)
(D) 如圖 (D)
(E) 如圖 (E)

載入中...

函數定義如下：

f (x) = {a x + b, x^{2}, x \geq 1 x < 1

；若

f (x)

在

x = 1

處可微分，則

a =

(A) $0$
(B) $1$
(C) $2$
(D) $- 1$
(E) $- 2$ 。

若

y = f^{'} (x)

之圖形如下圖，則

y = f (x)

之圖形可能為何者？（本站補註：五個選項的圖形畫在

y = f^{'} (x)

的圖形下方）

(A) 如圖 (A)
(B) 如圖 (B)
(C) 如圖 (C)
(D) 如圖 (D)
(E) 如圖 (E)

載入中...

設

f (x)

為實係數三次多項式，如下圖所示為函數

y = f (x)

的圖形，其中

(5, f (5))

為反曲點。試問

f (x)

的導函數

f^{'} (x)

可能為下列哪一個選項？

(A) $(x - 5)^{2} - 1$
(B) $(x - 5)^{2} + 1$
(C) $(x - 5)^{2}$
(D) $- (x - 5)^{2} + 1$
(E) $- (x - 5)^{2} - 1$ 。

載入中...

令函數

f (x) = 3 x^{2} - 1

，試求

f^{'} (4) =

【　　】。

令函數

f (x) = \frac{x ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 )}{x - 4}

，試求

f^{'} (2) =

【　　】。

試求

f (x) = (x^{3} + 2) (3 x^{2} - 2 x + 1)

的二階導函數＝【　　】。

設函數

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x - 3

在

x = 1

及

- 3

處有極值，則數對

(a, b) =

【　　】。

設函數

y = f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 2

圖形之反曲點坐標為

(1, 9)

，則數對

(a, b) =

【　　】。

多項式函數

f (x) = x^{4} + a x^{3} + 3 a x^{2} + 1

的圖形沒有反曲點，求實數

a

的範圍為【　　】。

已知三次函數

f (x) = a x^{3} - 3 x^{2} + (a + 2) x - 7

沒有極值，求實數

a

的範圍為【　　】。

設

f (x) = (x^{2} + 2)^{12}

，試求導函數

f^{'} (x) =

【　　】。

設函數

f (x)

滿足

f (1) = a

，

f^{'} (1) = b

，試以

a

，

b

表示

x \to 1 lim \frac{x ^{2} f ( 1 ) - f ( x ^{2} )}{x - 1} =

【　　】。

設

a

為實數，過點

P (a, 2)

對

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2

作切線，所得切線恰有兩條，則

a =

【　　】。

一跳水選手從高

14.7

公尺的跳水平臺以

9.8

公尺／秒的速度向上彈跳，經

t

秒後，這選手的離地高度是

h (t) = 14.7 + 9.8 t - 4.9 t^{2}

。假設水面與地面等高，試求這位選手入水時的速度為【　　】公尺／秒。（注意方向正負）

若函數

f (x) = a x^{2} + b x

，其圖形上以點

P (1, 3)

為切點的切線方程式為

y = 9 x - 6

，試求此函數

f (x) =

【　　】。

已知在函數

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 5 x + 2

圖形上所有切線斜率中，試求切線斜率最小的切線方程式為【　　】。

設函數

y = 9 - x^{2}

圖形與

x

軸之交點為

A

，

B

，今有一梯形以

\overline{A B}

為下底，上底兩端點在

x

軸上方之函數圖形上，如下圖，則此梯形

A B C D

之最大面積為【　　】。

載入中...

設一直圓錐體的底面半徑為

12

公分，高為

36

公分，如下圖作一內接於此直圓錐的直圓柱體，試求此直圓柱體之最大體積為【　　】。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(E)

第 2 題(A)(C)(D)

第 3 題(C)(E)

第 4 題(A)(B)(C)(E)

第 5 題(B)

第 6 題(E)

第 7 題(C)

第 8 題(D)

第 9 題(B)

第 10 題

24

第 11 題

1

第 12 題

f^{''} (x) = 60 x^{3} - 24 x^{2} + 6 x + 12

第 13 題

(3, - 9)

第 14 題

(- 3, 9)

第 15 題

0 \leq a \leq 8

第 16 題

a \leq - 3

或

a \geq 1

第 17 題

24 x (x^{2} + 2)^{11}

第 18 題

2 a - 2 b

第 19 題

0

或

\frac{1}{3}

或

3

第 20 題

- 19.6

第 21 題

6 x^{2} - 3 x

第 22 題

y = - 8 x + 1

第 23 題

32

第 24 題

768 π

立方公分

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題：由圖形看係數、極值、導數的定義、由極限求係數

第 1 題

答案 (B)(E)。

(A) 錯誤。 圖形往右邊一路往下（ $x$ 很大時 $f (x)$ 很小），三次項係數 $a < 0$ 。

(B) 正確。 $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ 。圖上有一個極小點、一個極大點，兩個都在 $y$ 軸左邊，所以 $f^{'} (x) = 0$ 的兩根 $α$ 、 $β$ 都是負數。兩根和 $α + β = - \frac{2 b}{3 a} < 0$ ，而 $a < 0$ ，所以 $b < 0$ 。

(D) 錯誤。 $d = f (0)$ 是圖形與 $y$ 軸交點的 $y$ 坐標，圖上這一點在 $x$ 軸上方， $d > 0$ 。

(E) 正確。 $f^{'} (x) = 0$ 有兩個相異實根，判別式 $(2 b)^{2} - 4 \cdot 3 a \cdot c = 4 (b^{2} - 3 a c) > 0$ 。

兩個極值點都在

y

軸左邊，是由圖上「極大點也在

y

軸左邊一點點」看出來的；若沒看清楚以為極大點在

y

軸上，就會誤判

c = 0

。

第 2 題

答案 (A)(C)(D)。 $f^{'} (x) = 6 x^{2} + 2 a x + b$ 。在 $x = 1$ 、 $x = 2$ 有極值，所以 $1$ 、 $2$ 是 $f^{'} (x) = 0$ 的兩根： $6 x^{2} + 2 a x + b = 6 (x - 1) (x - 2) = 6 x^{2} - 18 x + 12$ 比較係數得 $a = - 9$ 、 $b = 12$ 。

(A) 正確。 $a = - 9$ 。

(B) 錯誤。 $b = 12$ 。

(D) 正確。 $x < 1$ 時 $f^{'} (x) > 0$ 、 $1 < x < 2$ 時 $f^{'} (x) < 0$ ，函數在 $x = 1$ 由遞增轉為遞減，極大值為 $f (1)$ 。

(E) 錯誤。 $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 9$ ， $f (1) = 14$ ， $f (2) = 13$ 。極小值 $13 > 0$ ，圖形只在 $x < 1$ 的地方穿過 $x$ 軸一次（ $x$ 很小時 $f (x)$ 很小，而 $f (0) = 9 > 0$ ），只有一個交點。

第 3 題

答案 (C)(E)。

(A) 錯誤。 導數的定義是 $f^{'} (0) = x \to 0 lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x}$ ，少了 $f (0)$ 。例如 $f (x) = x + 1$ ， $f^{'} (0) = 1$ ，但 $\frac{f ( x )}{x} = 1 + \frac{1}{x}$ 在 $x \to 0$ 時極限不存在。

(B) 錯誤。 可微分只能得到 $x \to 0 lim f (x) = f (0)$ ，不一定是 $0$ 。同樣取 $f (x) = x + 1$ ，極限是 $1$ 。

(C) 正確。 可微分必連續： $f (x) = f (0) + \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x} \cdot x$ ，當 $x \to 0$ 時右邊趨近 $f (0) + f^{'} (0) \cdot 0 = f (0)$ ，極限存在。

(D) 錯誤。 連續不一定可微分。 $f (x) = ∣ x ∣$ 在 $x = 0$ 不可微分，但 $x \to 0 lim ∣ x ∣ = 0 = f (0)$ 。

(E) 正確。 $x \to 0 lim f (x) \neq = f (0)$ 表示 $f$ 在 $x = 0$ 不連續；由 (C)，可微分必連續，所以 $f^{'} (0)$ 不存在。

第 4 題

答案 (A)(B)(C)(E)。 $x \to 1$ 時分母 $x^{3} - 1 \to 0$ ，極限存在，分子也要趨近 $0$ ： $f (1) = 1 - (2 a + 1) + b - c = 0$ ，即 $- 2 a + b - c = 0$ 。

因為 $f (1) = 0$ ，可設 $f (x) = (x - 1) g (x)$ ， $g (x)$ 是首項係數 $1$ 的二次式。 $x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ ，約去 $x - 1$ ： $x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x ^{3} - 1} = x \to 1 lim \frac{g ( x )}{x ^{2} + x + 1} = \frac{g ( 1 )}{3} = \frac{1}{3}$ 得 $g (1) = 1$ 。設 $g (x) = x^{2} + p x + q$ ，展開 $(x - 1) (x^{2} + p x + q) = x^{3} + (p - 1) x^{2} + (q - p) x - q$ 比較係數： $p - 1 = - (2 a + 1)$ 得 $p = - 2 a$ ； $q - p = b$ ； $q = c$ 。又 $g (1) = 1 + p + q = 1$ 得 $q = - p = 2 a$ ，所以 $c = 2 a$ 、 $b = q - p = 4 a$ ， $g (x) = x^{2} - 2 a x + 2 a$ 。

$f (x) = 0$ 已有實根 $1$ ，且 $g (1) = 1 \neq = 0$ 。要恰有一實根， $g (x) = 0$ 不可有實根（有實根就多出不是 $1$ 的實根）：判別式 $4 a^{2} - 8 a < 0$ ，得 $0 < a < 2$ 。 $a$ 是整數，所以 $a = 1$ ， $b = 4$ ， $c = 2$ 。

(A) 正確。 $2 a - b + c = 2 - 4 + 2 = 0$ 。

(B) 正確。 $4 a - b = 4 - 4 = 0$ 。

(D) 錯誤。 $a = 2$ 時 $g (x) = x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}$ ， $f (x) = 0$ 有 $1$ 、 $2$ 兩個實根。

(E) 正確。 $b + c = 4 + 2 = 6$ 。

檢查：

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 2 = (x - 1) (x^{2} - 2 x + 2)

，

x^{2} - 2 x + 2 = (x - 1)^{2} + 1 > 0

，只有實根

1

。

導數的定義要減 f(0)；可微分必連續，連續不一定可微分；由極限求係數先讓分子在該點為 0。

02單一選擇題：極小值、由圖形看可微分、分段函數、由導函數圖形看原函數、反曲點

第 5 題答案 (B)。

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1 = (3 x - 1) (x - 1)

，臨界點

x = \frac{1}{3}

、

x = 1

。

\frac{1}{3} < x < 1

時

f^{'} (x) < 0

，

x > 1

時

f^{'} (x) > 0

，函數在

x = 1

由遞減轉為遞增，極小值為

f (1) = 1 - 2 + 1 + 5 = 5

\frac{139}{27} = f (\frac{1}{3})

是極大值，不要選錯。

第 6 題

答案 (E)。可微分必連續，而且圖形在該點要平滑、不能有尖角。

(A) 在原點是尖角：左邊斜率 $- 1$ 、右邊斜率 $1$ ，不相等， $f^{'} (0)$ 不存在。

(B) 拋物線頂點是空心點， $f (0)$ 沒有定義， $f^{'} (0)$ 不存在。

(D) 拋物線頂點是空心點， $f (0)$ 是上方的實心點， $x \to 0 lim f (x) \neq = f (0)$ ，不連續， $f^{'} (0)$ 不存在。

(E) 水平線，每一點斜率都是 $0$ ， $f^{'} (0) = 0$ 存在。

第 7 題

答案 (C)。可微分必連續，先要求在 $x = 1$ 連續： $x \to 1^{-} lim x^{2} = 1$ ， $f (1) = a + b$ ，所以 $a + b = 1$ 。

再看左右兩邊的導數： $h \to 0^{+} lim \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = h \to 0^{+} lim \frac{a ( 1 + h ) + b - ( a + b )}{h} = a$ $h \to 0^{-} lim \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = h \to 0^{-} lim \frac{( 1 + h ) ^{2} - 1}{h} = h \to 0^{-} lim (2 + h) = 2$ （左邊用了 $a + b = 1$ 。）兩者相等， $a = 2$ （此時 $b = - 1$ ）。

第 8 題

答案 (D)。由 $y = f^{'} (x)$ 的圖形： $x < 0$ 時 $f^{'} (x) < 0$ ， $0 < x < 2$ 時 $f^{'} (x) > 0$ ， $x > 2$ 時 $f^{'} (x) < 0$ 。

所以 $f (x)$ 在 $x < 0$ 遞減、在 $0 < x < 2$ 遞增、在 $x > 2$ 遞減：在 $x = 0$ 有極小值，在 $x = 2$ 有極大值。

(A) 先增後減再增，形狀相反。(B) 先減後增再減，但極小點、極大點不在 $x = 0$ 、 $x = 2$ （圖形在 $x = 0$ 處正往下走）。(C) 先增後減再增，形狀相反。(D) 極小點在 $x = 0$ 、極大點在 $x = 2$ ，最左與最右兩段都往下，符合。(E) 先增後減再增，形狀相反。

第 9 題

答案 (B)。由圖形， $y = f (x)$ 由左到右一路上升，所以 $f^{'} (x) \geq 0$ ；而且在反曲點附近仍是斜斜往上，不是水平的。

反曲點在 $x = 5$ ， $f^{''} (5) = 0$ 。五個選項微分後都是 $\pm 2 (x - 5)$ ，在 $x = 5$ 都是 $0$ ，反曲點條件五個都符合，要看遞增：

(A) $f^{'} (4) = 0$ 、 $f^{'} (5) = - 1 < 0$ ，在 $4 < x < 6$ 遞減，不合。(B) $(x - 5)^{2} + 1 \geq 1 > 0$ ，處處遞增，在 $x = 5$ 斜率為 $1$ ，符合。(C) $f^{'} (5) = 0$ ，圖形在 $x = 5$ 會有水平切線，與圖不合。(D) $x$ 很大時 $f^{'} (x) < 0$ ，遞減，不合。(E) 恆負，處處遞減，不合。

(B) 與 (C) 都處處遞增；差別在反曲點的切線是否水平。圖在

x = 5

附近仍明顯往上，所以選 (B)。

由導函數的正負看原函數的增減；尖角、空心點、跳躍處都不可微分。

03填充第 6～13 題：導數計算、由極值與反曲點求係數、沒有反曲點與沒有極值的條件

第 10 題

f^{'} (x) = 6 x

，

f^{'} (4) = 24

。

第 11 題令

u (x) = x (x - 1) (x - 2) (x - 3)

，則

f (x) = \frac{u ( x )}{x - 4}

，除法公式

f^{'} (x) = \frac{u ^{'} ( x ) ( x - 4 ) - u ( x )}{( x - 4 ) ^{2}}

u (2) = 0

。

u^{'} (2)

：

u (x) = (x - 2) \cdot x (x - 1) (x - 3)

，乘法公式微分後代

x = 2

，含

(x - 2)

的項都是

0

，只剩

u^{'} (2) = 2 \cdot 1 \cdot (- 1) = - 2

。所以

f^{'} (2) = \frac{( - 2 ) ( 2 - 4 ) - 0}{( 2 - 4 ) ^{2}} = \frac{4}{4} = 1

第 12 題先展開：

f (x) = (x^{3} + 2) (3 x^{2} - 2 x + 1) = 3 x^{5} - 2 x^{4} + x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 2

。

f^{'} (x) = 15 x^{4} - 8 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 4

f^{''} (x) = 60 x^{3} - 24 x^{2} + 6 x + 12

第 13 題

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b

，

x = 1

、

x = - 3

是

f^{'} (x) = 0

的兩根：

3 x^{2} + 2 a x + b = 3 (x - 1) (x + 3) = 3 x^{2} + 6 x - 9

得

a = 3

、

b = - 9

。

f^{'} (x) = 3 (x - 1) (x + 3)

在兩根左右都變號，兩處確實是極值。

第 14 題

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b$ ， $f^{''} (x) = 6 x + 2 a$ 。反曲點在 $x = 1$ ： $f^{''} (1) = 6 + 2 a = 0$ ， $a = - 3$ （ $f^{''} (x) = 6 x - 6$ 在 $x = 1$ 左右變號）。

點 $(1, 9)$ 在圖形上： $f (1) = 1 - 3 + b + 2 = 9$ ， $b = 9$ 。所以 $(a, b) = (- 3, 9)$ 。

第 15 題

$f^{'} (x) = 4 x^{3} + 3 a x^{2} + 6 a x$ ， $f^{''} (x) = 12 x^{2} + 6 a x + 6 a$ 。

沒有反曲點，就是 $f^{''} (x)$ 不變號。 $f^{''} (x)$ 是開口向上的二次式，不變號的條件是判別式 $\leq 0$ ： $(6 a)^{2} - 4 \cdot 12 \cdot 6 a = 36 a^{2} - 288 a = 36 a (a - 8) \leq 0$ 得 $0 \leq a \leq 8$ 。

判別式

= 0

時

f^{''} (x)

是完全平方，只在一點為

0

、不變號，也沒有反曲點，等號要取。例如

a = 0

時

f^{''} (x) = 12 x^{2}

，

a = 8

時

f^{''} (x) = 12 (x + 2)^{2}

。

第 16 題

題目說是三次函數， $a \neq = 0$ 。 $f^{'} (x) = 3 a x^{2} - 6 x + (a + 2)$ 。

沒有極值，就是 $f^{'} (x)$ 不變號，二次式 $f^{'} (x)$ 的判別式 $\leq 0$ ： $36 - 12 a (a + 2) \leq 0 ⟺ a^{2} + 2 a - 3 \geq 0 ⟺ (a + 3) (a - 1) \geq 0$ 得 $a \leq - 3$ 或 $a \geq 1$ （都滿足 $a \neq = 0$ ）。

判別式

= 0

時

f^{'} (x)

只在一點為

0

、不變號，函數仍是一路遞增或一路遞減，沒有極值，等號要取。

第 17 題連鎖法則：

f^{'} (x) = 12 (x^{2} + 2)^{11} \cdot (x^{2} + 2)^{'} = 12 (x^{2} + 2)^{11} \cdot 2 x = 24 x (x^{2} + 2)^{11}

。

沒有極值看 f′ 的判別式、沒有反曲點看 f″ 的判別式，等號都要取。

04填充第 14～20 題：由導數定義求極限、過一點的切線、瞬時速度、切線、極值應用

第 18 題

f (1) = a

，分子

x^{2} f (1) - f (x^{2}) = a x^{2} - f (x^{2})

。令

g (x) = a x^{2} - f (x^{2})

，則

g (1) = a - f (1) = 0

，所求就是

x \to 1 lim \frac{g ( x ) - g ( 1 )}{x - 1} = g^{'} (1)

由連鎖法則

g^{'} (x) = 2 a x - 2 x f^{'} (x^{2})

，所以

g^{'} (1) = 2 a - 2 f^{'} (1) = 2 a - 2 b

。

也可以拆成

\frac{a ( x ^{2} - 1 )}{x - 1} - \frac{f ( x ^{2} ) - f ( 1 )}{x ^{2} - 1} \cdot \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}

，兩項的極限分別是

2 a

與

b \cdot 2

。

第 19 題

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x$ 。圖形上以 $(t, f (t))$ 為切點的切線是 $y = (3 t^{2} - 6 t) (x - t) + t^{3} - 3 t^{2} + 2$ 過 $P (a, 2)$ ： $2 = (3 t^{2} - 6 t) (a - t) + t^{3} - 3 t^{2} + 2$ ，整理得 $t [(3 t - 6) (a - t) + t^{2} - 3 t] = 0 ⟺ t (- 2 t^{2} + (3 a + 3) t - 6 a) = 0$ 三次函數圖形上不同的切點給出不同的切線，所以切線的條數＝相異的 $t$ 的個數。 $t = 0$ 一定是解，再看 $2 t^{2} - (3 a + 3) t + 6 a = 0$ 。

情形一：這個二次方程式有 $t = 0$ 這個根， $6 a = 0$ ， $a = 0$ ，方程式變成 $2 t^{2} - 3 t = 0$ ， $t = 0$ 或 $\frac{3}{2}$ ，相異的 $t$ 有 $0$ 、 $\frac{3}{2}$ 兩個，恰兩條。

情形二：這個二次方程式有重根（且不是 $0$ ），判別式 $(3 a + 3)^{2} - 48 a = 9 a^{2} - 30 a + 9 = 0$ ，即 $3 a^{2} - 10 a + 3 = 0$ ， $a = 3$ 或 $\frac{1}{3}$ 。 $a = 3$ 時重根 $t = 3$ ； $a = \frac{1}{3}$ 時重根 $t = 1$ ，都不是 $0$ ，恰兩條。

其他情形二次方程式有兩個相異非零根（三條）或沒有實根（一條）。所以 $a = 0$ 或 $\frac{1}{3}$ 或 $3$ 。

a = 0

、

a = 3

時

P

就在圖形上（

f (0) = f (3) = 2

），兩條切線中有一條是以

P

為切點的切線。

第 20 題

入水時 $h (t) = 0$ ： $14.7 + 9.8 t - 4.9 t^{2} = 0$ ，同除以 $- 4.9$ 得 $t^{2} - 2 t - 3 = 0$ ， $(t - 3) (t + 1) = 0$ ， $t = 3$ （ $t > 0$ ）。

速度 $h^{'} (t) = 9.8 - 9.8 t$ ， $h^{'} (3) = 9.8 - 29.4 = - 19.6$ （公尺／秒），負號表示向下。

第 21 題

$P (1, 3)$ 在圖形上： $f (1) = a + b = 3$ 。切線斜率為 $9$ ： $f^{'} (x) = 2 a x + b$ ， $f^{'} (1) = 2 a + b = 9$ 。解得 $a = 6$ 、 $b = - 3$ ， $f (x) = 6 x^{2} - 3 x$ 。

檢查： $f (1) = 3$ ，切線 $y - 3 = 9 (x - 1)$ 即 $y = 9 x - 6$ ，相符。

第 22 題切線斜率

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x - 5 = 3 (x + 1)^{2} - 8

，在

x = - 1

時最小，為

- 8

。切點

f (- 1) = - 1 + 3 + 5 + 2 = 9

。切線：

y - 9 = - 8 (x + 1) ⟺ y = - 8 x + 1

第 23 題

9 - x^{2} = 0

得

A (- 3, 0)

、

B (3, 0)

，

\overline{A B} = 6

。圖形對稱於

y

軸，上底兩端點設為

C (t, 9 - t^{2})

、

D (- t, 9 - t^{2})

，

0 < t < 3

，上底長

2 t

，高

9 - t^{2}

。面積

S (t) = \frac{( 6 + 2 t ) ( 9 - t ^{2} )}{2} = (3 + t) (9 - t^{2}) = - t^{3} - 3 t^{2} + 9 t + 27

S^{'} (t) = - 3 t^{2} - 6 t + 9 = - 3 (t + 3) (t - 1)

0 < t < 1

時

S^{'} (t) > 0

，

1 < t < 3

時

S^{'} (t) < 0

，

t = 1

時面積最大：

S (1) = 4 \times 8 = 32

。

圖上

C

、

D

的位置是示意，不是面積最大時的位置。

第 24 題設圓柱的底面半徑為

r

、高為

h

（

0 < r < 12

）。沿圓錐的軸切開看縱截面，圓柱頂面的邊緣在圓錐的母線上，由相似三角形

\frac{36 - h}{36} = \frac{r}{12} ⟹ h = 36 - 3 r

體積

V (r) = π r^{2} (36 - 3 r) = π (36 r^{2} - 3 r^{3})

V^{'} (r) = π (72 r - 9 r^{2}) = 9 π r (8 - r)

0 < r < 8

時

V^{'} (r) > 0

，

8 < r < 12

時

V^{'} (r) < 0

，

r = 8

時體積最大，此時

h = 12

，

V (8) = π \cdot 64 \cdot 12 = 768 π

最大體積為

768 π

立方公分。

圖上圓柱的大小是示意，不是體積最大時的大小。

最大最小值的應用題：先用一個變數寫出要求的量與範圍，再看導數的正負找最大處。

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同樣是高三第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 24 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 112 上高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第二大題第 15 題（本頁第 19 題）：過一點的切線恰有兩條，要分兩種情形，一是二次方程式有一根為 0，二是二次方程式有非零重根，容易漏掉 a 等於 0。多重選擇題第 4 題（本頁第 4 題）：先由分子在 x 等於 1 時為 0 把三次式因式分解，再用恰有一實根限制二次因式沒有實根。第二大題第 11、12 題（本頁第 15、16 題）：沒有反曲點、沒有極值的條件，判別式等於 0 的情形要取。多重選擇題第 1 題：極大點在 y 軸左邊一點點，c 小於 0。第二大題第 5 題（本頁第 9 題）：反曲點的切線不是水平的，要選導函數恆為正的那一個。詳解逐題寫在本頁。

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03填充第 6～13 題：導數計算、由極值與反曲點求係數、沒有反曲點與沒有極值的條件

04填充第 14～20 題：由導數定義求極限、過一點的切線、瞬時速度、切線、極值應用

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高三第二次段考
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