段考詳解範圍：數與式（實數與根式、絕對值、算幾不等式、指數、常用對數）

臺南二中 108 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 臺南二中 108 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 臺南二中 108 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

選擇題第 1 題的 (B) 只給 ab 大於 0，兩數可以都是負數，算幾不等式不能用；填充第 1 題小數點後第 1 位不在循環節裡，要先扣掉再數；填充第 4 題 x 平方的最小值在 x 等於 0，不在端點；填充第 12 題要先把兩個循環小數化成分數，再用半圓的直角找相似形；計算題與牆垂直的籬笆有 4 段，列式後用算幾不等式。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

選擇 2 題 10 分、填充 15 格 80 分（依答對格數給分）、計算 1 題 10 分。本頁第 3～17 題為卷面填充題第 1～14 題（第 13、14 題是填充題第 11 題的兩格），第 18 題為卷面計算題第 1 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、選擇題：(10%)【每題至少有一個選項是正確的，每題答對可得 5 分，只錯一個選項得 3 分，錯兩個或兩個以上選項得 0 分，未作答者得 0 分】

請選出正確的選項？

(A) 若 $3 a + b$ 與 $a - 2 b$ 都是有理數，則 $a$ 、 $b$ 都是有理數
(B) 設 $a$ 、 $b$ 為實數，且 $ab > 0$ ，則 $\frac{a + b}{2} \geq ab$
(C) 設 $a$ 為非零實數，則 $(a^{4})^{\frac{1}{4}} = a$
(D) $(3 - 7) > (8 - 6)$
(E) $\frac{91}{280}$ 可化為有限小數，而 $\frac{40}{75}$ 可化為循環小數。

請選出正確的選項？

(A) 設 $A (a)$ 、 $B (b)$ 、 $C (c)$ 為數線上相異三點，且 $c = \frac{3}{4} a + \frac{1}{4} b$ ，則 $\overline{A B} = 4 \overline{A C}$
(B) 將數字 $135978642$ 取 $4$ 位有效數字並以科學記號表示為 $1.360 \times 1 0^{8}$
(C) $1 0^{l o g 3} = 3^{l o g 10}$
(D) $4 < lo g 30100 < 5$
(E) 設 $a$ 、 $b$ 為正實數，若 $lo g a = 8.135$ ， $lo g b = 2.135$ ，則 $\frac{a}{b} = 1 0^{6}$

二、填充題：(80%) 答對格數 1～15 格依序得 7、14、21、27、33、39、45、50、55、60、64、68、72、76、80 分

將有理數

\frac{9}{74}

化為小數後，小數點後第

200

位數字為何？____

設

k = (52 - 8)^{2} + (2 - 1)^{3} + 27 - 200

，若

k

的整數部分為

a

，小數部分為

b

，求

a + \frac{1}{b}

的值 ____。

數線上兩點

A (8)

、

B (- 4)

，若點

P

也在數線上，且

\overline{A P} : \overline{P B} = 2 : 5

，求

P

點坐標 ____（有兩解）。

設

x

、

y

為實數，且滿足

∣ x - 2∣ \leq 3

，

- 6 \leq y \leq 4

。已知

x^{2} - 3 y

的最大值為

M

，最小值為

m

，求數對

(M, m) =

____。

解不等式：

{∣ x + 2∣ < 5 ∣2 x - 1∣ \geq 3

____。

已知

a

、

b

為實數，且不等式

∣ a x + 4∣ > b

的解為

x < - 1

或

x > 5

，求數對

(a, b) =

____。

求

(\frac{2}{21})^{- 3} \times (718)^{- 3} \times (\frac{0.81}{1600})^{- 0.25} \times 593

之值 ____。

設

a

為實數，若

2 5^{a} = 1 + 3

，求

\frac{12 5 ^{a} + 12 5 ^{- a}}{5 ^{a} + 5 ^{- a}}

的值 ____。

設

a > 0

，已知

a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 7

，求

a^{\frac{3}{2}} + a + a^{- 1} + a^{- \frac{3}{2}}

的值 ____。

設

k = lo g 2

，求

100 0^{k} \times (lo g 1010) + (\frac{1}{100})^{k} \times (lo g 0.0001) + 1 0^{2 - k}

的值 ____。

填充題第 11 題（第 13～14 題）　已知

1 0^{0.3010} \approx 2

，

1 0^{0.4771} \approx 3

，求：

(1)

lo g 4500

的近似值 ____（四捨五入到小數點以下第二位）。

(2) 將

(60)^{60}

乘開後是 ____ 位數。

如圖，線段

\overline{A B}

長為

1.3 \overline{4}

，線段

\overline{B C}

長為

2. \overline{72}

，

B

點在

\overline{A C}

上，以

\overline{A C}

為直徑作半圓，且過

B

點作

\overline{A C}

的垂直線交半圓於

D

點。求線段

\overline{B D}

長 ____。（須將答案化至最簡）

載入中...

隨著科技進步，取得資訊與享受娛樂的方式已經明顯改變。傳統電視漸漸被網路影片取代，更有節目只限定在網路上播出。假設某網路影片一開始有

N

人瀏覽（其中

N

為正整數），且瀏覽人數每

5

分鐘就會增加為

a

倍數目的人數，且速率不變（其中

a

為正實數）。已知開播

15

分鐘後的瀏覽人數為

1.6 \times 1 0^{4}

人，開播

35

分鐘後的瀏覽人數為

4.096 \times 1 0^{6}

人。試求數對

(N, a) =

____。

若溶液中的氫離子濃度為

a

莫耳/升，則規定它的 pH 值是

- lo g a

，也就是說 pH 值

= - lo g a

。已知某酸性溶液 A 的氫離子濃度為

1 0^{- 4.4}

莫耳/升，且食用醋的 pH 值是

2.9

，求食用醋的氫離子濃度是此酸性溶液 A 的氫離子濃度的 ____ 倍。

三、計算題：(10%) 答案卷所印給分：圍籬總長 5 分；長、寬 5 分（若長、寬只對一個，得 3 分）

農夫想用籬笆沿著筆直的牆邊圍出三塊相鄰且大小相同的長方形田地，其中靠牆的一邊不必圍，如圖所示（圖中

A

、

B

、

C

、

D

四點共線）。若所圍出來的三塊長方形田地的總面積為

324

平方公尺，求所需要的圍籬總長度最少為幾公尺？又此時一塊長方形田地的長、寬分別為幾公尺？

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(E)

第 2 題(A)(B)(C)(D)(E)

第 3 題

2

第 4 題

5 + \frac{2}{2}

第 5 題

\frac{32}{7}

或

16

第 6 題

(43, - 12)

第 7 題

- 7 < x \leq - 1

或

2 \leq x < 3

第 8 題

(- 2, 6)

第 9 題

\frac{5 3}{6}

第 10 題

\frac{3 3 - 1}{2}

第 11 題

369

第 12 題

61

第 13 題

3.65

第 14 題

107

第 15 題

\frac{33}{3}

第 16 題

(250, 4)

第 17 題

1010

第 18 題圍籬總長最少為

72

公尺；此時一塊田地的長為

12

公尺、寬為

9

公尺

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01選擇題 1～2：有理數與根式的判斷、分點、有效數字、log 的意義

第 1 題答案 (A)(E)。 (A) 正確。

2 (3 a + b) + (a - 2 b) = 7 a

是有理數，所以

a

是有理數；

b = (3 a + b) - 3 a

是有理數相減，也是有理數。 (B) 錯誤。

ab > 0

時

a

、

b

可以都是負數：取

a = b = - 1

，左邊

\frac{a + b}{2} = - 1

，右邊

ab = 1

，不成立。 (C) 錯誤。

a^{4}

是正數，它的

\frac{1}{4}

次方是正數，所以

(a^{4})^{\frac{1}{4}} = ∣ a ∣

；取

a = - 2

，左邊

= 1 6^{\frac{1}{4}} = 2

，不等於

- 2

。 (D) 錯誤。 把兩數都寫成分數：

3 - 7 = \frac{( 3 - 7 ) ( 3 + 7 )}{3 + 7} = \frac{2}{9 + 7}

。同理

8 - 6 = \frac{2}{8 + 6}

。分子相同，分母

9 + 7 > 8 + 6

，分母大的比較小，所以

3 - 7 < 8 - 6

。 (E) 正確。

\frac{91}{280} = \frac{13}{40}

，

40 = 2^{3} \times 5

，分母只有質因數

2

、

5

，可化為有限小數（

0.325

）。

\frac{40}{75} = \frac{8}{15}

，分母

15 = 3 \times 5

有質因數

3

，化成小數是循環小數（

0.5 \overline{3}

）。

算幾不等式要

a

、

b

都是正數（或

0

）才能用，只有

ab > 0

不夠。(D) 的近似值：

3 - 7 \approx 0.354

，

8 - 6 \approx 0.379

。判斷有限小數要先約成最簡分數再看分母。

第 2 題答案 (A)(B)(C)(D)(E)。 (A) 正確。

c - a = \frac{3}{4} a + \frac{1}{4} b - a = \frac{1}{4} (b - a)

，所以

\overline{A C} = ∣ c - a ∣ = \frac{1}{4} ∣ b - a ∣ = \frac{1}{4} \overline{A B}

，即

\overline{A B} = 4 \overline{A C}

。 (B) 正確。

135978642 = 1.35978642 \times 1 0^{8}

，取

4

位有效數字要看第

5

位：

1.359 ∣ 7 \dots

，第

5

位是

7

，進位後

1.359

變成

1.360

，所以是

1.360 \times 1 0^{8}

。 (C) 正確。

lo g 3

是「

10

的幾次方等於

3

」的那個數，所以

1 0^{l o g 3} = 3

；

lo g 10 = 1

，所以

3^{l o g 10} = 3^{1} = 3

。兩邊相等。 (D) 正確。

1 0^{4} = 10000 < 30100 < 100000 = 1 0^{5}

，所以

lo g 30100

介於

4

與

5

之間。 (E) 正確。

lo g a = 8.135

表示

a = 1 0^{8.135}

，同理

b = 1 0^{2.135}

，所以

\frac{a}{b} = 1 0^{8.135 - 2.135} = 1 0^{6}

。

(B) 末位的

0

是有效數字，不可以省略成

1.36 \times 1 0^{8}

。(A) 也可以看成

C

是

\overline{A B}

上

\overline{A C} : \overline{C B} = 1 : 3

的分點。

判斷「則」的敘述：要說它錯，舉一個反例；看到

lo g

的條件，先翻成

10

的次方。

02填充 1～3（第 3～5 題）：循環小數、雙重根號、分點

第 3 題直式除法：

9 \div 74 = 0.1216216 \dots

（餘數依序是

16

、

12

、

46

、

16

、

\dots

，餘數

16

、

12

、

46

三個一循環；第

1

位的

1

是由一開始的

9

除出來的，不在循環裡），所以

\frac{9}{74} = 0.1 \overline{216}

。小數點後第

1

位是不循環的

1

，第

2

位起每

3

位循環一次。第

200

位是循環部分的第

199

個數字，

199 = 3 \times 66 + 1

，是循環節

216

的第

1

個，所以是

2

。

第

1

位不在循環節裡，要先扣掉再除以

3

。若直接算

200 \div 3

餘

2

，會誤答

1

。

第 4 題三項分別化簡。第一項：

52 = 50 < 8

，所以

(52 - 8)^{2} = 52 - 8 = 8 - 52

。第二項：

(2 - 1)^{3} = (2)^{3} - 3 (2)^{2} + 32 - 1 = 22 - 6 + 32 - 1 = 52 - 7

。第三項：

200 = 250

，找兩數和

27

、積

50

：

25

和

2

，所以

27 - 250 = 25 - 2 = 5 - 2

。相加：

k = (8 - 52) + (52 - 7) + (5 - 2) = 6 - 2

。因為

1 < 2 < 2

，所以

4 < k < 5

，整數部分

a = 4

，小數部分

b = k - 4 = 2 - 2

。

\frac{1}{b} = \frac{1}{2 - 2} = \frac{2 + 2}{( 2 - 2 ) ( 2 + 2 )} = \frac{2 + 2}{2} = 1 + \frac{2}{2}

，所以

a + \frac{1}{b} = 5 + \frac{2}{2}

。

x^{2} = ∣ x ∣

：

52 - 8

是負數，開出來要變號。

k \approx 4.586

。

第 5 題

\overline{A B} = 8 - (- 4) = 12

。分兩種情形。①

P

在

A

、

B

之間：

\overline{A P} = 12 \times \frac{2}{7} = \frac{24}{7}

，

B

在

A

的左邊，所以

P

的坐標是

8 - \frac{24}{7} = \frac{32}{7}

。②

P

在線段外：

\overline{A P} < \overline{P B}

，

P

比較靠近

A

，所以在

A

的右邊。設

\overline{A P} = 2 t

、

\overline{P B} = 5 t

，則

\overline{P B} - \overline{A P} = 3 t = \overline{A B} = 12

，

t = 4

，

\overline{A P} = 8

，

P

的坐標是

8 + 8 = 16

。所以

P

的坐標是

\frac{32}{7}

或

16

。

也可以設

P (x)

直接解

5∣ x - 8∣ = 2∣ x + 4∣

：

5 (x - 8) = 2 (x + 4)

得

x = 16

；

5 (x - 8) = - 2 (x + 4)

得

x = \frac{32}{7}

。

03填充 4～6（第 6～8 題）：範圍求極值、絕對值不等式

第 6 題

∣ x - 2∣ \leq 3

即

- 3 \leq x - 2 \leq 3

，

- 1 \leq x \leq 5

。

x^{2}

的範圍：

x = 0

在範圍內，最小是

0

；離

0

最遠的是

x = 5

，最大是

25

，所以

0 \leq x^{2} \leq 25

。

- 6 \leq y \leq 4

同乘

- 3

：

- 12 \leq - 3 y \leq 18

。

x

、

y

可以各自取值，兩式相加：

- 12 \leq x^{2} - 3 y \leq 43

。最大值

M = 43

（

x = 5

、

y = - 6

），最小值

m = - 12

（

x = 0

、

y = 4

）。

x^{2}

的最小值在

x = 0

，不是在端點

x = - 1

。若寫成

1 \leq x^{2} \leq 25

，

m

會誤算成

- 11

。

第 7 題第一式

∣ x + 2∣ < 5

：

- 5 < x + 2 < 5

，

- 7 < x < 3

。第二式

∣2 x - 1∣ \geq 3

：

2 x - 1 \geq 3

或

2 x - 1 \leq - 3

，即

x \geq 2

或

x \leq - 1

。兩式要同時成立，取共同的部分：

- 7 < x \leq - 1

或

2 \leq x < 3

。

端點

- 7

、

3

來自沒有等號的第一式，

- 1

、

2

來自有等號的第二式。

第 8 題解是「兩邊向外」的範圍，邊界

x = - 1

、

x = 5

使

∣ a x + 4∣ = b

：

∣ - a + 4∣ = b

且

∣5 a + 4∣ = b

。於是

∣ - a + 4∣ = ∣5 a + 4∣

：

- a + 4 = 5 a + 4

得

a = 0

（此時式子與

x

無關，不合）；

- a + 4 = - (5 a + 4)

得

a = - 2

。此時

b = ∣2 + 4∣ = 6

。檢查：

∣ - 2 x + 4∣ > 6

即

- 2 x + 4 > 6

或

- 2 x + 4 < - 6

，得

x < - 1

或

x > 5

，符合。所以

(a, b) = (- 2, 6)

。

也可以用中點與半徑：

x < - 1

或

x > 5

即

∣ x - 2∣ > 3

，兩邊同乘

2

得

∣2 x - 4∣ > 6

，也就是

∣ - 2 x + 4∣ > 6

；常數項要對到

+ 4

，所以

a = - 2

。

絕對值不等式：

∣ X ∣ < c

是夾在中間，

∣ X ∣ > c

是分到兩邊；端點有沒有等號要跟著原式。

04填充 7～9（第 9～11 題）：指數律、乘法公式

第 9 題前兩項指數相同，先合併：

(\frac{2}{21})^{- 3} \times (718)^{- 3} = (\frac{2 \times 7 18}{21})^{- 3} = (\frac{7 \times 6}{21})^{- 3} = 2^{- 3} = \frac{1}{8}

。第三項：

\frac{0.81}{1600} = \frac{81}{160000} = (\frac{3}{20})^{4}

，所以

(\frac{0.81}{1600})^{- 0.25} = (\frac{3}{20})^{4 \times (- \frac{1}{4})} = (\frac{3}{20})^{- 1} = \frac{20}{3}

。第四項：

93 = 3^{2} \times 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{5}{2}}

，所以

593 = 3^{\frac{5}{2} \times \frac{1}{5}} = 3^{\frac{1}{2}} = 3

。所求

= \frac{1}{8} \times \frac{20}{3} \times 3 = \frac{20 3}{24} = \frac{5 3}{6}

。

2 \times 18 = 36 = 6

。

- 0.25 = - \frac{1}{4}

，負的指數是取倒數。

第 10 題令

t = 5^{a}

（

t > 0

），則

12 5^{a} = t^{3}

、

12 5^{- a} = t^{- 3}

。分子用立方和公式：

t^{3} + t^{- 3} = (t + t^{- 1}) (t^{2} - t \cdot t^{- 1} + t^{- 2}) = (t + t^{- 1}) (t^{2} - 1 + t^{- 2})

。約去

t + t^{- 1}

，所求

= t^{2} - 1 + t^{- 2} = 2 5^{a} - 1 + 2 5^{- a}

。

2 5^{- a} = \frac{1}{1 + 3} = \frac{3 - 1}{( 3 + 1 ) ( 3 - 1 )} = \frac{3 - 1}{2}

，所以所求

= (1 + 3) - 1 + \frac{3 - 1}{2} = \frac{2 3 + 3 - 1}{2} = \frac{3 3 - 1}{2}

。

不必求出

a

，只要用到

t^{2} = 2 5^{a}

與它的倒數。

第 11 題令

t = a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 7

，其中

a^{\frac{1}{2}} \times a^{- \frac{1}{2}} = 1

。平方：

t^{2} = a + 2 + a^{- 1}

，所以

a + a^{- 1} = 49 - 2 = 47

。立方：

t^{3} = a^{\frac{3}{2}} + 3 a^{\frac{1}{2}} + 3 a^{- \frac{1}{2}} + a^{- \frac{3}{2}} = a^{\frac{3}{2}} + a^{- \frac{3}{2}} + 3 t

，所以

a^{\frac{3}{2}} + a^{- \frac{3}{2}} = 343 - 21 = 322

。所求

= 322 + 47 = 369

。

也可以用立方和：

a^{\frac{3}{2}} + a^{- \frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}}) (a - 1 + a^{- 1}) = 7 \times 46 = 322

。

已知

x + x^{- 1}

求高次的對稱式，用乘法公式一層一層做，不必把

x

解出來。

05填充 10～11（第 12～14 題）：log 的意義、近似值與位數

第 12 題

k = lo g 2

表示

1 0^{k} = 2

。逐項：

100 0^{k} = (1 0^{k})^{3} = 8

；

1010 = 1 0^{\frac{3}{2}}

，所以

lo g 1010 = \frac{3}{2}

；

(\frac{1}{100})^{k} = (1 0^{k})^{- 2} = \frac{1}{4}

；

0.0001 = 1 0^{- 4}

，所以

lo g 0.0001 = - 4

；

1 0^{2 - k} = \frac{1 0 ^{2}}{1 0 ^{k}} = \frac{100}{2} = 50

。所求

= 8 \times \frac{3}{2} + \frac{1}{4} \times (- 4) + 50 = 12 - 1 + 50 = 61

。

只用到

lo g

的意義：

lo g 1 0^{n} = n

、

1 0^{l o g A} = A

。

第 13 題把

4500

用

2

、

3

、

10

表示：

4500 = 9 \times 5 \times 100 = 3^{2} \times \frac{10}{2} \times 1 0^{2}

。代入參考數值：

3^{2} \approx (1 0^{0.4771})^{2} = 1 0^{0.9542}

，

\frac{10}{2} \approx 1 0^{1 - 0.3010} = 1 0^{0.6990}

，所以

4500 \approx 1 0^{0.9542 + 0.6990 + 2} = 1 0^{3.6532}

，

lo g 4500 \approx 3.6532

，四捨五入到小數點以下第二位是

3.65

。

5

沒有給參考數值，用

5 = \frac{10}{2}

換掉。

第 14 題

60 = 2 \times 3 \times 10 \approx 1 0^{0.3010 + 0.4771 + 1} = 1 0^{1.7781}

，所以

6 0^{60} \approx (1 0^{1.7781})^{60} = 1 0^{106.686}

。它介於

1 0^{106}

與

1 0^{107}

之間，是

107

位數。

1 0^{n} \leq x < 1 0^{n + 1}

時

x

是

n + 1

位數：指數的整數部分是

106

，位數要加

1

。

06填充 12～14（第 15～17 題）：半圓與相似形、等比成長、pH 值

第 15 題先把循環小數化成分數。

1.3 \overline{4} = 1.3 + 0.0 \overline{4} = \frac{13}{10} + \frac{4}{90} = \frac{117 + 4}{90} = \frac{121}{90}

；

2. \overline{72} = 2 + \frac{72}{99} = 2 + \frac{8}{11} = \frac{30}{11}

。再看圖形：

\overline{A C}

是直徑，半圓所對的圓周角是直角，所以

∠ A D C = 9 0^{\circ}

。在直角三角形

A B D

中

∠ D A B + ∠ A D B = 9 0^{\circ}

，又

∠ A D B + ∠ B D C = 9 0^{\circ}

，所以

∠ D A B = ∠ B D C

；兩個三角形在

B

都是直角，因此

△ A B D \sim △ D B C

（AA）。對應邊成比例：

\overline{A B} : \overline{B D} = \overline{B D} : \overline{B C}

，即

\overline{B D}^{2} = \overline{A B} \times \overline{B C}

。代入：

\overline{B D}^{2} = \frac{121}{90} \times \frac{30}{11} = \frac{11}{3}

，所以

\overline{B D} = \frac{11}{3} = \frac{33}{3}

。

1.3 \overline{4}

只有

4

循環，

3

不循環；

2. \overline{72}

是

72

兩位一起循環。

\overline{B D} \approx 1.915

。圖為示意圖，長度不照實際比例。

第 16 題每

5

分鐘人數變成

a

倍，所以

15

分鐘後乘了

3

次、

35

分鐘後乘了

7

次：

N \times a^{3} = 1.6 \times 1 0^{4}

，

N \times a^{7} = 4.096 \times 1 0^{6}

。兩式相除：

a^{4} = \frac{4.096 \times 1 0 ^{6}}{1.6 \times 1 0 ^{4}} = 2.56 \times 1 0^{2} = 256 = 4^{4}

，

a

是正實數，所以

a = 4

。代回：

N = \frac{16000}{4 ^{3}} = \frac{16000}{64} = 250

。所以

(N, a) = (250, 4)

。

檢查：

250 \times 4^{7} = 250 \times 16384 = 4096000 = 4.096 \times 1 0^{6}

。

第 17 題食用醋的 pH 值是

2.9

，即

- lo g a = 2.9

，

lo g a = - 2.9

，所以它的氫離子濃度是

1 0^{- 2.9}

莫耳/升。與溶液 A 相除：

\frac{1 0 ^{- 2.9}}{1 0 ^{- 4.4}} = 1 0^{- 2.9 + 4.4} = 1 0^{1.5} = 10 \times 1 0^{\frac{1}{2}} = 1010

倍。

lo g a = - 2.9

的意思是

a = 1 0^{- 2.9}

。pH 值越小，氫離子濃度越大。

1010 \approx 31.6

。

應用題先把文字翻成

10

的次方或等比的式子，再用指數律相除，把不要的未知數消掉。

07計算題第 1 題（第 18 題）：算幾不等式求圍籬的最短長度

第 18 題設每一塊長方形田地沿著牆的邊長為

x

公尺、垂直牆的邊長為

y

公尺（

x > 0

，

y > 0

）。三塊的總面積

3 x y = 324

，所以

x y = 108

。圍籬：與牆平行的有

3

段，每段

x

；與牆垂直的有

4

段（兩端與中間兩道隔間），每段

y

；總長

L = 3 x + 4 y

。

3 x

、

4 y

都是正數，由算幾不等式

\frac{3 x + 4 y}{2} \geq 3 x \times 4 y = 12 x y = 12 \times 108 = 1296 = 36

，所以

L = 3 x + 4 y \geq 72

。等號在

3 x = 4 y

時成立，此時

3 x = 4 y = 36

，

x = 12

、

y = 9

，且

x y = 108

符合。所以圍籬總長最少為

72

公尺，此時一塊田地的長為

12

公尺、寬為

9

公尺。

與牆垂直的籬笆是

4

段，不是

2

段或

6

段。要寫出等號成立的條件並檢查

x

、

y

真的取得到。圖為示意圖，長與寬不照實際比例。

乘積固定求和的最小值：把和拆成兩個正數，用算幾不等式，再由等號成立的條件求出各量。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

臺南二中 108 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

臺南二中 108 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

選擇題第 1 題的 (B) 只給 ab 大於 0，兩數可以都是負數，算幾不等式不能用；填充第 1 題小數點後第 1 位不在循環節裡，要先扣掉再數；填充第 4 題 x 平方的最小值在 x 等於 0，不在端點；填充第 12 題要先把兩個循環小數化成分數，再用半圓的直角找相似形；計算題與牆垂直的籬笆有 4 段，列式後用算幾不等式。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自臺南二中 108 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

臺南二中 108 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 18 題，照原卷順序

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01選擇題 1～2：有理數與根式的判斷、分點、有效數字、log 的意義

02填充 1～3（第 3～5 題）：循環小數、雙重根號、分點

03填充 4～6（第 6～8 題）：範圍求極值、絕對值不等式

04填充 7～9（第 9～11 題）：指數律、乘法公式

05填充 10～11（第 12～14 題）：log 的意義、近似值與位數

06填充 12～14（第 15～17 題）：半圓與相似形、等比成長、pH 值

07計算題第 1 題（第 18 題）：算幾不等式求圍籬的最短長度

同一次段考的其他學校

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常見問題

臺南二中 108 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

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臺南二中 108 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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