段考詳解範圍：弧度量、週期性數學模型為主，另有指數方程式與不等式、半衰期

建國中學 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 建國中學 111 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 建國中學 111 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要先估出 π 的平方夾在哪兩個特殊角之間，再用週期換回一圈之內；第 6 題的繩子除了四段直線，四個轉角的弧合起來剛好是一整個圓；第 13 題的直線很平，要一個一個波峰去數交點，原點那個解只算一次，直線高度到 1 的地方曲線剛好是 0，不是解；第 18 題換成正弦的二次式之後，正弦值的範圍要由 x 的範圍重新求，最大值出現在正弦值最小的地方。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

直接作答題 1 題（每小題 1 分，共 5 分）、作圖題 1 題（每小題 5 分，共 10 分）、單選題 2 題（每題 7 分，共 14 分）、填充題 7 題（每格 3 分，共 39 分）、計算題 7 題（每(小)題 4 分，共 32 分），合計 100 分。第 4 題卷面列在單選題，但依題目條件不只一個選項成立，請把成立的選項全部選出。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、直接作答題（每小題 1 分，共 5 分）

將度度量換算為弳度量，或將弳度量換算為度度量。

度度量 弳度量 13 5^{\circ} (1) 弳 42 0^{\circ} (2) 弳 - 6 0^{\circ} (3) 弳 (4)^{\circ} 4 弳 (5)^{\circ} \frac{2 π}{3} 弳

二、作圖題（每小題 5 分，共 10 分）

利用

y = sin x

的圖形，畫出 (1) 函數

y = sin x + 1

的圖形，(2) 函數

y = 3 sin x

的圖形。（原卷 (1)、(2) 各附一張相同的

y = sin x

圖形供作答，本頁只畫一張）

載入中...

三、單選題（每題 7 分，共 14 分）

令

a = cos (π^{2})

，試問下列哪一個選項是對的？

(1) $a = - 1$
(2) $- 1 < a \leq - \frac{1}{2}$
(3) $- \frac{1}{2} < a \leq 0$
(4) $0 < a \leq \frac{1}{2}$
(5) $\frac{1}{2} < a \leq 1$

已知曲線

y = A sin (b x + c) + k

，其中

A > 0

，

b > 0

，

0 \leq c < 2 π

，在同一週期內的最高點的坐標為

(\frac{π}{8}, 4)

，最低點的坐標為

(\frac{5 π}{8}, - 2)

，請選出正確選項。

(1) $A = 3$
(2) $b = \frac{1}{2}$
(3) $b = 2$
(4) $c = \frac{π}{4}$
(5) $k = 1$

四、填充題（每格 3 分，共 39 分）

已知扇形半徑

10

公分，周長

30

公分，求扇形的：(1) 圓心角，(2) 面積。

如右圖，將

4

個大小相同的圓罐以

2 \times 2

的方式綁在一起，已知圓罐半徑為

4

公分，若不計打結所需要的繩長，則繩長至少需要多少公分？

載入中...

角度為

1

至

10

的正整數弳中，有幾個屬於第二象限角？

某公司舉辦抽獎活動，

2000

名員工分別領到編號

0001

到

2000

的對獎聯。首先，抽出一個不大於

80

的正整數，將此數字逐次加上

80

，但不可大於

2000

，這些號碼都可以獲得獎品。試問：假設抽出的正整數是

32

，則中獎號碼當中最大的是幾號？

下圖為某週期函數的圖形，其中

A

點的坐標為

(- \frac{23 π}{12}, 3)

，

B

點的坐標為

(\frac{13 π}{12}, 3)

，而圖中那兩條水平線的方程式分別為

y = 3

與

y = - 1

，試依據圖上的資訊求此函數的：(1) 週期，(2) 振幅。

載入中...

定義函數

f (x) = 2 + 3 sin 4 x

，試求

f (x)

的：(1) 定義域，(2) 值域，(3) 週期，(4) 振幅。

試解下列方程式或不等式：(1)

2^{3 x + 1} = 8

，(2)

2 7^{2 x + 1} < 9^{x + 2}

。

五、計算題（每(小)題 4 分，共 32 分）

放射性物質的質量變為原本的一半所需的時間，稱為該放射物的半衰期。銫 137(Cs-137) 是一種放射性物質，半衰期為

30

年。假設剛開始銫 137 的質量為

100

公克，試求

120

年後的質量。

求方程式

\frac{x}{6} = sin (π x)

的實根個數。

求點

P (sin (- 4), tan (- 4))

在第幾象限。

△ A B C

是一邊長為

a

的正三角形，分別以

A, B, C

為圓心，

a

為半徑做三圓，求此三圓共同部分的面積。

在

0 \leq x \leq 4 π

範圍內，求方程式

sin x = - \frac{1}{2}

的解。

設

0 \leq x < 2 π

，若

cos x \leq - \frac{1}{2}

，求

x

值的範圍。

設

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{7 π}{6}

，求

f (x) = 4 cos^{2} x - 12 sin x - 3

的 (1) 最大值，(2) 最小值。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

\frac{3 π}{4}

　(2)

\frac{7 π}{3}

　(3)

- \frac{π}{3}

　(4)

\frac{720}{π}

　(5)

120

第 2 題(1) 把

y = sin x

的圖形往上平移

1

單位　(2) 把

y = sin x

的圖形以

x

軸為基準，鉛直方向伸長為

3

倍（圖見詳解）

第 3 題(2)

第 4 題(1)(3)(4)(5)（卷面把本題列在單選題，但依題目條件這四個選項都成立，見詳解）

第 5 題(1)

1

弳　(2)

50

平方公分

第 6 題

32 + 8 π

公分

第 7 題

4

個

第 8 題

1952

號

第 9 題(1)

π

　(2)

2

第 10 題(1) 所有實數　(2)

- 1 \leq y \leq 5

　(3)

\frac{π}{2}

　(4)

3

第 11 題(1)

x = \frac{2}{3}

　(2)

x < \frac{1}{4}

第 12 題

6.25

公克

第 13 題

11

個

第 14 題第四象限

第 15 題

\frac{π - 3}{2} a^{2}

第 16 題

x = \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}, \frac{19 π}{6}, \frac{23 π}{6}

第 17 題

\frac{2 π}{3} \leq x \leq \frac{4 π}{3}

第 18 題(1)

6

　(2)

- 15

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1、2 題：度與弧度互換、正弦圖形的平移與伸縮

第 1 題用

18 0^{\circ} = π

弳換算。(1)

13 5^{\circ} = 135 \times \frac{π}{180} = \frac{3 π}{4}

弳。(2)

42 0^{\circ} = 420 \times \frac{π}{180} = \frac{7 π}{3}

弳。(3)

- 6 0^{\circ} = - 60 \times \frac{π}{180} = - \frac{π}{3}

弳。(4)

4

弳

= 4 \times \frac{18 0 ^{\circ}}{π} = (\frac{720}{π})^{\circ}

，約

229. 2^{\circ}

。(5)

\frac{2 π}{3}

弳

= \frac{2}{3} \times 18 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

。

第 (4) 格的

4

弳沒有

π

，是

4

弧度，不是

4 π

；換成度要除以

π

。負角換算後仍是負的，超過

36 0^{\circ}

的角也照比例換，不必先減一圈。

第 2 題(1)

y = sin x + 1

是把

y = sin x

每一點的

y

坐標都加

1

，也就是整個圖形往上平移

1

單位，形狀與週期（

2 π

）都不變。幾個關鍵點：

(0, 0) \to (0, 1)

；最高點

(\frac{π}{2}, 1) \to (\frac{π}{2}, 2)

；

(π, 0) \to (π, 1)

；最低點

(\frac{3 π}{2}, - 1) \to (\frac{3 π}{2}, 0)

。新圖形的最大值是

2

、最小值是

0

，在

x = \frac{3 π}{2}

、

\frac{3 π}{2} \pm 2 π

、… 與

x

軸相切。(2)

y = 3 sin x

是把

y = sin x

每一點的

y

坐標都乘以

3

，也就是以

x

軸為基準，鉛直方向伸長為

3

倍；與

x

軸的交點

(0, 0)

、

(π, 0)

、

(2 π, 0)

、… 不動，最高點變成

(\frac{π}{2}, 3)

，最低點變成

(\frac{3 π}{2}, - 3)

，週期仍是

2 π

，振幅由

1

變成

3

。附圖的虛線是原來的

y = sin x

，標 (1) 的實線是

y = sin x + 1

，標 (2) 的實線是

y = 3 sin x

。

載入中...

(1) 的圖形最低只到

x

軸，不會跑到

x

軸下方。(2) 的圖形最高到

3

、最低到

- 3

，比原卷附的坐標軸畫出的範圍還高，作答時縱軸要自己往上下延長並標出

3

與

- 3

。

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

。

y = sin x + k

是上下平移，振幅與週期不變；

y = a sin x

（

a > 0

）是鉛直伸縮，振幅變成

a

，週期不變。

02第 3、4 題：估計弧度角的位置、由最高點與最低點決定正弦函數

第 3 題答案 (2)。先估

π^{2}

的大小：由

3.14 < π < 3.15

得

9.85 < π^{2} < 9.93

。再和

π

的倍數比：

3 π \approx 9.42

而

\frac{10 π}{3} \approx 10.47

（就是

3 π

再多

\frac{π}{3}

），所以

π^{2}

介於

3 π

與

\frac{10 π}{3}

之間。餘弦的值每轉一圈（

2 π

）重複一次，因此

a = cos (π^{2} - 2 π)

，其中的角

π^{2} - 2 π

介於

π

與

\frac{4 π}{3}

之間。角從

π

增加到

\frac{4 π}{3}

時，單位圓上對應的點從

(- 1, 0)

沿圓走進第三象限，它的

x

坐標（就是餘弦值）由

- 1

一路增加到

- \frac{1}{2}

。因此

a

比

- 1

大、比

- \frac{1}{2}

小，落在選項 (2) 的範圍。

π^{2} - 3 π = π (π - 3) \approx 0.445

弧度，約

25. 5^{\circ}

，比

6 0^{\circ}

小；

a \approx - 0.903

。

π^{2}

不是

π

的整數倍，所以

a

不會剛好是

- 1

。

第 4 題答案 (1)(3)(4)(5)。因為

A > 0

，最大值是

A + k

、最小值是

- A + k

：

A + k = 4

，

- A + k = - 2

，解得

A = 3

，

k = 1

。同一週期內最高點與最低點的

x

坐標相差半個週期：

\frac{5 π}{8} - \frac{π}{8} = \frac{π}{2}

，所以週期是

π

；由

\frac{2 π}{b} = π

（

b > 0

）得

b = 2

。最高點發生在

sin (b x + c) = 1

：

2 \times \frac{π}{8} + c = \frac{π}{2} + 2 nπ

（

n

為整數），

c = \frac{π}{4} + 2 nπ

；要

0 \leq c < 2 π

，只有

c = \frac{π}{4}

。檢查最低點：

2 \times \frac{5 π}{8} + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2}

，

sin \frac{3 π}{2} = - 1

，

y = - 3 + 1 = - 2

，符合。所以

y = 3 sin (2 x + \frac{π}{4}) + 1

。(1) 對：

A = 3

。(2) 錯：

b = 2

，不是

\frac{1}{2}

。(3) 對：

b = 2

。(4) 對：

c = \frac{π}{4}

。(5) 對：

k = 1

。

這一題印在「三、單選題」底下，但由題目條件算出來

A

、

b

、

c

、

k

的值都唯一確定，五個選項中有四個成立，只有 (2) 不成立；本頁照計算結果列出全部成立的選項。最高點到最低點是半個週期，不是一個週期；把半個週期當成週期會算出

b = 4

。

y = A sin (b x + c) + k

（

A > 0

，

b > 0

）：最大值與最小值的平均是

k

、差的一半是

A

；相鄰的最高點與最低點相隔半個週期。

03填充第 5、6 題：扇形、綑綁圓罐的繩長

第 5 題扇形的周長是兩條半徑加一段弧：弧長

s = 30 - 2 \times 10 = 10

（公分）。(1) 由

s = r θ

：

10 = 10 θ

，

θ = 1

（弳）。(2) 面積

= \frac{1}{2} r s = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50

（平方公分）。

周長不是只有弧長，要先扣掉兩條半徑。圓心角

1

弳約

57. 3^{\circ}

；面積也可以用

\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 1 0^{2} \times 1 = 50

。

第 6 題繩子拉緊時，由直線段與貼著圓罐的圓弧組成。四個圓心連成邊長

4 + 4 = 8

的正方形。直線段：繩子在上、下、左、右四側各有一段與兩個圓相切的線段，每段與正方形的一邊平行、長度等於相鄰兩圓心的距離

8

，共

4 \times 8 = 32

。圓弧：繩子在四個角落各貼著一個圓罐轉彎，每次由一個方向轉到與它垂直的方向，貼著圓的弧所對的圓心角是

\frac{π}{2}

，弧長

4 \times \frac{π}{2} = 2 π

；四段合起來是

8 π

，剛好是一整個圓的周長。所以繩長至少

32 + 8 π

公分。

繩子繞一圈回到原來的方向，一共轉了

2 π

，所以不管幾個圓罐排成一圈，圓弧部分合起來都是一個圓周長

2 π \times 4 = 8 π

。數值約

57.1

公分。

扇形用

s = r θ

、面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} r s

；繞一圈的繩長

=

各直線段的和

+

一個圓周長。

04填充第 7、8 題：弧度角的象限、等間隔的號碼

第 7 題第二象限角是介於

\frac{π}{2}

與

π

之間的角，再加上

2 π

的整數倍。用

π \approx 3.14

：第一圈是

\frac{π}{2} \approx 1.57

到

π \approx 3.14

，其中的正整數有

2

、

3

。第二圈是

\frac{π}{2} + 2 π = \frac{5 π}{2} \approx 7.85

到

3 π \approx 9.42

，其中的正整數有

8

、

9

。第三圈從

\frac{9 π}{2} \approx 14.1

開始，已經超過

10

。所以共有

4

個（

2

、

3

、

8

、

9

弳）。

其餘各數：

1

、

7

是第一象限角，

4

、

10

是第三象限角，

5

、

6

是第四象限角。

3

弳約

171. 9^{\circ}

，還沒超過

18 0^{\circ}

；

9

弳比

3 π \approx 9.42

小，仍在第二象限。

第 8 題中獎號碼是

32, 112, 192, \dots

，每次加

80

，加了

m

次是

32 + 80 m

。要

32 + 80 m \leq 2000

，即

80 m \leq 1968

，

m \leq 24.6

，

m

最大取

24

。最大的中獎號碼是

32 + 80 \times 24 = 1952

號。

再加一次是

2032

，已經超過

2000

。也可以用

2000 = 80 \times 25

：每

80

號一組共

25

組，每組恰有一個中獎號碼，最後一組（

1921

～

2000

）裡的是

1920 + 32 = 1952

。

05填充第 9、10 題：由圖形讀週期與振幅、正弦型函數的基本性質

第 9 題(1)

A

、

B

都是圖形的最高點（都在水平線

y = 3

上）。從圖上數：由

A

往右到

B

，中間還隔著兩個最高點，所以

A

到

B

恰好是

3

個週期。

A

、

B

的

x

坐標相差

\frac{13 π}{12} - (- \frac{23 π}{12}) = \frac{36 π}{12} = 3 π

，週期

= \frac{3 π}{3} = π

。(2) 圖形的最高點在

y = 3

上、最低點在

y = - 1

上，最大值

3

、最小值

- 1

，振幅

= \frac{3 - ( - 1 )}{2} = 2

。

振幅是最大值與最小值的差的一半，不是最大值

3

；這個圖形的中心線是

y = \frac{3 + ( - 1 )}{2} = 1

，不是

x

軸。數週期時數的是「間隔」：

A

與

B

之間有兩個最高點，間隔是

3

個。

第 10 題(1) 任何實數

x

都可以代入

sin 4 x

，定義域是所有實數。(2)

x

為任意實數時

- 1 \leq sin 4 x \leq 1

，乘以

3

再加

2

：

- 1 \leq f (x) \leq 5

，而且兩端都取得到，值域是

- 1 \leq y \leq 5

。(3)

y = sin x

的週期是

2 π

，

x

的係數是

4

，圖形在水平方向縮為

\frac{1}{4}

倍，週期

= \frac{2 π}{4} = \frac{π}{2}

。(4) 振幅

= \frac{5 - ( - 1 )}{2} = 3

，就是

sin 4 x

前面的係數。

前面的

2

只讓圖形往上平移，不改變週期與振幅，但會改變值域。值域也可以寫成區間

[- 1, 5]

。

y = k + a sin b x

（

a > 0

，

b > 0

）：值域是

k - a

到

k + a

，振幅

a

，週期

\frac{2 π}{b}

。

06第 11、12 題：指數方程式與不等式、半衰期

第 11 題(1)

8 = 2^{3}

，所以

2^{3 x + 1} = 2^{3}

。底數相同，指數相等：

3 x + 1 = 3

，

x = \frac{2}{3}

。(2) 兩邊都化成以

3

為底：

2 7^{2 x + 1} = 3^{3 (2 x + 1)} = 3^{6 x + 3}

，

9^{x + 2} = 3^{2 (x + 2)} = 3^{2 x + 4}

。底數

3 > 1

，

y = 3^{x}

的值隨

x

增加而增加，所以

6 x + 3 < 2 x + 4

，

4 x < 1

，

x < \frac{1}{4}

。

化成同底之後，底數大於

1

時指數的大小順序與原來的不等號方向相同；底數介於

0

與

1

之間時才要反向。

第 12 題每經過

30

年質量變為原來的

\frac{1}{2}

。

120

年是

\frac{120}{30} = 4

個半衰期，所以質量是

100 \times (\frac{1}{2})^{4} = \frac{100}{16} = 6.25

（公克）。

也可以一路減半來數：

100 \to 50 \to 25 \to 12.5 \to 6.25

，共減半

4

次。不是每

30

年減少固定的公克數。

指數方程式與不等式先化成同底；半衰期問題先算經過了幾個半衰期，再乘上

\frac{1}{2}

的那個次方。

07計算第 13、14 題：用圖形數實根、弧度角的正負

第 13 題實根個數就是

y = sin (π x)

的圖形與直線

y = \frac{x}{6}

的交點個數。

y = sin (π x)

的週期是

\frac{2 π}{π} = 2

，在

x \geq 0

的部分，波峰所在的區間（值為正）依序是

0 < x < 1

與

2 < x < 3

與

4 < x < 5

等等，每個波峰的最高點在區間正中央（

x = \frac{1}{2}

與

\frac{5}{2}

與

\frac{9}{2}

等等），高度都是

1

。因為

- 1 \leq sin (π x) \leq 1

，交點只會出現在

- 1 \leq \frac{x}{6} \leq 1

，即

- 6 \leq x \leq 6

。①

x = 0

：兩邊都是

0

，是一個根。②

x > 0

：直線的值為正，只看波峰所在的三個區間。在

0 < x < 1

：兩個圖形都從原點出發，一開始曲線上升得比直線快（例如

x = \frac{1}{2}

時曲線高度

1

、直線高度

\frac{1}{12}

），到

x = 1

曲線回到

0

、直線高度

\frac{1}{6}

，所以曲線由上方降到下方，交

1

點。在

2 < x < 3

：左端曲線高度

0

、直線高度

\frac{1}{3}

，曲線在下；

x = \frac{5}{2}

時曲線高度

1

、直線高度

\frac{5}{12}

，曲線在上；右端曲線回到

0

、直線高度

\frac{1}{2}

，曲線在下。曲線上升時交

1

點、下降時再交

1

點，共

2

點。在

4 < x < 5

：同樣地，

x = \frac{9}{2}

時曲線高度

1

、直線高度

\frac{3}{4}

，曲線仍在上，兩端曲線在下，交

2

點。

5 \leq x \leq 6

時曲線的值不是正的，沒有交點。正的根共

1 + 2 + 2 = 5

個。③

x < 0

：

y = sin (π x)

與

y = \frac{x}{6}

的圖形都對稱於原點，負的根也有

5

個。合計

5 + 1 + 5 = 11

個。

x = 6

時直線高度剛好是

1

，但曲線高度是

sin 6 π = 0

，不是根；最後一個波峰的最高點在

x = \frac{9}{2}

，那裡直線高度只有

\frac{3}{4}

，還低於

1

，所以交得到兩點。原點那個根只算一次。

第 14 題沒有度的記號就是弧度。先看

- 4

弳是第幾象限角：加一圈

2 π

得同界角

2 π - 4 \approx 6.28 - 4 = 2.28

，而

\frac{π}{2} \approx 1.57 < 2.28 < π \approx 3.14

，所以

- 4

弳是第二象限角。第二象限角的正弦值為正、正切值為負：

sin (- 4) > 0

，

tan (- 4) < 0

。點

P

的

x

坐標為正、

y

坐標為負，在第四象限。

也可以先看

4

弳：

π < 4 < \frac{3 π}{2} \approx 4.71

，是第三象限角，

sin 4 < 0

、

tan 4 > 0

；再用

sin (- θ) = - sin θ

、

tan (- θ) = - tan θ

得到同樣的正負。數值約為

P (0.757, - 1.158)

。

一邊是正弦曲線、一邊是直線的方程式：先用正弦值的範圍把

x

框住，再一個波峰一個波峰比高低來數交點，並利用對稱性。

08計算第 15、16 題：三圓共同部分的面積、正弦方程式

第 15 題以

A

為圓心、

a

為半徑的圓通過

B

、

C

（因為

\overline{A B} = \overline{A C} = a

），另外兩個圓也各通過其餘兩個頂點。三圓的共同部分是以

A

、

B

、

C

為頂點、三邊各換成圓弧的區域：弧

B C

在圓

A

上、弧

C A

在圓

B

上、弧

A B

在圓

C

上。把這個區域拆成正三角形

A B C

加上三個全等的弓形。正三角形面積

= \frac{3}{4} a^{2}

。以

A

為圓心、半徑

a

、圓心角

∠ B A C = \frac{π}{3}

的扇形面積

= \frac{1}{2} a^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{π}{6} a^{2}

。一個弓形

=

扇形

-

正三角形

= \frac{π}{6} a^{2} - \frac{3}{4} a^{2}

。所求

= \frac{3}{4} a^{2} + 3 (\frac{π}{6} a^{2} - \frac{3}{4} a^{2}) = \frac{π}{2} a^{2} - \frac{3}{2} a^{2} = \frac{π - 3}{2} a^{2}

。

也可以看成三個扇形相加再扣掉重複算的部分：三個扇形都蓋住正三角形，正三角形被算了

3

次，要減掉

2

次，

3 \times \frac{π}{6} a^{2} - 2 \times \frac{3}{4} a^{2}

，結果相同。數值約

0.705 a^{2}

。扇形面積公式的圓心角要用弧度

\frac{π}{3}

。

第 16 題正弦值為負，角在第三、第四象限；

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

，參考角是

\frac{π}{6}

。在第一圈

0 \leq x < 2 π

：

x = π + \frac{π}{6} = \frac{7 π}{6}

或

x = 2 π - \frac{π}{6} = \frac{11 π}{6}

。正弦函數的週期是

2 π

，第二圈

2 π \leq x \leq 4 π

的解是第一圈的解各加

2 π

：

x = \frac{7 π}{6} + 2 π = \frac{19 π}{6}

或

x = \frac{11 π}{6} + 2 π = \frac{23 π}{6}

。所以

x = \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}, \frac{19 π}{6}, \frac{23 π}{6}

。

範圍是

0

到

4 π

，共兩圈，每圈兩個解，一共四個；端點

0

與

4 π

的正弦值是

0

，不是解。

解

sin x = k

：先在一圈內用參考角找出兩個解，再依範圍加上

2 π

的整數倍。

09計算第 17、18 題：餘弦不等式、化成正弦的二次式求極值

第 17 題先找等號成立的位置。

cos x

是單位圓上角

x

對應的點的

x

坐標。餘弦值為負，角在第二、第三象限；

cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

，參考角是

\frac{π}{3}

，所以在

0 \leq x < 2 π

內

cos x = - \frac{1}{2}

的角是

x = π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

與

x = π + \frac{π}{3} = \frac{4 π}{3}

。再看單位圓：角從

0

增加到

π

時，點的

x

坐標由

1

一路減少到

- 1

，在

\frac{2 π}{3}

時降到

- \frac{1}{2}

；角從

π

增加到

2 π

時，

x

坐標由

- 1

一路增加回

1

，在

\frac{4 π}{3}

時回到

- \frac{1}{2}

。

x

坐標不超過

- \frac{1}{2}

的是直線

x = - \frac{1}{2}

左側（含線上）的那段圓弧，對應

\frac{2 π}{3} \leq x \leq \frac{4 π}{3}

。

不等式含等號，兩個端點都要包含。

cos x \leq - \frac{1}{2}

是「更負」，是靠近

π

的中間這一段，不是兩側。

第 18 題用

cos^{2} x = 1 - sin^{2} x

把式子全部換成

sin x

：

f (x) = 4 (1 - sin^{2} x) - 12 sin x - 3 = - 4 sin^{2} x - 12 sin x + 1

。令

t = sin x

，先求

t

的範圍：

x

由

\frac{π}{3}

增加到

\frac{π}{2}

時，

sin x

由

\frac{3}{2}

增加到

1

；

x

由

\frac{π}{2}

增加到

\frac{7 π}{6}

時，

sin x

由

1

減少到

sin \frac{7 π}{6} = - \frac{1}{2}

。所以

- \frac{1}{2} \leq t \leq 1

。配方：

g (t) = - 4 t^{2} - 12 t + 1 = - 4 (t + \frac{3}{2})^{2} + 10

，圖形是開口向下的拋物線，頂點在

t = - \frac{3}{2}

；

- \frac{1}{2} \leq t \leq 1

這一段在頂點右側，

g

隨

t

增加而減少。(1) 最大值在

t = - \frac{1}{2}

（即

x = \frac{7 π}{6}

）：

g (- \frac{1}{2}) = - 4 \times \frac{1}{4} + 6 + 1 = 6

。(2) 最小值在

t = 1

（即

x = \frac{π}{2}

）：

g (1) = - 4 - 12 + 1 = - 15

。

t

的範圍不是把兩個端點

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

與

sin \frac{7 π}{6} = - \frac{1}{2}

直接當上下界：中間經過

x = \frac{π}{2}

，

sin x

會到

1

。頂點

t = - \frac{3}{2}

不在正弦值的範圍內，最大值不是

10

。

同時有

cos^{2} x

與

sin x

時用平方關係換成

sin x

的二次式；換元之後一定要由

x

的範圍重新求新變數的範圍。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

建國中學 111 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

建國中學 111 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要先估出 π 的平方夾在哪兩個特殊角之間，再用週期換回一圈之內；第 6 題的繩子除了四段直線，四個轉角的弧合起來剛好是一整個圓；第 13 題的直線很平，要一個一個波峰去數交點，原點那個解只算一次，直線高度到 1 的地方曲線剛好是 0，不是解；第 18 題換成正弦的二次式之後，正弦值的範圍要由 x 的範圍重新求，最大值出現在正弦值最小的地方。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自建國中學 111 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

建國中學 111 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 18 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01第 1、2 題：度與弧度互換、正弦圖形的平移與伸縮

02第 3、4 題：估計弧度角的位置、由最高點與最低點決定正弦函數

03填充第 5、6 題：扇形、綑綁圓罐的繩長

04填充第 7、8 題：弧度角的象限、等間隔的號碼

05填充第 9、10 題：由圖形讀週期與振幅、正弦型函數的基本性質

06第 11、12 題：指數方程式與不等式、半衰期

07計算第 13、14 題：用圖形數實根、弧度角的正負

08計算第 15、16 題：三圓共同部分的面積、正弦方程式

09計算第 17、18 題：餘弦不等式、化成正弦的二次式求極值

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

建國中學 111 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

建國中學 111 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

建國中學 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

建國中學 111 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

建國中學 111 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？