段考詳解範圍：機率分布（離散型隨機變數、期望值、變異數與標準差、二項分布、幾何分布）

高師大附中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 高師大附中 111 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 高師大附中 111 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 4 題比較相鄰兩項才能確定最大機率在 33，而且大於 22 的是變異數不是標準差；填充第 7 題（本頁第 12 題）第 6 次已固定是成功，只排前 5 次；填充第 8 題（第 13 題）前面失敗的次數是 k 減 1；填充第 11 題（第 16 題）相鄰兩項的比值剛好等於 1，答案有兩個。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

多選題 5 題（30 分，每題 6 分，計分 6−4−2−0）、填充題 14 題（70 分，每格 5 分）；測驗時間 80 分鐘。原卷兩大題各自從 1 編號，本頁依序連續編為第 1～19 題（填充 1～14 是第 6～19 題）。答案已與學校公布的答案逐題核對，19 題全部一致。

一、多選題：每題全對得 6 分，只錯一個選項可得 4 分，錯兩個選項可得 2 分，錯兩個以上選項不給分，未作答不計分，共 30 分。

丟一枚均勻硬幣

10

次，恰出現

n

次正面的機率記為

p_{n}

，下列選項何者正確？

(1) $p_{5} = \frac{1}{2}$
(2) $p_{2} = p_{8}$
(3) $p_{4} < p_{9}$
(4) $P (X \leq 4) = P (X \geq 6)$ （卷面沒有說明 $X$ ，依題意為出現正面的次數）
(5) $p_{0}, p_{1}, p_{2}, \dots, p_{10}$ 的算術平均數為 $\frac{1}{11}$

設隨機變數

X

的機率分布表如下：

X P (X = x) 0 \frac{1}{4} 1 a 2 b 3 \frac{1}{6}

設

X

的期望值

E (X) = \frac{4}{3}

。下列選項何者正確？

(1) $a + b = \frac{7}{12}$
(2) $a = \frac{1}{4}$
(3) $b = \frac{1}{3}$
(4) $E (X^{2}) = \frac{17}{6}$
(5) $Var (X) = \frac{17}{18}$

籤筒中有若干支籤，其中有

9

支為有獎籤，籤筒中每支籤被取的機會均等。今從籤筒中每次取

1

支籤，取後放回，直到取出有獎籤停止，令隨機變數

X

表示取籤的次數，已知

X

的變異數是

30

，則下列選項何者正確？

(1) 每次取出有獎籤的機率為 $\frac{1}{5}$
(2) 籤筒中共有 $54$ 支籤
(3) $P (X = 3) = \frac{16}{125}$
(4) $P (X \geq 3) = \frac{25}{36}$
(5) $E (X) = 5$

一袋中有

2

顆紅球與

4

顆白球，今自袋中每次取出一球，取出後放回，每次每顆球被取出的機會均等。今取球

100

次，隨機變數

X

表示取到紅球的個數，下列選項何者正確？

(1) $X$ 的可能值有 $101$ 個
(2) $P (X = 20) = P (X = 80)$
(3) $X = 33$ 時，機率最大
(4) $E (X) = 33$
(5) 標準差大於 $22$

袋中有

10

個球，編號

1

號的球有

1

個，編號

2

號的球有

2

個，編號

3

號的球有

3

個，編號

4

號的球有

4

個，每球被取的機會均等。今從袋中任取一球，遊戲一：若取出編號為

k

號的球，可得

3 k + 10

元，此時令

X

表所得的金額。遊戲二：若取出編號為

k

號的球，可得

100 - 2 k

元，此時令

Y

表所得的金額。下列選項何者正確？

(1) $E (X) = 20$
(2) $Var (X) = 9$
(3) $E (Y) = 94$
(4) $Var (Y) = 2$
(5) $σ (Y) = 2$

二、填充題：答案全對才給分。每格 5 分，共 70 分。

若隨機變數

X

的可能值為

1

、

2

、

3

、

4

，其出現的機率

P (X = k)

與

\frac{1}{k}

成正比，則

P (X = 2)

的值為 ____。（請化為最簡分數）

袋中有大小相同，編號為

1, 2, 3, 4, 5

的號碼球各

1

顆。每次從袋中取出一球，觀察取到的號碼後再放回袋中。若每次取球都為獨立事件，且每球被取到的機率均等，共取球

5

次，則取到

2

次奇數號碼球的機率為 ____（請化為最簡分數）。

保險公司出售一年期的住宅房屋火險，設其保險額為

500

萬元，保險費為

10000

元。依過去資料顯示，住宅房屋發生火災的機率為

0.0015

，則保險公司利潤的期望值為 ____ 元。

右圖是感應車的路線圖，車子從上方沿黑線往下方行駛，但不能往上行駛，且到每個岔路時，車子會隨機地向右或向左行駛，最後會到達終點甲、乙、丙、丁或戊。設車子到每個岔路向右走的機率是向左走的

2

倍，則車子到終點丁的機率為 ____（請化為最簡分數）。

載入中...

一人擲三顆均勻的骰子，若恰出現

1

個

6

點可得

5

元，恰出現

2

個

6

點可得

10

元，出現

3

個

6

點可得

15

元，為使賭局公平，若未出現

6

點，此人應賠 ____ 元。（請化為最簡分數）

袋中共有

10

張卡片，其中

4

張卡片寫上

10

，

6

張卡片寫上

5

，每張卡片被取到的機會均等。今從袋中任取

2

張，即可得兩張卡片上數字總和的錢數（單位：元），令

X

表獲得的錢數，則

X

的變異數為 ____（請化為最簡分數）。

擲一公正的骰子

6

次，則在第

6

次出現第

4

次點數是

3

的倍數的機率為 ____（請化為最簡分數）。

設大雄射飛鏢時射中靶面的機率是

\frac{1}{4}

。已知他連續射擊了

k

次（

k

為自然數）才射中靶面的機率小於

0.01

，則

k

的最小值為 ____。

已知隨機變數

X

，且

Y = - 3 X + 4

、

Z = - 3 X + 9

。已知

E (Y) = - 5

，

Var (Z) = 18

，若

X

的期望值

E (X) = m

，標準差

σ (X) = n

，則數對

(m, n) =

____。

甲、乙兩人各從

1

到

9

的整數中任選

3

個相異數。設隨機變數

X

表示兩人所選的數字中相同的個數，則

P (X < 2)

的值為 ____（請化為最簡分數）。

同時擲兩顆公正的骰子

35

次，設隨機變數

X

表示

35

次中擲出點數和等於

8

的次數，則

X

取值為 ____ 時，機率最大。

小明在農場中栽種了

n

株植物，各株植物存活與否互不影響，且存活的機率均為

p

，設

X

表存活的株數，今已知

X

的期望值為

900

，標準差為

24

，則數對

(n, p) =

____。

某電視臺舉辦抽獎遊戲，現場準備的抽獎箱裡放置了四個分別標有

2000

元、

1600

元、

1200

元、

0

元獎額的球，每球被取到的機會相同。參加者自行從抽獎箱裡摸取一球（取後即放回），主辦單位即贈送與此球上數字等額的獎金，並規定抽取到

0

元的人可以再摸一次，但是所得獎金折半（若再摸到

0

就沒有第三次機會），則每位參加者可得獎金的期望值是 ____ 元。

一次同時丟擲二枚相同的不公正的硬幣，重複丟擲

100

次，已知同時出現二正面的次數的期望值是

64

次，如果一位同學重新丟擲這兩枚不公正的硬幣

50

次，則出現一正面一反面次數的期望值為 ____ 次。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)(4)(5)

第 2 題(1)(4)

第 3 題(2)(4)

第 4 題(1)(3)

第 5 題(2)(3)

第 6 題

\frac{6}{25}

第 7 題

\frac{144}{625}

第 8 題

2500

第 9 題

\frac{32}{81}

第 10 題

\frac{108}{25}

第 11 題

\frac{32}{3}

第 12 題

\frac{40}{729}

第 13 題

13

第 14 題

(3, 2)

第 15 題

\frac{65}{84}

第 16 題

4

或

5

第 17 題

(2500, 0.36)

第 18 題

1350

第 19 題

16

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1、2（第 1、2 題）：二項分布的對稱、由期望值定出分布表

第 1 題答案 (2)(4)(5)。正面次數服從二項分布（

n = 10

、

p = \frac{1}{2}

），

p_{n} = C_{n}^{10} (\frac{1}{2})^{10} = \frac{C _{n}^{10}}{1024}

。(1) 錯：

p_{5} = \frac{252}{1024} = \frac{63}{256}

，不是

\frac{1}{2}

。(2) 對：

C_{2}^{10} = C_{8}^{10} = 45

，所以

p_{2} = p_{8}

。(3) 錯：

C_{4}^{10} = 210

、

C_{9}^{10} = 10

，

p_{4} > p_{9}

。(4) 對：把

X

看成正面次數，由

p_{n} = p_{10 - n}

得

P (X \leq 4) = p_{0} + p_{1} + p_{2} + p_{3} + p_{4} = p_{10} + p_{9} + p_{8} + p_{7} + p_{6} = P (X \geq 6)

。(5) 對：

p_{0} + p_{1} + \dots + p_{10} = 1

，共

11

個數，算術平均數是

\frac{1}{11}

。

選項 (4) 的

X

在卷面沒有另外說明，這裡照題意當作出現正面的次數；學校公布的答案也把 (4) 算作正確。

第 2 題答案 (1)(4)。機率總和為

1

：

a + b = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{7}{12}

；(1) 對。期望值：

0 \times \frac{1}{4} + a + 2 b + 3 \times \frac{1}{6} = \frac{4}{3}

，得

a + 2 b = \frac{5}{6}

。兩式相減得

b = \frac{5}{6} - \frac{7}{12} = \frac{1}{4}

，

a = \frac{7}{12} - \frac{1}{4} = \frac{1}{3}

；(2)、(3) 都錯（兩個值對調了）。(4) 對：

E (X^{2}) = 1 \times \frac{1}{3} + 4 \times \frac{1}{4} + 9 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3} + 1 + \frac{3}{2} = \frac{17}{6}

。(5) 錯：

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = \frac{17}{6} - \frac{16}{9} = \frac{19}{18}

。

分布表裡有兩個未知數，就用「機率總和為

1

」與「期望值」兩個條件聯立。

02多選 3～5（第 3～5 題）：幾何分布、二項分布、一次變換

第 3 題答案 (2)(4)。設每次取出有獎籤的機率為

p

，

X

服從幾何分布，變異數

\frac{1 - p}{p ^{2}} = 30

，即

30 p^{2} + p - 1 = 0

，

(6 p - 1) (5 p + 1) = 0

，取正值

p = \frac{1}{6}

；(1) 錯。(2) 對：籤的總數是

9 \div \frac{1}{6} = 54

支。(3) 錯：

P (X = 3) = (\frac{5}{6})^{2} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{216}

。(4) 對：

X \geq 3

就是前兩次都沒取到有獎籤，

P (X \geq 3) = (\frac{5}{6})^{2} = \frac{25}{36}

。(5) 錯：

E (X) = \frac{1}{p} = 6

。

P (X \geq 3)

不必把第

3

次以後的機率逐項加起來，只要「前

2

次都失敗」。

第 4 題答案 (1)(3)。每次取到紅球的機率是

\frac{2}{6} = \frac{1}{3}

，

X

服從二項分布（

n = 100

、

p = \frac{1}{3}

），

P (X = k) = C_{k}^{100} (\frac{1}{3})^{k} (\frac{2}{3})^{100 - k}

。(1) 對：

X

可取

0, 1, \dots, 100

，共

101

個值。(2) 錯：

P (X = 20) = \frac{C _{20}^{100} 2 ^{80}}{3 ^{100}}

，

P (X = 80) = \frac{C _{80}^{100} 2 ^{20}}{3 ^{100}}

，而

C_{20}^{100} = C_{80}^{100}

，所以前者是後者的

2^{60}

倍。(3) 對：

\frac{P ( X = k + 1 )}{P ( X = k )} = \frac{100 - k}{k + 1} \times \frac{1}{2}

，它大於

1

相當於

100 - k > 2 k + 2

，即

k < \frac{98}{3} \approx 32.7

；所以機率一路增加到

X = 33

，之後遞減，

X = 33

時最大。(4) 錯：

E (X) = 100 \times \frac{1}{3} = \frac{100}{3}

。(5) 錯：變異數是

100 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{200}{9} \approx 22.2

，標準差是

\frac{10 2}{3} \approx 4.71

，沒有大於

22

。

(2) 只有在成功機率是

\frac{1}{2}

時才會左右對稱；(5) 大於

22

的是變異數，不是標準差。

第 5 題答案 (2)(3)。取到

k

號球的機率是

\frac{k}{10}

（

k = 1, 2, 3, 4

）。

E (k) = \frac{1 + 4 + 9 + 16}{10} = 3

，

E (k^{2}) = \frac{1 + 8 + 27 + 64}{10} = 10

，

Var (k) = 10 - 3^{2} = 1

。遊戲一

X = 3 k + 10

：

E (X) = 3 \times 3 + 10 = 19

，

Var (X) = 3^{2} \times 1 = 9

；(1) 錯、(2) 對。遊戲二

Y = 100 - 2 k

：

E (Y) = 100 - 2 \times 3 = 94

，

Var (Y) = (- 2)^{2} \times 1 = 4

，

σ (Y) = 2

；(3) 對、(4) 錯、(5) 錯。

Var (ak + b) = a^{2} Var (k)

：係數要平方（負號平方後消失），常數

b

不影響。

先認出是哪一種分布（重複固定次數是二項分布、做到成功為止是幾何分布），期望值與變異數就有公式可用；不是這兩種的，就把分布表列出來。

03填充 1～4（第 6～9 題）：定出分布、二項分布的機率、期望值

第 6 題設

P (X = k) = \frac{c}{k}

。機率總和為

1

：

c (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) = c \times \frac{25}{12} = 1

，所以

c = \frac{12}{25}

。

P (X = 2) = \frac{c}{2} = \frac{6}{25}

。

第 7 題

5

顆球中奇數號有

1, 3, 5

三顆，每次取到奇數號的機率是

\frac{3}{5}

。

5

次中恰

2

次奇數號的機率是

C_{2}^{5} (\frac{3}{5})^{2} (\frac{2}{5})^{3} = 10 \times \frac{9}{25} \times \frac{8}{125} = \frac{720}{3125} = \frac{144}{625}

。

這裡照「恰好

2

次」計算，與學校公布的答案相同。

第 8 題公司每張保單先收保險費

10000

元。沒有發生火災（機率

0.9985

）時利潤是

10000

元；發生火災（機率

0.0015

）時要賠

5000000

元，利潤是

10000 - 5000000

元。期望值

= 10000 - 5000000 \times 0.0015 = 10000 - 7500 = 2500

元。

第 9 題向右走的機率是向左走的

2

倍，兩者相加為

1

，所以向右

\frac{2}{3}

、向左

\frac{1}{3}

。由圖，車子從最上面到最下面一排共經過

4

個岔路，每個岔路選一次方向；

4

次中向右

r

次，就到由左數來第

r + 1

個終點。丁是由左數來第

4

個，要向右

3

次、向左

1

次：機率

= C_{3}^{4} (\frac{2}{3})^{3} (\frac{1}{3}) = 4 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{3} = \frac{32}{81}

。

左右以圖面的左右為準（甲在最左、戊在最右）。到丁的走法有

4

條（哪一個岔路向左），不要只算一條。

04填充 5～8（第 10～13 題）：公平賭局、變異數、第幾次才成功

第 10 題三顆骰子中

6

點的個數服從二項分布（

n = 3

、

p = \frac{1}{6}

）：

6 點個數 機率 0 \frac{125}{216} 1 \frac{75}{216} 2 \frac{15}{216} 3 \frac{1}{216}

設未出現

6

點時賠

x

元。公平就是所得的期望值為

0

：

5 \times \frac{75}{216} + 10 \times \frac{15}{216} + 15 \times \frac{1}{216} - x \times \frac{125}{216} = 0

，即

375 + 150 + 15 = 125 x

，

x = \frac{540}{125} = \frac{108}{25}

。

第 11 題

10

張取

2

張共

C_{2}^{10} = 45

種。兩張都是

5

：

C_{2}^{6} = 15

種，

X = 10

；一張

5

一張

10

：

6 \times 4 = 24

種，

X = 15

；兩張都是

10

：

C_{2}^{4} = 6

種，

X = 20

。

X P 10 \frac{15}{45} 15 \frac{24}{45} 20 \frac{6}{45}

E (X) = \frac{150 + 360 + 120}{45} = 14

。

Var (X) = (10 - 14)^{2} \times \frac{15}{45} + (15 - 14)^{2} \times \frac{24}{45} + (20 - 14)^{2} \times \frac{6}{45} = \frac{240 + 24 + 216}{45} = \frac{480}{45} = \frac{32}{3}

。

兩張是一次取出（不放回），不是二項分布，要把分布表列出來算。

第 12 題每次擲出

3

的倍數（

3

或

6

）的機率是

\frac{1}{3}

。「第

6

次出現第

4

次」表示前

5

次中恰有

3

次是

3

的倍數，而且第

6

次也是：

C_{3}^{5} (\frac{1}{3})^{3} (\frac{2}{3})^{2} \times \frac{1}{3} = 10 \times \frac{4}{243} \times \frac{1}{3} = \frac{40}{729}

。

第

6

次已經固定是成功，組合數只排前

5

次，是

C_{3}^{5}

不是

C_{4}^{6}

。

第 13 題射了

k

次才射中，表示前

k - 1

次都沒中、第

k

次射中，機率是

(\frac{3}{4})^{k - 1} \times \frac{1}{4}

。要它小於

0.01

，即

(\frac{3}{4})^{k - 1} < 0.04

。逐次算：

(\frac{3}{4})^{4} = \frac{81}{256} \approx 0.3164

，

(\frac{3}{4})^{8} \approx 0.1001

，

(\frac{3}{4})^{11} \approx 0.0422

，

(\frac{3}{4})^{12} \approx 0.0317

。所以

k - 1

最小是

12

，

k

的最小值是

13

。

驗算：

k = 12

時機率約

0.0422 \times 0.25 \approx 0.0106

，還沒有小於

0.01

；

k = 13

時約

0.0079

。

「第幾次才成功」的題目，先把最後一次固定成成功，再處理前面幾次。

05填充 9～11（第 14～16 題）：一次變換、計數求機率、機率最大的取值

第 14 題

E (Y) = - 3 E (X) + 4 = - 5

，所以

E (X) = 3

，

m = 3

。

Var (Z) = (- 3)^{2} Var (X) = 18

，所以

Var (X) = 2

，

σ (X) = 2

，

n = 2

。

(m, n) = (3, 2)

。

題目問的是標準差，變異數

2

要再開根號。

第 15 題先固定甲選的

3

個數，乙從

9

個數選

3

個共

C_{3}^{9} = 84

種。

X = 0

：乙的

3

個數全在甲沒選的

6

個數裡，

C_{3}^{6} = 20

種。

X = 1

：甲選的

3

個數中挑

1

個、其餘

6

個數中挑

2

個，

C_{1}^{3} \times C_{2}^{6} = 3 \times 15 = 45

種。

P (X < 2) = \frac{20 + 45}{84} = \frac{65}{84}

。

X < 2

是

X = 0

或

X = 1

，不含

X = 2

。

第 16 題兩顆骰子點數和等於

8

有

(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)

共

5

種，機率

\frac{5}{36}

。

X

服從二項分布（

n = 35

、

p = \frac{5}{36}

）。比較相鄰兩項：

\frac{P ( X = k + 1 )}{P ( X = k )} = \frac{35 - k}{k + 1} \times \frac{5}{31}

。這個比值大於

1

相當於

175 - 5 k > 31 k + 31

，即

k < 4

；等於

1

相當於

k = 4

。所以機率由

X = 0

增加到

X = 4

，

P (X = 5) = P (X = 4)

，之後遞減；機率最大的是

X = 4

或

X = 5

（兩個一樣大）。

比值剛好等於

1

時有兩個取值並列最大，兩個都要寫。

06填充 12～14（第 17～19 題）：反求二項分布、分段算期望值

第 17 題

X

服從二項分布，

n p = 900

，變異數

n p (1 - p) = 2 4^{2} = 576

。兩式相除得

1 - p = \frac{576}{900} = 0.64

，

p = 0.36

，

n = \frac{900}{0.36} = 2500

。

(n, p) = (2500, 0.36)

。

題目給的是標準差，要先平方成變異數再代公式。

第 18 題第一次摸：摸到

2000

、

1600

、

1200

、

0

元的機率各

\frac{1}{4}

。摸到

0

元（機率

\frac{1}{4}

）時再摸一次、獎金折半，可得

1000

、

800

、

600

、

0

元，機率各

\frac{1}{4}

，這一次的期望值是

\frac{1000 + 800 + 600 + 0}{4} = 600

元。所以期望值

= \frac{2000 + 1600 + 1200}{4} + \frac{1}{4} \times 600 = 1200 + 150 = 1350

元。

第 19 題設每枚硬幣出現正面的機率為

p

。丟一次同時出現二正面的機率是

p^{2}

，

100

次中出現的次數服從二項分布，期望值

100 p^{2} = 64

，所以

p^{2} = 0.64

，

p = 0.8

。丟一次出現一正面一反面的機率是

2 p (1 - p) = 2 \times 0.8 \times 0.2 = 0.32

，

50

次中出現次數的期望值是

50 \times 0.32 = 16

次。

一正一反有「第一枚正第二枚反」與「第一枚反第二枚正」兩種，所以要乘

2

。

二項分布的期望值是

n p

、變異數是

n p (1 - p)

；題目給其中兩個量，就能把

n

與

p

反解出來。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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上傳考卷

常見問題

高師大附中 111 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高師大附中 111 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 4 題比較相鄰兩項才能確定最大機率在 33，而且大於 22 的是變異數不是標準差；填充第 7 題（本頁第 12 題）第 6 次已固定是成功，只排前 5 次；填充第 8 題（第 13 題）前面失敗的次數是 k 減 1；填充第 11 題（第 16 題）相鄰兩項的比值剛好等於 1，答案有兩個。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高師大附中 111 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：機率分布（離散型隨機變數、期望值、變異數與標準差、二項分布、幾何分布）

高師大附中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

一、多選題：每題全對得 6 分，只錯一個選項可得 4 分，錯兩個選項可得 2 分，錯兩個以上選項不給分，未作答不計分，共 30 分。

丟一枚均勻硬幣

10

次，恰出現

n

次正面的機率記為

p_{n}

，下列選項何者正確？

(1) $p_{5} = \frac{1}{2}$
(2) $p_{2} = p_{8}$
(3) $p_{4} < p_{9}$
(4) $P (X \leq 4) = P (X \geq 6)$ （卷面沒有說明 $X$ ，依題意為出現正面的次數）
(5) $p_{0}, p_{1}, p_{2}, \dots, p_{10}$ 的算術平均數為 $\frac{1}{11}$

設隨機變數

X

的機率分布表如下：

X P (X = x) 0 \frac{1}{4} 1 a 2 b 3 \frac{1}{6}

設

X

的期望值

E (X) = \frac{4}{3}

。下列選項何者正確？

(1) $a + b = \frac{7}{12}$
(2) $a = \frac{1}{4}$
(3) $b = \frac{1}{3}$
(4) $E (X^{2}) = \frac{17}{6}$
(5) $Var (X) = \frac{17}{18}$

籤筒中有若干支籤，其中有

9

支為有獎籤，籤筒中每支籤被取的機會均等。今從籤筒中每次取

1

支籤，取後放回，直到取出有獎籤停止，令隨機變數

X

表示取籤的次數，已知

X

的變異數是

30

，則下列選項何者正確？

(1) 每次取出有獎籤的機率為 $\frac{1}{5}$
(2) 籤筒中共有 $54$ 支籤
(3) $P (X = 3) = \frac{16}{125}$
(4) $P (X \geq 3) = \frac{25}{36}$
(5) $E (X) = 5$

一袋中有

2

顆紅球與

4

顆白球，今自袋中每次取出一球，取出後放回，每次每顆球被取出的機會均等。今取球

100

次，隨機變數

X

表示取到紅球的個數，下列選項何者正確？

(1) $X$ 的可能值有 $101$ 個
(2) $P (X = 20) = P (X = 80)$
(3) $X = 33$ 時，機率最大
(4) $E (X) = 33$
(5) 標準差大於 $22$

袋中有

10

個球，編號

1

號的球有

1

個，編號

2

號的球有

2

個，編號

3

號的球有

3

個，編號

4

號的球有

4

個，每球被取的機會均等。今從袋中任取一球，遊戲一：若取出編號為

k

號的球，可得

3 k + 10

元，此時令

X

表所得的金額。遊戲二：若取出編號為

k

號的球，可得

100 - 2 k

元，此時令

Y

表所得的金額。下列選項何者正確？

(1) $E (X) = 20$
(2) $Var (X) = 9$
(3) $E (Y) = 94$
(4) $Var (Y) = 2$
(5) $σ (Y) = 2$

二、填充題：答案全對才給分。每格 5 分，共 70 分。

若隨機變數

X

的可能值為

1

、

2

、

3

、

4

，其出現的機率

P (X = k)

與

\frac{1}{k}

成正比，則

P (X = 2)

的值為 ____。（請化為最簡分數）

袋中有大小相同，編號為

1, 2, 3, 4, 5

的號碼球各

1

顆。每次從袋中取出一球，觀察取到的號碼後再放回袋中。若每次取球都為獨立事件，且每球被取到的機率均等，共取球

5

次，則取到

2

次奇數號碼球的機率為 ____（請化為最簡分數）。

保險公司出售一年期的住宅房屋火險，設其保險額為

500

萬元，保險費為

10000

元。依過去資料顯示，住宅房屋發生火災的機率為

0.0015

，則保險公司利潤的期望值為 ____ 元。

2

倍，則車子到終點丁的機率為 ____（請化為最簡分數）。

載入中...

一人擲三顆均勻的骰子，若恰出現

1

個

6

點可得

5

元，恰出現

2

個

6

點可得

10

元，出現

3

個

6

點可得

15

元，為使賭局公平，若未出現

6

點，此人應賠 ____ 元。（請化為最簡分數）

袋中共有

10

張卡片，其中

4

張卡片寫上

10

，

6

張卡片寫上

5

，每張卡片被取到的機會均等。今從袋中任取

2

張，即可得兩張卡片上數字總和的錢數（單位：元），令

X

表獲得的錢數，則

X

的變異數為 ____（請化為最簡分數）。

擲一公正的骰子

6

次，則在第

6

次出現第

4

次點數是

3

的倍數的機率為 ____（請化為最簡分數）。

設大雄射飛鏢時射中靶面的機率是

\frac{1}{4}

。已知他連續射擊了

k

次（

k

為自然數）才射中靶面的機率小於

0.01

，則

k

的最小值為 ____。

已知隨機變數

X

，且

Y = - 3 X + 4

、

Z = - 3 X + 9

。已知

E (Y) = - 5

，

Var (Z) = 18

，若

X

的期望值

E (X) = m

，標準差

σ (X) = n

，則數對

(m, n) =

____。

甲、乙兩人各從

1

到

9

的整數中任選

3

個相異數。設隨機變數

X

表示兩人所選的數字中相同的個數，則

P (X < 2)

的值為 ____（請化為最簡分數）。

同時擲兩顆公正的骰子

35

次，設隨機變數

X

表示

35

次中擲出點數和等於

8

的次數，則

X

取值為 ____ 時，機率最大。

小明在農場中栽種了

n

株植物，各株植物存活與否互不影響，且存活的機率均為

p

，設

X

表存活的株數，今已知

X

的期望值為

900

，標準差為

24

，則數對

(n, p) =

____。

某電視臺舉辦抽獎遊戲，現場準備的抽獎箱裡放置了四個分別標有

2000

元、

1600

元、

1200

元、

0

元獎額的球，每球被取到的機會相同。參加者自行從抽獎箱裡摸取一球（取後即放回），主辦單位即贈送與此球上數字等額的獎金，並規定抽取到

0

元的人可以再摸一次，但是所得獎金折半（若再摸到

0

就沒有第三次機會），則每位參加者可得獎金的期望值是 ____ 元。

一次同時丟擲二枚相同的不公正的硬幣，重複丟擲

100

次，已知同時出現二正面的次數的期望值是

64

次，如果一位同學重新丟擲這兩枚不公正的硬幣

50

次，則出現一正面一反面次數的期望值為 ____ 次。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)(4)(5)

第 2 題(1)(4)

第 3 題(2)(4)

第 4 題(1)(3)

第 5 題(2)(3)

第 6 題

\frac{6}{25}

第 7 題

\frac{144}{625}

第 8 題

2500

第 9 題

\frac{32}{81}

第 10 題

\frac{108}{25}

第 11 題

\frac{32}{3}

第 12 題

\frac{40}{729}

第 13 題

13

第 14 題

(3, 2)

第 15 題

\frac{65}{84}

第 16 題

4

或

5

第 17 題

(2500, 0.36)

第 18 題

1350

第 19 題

16

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1、2（第 1、2 題）：二項分布的對稱、由期望值定出分布表

第 1 題答案 (2)(4)(5)。正面次數服從二項分布（

n = 10

、

p = \frac{1}{2}

），

p_{n} = C_{n}^{10} (\frac{1}{2})^{10} = \frac{C _{n}^{10}}{1024}

。(1) 錯：

p_{5} = \frac{252}{1024} = \frac{63}{256}

，不是

\frac{1}{2}

。(2) 對：

C_{2}^{10} = C_{8}^{10} = 45

，所以

p_{2} = p_{8}

。(3) 錯：

C_{4}^{10} = 210

、

C_{9}^{10} = 10

，

p_{4} > p_{9}

。(4) 對：把

X

看成正面次數，由

p_{n} = p_{10 - n}

得

P (X \leq 4) = p_{0} + p_{1} + p_{2} + p_{3} + p_{4} = p_{10} + p_{9} + p_{8} + p_{7} + p_{6} = P (X \geq 6)

。(5) 對：

p_{0} + p_{1} + \dots + p_{10} = 1

，共

11

個數，算術平均數是

\frac{1}{11}

。

選項 (4) 的

X

在卷面沒有另外說明，這裡照題意當作出現正面的次數；學校公布的答案也把 (4) 算作正確。

第 2 題答案 (1)(4)。機率總和為

1

：

a + b = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{7}{12}

；(1) 對。期望值：

0 \times \frac{1}{4} + a + 2 b + 3 \times \frac{1}{6} = \frac{4}{3}

，得

a + 2 b = \frac{5}{6}

。兩式相減得

b = \frac{5}{6} - \frac{7}{12} = \frac{1}{4}

，

a = \frac{7}{12} - \frac{1}{4} = \frac{1}{3}

；(2)、(3) 都錯（兩個值對調了）。(4) 對：

E (X^{2}) = 1 \times \frac{1}{3} + 4 \times \frac{1}{4} + 9 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3} + 1 + \frac{3}{2} = \frac{17}{6}

。(5) 錯：

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = \frac{17}{6} - \frac{16}{9} = \frac{19}{18}

。

分布表裡有兩個未知數，就用「機率總和為

1

」與「期望值」兩個條件聯立。

02多選 3～5（第 3～5 題）：幾何分布、二項分布、一次變換

第 3 題答案 (2)(4)。設每次取出有獎籤的機率為

p

，

X

服從幾何分布，變異數

\frac{1 - p}{p ^{2}} = 30

，即

30 p^{2} + p - 1 = 0

，

(6 p - 1) (5 p + 1) = 0

，取正值

p = \frac{1}{6}

；(1) 錯。(2) 對：籤的總數是

9 \div \frac{1}{6} = 54

支。(3) 錯：

P (X = 3) = (\frac{5}{6})^{2} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{216}

。(4) 對：

X \geq 3

就是前兩次都沒取到有獎籤，

P (X \geq 3) = (\frac{5}{6})^{2} = \frac{25}{36}

。(5) 錯：

E (X) = \frac{1}{p} = 6

。

P (X \geq 3)

不必把第

3

次以後的機率逐項加起來，只要「前

2

次都失敗」。

第 4 題答案 (1)(3)。每次取到紅球的機率是

\frac{2}{6} = \frac{1}{3}

，

X

服從二項分布（

n = 100

、

p = \frac{1}{3}

），

P (X = k) = C_{k}^{100} (\frac{1}{3})^{k} (\frac{2}{3})^{100 - k}

。(1) 對：

X

可取

0, 1, \dots, 100

，共

101

個值。(2) 錯：

P (X = 20) = \frac{C _{20}^{100} 2 ^{80}}{3 ^{100}}

，

P (X = 80) = \frac{C _{80}^{100} 2 ^{20}}{3 ^{100}}

，而

C_{20}^{100} = C_{80}^{100}

，所以前者是後者的

2^{60}

倍。(3) 對：

\frac{P ( X = k + 1 )}{P ( X = k )} = \frac{100 - k}{k + 1} \times \frac{1}{2}

，它大於

1

相當於

100 - k > 2 k + 2

，即

k < \frac{98}{3} \approx 32.7

；所以機率一路增加到

X = 33

，之後遞減，

X = 33

時最大。(4) 錯：

E (X) = 100 \times \frac{1}{3} = \frac{100}{3}

。(5) 錯：變異數是

100 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{200}{9} \approx 22.2

，標準差是

\frac{10 2}{3} \approx 4.71

，沒有大於

22

。

(2) 只有在成功機率是

\frac{1}{2}

時才會左右對稱；(5) 大於

22

的是變異數，不是標準差。

第 5 題答案 (2)(3)。取到

k

號球的機率是

\frac{k}{10}

（

k = 1, 2, 3, 4

）。

E (k) = \frac{1 + 4 + 9 + 16}{10} = 3

，

E (k^{2}) = \frac{1 + 8 + 27 + 64}{10} = 10

，

Var (k) = 10 - 3^{2} = 1

。遊戲一

X = 3 k + 10

：

E (X) = 3 \times 3 + 10 = 19

，

Var (X) = 3^{2} \times 1 = 9

；(1) 錯、(2) 對。遊戲二

Y = 100 - 2 k

：

E (Y) = 100 - 2 \times 3 = 94

，

Var (Y) = (- 2)^{2} \times 1 = 4

，

σ (Y) = 2

；(3) 對、(4) 錯、(5) 錯。

Var (ak + b) = a^{2} Var (k)

：係數要平方（負號平方後消失），常數

b

不影響。

先認出是哪一種分布（重複固定次數是二項分布、做到成功為止是幾何分布），期望值與變異數就有公式可用；不是這兩種的，就把分布表列出來。

03填充 1～4（第 6～9 題）：定出分布、二項分布的機率、期望值

第 6 題設

P (X = k) = \frac{c}{k}

。機率總和為

1

：

c (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) = c \times \frac{25}{12} = 1

，所以

c = \frac{12}{25}

。

P (X = 2) = \frac{c}{2} = \frac{6}{25}

。

第 7 題

5

顆球中奇數號有

1, 3, 5

三顆，每次取到奇數號的機率是

\frac{3}{5}

。

5

次中恰

2

次奇數號的機率是

C_{2}^{5} (\frac{3}{5})^{2} (\frac{2}{5})^{3} = 10 \times \frac{9}{25} \times \frac{8}{125} = \frac{720}{3125} = \frac{144}{625}

。

這裡照「恰好

2

次」計算，與學校公布的答案相同。

第 8 題公司每張保單先收保險費

10000

元。沒有發生火災（機率

0.9985

）時利潤是

10000

元；發生火災（機率

0.0015

）時要賠

5000000

元，利潤是

10000 - 5000000

元。期望值

= 10000 - 5000000 \times 0.0015 = 10000 - 7500 = 2500

元。

第 9 題向右走的機率是向左走的

2

倍，兩者相加為

1

，所以向右

\frac{2}{3}

、向左

\frac{1}{3}

。由圖，車子從最上面到最下面一排共經過

4

個岔路，每個岔路選一次方向；

4

次中向右

r

次，就到由左數來第

r + 1

個終點。丁是由左數來第

4

個，要向右

3

次、向左

1

次：機率

= C_{3}^{4} (\frac{2}{3})^{3} (\frac{1}{3}) = 4 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{3} = \frac{32}{81}

。

左右以圖面的左右為準（甲在最左、戊在最右）。到丁的走法有

4

條（哪一個岔路向左），不要只算一條。

04填充 5～8（第 10～13 題）：公平賭局、變異數、第幾次才成功

第 10 題三顆骰子中

6

點的個數服從二項分布（

n = 3

、

p = \frac{1}{6}

）：

6 點個數 機率 0 \frac{125}{216} 1 \frac{75}{216} 2 \frac{15}{216} 3 \frac{1}{216}

設未出現

6

點時賠

x

元。公平就是所得的期望值為

0

：

5 \times \frac{75}{216} + 10 \times \frac{15}{216} + 15 \times \frac{1}{216} - x \times \frac{125}{216} = 0

，即

375 + 150 + 15 = 125 x

，

x = \frac{540}{125} = \frac{108}{25}

。

第 11 題

10

張取

2

張共

C_{2}^{10} = 45

種。兩張都是

5

：

C_{2}^{6} = 15

種，

X = 10

；一張

5

一張

10

：

6 \times 4 = 24

種，

X = 15

；兩張都是

10

：

C_{2}^{4} = 6

種，

X = 20

。

X P 10 \frac{15}{45} 15 \frac{24}{45} 20 \frac{6}{45}

E (X) = \frac{150 + 360 + 120}{45} = 14

。

Var (X) = (10 - 14)^{2} \times \frac{15}{45} + (15 - 14)^{2} \times \frac{24}{45} + (20 - 14)^{2} \times \frac{6}{45} = \frac{240 + 24 + 216}{45} = \frac{480}{45} = \frac{32}{3}

。

兩張是一次取出（不放回），不是二項分布，要把分布表列出來算。

第 12 題每次擲出

3

的倍數（

3

或

6

）的機率是

\frac{1}{3}

。「第

6

次出現第

4

次」表示前

5

次中恰有

3

次是

3

的倍數，而且第

6

次也是：

C_{3}^{5} (\frac{1}{3})^{3} (\frac{2}{3})^{2} \times \frac{1}{3} = 10 \times \frac{4}{243} \times \frac{1}{3} = \frac{40}{729}

。

第

6

次已經固定是成功，組合數只排前

5

次，是

C_{3}^{5}

不是

C_{4}^{6}

。

第 13 題射了

k

次才射中，表示前

k - 1

次都沒中、第

k

次射中，機率是

(\frac{3}{4})^{k - 1} \times \frac{1}{4}

。要它小於

0.01

，即

(\frac{3}{4})^{k - 1} < 0.04

。逐次算：

(\frac{3}{4})^{4} = \frac{81}{256} \approx 0.3164

，

(\frac{3}{4})^{8} \approx 0.1001

，

(\frac{3}{4})^{11} \approx 0.0422

，

(\frac{3}{4})^{12} \approx 0.0317

。所以

k - 1

最小是

12

，

k

的最小值是

13

。

驗算：

k = 12

時機率約

0.0422 \times 0.25 \approx 0.0106

，還沒有小於

0.01

；

k = 13

時約

0.0079

。

「第幾次才成功」的題目，先把最後一次固定成成功，再處理前面幾次。

05填充 9～11（第 14～16 題）：一次變換、計數求機率、機率最大的取值

第 14 題

E (Y) = - 3 E (X) + 4 = - 5

，所以

E (X) = 3

，

m = 3

。

Var (Z) = (- 3)^{2} Var (X) = 18

，所以

Var (X) = 2

，

σ (X) = 2

，

n = 2

。

(m, n) = (3, 2)

。

題目問的是標準差，變異數

2

要再開根號。

第 15 題先固定甲選的

3

個數，乙從

9

個數選

3

個共

C_{3}^{9} = 84

種。

X = 0

：乙的

3

個數全在甲沒選的

6

個數裡，

C_{3}^{6} = 20

種。

X = 1

：甲選的

3

個數中挑

1

個、其餘

6

個數中挑

2

個，

C_{1}^{3} \times C_{2}^{6} = 3 \times 15 = 45

種。

P (X < 2) = \frac{20 + 45}{84} = \frac{65}{84}

。

X < 2

是

X = 0

或

X = 1

，不含

X = 2

。

第 16 題兩顆骰子點數和等於

8

有

(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)

共

5

種，機率

\frac{5}{36}

。

X

服從二項分布（

n = 35

、

p = \frac{5}{36}

）。比較相鄰兩項：

\frac{P ( X = k + 1 )}{P ( X = k )} = \frac{35 - k}{k + 1} \times \frac{5}{31}

。這個比值大於

1

相當於

175 - 5 k > 31 k + 31

，即

k < 4

；等於

1

相當於

k = 4

。所以機率由

X = 0

增加到

X = 4

，

P (X = 5) = P (X = 4)

，之後遞減；機率最大的是

X = 4

或

X = 5

（兩個一樣大）。

比值剛好等於

1

時有兩個取值並列最大，兩個都要寫。

06填充 12～14（第 17～19 題）：反求二項分布、分段算期望值

第 17 題

X

服從二項分布，

n p = 900

，變異數

n p (1 - p) = 2 4^{2} = 576

。兩式相除得

1 - p = \frac{576}{900} = 0.64

，

p = 0.36

，

n = \frac{900}{0.36} = 2500

。

(n, p) = (2500, 0.36)

。

題目給的是標準差，要先平方成變異數再代公式。

第 18 題第一次摸：摸到

2000

、

1600

、

1200

、

0

元的機率各

\frac{1}{4}

。摸到

0

元（機率

\frac{1}{4}

）時再摸一次、獎金折半，可得

1000

、

800

、

600

、

0

元，機率各

\frac{1}{4}

，這一次的期望值是

\frac{1000 + 800 + 600 + 0}{4} = 600

元。所以期望值

= \frac{2000 + 1600 + 1200}{4} + \frac{1}{4} \times 600 = 1200 + 150 = 1350

元。

第 19 題設每枚硬幣出現正面的機率為

p

。丟一次同時出現二正面的機率是

p^{2}

，

100

次中出現的次數服從二項分布，期望值

100 p^{2} = 64

，所以

p^{2} = 0.64

，

p = 0.8

。丟一次出現一正面一反面的機率是

2 p (1 - p) = 2 \times 0.8 \times 0.2 = 0.32

，

50

次中出現次數的期望值是

50 \times 0.32 = 16

次。

一正一反有「第一枚正第二枚反」與「第一枚反第二枚正」兩種，所以要乘

2

。

二項分布的期望值是

n p

、變異數是

n p (1 - p)

；題目給其中兩個量，就能把

n

與

p

反解出來。

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05填充 9～11（第 14～16 題）：一次變換、計數求機率、機率最大的取值

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