段考詳解範圍：選修數學乙（上）第一章極限與函數

建國中學 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

單選 2 題各 6 分、多選 4 題各 8 分、填充 6 格（前 2 格各 6 分、後 4 格各 7 分）、混合題 10 分、證明題 6 分，合計 100 分。卷面各大題題號各自從 1 編起，本頁依序連續編為第 1～15 題；兩段填充題卷面都印作「三」。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題（每題 6 分，2 題共 12 分）

若函數

f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}

，則

f (f (x))

等於下列哪一個選項？

(1) $x$
(2) $f (x)$
(3) $2 f (x)$
(4) $(f (x))^{2}$
(5) $\frac{2 x + 1}{2 x - 1}$

若

n \to \infty lim \frac{2 ^{n} + ( - 3 ) ^{n} \times a _{n}}{2 ^{n} - ( - 3 ) ^{n}} = \frac{2}{3}

，則

n \to \infty lim a_{n} =

(1) $0$
(2) $1$
(3) $\frac{2}{3}$
(4) $- \frac{2}{3}$
(5) 不存在

二、多選題（每題 8 分，4 題共 32 分）｜（說明：每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 5 分；答錯 2 個選項者，得 2 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。）

設

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 3 x - 1, x^{2} + 1, - 2 x + 9, 當 - 1 \leq x < 1 當 1 \leq x < 2 當 2 \leq x < 3

，且

f (x) = f (x - 4)

，選出正確的選項。

(1) $f (\frac{1}{3}) = 0$
(2) $f (2) = 3$
(3) $f (10) = 9 - 210$
(4) $f (5) = - 1$
(5) $f (20) = - 1$

關於函數

f (x) = {x^{2} + 2, x + 3, 若 x \geq 1 若 x < 1

，選出正確的選項：

(1) $f (1) = 3$
(2) $x \to 0 lim f (x) = 2$
(3) $x \to - 1 lim f (x) = 2$
(4) $x \to 2 lim f (x) = 5$
(5) $x \to 1 lim f (x) = f (1)$

數列

a_{1}, a_{2}, \dots

中，其奇數項是一個公比為

\frac{1}{3}

的等比數列，而偶數項是一個公比為

\frac{1}{2}

的等比數列，且

a_{1} = 3

，

a_{2} = 2

。試選出正確的選項。

(1) $a_{4} > a_{5} > a_{6} > a_{7}$
(2) $\frac{a _{10}}{a _{11}} > 10$
(3) $n \to \infty lim a_{n} = 0$
(4) $n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = 0$
(5) $n = 1 \sum 100 a_{n} > 9$

已知實數數列

⟨ a_{n} ⟩

滿足

a_{1} = 1

，

a_{n + 1} = \frac{2 n + 1}{2 n - 1} a_{n}

，

n

為正整數。試選出正確的選項

(1) $a_{2} = 3$
(2) $a_{4} = 9$
(3) $⟨ a_{n} ⟩$ 為等比數列
(4) $n = 1 \sum 20 a_{n} = 400$
(5) $n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n} = 2$

三、填充題（每格 6 分，2 格共 12 分）

求

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + 3 x - 11 - 1}{∣ x ∣ - 2} =

____________。

已知

\frac{1}{x} - 1 < [\frac{1}{x}] \leq \frac{1}{x}

，其中

[x]

表示不大於

x

的最大整數，例如：

[2.3] = 2

，

[- 2.3] = - 3

。求：

x \to 0 lim (x \times [\frac{1}{x}]) =

____________。

三、填充題（每格 7 分，4 格共 28 分）

設無窮等比級數的第二項為

0.5 \overline{3}

，第三項為

0.2 \overline{6}

，則其和為 ____________。

設

⟨ a_{n} ⟩

為一等差數列。已知

a_{2} + a_{4} + a_{6} = 186

，

a_{3} + a_{7} = 110

。令

s_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

。則極限

n \to \infty lim \frac{s _{n}}{n ^{2}} =

____________。（請化為最簡分數）

若

a

、

b

為實數，且

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + x - 6}{x ^{2} + a x + b} = 5

，則數對

(a, b) =

____________。

已知首項為

a

，公比為

r

的無窮等比級數和等於

5

；首項為

a

，公比為

3 r

的無窮等比級數和等於

7

，則首項為

a

，公比為

2 r

的無窮等比級數和等於 ____________。

四、混合題（每題 10 分，1 題共 10 分）

混合題第 1 題（第 13～14 題）　有一個面積為

32

的正方形，依以下的步驟將其分割著色。第 1 步驟：將其等分成

4

個小正方形，並將左下角的正方形塗上黑色，如第 1 圖所示。第 2 步驟：將剩下

3

個正方形再分別等分成

4

個更小的正方形，並將左下角的正方形塗上黑色，如第 2 圖所示。依照這樣的規律繼續分割著色下去，並設

S_{n}

表示在第

n

步驟後所有黑色正方形的總面積。

(1) 求

S_{1}

，

S_{2}

，

S_{3}

。

載入中...

(2) 求無窮多個黑色正方形的面積總和。

五、證明題（每題 6 分，1 題共 6 分）

設

f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} + x + 1}

，試證有一數

a

在

0

與

1

之間，使得

f (a) = a

。（提示：證明有理函數的連續性或轉換為多項式方程式。）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(4)

第 3 題(1)(2)(5)

第 4 題(1)(3)

第 5 題(2)(3)

第 6 題(1)(4)(5)

第 7 題

- 7

第 8 題

1

第 9 題

\frac{32}{15}

第 10 題

- \frac{7}{2}

第 11 題

(- 3, 2)

第 12 題

\frac{35}{6}

第 13 題

S_{1} = 8

，

S_{2} = 14

，

S_{3} = \frac{37}{2}

第 14 題

32

第 15 題證明見詳解

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～2 題：合成函數、由分式的極限反求數列的極限

第 1 題把

f (x)

代進

f

的

x

：

f (f (x)) = \frac{f ( x ) + 1}{f ( x ) - 1}

。分子

\frac{x + 1}{x - 1} + 1 = \frac{( x + 1 ) + ( x - 1 )}{x - 1} = \frac{2 x}{x - 1}

，分母

\frac{x + 1}{x - 1} - 1 = \frac{( x + 1 ) - ( x - 1 )}{x - 1} = \frac{2}{x - 1}

。兩式相除得

f (f (x)) = \frac{2 x}{2} = x

，選 (1)。

驗算：

f (3) = \frac{4}{2} = 2

，

f (2) = \frac{3}{1} = 3

，確實回到原來的

3

。這個式子在

x \neq = 1

時成立（

f (x)

的分子比分母大

2

，

f (x)

不會等於

1

，所以

f (f (x))

都有意義）。

第 2 題設

b_{n} = \frac{2 ^{n} + ( - 3 ) ^{n} \times a _{n}}{2 ^{n} - ( - 3 ) ^{n}}

，題目說

n \to \infty lim b_{n} = \frac{2}{3}

。分子、分母同除以

(- 3)^{n}

，並記

c_{n} = (- \frac{2}{3})^{n}

：

b_{n} = \frac{c _{n} + a _{n}}{c _{n} - 1}

。把

a_{n}

解出來：

a_{n} = b_{n} (c_{n} - 1) - c_{n}

。因為

- \frac{2}{3} < 1

，

c_{n}

趨近

0

；

b_{n}

趨近

\frac{2}{3}

。由極限的四則運算性質，

n \to \infty lim a_{n} = \frac{2}{3} \times (0 - 1) - 0 = - \frac{2}{3}

，選 (4)。

不能一開始就假設

a_{n}

收斂再代入；先把

a_{n}

用兩個已知會收斂的數列

b_{n}

、

c_{n}

表示，才能用極限的運算性質。同除時要除以絕對值最大的底數

(- 3)^{n}

。

含

r^{n}

的分式，同除以絕對值最大的底數的

n

次方；要求的數列夾在式子裡時，先把它解出來，再對已知收斂的部分取極限。

02多選第 3～4 題（卷面多選第 1～2 題）：分段函數的求值與極限

第 3 題三段式子只定義了

- 1 \leq x < 3

這一段（長度

4

）；

f (x) = f (x - 4)

表示自變數加減

4

的整數倍，函數值不變。所以每個選項先把自變數移回

- 1 \leq x < 3

，再看落在哪一段。(1)

- 1 \leq \frac{1}{3} < 1

，用第一段：

f (\frac{1}{3}) = 3 \times \frac{1}{3} - 1 = 0

，正確。(2)

1 \leq 2 < 2

，用第二段：

f (2) = (2)^{2} + 1 = 3

，正確。(3)

9 < 10 < 16

，所以

3 < 10 < 4

，不在定義的那一段裡；減

4

後

- 1 < 10 - 4 < 0

，用第一段：

f (10) = f (10 - 4) = 3 (10 - 4) - 1 = 310 - 13

。它與

9 - 210

相等的條件是

510 = 22

，平方後

250 \neq = 484

，所以不相等，錯誤。(4)

f (5) = f (1)

，而

1 \leq 1 < 2

用第二段：

f (1) = 1^{2} + 1 = 2 \neq = - 1

，錯誤。(5)

f (20) = f (20 - 4 \times 5) = f (0) = 3 \times 0 - 1 = - 1

，正確。選 (1)(2)(5)。

(3) 的

9 - 210

是把

10

直接代進第三段

- 2 x + 9

的結果，但第三段只管

2 \leq x < 3

，

10 \approx 3.16

已經超出去了。(4) 的

- 1

則是把

5

減

4

得

1

之後誤用第一段；

x = 1

屬於第二段（第一段是

x < 1

）。

第 4 題(1)

x = 1

滿足

x \geq 1

，用上面的式子：

f (1) = 1^{2} + 2 = 3

，正確。(2)

x

靠近

0

時

x < 1

，

f (x) = x + 3

，極限為

0 + 3 = 3 \neq = 2

，錯誤。(3)

x

靠近

- 1

時

x < 1

，

f (x) = x + 3

，極限為

- 1 + 3 = 2

，正確。(4)

x

靠近

2

時

x \geq 1

，

f (x) = x^{2} + 2

，極限為

4 + 2 = 6 \neq = 5

，錯誤。(5)

x = 1

是分界點，要分左右看：左極限

x \to 1^{-} lim (x + 3) = 4

，右極限

x \to 1^{+} lim (x^{2} + 2) = 3

，左、右極限不相等，

x \to 1 lim f (x)

不存在，不會等於

f (1)

，錯誤。選 (1)(3)。

(5) 其實是在問

f

在

x = 1

是否連續。右極限等於

f (1) = 3

，但左極限是

4

，圖形在

x = 1

斷開。

分段函數求值，先確認自變數落在哪一段；求極限時，不在分界點就用附近那一段的式子，在分界點要左、右極限分開算。

03多選第 5～6 題（卷面多選第 3～4 題）：數列的一般項與極限

第 5 題奇數項：

a_{1} = 3

，

a_{3} = 1

，

a_{5} = \frac{1}{3}

，

a_{7} = \frac{1}{9}

，

a_{9} = \frac{1}{27}

，

a_{11} = \frac{1}{81}

。偶數項：

a_{2} = 2

，

a_{4} = 1

，

a_{6} = \frac{1}{2}

，

a_{8} = \frac{1}{4}

，

a_{10} = \frac{1}{8}

。(1)

a_{5} = \frac{1}{3} < a_{6} = \frac{1}{2}

，所以

a_{5} > a_{6}

不成立，錯誤。(2)

\frac{a _{10}}{a _{11}} = \frac{1}{8} \times 81 = \frac{81}{8} = 10.125 > 10

，正確。(3) 奇數項

3 (\frac{1}{3})^{k - 1}

與偶數項

2 (\frac{1}{2})^{k - 1}

的公比絕對值都小於

1

，兩部分都趨近

0

，所以整個數列趨近

0

，正確。(4) 設

k

為正整數。

\frac{a _{2 k}}{a _{2 k - 1}} = \frac{2 ( \frac{1}{2} ) ^{k - 1}}{3 ( \frac{1}{3} ) ^{k - 1}} = \frac{2}{3} (\frac{3}{2})^{k - 1}

，公比

\frac{3}{2} > 1

，會越來越大、沒有極限；所以

\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}

不收斂，錯誤。(5) 前

100

項是奇數項

50

項加偶數項

50

項：奇數項的和

\frac{3 ( 1 - ( \frac{1}{3} ) ^{50} )}{1 - \frac{1}{3}} < \frac{9}{2}

，偶數項的和

\frac{2 ( 1 - ( \frac{1}{2} ) ^{50} )}{1 - \frac{1}{2}} < 4

，總和小於

\frac{9}{2} + 4 = 8.5 < 9

，錯誤。選 (2)(3)。

(4) 的比值分兩種：由偶數項到下一個奇數項，

\frac{a _{2 k + 1}}{a _{2 k}} = \frac{3}{4} (\frac{2}{3})^{k}

趨近

0

；由奇數項到下一個偶數項的比值卻越來越大。只看前一種會誤選。(5) 就算加到無窮多項，和也只是

\frac{9}{2} + 4 = 8.5

。

第 6 題先算前幾項：

a_{2} = \frac{3}{1} a_{1} = 3

，

a_{3} = \frac{5}{3} a_{2} = 5

，

a_{4} = \frac{7}{5} a_{3} = 7

。一般項用連乘：

a_{n} = a_{1} \times \frac{3}{1} \times \frac{5}{3} \times \frac{7}{5} \times \dots \times \frac{2 n - 1}{2 n - 3}

，前一個分數的分子與後一個分數的分母相消，只剩

a_{n} = 2 n - 1

。(1)

a_{2} = 3

，正確。(2)

a_{4} = 7 \neq = 9

，錯誤。(3)

1, 3, 5, 7, \dots

相鄰兩項的比

3, \frac{5}{3}, \frac{7}{5}

不相同，不是等比數列（是公差

2

的等差數列），錯誤。(4) 前

20

項是首項

1

、末項

39

的等差數列，和為

\frac{20 \times ( 1 + 39 )}{2} = 400

，正確。(5)

\frac{a _{n}}{n} = \frac{2 n - 1}{n} = 2 - \frac{1}{n}

，趨近

2

，正確。選 (1)(4)(5)。

(2) 的

9

是

a_{5}

。遞迴式的係數

\frac{2 n + 1}{2 n - 1}

每一項都不同，所以不是等比數列；係數是固定常數時才是。

遞迴式是「後項等於前項乘上一個與

n

有關的分數」時，把各式連乘，中間會相消；兩個子數列各自收斂到同一個數，整個數列才收斂。

04填充第 7～8 題（卷面填充第 1～2 題）：含絕對值與高斯符號的極限

第 7 題先看

x

靠近

2

時絕對值裡面的正負。

x = 2

時

x^{2} + 3 x - 11 = 4 + 6 - 11 = - 1 < 0

，所以在

2

的附近

x^{2} + 3 x - 11 < 0

，

x^{2} + 3 x - 11 = - (x^{2} + 3 x - 11)

；又

x > 0

，

∣ x ∣ = x

。分子

= - (x^{2} + 3 x - 11) - 1 = - x^{2} - 3 x + 10 = - (x + 5) (x - 2)

，分母

= x - 2

。

x \neq = 2

時約去

x - 2

，原式

= - (x + 5)

，所以極限為

- (2 + 5) = - 7

。

若直接把絕對值拿掉寫成

x^{2} + 3 x - 11 - 1 = x^{2} + 3 x - 12

，代

x = 2

得

- 2

而分母趨近

0

，會誤以為極限不存在。代入後分子、分母都是

0

，才是可以約分的型。

第 8 題用題目給的不等式

\frac{1}{x} - 1 < [\frac{1}{x}] \leq \frac{1}{x}

，各邊同乘

x

，要分正負。

x > 0

時不等號方向不變：

1 - x < x [\frac{1}{x}] \leq 1

；

x \to 0^{+}

時

1 - x

趨近

1

，由夾擠定理，右極限為

1

。

x < 0

時不等號方向相反：

1 \leq x [\frac{1}{x}] < 1 - x

；

x \to 0^{-}

時

1 - x

也趨近

1

，由夾擠定理，左極限為

1

。左、右極限都是

1

，所以

x \to 0 lim (x \times [\frac{1}{x}]) = 1

。

[\frac{1}{x}]

本身在

x \to 0

時沒有極限，不能寫成「

0

乘以某數等於

0

」。驗算：

x = 0.3

時

[\frac{1}{x}] = 3

，乘積

0.9

；

x = - 0.3

時

[\frac{1}{x}] = - 4

，乘積

1.2

；

x

越接近

0

，乘積越接近

1

。

絕對值先判斷該點附近裡面的正負再拿掉；高斯符號用「

t - 1 < [t] \leq t

」夾住，乘上負數時不等號要反向。

05填充第 9～12 題（卷面填充第 3～6 題）：無窮等比級數、等差數列、由極限反求係數

第 9 題先把循環小數化成分數。

0.0 \overline{3} = \frac{1}{10} \times 0. \overline{3} = \frac{1}{10} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{30}

，所以第二項

0.5 \overline{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{30} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15}

。

0.0 \overline{6} = \frac{1}{10} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{15}

，所以第三項

0.2 \overline{6} = \frac{1}{5} + \frac{1}{15} = \frac{4}{15}

。公比

r = \frac{4}{15} \div \frac{8}{15} = \frac{1}{2}

，首項

= \frac{8}{15} \div \frac{1}{2} = \frac{16}{15}

。

∣ r ∣ < 1

，級數收斂，和為

\frac{\frac{16}{15}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{32}{15}

。

循環節只有最後一位：

0.5 \overline{3} = 0.5333 \dots

、

0.2 \overline{6} = 0.2666 \dots

，不是

0. \overline{53}

、

0. \overline{26}

。和要從首項算起，別把第二項當首項。

第 10 題等差數列中

a_{2} + a_{6} = 2 a_{4}

，所以

a_{2} + a_{4} + a_{6} = 3 a_{4} = 186

，

a_{4} = 62

；

a_{3} + a_{7} = 2 a_{5} = 110

，

a_{5} = 55

。公差

d = a_{5} - a_{4} = - 7

，首項

a_{1} = a_{4} - 3 d = 62 + 21 = 83

。前

n

項和

s_{n} = \frac{n [ 2 \times 83 + ( n - 1 ) \times ( - 7 ) ]}{2} = \frac{n ( 173 - 7 n )}{2} = \frac{- 7 n ^{2} + 173 n}{2}

。所以

\frac{s _{n}}{n ^{2}} = \frac{- 7 + \frac{173}{n}}{2}

，

n \to \infty

時趨近

- \frac{7}{2}

。

s_{n}

是

n

的二次式，二次項係數是公差的一半，所以這個極限一定是

\frac{d}{2}

，與首項無關。公差是負的，答案的負號別漏。

第 11 題

x \to 2

時分子

x^{2} + x - 6

趨近

0

。若分母不趨近

0

，極限會是

0

而不是

5

；所以分母在

x = 2

的值必須是

0

：

4 + 2 a + b = 0

。於是分母有因式

x - 2

，設

x^{2} + a x + b = (x - 2) (x - c)

。分子

x^{2} + x - 6 = (x + 3) (x - 2)

，

x \neq = 2

時約去

x - 2

：

x \to 2 lim \frac{x + 3}{x - c} = \frac{5}{2 - c} = 5

，得

2 - c = 1

，

c = 1

。分母

= (x - 2) (x - 1) = x^{2} - 3 x + 2

，所以

(a, b) = (- 3, 2)

。

驗算：

\frac{x ^{2} + x - 6}{x ^{2} - 3 x + 2} = \frac{( x + 3 ) ( x - 2 )}{( x - 1 ) ( x - 2 )}

，約分後代

x = 2

得

\frac{5}{1} = 5

。

c

不可以是

2

（那樣分母有重根，約分後分母仍趨近

0

，極限不存在）。

第 12 題無窮等比級數的和是

\frac{首項}{1 - 公比}

（公比的絕對值小於

1

）。由題意

\frac{a}{1 - r} = 5

，

\frac{a}{1 - 3 r} = 7

，即

a = 5 (1 - r) = 7 (1 - 3 r)

。展開

5 - 5 r = 7 - 21 r

，

16 r = 2

，

r = \frac{1}{8}

，

a = 5 \times \frac{7}{8} = \frac{35}{8}

。檢查：

∣ r ∣ = \frac{1}{8} < 1

，

∣3 r ∣ = \frac{3}{8} < 1

，兩個級數確實都收斂。公比為

2 r = \frac{1}{4}

的級數和為

\frac{\frac{35}{8}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{35}{8} \times \frac{4}{3} = \frac{35}{6}

。

答案不是

5

與

7

的平均

6

：和與公比不是一次的關係，要把

a

與

r

解出來。

無窮等比級數的題目，先找出首項與公比，確認公比的絕對值小於

1

，再代「首項除以（

1

減公比）」。

06混合題第 13～14 題（卷面混合題第 1 題）：分割著色的面積

第 13 題第 1 步驟：面積

32

的正方形分成

4

個面積

8

的小正方形，塗黑

1

個，

S_{1} = 8

；剩下

3

個白色正方形。第 2 步驟：這

3

個白色正方形（每個面積

8

）各分成

4

個面積

2

的正方形，各塗黑

1

個，新塗的面積是

3 \times 2 = 6

，

S_{2} = 8 + 6 = 14

；剩下

3 \times 3 = 9

個白色正方形。第 3 步驟：這

9

個白色正方形（每個面積

2

）各分成

4

個面積

\frac{1}{2}

的正方形，各塗黑

1

個，新塗的面積是

9 \times \frac{1}{2} = \frac{9}{2}

，

S_{3} = 14 + \frac{9}{2} = \frac{37}{2}

。

S_{n}

是累計的總面積，不是第

n

步驟新塗的那一部分；第 3 步驟新塗的是

\frac{9}{2}

，

S_{3}

要把前兩步的

14

加進來。

第 14 題每做一個步驟，白色正方形的個數變成

3

倍，每個的面積變成

\frac{1}{4}

倍，所以每一步新塗黑的面積是前一步的

\frac{3}{4}

倍：

8, 6, \frac{9}{2}, \dots

，是首項

8

、公比

\frac{3}{4}

的等比數列。公比的絕對值小於

1

，所以無窮多個黑色正方形的面積總和為

\frac{8}{1 - \frac{3}{4}} = 32

。

另一種看法：每一步都把當時白色的部分塗掉

\frac{1}{4}

，白色面積變成

\frac{3}{4}

倍，第

n

步驟後白色面積是

32 (\frac{3}{4})^{n}

，趨近

0

；所以

S_{n} = 32 - 32 (\frac{3}{4})^{n}

趨近

32

，正好是整個正方形的面積。代

n = 1, 2, 3

得

8, 14, \frac{37}{2}

，與上一小題一致。

圖形反覆分割的題目，先數「個數變幾倍」與「每個的面積變幾倍」，兩者相乘就是公比。

07證明題第 15 題（卷面證明題第 1 題）：用連續性證明方程式有解

第 15 題做法一（轉換為多項式方程式）：分母

x^{2} + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0

，恆不為

0

，所以

f (x) = x

等價於

x^{2} + 1 = x (x^{2} + x + 1)

，即

x^{3} + x - 1 = 0

。設

g (x) = x^{3} + x - 1

，它是多項式函數，在

0 \leq x \leq 1

連續，且

g (0) = - 1 < 0

，

g (1) = 1 > 0

，兩端的函數值異號。由連續函數的中間值性質（勘根定理），存在一數

a

滿足

0 < a < 1

且

g (a) = 0

，也就是

a^{2} + 1 = a (a^{2} + a + 1)

；兩邊同除以不為

0

的

a^{2} + a + 1

，得

f (a) = a

。得證。

做法二（有理函數的連續性）：

f (x)

的分子、分母都是多項式，且分母恆不為

0

，所以

f

在所有實數上連續，

h (x) = f (x) - x

也連續。

h (0) = f (0) - 0 = 1 > 0

，

h (1) = f (1) - 1 = \frac{2}{3} - 1 = - \frac{1}{3} < 0

，連續函數在兩端異號，中間一定有一點

a

（

0 < a < 1

）使

h (a) = 0

，即

f (a) = a

。兩種做法都要寫出「函數連續」與「兩端函數值異號」這兩個條件，缺一個推論就不成立。

要證「某區間內有一數滿足等式」，把等式移項成一個連續函數，檢查區間兩端的函數值異號。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

建國中學 111 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 1 題要先用週期把自變數移回負一到三之間，再看落在哪一段，根號十與五這兩個選項最容易代錯段；多選第 3 題相鄰兩項的比值要分奇數項到偶數項、偶數項到奇數項兩種來看，其中一種會越來越大；填充第 1 題要先判斷二附近絕對值裡面是負的再拿掉絕對值；填充第 2 題乘上負數時不等號要反向，左右兩邊分開夾。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自建國中學 111 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

建國中學 111 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選第 1～2 題：合成函數、由分式的極限反求數列的極限

02多選第 3～4 題（卷面多選第 1～2 題）：分段函數的求值與極限

03多選第 5～6 題（卷面多選第 3～4 題）：數列的一般項與極限

04填充第 7～8 題（卷面填充第 1～2 題）：含絕對值與高斯符號的極限

05填充第 9～12 題（卷面填充第 3～6 題）：無窮等比級數、等差數列、由極限反求係數

06混合題第 13～14 題（卷面混合題第 1 題）：分割著色的面積

07證明題第 15 題（卷面證明題第 1 題）：用連續性證明方程式有解

同一次段考的其他學校

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建國中學 111 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

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建國中學 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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