段考詳解範圍：三角函數與指數函數（弧度量與同界角、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期、週期性數學模型、指數函數的圖形、指數方程式與不等式）

苑裡高中 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

多選題 2 題，每題 5 分，每錯一個選項扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 10 分；單選與填充題第 1 至 20 題（第 6 題有 4 格）共 23 格，依答案卷上的對照表給分，共 90 分：答對 1 至 23 格依序得 7、14、20、26、31、36、41、46、50、54、58、61、64、67、70、73、76、79、82、84、86、88、90 分。合計 100 分。本頁題號全卷連續：第 1、2 題是多選第 1、2 題，第 3 至 22 題依序是單選與填充題的第 1 至 20 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多選題（每題 5 分，每錯一個選項扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 10 分。）

已知

a > 0

，

a \neq = 1

，試問下列哪些圖形可以是函數

y = a^{x}

圖形的一部分？

載入中...

設函數

f (x) = 3 + 2 sin 5 x

，關於

f (x)

的描述下列哪些選項是正確的？

(A) 值域為任意實數
(B) 定義域為 $[1, 5]$
(C) 週期為 $\frac{2 π}{5}$
(D) 振幅為 $2$
(E) 頻率為 $5$

二、單選與填充題（依照答案卷上標註題數給分，共 90 分）

若

a = sin π

，

b = sin π^{\circ}

，

c = sin 57. 3^{\circ}

，

a

，

b

，

c

三數大小關係為下列何者？

(A) $a = b = c$
(B) $a < b = c$
(C) $a = c > b$
(D) $a < b < c$
(E) $a > b = c$

若

a = 3

，

b = 53

，

c = 5 \frac{1}{3}

，

a

，

b

，

c

三數大小關係為下列何者？

(A) $a > b > c$
(B) $a > c > b$
(C) $c > b > a$
(D) $c > a > b$
(E) $b > c > a$

標準位置角

313

弧度位於何處？

(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(E) $y$ 軸上

右圖為哪一個函數的圖形？

(A) $y = 3 sin x$
(B) $y = 3 sin (x + \frac{π}{2}) + 2$
(C) $y = - 3 sin (x + π)$
(D) $y = 3 sin (x + π) + 2$
(E) $y = - 3 sin (x + π) + 2$

載入中...

右圖中四個曲線

Γ_{1}

、

Γ_{2}

、

Γ_{3}

、

Γ_{4}

依序為函數

y = a^{x}

、

y = b^{x}

、

y = c^{x}

、

y = d^{x}

的圖形，則在

a

，

b

，

c

，

d

中，哪一個數字最小？

(A) $a$
(B) $b$
(C) $c$
(D) $d$
(E) 無法判斷

載入中...

將下列各角度單位換算：（弧度量換成度度量，度度量換成弧度量）

弧度量 度度量 \frac{3 π}{2} (1) (2) 22 5^{\circ} - \frac{11 π}{6} (3) (4) 24 0^{\circ}

若一扇型的弧長等於其所在圓周長的

\frac{2}{3}

，則此扇形所對的圓心角為 ____ 弧度。

如右圖，若扇形圓心角為

13 5^{\circ}

，半徑為

3

，則弓形部分的面積為 ____。

載入中...

不等式

(\frac{1}{2})^{x + 3} < 22

的解為 ____。

已知

x

為實數，試求

4^{x^{2} + 4 x + 5}

的最小值為 ____。

一扇形半徑為

15

，圓心角為

\frac{4 π}{15}

，則此扇形的面積為 ____。

設

θ

弳介於

0

弳至

2 π

弳，若

θ

弳與

π^{3}

弳為同界角，且

θ = (π^{2} + a) π

，則

a =

____。

設一扇形的圓心角為

\frac{π}{3}

，若此扇形的面積為

A_{1}

，內切圓的面積為

A_{2}

，則

A_{1} : A_{2} =

____。

超音波指的是聲波頻率超過

20000 Hz

的聲音，若

y = 500 sin k x

，

(k > 0)

表示某一超音波的聲波函數，則

k

值的範圍為 ____。

設

0 \leq x \leq 2 π

，若

sin x \geq \frac{3}{2}

，則

x

的範圍為 ____。

設

- 2 π \leq x \leq 2 π

，則

y = 2 sin (3 x + \frac{π}{3})

的圖形與

y = \frac{4}{3}

有 ____ 個交點。

不等式

4^{x} - 3 \times 2^{x} - 4 \leq 0

的解範圍為 ____。

假設小華某段時間的血壓變化可用函數

f (t) = 24 sin (150 π t) + 90

來模擬，其中

f (t)

為血壓（單位：毫米汞柱），

t

為時間（單位：分鐘）。若

f (t)

的最大值稱為收縮壓，而兩個收縮壓的時間間隔為

1

次心跳的時間，則小華的心跳速率為每分鐘 ____ 次。

科學家經過長期的追蹤調查某稀有植物，發現該植物的數量一直符合數學模式

B (t) = \frac{64}{1 + 9 \cdot 3 ^{- 0.1 (t + 10)}}

，

t \geq 0

（即

t

年後植物的數量有

B (t)

棵）。若已知現有植物

16

棵，未來該植物的數量仍按照這個數學模式成長，則再經過 ____ 年，該植物的數量才會達到

48

棵。

將魚從冷凍庫取出，放在

25^{\circ} C

的室溫下解凍，放置

x

小時後魚的溫度為

f (x) = 25 - 32 a^{x}

攝氏度，其中

a

是常數。根據經驗，魚在解凍

1

小時後的溫度為

9^{\circ} C

。問：解凍

6

小時後，魚的溫度為 ____ 度。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(E)

第 2 題(C)(D)

第 3 題(D)

第 4 題(A)

第 5 題(D)

第 6 題(E)

第 7 題(C)

第 8 題(1)

27 0^{\circ}

　(2)

\frac{5 π}{4}

　(3)

- 33 0^{\circ}

　(4)

\frac{4 π}{3}

第 9 題

\frac{4 π}{3}

第 10 題

\frac{27 π}{8} - \frac{9 2}{4}

第 11 題

x > \frac{- 9}{2}

第 12 題

4

第 13 題

30 π

第 14 題

- 8

第 15 題

3 : 2

第 16 題

k > 40000 π

第 17 題

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{2 π}{3}

第 18 題

24

第 19 題

x \leq 2

第 20 題

75

第 21 題

20

第 22 題

24.5

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題：指數函數的圖形、正弦型函數的基本性質

第 1 題答案 (A)(E)。

y = a^{x}

（

a > 0

，

a \neq = 1

）的函數值恆為正，圖形整個在

x

軸上方，並且通過

(0, 1)

；

a > 1

時由左往右一路上升，

0 < a < 1

時由左往右一路下降。(A) 對：圖形通過

(0, 1)

、在

x

軸上方、由左往右上升，是

a > 1

的樣子。(B) 錯：圖形通過

(1, 0)

，但

a^{1} = a > 0

，不會是

0

；而且圖形有一段在

x

軸下方。(C) 錯：同樣通過

(1, 0)

，並且穿到

x

軸下方。(D) 錯：圖形雖然通過

(0, 1)

，但在

y

軸左邊下降、右邊上升；指數函數只會一路上升或一路下降。(E) 對：圖形通過

(0, 1)

、在

x

軸上方、由左往右下降，是

0 < a < 1

的樣子。

(B)、(C) 通過的是

(1, 0)

；指數函數通過的定點是

(0, 1)

。

第 2 題答案 (C)(D)。(A) 錯：

- 1 \leq sin 5 x \leq 1

，所以

3 - 2 \leq f (x) \leq 3 + 2

，值域是

1 \leq f (x) \leq 5

，不是任意實數。(B) 錯：任何實數

x

都可以代入，定義域是全體實數；

[1, 5]

是值域。(C) 對：

y = sin 5 x

的週期是

\frac{2 π}{5}

，乘上

2

再加

3

不改變週期。(D) 對：振幅是

sin 5 x

前面的係數

2

（最大值

5

與最小值

1

之差的一半）。(E) 錯：頻率是週期的倒數，

1 \div \frac{2 π}{5} = \frac{5}{2 π}

，不是

5

。

5

是

x

的係數，要除以

2 π

才是頻率。

指數函數的圖形恆在 x 軸上方且通過 (0,1)；正弦型函數的值域由振幅與上下平移決定，頻率是週期的倒數。

02單選題：弧度與度的分辨、根式比大小、弧度角的象限

第 3 題答案 (D)。

a = sin π

沒有度的記號，單位是弧度，

π

弧度

= 18 0^{\circ}

，所以

a = sin 18 0^{\circ} = 0

。

b = sin π^{\circ}

有度的記號，是

sin 3.1 4^{\circ}

左右，

c = sin 57. 3^{\circ}

。正弦在

0^{\circ}

到

9 0^{\circ}

之間遞增，而

0^{\circ} < 3.1 4^{\circ} < 57. 3^{\circ} < 9 0^{\circ}

，所以

0 < sin π^{\circ} < sin 57. 3^{\circ}

，即

a < b < c

。

1

弧度

= \frac{18 0 ^{\circ}}{π} \approx 57. 3^{\circ}

，所以

c

差不多是

sin 1

（弧度）

\approx 0.84

；

b \approx 0.055

。

第 4 題答案 (A)。都寫成以

3

為底的指數：

a = 3 = 3^{\frac{1}{2}}

，

b = 53 = 3^{\frac{1}{5}}

，

c = 5 \frac{1}{3} = (3^{- 1})^{\frac{1}{5}} = 3^{- \frac{1}{5}}

。底數

3 > 1

，指數越大值越大；

\frac{1}{2} > \frac{1}{5} > - \frac{1}{5}

，所以

a > b > c

。

也可以和

1

比：

a

、

b

都大於

1

，

c

小於

1

，所以

c

最小。

第 5 題答案 (D)。

π \approx 3.1416

，所以

100 π \approx 314.16

，

313 - 100 π \approx - 1.16

。

100 π

是

2 π

的

50

倍，所以

313

弧度與約

- 1.16

弧度的角同界。

- \frac{π}{2} \approx - 1.57

，而

- 1.57 < - 1.16 < 0

，這個角是從

x

軸正向順時針轉不到四分之一圈，終邊在第四象限。

換成正的同界角：

- 1.16 + 2 π \approx 5.12

，介於

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

與

2 π \approx 6.28

之間，同樣是第四象限。數字很大時

π

要取到

3.1416

，只取

3.14

誤差會被放大

100

倍。

先看有沒有度的記號；弧度角要判斷象限，先減去 2π 的整數倍。

03單選題：由圖形決定正弦型函數、由圖形比較底數

第 6 題答案 (E)。由圖，最高點

A (\frac{π}{2}, 5)

、最低點

B (\frac{3 π}{2}, - 1)

，最大值

5

、最小值

- 1

。中心線在

y = \frac{5 + ( - 1 )}{2} = 2

，振幅

= \frac{5 - ( - 1 )}{2} = 3

。相鄰的最高點與最低點相隔半個週期

\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2} = π

，週期是

2 π

。

y = sin x

的最高點正好在

x = \frac{π}{2}

，所以這個圖形是

y = 3 sin x + 2

。再看選項：(A) 沒有加

2

，最大值只有

3

。(B) 代

x = \frac{π}{2}

得

3 sin π + 2 = 2

，不是

5

。(C) 沒有加

2

。(D) 代

x = \frac{π}{2}

得

3 sin \frac{3 π}{2} + 2 = - 3 + 2 = - 1

，不是

5

。(E)

sin (x + π) = - sin x

，所以

- 3 sin (x + π) + 2 = 3 sin x + 2

，符合。

檢查 (E)：

x = \frac{π}{2}

時

- 3 sin \frac{3 π}{2} + 2 = 3 + 2 = 5

；

x = \frac{3 π}{2}

時

- 3 sin \frac{5 π}{2} + 2 = - 3 + 2 = - 1

；

x = 0

時

- 3 sin π + 2 = 2

，與圖形通過

(0, 2)

相符。

第 7 題答案 (C)。四條曲線都通過

(0, 1)

。

Γ_{1}

、

Γ_{2}

由左往右上升，底數

a

、

b

都大於

1

；

Γ_{3}

、

Γ_{4}

由左往右下降，底數

c

、

d

都小於

1

，所以最小的一定是

c

或

d

。在

y

軸右邊畫鉛直線

x = 1

，它與各曲線交點的

y

坐標就是底數本身。在

y

軸右邊，

Γ_{3}

在

Γ_{4}

的下方（更貼近

x

軸），所以

c < d

。四個數中

c

最小。

也可以看

y

軸左邊：

x = - 1

時

y

坐標是底數的倒數，

Γ_{3}

比

Γ_{4}

高，所以

\frac{1}{c} > \frac{1}{d}

，同樣得到

c < d

。四個底數的大小是

c < d < a < b

。

正弦型函數看圖：最大值與最小值的平均是中心線、差的一半是振幅；比較底數時畫鉛直線 x 等於 1，交點的高度就是底數。

04弧度與度的互換、圓心角、弓形面積

第 8 題

π

弧度

= 18 0^{\circ}

。弧度換成度：乘上

\frac{18 0 ^{\circ}}{π}

；度換成弧度：乘上

\frac{π}{18 0 ^{\circ}}

。(1)

\frac{3 π}{2} = \frac{3}{2} \times 18 0^{\circ} = 27 0^{\circ}

。(2)

22 5^{\circ} = 225 \times \frac{π}{180} = \frac{5 π}{4}

。(3)

- \frac{11 π}{6} = - \frac{11}{6} \times 18 0^{\circ} = - 33 0^{\circ}

。(4)

24 0^{\circ} = 240 \times \frac{π}{180} = \frac{4 π}{3}

。

(3) 的負號要留著，負角換單位後仍是負角。

第 9 題設圓的半徑為

r

，圓周長是

2 π r

，弧長

= \frac{2}{3} \times 2 π r = \frac{4 π}{3} r

。弧長

= r θ

，所以圓心角

θ = \frac{4 π}{3}

（弧度）。

整個圓的圓心角是

2 π

，弧長佔圓周的

\frac{2}{3}

，圓心角也佔

2 π

的

\frac{2}{3}

。

第 10 題弓形

=

扇形

-

兩條半徑與弦圍成的三角形。

13 5^{\circ} = \frac{3 π}{4}

，扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \cdot 3^{2} \cdot \frac{3 π}{4} = \frac{27 π}{8}

。三角形兩邊都是半徑

3

、夾角

13 5^{\circ}

，面積

= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot sin 13 5^{\circ} = \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{9 2}{4}

。所以弓形面積

= \frac{27 π}{8} - \frac{9 2}{4}

。

扇形面積公式裡的圓心角要用弧度；

sin 13 5^{\circ} = sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

。

弧長等於半徑乘圓心角、扇形面積等於二分之一半徑平方乘圓心角，圓心角都要用弧度。

05指數不等式、指數的最小值、扇形面積

第 11 題都化成以

2

為底：

(\frac{1}{2})^{x + 3} = 2^{- (x + 3)}

，

22 = 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}

。不等式變成

2^{- x - 3} < 2^{\frac{3}{2}}

。底數

2 > 1

，指數的大小方向不變：

- x - 3 < \frac{3}{2}

，

- x < \frac{9}{2}

，

x > - \frac{9}{2}

。

若保留底數

\frac{1}{2}

：

22 = (\frac{1}{2})^{- \frac{3}{2}}

，底數小於

1

，不等號要反向，

x + 3 > - \frac{3}{2}

，結果相同。學校答案寫成

x > \frac{- 9}{2}

。

第 12 題底數

4 > 1

，指數越小值越小，所以先求指數的最小值。配方：

x^{2} + 4 x + 5 = (x + 2)^{2} + 1 \geq 1

，在

x = - 2

時等號成立。所以

4^{x^{2} + 4 x + 5}

的最小值是

4^{1} = 4

。

第 13 題扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \cdot 1 5^{2} \cdot \frac{4 π}{15} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 4 π = 30 π

。

指數不等式先化成同底數；底數大於 1 時不等號方向不變，底數介於 0 與 1 之間時要反向。

06同界角與 π 的估計、扇形的內切圓

第 14 題同界角相差

2 π

的整數倍，所以

θ = π^{3} - 2 nπ

（

n

為整數）

= (π^{2} - 2 n) π

。與

θ = (π^{2} + a) π

比較，

a = - 2 n

。再由

0 \leq θ < 2 π

：

0 \leq (π^{2} - 2 n) π < 2 π

，即

0 \leq π^{2} - 2 n < 2

。

π^{2} \approx 9.87

，所以

7.87 < 2 n \leq 9.87

，偶數

2 n

只能是

8

。因此

θ = (π^{2} - 8) π

，

a = - 8

。

檢查：

π^{2} - 8 \approx 1.87

，

θ \approx 1.87 π

，確實在

0

與

2 π

之間。

3.1 4^{2} \approx 9.86

，用

π \approx 3.14

估計就夠了。

第 15 題設扇形的圓心為

O

、半徑為

R

，內切圓的圓心為

P

、半徑為

r

。內切圓與兩條半徑都相切，所以

P

在圓心角的角平分線上，

\overline{O P}

與每條半徑的夾角是

\frac{π}{6} = 3 0^{\circ}

。從

P

向一條半徑作垂線，垂線長就是

r

，得到一個

3 0^{\circ}

–

6 0^{\circ}

–

9 0^{\circ}

的直角三角形，

3 0^{\circ}

的對邊是

r

、斜邊是

\overline{O P}

，所以

\overline{O P} = 2 r

。內切圓又與扇形的弧相切，切點在角平分線上，所以

\overline{O P} + r = R

，即

3 r = R

。

A_{1} = \frac{1}{2} R^{2} \cdot \frac{π}{3} = \frac{π R ^{2}}{6} = \frac{9 π r ^{2}}{6} = \frac{3 π r ^{2}}{2}

，

A_{2} = π r^{2}

。所以

A_{1} : A_{2} = \frac{3}{2} : 1 = 3 : 2

。

內切圓與弧相切時，切點、

P

、

O

三點共線，所以大圓半徑

R

正好是

\overline{O P}

加上小圓半徑

r

。

扇形的內切圓：圓心在角平分線上，用圓心到半徑的距離等於小圓半徑、圓心到弧的距離也等於小圓半徑，列出兩個關係。

07頻率的條件、正弦不等式、交點個數

第 16 題

y = 500 sin k x

（

k > 0

）的週期是

\frac{2 π}{k}

，頻率是週期的倒數

\frac{k}{2 π}

。超音波的頻率超過

20000

：

\frac{k}{2 π} > 20000

，所以

k > 40000 π

。

頻率的單位 Hz 是「每秒幾次」，這裡把

x

看成以秒為單位的時間。振幅

500

與頻率無關。

第 17 題在

0 \leq x \leq 2 π

內，

sin x = \frac{3}{2}

的解是

x = \frac{π}{3}

與

x = π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

。看

y = sin x

的圖形：從

\frac{π}{3}

到

\frac{2 π}{3}

這一段，圖形先升到最高點

(\frac{π}{2}, 1)

再降回來，都在水平線

y = \frac{3}{2}

的上方（端點在線上）；其餘部分都在這條線的下方。所以

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{2 π}{3}

。

不等號含等號，兩個端點要包含。

第 18 題

y = sin (3 x + \frac{π}{3})

的週期是

\frac{2 π}{3}

。取絕對值是把

x

軸下方的部分翻到上方，每半個週期的形狀就重複一次，所以

y = 2 sin (3 x + \frac{π}{3})

的週期是

\frac{π}{3}

，每個週期是一個從

0

升到

2

再降回

0

的拱形。水平線

y = \frac{4}{3}

的高度在

0

與

2

之間，與每個拱形在上升的一側交一次、下降的一側交一次，每個週期恰有

2

個交點。

- 2 π \leq x \leq 2 π

的長度是

4 π

，

4 π \div \frac{π}{3} = 12

，正好是

12

個週期，共

12 \times 2 = 24

個交點。

還要確認區間的端點不是交點，才不會多算或少算：

x = 2 π

時

y = 2 sin (6 π + \frac{π}{3}) = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3 \approx 1.73

，不等於

\frac{4}{3}

；

x = - 2 π

時也是

3

。所以答案是

24

。

正弦取絕對值後週期減半；數交點時先算區間裡有幾個週期，再乘上每個週期的交點數，並檢查端點。

08換元解指數不等式、血壓模型

第 19 題

4^{x} = (2^{x})^{2}

。令

t = 2^{x}

（

t > 0

），不等式變成

t^{2} - 3 t - 4 \leq 0

，分解為

(t - 4) (t + 1) \leq 0

，得

- 1 \leq t \leq 4

。

t = 2^{x}

恆為正，

t \geq - 1

自然成立，只剩

2^{x} \leq 4 = 2^{2}

。底數

2 > 1

，所以

x \leq 2

。

2^{x}

可以任意接近

0

，所以

x

沒有下限，解是

x \leq 2

，不是某個區間。

第 20 題

f (t) = 24 sin (150 π t) + 90

的週期是

\frac{2 π}{150 π} = \frac{1}{75}

分鐘。最大值每隔一個週期出現一次，所以兩個收縮壓的時間間隔是

\frac{1}{75}

分鐘，也就是一次心跳要

\frac{1}{75}

分鐘。心跳速率

= 1 \div \frac{1}{75} = 75

，每分鐘

75

次。

每分鐘的次數就是頻率，等於週期的倒數。順帶一提，收縮壓是最大值

24 + 90 = 114

毫米汞柱。

出現 4 的 x 次方與 2 的 x 次方時，令 t 等於 2 的 x 次方換成二次不等式，記得 t 大於 0。

09指數模型的應用：植物數量、解凍溫度

第 21 題先確認「現有

16

棵」是哪個時刻。令

B (t) = 16

：

1 + 9 \cdot 3^{- 0.1 (t + 10)} = \frac{64}{16} = 4

，

3^{- 0.1 (t + 10)} = \frac{1}{3} = 3^{- 1}

，

- 0.1 (t + 10) = - 1

，

t = 0

。所以現在就是

t = 0

。再令

B (t) = 48

：

1 + 9 \cdot 3^{- 0.1 (t + 10)} = \frac{64}{48} = \frac{4}{3}

，

9 \cdot 3^{- 0.1 (t + 10)} = \frac{1}{3}

，

3^{- 0.1 (t + 10)} = \frac{1}{27} = 3^{- 3}

，

- 0.1 (t + 10) = - 3

，

t + 10 = 30

，

t = 20

。從

t = 0

到

t = 20

，再經過

20

年。

檢查：

B (20) = \frac{64}{1 + 9 \cdot 3 ^{- 3}} = \frac{64}{1 + \frac{1}{3}} = 48

。

第 22 題由解凍

1

小時後是

9^{\circ} C

：

f (1) = 25 - 32 a = 9

，

32 a = 16

，

a = \frac{1}{2}

。所以

f (x) = 25 - 32 (\frac{1}{2})^{x}

。

f (6) = 25 - 32 \cdot \frac{1}{64} = 25 - \frac{1}{2} = 24.5

，解凍

6

小時後魚的溫度為

24.5

度。

x = 0

時

f (0) = 25 - 32 = - 7

，是剛從冷凍庫取出的溫度；時間越久

32 (\frac{1}{2})^{x}

越接近

0

，溫度越接近室溫

25

度。

指數模型的題目：先用已知的一筆資料求出常數或確認起點，再把要問的數值代入，化成同底數解指數。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

苑裡高中 111 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 22 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 111 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選與填充題第 16 題取絕對值後週期變成三分之 π，四 π 長的區間有 12 個週期、每個週期交兩次，共 24 個，還要檢查端點不是交點；第 13 題扇形的內切圓要用 30 度的直角三角形得到圓心到扇形頂點的距離是小圓半徑的兩倍；第 12 題要先把同界角寫成 π 的三次方減去 2π 的整數倍，再用 π 平方約 9.87 決定減幾圈；第 3 題 313 弧度要用 π 約 3.1416 才判斷得準。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

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題目取自苑裡高中 111 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

苑裡高中 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

一、多選題（每題 5 分，每錯一個選項扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 10 分。）

已知

a > 0

，

a \neq = 1

，試問下列哪些圖形可以是函數

y = a^{x}

圖形的一部分？

載入中...

設函數

f (x) = 3 + 2 sin 5 x

，關於

f (x)

的描述下列哪些選項是正確的？

(A) 值域為任意實數
(B) 定義域為 $[1, 5]$
(C) 週期為 $\frac{2 π}{5}$
(D) 振幅為 $2$
(E) 頻率為 $5$

二、單選與填充題（依照答案卷上標註題數給分，共 90 分）

若

a = sin π

，

b = sin π^{\circ}

，

c = sin 57. 3^{\circ}

，

a

，

b

，

c

三數大小關係為下列何者？

(A) $a = b = c$
(B) $a < b = c$
(C) $a = c > b$
(D) $a < b < c$
(E) $a > b = c$

若

a = 3

，

b = 53

，

c = 5 \frac{1}{3}

，

a

，

b

，

c

三數大小關係為下列何者？

(A) $a > b > c$
(B) $a > c > b$
(C) $c > b > a$
(D) $c > a > b$
(E) $b > c > a$

標準位置角

313

弧度位於何處？

(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(E) $y$ 軸上

右圖為哪一個函數的圖形？

(A) $y = 3 sin x$
(B) $y = 3 sin (x + \frac{π}{2}) + 2$
(C) $y = - 3 sin (x + π)$
(D) $y = 3 sin (x + π) + 2$
(E) $y = - 3 sin (x + π) + 2$

載入中...

右圖中四個曲線

Γ_{1}

、

Γ_{2}

、

Γ_{3}

、

Γ_{4}

依序為函數

y = a^{x}

、

y = b^{x}

、

y = c^{x}

、

y = d^{x}

的圖形，則在

a

，

b

，

c

，

d

中，哪一個數字最小？

(A) $a$
(B) $b$
(C) $c$
(D) $d$
(E) 無法判斷

載入中...

將下列各角度單位換算：（弧度量換成度度量，度度量換成弧度量）

弧度量 度度量 \frac{3 π}{2} (1) (2) 22 5^{\circ} - \frac{11 π}{6} (3) (4) 24 0^{\circ}

若一扇型的弧長等於其所在圓周長的

\frac{2}{3}

，則此扇形所對的圓心角為 ____ 弧度。

如右圖，若扇形圓心角為

13 5^{\circ}

，半徑為

3

，則弓形部分的面積為 ____。

載入中...

不等式

(\frac{1}{2})^{x + 3} < 22

的解為 ____。

已知

x

為實數，試求

4^{x^{2} + 4 x + 5}

的最小值為 ____。

一扇形半徑為

15

，圓心角為

\frac{4 π}{15}

，則此扇形的面積為 ____。

設

θ

弳介於

0

弳至

2 π

弳，若

θ

弳與

π^{3}

弳為同界角，且

θ = (π^{2} + a) π

，則

a =

____。

設一扇形的圓心角為

\frac{π}{3}

，若此扇形的面積為

A_{1}

，內切圓的面積為

A_{2}

，則

A_{1} : A_{2} =

____。

超音波指的是聲波頻率超過

20000 Hz

的聲音，若

y = 500 sin k x

，

(k > 0)

表示某一超音波的聲波函數，則

k

值的範圍為 ____。

設

0 \leq x \leq 2 π

，若

sin x \geq \frac{3}{2}

，則

x

的範圍為 ____。

設

- 2 π \leq x \leq 2 π

，則

y = 2 sin (3 x + \frac{π}{3})

的圖形與

y = \frac{4}{3}

有 ____ 個交點。

不等式

4^{x} - 3 \times 2^{x} - 4 \leq 0

的解範圍為 ____。

假設小華某段時間的血壓變化可用函數

f (t) = 24 sin (150 π t) + 90

來模擬，其中

f (t)

為血壓（單位：毫米汞柱），

t

為時間（單位：分鐘）。若

f (t)

的最大值稱為收縮壓，而兩個收縮壓的時間間隔為

1

次心跳的時間，則小華的心跳速率為每分鐘 ____ 次。

科學家經過長期的追蹤調查某稀有植物，發現該植物的數量一直符合數學模式

B (t) = \frac{64}{1 + 9 \cdot 3 ^{- 0.1 (t + 10)}}

，

t \geq 0

（即

t

年後植物的數量有

B (t)

棵）。若已知現有植物

16

棵，未來該植物的數量仍按照這個數學模式成長，則再經過 ____ 年，該植物的數量才會達到

48

棵。

將魚從冷凍庫取出，放在

25^{\circ} C

的室溫下解凍，放置

x

小時後魚的溫度為

f (x) = 25 - 32 a^{x}

攝氏度，其中

a

是常數。根據經驗，魚在解凍

1

小時後的溫度為

9^{\circ} C

。問：解凍

6

小時後，魚的溫度為 ____ 度。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(E)

第 2 題(C)(D)

第 3 題(D)

第 4 題(A)

第 5 題(D)

第 6 題(E)

第 7 題(C)

第 8 題(1)

27 0^{\circ}

　(2)

\frac{5 π}{4}

　(3)

- 33 0^{\circ}

　(4)

\frac{4 π}{3}

第 9 題

\frac{4 π}{3}

第 10 題

\frac{27 π}{8} - \frac{9 2}{4}

第 11 題

x > \frac{- 9}{2}

第 12 題

4

第 13 題

30 π

第 14 題

- 8

第 15 題

3 : 2

第 16 題

k > 40000 π

第 17 題

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{2 π}{3}

第 18 題

24

第 19 題

x \leq 2

第 20 題

75

第 21 題

20

第 22 題

24.5

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題：指數函數的圖形、正弦型函數的基本性質

第 1 題答案 (A)(E)。

y = a^{x}

（

a > 0

，

a \neq = 1

）的函數值恆為正，圖形整個在

x

軸上方，並且通過

(0, 1)

；

a > 1

時由左往右一路上升，

0 < a < 1

時由左往右一路下降。(A) 對：圖形通過

(0, 1)

、在

x

軸上方、由左往右上升，是

a > 1

的樣子。(B) 錯：圖形通過

(1, 0)

，但

a^{1} = a > 0

，不會是

0

；而且圖形有一段在

x

軸下方。(C) 錯：同樣通過

(1, 0)

，並且穿到

x

軸下方。(D) 錯：圖形雖然通過

(0, 1)

，但在

y

軸左邊下降、右邊上升；指數函數只會一路上升或一路下降。(E) 對：圖形通過

(0, 1)

、在

x

軸上方、由左往右下降，是

0 < a < 1

的樣子。

(B)、(C) 通過的是

(1, 0)

；指數函數通過的定點是

(0, 1)

。

第 2 題答案 (C)(D)。(A) 錯：

- 1 \leq sin 5 x \leq 1

，所以

3 - 2 \leq f (x) \leq 3 + 2

，值域是

1 \leq f (x) \leq 5

，不是任意實數。(B) 錯：任何實數

x

都可以代入，定義域是全體實數；

[1, 5]

是值域。(C) 對：

y = sin 5 x

的週期是

\frac{2 π}{5}

，乘上

2

再加

3

不改變週期。(D) 對：振幅是

sin 5 x

前面的係數

2

（最大值

5

與最小值

1

之差的一半）。(E) 錯：頻率是週期的倒數，

1 \div \frac{2 π}{5} = \frac{5}{2 π}

，不是

5

。

5

是

x

的係數，要除以

2 π

才是頻率。

指數函數的圖形恆在 x 軸上方且通過 (0,1)；正弦型函數的值域由振幅與上下平移決定，頻率是週期的倒數。

02單選題：弧度與度的分辨、根式比大小、弧度角的象限

第 3 題答案 (D)。

a = sin π

沒有度的記號，單位是弧度，

π

弧度

= 18 0^{\circ}

，所以

a = sin 18 0^{\circ} = 0

。

b = sin π^{\circ}

有度的記號，是

sin 3.1 4^{\circ}

左右，

c = sin 57. 3^{\circ}

。正弦在

0^{\circ}

到

9 0^{\circ}

之間遞增，而

0^{\circ} < 3.1 4^{\circ} < 57. 3^{\circ} < 9 0^{\circ}

，所以

0 < sin π^{\circ} < sin 57. 3^{\circ}

，即

a < b < c

。

1

弧度

= \frac{18 0 ^{\circ}}{π} \approx 57. 3^{\circ}

，所以

c

差不多是

sin 1

（弧度）

\approx 0.84

；

b \approx 0.055

。

第 4 題答案 (A)。都寫成以

3

為底的指數：

a = 3 = 3^{\frac{1}{2}}

，

b = 53 = 3^{\frac{1}{5}}

，

c = 5 \frac{1}{3} = (3^{- 1})^{\frac{1}{5}} = 3^{- \frac{1}{5}}

。底數

3 > 1

，指數越大值越大；

\frac{1}{2} > \frac{1}{5} > - \frac{1}{5}

，所以

a > b > c

。

也可以和

1

比：

a

、

b

都大於

1

，

c

小於

1

，所以

c

最小。

第 5 題答案 (D)。

π \approx 3.1416

，所以

100 π \approx 314.16

，

313 - 100 π \approx - 1.16

。

100 π

是

2 π

的

50

倍，所以

313

弧度與約

- 1.16

弧度的角同界。

- \frac{π}{2} \approx - 1.57

，而

- 1.57 < - 1.16 < 0

，這個角是從

x

軸正向順時針轉不到四分之一圈，終邊在第四象限。

換成正的同界角：

- 1.16 + 2 π \approx 5.12

，介於

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

與

2 π \approx 6.28

之間，同樣是第四象限。數字很大時

π

要取到

3.1416

，只取

3.14

誤差會被放大

100

倍。

先看有沒有度的記號；弧度角要判斷象限，先減去 2π 的整數倍。

03單選題：由圖形決定正弦型函數、由圖形比較底數

第 6 題答案 (E)。由圖，最高點

A (\frac{π}{2}, 5)

、最低點

B (\frac{3 π}{2}, - 1)

，最大值

5

、最小值

- 1

。中心線在

y = \frac{5 + ( - 1 )}{2} = 2

，振幅

= \frac{5 - ( - 1 )}{2} = 3

。相鄰的最高點與最低點相隔半個週期

\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2} = π

，週期是

2 π

。

y = sin x

的最高點正好在

x = \frac{π}{2}

，所以這個圖形是

y = 3 sin x + 2

。再看選項：(A) 沒有加

2

，最大值只有

3

。(B) 代

x = \frac{π}{2}

得

3 sin π + 2 = 2

，不是

5

。(C) 沒有加

2

。(D) 代

x = \frac{π}{2}

得

3 sin \frac{3 π}{2} + 2 = - 3 + 2 = - 1

，不是

5

。(E)

sin (x + π) = - sin x

，所以

- 3 sin (x + π) + 2 = 3 sin x + 2

，符合。

檢查 (E)：

x = \frac{π}{2}

時

- 3 sin \frac{3 π}{2} + 2 = 3 + 2 = 5

；

x = \frac{3 π}{2}

時

- 3 sin \frac{5 π}{2} + 2 = - 3 + 2 = - 1

；

x = 0

時

- 3 sin π + 2 = 2

，與圖形通過

(0, 2)

相符。

第 7 題答案 (C)。四條曲線都通過

(0, 1)

。

Γ_{1}

、

Γ_{2}

由左往右上升，底數

a

、

b

都大於

1

；

Γ_{3}

、

Γ_{4}

由左往右下降，底數

c

、

d

都小於

1

，所以最小的一定是

c

或

d

。在

y

軸右邊畫鉛直線

x = 1

，它與各曲線交點的

y

坐標就是底數本身。在

y

軸右邊，

Γ_{3}

在

Γ_{4}

的下方（更貼近

x

軸），所以

c < d

。四個數中

c

最小。

也可以看

y

軸左邊：

x = - 1

時

y

坐標是底數的倒數，

Γ_{3}

比

Γ_{4}

高，所以

\frac{1}{c} > \frac{1}{d}

，同樣得到

c < d

。四個底數的大小是

c < d < a < b

。

正弦型函數看圖：最大值與最小值的平均是中心線、差的一半是振幅；比較底數時畫鉛直線 x 等於 1，交點的高度就是底數。

04弧度與度的互換、圓心角、弓形面積

第 8 題

π

弧度

= 18 0^{\circ}

。弧度換成度：乘上

\frac{18 0 ^{\circ}}{π}

；度換成弧度：乘上

\frac{π}{18 0 ^{\circ}}

。(1)

\frac{3 π}{2} = \frac{3}{2} \times 18 0^{\circ} = 27 0^{\circ}

。(2)

22 5^{\circ} = 225 \times \frac{π}{180} = \frac{5 π}{4}

。(3)

- \frac{11 π}{6} = - \frac{11}{6} \times 18 0^{\circ} = - 33 0^{\circ}

。(4)

24 0^{\circ} = 240 \times \frac{π}{180} = \frac{4 π}{3}

。

(3) 的負號要留著，負角換單位後仍是負角。

第 9 題設圓的半徑為

r

，圓周長是

2 π r

，弧長

= \frac{2}{3} \times 2 π r = \frac{4 π}{3} r

。弧長

= r θ

，所以圓心角

θ = \frac{4 π}{3}

（弧度）。

整個圓的圓心角是

2 π

，弧長佔圓周的

\frac{2}{3}

，圓心角也佔

2 π

的

\frac{2}{3}

。

第 10 題弓形

=

扇形

-

兩條半徑與弦圍成的三角形。

13 5^{\circ} = \frac{3 π}{4}

，扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \cdot 3^{2} \cdot \frac{3 π}{4} = \frac{27 π}{8}

。三角形兩邊都是半徑

3

、夾角

13 5^{\circ}

，面積

= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot sin 13 5^{\circ} = \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{9 2}{4}

。所以弓形面積

= \frac{27 π}{8} - \frac{9 2}{4}

。

扇形面積公式裡的圓心角要用弧度；

sin 13 5^{\circ} = sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

。

弧長等於半徑乘圓心角、扇形面積等於二分之一半徑平方乘圓心角，圓心角都要用弧度。

05指數不等式、指數的最小值、扇形面積

第 11 題都化成以

2

為底：

(\frac{1}{2})^{x + 3} = 2^{- (x + 3)}

，

22 = 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}

。不等式變成

2^{- x - 3} < 2^{\frac{3}{2}}

。底數

2 > 1

，指數的大小方向不變：

- x - 3 < \frac{3}{2}

，

- x < \frac{9}{2}

，

x > - \frac{9}{2}

。

若保留底數

\frac{1}{2}

：

22 = (\frac{1}{2})^{- \frac{3}{2}}

，底數小於

1

，不等號要反向，

x + 3 > - \frac{3}{2}

，結果相同。學校答案寫成

x > \frac{- 9}{2}

。

第 12 題底數

4 > 1

，指數越小值越小，所以先求指數的最小值。配方：

x^{2} + 4 x + 5 = (x + 2)^{2} + 1 \geq 1

，在

x = - 2

時等號成立。所以

4^{x^{2} + 4 x + 5}

的最小值是

4^{1} = 4

。

第 13 題扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \cdot 1 5^{2} \cdot \frac{4 π}{15} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 4 π = 30 π

。

指數不等式先化成同底數；底數大於 1 時不等號方向不變，底數介於 0 與 1 之間時要反向。

06同界角與 π 的估計、扇形的內切圓

第 14 題同界角相差

2 π

的整數倍，所以

θ = π^{3} - 2 nπ

（

n

為整數）

= (π^{2} - 2 n) π

。與

θ = (π^{2} + a) π

比較，

a = - 2 n

。再由

0 \leq θ < 2 π

：

0 \leq (π^{2} - 2 n) π < 2 π

，即

0 \leq π^{2} - 2 n < 2

。

π^{2} \approx 9.87

，所以

7.87 < 2 n \leq 9.87

，偶數

2 n

只能是

8

。因此

θ = (π^{2} - 8) π

，

a = - 8

。

檢查：

π^{2} - 8 \approx 1.87

，

θ \approx 1.87 π

，確實在

0

與

2 π

之間。

3.1 4^{2} \approx 9.86

，用

π \approx 3.14

估計就夠了。

第 15 題設扇形的圓心為

O

、半徑為

R

，內切圓的圓心為

P

、半徑為

r

。內切圓與兩條半徑都相切，所以

P

在圓心角的角平分線上，

\overline{O P}

與每條半徑的夾角是

\frac{π}{6} = 3 0^{\circ}

。從

P

向一條半徑作垂線，垂線長就是

r

，得到一個

3 0^{\circ}

–

6 0^{\circ}

–

9 0^{\circ}

的直角三角形，

3 0^{\circ}

的對邊是

r

、斜邊是

\overline{O P}

，所以

\overline{O P} = 2 r

。內切圓又與扇形的弧相切，切點在角平分線上，所以

\overline{O P} + r = R

，即

3 r = R

。

A_{1} = \frac{1}{2} R^{2} \cdot \frac{π}{3} = \frac{π R ^{2}}{6} = \frac{9 π r ^{2}}{6} = \frac{3 π r ^{2}}{2}

，

A_{2} = π r^{2}

。所以

A_{1} : A_{2} = \frac{3}{2} : 1 = 3 : 2

。

內切圓與弧相切時，切點、

P

、

O

三點共線，所以大圓半徑

R

正好是

\overline{O P}

加上小圓半徑

r

。

扇形的內切圓：圓心在角平分線上，用圓心到半徑的距離等於小圓半徑、圓心到弧的距離也等於小圓半徑，列出兩個關係。

07頻率的條件、正弦不等式、交點個數

第 16 題

y = 500 sin k x

（

k > 0

）的週期是

\frac{2 π}{k}

，頻率是週期的倒數

\frac{k}{2 π}

。超音波的頻率超過

20000

：

\frac{k}{2 π} > 20000

，所以

k > 40000 π

。

頻率的單位 Hz 是「每秒幾次」，這裡把

x

看成以秒為單位的時間。振幅

500

與頻率無關。

第 17 題在

0 \leq x \leq 2 π

內，

sin x = \frac{3}{2}

的解是

x = \frac{π}{3}

與

x = π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

。看

y = sin x

的圖形：從

\frac{π}{3}

到

\frac{2 π}{3}

這一段，圖形先升到最高點

(\frac{π}{2}, 1)

再降回來，都在水平線

y = \frac{3}{2}

的上方（端點在線上）；其餘部分都在這條線的下方。所以

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{2 π}{3}

。

不等號含等號，兩個端點要包含。

第 18 題

y = sin (3 x + \frac{π}{3})

的週期是

\frac{2 π}{3}

。取絕對值是把

x

軸下方的部分翻到上方，每半個週期的形狀就重複一次，所以

y = 2 sin (3 x + \frac{π}{3})

的週期是

\frac{π}{3}

，每個週期是一個從

0

升到

2

再降回

0

的拱形。水平線

y = \frac{4}{3}

的高度在

0

與

2

之間，與每個拱形在上升的一側交一次、下降的一側交一次，每個週期恰有

2

個交點。

- 2 π \leq x \leq 2 π

的長度是

4 π

，

4 π \div \frac{π}{3} = 12

，正好是

12

個週期，共

12 \times 2 = 24

個交點。

還要確認區間的端點不是交點，才不會多算或少算：

x = 2 π

時

y = 2 sin (6 π + \frac{π}{3}) = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3 \approx 1.73

，不等於

\frac{4}{3}

；

x = - 2 π

時也是

3

。所以答案是

24

。

正弦取絕對值後週期減半；數交點時先算區間裡有幾個週期，再乘上每個週期的交點數，並檢查端點。

08換元解指數不等式、血壓模型

第 19 題

4^{x} = (2^{x})^{2}

。令

t = 2^{x}

（

t > 0

），不等式變成

t^{2} - 3 t - 4 \leq 0

，分解為

(t - 4) (t + 1) \leq 0

，得

- 1 \leq t \leq 4

。

t = 2^{x}

恆為正，

t \geq - 1

自然成立，只剩

2^{x} \leq 4 = 2^{2}

。底數

2 > 1

，所以

x \leq 2

。

2^{x}

可以任意接近

0

，所以

x

沒有下限，解是

x \leq 2

，不是某個區間。

第 20 題

f (t) = 24 sin (150 π t) + 90

的週期是

\frac{2 π}{150 π} = \frac{1}{75}

分鐘。最大值每隔一個週期出現一次，所以兩個收縮壓的時間間隔是

\frac{1}{75}

分鐘，也就是一次心跳要

\frac{1}{75}

分鐘。心跳速率

= 1 \div \frac{1}{75} = 75

，每分鐘

75

次。

每分鐘的次數就是頻率，等於週期的倒數。順帶一提，收縮壓是最大值

24 + 90 = 114

毫米汞柱。

出現 4 的 x 次方與 2 的 x 次方時，令 t 等於 2 的 x 次方換成二次不等式，記得 t 大於 0。

09指數模型的應用：植物數量、解凍溫度

第 21 題先確認「現有

16

棵」是哪個時刻。令

B (t) = 16

：

1 + 9 \cdot 3^{- 0.1 (t + 10)} = \frac{64}{16} = 4

，

3^{- 0.1 (t + 10)} = \frac{1}{3} = 3^{- 1}

，

- 0.1 (t + 10) = - 1

，

t = 0

。所以現在就是

t = 0

。再令

B (t) = 48

：

1 + 9 \cdot 3^{- 0.1 (t + 10)} = \frac{64}{48} = \frac{4}{3}

，

9 \cdot 3^{- 0.1 (t + 10)} = \frac{1}{3}

，

3^{- 0.1 (t + 10)} = \frac{1}{27} = 3^{- 3}

，

- 0.1 (t + 10) = - 3

，

t + 10 = 30

，

t = 20

。從

t = 0

到

t = 20

，再經過

20

年。

檢查：

B (20) = \frac{64}{1 + 9 \cdot 3 ^{- 3}} = \frac{64}{1 + \frac{1}{3}} = 48

。

第 22 題由解凍

1

小時後是

9^{\circ} C

：

f (1) = 25 - 32 a = 9

，

32 a = 16

，

a = \frac{1}{2}

。所以

f (x) = 25 - 32 (\frac{1}{2})^{x}

。

f (6) = 25 - 32 \cdot \frac{1}{64} = 25 - \frac{1}{2} = 24.5

，解凍

6

小時後魚的溫度為

24.5

度。

x = 0

時

f (0) = 25 - 32 = - 7

，是剛從冷凍庫取出的溫度；時間越久

32 (\frac{1}{2})^{x}

越接近

0

，溫度越接近室溫

25

度。

指數模型的題目：先用已知的一筆資料求出常數或確認起點，再把要問的數值代入，化成同底數解指數。

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02單選題：弧度與度的分辨、根式比大小、弧度角的象限

03單選題：由圖形決定正弦型函數、由圖形比較底數

04弧度與度的互換、圓心角、弓形面積

05指數不等式、指數的最小值、扇形面積

06同界角與 π 的估計、扇形的內切圓

07頻率的條件、正弦不等式、交點個數

08換元解指數不等式、血壓模型

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