段考詳解範圍：數列的極限、無窮級數、函數與反函數、函數的極限、連續函數與勘根定理

武陵高中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 武陵高中 111 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 武陵高中 111 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 1 題要分清楚哪些選項可以用極限的乘法性質推出矛盾、哪些只要舉反例；多選第 2 題的選項 (C) 循環小數其實等於 1，選項 (D) 與 (E) 長得很像但一個發散一個收斂；填充第 2 題求反函數時開根號要依原來的定義域取負號，它的定義域要看原函數的值域；填充第 5 題的期望值是無窮級數，要用兩次錯位相減。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

多重選擇題 3 題（每題 8 分，共 24 分）、填充題 10 格（每格 6 分，共 60 分）、混合題 1 題 4 小題（依序 3、3、7、3 分，共 16 分）。原卷各大題各自編號，本頁全卷連續編為第 1～17 題（填充為第 4～13 題，混合題為第 14～17 題）。答案已與學校公布的答案逐題核對，17 題全部一致。

一、多重選擇題(每題 8 分，錯一個選項得 5 分，錯 2 個選項得 2 分，錯 3 個選項或未作答不得分)

實數數列

⟨ a_{n} ⟩, ⟨ b_{n} ⟩, ⟨ c_{n} ⟩, ⟨ d_{n} ⟩

各項皆不為零，已知

n \to \infty lim a_{n} = 1

，

n \to \infty lim b_{n} = 0

，

⟨ c_{n} ⟩

收斂，

⟨ d_{n} ⟩

發散，試選出敘述正確的選項。

(A) $n \to \infty lim \frac{a _{n}}{b _{n}}$ 不存在
(B) $n \to \infty lim \frac{c _{n}}{b _{n}}$ 不存在
(C) $n \to \infty lim \frac{d _{n}}{c _{n}}$ 不存在
(D) $n \to \infty lim \frac{c _{n}}{d _{n}}$ 不存在
(E) $n \to \infty lim (b_{n} \cdot d_{n}) = 0$

下列無窮級數何者收斂？（

[]

為高斯符號）

(A) $k = 1 \sum \infty \frac{1}{1 + 2 + \dots + k}$
(B) $k = 1 \sum \infty \frac{1}{k + k + 1}$
(C) $0. \overline{9} + (0. \overline{9})^{2} + (0. \overline{9})^{3} + \dots + (0. \overline{9})^{n} + \dots$
(D) $1 - 1 + 2 - 2 + 3 - 3 + 4 - 4 + \dots + (- 1)^{n - 1} \cdot [\frac{n + 1}{2}] + \dots$
(E) $1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \dots + (- 1)^{n - 1} \cdot \frac{1}{[ \frac{n + 1}{2} ]} + \dots$

函數

f (x) = x + \frac{1}{x}

、

g (x) = x - \frac{1}{x}

的定義域皆為正實數，函數

h (x) = ∣ x ∣

的定義域為實數，試選出敘述正確的選項。

(A) $f (x)$ 的值域為 ${y \in R ∣ y \geq 2}$
(B) $(f - g) (x)$ 為一對一函數
(C) $(\frac{f}{g}) (x)$ 的定義域為 ${x \in R ∣ x \neq = 1}$
(D) $(f \circ h) (x)$ 的定義域為 ${x \in R ∣ x \neq = 0}$
(E) $(f \circ h) (x)$ 在其定義域內為偶函數

二、填充題 (每格 6 分，共 60 分)

填充題第 1 題（本頁第 4～8 題）（第 4～8 題）　試求下列各值：(若其值不存在則寫不存在，題中的

[]

皆為高斯符號) 參考數值：

e = n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n}

（原卷印在填充題標題旁）

(1)

x \to 0 lim x [\frac{1}{x}] =

____。

(2)

x \to 1 lim \frac{x ^{3} - [ x ^{3} ]}{x ^{2} - [ x ^{2} ]} =

____。

(3)

[1] + [2] + [3] + [4] + \dots + [120] =

____。

(4)

n \to \infty lim \frac{1 + ( 1 + \frac{1}{n} ) + ( 1 + \frac{1}{n} ) ^{2} + \dots + ( 1 + \frac{1}{n} ) ^{n - 1}}{n} =

____。

(5)

n \to \infty lim \frac{[ 1 + sin \frac{π}{12} ] + [ 2 + sin \frac{2 π}{12} ] + [ 3 + sin \frac{3 π}{12} ] + \dots + [ n + sin \frac{nπ}{12} ]}{n ^{2}} =

____。

(1) 函數

f (x) = 1 + x^{2} - 1

且定義域為

{x \in R ∣ x \leq - 1}

，求

f (x)

的反函數

f^{- 1} (x) =

____。

(2) 承上，

f^{- 1} (x)

的定義域為 ____。

設

a

為實數，若函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ a x, \frac{∣ x ^{2} - 4∣ - ∣ x + 2∣}{x + 2}, x \geq - 2 x < - 2

為連續函數，求

a

之值為 ____。

已知方程式

lo g_{2} x - \frac{x}{10} = 0

有兩正實根

α, β

，已知

1 < α < 2

，

2^{n} < β < 2^{n + 1}

，其中

n

為正整數，求

n

之值為 ____。

小武參加某個限定商品的抽獎，已知抽獎方式如下：第一次抽要付

100

元，每次抽中獎品的機率為

\frac{1}{6}

，若抽中則可拿到限定商品，若沒抽中可以選擇就此放棄抽獎機會，或是比上次多付

100

元的金額再抽一次。例如：第一次花費

100

元沒抽中，可再花費

200

元抽第二次，若第二次沒中則可再花費

300

元抽第三次，依此類推。假設小武身上有無限的資金且絕不放棄，會持續抽獎直到抽中限定商品為止，則小武所花費金額的期望值為 ____ 元。

三、混合題 (共 16 分，未完整作答不予給分)

混合題第 1 題（本頁第 14～17 題）（第 14～17 題）　義大利人費波那契研究一數列

⟨ F_{n} ⟩

（稱之為費式數列），給定

F_{1} = F_{2} = 1

，其後的每一項為前兩項之和，以遞迴關係式表達即為

{F_{1} = F_{2} = 1 F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}, n \in N

。例如：

F_{3} = F_{2} + F_{1} = 1 + 1 = 2

，

F_{4} = F_{3} + F_{2} = 2 + 1 = 3

。若用費式數列相鄰兩項的比做一個新的數列，即

⟨ r_{n} ⟩ = ⟨ \frac{F _{n + 1}}{F _{n}} ⟩

，例如：

r_{1} = \frac{F _{2}}{F _{1}} = 1

，

r_{2} = \frac{F _{3}}{F _{2}} = 2

，

r_{3} = \frac{F _{4}}{F _{3}} = \frac{3}{2}

。

(1) 下列選項何者敘述正確？(3 分，為多選題，每錯 1 個選項扣 1 分直到扣到 0 分為止，不須過程)

(A) $F_{5} = 5$
(B) $F_{5} = r_{4} \times r_{3} \times r_{2} \times r_{1}$
(C) $⟨ F_{n} ⟩$ 發散
(D) $r_{3} < r_{4} < r_{5}$
(E) $F_{n} < 2^{n}$

(2) 利用

r_{n + 1} = \frac{F _{n + 2}}{F _{n + 1}}

及

r_{n} = \frac{F _{n + 1}}{F _{n}}

，將

⟨ r_{n} ⟩

以遞迴關係式表示。(3 分，將

r_{n + 1}

用

r_{n}

表示)

(3) 利用 (2) 的結果，用數學歸納法證明：

1 \leq r_{n} \leq 2

，對任意的正整數

n

恆成立。(7 分)

(4) 若我們已經得知

⟨ r_{n} ⟩

收斂且

n \to \infty lim r_{n} = α

，試利用 (2) 與 (3) 的結果，求

α

之值 (3 分)（提示：

n \to \infty lim r_{n + 1} = n \to \infty lim r_{n} = α

，且由 (3) 的結果得知

α \neq = 0

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(C)

第 2 題(A)(E)

第 3 題(A)(B)(D)(E)

第 4 題

1

第 5 題不存在

第 6 題

825

第 7 題

e - 1

（

1.718

亦給分）

第 8 題

\frac{1}{2}

第 9 題

- x^{2} - 2 x + 2

第 10 題

{x \in R ∣ x \geq 1}

第 11 題

\frac{3}{2}

第 12 題

5

第 13 題

3600

第 14 題(A)(B)(C)(E)

第 15 題

r_{n + 1} = 1 + \frac{1}{r _{n}}

第 16 題證明見詳解

第 17 題

α = \frac{1 + 5}{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1：收斂、發散數列相除與相乘

第 1 題答案 (A)(C)。(A) 對：假設

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{b _{n}}

存在，設為

L

。因為

a_{n} = \frac{a _{n}}{b _{n}} \cdot b_{n}

，兩個因式都收斂，所以

n \to \infty lim a_{n} = L \cdot 0 = 0

，與

n \to \infty lim a_{n} = 1

矛盾，故極限不存在。(B) 錯：取

b_{n} = c_{n} = \frac{1}{n}

，各項不為零，

⟨ c_{n} ⟩

收斂，而

\frac{c _{n}}{b _{n}} = 1

，極限存在。(C) 對：假設

n \to \infty lim \frac{d _{n}}{c _{n}}

存在，因為

d_{n} = \frac{d _{n}}{c _{n}} \cdot c_{n}

是兩個收斂數列的乘積，

⟨ d_{n} ⟩

就會收斂，與

⟨ d_{n} ⟩

發散矛盾，故極限不存在。(D) 錯：取

c_{n} = \frac{1}{n}

、

d_{n} = n

，

\frac{c _{n}}{d _{n}} = \frac{1}{n ^{2}}

，極限為

0

，存在。(E) 錯：取

b_{n} = \frac{1}{n}

、

d_{n} = n

，

b_{n} \cdot d_{n} = 1

，極限是

1

不是

0

。

(A)(C) 用的是同一招：把已知的數列寫成「要判斷的那個商」乘上一個收斂數列，再用極限的乘法性質推出矛盾。(B)(D)(E) 都只要舉一個反例。

02多選 2：哪些無窮級數收斂

第 2 題答案 (A)(E)。級數收斂是指部分和

S_{n}

的極限存在。(A) 收斂：

1 + 2 + \dots + k = \frac{k ( k + 1 )}{2}

，一般項

\frac{2}{k ( k + 1 )} = 2 (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1})

，前

n

項的和

S_{n} = 2 (1 - \frac{1}{n + 1})

，極限為

2

。(B) 發散：

\frac{1}{k + k + 1} = k + 1 - k

，

S_{n} = n + 1 - 1

，

n

越大它就越大、沒有上界。(C) 發散：

0. \overline{9} = 0.9 + 0.09 + 0.009 + \dots = \frac{0.9}{1 - 0.1} = 1

，所以每一項都是

1

，

S_{n} = n

，沒有上界。(D) 發散：兩項兩項看，

S_{2 m} = 0

，

S_{2 m - 1} = m

，奇數項的部分和越來越大，

⟨ S_{n} ⟩

不收斂。(E) 收斂：

S_{2 m} = 0

，

S_{2 m - 1} = \frac{1}{m}

，兩者都趨近

0

，所以

n \to \infty lim S_{n} = 0

，級數收斂且和為

0

。

(D) 與 (E) 的寫法很像，差別在一般項：(D) 的一般項不趨近

0

，必發散；(E) 的一般項趨近

0

，還要再看部分和才知道收斂。(C) 的公比是

0. \overline{9} = 1

，不是小於

1

的數。

03多選 3：函數的值域、一對一、定義域與奇偶性

第 3 題答案 (A)(B)(D)(E)。(A) 對：

x > 0

時由算幾不等式

x + \frac{1}{x} \geq 2 x \cdot \frac{1}{x} = 2

，

x = 1

時等號成立。反過來，對任意

y \geq 2

，令

t = x

，方程式

t + \frac{1}{t} = y

即

t^{2} - y t + 1 = 0

，判別式

y^{2} - 4 \geq 0

，兩根之和

y > 0

、兩根之積

1 > 0

，所以有正根

t

，取

x = t^{2}

就有

f (x) = y

。故值域為

{y \in R ∣ y \geq 2}

。(B) 對：

(f - g) (x) = f (x) - g (x) = \frac{2}{x}

（

x > 0

）。若

\frac{2}{x _{1}} = \frac{2}{x _{2}}

，則

x_{1} = x_{2}

，

x_{1} = x_{2}

，所以是一對一函數。(C) 錯：

\frac{f}{g}

的定義域要同時在

f

、

g

的定義域內（

x > 0

），而且

g (x) \neq = 0

。

g (x) = 0

即

x = \frac{1}{x}

，

x = 1

。所以定義域是

{x \in R ∣ x > 0 且 x \neq = 1}

，選項把

0

與負數也算進去了。(D) 對：

(f \circ h) (x) = f (∣ x ∣)

，需要

∣ x ∣

落在

f

的定義域，即

∣ x ∣ > 0

，

x \neq = 0

。(E) 對：定義域

{x \in R ∣ x \neq = 0}

對稱於原點，且

(f \circ h) (- x) = f (∣ - x ∣) = f (∣ x ∣) = (f \circ h) (x)

，是偶函數。

04填充第 1 題 (1)～(3)（本頁 4～6）：高斯符號

第 4 題高斯符號滿足

\frac{1}{x} - 1 < [\frac{1}{x}] \leq \frac{1}{x}

。當

x > 0

時，各邊同乘

x

：

1 - x < x [\frac{1}{x}] \leq 1

，

x \to 0^{+}

時左右兩邊都趨近

1

，由夾擠定理右極限為

1

。當

x < 0

時，同乘

x

不等號要反向：

1 \leq x [\frac{1}{x}] < 1 - x

，

x \to 0^{-}

時左極限也是

1

。左右極限相等，故

x \to 0 lim x [\frac{1}{x}] = 1

。

x < 0

時同乘負數，不等號方向要改。

第 5 題分別看左右極限。當

x

從右邊接近

1

（

x

略大於

1

）時，

1 < x^{2} < 2

、

1 < x^{3} < 2

，所以

[x^{2}] = [x^{3}] = 1

，原式

= \frac{x ^{3} - 1}{x ^{2} - 1} = \frac{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x ^{2} + x + 1}{x + 1}

，右極限為

\frac{3}{2}

。當

x

從左邊接近

1

（

0 < x < 1

）時，

0 < x^{2} < 1

、

0 < x^{3} < 1

，所以

[x^{2}] = [x^{3}] = 0

，原式

= \frac{x ^{3}}{x ^{2}} = x

，左極限為

1

。左右極限不相等，極限不存在。

第 6 題設

m

為正整數。

[k] = m

的條件是

m \leq k < m + 1

，即

m^{2} \leq k < (m + 1)^{2}

，這樣的整數

k

有

(m + 1)^{2} - m^{2} = 2 m + 1

個。

k

從

1

到

120

：

m = 1

到

m = 10

都完整出現（

m = 10

對應

k = 100

到

120

，恰好

21 = 2 \cdot 10 + 1

個）。把各組加起來，

m = 1 \sum 10 m (2 m + 1) = 2 m = 1 \sum 10 m^{2} + m = 1 \sum 10 m = 2 \cdot 385 + 55 = 825

就是所求的和。

最後一組要確認有沒有被截斷：

1 1^{2} = 121

，所以

k = 120

剛好是

m = 10

那一組的最後一個。

05填充第 1 題 (4)(5)（本頁 7～8）：e 的定義與夾擠定理

第 7 題分子是首項

1

、公比

1 + \frac{1}{n}

、共

n

項的等比級數，和為

\frac{( 1 + \frac{1}{n} ) ^{n} - 1}{( 1 + \frac{1}{n} ) - 1} = n [(1 + \frac{1}{n})^{n} - 1]

。除以

n

之後原式

= (1 + \frac{1}{n})^{n} - 1

，由參考數值

n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n} = e

，得極限為

e - 1

。

不可以把分子的每一項分別除以

n

再各自取極限：項數

n

會跟著變大，極限的加法性質只能用在固定項數。

第 8 題

k

是整數時

[k + sin \frac{k π}{12}] = k + [sin \frac{k π}{12}]

，而

- 1 \leq sin \frac{k π}{12} \leq 1

，所以

- 1 \leq [sin \frac{k π}{12}] \leq 1

，即

k - 1 \leq [k + sin \frac{k π}{12}] \leq k + 1

。從

k = 1

加到

n

：

\frac{n ( n + 1 )}{2} - n \leq

分子

\leq \frac{n ( n + 1 )}{2} + n

。同除以

n^{2}

：

\frac{n ^{2} - n}{2 n ^{2}} \leq

原式

\leq \frac{n ^{2} + 3 n}{2 n ^{2}}

，左右兩式的極限都是

\frac{1}{2}

，由夾擠定理得極限為

\frac{1}{2}

。

06填充第 2 題（本頁 9～10）：反函數與它的定義域

第 9 題令

y = 1 + x^{2} - 1

（

x \leq - 1

），則

y \geq 1

且

x^{2} - 1 = y - 1

。兩邊平方：

x^{2} - 1 = (y - 1)^{2}

，

x^{2} = (y - 1)^{2} + 1 = y^{2} - 2 y + 2

。因為

x \leq - 1

是負數，取

x = - y^{2} - 2 y + 2

。把

x, y

對調，得

f^{- 1} (x) = - x^{2} - 2 x + 2

。

開根號時要看原來的定義域決定正負號：這裡

x \leq - 1

，所以取負的。若定義域改成

x \geq 1

，反函數就會是

x^{2} - 2 x + 2

。

第 10 題反函數的定義域就是原函數的值域。當

x \leq - 1

時，

x^{2} - 1

可以取到所有大於或等於

0

的實數，所以

x^{2} - 1

取遍所有大於或等於

0

的實數，

f (x) = 1 + x^{2} - 1

的值域為

{y \in R ∣ y \geq 1}

。故

f^{- 1} (x)

的定義域為

{x \in R ∣ x \geq 1}

。

只看

- x^{2} - 2 x + 2

這個式子，根號內

(x - 1)^{2} + 1

恆正，會誤以為定義域是全體實數；反函數的定義域要由原函數的值域決定。

07填充第 3～4 題（本頁 11～12）：連續與勘根定理

第 11 題

x > - 2

與

x < - 2

兩段各自都連續（

x < - 2

時分母

x + 2 \neq = 0

），只要讓

x = - 2

這一點連續。當

x < - 2

時，

x^{2} > 4

，所以

∣ x^{2} - 4∣ = x^{2} - 4

；又

x + 2 < 0

，所以

∣ x + 2∣ = - (x + 2)

。分子

= (x^{2} - 4) + (x + 2) = (x + 2) (x - 2) + (x + 2) = (x + 2) (x - 1)

，約去

x + 2

得

f (x) = x - 1

（

x < - 2

），左極限

x \to - 2^{-} lim f (x) = - 3

。右極限與函數值都是

f (- 2) = - 2 a

。連續的條件是

- 2 a = - 3

，故

a = \frac{3}{2}

。

第 12 題令

f (x) = lo g_{2} x - \frac{x}{10}

，它在

x > 0

是連續函數。代入

2

的各次方：

f (1) = - \frac{1}{10} < 0

，

f (2) = 1 - \frac{2}{10} > 0

，由勘根定理在

1

與

2

之間有一根，就是題目說的

α

。接著

f (4) = 2 - 0.4 > 0

，

f (8) = 3 - 0.8 > 0

，

f (16) = 4 - 1.6 > 0

，

f (32) = 5 - 3.2 = 1.8 > 0

，

f (64) = 6 - 6.4 = - 0.4 < 0

。

f (32) \cdot f (64) < 0

，由勘根定理在

32

與

64

之間有一根；題目說方程式有兩正實根，其中

α

在

1

與

2

之間，所以這個根就是

β

，

2^{5} < β < 2^{6}

，

n = 5

。

代

x = 2^{k}

最方便：

f (2^{k}) = k - \frac{2 ^{k}}{10}

，只要找

k

與

\frac{2 ^{k}}{10}

的大小在哪裡交換。

08填充第 5 題（本頁 13）：抽到中為止的花費期望值

第 13 題設小武在第

k

次才抽中，機率為

(\frac{5}{6})^{k - 1} \cdot \frac{1}{6}

，此時總花費為

100 (1 + 2 + \dots + k) = 50 k (k + 1)

元。期望值

E = k = 1 \sum \infty 50 k (k + 1) (\frac{5}{6})^{k - 1} \cdot \frac{1}{6}

。令

r = \frac{5}{6}

，

T_{n} = k = 1 \sum n k (k + 1) r^{k - 1}

，

U_{n} = k = 1 \sum n k r^{k - 1}

。錯位相減：

T_{n} - r T_{n} = k = 1 \sum n [k (k + 1) - (k - 1) k] r^{k - 1} - n (n + 1) r^{n} = 2 U_{n} - n (n + 1) r^{n}

；同樣地

U_{n} - r U_{n} = k = 1 \sum n r^{k - 1} - n r^{n} = \frac{1 - r ^{n}}{1 - r} - n r^{n}

。因為

∣ r ∣ < 1

，

n \to \infty

時

r^{n}

、

n r^{n}

、

n (n + 1) r^{n}

都趨近

0

（

∣ r ∣ < 1

時

r^{n}

的指數衰減比

n

、

n^{2}

這類多項式的成長快，課本在無窮等比級數一節用過這個事實），所以

n \to \infty lim U_{n} = \frac{1}{( 1 - r ) ^{2}} = 36

，

n \to \infty lim T_{n} = \frac{2 \cdot 36}{1 - r} = 432

。故

E = 50 \cdot \frac{1}{6} \cdot 432 = 3600

元。

另一個看法：第

k

次抽獎要付

100 k

元，而「會抽到第

k

次」的機率是前

k - 1

次都沒中，即

(\frac{5}{6})^{k - 1}

。各項都是正數，可以這樣重新分組相加。把每一次的費用乘上會付這筆錢的機率再相加：

E = k = 1 \sum \infty 100 k (\frac{5}{6})^{k - 1} = 100 \cdot 36 = 3600

，結果相同。

09混合題 (1)(2)（本頁 14～15）：費式數列與相鄰兩項的比

第 14 題答案 (A)(B)(C)(E)。先列出前幾項：

F_{1}

到

F_{6}

依序為

1, 1, 2, 3, 5, 8

；

r_{1}

到

r_{5}

依序為

1, 2, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}

。(A) 對：

F_{5} = F_{4} + F_{3} = 3 + 2 = 5

。(B) 對：

r_{4} \times r_{3} \times r_{2} \times r_{1} = \frac{F _{5}}{F _{4}} \cdot \frac{F _{4}}{F _{3}} \cdot \frac{F _{3}}{F _{2}} \cdot \frac{F _{2}}{F _{1}} = \frac{F _{5}}{F _{1}} = F_{5}

。(C) 對：各項都是正整數，

n \geq 2

時

F_{n + 1} = F_{n} + F_{n - 1} \geq F_{n} + 1

，每一項至少比前一項多

1

，數列沒有上界，所以發散。(D) 錯：

r_{3} = \frac{3}{2} = 1.5

，

r_{4} = \frac{5}{3} \approx 1.67

，

r_{5} = \frac{8}{5} = 1.6

，

r_{4} > r_{5}

。(E) 對：

F_{1} = 1 < 2

，

F_{2} = 1 < 4

；若

F_{k} < 2^{k}

且

F_{k + 1} < 2^{k + 1}

，則

F_{k + 2} = F_{k + 1} + F_{k} < 2^{k + 1} + 2^{k} < 2^{k + 1} + 2^{k + 1} = 2^{k + 2}

，由數學歸納法對所有正整數

n

都成立。

(D) 提醒我們

⟨ r_{n} ⟩

不是一路變大或一路變小，而是一大一小地擺動，所以後面 (4) 才要先告訴我們它收斂。

第 15 題

r_{n + 1} = \frac{F _{n + 2}}{F _{n + 1}} = \frac{F _{n + 1} + F _{n}}{F _{n + 1}} = 1 + \frac{F _{n}}{F _{n + 1}}

，而

\frac{F _{n}}{F _{n + 1}}

是

r_{n} = \frac{F _{n + 1}}{F _{n}}

的倒數，所以

r_{n + 1} = 1 + \frac{1}{r _{n}}

（

n

為正整數），首項

r_{1} = 1

。

10混合題 (3)(4)（本頁 16～17）：數學歸納法與極限

第 16 題用數學歸納法。第一步：

n = 1

時

r_{1} = 1

，

1 \leq r_{1} \leq 2

成立。第二步：設

n = k

（

k

為正整數）時成立，即

1 \leq r_{k} \leq 2

。各邊都是正數，取倒數後不等號反向：

\frac{1}{2} \leq \frac{1}{r _{k}} \leq 1

。各邊加

1

：

\frac{3}{2} \leq 1 + \frac{1}{r _{k}} \leq 2

。由 (2)，

r_{k + 1} = 1 + \frac{1}{r _{k}}

，所以

1 \leq \frac{3}{2} \leq r_{k + 1} \leq 2

，

n = k + 1

時也成立。由數學歸納法，

1 \leq r_{n} \leq 2

對任意的正整數

n

恆成立。

學校的給分標準共 7 分：驗

n = 1

、寫出歸納假設、寫出

r_{k + 1} = 1 + \frac{1}{r _{k}}

、取倒數、加

1

、得到

n = k + 1

成立、結論，各 1 分。另外是本站的提醒（不是學校的給分規定）：取倒數前先說明各邊為正，推論才完整。

第 17 題由 (3)，

1 \leq r_{n} \leq 2

，所以

1 \leq α \leq 2

，特別是

α \neq = 0

，

n \to \infty lim \frac{1}{r _{n}} = \frac{1}{α}

。在

r_{n + 1} = 1 + \frac{1}{r _{n}}

兩邊取極限：

α = 1 + \frac{1}{α}

，即

α^{2} - α - 1 = 0

，

α = \frac{1 \pm 5}{2}

。其中

\frac{1 - 5}{2} < 0

不在

1

與

2

之間，不合。故

α = \frac{1 + 5}{2}

。

這個做法要先知道數列收斂才能用（題目已經告訴我們）；負根要用 (3) 的範圍捨去，並寫出理由。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

武陵高中 111 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

武陵高中 111 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 1 題要分清楚哪些選項可以用極限的乘法性質推出矛盾、哪些只要舉反例；多選第 2 題的選項 (C) 循環小數其實等於 1，選項 (D) 與 (E) 長得很像但一個發散一個收斂；填充第 2 題求反函數時開根號要依原來的定義域取負號，它的定義域要看原函數的值域；填充第 5 題的期望值是無窮級數，要用兩次錯位相減。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自武陵高中 111 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

武陵高中 111 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 17 題，照原卷順序

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每一題，錯在哪一步

01多選 1：收斂、發散數列相除與相乘

02多選 2：哪些無窮級數收斂

03多選 3：函數的值域、一對一、定義域與奇偶性

04填充第 1 題 (1)～(3)（本頁 4～6）：高斯符號

05填充第 1 題 (4)(5)（本頁 7～8）：e 的定義與夾擠定理

06填充第 2 題（本頁 9～10）：反函數與它的定義域

07填充第 3～4 題（本頁 11～12）：連續與勘根定理

08填充第 5 題（本頁 13）：抽到中為止的花費期望值

09混合題 (1)(2)（本頁 14～15）：費式數列與相鄰兩項的比

10混合題 (3)(4)（本頁 16～17）：數學歸納法與極限

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武陵高中 111 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

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武陵高中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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