段考詳解範圍：指數函數與三角函數（指數函數及其圖形、指數方程式與不等式、單利複利與半衰期、弧度量與扇形、正弦函數的圖形與週期）

臺南二中 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

多重選擇題 2 題（每題 6 分，共 12 分）、填充題 12 題共 17 格（依答對格數對照表給分：答對 1 格 8 分、2 格 16 分、3 格 24 分、4 格 32 分、5 格 38 分、6 格 44 分、7 格 50 分、8 格 56 分、9 格 62 分、10 格 66 分、11 格 70 分、12 格 74 分、13 格 78 分、14 格 82 分、15 格 84 分、16 格 86 分、17 格 88 分），合計 100 分。原卷兩大題各自從 1 編號，本頁全卷連續編號：第 1～2 題是多重選擇 1～2，第 3～19 題依序是填充 1(1)、1(2)、2(1)、2(2)、3、4(1)、4(2)、5、6、7(1)、7(2)、8(1)、8(2)、9、10、11、12。答案已與學校公布的答案逐題核對，19 題（格）全部相同。

一、多重選擇題（每題 6%，共 12%）　說明：每題均有五個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將答案填在答案卷上。所有選項均答對者得 6%，答錯一選項者得 4%，答錯兩個選項者得 2%，其餘作答情形以及未作答者均不給分。

在上完第一次期中考範圍後，老師請同學各自獨立發表所學到的觀念，請選出錯誤的說法：

(A) 甲：「當 $a > 0$ 且 $a \neq = 1$ 時，指數函數 $y = a^{x}$ 的圖形和任意的水平線都恰有一交點」。
(B) 乙：「 $y = 2^{x}$ 的圖形和 $y = x^{2}$ 的圖形恰有兩個交點」。
(C) 丙：「 $- 3$ （弳）的最小正同界角為 $- 3 + π$ （弳）」。
(D) 丁：「 $y = sin x$ 的圖形是由無數個半圓弧所組成的」。
(E) 戊：「 $cos π^{2} = cos (180 \times 18 0^{\circ}) = cos 3240 0^{\circ} = 1$ 」。

設

a

為不為

1

之正實數，

f (x) = a^{x}

，

g (x) = sin 3 x

，試選出下列正確的敘述：

(A) $f (- x)$ 和 $f (x)$ 兩者之圖形會互相對稱於 $x$ 軸。
(B) 若 $f (5) = 5$ ，則 $a > 1$ 。
(C) $g (x)$ 的圖形本身會對稱於原點。
(D) 若將 $g (x)$ 之圖形往右平移 $\frac{π}{2}$ 後，則圖形會和 $y = sin (3 x - \frac{π}{2})$ 之圖形重合。
(E) $∣ g (x) ∣$ 是一個週期為 $\frac{2 π}{3}$ 的圖形。

二、填充題　說明：每格須完全答對才給該格分數（除了數對有半對外），其餘情況均不給分；請將答案填在答案卷上。

(1)

5 7^{\circ} =

____ 弳；

(2)

1

弳

=

____ 度。

填充第 2 題（第 5～6 題）（第 5～6 題）　比較下列各小題內

a

、

b

、

c

、

d

之大小：

(1)

a = sin 1

，

b = sin 4

，

c = sin π^{\circ}

，

d = sin \frac{11 π}{6}

\Rightarrow

____

>

____

>

____

>

____

(2)

a = (\frac{1}{3})^{0.4}

，

b = \frac{1}{6 9}

，

c = 5 3^{- 3}

，

d = 9^{\frac{1}{4}}

\Rightarrow

____

>

____

>

____

>

____

一位同學在上自然科的探究與實作時觀察到樹木橫切面的部份示意圖如下圖。若將

O A B

、

O M N

與

O C D

視為扇形，

C

、

D

分別為

\overline{O B}

和

\overline{O A}

上之一點，且

M

、

N

分別為

\overline{B C}

、

\overline{A D}

之中點，

\overline{A D} = 5

且

M N ⌢ = 6

，則斜線區域

A B C D

之面積為 ____ 。

載入中...

填充第 4 題（第 8～9 題）（第 8～9 題）　設函數

f (x) = 7 + 3 sin (2 - \frac{2}{π} x)

，且

f (x)

之最大值為

M

，最小值為

m

，週期為

T

，則：

(1)

(M, m) =

____ 。

(2)

T =

____ 。

設

f (x) = 4^{x} - 2^{x + 1} - 3

，且

f (x)

在

- 1 \leq x \leq 2

時之最大值為

M

、最小值為

m

，則

(M, m) =

____ 。

設

f (x) = sin x + \frac{3}{4} cos^{2} x + 1

之最大值為

M

，最小值為

m

，則

(M, m) =

____ 。

(1)

y = (\frac{1}{2})^{x}

和

y = 4^{x + \frac{5}{2}}

的交點座標為 ____ 。

(2) 設

- 3 π \leq x \leq 3 π

，則方程式

2^{x - 7} = sin x

有 ____ 個實數解。

填充第 8 題（第 14～15 題）（第 14～15 題）　解下列不等式：

(1)

(0.2)^{x^{2} - x} \leq (0.04)^{2 x + 3}

的解為 ____ 。

(2) 設

0 \leq x \leq 2 π

，則

sin (x - \frac{π}{4}) \geq \frac{1}{2}

的解為 ____ 。

設

y = 3^{x}

與直線

y = 2

和

y = 6

分別交於

A

、

B

兩點，則

\overline{A B}

長度為 ____ 。

附圖為函數

y = a^{x} + b

的圖形，其中直線

y = 3

為漸近線，已知點

P (2, \frac{57}{16})

在圖形上，則數對

(a, b) =

____ 。

載入中...

甲想要向某銀行貸款

100

萬作為投資健身房用，已知銀行的年利率為

1%

，一年為一期，且三年期滿必須一次還清本利和，而此銀行採用每年複利一次的方式計息，但近日此銀行推出青年就業貸款優惠方案，可以單利的方式計息，若甲選擇以此優惠方案計息的話，則他可省下 ____ 元。

放射性物質衰變為原來質量一半所需的時間，稱為物質的半衰期。現有

A

、

B

兩種放射性物質，其中

A

的質量與

B

的質量之比例為

100 : 49

，而

90

個月前

A

的質量與

B

的質量之比例為

25 : 49

。若物質

B

的半衰期為

18

個月，則物質

A

的半衰期為 ____ 個月。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(B)(C)(D)(E)

第 2 題(B)(C)

第 3 題

\frac{57 π}{180}

（學校答案的寫法；約分後是

\frac{19 π}{60}

，是同一個數）

第 4 題

\frac{180}{π}

第 5 題

a > c > d > b

第 6 題

d > b > a > c

第 7 題

30

第 8 題

(10, 4)

第 9 題

π^{2}

第 10 題

(5, - 4)

第 11 題

(\frac{25}{12}, 0)

第 12 題

(- 2, 2)

第 13 題

4

第 14 題

x \geq 6

或

x \leq - 1

第 15 題

\frac{5 π}{12} \leq x \leq \frac{13 π}{12}

第 16 題

17

第 17 題

(\frac{3}{4}, 3)

第 18 題

301

第 19 題

30

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題（第 1～2 題）：觀念辨正、圖形的對稱與平移和週期

第 1 題這一題要選的是錯誤的說法，下面逐一判斷每個說法本身對不對。(A) 錯誤。

a^{x}

永遠是正的，圖形整個在

x

軸上方，所以水平線

y = k

只有在

k > 0

時才和圖形恰有一個交點；

k \leq 0

時（例如

y = - 1

、

y = 0

）沒有交點。(B) 錯誤。

x = 2

時

2^{2} = 2^{2} = 4

，

x = 4

時

2^{4} = 4^{2} = 16

，這是兩個交點。但在

x < 0

還有一個：

x = - 1

時

2^{- 1} = \frac{1}{2}

小於

(- 1)^{2} = 1

，

x = 0

時

2^{0} = 1

大於

0^{2} = 0

，兩個圖形的高低在

- 1

與

0

之間對調，所以中間有一個交點。一共三個交點，不是兩個。(C) 錯誤。 同界角相差

2 π

的整數倍。

- 3 + π

和

- 3

只差

π

，不是同界角；

- 3 + 2 π \approx 3.28

是正的，而且再減

2 π

就變回負的，所以最小正同界角是

- 3 + 2 π

。(D) 錯誤。 如果

0 \leq x \leq π

那一段是半圓弧，直徑是

π

，半徑就是

\frac{π}{2} \approx 1.57

，最高點應該高

1.57

；但

sin x

的最大值是

1

，所以那一段不是半圓弧。(E) 錯誤。

π^{2}

沒有度的記號，是

π^{2}

弳。

π

弳是

18 0^{\circ}

，所以

π^{2}

弳是

π \times 18 0^{\circ} \approx 565. 5^{\circ}

，不是

180 \times 18 0^{\circ}

。

565. 5^{\circ} - 36 0^{\circ} = 205. 5^{\circ}

是第三象限角，

cos π^{2} < 0

，不會是

1

。五個說法都錯，選 (A)(B)(C)(D)(E)。

(B) 的第三個交點大約在

x \approx - 0.77

。(E) 的數值

cos π^{2} \approx - 0.90

。把

π^{2}

換成度的時候，只有一個

π

換成

18 0^{\circ}

，另一個

π

還是

3.14 \dots

這個數。

第 2 題(A) 錯誤。

y = f (- x)

是把

y = f (x)

的

x

換成

- x

，兩個圖形對稱於

y

軸，不是

x

軸。兩個圖形都在

x

軸上方，也不可能對稱於

x

軸。(B) 正確。

a^{5} = 5 > 1

。若

0 < a < 1

，指數

5

是正的，

a^{5} < a^{0} = 1

，不合；所以

a > 1

。(C) 正確。

g (- x) = sin (- 3 x) = - sin 3 x = - g (x)

，點

(x, y)

在圖形上時

(- x, - y)

也在圖形上，圖形對稱於原點。(D) 錯誤。 往右平移

\frac{π}{2}

是把

x

換成

x - \frac{π}{2}

，得到

y = sin 3 (x - \frac{π}{2}) = sin (3 x - \frac{3 π}{2})

。用

x = 0

檢查：平移後的函數值是

sin (- \frac{3 π}{2}) = 1

，而

y = sin (3 x - \frac{π}{2})

在

x = 0

的值是

sin (- \frac{π}{2}) = - 1

，兩個圖形不重合。(E) 錯誤。 加上絕對值之後，

x

軸下方的部分翻到上方，圖形每半個週期就重複一次。

g (x) = sin 3 x

的週期是

\frac{2 π}{3}

，所以

∣ g (x) ∣

的週期只有它的一半，不是題目說的那個值。選 (B)(C)。

(D) 要和

y = sin (3 x - \frac{π}{2}) = sin 3 (x - \frac{π}{6})

重合，只要往右平移

\frac{π}{6}

。(E)

∣ g (x) ∣

的週期是

\frac{π}{3}

。每隔

\frac{2 π}{3}

圖形確實也會重複，但週期指的是讓圖形重複的最小正數。

沒有度的記號就是弧度。圖形的左右平移與左右對稱都是對 x 本身動手：平移要整個 x 一起換，再乘上係數。

02填充第 1～2 題（第 3～6 題）：度與弧度互換、比大小

第 3 題

18 0^{\circ} = π

弳，所以

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳，

5 7^{\circ} = \frac{57 π}{180}

弳。分子分母同除以

3

，就是

\frac{19 π}{60}

弳。

學校答案印的是沒有約分的

\frac{57 π}{180}

，和

\frac{19 π}{60}

是同一個數，大約是

0.995

弳。

第 4 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，兩邊同除以

π

，

1

弳

= \frac{180}{π}

度。

大約是

57. 3^{\circ}

。上一格的

5 7^{\circ}

很接近

1

弳，但不相等。

第 5 題先分清楚單位：

1

、

4

、

\frac{11 π}{6}

是弧度，

π^{\circ}

是大約

3.1 4^{\circ}

。

d = sin \frac{11 π}{6} = - sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2}

。

a

：

\frac{π}{6} \approx 0.52 < 1 < \frac{π}{2} \approx 1.57

，正弦在

0

到

\frac{π}{2}

之間遞增，所以

a = sin 1 > sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

。

c

：

π^{\circ}

是比

3 0^{\circ}

小的正銳角，所以

0 < c < \frac{1}{2}

。

b

：

π \approx 3.14 < 4 < \frac{3 π}{2} \approx 4.71

，

4

弳是第三象限角，

sin 4 = - sin (4 - π)

；

4 - π \approx 0.86

介於

\frac{π}{6}

與

\frac{π}{2}

之間，

sin (4 - π) > \frac{1}{2}

，所以

b < - \frac{1}{2}

。合起來

a > \frac{1}{2} > c > 0 > d = - \frac{1}{2} > b

，即

a > c > d > b

。

數值：

a \approx 0.841

、

c \approx 0.055

、

d = - 0.5

、

b \approx - 0.757

。

第 6 題全部化成以

3

為底：

a = (3^{- 1})^{0.4} = 3^{- 0.4}

，

b = \frac{1}{9 ^{\frac{1}{6}}} = \frac{1}{3 ^{\frac{1}{3}}} = 3^{- \frac{1}{3}}

，

c = (3^{- 3})^{\frac{1}{5}} = 3^{- \frac{3}{5}} = 3^{- 0.6}

，

d = (3^{2})^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{1}{2}}

。底數

3 > 1

時指數愈大值愈大。四個指數由大到小是

\frac{1}{2} > - \frac{1}{3} > - 0.4 > - 0.6

，其中

- \frac{1}{3} \approx - 0.333

。所以

d > b > a > c

。

比大小先化成同一種東西：正弦值先分清楚度與弧度，再和特殊角的值比；指數先化成同底數，再比指數。

03填充第 3～4 題（第 7～9 題）：環狀區域的面積、正弦型函數的極值與週期

第 7 題三個扇形的圓心都是

O

且圓心角相同，設圓心角為

θ

弳。設

\overline{O C} = \overline{O D} = r

、

\overline{O A} = \overline{O B} = R

，則

\overline{A D} = R - r = 5

。因為

M

是

\overline{B C}

的中點，

\overline{O M} = \frac{R + r}{2}

，弧

M N

的長是

\frac{R + r}{2} \cdot θ = 6

，即

(R + r) θ = 12

。斜線區域是扇形

O A B

減去扇形

O C D

，面積＝

\frac{1}{2} R^{2} θ - \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} (R - r) (R + r) θ = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30

。

只靠這兩個條件求不出

R

、

r

、

θ

各是多少，但面積只用到

R - r

與

(R + r) θ

。結果可以記成「寬

\times

中間那條弧的長」，

5 \times 6 = 30

。本頁附圖的半徑與圓心角是示意比例。

第 8 題不論括號裡的角是多少，正弦值都在

- 1

與

1

之間，而且

x

可以是任意實數，

2 - \frac{2}{π} x

可以取到所有實數，所以

1

與

- 1

都取得到。最大值

M = 7 + 3 \times 1 = 10

，最小值

m = 7 + 3 \times (- 1) = 4

，

(M, m) = (10, 4)

。

第 9 題

y = sin (k x + c)

的週期是

\frac{2 π}{∣ k ∣}

。這裡

x

的係數是

- \frac{2}{π}

，所以

T = 2 π \div \frac{2}{π} = 2 π \times \frac{π}{2} = π^{2}

。

檢查：

x

增加

π^{2}

時，

2 - \frac{2}{π} x

減少

\frac{2}{π} \times π^{2} = 2 π

，正弦值不變。上下平移

7

與振幅

3

都不影響週期。

正弦型函數的最大最小值看中心線加減振幅，週期只看 x 的係數的絕對值。

04填充第 5～6 題（第 10～11 題）：代換成二次函數求極值

第 10 題令

t = 2^{x}

，則

4^{x} = t^{2}

、

2^{x + 1} = 2 t

，

f (x) = t^{2} - 2 t - 3 = (t - 1)^{2} - 4

。

2^{x}

遞增，

- 1 \leq x \leq 2

時

\frac{1}{2} \leq t \leq 4

。頂點

t = 1

在範圍內，最小值

m = - 4

（此時

x = 0

）。離頂點較遠的端點是

t = 4

，最大值

M = (4 - 1)^{2} - 4 = 5

（此時

x = 2

）。

(M, m) = (5, - 4)

。

另一個端點

t = \frac{1}{2}

的值是

\frac{1}{4} - 4 = - \frac{15}{4}

，比

5

小。

第 11 題用

cos^{2} x = 1 - sin^{2} x

把式子全部換成

sin x

。令

t = sin x

，

- 1 \leq t \leq 1

：

f = t + \frac{3}{4} (1 - t^{2}) + 1 = - \frac{3}{4} t^{2} + t + \frac{7}{4} = - \frac{3}{4} (t - \frac{2}{3})^{2} + \frac{25}{12}

。開口向下，頂點

t = \frac{2}{3}

在範圍內，最大值

M = \frac{25}{12}

。離頂點較遠的端點是

t = - 1

，最小值

m = - \frac{3}{4} - 1 + \frac{7}{4} = 0

。

(M, m) = (\frac{25}{12}, 0)

。

配方的常數項：

- \frac{3}{4} \times \frac{4}{9} = - \frac{1}{3}

，所以要補回

\frac{1}{3}

，

\frac{7}{4} + \frac{1}{3} = \frac{25}{12}

。另一個端點

t = 1

的值是

2

，介於兩者之間。

代換之後一定要寫出新變數的範圍，再看頂點在不在範圍內、哪個端點離頂點比較遠。

05填充第 7～8 題（第 12～15 題）：交點、交點個數、指數不等式、正弦不等式

第 12 題兩邊都化成以

2

為底：

(\frac{1}{2})^{x} = (2^{- \frac{1}{2}})^{x} = 2^{- \frac{x}{2}}

且

4^{x + \frac{5}{2}} = 2^{2 x + 5}

。交點處兩個

y

相等，所以

- \frac{x}{2} = 2 x + 5

，解得

x = - 2

。代回得

y = (\frac{1}{2})^{- 2} = (2)^{2} = 2

，交點是

(- 2, 2)

。

用另一式檢查：

4^{- 2 + \frac{5}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} = 2

，相同。

第 13 題畫

y = 2^{x - 7}

與

y = sin x

的圖形數交點。

2^{x - 7}

永遠是正的，所以交點只會出現在

sin x > 0

的區間；在

- 3 π \leq x \leq 3 π

內，這樣的區間有三段：

- 2 π < x < - π

、

0 < x < π

、

2 π < x < 3 π

。前兩段裡

2^{x - 7}

很小（在

x = π

時

2^{π - 7} \approx 0.07

，愈往左愈小）而且緩緩上升，正弦的山峰從

0

升到

1

再降回

0

，上山、下山各交一次，每段

2

個交點，共

4

個。第三段分三小段看，兩個函數在

2 π

到

\frac{5 π}{2} \approx 7.85

之間都是遞增的。

2 π \leq x \leq 6.9

時

sin x \leq sin 6.9 < 0.58

，而

2^{x - 7} \geq 2^{2 π - 7} > 0.60

；

6.9 \leq x \leq 7

時

sin x \leq sin 7 < 0.66

，而

2^{x - 7} \geq 2^{- 0.1} > 0.93

；

x > 7

時

2^{x - 7} > 1 \geq sin x

。三小段裡指數函數的圖形都在正弦的上方，沒有交點。所以共有

4

個實數解。

用到的數值：

sin 6.9 \approx 0.578

、

2^{2 π - 7} \approx 0.608

、

sin 7 \approx 0.657

、

2^{- 0.1} \approx 0.933

。兩個端點

x = \pm 3 π

的正弦值是

0

，而

2^{x - 7}

是正的，也不是解。

第 14 題

0.04 = (0.2)^{2}

，所以右邊是

(0.2)^{2 (2 x + 3)} = (0.2)^{4 x + 6}

。底數

0.2

介於

0

與

1

之間，指數愈大值愈小，所以

(0.2)^{x^{2} - x} \leq (0.2)^{4 x + 6}

相當於

x^{2} - x \geq 4 x + 6

。整理得

x^{2} - 5 x - 6 \geq 0

，

(x - 6) (x + 1) \geq 0

，解為

x \geq 6

或

x \leq - 1

。

底數小於

1

，拿掉底數時不等號要反向，這一步最容易漏。檢查：

x = 0

時左邊是

1

、右邊是

(0.04)^{3}

，

1 \leq (0.04)^{3}

不成立，

0

確實不在解裡。

第 15 題令

u = x - \frac{π}{4}

。

0 \leq x \leq 2 π

時

- \frac{π}{4} \leq u \leq \frac{7 π}{4}

。在這個範圍內，由

y = sin u

的圖形，

sin u \geq \frac{1}{2}

的部分是

\frac{π}{6} \leq u \leq \frac{5 π}{6}

。換回

x = u + \frac{π}{4}

：

\frac{π}{6} + \frac{π}{4} \leq x \leq \frac{5 π}{6} + \frac{π}{4}

，即

\frac{5 π}{12} \leq x \leq \frac{13 π}{12}

。

u

的範圍長度剛好是一個週期

2 π

，裡面只有一段符合；兩個端點因為有等號，都要包含。

指數方程式與不等式先化成同底數，底數小於 1 時不等號反向；數交點個數就畫圖，一段一段看。

06填充第 9～12 題（第 16～19 題）：圖形上兩點的距離、漸近線、複利與單利、半衰期

第 16 題設

A (p, 2)

、

B (q, 6)

，則

3^{p} = 2

、

3^{q} = 6

。兩式相除，

3^{q - p} = \frac{6}{2} = 3

，所以

q - p = 1

。

A

、

B

的橫坐標相差

1

、縱坐標相差

6 - 2 = 4

，

\overline{A B} = 1^{2} + 4^{2} = 17

。

不必求出

p

、

q

各是多少，只需要它們的差。

第 17 題圖形是下降的，所以

0 < a < 1

；

x

愈大

a^{x}

愈接近

0

，

y = a^{x} + b

愈接近

b

，漸近線是

y = b

，所以

b = 3

。

P (2, \frac{57}{16})

在圖形上：

a^{2} + 3 = \frac{57}{16}

，

a^{2} = \frac{9}{16}

，

a > 0

，所以

a = \frac{3}{4}

。

(a, b) = (\frac{3}{4}, 3)

。

a = \frac{3}{4}

介於

0

與

1

之間，和圖形下降相符；

x = 0

時

y = 1 + 3 = 4

，和圖形通過

y

軸上的

4

相符。本頁附圖曲線下降的快慢是示意，沒有照

a

的實際值畫；原卷的圖把

P

點畫在橫坐標

4

的上方，本頁的圖依題幹把

P

畫在橫坐標

2

的上方。

第 18 題本金

1000000

元，年利率

1%

，共

3

期。複利：本利和＝

1000000 \times (1.01)^{3}

。

(1.01)^{2} = 1.0201

，

(1.01)^{3} = 1.0201 \times 1.01 = 1.030301

，本利和是

1030301

元。單利：本利和＝

1000000 \times (1 + 0.01 \times 3) = 1030000

元。可省下

1030301 - 1030000 = 301

元。

第 19 題

90

個月前，設

A

的質量是

25 k

、

B

的質量是

49 k

。

B

的半衰期是

18

個月，

90 \div 18 = 5

，經過

5

個半衰期，

B

現在的質量是

49 k \times (\frac{1}{2})^{5} = \frac{49 k}{32}

。現在

A : B = 100 : 49

，所以

A

現在的質量是

\frac{100}{49} \times \frac{49 k}{32} = \frac{100 k}{32} = \frac{25 k}{8}

。

A

由

25 k

變成

\frac{25 k}{8}

，是原來的

\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}

，也就是

90

個月裡經過了

3

個半衰期。

A

的半衰期是

90 \div 3 = 30

個月。

A

相對於

B

的比變大了（由

25 : 49

變成

100 : 49

），表示

A

衰變得比

B

慢，半衰期

30

個月比

18

個月長，合理。

複利每一期乘同一個倍數，半衰期每過一期乘二分之一；先算過了幾期，再算倍數。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

臺南二中 109 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

臺南二中 109 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多重選擇第 1 題要選的是錯誤的說法，五個說法全都有問題，其中 2 的 x 次方與 x 平方的圖形在負的那一邊還有一個交點，一共三個；填充第 2 題第 (1) 小題（本頁第 5 題）四個正弦值有的是弧度、有的是度，要先分清楚再和二分之一比；填充第 7 題第 (2) 小題（第 13 題）要畫圖數交點，最右邊那個山峰被指數函數的圖形越過去，沒有交點；填充第 12 題（第 19 題）九十個月前的比要換成現在的比，兩種物質各自乘上自己的衰變倍數。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自臺南二中 109 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數函數與三角函數（指數函數及其圖形、指數方程式與不等式、單利複利與半衰期、弧度量與扇形、正弦函數的圖形與週期）

臺南二中 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

在上完第一次期中考範圍後，老師請同學各自獨立發表所學到的觀念，請選出錯誤的說法：

(A) 甲：「當 $a > 0$ 且 $a \neq = 1$ 時，指數函數 $y = a^{x}$ 的圖形和任意的水平線都恰有一交點」。
(B) 乙：「 $y = 2^{x}$ 的圖形和 $y = x^{2}$ 的圖形恰有兩個交點」。
(C) 丙：「 $- 3$ （弳）的最小正同界角為 $- 3 + π$ （弳）」。
(D) 丁：「 $y = sin x$ 的圖形是由無數個半圓弧所組成的」。
(E) 戊：「 $cos π^{2} = cos (180 \times 18 0^{\circ}) = cos 3240 0^{\circ} = 1$ 」。

設

a

為不為

1

之正實數，

f (x) = a^{x}

，

g (x) = sin 3 x

，試選出下列正確的敘述：

(A) $f (- x)$ 和 $f (x)$ 兩者之圖形會互相對稱於 $x$ 軸。
(B) 若 $f (5) = 5$ ，則 $a > 1$ 。
(C) $g (x)$ 的圖形本身會對稱於原點。
(D) 若將 $g (x)$ 之圖形往右平移 $\frac{π}{2}$ 後，則圖形會和 $y = sin (3 x - \frac{π}{2})$ 之圖形重合。
(E) $∣ g (x) ∣$ 是一個週期為 $\frac{2 π}{3}$ 的圖形。

二、填充題　說明：每格須完全答對才給該格分數（除了數對有半對外），其餘情況均不給分；請將答案填在答案卷上。

(1)

5 7^{\circ} =

____ 弳；

(2)

1

弳

=

____ 度。

填充第 2 題（第 5～6 題）（第 5～6 題）　比較下列各小題內

a

、

b

、

c

、

d

之大小：

(1)

a = sin 1

，

b = sin 4

，

c = sin π^{\circ}

，

d = sin \frac{11 π}{6}

\Rightarrow

____

>

____

>

____

>

____

(2)

a = (\frac{1}{3})^{0.4}

，

b = \frac{1}{6 9}

，

c = 5 3^{- 3}

，

d = 9^{\frac{1}{4}}

\Rightarrow

____

>

____

>

____

>

____

一位同學在上自然科的探究與實作時觀察到樹木橫切面的部份示意圖如下圖。若將

O A B

、

O M N

與

O C D

視為扇形，

C

、

D

分別為

\overline{O B}

和

\overline{O A}

上之一點，且

M

、

N

分別為

\overline{B C}

、

\overline{A D}

之中點，

\overline{A D} = 5

且

M N ⌢ = 6

，則斜線區域

A B C D

之面積為 ____ 。

載入中...

填充第 4 題（第 8～9 題）（第 8～9 題）　設函數

f (x) = 7 + 3 sin (2 - \frac{2}{π} x)

，且

f (x)

之最大值為

M

，最小值為

m

，週期為

T

，則：

(1)

(M, m) =

____ 。

(2)

T =

____ 。

設

f (x) = 4^{x} - 2^{x + 1} - 3

，且

f (x)

在

- 1 \leq x \leq 2

時之最大值為

M

、最小值為

m

，則

(M, m) =

____ 。

設

f (x) = sin x + \frac{3}{4} cos^{2} x + 1

之最大值為

M

，最小值為

m

，則

(M, m) =

____ 。

(1)

y = (\frac{1}{2})^{x}

和

y = 4^{x + \frac{5}{2}}

的交點座標為 ____ 。

(2) 設

- 3 π \leq x \leq 3 π

，則方程式

2^{x - 7} = sin x

有 ____ 個實數解。

填充第 8 題（第 14～15 題）（第 14～15 題）　解下列不等式：

(1)

(0.2)^{x^{2} - x} \leq (0.04)^{2 x + 3}

的解為 ____ 。

(2) 設

0 \leq x \leq 2 π

，則

sin (x - \frac{π}{4}) \geq \frac{1}{2}

的解為 ____ 。

設

y = 3^{x}

與直線

y = 2

和

y = 6

分別交於

A

、

B

兩點，則

\overline{A B}

長度為 ____ 。

附圖為函數

y = a^{x} + b

的圖形，其中直線

y = 3

為漸近線，已知點

P (2, \frac{57}{16})

在圖形上，則數對

(a, b) =

____ 。

載入中...

甲想要向某銀行貸款

100

萬作為投資健身房用，已知銀行的年利率為

1%

放射性物質衰變為原來質量一半所需的時間，稱為物質的半衰期。現有

A

、

B

兩種放射性物質，其中

A

的質量與

B

的質量之比例為

100 : 49

，而

90

個月前

A

的質量與

B

的質量之比例為

25 : 49

。若物質

B

的半衰期為

18

個月，則物質

A

的半衰期為 ____ 個月。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(B)(C)(D)(E)

第 2 題(B)(C)

第 3 題

\frac{57 π}{180}

（學校答案的寫法；約分後是

\frac{19 π}{60}

，是同一個數）

第 4 題

\frac{180}{π}

第 5 題

a > c > d > b

第 6 題

d > b > a > c

第 7 題

30

第 8 題

(10, 4)

第 9 題

π^{2}

第 10 題

(5, - 4)

第 11 題

(\frac{25}{12}, 0)

第 12 題

(- 2, 2)

第 13 題

4

第 14 題

x \geq 6

或

x \leq - 1

第 15 題

\frac{5 π}{12} \leq x \leq \frac{13 π}{12}

第 16 題

17

第 17 題

(\frac{3}{4}, 3)

第 18 題

301

第 19 題

30

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題（第 1～2 題）：觀念辨正、圖形的對稱與平移和週期

第 1 題這一題要選的是錯誤的說法，下面逐一判斷每個說法本身對不對。(A) 錯誤。

a^{x}

永遠是正的，圖形整個在

x

軸上方，所以水平線

y = k

只有在

k > 0

時才和圖形恰有一個交點；

k \leq 0

時（例如

y = - 1

、

y = 0

）沒有交點。(B) 錯誤。

x = 2

時

2^{2} = 2^{2} = 4

，

x = 4

時

2^{4} = 4^{2} = 16

，這是兩個交點。但在

x < 0

還有一個：

x = - 1

時

2^{- 1} = \frac{1}{2}

小於

(- 1)^{2} = 1

，

x = 0

時

2^{0} = 1

大於

0^{2} = 0

，兩個圖形的高低在

- 1

與

0

之間對調，所以中間有一個交點。一共三個交點，不是兩個。(C) 錯誤。 同界角相差

2 π

的整數倍。

- 3 + π

和

- 3

只差

π

，不是同界角；

- 3 + 2 π \approx 3.28

是正的，而且再減

2 π

就變回負的，所以最小正同界角是

- 3 + 2 π

。(D) 錯誤。 如果

0 \leq x \leq π

那一段是半圓弧，直徑是

π

，半徑就是

\frac{π}{2} \approx 1.57

，最高點應該高

1.57

；但

sin x

的最大值是

1

，所以那一段不是半圓弧。(E) 錯誤。

π^{2}

沒有度的記號，是

π^{2}

弳。

π

弳是

18 0^{\circ}

，所以

π^{2}

弳是

π \times 18 0^{\circ} \approx 565. 5^{\circ}

，不是

180 \times 18 0^{\circ}

。

565. 5^{\circ} - 36 0^{\circ} = 205. 5^{\circ}

是第三象限角，

cos π^{2} < 0

，不會是

1

。五個說法都錯，選 (A)(B)(C)(D)(E)。

(B) 的第三個交點大約在

x \approx - 0.77

。(E) 的數值

cos π^{2} \approx - 0.90

。把

π^{2}

換成度的時候，只有一個

π

換成

18 0^{\circ}

，另一個

π

還是

3.14 \dots

這個數。

第 2 題(A) 錯誤。

y = f (- x)

是把

y = f (x)

的

x

換成

- x

，兩個圖形對稱於

y

軸，不是

x

軸。兩個圖形都在

x

軸上方，也不可能對稱於

x

軸。(B) 正確。

a^{5} = 5 > 1

。若

0 < a < 1

，指數

5

是正的，

a^{5} < a^{0} = 1

，不合；所以

a > 1

。(C) 正確。

g (- x) = sin (- 3 x) = - sin 3 x = - g (x)

，點

(x, y)

在圖形上時

(- x, - y)

也在圖形上，圖形對稱於原點。(D) 錯誤。 往右平移

\frac{π}{2}

是把

x

換成

x - \frac{π}{2}

，得到

y = sin 3 (x - \frac{π}{2}) = sin (3 x - \frac{3 π}{2})

。用

x = 0

檢查：平移後的函數值是

sin (- \frac{3 π}{2}) = 1

，而

y = sin (3 x - \frac{π}{2})

在

x = 0

的值是

sin (- \frac{π}{2}) = - 1

，兩個圖形不重合。(E) 錯誤。 加上絕對值之後，

x

軸下方的部分翻到上方，圖形每半個週期就重複一次。

g (x) = sin 3 x

的週期是

\frac{2 π}{3}

，所以

∣ g (x) ∣

的週期只有它的一半，不是題目說的那個值。選 (B)(C)。

(D) 要和

y = sin (3 x - \frac{π}{2}) = sin 3 (x - \frac{π}{6})

重合，只要往右平移

\frac{π}{6}

。(E)

∣ g (x) ∣

的週期是

\frac{π}{3}

。每隔

\frac{2 π}{3}

圖形確實也會重複，但週期指的是讓圖形重複的最小正數。

沒有度的記號就是弧度。圖形的左右平移與左右對稱都是對 x 本身動手：平移要整個 x 一起換，再乘上係數。

02填充第 1～2 題（第 3～6 題）：度與弧度互換、比大小

第 3 題

18 0^{\circ} = π

弳，所以

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳，

5 7^{\circ} = \frac{57 π}{180}

弳。分子分母同除以

3

，就是

\frac{19 π}{60}

弳。

學校答案印的是沒有約分的

\frac{57 π}{180}

，和

\frac{19 π}{60}

是同一個數，大約是

0.995

弳。

第 4 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，兩邊同除以

π

，

1

弳

= \frac{180}{π}

度。

大約是

57. 3^{\circ}

。上一格的

5 7^{\circ}

很接近

1

弳，但不相等。

第 5 題先分清楚單位：

1

、

4

、

\frac{11 π}{6}

是弧度，

π^{\circ}

是大約

3.1 4^{\circ}

。

d = sin \frac{11 π}{6} = - sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2}

。

a

：

\frac{π}{6} \approx 0.52 < 1 < \frac{π}{2} \approx 1.57

，正弦在

0

到

\frac{π}{2}

之間遞增，所以

a = sin 1 > sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

。

c

：

π^{\circ}

是比

3 0^{\circ}

小的正銳角，所以

0 < c < \frac{1}{2}

。

b

：

π \approx 3.14 < 4 < \frac{3 π}{2} \approx 4.71

，

4

弳是第三象限角，

sin 4 = - sin (4 - π)

；

4 - π \approx 0.86

介於

\frac{π}{6}

與

\frac{π}{2}

之間，

sin (4 - π) > \frac{1}{2}

，所以

b < - \frac{1}{2}

。合起來

a > \frac{1}{2} > c > 0 > d = - \frac{1}{2} > b

，即

a > c > d > b

。

數值：

a \approx 0.841

、

c \approx 0.055

、

d = - 0.5

、

b \approx - 0.757

。

第 6 題全部化成以

3

為底：

a = (3^{- 1})^{0.4} = 3^{- 0.4}

，

b = \frac{1}{9 ^{\frac{1}{6}}} = \frac{1}{3 ^{\frac{1}{3}}} = 3^{- \frac{1}{3}}

，

c = (3^{- 3})^{\frac{1}{5}} = 3^{- \frac{3}{5}} = 3^{- 0.6}

，

d = (3^{2})^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{1}{2}}

。底數

3 > 1

時指數愈大值愈大。四個指數由大到小是

\frac{1}{2} > - \frac{1}{3} > - 0.4 > - 0.6

，其中

- \frac{1}{3} \approx - 0.333

。所以

d > b > a > c

。

比大小先化成同一種東西：正弦值先分清楚度與弧度，再和特殊角的值比；指數先化成同底數，再比指數。

03填充第 3～4 題（第 7～9 題）：環狀區域的面積、正弦型函數的極值與週期

第 7 題三個扇形的圓心都是

O

且圓心角相同，設圓心角為

θ

弳。設

\overline{O C} = \overline{O D} = r

、

\overline{O A} = \overline{O B} = R

，則

\overline{A D} = R - r = 5

。因為

M

是

\overline{B C}

的中點，

\overline{O M} = \frac{R + r}{2}

，弧

M N

的長是

\frac{R + r}{2} \cdot θ = 6

，即

(R + r) θ = 12

。斜線區域是扇形

O A B

減去扇形

O C D

，面積＝

\frac{1}{2} R^{2} θ - \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} (R - r) (R + r) θ = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30

。

只靠這兩個條件求不出

R

、

r

、

θ

各是多少，但面積只用到

R - r

與

(R + r) θ

。結果可以記成「寬

\times

中間那條弧的長」，

5 \times 6 = 30

。本頁附圖的半徑與圓心角是示意比例。

第 8 題不論括號裡的角是多少，正弦值都在

- 1

與

1

之間，而且

x

可以是任意實數，

2 - \frac{2}{π} x

可以取到所有實數，所以

1

與

- 1

都取得到。最大值

M = 7 + 3 \times 1 = 10

，最小值

m = 7 + 3 \times (- 1) = 4

，

(M, m) = (10, 4)

。

第 9 題

y = sin (k x + c)

的週期是

\frac{2 π}{∣ k ∣}

。這裡

x

的係數是

- \frac{2}{π}

，所以

T = 2 π \div \frac{2}{π} = 2 π \times \frac{π}{2} = π^{2}

。

檢查：

x

增加

π^{2}

時，

2 - \frac{2}{π} x

減少

\frac{2}{π} \times π^{2} = 2 π

，正弦值不變。上下平移

7

與振幅

3

都不影響週期。

正弦型函數的最大最小值看中心線加減振幅，週期只看 x 的係數的絕對值。

04填充第 5～6 題（第 10～11 題）：代換成二次函數求極值

第 10 題令

t = 2^{x}

，則

4^{x} = t^{2}

、

2^{x + 1} = 2 t

，

f (x) = t^{2} - 2 t - 3 = (t - 1)^{2} - 4

。

2^{x}

遞增，

- 1 \leq x \leq 2

時

\frac{1}{2} \leq t \leq 4

。頂點

t = 1

在範圍內，最小值

m = - 4

（此時

x = 0

）。離頂點較遠的端點是

t = 4

，最大值

M = (4 - 1)^{2} - 4 = 5

（此時

x = 2

）。

(M, m) = (5, - 4)

。

另一個端點

t = \frac{1}{2}

的值是

\frac{1}{4} - 4 = - \frac{15}{4}

，比

5

小。

第 11 題用

cos^{2} x = 1 - sin^{2} x

把式子全部換成

sin x

。令

t = sin x

，

- 1 \leq t \leq 1

：

f = t + \frac{3}{4} (1 - t^{2}) + 1 = - \frac{3}{4} t^{2} + t + \frac{7}{4} = - \frac{3}{4} (t - \frac{2}{3})^{2} + \frac{25}{12}

。開口向下，頂點

t = \frac{2}{3}

在範圍內，最大值

M = \frac{25}{12}

。離頂點較遠的端點是

t = - 1

，最小值

m = - \frac{3}{4} - 1 + \frac{7}{4} = 0

。

(M, m) = (\frac{25}{12}, 0)

。

配方的常數項：

- \frac{3}{4} \times \frac{4}{9} = - \frac{1}{3}

，所以要補回

\frac{1}{3}

，

\frac{7}{4} + \frac{1}{3} = \frac{25}{12}

。另一個端點

t = 1

的值是

2

，介於兩者之間。

代換之後一定要寫出新變數的範圍，再看頂點在不在範圍內、哪個端點離頂點比較遠。

05填充第 7～8 題（第 12～15 題）：交點、交點個數、指數不等式、正弦不等式

第 12 題兩邊都化成以

2

為底：

(\frac{1}{2})^{x} = (2^{- \frac{1}{2}})^{x} = 2^{- \frac{x}{2}}

且

4^{x + \frac{5}{2}} = 2^{2 x + 5}

。交點處兩個

y

相等，所以

- \frac{x}{2} = 2 x + 5

，解得

x = - 2

。代回得

y = (\frac{1}{2})^{- 2} = (2)^{2} = 2

，交點是

(- 2, 2)

。

用另一式檢查：

4^{- 2 + \frac{5}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} = 2

，相同。

第 13 題畫

y = 2^{x - 7}

與

y = sin x

的圖形數交點。

2^{x - 7}

永遠是正的，所以交點只會出現在

sin x > 0

的區間；在

- 3 π \leq x \leq 3 π

內，這樣的區間有三段：

- 2 π < x < - π

、

0 < x < π

、

2 π < x < 3 π

。前兩段裡

2^{x - 7}

很小（在

x = π

時

2^{π - 7} \approx 0.07

，愈往左愈小）而且緩緩上升，正弦的山峰從

0

升到

1

再降回

0

，上山、下山各交一次，每段

2

個交點，共

4

個。第三段分三小段看，兩個函數在

2 π

到

\frac{5 π}{2} \approx 7.85

之間都是遞增的。

2 π \leq x \leq 6.9

時

sin x \leq sin 6.9 < 0.58

，而

2^{x - 7} \geq 2^{2 π - 7} > 0.60

；

6.9 \leq x \leq 7

時

sin x \leq sin 7 < 0.66

，而

2^{x - 7} \geq 2^{- 0.1} > 0.93

；

x > 7

時

2^{x - 7} > 1 \geq sin x

。三小段裡指數函數的圖形都在正弦的上方，沒有交點。所以共有

4

個實數解。

用到的數值：

sin 6.9 \approx 0.578

、

2^{2 π - 7} \approx 0.608

、

sin 7 \approx 0.657

、

2^{- 0.1} \approx 0.933

。兩個端點

x = \pm 3 π

的正弦值是

0

，而

2^{x - 7}

是正的，也不是解。

第 14 題

0.04 = (0.2)^{2}

，所以右邊是

(0.2)^{2 (2 x + 3)} = (0.2)^{4 x + 6}

。底數

0.2

介於

0

與

1

之間，指數愈大值愈小，所以

(0.2)^{x^{2} - x} \leq (0.2)^{4 x + 6}

相當於

x^{2} - x \geq 4 x + 6

。整理得

x^{2} - 5 x - 6 \geq 0

，

(x - 6) (x + 1) \geq 0

，解為

x \geq 6

或

x \leq - 1

。

底數小於

1

，拿掉底數時不等號要反向，這一步最容易漏。檢查：

x = 0

時左邊是

1

、右邊是

(0.04)^{3}

，

1 \leq (0.04)^{3}

不成立，

0

確實不在解裡。

第 15 題令

u = x - \frac{π}{4}

。

0 \leq x \leq 2 π

時

- \frac{π}{4} \leq u \leq \frac{7 π}{4}

。在這個範圍內，由

y = sin u

的圖形，

sin u \geq \frac{1}{2}

的部分是

\frac{π}{6} \leq u \leq \frac{5 π}{6}

。換回

x = u + \frac{π}{4}

：

\frac{π}{6} + \frac{π}{4} \leq x \leq \frac{5 π}{6} + \frac{π}{4}

，即

\frac{5 π}{12} \leq x \leq \frac{13 π}{12}

。

u

的範圍長度剛好是一個週期

2 π

，裡面只有一段符合；兩個端點因為有等號，都要包含。

指數方程式與不等式先化成同底數，底數小於 1 時不等號反向；數交點個數就畫圖，一段一段看。

06填充第 9～12 題（第 16～19 題）：圖形上兩點的距離、漸近線、複利與單利、半衰期

第 16 題設

A (p, 2)

、

B (q, 6)

，則

3^{p} = 2

、

3^{q} = 6

。兩式相除，

3^{q - p} = \frac{6}{2} = 3

，所以

q - p = 1

。

A

、

B

的橫坐標相差

1

、縱坐標相差

6 - 2 = 4

，

\overline{A B} = 1^{2} + 4^{2} = 17

。

不必求出

p

、

q

各是多少，只需要它們的差。

第 17 題圖形是下降的，所以

0 < a < 1

；

x

愈大

a^{x}

愈接近

0

，

y = a^{x} + b

愈接近

b

，漸近線是

y = b

，所以

b = 3

。

P (2, \frac{57}{16})

在圖形上：

a^{2} + 3 = \frac{57}{16}

，

a^{2} = \frac{9}{16}

，

a > 0

，所以

a = \frac{3}{4}

。

(a, b) = (\frac{3}{4}, 3)

。

a = \frac{3}{4}

介於

0

與

1

之間，和圖形下降相符；

x = 0

時

y = 1 + 3 = 4

，和圖形通過

y

軸上的

4

相符。本頁附圖曲線下降的快慢是示意，沒有照

a

的實際值畫；原卷的圖把

P

點畫在橫坐標

4

的上方，本頁的圖依題幹把

P

畫在橫坐標

2

的上方。

第 18 題本金

1000000

元，年利率

1%

，共

3

期。複利：本利和＝

1000000 \times (1.01)^{3}

。

(1.01)^{2} = 1.0201

，

(1.01)^{3} = 1.0201 \times 1.01 = 1.030301

，本利和是

1030301

元。單利：本利和＝

1000000 \times (1 + 0.01 \times 3) = 1030000

元。可省下

1030301 - 1030000 = 301

元。

第 19 題

90

個月前，設

A

的質量是

25 k

、

B

的質量是

49 k

。

B

的半衰期是

18

個月，

90 \div 18 = 5

，經過

5

個半衰期，

B

現在的質量是

49 k \times (\frac{1}{2})^{5} = \frac{49 k}{32}

。現在

A : B = 100 : 49

，所以

A

現在的質量是

\frac{100}{49} \times \frac{49 k}{32} = \frac{100 k}{32} = \frac{25 k}{8}

。

A

由

25 k

變成

\frac{25 k}{8}

，是原來的

\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}

，也就是

90

個月裡經過了

3

個半衰期。

A

的半衰期是

90 \div 3 = 30

個月。

A

相對於

B

的比變大了（由

25 : 49

變成

100 : 49

），表示

A

衰變得比

B

慢，半衰期

30

個月比

18

個月長，合理。

複利每一期乘同一個倍數，半衰期每過一期乘二分之一；先算過了幾期，再算倍數。

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05填充第 7～8 題（第 12～15 題）：交點、交點個數、指數不等式、正弦不等式

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