段考詳解範圍：離散型隨機變數（機率分布、期望值、變異數與標準差）、二項分布

高師大附中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 高師大附中 111 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 高師大附中 111 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 3 題選項 5 給的是變異數的值，標準差要再開根號；多選第 4 題找機率最大的取值要比較相鄰兩項的比值，期望值不是整數所以不等於 33；填充第 6 題（本頁第 11 題）第 6 次恰為第 4 次成功，只有前 5 次可以排列；填充第 10 題（第 15 題）機率最大的取值有兩個，4 與 5 都要寫。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

多選題 5 題（每題 6 分，共 30 分）、填充題 14 格（每格 5 分，共 70 分），合計 100 分。原卷兩大題各自從 1 編號，本頁依序連續編為第 1～19 題（填充 1～14 為第 6～19 題）。原卷的算式是內嵌的公式圖片，其中多選第 1 題選項 (5) 的省略號在檔案預覽裡沒有顯示，本頁依公式內容補回。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

一、多選題：每題全對得6分，只錯一個選項可得4分，錯兩個選項可得2分，錯兩個以上選項不給分，未作答不計分，共30分。

丟一枚均勻硬幣10次，恰出現

n

次正面的機率記為

p_{n}

，下列選項何者正確？

(1) $p_{5} = \frac{1}{2}$
(2) $p_{2} = p_{8}$
(3) $p_{4} < p_{9}$
(4) $P (X \leq 4) = P (X \geq 6)$ （卷面沒有說明 $X$ ，依題意是出現正面的次數）
(5) $p_{0}, p_{1}, p_{2}, \dots, p_{10}$ 的算術平均數為 $\frac{1}{11}$

設隨機變數

X

的機率分布表如下：

X P (X = x) 0 \frac{1}{4} 1 a 2 b 3 \frac{1}{6}

設

X

的期望值

E (X) = \frac{4}{3}

。下列選項何者正確？

(1) $a + b = \frac{7}{12}$
(2) $a = \frac{1}{4}$
(3) $b = \frac{1}{3}$
(4) $E (X^{2}) = \frac{17}{6}$
(5) $V a r (X) = \frac{17}{18}$

一個箱子中有3顆紅球與2顆白球，今自箱子中每次取出一球，取出後不放回，每次每顆球被取出的機會均等。若隨機變數

X

表示取到紅球為止所取出的總球數。則下列選項何者正確？

(1) $P (X = 1) = \frac{2}{5}$
(2) $P (X = 2) = \frac{3}{10}$
(3) $P (X = 3) = \frac{1}{5}$
(4) $E (X) = \frac{3}{2}$
(5) $σ (X) = \frac{9}{20}$

一袋中有2顆紅球與4顆白球，今自袋中每次取出一球，取出後放回，每次每顆球被取出的機會均等。今取球100次，隨機變數

X

表示取到紅球的個數，下列選項何者正確？

(1) $X$ 的可能值有101個
(2) $P (X = 20) = P (X = 80)$
(3) $X = 33$ 時，機率最大
(4) $E (X) = 33$
(5) 標準差大於22

袋中有10個球，編號1號的球有1個，編號2號的球有2個，編號3號的球有3個，編號4號的球有4個，每球被取的機會均等。今從袋中任取一球，遊戲一：若取出編號為

k

號的球，可得

3 k + 10

元，此時令

X

表所得的金額。遊戲二：若取出編號為

k

號的球，可得

100 - 2 k

元，此時令

Y

表所得的金額。下列選項何者正確？

(1) $E (X) = 20$
(2) $V a r (X) = 9$
(3) $E (Y) = 94$
(4) $V a r (Y) = 2$
(5) $σ (Y) = 2$

二、填充題：答案全對才給分。每格5分，共70分。

若隨機變數

X

的可能值為

1

、

2

、

3

、

4

，其出現的機率

P (X = k)

與

\frac{1}{k}

成正比，則

P (X = 2)

的值為 ____。（請化為最簡分數）

袋中有大小相同，編號為1,2,3,4,5的號碼球各1顆。每次從袋中取出一球，觀察取到的號碼後再放回袋中。若每次取球都為獨立事件，且每球被取到的機率均等，共取球5次，則取到2次奇數號碼球的機率為 ____（請化為最簡分數）。

某學校的電腦中心裡面，7台電腦中有2台不良品，每台電腦被取出的機會均等，今隨機取出電腦3台，令隨機變數

X

表示取到不良品台數，則

P (X = 1)

的值為 ____（請化為最簡分數）。

某藥廠新開發一種藥物可治療痛風，每位痛風的患者在服過此藥物一個月後痊癒的機率為75％，今有5位痛風患者同時服用此藥物，則一個月後恰有3人痊癒之機率為 ____（請化為最簡分數）。

一人擲三顆均勻的骰子，若恰出現1個6點可得5元，恰出現2個6點可得10元，出現3個6點可得15元，為使賭局公平，若未出現6點，此人應賠 ____ 元。（請化為最簡分數）

擲一公正的骰子6次，則在第6次出現第4次點數是3的倍數的機率為 ____（請化為最簡分數）。

保險公司出售一年期的住宅房屋火險，設其保險額為500萬元，保險費為10000元。依過去資料顯示，住宅房屋發生火災的機率為

0.0015

，則保險公司利潤的期望值為 ____ 元。

已知隨機變數

X

，且

Y = - 3 X + 4

、

Z = - 3 X + 9

。已知

E (Y) = - 5

，

V a r (Z) = 18

，若

X

的期望值

E (X) = m

，標準差

σ (X) = n

，則數對

(m, n) =

____。

小雅統計長期以來的數學考試，平均每3題單選題可答對1題，今天隨堂小考共有5題單選題，每題20分，則小雅及格的機率為 ____（請化為最簡分數）。

同時擲兩顆公正的骰子35次，設隨機變數

X

表示35次中擲出點數和等於8的次數，則

X

取值為 ____ 時，機率最大。

袋中共有10張卡片，其中4張卡片寫上10，6張卡片寫上5，每張卡片被取到的機會均等。今從袋中任取2張，即可得兩張卡片上數字總和的錢數（單位：元），令

X

表獲得的錢數，則

X

的變異數為 ____（請化為最簡分數）。

小明在農場中栽種了

n

株植物，各株植物存活與否互不影響，且存活的機率均為

p

，設

X

表存活的株數，今已知

X

的期望值為 900，標準差為 24，則數對

(n, p) =

____。

園遊會3年9班舉辦抽球遊戲，若摸球筒中有紅球2顆、白球3顆與黑球5顆，遊戲是從摸球筒中隨機同時抽出兩顆球，如果抽出的兩球為二紅球，則得獎金400元；如果抽出的兩球為二白球，則得獎金200元；如果抽出的兩球為二黑球，則得獎金80元，其它情形則無獎金，老師說玩一次遊戲至少要

k

元才不會虧錢，則

k

的值為 ____。

某公司為進行促銷，辦理抽球活動，袋中有五個球，1個紅球、4個白球，每球被取中之機會均等，從袋中抽一球，若抽中紅球，則可買一送一，若抽到白球，則無優待，設有900位顧客參加活動，令

X

表900位顧客參加抽獎活動中可買一送一的人數，則

E (X^{2})

的值為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)(4)(5)

第 2 題(1)(4)

第 3 題(2)(4)

第 4 題(1)(3)

第 5 題(2)(3)

第 6 題

\frac{6}{25}

第 7 題

\frac{144}{625}

第 8 題

\frac{4}{7}

第 9 題

\frac{135}{512}

第 10 題

\frac{108}{25}

第 11 題

\frac{40}{729}

第 12 題

2500

第 13 題

(3, 2)

第 14 題

\frac{17}{81}

第 15 題

4

或

5

第 16 題

\frac{32}{3}

第 17 題

(2500, 0.36)

第 18 題

40

第 19 題

32544

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題 1、2（第 1、2 題）：擲硬幣的二項分布、由分布表求未知機率

第 1 題答案 (2)(4)(5)。每次出現正面的機率是

\frac{1}{2}

，10 次中恰

n

次正面的機率

p_{n} = C_{n}^{10} (\frac{1}{2})^{n} (\frac{1}{2})^{10 - n} = \frac{C _{n}^{10}}{1024}

。(1) 錯：

p_{5} = \frac{C _{5}^{10}}{1024} = \frac{252}{1024} = \frac{63}{256}

，不是

\frac{1}{2}

。(2) 對：

C_{2}^{10} = C_{8}^{10} = 45

，所以

p_{2} = p_{8}

。(3) 錯：

p_{4} = \frac{210}{1024}

，

p_{9} = \frac{10}{1024}

，

p_{4} > p_{9}

。(4) 對：

X

是正面的次數，由

C_{n}^{10} = C_{10 - n}^{10}

得

p_{n} = p_{10 - n}

，所以

P (X \leq 4) = p_{0} + p_{1} + p_{2} + p_{3} + p_{4} = p_{10} + p_{9} + p_{8} + p_{7} + p_{6} = P (X \geq 6)

。(5) 對：

p_{0}

到

p_{10}

共

11

個數，總和是全部的機率

1

，算術平均數

= \frac{1}{11}

。

(1) 是常見的誤解：正反面機率各半，不代表「剛好 5 正 5 反」的機率是一半，實際上只有約

0.246

。

第 2 題答案 (1)(4)。機率總和為

1

：

\frac{1}{4} + a + b + \frac{1}{6} = 1

，得

a + b = \frac{7}{12}

，(1) 對。期望值：

0 \times \frac{1}{4} + 1 \times a + 2 \times b + 3 \times \frac{1}{6} = \frac{4}{3}

，得

a + 2 b = \frac{4}{3} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6}

。兩式相減：

b = \frac{5}{6} - \frac{7}{12} = \frac{1}{4}

，再得

a = \frac{7}{12} - \frac{1}{4} = \frac{1}{3}

。所以 (2) 錯（

a = \frac{1}{3}

）、(3) 錯（

b = \frac{1}{4}

），卷面把兩個值對調了。(4) 對：

E (X^{2}) = 0^{2} \times \frac{1}{4} + 1^{2} \times \frac{1}{3} + 2^{2} \times \frac{1}{4} + 3^{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3} + 1 + \frac{3}{2} = \frac{17}{6}

。(5) 錯：

V a r (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = \frac{17}{6} - \frac{16}{9} = \frac{51 - 32}{18} = \frac{19}{18}

，不是

\frac{17}{18}

。

分布表裡有未知機率時，先用「機率總和為

1

」，再用期望值的定義列第二個式子。變異數用

V a r (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}

算最快。

02多選題 3～5（第 3～5 題）：不放回取球、取後放回的二項分布、一次式變換

第 3 題答案 (2)(4)。白球只有 2 顆，所以最多取 3 次一定取到紅球，

X

的可能值是

1

、

2

、

3

。

P (X = 1)

：第一次就是紅球，

\frac{3}{5}

，(1) 錯。

P (X = 2)

：先白再紅，

\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{10}

，(2) 對。

P (X = 3)

：白、白、紅，

\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} \times 1 = \frac{1}{10}

，(3) 錯。檢查：

\frac{3}{5} + \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = 1

。(4) 對：

E (X) = 1 \times \frac{3}{5} + 2 \times \frac{3}{10} + 3 \times \frac{1}{10} = \frac{6 + 6 + 3}{10} = \frac{3}{2}

。(5) 錯：

E (X^{2}) = 1 \times \frac{3}{5} + 4 \times \frac{3}{10} + 9 \times \frac{1}{10} = \frac{27}{10}

，

V a r (X) = \frac{27}{10} - \frac{9}{4} = \frac{9}{20}

，標準差

σ (X) = \frac{9}{20} = \frac{3 5}{10} \approx 0.67

，不是

\frac{9}{20}

。

(5) 的

\frac{9}{20}

是變異數；標準差要再開根號。

第 4 題答案 (1)(3)。每次取到紅球的機率是

\frac{2}{6} = \frac{1}{3}

，取後放回，各次獨立，

X

是

n = 100

、

p = \frac{1}{3}

的二項分布，

P (X = k) = C_{k}^{100} (\frac{1}{3})^{k} (\frac{2}{3})^{100 - k}

。(1) 對：

X

可以是

0, 1, 2, \dots, 100

，共

101

個值。(2) 錯：

P (X = 20) = C_{20}^{100} \frac{2 ^{80}}{3 ^{100}}

，

P (X = 80) = C_{80}^{100} \frac{2 ^{20}}{3 ^{100}}

，而

C_{20}^{100} = C_{80}^{100}

，所以前者是後者的

2^{60}

倍，兩者不相等（只有

p = \frac{1}{2}

時才對稱）。(3) 對：比較相鄰兩項，

\frac{P ( X = k + 1 )}{P ( X = k )} = \frac{100 - k}{k + 1} \times \frac{1}{2}

。這個比值大於

1

相當於

100 - k > 2 k + 2

，也就是

k < \frac{98}{3} \approx 32.7

。所以

k \leq 32

時下一項比較大，

k \geq 33

時下一項比較小，機率一路增加到

X = 33

之後開始減少，

X = 33

時機率最大。(4) 錯：

E (X) = n p = \frac{100}{3}

，不是

33

。(5) 錯：

V a r (X) = n p (1 - p) = 100 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{200}{9}

，標準差

= \frac{10 2}{3} \approx 4.71

；

22

大約是變異數的大小，不是標準差。

第 5 題答案 (2)(3)。先算編號

k

的分布：

P (k = 1) = \frac{1}{10}

、

P (k = 2) = \frac{2}{10}

、

P (k = 3) = \frac{3}{10}

、

P (k = 4) = \frac{4}{10}

。

E (k) = \frac{1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 3 + 4 \times 4}{10} = \frac{30}{10} = 3

，

E (k^{2}) = \frac{1 \times 1 + 4 \times 2 + 9 \times 3 + 16 \times 4}{10} = \frac{100}{10} = 10

，

V a r (k) = 10 - 3^{2} = 1

，標準差是

1

。一次式變換：

E (ak + b) = a E (k) + b

，

V a r (ak + b) = a^{2} V a r (k)

。(1) 錯：

E (X) = 3 \times 3 + 10 = 19

。(2) 對：

V a r (X) = 3^{2} \times 1 = 9

。(3) 對：

E (Y) = 100 - 2 \times 3 = 94

。(4) 錯：

V a r (Y) = (- 2)^{2} \times 1 = 4

。(5) 錯：

σ (Y) = 4 = 2

。

加減常數不影響變異數；乘上

a

之後變異數變成

a^{2}

倍、標準差變成

∣ a ∣

倍，負號不會讓變異數變負。

二項分布

n

次、成功機率

p

：期望值

n p

，變異數

n p (1 - p)

。找機率最大的取值，就比較相鄰兩項的比值何時由大於

1

變成小於

1

。

03填充 1～4（第 6～9 題）：正比的機率、重複試驗、一次取出的機率

第 6 題設

P (X = k) = \frac{c}{k}

。機率總和為

1

：

c (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) = c \times \frac{25}{12} = 1

，得

c = \frac{12}{25}

。所以

P (X = 2) = \frac{c}{2} = \frac{6}{25}

。

四個機率依序是

\frac{12}{25}

、

\frac{6}{25}

、

\frac{4}{25}

、

\frac{3}{25}

，加起來是

1

。

第 7 題五顆球中奇數號碼是

1

、

3

、

5

共 3 顆，每次取到奇數的機率是

\frac{3}{5}

，取到偶數的機率是

\frac{2}{5}

。取後放回，5 次互相獨立，恰 2 次奇數的機率

= C_{2}^{5} (\frac{3}{5})^{2} (\frac{2}{5})^{3} = 10 \times \frac{9}{25} \times \frac{8}{125} = \frac{720}{3125} = \frac{144}{625}

。

第 8 題7 台中任取 3 台，共

C_{3}^{7} = 35

種取法，每種機會均等。恰 1 台不良品：從 2 台不良品取 1 台、5 台良品取 2 台，

C_{1}^{2} \times C_{2}^{5} = 2 \times 10 = 20

種。

P (X = 1) = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}

。

這題是一次取出（不放回），不是二項分布，要用組合數去數。

第 9 題每人痊癒的機率

\frac{3}{4}

、沒有痊癒的機率

\frac{1}{4}

，5 人互相獨立，恰 3 人痊癒的機率

= C_{3}^{5} (\frac{3}{4})^{3} (\frac{1}{4})^{2} = 10 \times \frac{27}{64} \times \frac{1}{16} = \frac{270}{1024} = \frac{135}{512}

。

取後放回或各次互相獨立，用

C_{k}^{n} p^{k} (1 - p)^{n - k}

；一次取出幾個（不放回），用組合數相除。

04填充 5～8（第 10～13 題）：公平賭局、第幾次才成功、保險的期望值、一次式變換

第 10 題每顆骰子出現 6 點的機率是

\frac{1}{6}

。三顆骰子中：沒有 6 點的機率

(\frac{5}{6})^{3} = \frac{125}{216}

；恰 1 個 6 點

C_{1}^{3} \times \frac{1}{6} \times (\frac{5}{6})^{2} = \frac{75}{216}

；恰 2 個 6 點

C_{2}^{3} \times (\frac{1}{6})^{2} \times \frac{5}{6} = \frac{15}{216}

；3 個 6 點

\frac{1}{216}

。設沒有 6 點時賠

x

元。賭局公平就是所得的期望值為

0

：

5 \times \frac{75}{216} + 10 \times \frac{15}{216} + 15 \times \frac{1}{216} - x \times \frac{125}{216} = 0

，即

375 + 150 + 15 = 125 x

，

x = \frac{540}{125} = \frac{108}{25}

。

四個機率的分子

125 + 75 + 15 + 1 = 216

，加起來是

1

。

第 11 題點數是 3 的倍數（3 點或 6 點）的機率是

\frac{2}{6} = \frac{1}{3}

。「第 6 次出現第 4 次」的意思是：前 5 次中恰好有 3 次是 3 的倍數，而且第 6 次也是。前 5 次恰 3 次的機率

C_{3}^{5} (\frac{1}{3})^{3} (\frac{2}{3})^{2} = 10 \times \frac{1}{27} \times \frac{4}{9} = \frac{40}{243}

，再乘上第 6 次的

\frac{1}{3}

：

\frac{40}{243} \times \frac{1}{3} = \frac{40}{729}

。

不可以直接算「6 次中恰 4 次」

C_{4}^{6} (\frac{1}{3})^{4} (\frac{2}{3})^{2}

：那樣第 4 次成功可能出現在第 4 或第 5 次。最後一次已經指定是成功，只有前 5 次可以排。

第 12 題保險公司先收保險費

10000

元。發生火災（機率

0.0015

）時要賠

5000000

元，利潤是

10000 - 5000000 = - 4990000

元；沒有發生火災（機率

0.9985

）時利潤是

10000

元。利潤的期望值

= - 4990000 \times 0.0015 + 10000 \times 0.9985 = - 7485 + 9985 = 2500

元。

也可以這樣想：保險費一定收到

10000

元，理賠的期望值是

5000000 \times 0.0015 = 7500

元，相減得

2500

元。

第 13 題

E (Y) = E (- 3 X + 4) = - 3 E (X) + 4 = - 3 m + 4 = - 5

，得

m = 3

。

V a r (Z) = V a r (- 3 X + 9) = (- 3)^{2} V a r (X) = 9 V a r (X) = 18

，得

V a r (X) = 2

，標準差

n = σ (X) = 2

。所以數對

(m, n) = (3, 2)

就是所求的答案。

標準差不會是負的，所以

n = 2

，不取

- 2

。

E (a X + b) = a E (X) + b

，

V a r (a X + b) = a^{2} V a r (X)

，

σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X)

。

05填充 9～11（第 14～16 題）：至少答對幾題、機率最大的取值、變異數

第 14 題每題答對的機率是

\frac{1}{3}

，各題獨立。每題 20 分、共 5 題，及格（60 分以上）就是至少答對 3 題。恰對 3 題：

C_{3}^{5} (\frac{1}{3})^{3} (\frac{2}{3})^{2} = \frac{40}{243}

；恰對 4 題：

C_{4}^{5} (\frac{1}{3})^{4} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{243}

；5 題全對：

(\frac{1}{3})^{5} = \frac{1}{243}

。及格的機率

= \frac{40 + 10 + 1}{243} = \frac{51}{243} = \frac{17}{81}

。

卷面沒有寫及格分數，這裡依一般的 60 分及格；學校公布的答案

\frac{17}{81}

與此相符。

第 15 題兩顆骰子點數和等於 8 的情形有

(2, 6)

、

(3, 5)

、

(4, 4)

、

(5, 3)

、

(6, 2)

共 5 種，機率

p = \frac{5}{36}

。

X

是

n = 35

、

p = \frac{5}{36}

的二項分布，

P (X = k) = C_{k}^{35} (\frac{5}{36})^{k} (\frac{31}{36})^{35 - k}

。比較相鄰兩項：

\frac{P ( X = k + 1 )}{P ( X = k )} = \frac{35 - k}{k + 1} \times \frac{5}{31}

。比值大於

1

相當於

5 (35 - k) > 31 (k + 1)

，即

144 > 36 k

，

k < 4

；

k = 4

時比值恰好等於

1

；

k > 4

時比值小於

1

。所以機率一路增加到

X = 4

，

P (X = 5) = P (X = 4)

，之後遞減。機率最大的取值是

4

或

5

（兩個一樣大）。

(n + 1) p = 36 \times \frac{5}{36} = 5

剛好是整數，這時最大值會同時出現在

5

與前一個數

4

。只寫其中一個不算完整。

第 16 題10 張任取 2 張，共

C_{2}^{10} = 45

種。兩張都是 5：

C_{2}^{6} = 15

種，

X = 10

；一張 10、一張 5：

4 \times 6 = 24

種，

X = 15

；兩張都是 10：

C_{2}^{4} = 6

種，

X = 20

。所以

P (X = 10) = \frac{15}{45}

、

P (X = 15) = \frac{24}{45}

、

P (X = 20) = \frac{6}{45}

。

E (X) = \frac{10 \times 15 + 15 \times 24 + 20 \times 6}{45} = \frac{630}{45} = 14

。

E (X^{2}) = \frac{100 \times 15 + 225 \times 24 + 400 \times 6}{45} = \frac{9300}{45} = \frac{620}{3}

。

V a r (X) = \frac{620}{3} - 1 4^{2} = \frac{620 - 588}{3} = \frac{32}{3}

。

檢查：

15 + 24 + 6 = 45

。也可以用定義算：

\frac{( 10 - 14 ) ^{2} \times 15 + ( 15 - 14 ) ^{2} \times 24 + ( 20 - 14 ) ^{2} \times 6}{45} = \frac{240 + 24 + 216}{45} = \frac{480}{45} = \frac{32}{3}

。

06填充 12～14（第 17～19 題）：由期望值與標準差反求、獎金的期望值、平方的期望值

第 17 題

X

是

n

次、成功機率

p

的二項分布：期望值

n p = 900

，變異數

n p (1 - p) = 2 4^{2} = 576

。兩式相除：

1 - p = \frac{576}{900} = 0.64

，

p = 0.36

。代回

n = \frac{900}{0.36} = 2500

。所以

(n, p) = (2500, 0.36)

。

題目給的是標準差，要先平方成變異數才能代

n p (1 - p)

。

0.36

也可以寫成

\frac{9}{25}

。

第 18 題10 顆球同時抽 2 顆，共

C_{2}^{10} = 45

種。二紅球：

C_{2}^{2} = 1

種，機率

\frac{1}{45}

；二白球：

C_{2}^{3} = 3

種，機率

\frac{3}{45}

；二黑球：

C_{2}^{5} = 10

種，機率

\frac{10}{45}

；其餘

31

種沒有獎金。獎金的期望值

= 400 \times \frac{1}{45} + 200 \times \frac{3}{45} + 80 \times \frac{10}{45} = \frac{400 + 600 + 800}{45} = \frac{1800}{45} = 40

元。每玩一次平均要付出

40

元獎金，所以收費至少要

40

元才不會虧錢，

k = 40

。

第 19 題每位顧客抽中紅球的機率是

\frac{1}{5}

，900 位顧客互相獨立，

X

是

n = 900

、

p = \frac{1}{5}

的二項分布。

E (X) = n p = 180

，

V a r (X) = n p (1 - p) = 900 \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{5} = 144

。由

V a r (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}

得

E (X^{2}) = V a r (X) + (E (X))^{2} = 144 + 18 0^{2} = 144 + 32400 = 32544

。

E (X^{2})

不等於

(E (X))^{2} = 32400

，兩者相差的正是變異數。

E (X^{2}) = V a r (X) + (E (X))^{2}

：知道期望值與變異數，就能求平方的期望值。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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高師大附中 111 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高師大附中 111 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 3 題選項 5 給的是變異數的值，標準差要再開根號；多選第 4 題找機率最大的取值要比較相鄰兩項的比值，期望值不是整數所以不等於 33；填充第 6 題（本頁第 11 題）第 6 次恰為第 4 次成功，只有前 5 次可以排列；填充第 10 題（第 15 題）機率最大的取值有兩個，4 與 5 都要寫。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高師大附中 111 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高師大附中 111 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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01多選題 1、2（第 1、2 題）：擲硬幣的二項分布、由分布表求未知機率

02多選題 3～5（第 3～5 題）：不放回取球、取後放回的二項分布、一次式變換

03填充 1～4（第 6～9 題）：正比的機率、重複試驗、一次取出的機率

04填充 5～8（第 10～13 題）：公平賭局、第幾次才成功、保險的期望值、一次式變換

05填充 9～11（第 14～16 題）：至少答對幾題、機率最大的取值、變異數

06填充 12～14（第 17～19 題）：由期望值與標準差反求、獎金的期望值、平方的期望值

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數學試題、答案與詳解

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