段考詳解範圍：指數與對數函數（對數律與換底公式、指數與對數函數的圖形、常用對數的應用）

武陵高中 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 武陵高中 111 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 武陵高中 111 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題選項 (5) 要把 1/a 加 1/b 換成同底的對數，乘回 ab 時因為 ab 是負數，不等號要反向；第 2 題的「消除 10%」是剩下 0.9 倍，選項 (4)(5) 要用 log 2 與 log 3 估算；第 3 題選項 (4) 容易漏掉負的那個解；填充第 8 題（本頁第 11 題）a 與 b 之間的中間值 3/4 要自己找。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

多選題 3 題（每題 10 分，共 30 分；答錯 1 個選項得 6 分，答錯 2 個選項得 2 分，答錯 3 個以上選項 0 分）、填充題 8 題（依答對題數給分，全對 49 分）、計算與證明題 2 題（第 1 題 7 分，第 2 題兩小題 6＋8 分，共 21 分），合計 100 分。原卷各大題各自從 1 編號，本頁全卷連續編號：多選題為第 1～3 題，填充題第 1～8 題為本頁第 4～11 題，計算與證明題第 1 題為本頁第 12 題、第 2 題的 (1)(2) 為本頁第 13～14 題。答案已與學校公布的答案逐題核對（證明題除外，學校答案卷沒有印證明）。

一、多選題（每題 10 分，每題答錯 1 個選項得 6 分，答錯 2 個選項得 2 分，答錯 3 個以上選項 0 分）

設

a = lo g_{0.2} 0.3

，

b = lo g_{2} 0.3

，則下列何者正確？

(1) $a > 1$
(2) $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$
(3) $ab < 0$
(4) $a + b < 0$
(5) $ab < a + b$

某工廠產生的廢氣經過過濾後排放，過濾過程中廢氣的剩餘污染物數量

P

（mg/L）與過濾開始後的時間

t

（小時）的關係為

P_{t} = P_{0} \times 1 0^{- k t}

，其中

P_{0}

為過濾開始時廢氣的污染物數量，

k

為常數。如果過濾開始後經過

5

個小時消除了

10%

的污染物，則下列敘述何者正確？（參考資料：

lo g 2 = 0.30

，

lo g 3 = 0.48

）

(1) $k = \frac{1}{5} lo g 0.9$
(2) $P_{t} = P_{0} \times 0. 9^{\frac{t}{5}}$
(3) 隨著時間增加，每個小時減少的汙染物的量愈來愈少
(4) 過濾開始後 $30$ 小時，污染物可減少 $50%$ 以上
(5) 過濾開始後至少要超過 $4$ 天，汙染物才可以減少 $90%$ 以上

關於指數函數或對數函數圖形的敘述，下列哪些選項是正確的？

(1) $y = 202 2^{x}$ 的圖形恆在 $y = 11 1^{x}$ 的上方
(2) $y = lo g_{111} x$ 與 $y = 11 1^{x}$ 的圖形對稱於 $y = x$
(3) $y = lo g_{2} ∣ x ∣$ 的圖形對稱軸為 $x$ 軸
(4) 方程式 $2^{x} = x^{2}$ 有 $3$ 個解
(5) $y = lo g_{2022} (x^{2} - 10 x + 20)$ 的圖形與 $x$ 軸不相交

二、填充題（答對題數與得分：答對 1 題 8 分、2 題 16 分、3 題 23 分、4 題 30 分、5 題 36 分、6 題 42 分、7 題 46 分、8 題 49 分）

設

lo g x = 5.6789

，若

x

的整數部分有

n

位數，首位數字為

m

，則

m + n =

____。（參考資料：

lo g 2 = 0.30

，

lo g 3 = 0.48

）

已知

lo g_{18} 9 = a

，

1 8^{b} = 5

，則

lo g_{36} 45 =

____（以

a, b

表示）

若

2^{a} = 5^{b}

，且

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2

，則

2^{a} \cdot 5^{b} =

____。

計算

lo g 5 \cdot (lo g 8 + lo g 1000) + 3 (lo g 2)^{2} + lo g \frac{1}{6} + lo g 0.06

之值為 ____。

曲線

y = lo g_{a} x

的部分圖形與

x

軸的關係如圖所示，其中

A, P, B

為

x

軸上的相異三點，且

\overline{B P} = 2 \overline{P A}

，過

A, B

分別作

x

軸的垂線，並交曲線

y = lo g_{a} x

的圖形於

Q, R

，且

\overline{A Q} = \overline{B R}

，則

\overline{A B} =

____。

載入中...

若實數

a

滿足

3^{x} + x - 2 = 0

，實數

b

滿足

lo g_{3} x + x - 2 = 0

，則

a + b =

____。

如圖，矩形

A B C D

的三個頂點

A, B, C

分別在函數

y = lo g_{\frac{2}{2}} x

，

y = x^{\frac{1}{2}}

，

y = (\frac{2}{2})^{x}

的圖形上，且矩形的邊分別平行於兩坐標軸。若

A

點的

y

坐標為

2

，則

D

點的坐標為 ____。

載入中...

已知

5^{5} < 8^{4}

，

1 3^{4} < 8^{5}

，設

a = lo g_{5} 3

，

b = lo g_{8} 5

，

c = lo g_{13} 8

，則

a, b, c

的大小關係為 ____。

三、計算與證明題

設

a > 0, a \neq = 1

，

x, y

均為正數，證明

lo g_{a} x - lo g_{a} y = lo g_{a} \frac{x}{y}

。（7 分）

計算與證明題第 2 題（本頁第 13～14 題）（第 13～14 題）　我們知道，聲音通過空氣傳播時會引起區域性的壓強值改變，物理學中稱為“聲壓”，用

P

表示（單位：Pa（帕）），“聲壓級”

S

（單位：dB（分貝））表示聲壓的相對大小。已知

S

與“某聲音的聲壓

P

與基準聲壓

P_{0} = 2 \times 1 0^{- 5}

Pa 的比值的常用對數（以

10

為底的對數）值成正比”，即

S = k \cdot lo g \frac{P}{2 \times 1 0 ^{- 5}}

（

k

為常數）。當聲壓級

S

提高

60

dB 時，聲壓

P

會變為原來的

1000

倍。

k

之值為何？（6 分）

已知兩個不同的聲源產生的聲壓

P_{1}

，

P_{2}

疊加後得到的總聲壓

P = P_{1}^{2} + P_{2}^{2}

。現窗外同時有兩個聲壓級為

40

dB 的聲源，在不考慮其他因素的情況下，請問這兩個聲源疊加後聲壓級為多少分貝？（參考資料：

lo g 2 \approx 0.3

）（8 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)(4)(5)

第 2 題(2)(3)(5)

第 3 題(2)(4)

第 4 題

10

第 5 題

\frac{b + a}{2 - a}

第 6 題

10

第 7 題

1

第 8 題

\frac{3}{2}

第 9 題

2

第 10 題

(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})

第 11 題

a < b < c

第 12 題證明見詳解（設

lo g_{a} x = m

、

lo g_{a} y = n

，化成指數後相除）

第 13 題

k = 20

第 14 題約

43

分貝

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1～3 題：對數的正負、衰減模型、圖形的性質

第 1 題答案 (3)(4)(5)。先定出兩數的範圍。底數

0.2

小於

1

，對數函數遞減，而

0.2 < 0.3 < 1

，所以

lo g_{0.2} 1 < lo g_{0.2} 0.3 < lo g_{0.2} 0.2

，即

0 < a < 1

。底數

2

大於

1

，對數函數遞增，而

\frac{1}{4} < 0.3 < \frac{1}{2}

，所以

- 2 < b < - 1

。(1) 錯：

a < 1

。(2) 錯：

\frac{1}{a} > 0

而

\frac{1}{b} < 0

，應是

\frac{1}{a} > \frac{1}{b}

。(3) 對：

a

正、

b

負，

ab < 0

。(4) 對：

a < 1

且

b < - 1

，相加得

a + b < 0

。(5) 對：由換底公式

\frac{1}{a} = lo g_{0.3} 0.2

、

\frac{1}{b} = lo g_{0.3} 2

，所以

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = lo g_{0.3} (0.2 \times 2) = lo g_{0.3} 0.4

；底數

0.3

小於

1

且

0.3 < 0.4 < 1

，故

0 < lo g_{0.3} 0.4 < 1

，也就是

\frac{a + b}{ab} < 1

。兩邊同乘以負數

ab

，不等號反向，得

a + b > ab

。

(5) 的關鍵是把

\frac{1}{a} + \frac{1}{b}

換成同底的對數相加；最後乘以

ab

時，

ab

是負的，不等號要反向。

第 2 題答案 (2)(3)(5)。經過

5

小時消除

10%

，剩下

90%

：

P_{0} \times 1 0^{- 5 k} = 0.9 P_{0}

，所以

1 0^{- 5 k} = 0.9

。(1) 錯：

- 5 k = lo g 0.9

，

k = - \frac{1}{5} lo g 0.9

，少了負號（

lo g 0.9 < 0

，

k

是正數）。(2) 對：

1 0^{- k t} = (1 0^{- 5 k})^{\frac{t}{5}} = 0. 9^{\frac{t}{5}}

，所以

P_{t} = P_{0} \times 0. 9^{\frac{t}{5}}

。(3) 對：第

t

到第

t + 1

小時減少的量是

P_{t} - P_{t + 1} = P_{t} (1 - 0. 9^{\frac{1}{5}})

，括號是固定的正數，而

P_{t}

隨時間愈來愈小，所以每小時減少的量愈來愈少。(4) 錯：

t = 30

時剩下

0. 9^{6}

倍。

lo g 0.9 = 2 lo g 3 - 1 = - 0.04

，

lo g 0. 9^{6} = - 0.24

；而

lo g 0.5 = - 0.30

。因為

- 0.24 > - 0.30

，

0. 9^{6} > 0.5

，剩下的超過一半，減少不到

50%

。(5) 對：減少

90%

以上就是

0. 9^{\frac{t}{5}} \leq 0.1

，取常用對數得

\frac{t}{5} \times (- 0.04) \leq - 1

，

t \geq 125

小時。

4

天只有

96

小時，還不夠，所以一定要超過

4

天。

「消除了

10%

」是剩下

0.9

倍，不是剩下

0.1

倍。(4) 實際算

0. 9^{6} \approx 0.531

，只減少約

47%

。

第 3 題答案 (2)(4)。(1) 錯：

x = 0

時兩個函數值都是

1

，圖形相交；

x < 0

時例如

x = - 1

，

\frac{1}{2022} < \frac{1}{111}

，

y = 202 2^{x}

反而在下方。(2) 對：

y = lo g_{111} x

與

y = 11 1^{x}

是同底的對數函數與指數函數，圖形對稱於直線

y = x

。(3) 錯：把

x

換成

- x

時

lo g_{2} ∣ - x ∣ = lo g_{2} ∣ x ∣

，函數值不變，圖形對稱於

y

軸，不是

x

軸（例如點

(2, 1)

在圖形上，

(2, - 1)

不在）。(4) 對：

x = 2

時

4 = 4

，

x = 4

時

16 = 16

，是兩個解；

x < 0

的部分，

x = - 1

時

2^{- 1} = \frac{1}{2} < 1 = (- 1)^{2}

，

x = 0

時

2^{0} = 1 > 0

，而這一段

y = 2^{x}

遞增、

y = x^{2}

遞減，所以

- 1

與

0

之間恰有一個交點。其餘位置由圖形可知不再相交：

0 < x < 2

時

2^{x}

在上（如

x = 1

：

2 > 1

），

2 < x < 4

時

x^{2}

在上（如

x = 3

：

8 < 9

），

x > 4

之後

2^{x}

一直在上（如

x = 5

：

32 > 25

）。共

3

個解。(5) 錯：與

x

軸相交就是

y = 0

，即

x^{2} - 10 x + 20 = 1

，

x^{2} - 10 x + 19 = 0

，判別式

100 - 76 = 24 > 0

，有兩個實根

x = 5 \pm 6

，圖形與

x

軸交於兩點。

(4) 最容易漏掉負的那一個解。(5) 不是看真數

x^{2} - 10 x + 20

有沒有等於

0

，而是看它有沒有等於

1

。

02填充第 1～4 題（本頁 4～7）：首數與尾數、換底、指數化對數、化簡

第 4 題

lo g x = 5 + 0.6789

，所以

x = 1 0^{0.6789} \times 1 0^{5}

，其中

1 \leq 1 0^{0.6789} < 10

。首數是

5

，

x

的整數部分有

5 + 1 = 6

位數，

n = 6

。再看尾數

0.6789

：

lo g 4 = 2 lo g 2 = 0.60

，

lo g 5 = 1 - lo g 2 = 0.70

，而

0.60 < 0.6789 < 0.70

，所以

4 < 1 0^{0.6789} < 5

，首位數字

m = 4

。故

m + n = 10

。

位數是首數加

1

；首位數字要拿尾數去和

lo g 2, lo g 3, lo g 4, lo g 5, \dots

比。

第 5 題

1 8^{b} = 5

就是

lo g_{18} 5 = b

。全部換成以

18

為底：

lo g_{36} 45 = \frac{lo g _{18} 45}{lo g _{18} 36}

。分子

lo g_{18} 45 = lo g_{18} 9 + lo g_{18} 5 = a + b

。分母

lo g_{18} 36 = lo g_{18} 18 + lo g_{18} 2 = 1 + lo g_{18} 2

，而

lo g_{18} 2 = lo g_{18} \frac{18}{9} = 1 - a

，所以分母是

2 - a

。故

lo g_{36} 45 = \frac{a + b}{2 - a}

。

36

不能直接用

9

和

5

湊出來，要先用

2 = \frac{18}{9}

把

lo g_{18} 2

寫成

1 - a

。

第 6 題設

2^{a} = 5^{b} = k

（由

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2

知

a, b

都不是

0

，所以

k > 0

且

k \neq = 1

）。則

a = lo g_{2} k

、

b = lo g_{5} k

，由換底公式

\frac{1}{a} = lo g_{k} 2

、

\frac{1}{b} = lo g_{k} 5

。代入條件：

lo g_{k} 2 + lo g_{k} 5 = lo g_{k} 10 = 2

，所以

k^{2} = 10

。所求

2^{a} \cdot 5^{b} = k \cdot k = k^{2} = 10

。

第 7 題令

lo g 2 = t

，則

lo g 5 = 1 - t

、

lo g 8 = 3 t

、

lo g 1000 = 3

。前兩項：

(1 - t) (3 t + 3) + 3 t^{2} = 3 (1 - t) (1 + t) + 3 t^{2} = 3 - 3 t^{2} + 3 t^{2} = 3

。後兩項：

lo g \frac{1}{6} + lo g 0.06 = lo g (\frac{1}{6} \times 0.06) = lo g 0.01 = - 2

。原式

= 3 - 2 = 1

。

03填充第 5～8 題（本頁 8～11）：圖形上的點、對稱、矩形頂點、比大小

第 8 題曲線與

x

軸的交點

P

滿足

lo g_{a} x = 0

，所以

P (1, 0)

。由圖，

A

在

P

的左邊、

B

在

P

的右邊。設

\overline{P A} = d

（

0 < d < 1

），則

\overline{B P} = 2 d

，

A (1 - d, 0)

、

B (1 + 2 d, 0)

，

Q

的

y

坐標是

lo g_{a} (1 - d)

，

R

的

y

坐標是

lo g_{a} (1 + 2 d)

。

1 - d < 1 < 1 + 2 d

，這兩個對數值一正一負；

\overline{A Q} = \overline{B R}

表示兩者的絕對值相等，所以

lo g_{a} (1 - d) + lo g_{a} (1 + 2 d) = 0

，即

(1 - d) (1 + 2 d) = 1

。展開得

d - 2 d^{2} = 0

，

d = \frac{1}{2}

（

d = 0

不合）。故

\overline{A B} = 3 d = \frac{3}{2}

。

答案與底數

a

無關：

A (\frac{1}{2}, 0)

、

B (2, 0)

，兩點的

x

坐標互為倒數，對數值正好差一個負號。

第 9 題

a

是

y = 3^{x}

與直線

y = 2 - x

交點的

x

坐標，

b

是

y = lo g_{3} x

與直線

y = 2 - x

交點的

x

坐標。

y = 3^{x}

與

y = lo g_{3} x

的圖形對稱於直線

y = x

；直線

y = 2 - x

（即

x + y = 2

）把

x, y

對調後還是自己，也對稱於

y = x

。所以第一個交點

(a, 2 - a)

對

y = x

的對稱點

(2 - a, a)

同時在

y = lo g_{3} x

與

y = 2 - x

上。又

lo g_{3} x + x

隨

x

增加而增加，方程式

lo g_{3} x + x - 2 = 0

只有一個解，所以

b = 2 - a

，

a + b = 2

。

兩個方程式都解不出漂亮的數，不必去解；用對稱看出兩個交點互為對稱點即可。

第 10 題

A

在

y = lo g_{\frac{2}{2}} x

上且

y

坐標為

2

：

x = (\frac{2}{2})^{2} = \frac{1}{2}

，所以

A (\frac{1}{2}, 2)

。

\overline{A B}

平行

x

軸，

B

的

y

坐標也是

2

；

B

在

y = x^{\frac{1}{2}}

上：

x = 2

，

x = 4

，所以

B (4, 2)

。

\overline{B C}

平行

y

軸，

C

的

x

坐標是

4

；

C

在

y = (\frac{2}{2})^{x}

上：

y = (\frac{2}{2})^{4} = \frac{1}{4}

，所以

C (4, \frac{1}{4})

。

D

與

A

的

x

坐標相同、與

C

的

y

坐標相同，故

D (\frac{1}{2}, \frac{1}{4})

。

本頁附圖是示意圖，只表示三條曲線的增減與各頂點在哪一條曲線上，不照實際比例。

(\frac{2}{2})^{2} = \frac{1}{2}

、

(\frac{2}{2})^{4} = \frac{1}{4}

，不要算成

2

與

4

。

第 11 題先用題目給的兩個不等式。

5^{5} < 8^{4}

：兩邊取以

8

為底的對數，

5 lo g_{8} 5 < 4

，所以

b < \frac{4}{5}

。

1 3^{4} < 8^{5}

：兩邊取以

13

為底的對數，

4 < 5 lo g_{13} 8

，所以

c > \frac{4}{5}

。故

b < \frac{4}{5} < c

。再比

a

與

b

，改用

\frac{3}{4}

當中間值：

3^{4} = 81 < 125 = 5^{3}

，取以

5

為底的對數得

4 a < 3

，

a < \frac{3}{4}

；

5^{4} = 625 > 512 = 8^{3}

，取以

8

為底的對數得

4 b > 3

，

b > \frac{3}{4}

。所以

a < \frac{3}{4} < b < \frac{4}{5} < c

，即

a < b < c

。

題目只給了分開

b

與

c

的不等式，

a

與

b

之間的中間值

\frac{3}{4}

要自己找（比較

3^{4}

與

5^{3}

、

5^{4}

與

8^{3}

）。

底數不同的對數比大小：找一個分數當中間值，把「對數與分數比大小」改寫成「兩個整數次方比大小」。

04計算與證明題第 1 題（本頁 12）：對數的減法律

第 12 題設

lo g_{a} x = m

、

lo g_{a} y = n

。依對數的定義，

x = a^{m}

、

y = a^{n}

。由指數律，

\frac{x}{y} = \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}

。因為

x, y

都是正數，

\frac{x}{y}

也是正數，再依對數的定義，

lo g_{a} \frac{x}{y} = m - n

。把

m, n

換回去，得

lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y

，得證。

證明的每一步只用「對數的定義」與「指數律」，不能直接引用要證的對數律。條件

a > 0, a \neq = 1

與

x, y

為正數，是為了讓每一個對數都有意義。

05計算與證明題第 2 題（本頁 13～14）：聲壓級

第 13 題記

P_{0} = 2 \times 1 0^{- 5}

。設原來的聲壓為

P

、聲壓級為

S

，則

S = k lo g \frac{P}{P _{0}}

。聲壓變為

1000 P

時聲壓級是

S + 60

：

S + 60 = k lo g \frac{1000 P}{P _{0}} = k (lo g 1000 + lo g \frac{P}{P _{0}}) = 3 k + S

。所以

3 k = 60

，

k = 20

。

第 14 題由上一小題，

S = 20 lo g \frac{P}{P _{0}}

。兩個聲源都是

40

dB：

40 = 20 lo g \frac{P _{1}}{P _{0}}

，

lo g \frac{P _{1}}{P _{0}} = 2

，所以

P_{1} = 100 P_{0}

，同理

P_{2} = 100 P_{0}

。疊加後

P = P_{1}^{2} + P_{2}^{2} = 2 \times (100 P_{0})^{2} = 1002 P_{0}

。聲壓級

S = 20 lo g (1002) = 20 (2 + \frac{1}{2} lo g 2) = 40 + 10 lo g 2 \approx 40 + 10 \times 0.3 = 43

。疊加後約為

43

分貝。

兩個

40

分貝疊加不是

80

分貝。分貝是對數尺度，聲壓變成

2

倍，分貝數只多

20 lo g 2 = 10 lo g 2 \approx 3

。

對數尺度的題目：先把「級數差多少」換成「比值是幾倍」，或反過來；倍數相乘對應到級數相加。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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上傳考卷

常見問題

武陵高中 111 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

武陵高中 111 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題選項 (5) 要把 1/a 加 1/b 換成同底的對數，乘回 ab 時因為 ab 是負數，不等號要反向；第 2 題的「消除 10%」是剩下 0.9 倍，選項 (4)(5) 要用 log 2 與 log 3 估算；第 3 題選項 (4) 容易漏掉負的那個解；填充第 8 題（本頁第 11 題）a 與 b 之間的中間值 3/4 要自己找。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自武陵高中 111 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（對數律與換底公式、指數與對數函數的圖形、常用對數的應用）

武陵高中 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

一、多選題（每題 10 分，每題答錯 1 個選項得 6 分，答錯 2 個選項得 2 分，答錯 3 個以上選項 0 分）

設

a = lo g_{0.2} 0.3

，

b = lo g_{2} 0.3

，則下列何者正確？

(1) $a > 1$
(2) $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$
(3) $ab < 0$
(4) $a + b < 0$
(5) $ab < a + b$

某工廠產生的廢氣經過過濾後排放，過濾過程中廢氣的剩餘污染物數量

P

（mg/L）與過濾開始後的時間

t

（小時）的關係為

P_{t} = P_{0} \times 1 0^{- k t}

，其中

P_{0}

為過濾開始時廢氣的污染物數量，

k

為常數。如果過濾開始後經過

5

個小時消除了

10%

的污染物，則下列敘述何者正確？（參考資料：

lo g 2 = 0.30

，

lo g 3 = 0.48

）

(1) $k = \frac{1}{5} lo g 0.9$
(2) $P_{t} = P_{0} \times 0. 9^{\frac{t}{5}}$
(3) 隨著時間增加，每個小時減少的汙染物的量愈來愈少
(4) 過濾開始後 $30$ 小時，污染物可減少 $50%$ 以上
(5) 過濾開始後至少要超過 $4$ 天，汙染物才可以減少 $90%$ 以上

關於指數函數或對數函數圖形的敘述，下列哪些選項是正確的？

(1) $y = 202 2^{x}$ 的圖形恆在 $y = 11 1^{x}$ 的上方
(2) $y = lo g_{111} x$ 與 $y = 11 1^{x}$ 的圖形對稱於 $y = x$
(3) $y = lo g_{2} ∣ x ∣$ 的圖形對稱軸為 $x$ 軸
(4) 方程式 $2^{x} = x^{2}$ 有 $3$ 個解
(5) $y = lo g_{2022} (x^{2} - 10 x + 20)$ 的圖形與 $x$ 軸不相交

二、填充題（答對題數與得分：答對 1 題 8 分、2 題 16 分、3 題 23 分、4 題 30 分、5 題 36 分、6 題 42 分、7 題 46 分、8 題 49 分）

設

lo g x = 5.6789

，若

x

的整數部分有

n

位數，首位數字為

m

，則

m + n =

____。（參考資料：

lo g 2 = 0.30

，

lo g 3 = 0.48

）

已知

lo g_{18} 9 = a

，

1 8^{b} = 5

，則

lo g_{36} 45 =

____（以

a, b

表示）

若

2^{a} = 5^{b}

，且

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2

，則

2^{a} \cdot 5^{b} =

____。

計算

lo g 5 \cdot (lo g 8 + lo g 1000) + 3 (lo g 2)^{2} + lo g \frac{1}{6} + lo g 0.06

之值為 ____。

曲線

y = lo g_{a} x

的部分圖形與

x

軸的關係如圖所示，其中

A, P, B

為

x

軸上的相異三點，且

\overline{B P} = 2 \overline{P A}

，過

A, B

分別作

x

軸的垂線，並交曲線

y = lo g_{a} x

的圖形於

Q, R

，且

\overline{A Q} = \overline{B R}

，則

\overline{A B} =

____。

載入中...

若實數

a

滿足

3^{x} + x - 2 = 0

，實數

b

滿足

lo g_{3} x + x - 2 = 0

，則

a + b =

____。

如圖，矩形

A B C D

的三個頂點

A, B, C

分別在函數

y = lo g_{\frac{2}{2}} x

，

y = x^{\frac{1}{2}}

，

y = (\frac{2}{2})^{x}

的圖形上，且矩形的邊分別平行於兩坐標軸。若

A

點的

y

坐標為

2

，則

D

點的坐標為 ____。

載入中...

已知

5^{5} < 8^{4}

，

1 3^{4} < 8^{5}

，設

a = lo g_{5} 3

，

b = lo g_{8} 5

，

c = lo g_{13} 8

，則

a, b, c

的大小關係為 ____。

三、計算與證明題

設

a > 0, a \neq = 1

，

x, y

均為正數，證明

lo g_{a} x - lo g_{a} y = lo g_{a} \frac{x}{y}

。（7 分）

計算與證明題第 2 題（本頁第 13～14 題）（第 13～14 題）　我們知道，聲音通過空氣傳播時會引起區域性的壓強值改變，物理學中稱為“聲壓”，用

P

表示（單位：Pa（帕）），“聲壓級”

S

（單位：dB（分貝））表示聲壓的相對大小。已知

S

與“某聲音的聲壓

P

與基準聲壓

P_{0} = 2 \times 1 0^{- 5}

Pa 的比值的常用對數（以

10

為底的對數）值成正比”，即

S = k \cdot lo g \frac{P}{2 \times 1 0 ^{- 5}}

（

k

為常數）。當聲壓級

S

提高

60

dB 時，聲壓

P

會變為原來的

1000

倍。

k

之值為何？（6 分）

已知兩個不同的聲源產生的聲壓

P_{1}

，

P_{2}

疊加後得到的總聲壓

P = P_{1}^{2} + P_{2}^{2}

。現窗外同時有兩個聲壓級為

40

dB 的聲源，在不考慮其他因素的情況下，請問這兩個聲源疊加後聲壓級為多少分貝？（參考資料：

lo g 2 \approx 0.3

）（8 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)(4)(5)

第 2 題(2)(3)(5)

第 3 題(2)(4)

第 4 題

10

第 5 題

\frac{b + a}{2 - a}

第 6 題

10

第 7 題

1

第 8 題

\frac{3}{2}

第 9 題

2

第 10 題

(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})

第 11 題

a < b < c

第 12 題證明見詳解（設

lo g_{a} x = m

、

lo g_{a} y = n

，化成指數後相除）

第 13 題

k = 20

第 14 題約

43

分貝

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1～3 題：對數的正負、衰減模型、圖形的性質

第 1 題答案 (3)(4)(5)。先定出兩數的範圍。底數

0.2

小於

1

，對數函數遞減，而

0.2 < 0.3 < 1

，所以

lo g_{0.2} 1 < lo g_{0.2} 0.3 < lo g_{0.2} 0.2

，即

0 < a < 1

。底數

2

大於

1

，對數函數遞增，而

\frac{1}{4} < 0.3 < \frac{1}{2}

，所以

- 2 < b < - 1

。(1) 錯：

a < 1

。(2) 錯：

\frac{1}{a} > 0

而

\frac{1}{b} < 0

，應是

\frac{1}{a} > \frac{1}{b}

。(3) 對：

a

正、

b

負，

ab < 0

。(4) 對：

a < 1

且

b < - 1

，相加得

a + b < 0

。(5) 對：由換底公式

\frac{1}{a} = lo g_{0.3} 0.2

、

\frac{1}{b} = lo g_{0.3} 2

，所以

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = lo g_{0.3} (0.2 \times 2) = lo g_{0.3} 0.4

；底數

0.3

小於

1

且

0.3 < 0.4 < 1

，故

0 < lo g_{0.3} 0.4 < 1

，也就是

\frac{a + b}{ab} < 1

。兩邊同乘以負數

ab

，不等號反向，得

a + b > ab

。

(5) 的關鍵是把

\frac{1}{a} + \frac{1}{b}

換成同底的對數相加；最後乘以

ab

時，

ab

是負的，不等號要反向。

第 2 題答案 (2)(3)(5)。經過

5

小時消除

10%

，剩下

90%

：

P_{0} \times 1 0^{- 5 k} = 0.9 P_{0}

，所以

1 0^{- 5 k} = 0.9

。(1) 錯：

- 5 k = lo g 0.9

，

k = - \frac{1}{5} lo g 0.9

，少了負號（

lo g 0.9 < 0

，

k

是正數）。(2) 對：

1 0^{- k t} = (1 0^{- 5 k})^{\frac{t}{5}} = 0. 9^{\frac{t}{5}}

，所以

P_{t} = P_{0} \times 0. 9^{\frac{t}{5}}

。(3) 對：第

t

到第

t + 1

小時減少的量是

P_{t} - P_{t + 1} = P_{t} (1 - 0. 9^{\frac{1}{5}})

，括號是固定的正數，而

P_{t}

隨時間愈來愈小，所以每小時減少的量愈來愈少。(4) 錯：

t = 30

時剩下

0. 9^{6}

倍。

lo g 0.9 = 2 lo g 3 - 1 = - 0.04

，

lo g 0. 9^{6} = - 0.24

；而

lo g 0.5 = - 0.30

。因為

- 0.24 > - 0.30

，

0. 9^{6} > 0.5

，剩下的超過一半，減少不到

50%

。(5) 對：減少

90%

以上就是

0. 9^{\frac{t}{5}} \leq 0.1

，取常用對數得

\frac{t}{5} \times (- 0.04) \leq - 1

，

t \geq 125

小時。

4

天只有

96

小時，還不夠，所以一定要超過

4

天。

「消除了

10%

」是剩下

0.9

倍，不是剩下

0.1

倍。(4) 實際算

0. 9^{6} \approx 0.531

，只減少約

47%

。

第 3 題答案 (2)(4)。(1) 錯：

x = 0

時兩個函數值都是

1

，圖形相交；

x < 0

時例如

x = - 1

，

\frac{1}{2022} < \frac{1}{111}

，

y = 202 2^{x}

反而在下方。(2) 對：

y = lo g_{111} x

與

y = 11 1^{x}

是同底的對數函數與指數函數，圖形對稱於直線

y = x

。(3) 錯：把

x

換成

- x

時

lo g_{2} ∣ - x ∣ = lo g_{2} ∣ x ∣

，函數值不變，圖形對稱於

y

軸，不是

x

軸（例如點

(2, 1)

在圖形上，

(2, - 1)

不在）。(4) 對：

x = 2

時

4 = 4

，

x = 4

時

16 = 16

，是兩個解；

x < 0

的部分，

x = - 1

時

2^{- 1} = \frac{1}{2} < 1 = (- 1)^{2}

，

x = 0

時

2^{0} = 1 > 0

，而這一段

y = 2^{x}

遞增、

y = x^{2}

遞減，所以

- 1

與

0

之間恰有一個交點。其餘位置由圖形可知不再相交：

0 < x < 2

時

2^{x}

在上（如

x = 1

：

2 > 1

），

2 < x < 4

時

x^{2}

在上（如

x = 3

：

8 < 9

），

x > 4

之後

2^{x}

一直在上（如

x = 5

：

32 > 25

）。共

3

個解。(5) 錯：與

x

軸相交就是

y = 0

，即

x^{2} - 10 x + 20 = 1

，

x^{2} - 10 x + 19 = 0

，判別式

100 - 76 = 24 > 0

，有兩個實根

x = 5 \pm 6

，圖形與

x

軸交於兩點。

(4) 最容易漏掉負的那一個解。(5) 不是看真數

x^{2} - 10 x + 20

有沒有等於

0

，而是看它有沒有等於

1

。

02填充第 1～4 題（本頁 4～7）：首數與尾數、換底、指數化對數、化簡

第 4 題

lo g x = 5 + 0.6789

，所以

x = 1 0^{0.6789} \times 1 0^{5}

，其中

1 \leq 1 0^{0.6789} < 10

。首數是

5

，

x

的整數部分有

5 + 1 = 6

位數，

n = 6

。再看尾數

0.6789

：

lo g 4 = 2 lo g 2 = 0.60

，

lo g 5 = 1 - lo g 2 = 0.70

，而

0.60 < 0.6789 < 0.70

，所以

4 < 1 0^{0.6789} < 5

，首位數字

m = 4

。故

m + n = 10

。

位數是首數加

1

；首位數字要拿尾數去和

lo g 2, lo g 3, lo g 4, lo g 5, \dots

比。

第 5 題

1 8^{b} = 5

就是

lo g_{18} 5 = b

。全部換成以

18

為底：

lo g_{36} 45 = \frac{lo g _{18} 45}{lo g _{18} 36}

。分子

lo g_{18} 45 = lo g_{18} 9 + lo g_{18} 5 = a + b

。分母

lo g_{18} 36 = lo g_{18} 18 + lo g_{18} 2 = 1 + lo g_{18} 2

，而

lo g_{18} 2 = lo g_{18} \frac{18}{9} = 1 - a

，所以分母是

2 - a

。故

lo g_{36} 45 = \frac{a + b}{2 - a}

。

36

不能直接用

9

和

5

湊出來，要先用

2 = \frac{18}{9}

把

lo g_{18} 2

寫成

1 - a

。

第 6 題設

2^{a} = 5^{b} = k

（由

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2

知

a, b

都不是

0

，所以

k > 0

且

k \neq = 1

）。則

a = lo g_{2} k

、

b = lo g_{5} k

，由換底公式

\frac{1}{a} = lo g_{k} 2

、

\frac{1}{b} = lo g_{k} 5

。代入條件：

lo g_{k} 2 + lo g_{k} 5 = lo g_{k} 10 = 2

，所以

k^{2} = 10

。所求

2^{a} \cdot 5^{b} = k \cdot k = k^{2} = 10

。

第 7 題令

lo g 2 = t

，則

lo g 5 = 1 - t

、

lo g 8 = 3 t

、

lo g 1000 = 3

。前兩項：

(1 - t) (3 t + 3) + 3 t^{2} = 3 (1 - t) (1 + t) + 3 t^{2} = 3 - 3 t^{2} + 3 t^{2} = 3

。後兩項：

lo g \frac{1}{6} + lo g 0.06 = lo g (\frac{1}{6} \times 0.06) = lo g 0.01 = - 2

。原式

= 3 - 2 = 1

。

03填充第 5～8 題（本頁 8～11）：圖形上的點、對稱、矩形頂點、比大小

第 8 題曲線與

x

軸的交點

P

滿足

lo g_{a} x = 0

，所以

P (1, 0)

。由圖，

A

在

P

的左邊、

B

在

P

的右邊。設

\overline{P A} = d

（

0 < d < 1

），則

\overline{B P} = 2 d

，

A (1 - d, 0)

、

B (1 + 2 d, 0)

，

Q

的

y

坐標是

lo g_{a} (1 - d)

，

R

的

y

坐標是

lo g_{a} (1 + 2 d)

。

1 - d < 1 < 1 + 2 d

，這兩個對數值一正一負；

\overline{A Q} = \overline{B R}

表示兩者的絕對值相等，所以

lo g_{a} (1 - d) + lo g_{a} (1 + 2 d) = 0

，即

(1 - d) (1 + 2 d) = 1

。展開得

d - 2 d^{2} = 0

，

d = \frac{1}{2}

（

d = 0

不合）。故

\overline{A B} = 3 d = \frac{3}{2}

。

答案與底數

a

無關：

A (\frac{1}{2}, 0)

、

B (2, 0)

，兩點的

x

坐標互為倒數，對數值正好差一個負號。

第 9 題

a

是

y = 3^{x}

與直線

y = 2 - x

交點的

x

坐標，

b

是

y = lo g_{3} x

與直線

y = 2 - x

交點的

x

坐標。

y = 3^{x}

與

y = lo g_{3} x

的圖形對稱於直線

y = x

；直線

y = 2 - x

（即

x + y = 2

）把

x, y

對調後還是自己，也對稱於

y = x

。所以第一個交點

(a, 2 - a)

對

y = x

的對稱點

(2 - a, a)

同時在

y = lo g_{3} x

與

y = 2 - x

上。又

lo g_{3} x + x

隨

x

增加而增加，方程式

lo g_{3} x + x - 2 = 0

只有一個解，所以

b = 2 - a

，

a + b = 2

。

兩個方程式都解不出漂亮的數，不必去解；用對稱看出兩個交點互為對稱點即可。

第 10 題

A

在

y = lo g_{\frac{2}{2}} x

上且

y

坐標為

2

：

x = (\frac{2}{2})^{2} = \frac{1}{2}

，所以

A (\frac{1}{2}, 2)

。

\overline{A B}

平行

x

軸，

B

的

y

坐標也是

2

；

B

在

y = x^{\frac{1}{2}}

上：

x = 2

，

x = 4

，所以

B (4, 2)

。

\overline{B C}

平行

y

軸，

C

的

x

坐標是

4

；

C

在

y = (\frac{2}{2})^{x}

上：

y = (\frac{2}{2})^{4} = \frac{1}{4}

，所以

C (4, \frac{1}{4})

。

D

與

A

的

x

坐標相同、與

C

的

y

坐標相同，故

D (\frac{1}{2}, \frac{1}{4})

。

本頁附圖是示意圖，只表示三條曲線的增減與各頂點在哪一條曲線上，不照實際比例。

(\frac{2}{2})^{2} = \frac{1}{2}

、

(\frac{2}{2})^{4} = \frac{1}{4}

，不要算成

2

與

4

。

第 11 題先用題目給的兩個不等式。

5^{5} < 8^{4}

：兩邊取以

8

為底的對數，

5 lo g_{8} 5 < 4

，所以

b < \frac{4}{5}

。

1 3^{4} < 8^{5}

：兩邊取以

13

為底的對數，

4 < 5 lo g_{13} 8

，所以

c > \frac{4}{5}

。故

b < \frac{4}{5} < c

。再比

a

與

b

，改用

\frac{3}{4}

當中間值：

3^{4} = 81 < 125 = 5^{3}

，取以

5

為底的對數得

4 a < 3

，

a < \frac{3}{4}

；

5^{4} = 625 > 512 = 8^{3}

，取以

8

為底的對數得

4 b > 3

，

b > \frac{3}{4}

。所以

a < \frac{3}{4} < b < \frac{4}{5} < c

，即

a < b < c

。

題目只給了分開

b

與

c

的不等式，

a

與

b

之間的中間值

\frac{3}{4}

要自己找（比較

3^{4}

與

5^{3}

、

5^{4}

與

8^{3}

）。

底數不同的對數比大小：找一個分數當中間值，把「對數與分數比大小」改寫成「兩個整數次方比大小」。

04計算與證明題第 1 題（本頁 12）：對數的減法律

第 12 題設

lo g_{a} x = m

、

lo g_{a} y = n

。依對數的定義，

x = a^{m}

、

y = a^{n}

。由指數律，

\frac{x}{y} = \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}

。因為

x, y

都是正數，

\frac{x}{y}

也是正數，再依對數的定義，

lo g_{a} \frac{x}{y} = m - n

。把

m, n

換回去，得

lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y

，得證。

證明的每一步只用「對數的定義」與「指數律」，不能直接引用要證的對數律。條件

a > 0, a \neq = 1

與

x, y

為正數，是為了讓每一個對數都有意義。

05計算與證明題第 2 題（本頁 13～14）：聲壓級

第 13 題記

P_{0} = 2 \times 1 0^{- 5}

。設原來的聲壓為

P

、聲壓級為

S

，則

S = k lo g \frac{P}{P _{0}}

。聲壓變為

1000 P

時聲壓級是

S + 60

：

S + 60 = k lo g \frac{1000 P}{P _{0}} = k (lo g 1000 + lo g \frac{P}{P _{0}}) = 3 k + S

。所以

3 k = 60

，

k = 20

。

第 14 題由上一小題，

S = 20 lo g \frac{P}{P _{0}}

。兩個聲源都是

40

dB：

40 = 20 lo g \frac{P _{1}}{P _{0}}

，

lo g \frac{P _{1}}{P _{0}} = 2

，所以

P_{1} = 100 P_{0}

，同理

P_{2} = 100 P_{0}

。疊加後

P = P_{1}^{2} + P_{2}^{2} = 2 \times (100 P_{0})^{2} = 1002 P_{0}

。聲壓級

S = 20 lo g (1002) = 20 (2 + \frac{1}{2} lo g 2) = 40 + 10 lo g 2 \approx 40 + 10 \times 0.3 = 43

。疊加後約為

43

分貝。

兩個

40

分貝疊加不是

80

分貝。分貝是對數尺度，聲壓變成

2

倍，分貝數只多

20 lo g 2 = 10 lo g 2 \approx 3

。

對數尺度的題目：先把「級數差多少」換成「比值是幾倍」，或反過來；倍數相乘對應到級數相加。

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02填充第 1～4 題（本頁 4～7）：首數與尾數、換底、指數化對數、化簡

03填充第 5～8 題（本頁 8～11）：圖形上的點、對稱、矩形頂點、比大小

04計算與證明題第 1 題（本頁 12）：對數的減法律

05計算與證明題第 2 題（本頁 13～14）：聲壓級

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