段考詳解範圍：第一章三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

建國中學 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 建國中學 111 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 建國中學 111 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題選項 (4) 要把交點個數換成正弦曲線與一條過原點的直線來數，共三個；第 3 題五個選項只有 (2) 對，(4) 與 (5) 的平移量互相放錯；第 12 題要先用正弦定理把兩段長度寫成角的正弦再疊合，最大值是二倍根號二十一；第 13 題五段圓弧的半徑不一樣，面積要拆成五個扇形與四個三角形；第 14 題第 (3) 小題的最小值要用疊合的範圍或算幾不等式來求。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

多選題 4 題（每題 9 分，共 36 分；答錯 1 個選項得 6 分，答錯 2 個選項得 2 分，答錯多於 2 個選項或未作答得 0 分）、填充題 9 題（每題 6 分，共 54 分；未完全答對不給分）、計算證明題 1 題（第 14 題 10 分：三小題 3 分、3 分、4 分），合計 100 分。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、多選題(每題 9 分，共 36 分)：每題有 5 個選項，其中至少一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 9 分；答錯 1 個選項者，得 6 分；答錯 2 個選項者，得 2 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

設

\frac{π}{2} < θ < π

，且

sin θ = \frac{3}{5}

，請選出正確的選項。

(1) $cos θ = \frac{4}{5}$
(2) $cos \frac{θ}{2} = \frac{3}{10}$
(3) $sin 2 θ = - \frac{24}{25}$
(4) $tan 2 θ = \frac{24}{7}$
(5) $sin 3 θ = \frac{117}{125}$

關於函數

f (x) = sin x - cos x

的圖形，請選出正確的選項。

(1) 週期為 $π$
(2) 振幅為 $1$
(3) 對稱於直線 $x = \frac{π}{2}$
(4) 與直線 $y = \frac{2}{π} x$ 有三個交點
(5) 對稱於點 $(\frac{π}{4}, 0)$

請選出正確的選項。

(1) 將 $y = sin x$ 的圖形鉛直方向伸縮 $2$ 倍可得 $y = \frac{1}{2} sin x$ 的圖形
(2) 將 $y = sin x$ 的圖形對稱 $x$ 軸可得 $y = - sin x$ 的圖形
(3) 將 $y = sin x$ 的圖形水平方向伸縮 $\frac{1}{3}$ 倍可得 $y = sin \frac{x}{3}$ 的圖形
(4) 將 $y = sin x$ 的圖形先向左平移 $\frac{π}{18}$ 單位，再水平方向伸縮 $\frac{1}{3}$ 倍後可得 $y = sin (3 x + \frac{π}{6})$ 的圖形
(5) 將 $y = sin (3 x + \frac{π}{6})$ 的圖形先向右平移 $\frac{π}{6}$ 單位，再向上平移 $1$ 單位後可得 $y = sin 3 x + 1$ 的圖形

設函數

f (x) = \frac{sin π x}{x ^{2} - x + \frac{5}{4}}

，其中

x

為實數，請選出正確的選項。

(1) $f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2}$
(2) $f (x) \leq 1$
(3) 曲線 $y = f (x)$ 有對稱軸
(4) 曲線 $y = f (x)$ 對原點對稱
(5) 當 $- 2 < x < - 1$ 時， $f (x) < 0$

二、填充題(每題 6 分，共 54 分)：每題完全答對得 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

已知扇形的半徑為

π

，弧長為

2

，則此扇形的面積為 ____。

設直線

L_{1} : 2 x - y - 2022 = 0

與直線

L_{2} : a x + 3 y + 2022 = 0

的銳夾角為

4 5^{\circ}

，則實數

a =

____。(有兩解)

設

9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}

，

9 0^{\circ} < β < 18 0^{\circ}

，且

cos α = - \frac{2}{5}

、

sin β = \frac{1}{10}

，則

α + β

的度數為 ____。

函數

f (x) = 23 sin (a x + \frac{π}{3})

（

a > 0

）在一個週期內(由

C

點到

D

點)的圖形如下圖所示，其中

O

為原點，

A

為此週期內的最高點，

B

、

C

、

D

為圖形與

x

軸的交點，且

△ A B C

為正三角形，則

a

之值為 ____。

載入中...

設

0 < θ < \frac{π}{2}

，則

2 sin θ (sin θ + cos θ)

的最大值為 ____。

在

△ A B C

中，

\overline{A B} = 7

，

\overline{A C} = 27

，且

∠ B - ∠ C = \frac{2}{3} π

，則

\overline{B C} =

____。

設方程式

2 cos 2 x + 6 sin 2 x = 1

，且

x_{1}

及

x_{2}

為滿足此方程式之兩解，其中

- \frac{π}{2} < x_{1} < x_{2} < \frac{π}{2}

，則

tan (x_{1} + x_{2})

之值為 ____。

如右的示意圖，已知長方形

A B C D

內接於正三角形

P QR

，其中

A

在

\overline{P Q}

上，

B

在

\overline{QR}

上，

D

在

\overline{P R}

上，(長方形的邊也可以在正三角形的邊上)，設

∠ B A Q = θ

，且

\frac{π}{6} \leq θ \leq \frac{π}{3}

，若

\overline{A D} = 33

，

\overline{A B} = 3

，則

\overline{P Q}

的最大值為 ____。

載入中...

坐標平面上，有一邊長為

2

的正六邊形

P A B C D E

實心木板，其中兩頂點

P (0, 0)

與

A (2, 0)

，將此木板放在

x y

平面上且沿

x

軸正向滾動，過程中只看頂點

P (x, y)

移動的軌跡，當點

P

坐標為

(12, 0)

時，求點

P

的軌跡所在的曲線與

x

軸所圍成封閉區域的面積為 ____。

載入中...

三、計算證明題(每題 10 分，共 10 分)：請寫出計算或證明過程，否則不予計分。

如右的示意圖，在

△ A B C

中，

\overline{A B} = 2 \overline{A C}

，點

D

在

\overline{B C}

上，

∠ B A D = ∠ C A D = θ

，其中

0 < θ < \frac{π}{2}

，設

\overline{A D} = k \overline{A C}

，試回答下列各小題：(1) 由

△ A B D

與

△ A C D

的面積和等於

△ A B C

的面積可推得

k = u sin θ + v cos θ

，其中

u

、

v

為常數，試求數對

(u, v)

。(3 分)　(2) 求實數

k

的取值範圍。(3 分)　(3) 若

△ A B C

的面積為

1

，試求

\overline{B C}

的最小值及此時的

k

值。(4 分)

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)(5)

第 2 題(4)(5)

第 3 題(2)

第 4 題(1)(2)(3)

第 5 題

π

第 6 題

- 1

或

9

第 7 題

31 5^{\circ}

第 8 題

\frac{π}{4}

第 9 題

1 + 2

第 10 題

3

第 11 題

3

第 12 題

221

第 13 題

8 π + 63

第 14 題(1)

(u, v) = (0, \frac{4}{3})

；(2)

0 < k < \frac{4}{3}

；(3)

\overline{B C}

的最小值為

3

，此時

k = \frac{2 10}{5}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～4 題（多選題）：倍角與半角、疊合後的圖形、平移伸縮、分式型函數的性質

第 1 題答案 (3)(5)。

θ

是第二象限角，

cos θ = - 1 - \frac{9}{25} = - \frac{4}{5}

。(1) 不正確：

cos θ = - \frac{4}{5}

，是負的。(2) 不正確：

\frac{π}{4} < \frac{θ}{2} < \frac{π}{2}

，

cos \frac{θ}{2}

是正的，

cos \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2} = \frac{1}{10} = \frac{1}{10}

；

\frac{3}{10}

是

sin \frac{θ}{2}

的值。(3) 正確：

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot (- \frac{4}{5}) = - \frac{24}{25}

。(4) 不正確：

cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ = 1 - \frac{18}{25} = \frac{7}{25}

，所以

tan 2 θ = \frac{sin 2 θ}{cos 2 θ} = - \frac{24}{7}

，差一個負號。(5) 正確：

sin 3 θ = sin (2 θ + θ) = sin 2 θ cos θ + cos 2 θ sin θ = (- \frac{24}{25}) (- \frac{4}{5}) + \frac{7}{25} \cdot \frac{3}{5} = \frac{96 + 21}{125} = \frac{117}{125}

。

(5) 也可以用三倍角公式

sin 3 θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ = \frac{9}{5} - \frac{108}{125} = \frac{117}{125}

。

第 2 題答案 (4)(5)。疊合：

f (x) = 2 (\frac{1}{2} sin x - \frac{1}{2} cos x) = 2 sin (x - \frac{π}{4})

。(1) 不正確：週期是

2 π

。(2) 不正確：振幅是

2

。(3) 不正確：正弦圖形的對稱軸通過最高點或最低點，即

x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + k π

，

x = \frac{3 π}{4} + k π

（

k

是整數），

\frac{π}{2}

不在其中；例如

f (0) = - 1

、

f (π) = 1

，兩者不相等。(4) 正確：交點滿足

2 sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{2}{π} x

，即

sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{x}{π}

。左邊在

- 1

與

1

之間，所以只要看

- π \leq x \leq π

。令

g (x) = sin (x - \frac{π}{4})

、直線

h (x) = \frac{x}{π}

，逐段比較：

x = - π

時

g = \frac{2}{2}

、

h = - 1

，曲線在上；

x = - \frac{π}{4}

時

g = - 1

（最低點）、

h = - \frac{1}{4}

，曲線在下，這一段

g

一路下降、

h

上升，恰有

1

個交點。

- \frac{π}{4} \leq x \leq 0

時

g \leq - \frac{2}{2}

而

h \geq - \frac{1}{4}

，沒有交點。

x = 0

時

g = - \frac{2}{2} < 0 = h

，

x = \frac{3 π}{4}

時

g = 1

（最高點）

> \frac{3}{4} = h

，這一段有

1

個交點（

0 < x < \frac{π}{4}

時

g < 0 < h

不會相交；

\frac{π}{4}

到

\frac{3 π}{4}

是向上凸的弧，由直線下方穿到上方只穿一次）。

x = π

時

g = \frac{2}{2} < 1 = h

，所以

\frac{3 π}{4}

到

π

之間

g

下降、

h

上升，恰有

1

個交點。共

3

個交點。(5) 正確：

x = \frac{π}{4}

時

f = 0

，是正弦圖形與中心線的交點，圖形對稱於這一點；用式子檢查：

f (\frac{π}{4} + t) = 2 sin t

、

f (\frac{π}{4} - t) = - 2 sin t

，兩者相加為

0

。

(4) 的三個交點約在

x \approx - 1.76

、

1.17

、

2.82

。直線的斜率特意取成

\frac{2}{π}

，兩邊同除以

2

後就是

y = \frac{x}{π}

，在

x = \pm π

時剛好到

\pm 1

。

第 3 題答案 (2)。鉛直方向伸縮

k

倍是把函數值乘以

k

；水平方向伸縮

k

倍是把

x

換成

\frac{x}{k}

；向右平移

h

是把

x

換成

x - h

，向左平移

h

是把

x

換成

x + h

。(1) 不正確：得到

y = 2 sin x

。(2) 正確：對稱於

x

軸是把

y

換成

- y

，得到

y = - sin x

。(3) 不正確：水平方向伸縮

\frac{1}{3}

倍是把

x

換成

3 x

，得到

y = sin 3 x

。(4) 不正確：先向左平移

\frac{π}{18}

得

y = sin (x + \frac{π}{18})

，再水平伸縮

\frac{1}{3}

倍（只把

x

換成

3 x

）得

y = sin (3 x + \frac{π}{18})

，不是

sin (3 x + \frac{π}{6})

。(5) 不正確：向右平移

\frac{π}{6}

得

y = sin (3 (x - \frac{π}{6}) + \frac{π}{6}) = sin (3 x - \frac{π}{3})

，再向上平移

1

得

y = sin (3 x - \frac{π}{3}) + 1

，不是

sin 3 x + 1

。

(4) 要得到

sin (3 x + \frac{π}{6})

，應先向左平移

\frac{π}{6}

再水平伸縮

\frac{1}{3}

倍；(5) 因為

3 x + \frac{π}{6} = 3 (x + \frac{π}{18})

，只要向右平移

\frac{π}{18}

就會變成

sin 3 x

。兩個選項的平移量剛好互相放錯。

第 4 題答案 (1)(2)(3)。分母配方：

x^{2} - x + \frac{5}{4} = (x - \frac{1}{2})^{2} + 1 \geq 1

，恆為正。(1) 正確：分子

sin (- \frac{π}{2}) = - 1

，分母

\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{5}{4} = 2

，所以

f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2}

。(2) 正確：分子

sin π x \leq 1

，分母

\geq 1

。分子是負的或

0

時

f (x) \leq 0

；分子是正的時，正數除以不小於

1

的數不會變大，所以

f (x) \leq sin π x \leq 1

。(3) 正確：把

x

換成

1 - x

：分子

sin π (1 - x) = sin (π - π x) = sin π x

，分母

(1 - x - \frac{1}{2})^{2} + 1 = (x - \frac{1}{2})^{2} + 1

，都不變，所以

f (1 - x) = f (x)

，圖形對稱於直線

x = \frac{1}{2}

。(4) 不正確：

f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{1} = 1

，

f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2}

，

f (- \frac{1}{2}) \neq = - f (\frac{1}{2})

，圖形不對稱於原點。(5) 不正確：

- 2 < x < - 1

時

- 2 π < π x < - π

，這一段

sin π x > 0

，分母為正，所以

f (x) > 0

；例如

f (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{5}

。

(2) 的等號在

x = \frac{1}{2}

時成立（分子等於

1

、分母等於

1

同時發生），所以

f

的最大值就是

1

。

半角的正負號看半角所在的象限；兩項一次的正餘弦先疊合再談週期、振幅與對稱；水平方向的變換只動

x

本身，先平移再伸縮與先伸縮再平移的結果不同。

02第 5～8 題：扇形面積、兩直線的夾角、和角定角度、由圖形定係數

第 5 題扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長

= \frac{1}{2} \cdot π \cdot 2 = π

。

也可以先求圓心角：弧長

= r θ

，

θ = \frac{2}{π}

（弧度），面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \cdot π^{2} \cdot \frac{2}{π} = π

。這題的半徑是

π

、弧長是

2

，不要看反。

第 6 題

L_{1}

的斜率是

2

，

L_{2}

的斜率是

- \frac{a}{3}

。設兩直線的斜角為

θ_{1}

、

θ_{2}

，夾角是

θ_{1} - θ_{2}

或它的補角，所以

tan (θ_{1} - θ_{2}) = \frac{2 - ( - \frac{a}{3} )}{1 + 2 \cdot ( - \frac{a}{3} )} = \frac{6 + a}{3 - 2 a} = \pm tan 4 5^{\circ} = \pm 1

。取

1

：

6 + a = 3 - 2 a

，

a = - 1

；取

- 1

：

6 + a = - 3 + 2 a

，

a = 9

。兩個值都使分母不為

0

，所以

a = - 1

或

9

。

a = - 1

時

L_{2}

的斜率是

\frac{1}{3}

，

a = 9

時是

- 3

；這兩條直線互相垂直，正好是與

L_{1}

夾

4 5^{\circ}

的兩個方向。

第 7 題

α

、

β

都是第二象限角：

sin α = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}

，

cos β = - 1 - \frac{1}{10} = - \frac{3}{10}

。

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β = \frac{6}{50} - \frac{1}{50} = \frac{5}{5 2} = \frac{1}{2}

。

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β = - \frac{3}{50} - \frac{2}{50} = - \frac{1}{2}

。

18 0^{\circ} < α + β < 36 0^{\circ}

，餘弦為正、正弦為負，是第四象限角，所以

α + β = 31 5^{\circ}

。

只算

cos (α + β) = \frac{1}{2}

也夠：在

18 0^{\circ}

到

36 0^{\circ}

之間餘弦等於

\frac{1}{2}

的角只有

31 5^{\circ}

。若只算正弦，

- \frac{1}{2}

會對到

22 5^{\circ}

與

31 5^{\circ}

兩個角，還要再判斷。

第 8 題振幅是

23

，所以最高點

A

到

x

軸的距離是

23

，這就是正三角形

A B C

的高。正三角形的高

= \frac{3}{2} \times

邊長，所以

\overline{B C} = 23 \div \frac{3}{2} = 4

。

C

、

B

是圖形與

x

軸相鄰的兩個交點，相距半個週期：

\frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{a} = \frac{π}{a} = 4

，所以

a = \frac{π}{4}

。

檢查：

a = \frac{π}{4}

時

C (- \frac{4}{3}, 0)

、

B (\frac{8}{3}, 0)

、

A (\frac{2}{3}, 23)

，

A

的

x

坐標是

B

、

C

的中點，三邊長都是

4

。

兩直線的夾角用正切的差角公式，正負兩個值都要解；由三角函數值定角度時，先把角的範圍寫出來，再挑一個在這個範圍內不會對到兩個角的函數。

03第 9～11 題：降次疊合求極值、和角配正弦定理、疊合後解方程式

第 9 題展開：

2 sin^{2} θ + 2 sin θ cos θ

。用倍角公式

2 sin^{2} θ = 1 - cos 2 θ

、

2 sin θ cos θ = sin 2 θ

，原式

= 1 + sin 2 θ - cos 2 θ = 1 + 2 sin (2 θ - \frac{π}{4})

。

0 < θ < \frac{π}{2}

時

- \frac{π}{4} < 2 θ - \frac{π}{4} < \frac{3 π}{4}

，這個範圍包含

\frac{π}{2}

，所以

2 θ - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

（即

θ = \frac{3 π}{8}

）時有最大值

1 + 2

。

第 10 題設

∠ C = γ

，則

∠ B = γ + \frac{2 π}{3}

。正弦定理：

\frac{A C}{sin B} = \frac{A B}{sin C}

，即

\frac{2 7}{sin B} = \frac{7}{sin C}

，

sin B = 2 sin C

。用和角公式：

sin (γ + \frac{2 π}{3}) = - \frac{1}{2} sin γ + \frac{3}{2} cos γ = 2 sin γ

，整理得

\frac{3}{2} cos γ = \frac{5}{2} sin γ

，

tan γ = \frac{3}{5}

。

γ

是銳角，畫直角三角形（對邊

3

、鄰邊

5

、斜邊

28 = 27

）：

sin C = \frac{3}{2 7}

，

cos C = \frac{5}{2 7}

。

sin B = 2 sin C = \frac{3}{7}

，

∠ B

大於

\frac{2 π}{3}

是鈍角，

cos B = - 1 - \frac{3}{7} = - \frac{2}{7}

。

sin A = sin (B + C) = sin B cos C + cos B sin C = \frac{3}{7} \cdot \frac{5}{2 7} - \frac{2}{7} \cdot \frac{3}{2 7} = \frac{5 3}{14} - \frac{2 3}{14} = \frac{3 3}{14}

。再用正弦定理：

\overline{B C} = \frac{A B sin A}{sin C} = 7 \cdot \frac{3 3}{14} \cdot \frac{2 7}{3} = 3

。

用餘弦定理檢查：

cos A = - cos (B + C) = \frac{13}{14}

，

\overline{B C}^{2} = 7 + 28 - 2 \cdot 7 \cdot 27 \cdot \frac{13}{14} = 35 - 26 = 9

。大邊對大角：

\overline{A C} > \overline{A B}

，所以

∠ B > ∠ C

，與題目的

∠ B - ∠ C > 0

相符。

第 11 題疊合：

6 sin 2 x + 2 cos 2 x = 22 (\frac{3}{2} sin 2 x + \frac{1}{2} cos 2 x) = 22 sin (2 x + \frac{π}{6})

，方程式即

sin (2 x + \frac{π}{6}) = \frac{1}{2 2}

。

- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}

時

- \frac{5 π}{6} < 2 x + \frac{π}{6} < \frac{7 π}{6}

。設銳角

δ

滿足

sin δ = \frac{1}{2 2}

；在這個範圍內正弦為正的只有

0

到

π

之間，解是

2 x + \frac{π}{6} = δ

與

2 x + \frac{π}{6} = π - δ

，恰好兩個，就是

x_{1}

、

x_{2}

。兩式相加：

2 (x_{1} + x_{2}) + \frac{π}{3} = π

，

x_{1} + x_{2} = \frac{π}{3}

，所以

tan (x_{1} + x_{2}) = 3

。

不必解出

δ

：正弦值相同的兩個角

δ

與

π - δ

加起來是定值

π

。

x_{1} \approx - 0.081

、

x_{2} \approx 1.128

。

二次的正餘弦先用倍角公式降次再疊合；疊合後把

x

的範圍換成括號裡那個角的範圍，再判斷極值或解的個數。

04第 12、13 題：內接長方形與疊合、正六邊形滾動的軌跡

第 12 題正三角形的每個內角都是

\frac{π}{3}

。先看

△ Q A B

：

∠ Q = \frac{π}{3}

、

∠ B A Q = θ

，所以

∠ QB A = \frac{2 π}{3} - θ

。正弦定理：

\frac{A Q}{sin ( \frac{2 π}{3} - θ )} = \frac{A B}{sin \frac{π}{3}}

，

\overline{A Q} = \frac{3}{\frac{3}{2}} sin (\frac{2 π}{3} - θ) = 23 sin (\frac{2 π}{3} - θ)

。再看

△ P A D

：

P

、

A

、

Q

共線且

∠ B A D = \frac{π}{2}

，所以

∠ P A D = π - θ - \frac{π}{2} = \frac{π}{2} - θ

，

∠ P D A = π - \frac{π}{3} - (\frac{π}{2} - θ) = θ + \frac{π}{6}

。正弦定理：

\overline{P A} = \frac{3 3}{\frac{3}{2}} sin (θ + \frac{π}{6}) = 6 sin (θ + \frac{π}{6})

。用和差角公式展開：

\overline{A Q} = 23 (\frac{3}{2} cos θ + \frac{1}{2} sin θ) = 3 cos θ + 3 sin θ

，

\overline{P A} = 6 (\frac{3}{2} sin θ + \frac{1}{2} cos θ) = 33 sin θ + 3 cos θ

。所以

\overline{P Q} = \overline{P A} + \overline{A Q} = 43 sin θ + 6 cos θ = 48 + 36 sin (θ + φ) = 221 sin (θ + φ)

，其中

φ

是銳角，

tan φ = \frac{6}{4 3} = \frac{3}{2}

。因為

\frac{1}{3} < \frac{3}{2} < 1

，所以

\frac{π}{6} < φ < \frac{π}{4}

；

\frac{π}{6} \leq θ \leq \frac{π}{3}

時，

θ + φ

的範圍從

\frac{π}{6} + φ

（小於

\frac{π}{2}

）到

\frac{π}{3} + φ

（大於

\frac{π}{2}

），包含

\frac{π}{2}

。所以

θ = \frac{π}{2} - φ

時

\overline{P Q}

有最大值

221

。

θ

的範圍是怎麼來的：

θ = \frac{π}{6}

時

∠ QB A = \frac{π}{2}

，

\overline{B C}

貼在

\overline{QR}

上；

θ = \frac{π}{3}

時

∠ P D A = \frac{π}{2}

，

\overline{D C}

貼在

\overline{P R}

上；在這之間

C

都在三角形內部。最大值發生時

θ \approx 49. 1^{\circ}

，在範圍內。本頁的圖是示意圖，畫的不是最大值時的位置。

第 13 題正六邊形每個內角是

\frac{2 π}{3}

，所以木板每次以著地的右下頂點為中心順時針轉

π - \frac{2 π}{3} = \frac{π}{3}

，下一條邊就落到

x

軸上，著地的邊向右移

2

。依序以

A (2, 0)

、

B

落地後的位置

(4, 0)

、

C

的

(6, 0)

、

D

的

(8, 0)

、

E

的

(10, 0)

為中心各轉一次，共五次之後

P

落在

(12, 0)

。每一次

P

走的是圓弧，半徑是

P

到該頂點的距離：

\overline{P A} = 2

，

\overline{P B} = 23

（隔一個頂點的對角線），

\overline{P C} = 4

（最長的對角線），

\overline{P D} = 23

，

\overline{P E} = 2

，圓心角都是

\frac{π}{3}

。

P

在各段交接時的位置：

P_{1} (1, 3)

、

P_{2} (4, 23)

、

P_{3} (8, 23)

、

P_{4} (11, 3)

。軌跡與

x

軸圍成的區域可以拆成五個扇形與四個三角形。五個扇形：

\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3} \cdot (2^{2} + (23)^{2} + 4^{2} + (23)^{2} + 2^{2}) = \frac{π}{6} \cdot 48 = 8 π

。四個三角形（底都是

x

軸上相鄰兩個中心之間的

2

，高是交接點的

y

坐標）：以

(2, 0)

、

(4, 0)

、

P_{1}

為頂點的面積

\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3

；以

(4, 0)

、

(6, 0)

、

P_{2}

的

\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 23 = 23

；以

(6, 0)

、

(8, 0)

、

P_{3}

的

23

；以

(8, 0)

、

(10, 0)

、

P_{4}

的

3

。合計

63

。所求面積

= 8 π + 63

。

交接點怎麼算：第一次以

(2, 0)

為中心，

P

從正左方（方向角

18 0^{\circ}

）順時針轉到

12 0^{\circ}

，

P_{1} = (2 + 2 cos 12 0^{\circ}, 2 sin 12 0^{\circ}) = (1, 3)

，其餘類推。最後一次是以

P

自己落地前的鄰點

E

為中心；

P

落地後不再有新的弧。五段弧的半徑是

2

、

23

、

4

、

23

、

2

，左右對稱。

圖形裡的長度隨角度變時，先用正弦定理把每一段寫成角的正弦，再合併疊合；多邊形滾動時，每一段都是以著地頂點為圓心的圓弧，圓心角等於外角。

05第 14 題（計算證明題）：角平分線長、範圍與極值

第 14 題設

\overline{A C} = b

，則

\overline{A B} = 2 b

、

\overline{A D} = k b

，

∠ B A C = 2 θ

。(1) 用兩邊夾角的面積公式：

△ A B D = \frac{1}{2} \cdot 2 b \cdot k b sin θ = k b^{2} sin θ

，

△ A C D = \frac{1}{2} \cdot b \cdot k b sin θ = \frac{1}{2} k b^{2} sin θ

，

△ A B C = \frac{1}{2} \cdot 2 b \cdot b sin 2 θ = b^{2} sin 2 θ

。面積和相等：

\frac{3}{2} k b^{2} sin θ = b^{2} sin 2 θ = 2 b^{2} sin θ cos θ

。因為

sin θ \neq = 0

，兩邊同除以

b^{2} sin θ

：

\frac{3}{2} k = 2 cos θ

，

k = \frac{4}{3} cos θ

。所以

(u, v) = (0, \frac{4}{3})

。(2)

0 < θ < \frac{π}{2}

時

0 < cos θ < 1

，而且這個範圍內每一個

θ

都能作出三角形（

0 < 2 θ < π

），所以

0 < k < \frac{4}{3}

。(3) 面積為

1

：

b^{2} sin 2 θ = 1

，

b^{2} = \frac{1}{sin 2 θ}

。餘弦定理：

\overline{B C}^{2} = b^{2} + 4 b^{2} - 2 \cdot b \cdot 2 b cos 2 θ = b^{2} (5 - 4 cos 2 θ) = \frac{5 - 4 cos 2 θ}{sin 2 θ}

。令

t = \frac{5 - 4 cos 2 θ}{sin 2 θ}

，因為

0 < 2 θ < π

，

sin 2 θ > 0

且分子為正，所以

t > 0

。移項：

t sin 2 θ + 4 cos 2 θ = 5

。左邊疊合後的最大值是

t^{2} + 16

，等式要成立必須

5 \leq t^{2} + 16

，即

t^{2} \geq 9

，

t \geq 3

。

t = 3

時

3 sin 2 θ + 4 cos 2 θ = 5

要取到最大值，此時

sin 2 θ = \frac{3}{5}

、

cos 2 θ = \frac{4}{5}

，

2 θ

是銳角，在範圍內，所以

t = 3

取得到。

\overline{B C}^{2}

的最小值是

3

，

\overline{B C}

的最小值是

3

。此時

cos^{2} θ = \frac{1 + cos 2 θ}{2} = \frac{9}{10}

，

cos θ = \frac{3}{10}

，

k = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2 10}{5}

。

(3) 的另一個做法：用倍角公式把分子分母都換成

θ

：

5 - 4 cos 2 θ = 5 (sin^{2} θ + cos^{2} θ) - 4 (cos^{2} θ - sin^{2} θ) = 9 sin^{2} θ + cos^{2} θ

，所以

\overline{B C}^{2} = \frac{9 sin ^{2} θ + cos ^{2} θ}{2 sin θ cos θ} = \frac{1}{2} (9 tan θ + \frac{1}{tan θ})

。由算幾不等式

9 tan θ + \frac{1}{tan θ} \geq 29 = 6

，等號在

tan θ = \frac{1}{3}

時成立，同樣得到

\overline{B C}^{2} \geq 3

與

cos θ = \frac{3}{10}

。此時

b^{2} = \frac{5}{3}

。

角平分線的長度可以用「兩塊小三角形的面積和等於大三角形的面積」來求；分式型的

\frac{a - b cos x}{sin x}

求極值時，設它等於

t

、移項成

t sin x + b cos x = a

，再用疊合的範圍限制

t

。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

建國中學 111 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題選項 (4) 要把交點個數換成正弦曲線與一條過原點的直線來數，共三個；第 3 題五個選項只有 (2) 對，(4) 與 (5) 的平移量互相放錯；第 12 題要先用正弦定理把兩段長度寫成角的正弦再疊合，最大值是二倍根號二十一；第 13 題五段圓弧的半徑不一樣，面積要拆成五個扇形與四個三角形；第 14 題第 (3) 小題的最小值要用疊合的範圍或算幾不等式來求。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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建國中學 111 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01第 1～4 題（多選題）：倍角與半角、疊合後的圖形、平移伸縮、分式型函數的性質

02第 5～8 題：扇形面積、兩直線的夾角、和角定角度、由圖形定係數

03第 9～11 題：降次疊合求極值、和角配正弦定理、疊合後解方程式

04第 12、13 題：內接長方形與疊合、正六邊形滾動的軌跡

05第 14 題（計算證明題）：角平分線長、範圍與極值

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建國中學 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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