段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期、週期性數學模型）

高師大附中 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

多重選擇題 5 題（每題 6 分，共 30 分）、填充題 11 題（每題 5 分，共 55 分）、混合題 2 題（10 分與 5 分，共 15 分），合計 100 分。原卷三大題各自從 1 編號，本頁依序連續編為第 1～18 題（填充 1～11 為第 6～16 題，混合 1、2 為第 17、18 題）。原卷算式中部分符號（度、角的記號等）在檔案裡沒有顯示，本頁依上下文補回，並已與學校答案核對。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

一、多重選擇題（每題有5個選項，所有選項均答對者，得6分；答錯1個選項者，得4分；答錯2個選項者，得2分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。本大題共計30分）

下列敘述何者正確？

(A) $1 8^{\circ} = \frac{π}{18}$ 弳
(B) $\frac{11 π}{6}$ 弳 $= 33 0^{\circ}$
(C) $\frac{19 π}{5}$ 弳是 $- \frac{π}{5}$ 弳的同界角
(D) $- 3$ 弳是第二象限角
(E) $cos \frac{π}{6} + cos (- \frac{π}{6}) = 0$

關於函數

f (x) = sin x

，下列敘述何者正確？

(A) $f (x)$ 的值域 $= [- 1, 1]$
(B) $f (\frac{2 π}{3}) < f (\frac{3 π}{4})$
(C) $f (x)$ 在 $x = \frac{11}{2} π$ 時有最小值
(D) $f (x)$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(E) 若 $f (x) = f (x + p), p > 0$ ，則 $p$ 的最小值為 $2 π$

遊樂區中有一圓形摩天輪，當摩天輪開始運轉時，小龍恰坐在離地最近的位置上，

x

分鐘後，小龍離地的高度（公尺）可表為

y = 20 sin (\frac{2 π}{15} x - \frac{π}{2}) + 22

。下列敘述何者正確？

(A) 摩天輪轉一圈需 $15 π$ 分鐘
(B) 摩天輪的半徑為 20 公尺
(C) 15 分鐘後，小龍離地的高度最大
(D) 5 分鐘後，小龍離地的高度為 32 公尺
(E) 若摩天輪以等速率轉動，則轉動速率為每分鐘 $\frac{8}{3} π$ 公尺

下圖是函數

y = a sin (b x + c)

（其中

a > 0

，

b > 0

，

∣ c ∣ < π

）在一個週期內的圖形。下列敘述何者正確？

(A) $a = 2$
(B) $b = 3$
(C) $c = \frac{π}{12}$
(D) 該函數圖形可由 $y = 2 sin 3 x$ 向左平移 $\frac{π}{12}$ 單位而得
(E) 該函數圖形對稱於直線 $x = \frac{5 π}{12}$

載入中...

下列敘述何者正確？

(A) $y = sin x$ 先左右伸縮 2 倍再左移 5 與先左移 5 再左右伸縮 2 倍，所得的圖形相同
(B) $y = sin x$ 先左右伸縮 2 倍再上移 5 與先上移 5 再左右伸縮 2 倍，所得的圖形相同
(C) $sin x = cos x$ 的解只有 2 個
(D) $sin x = \frac{x}{2 π}$ 的解只有 3 個
(E) $y = 3 sin (- 2 x + 5) - 7$ 的週期為 $4 π$

二、填充題（每題完全答對給5分。本大題共11題，共計55分）

如右圖，

A

點與

B

點為兩圓之圓心，已知圓

A

的半徑為

1

，且

∠ C A D = 12 0^{\circ}

，

∠ C B D = 6 0^{\circ}

，求鋪色區域的面積為 ____。

載入中...

求

\frac{cos \frac{5 π}{3}}{1 + sin \frac{2 π}{3}} + \frac{1}{tan \frac{7 π}{6}} =

____。

某公司設計 logo 如右圖，矩形

A B C D

中，

\overline{A B} = 12

，

\overline{A D} = 63

，以

\overline{A B}

為直徑作半圓，再以

D

為圓心，

\overline{D A}

為半徑作四分之一圓交於

P

點，

M

為

\overline{A B}

的中點。求鋪色區域的面積為 ____。

載入中...

設有五個數：

a = sin 1 - cos 1

、

b = sin 2 - cos 2

、

c = cos 3

、

d = sin 4 - cos 4

、

e = sin 5 - cos 5

，其中為正數者共有 ____ 個。

當時鐘在 3 點 40 分時，時針與分針的夾角為 ____ 弳。

將

y = 4^{s i n x} - 3 sin x - 1

的圖形透過電腦繪製如下，則此函數的週期是 ____。

載入中...

包裝二根半徑分別為

3

與

9

的圓柱，其截面如右圖，則外圍粗紅線條的長度為 ____。

載入中...

如下圖，若扇形圓心角

\frac{2 π}{3}

，半徑為 1，則陰影部分的周長為 ____。

載入中...

下圖為函數

y = a sin (b x) + c

的部分圖形，其中

a > 0

，

b > 0

，則序組

(a, b, c) =

____。

載入中...

電流強度

I

（安培）隨時間

t

（秒）變化的函數

I (t) = a sin (b t + c)

如下圖，其中

a, b > 0

，

0 \leq c < π

，則序組

(a, b, c) =

____。（原卷的圖橫軸標

x

、縱軸標

y

，分別代表

t

與

I

）

載入中...

方程式

7 sin x = x

有 ____ 個實數解。

三、混合題（本大題共2題，共計15分）

量販店內販售直徑為 18 吋的圓形披薩，因應小家庭的趨勢，將每個披薩等分成八個扇形的切片披薩進行販售。現推出兩片合購方案，可任選兩種口味。在包裝上有兩種方案，方案一是採用正方形的盒子，方案二是採用矩形的盒子，如下二圖。若只考慮正方形與矩形的面積，請問哪一種包裝方式較節省材料？（請分別計算出正方形與矩形的面積來做說明）（10 分）

載入中...

正弦波函數

f (x) = a sin (b x + \frac{5 π}{6}) + c

，其中

a > 0

，

b > 0

，其圖形如下，試求

a

，

b

，

c

的值。（5 分）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(C)

第 2 題(A)(C)(E)

第 3 題(B)(D)(E)

第 4 題(A)(B)(D)(E)

第 5 題(B)(D)

第 6 題

\frac{5 π}{6} - 3

第 7 題

2

第 8 題

30 π - 363

第 9 題

2

第 10 題

\frac{13 π}{18}

第 11 題

2 π

第 12 題

14 π + 123

第 13 題

\frac{2 π}{3} + 3

第 14 題

(2, 3, - 1)

第 15 題

(10, 100 π, \frac{π}{6})

第 16 題

3

第 17 題正方形面積

81

，矩形面積

812 - \frac{81}{2}

（約

74.05

），方案二較節省材料

第 18 題

a = 2

，

b = 6

，

c = 1

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題 1～3（第 1～3 題）：弧度的基本觀念、正弦函數的性質、摩天輪模型

第 1 題答案 (B)(C)。

18 0^{\circ} = π

弳。(A) 錯：

1 8^{\circ} = 18 \times \frac{π}{180} = \frac{π}{10}

弳，不是

\frac{π}{18}

。(B) 對：

\frac{11 π}{6}

弳

= \frac{11}{6} \times 18 0^{\circ} = 33 0^{\circ}

。(C) 對：

\frac{19 π}{5} - (- \frac{π}{5}) = 4 π

，相差整數圈（兩圈），是同界角。(D) 錯：

- π \approx - 3.14 < - 3 < - \frac{π}{2} \approx - 1.57

，順時針轉超過四分之一圈、還不到半圈，終邊在第三象限。(E) 錯：

cos (- \frac{π}{6}) = cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}

，兩項相加是

3

。

(D) 也可以加一圈來看：

- 3 + 2 π \approx 3.28

，介於

π \approx 3.14

與

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

之間，是第三象限角。

第 2 題答案 (A)(C)(E)。(A) 對：

- 1 \leq sin x \leq 1

，而且

- 1

到

1

之間的每個值都取得到。(B) 錯：

f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3}{2} \approx 0.866

，

f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2}{2} \approx 0.707

，前者比較大；在

\frac{π}{2}

到

π

之間正弦是遞減的。(C) 對：

\frac{11 π}{2} = 4 π + \frac{3 π}{2}

，

sin \frac{11 π}{2} = sin \frac{3 π}{2} = - 1

，是最小值。(D) 錯：

sin (- x) = - sin x

，圖形對稱於原點，不對稱於

y

軸；例如

f (\frac{π}{2}) = 1

、

f (- \frac{π}{2}) = - 1

。(E) 對：對所有

x

都有

f (x) = f (x + p)

的最小正數

p

就是週期，

y = sin x

的週期是

2 π

。

第 3 題答案 (B)(D)(E)。(A) 錯：週期是

2 π \div \frac{2 π}{15} = 15

分鐘，不是

15 π

分鐘。(B) 對：高度在

22 - 20 = 2

與

22 + 20 = 42

之間變動，最高與最低相差一條直徑

40

，半徑是

20

公尺（就是振幅）。(C) 錯：

15

分鐘剛好轉完一圈，回到最低點，

y = 20 sin (2 π - \frac{π}{2}) + 22 = 2

；高度最大是在

7.5

分鐘時。(D) 對：

x = 5

時

y = 20 sin (\frac{2 π}{3} - \frac{π}{2}) + 22 = 20 sin \frac{π}{6} + 22 = 32

。(E) 對：轉一圈走的路程是圓周長

2 π \times 20 = 40 π

公尺，花

15

分鐘，每分鐘

\frac{40 π}{15} = \frac{8}{3} π

公尺。

x = 0

時

y = 20 sin (- \frac{π}{2}) + 22 = 2

，確實是最低點，與題目「恰坐在離地最近的位置」相符。

y = a sin (b x + c) + d

（

a > 0

、

b > 0

）：振幅

a

、週期

\frac{2 π}{b}

、最大值

d + a

、最小值

d - a

。

02多重選擇題 4、5（第 4、5 題）：由圖形定係數、伸縮平移的順序與交點個數

第 4 題答案 (A)(B)(D)(E)。(A) 對：最高點的

y

坐標是

2

、最低點是

- 2

，振幅

a = 2

。(B) 對：圖上是一個完整的週期，從

- \frac{π}{12}

到

\frac{7 π}{12}

，週期

= \frac{7 π}{12} + \frac{π}{12} = \frac{2 π}{3}

，所以

b = 2 π \div \frac{2 π}{3} = 3

。(C) 錯：圖形在

x = - \frac{π}{12}

由下往上通過

x

軸，是一個週期的起點，所以

3 \times (- \frac{π}{12}) + c = 0

（配合

∣ c ∣ < π

），

c = \frac{π}{4}

。(D) 對：

y = 2 sin (3 x + \frac{π}{4}) = 2 sin 3 (x + \frac{π}{12})

，是把

y = 2 sin 3 x

向左平移

\frac{π}{12}

。(E) 對：最低點在起點之後四分之三個週期，

x = - \frac{π}{12} + \frac{3}{4} \times \frac{2 π}{3} = \frac{5 π}{12}

；正弦曲線對稱於通過最高點或最低點的鉛直線，所以對稱於直線

x = \frac{5 π}{12}

。

\frac{π}{12}

意思不同：

c

是括號裡加的數

\frac{π}{4}

，平移量要先把

x

的係數

3

提出來才是

\frac{π}{12}

。

第 5 題答案 (B)(D)。左右伸縮

2

倍是把

x

換成

\frac{x}{2}

，左移

5

是把

x

換成

x + 5

。(A) 錯：先伸縮再左移得

y = sin \frac{x + 5}{2}

；先左移再伸縮得

y = sin (\frac{x}{2} + 5)

，兩者不同（前者由

y = sin \frac{x}{2}

左移

5

，後者是左移

10

）。(B) 對：上下平移與左右伸縮互不影響，兩種順序都得到

y = sin \frac{x}{2} + 5

。(C) 錯：題目沒有限制

x

的範圍，

x = \frac{π}{4}

、

\frac{5 π}{4}

、

\frac{9 π}{4}

、… 都是解，有無限多個。(D) 對：看

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{2 π}

的交點。

∣ x ∣ > 2 π

時直線的高度超出

- 1

到

1

，沒有交點。

0 < x < π

：正弦曲線是一個拱形，在

x = \frac{π}{2}

時

1 > \frac{1}{4}

，曲線在直線上方，到

x = π

時

0 < \frac{1}{2}

，曲線在直線下方，中間交

1

次；

π \leq x \leq 2 π

：

sin x \leq 0

而直線為正，沒有交點。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

1

個，再加原點，共

3

個。(E) 錯：週期只看

x

的係數的絕對值，

\frac{2 π}{∣ - 2∣} = π

。

平移量與伸縮倍數都是對「

x

本身」做的：寫成式子時把

x

整個換掉，順序不同結果就可能不同。

03填充 1～3（第 6～8 題）：重疊區域的面積、三角函數值

第 6 題連

\overline{C D}

，鋪色區域被弦

\overline{C D}

分成兩個弓形，各算「扇形減三角形」。圓

A

這一邊：半徑

1

、圓心角

12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

，扇形

A C D

面積

\frac{1}{2} \times 1^{2} \times \frac{2 π}{3} = \frac{π}{3}

；等腰三角形

A C D

中，由

A

向

\overline{C D}

作高，分成兩個

3 0^{\circ}

6 0^{\circ}

9 0^{\circ}

三角形，高

\frac{1}{2}

、

\overline{C D} = 2 \times \frac{3}{2} = 3

，面積

\frac{1}{2} \times 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}

；弓形面積

\frac{π}{3} - \frac{3}{4}

。圓

B

這一邊：

\overline{B C} = \overline{B D}

且

∠ C B D = 6 0^{\circ}

，三角形

B C D

是正三角形，圓

B

的半徑

= \overline{C D} = 3

；扇形

B C D

面積

\frac{1}{2} \times (3)^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{π}{2}

，正三角形面積

\frac{3}{4} \times (3)^{2} = \frac{3 3}{4}

，弓形面積

\frac{π}{2} - \frac{3 3}{4}

。兩個弓形相加：

\frac{π}{3} + \frac{π}{2} - \frac{3}{4} - \frac{3 3}{4} = \frac{5 π}{6} - 3

。

估算檢查：

\frac{5 π}{6} - 3 \approx 2.618 - 1.732 = 0.886

，比圓

A

的面積

π \approx 3.14

小，合理。

第 7 題逐項算：

\frac{5 π}{3} = 30 0^{\circ}

在第四象限，

cos \frac{5 π}{3} = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

；

\frac{2 π}{3} = 12 0^{\circ}

在第二象限，

sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}

；

\frac{7 π}{6} = 21 0^{\circ}

在第三象限，

tan \frac{7 π}{6} = tan \frac{π}{6} = \frac{1}{3}

。第一項

= \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{3}{2}} = \frac{1}{2 + 3} = 2 - 3

（分子分母同乘

2 - 3

），第二項

= 3

。原式

= 2 - 3 + 3 = 2

。

第 8 題鋪色區域是半圓（圓心

M

、半徑

6

）與四分之一圓（圓心

D

、半徑

63

）重疊的部分，兩弧交於

A

與

P

。直角三角形

D A M

中，

\overline{A M} = 6

、

\overline{D A} = 63

，所以

\overline{D M} = 36 + 108 = 12

，三邊比

1 : 3 : 2

，

∠ A D M = 3 0^{\circ}

、

∠ A M D = 6 0^{\circ}

。又

\overline{D P} = \overline{D A}

、

\overline{M P} = \overline{M A}

，三角形

D P M

與

D A M

全等（三邊相等），所以

∠ A D P = 6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

、

∠ A M P = 12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

。扇形

D A P

面積

\frac{1}{2} \times (63)^{2} \times \frac{π}{3} = 18 π

；扇形

M A P

面積

\frac{1}{2} \times 6^{2} \times \frac{2 π}{3} = 12 π

；四邊形

D A M P

面積

= 2 \times \frac{1}{2} \times 6 \times 63 = 363

。兩個扇形都在四邊形

D A M P

內（

\overline{A M}

、

\overline{M P}

與圓

D

相切，

\overline{D A}

、

\overline{D P}

與圓

M

相切），合起來剛好蓋滿這個四邊形，其中重疊（被算兩次）的正是鋪色區域，所以鋪色面積

= 18 π + 12 π - 363 = 30 π - 363

。

估算檢查：

30 π - 363 \approx 94.25 - 62.35 = 31.9

，比半圓面積

18 π \approx 56.5

小，合理。

兩個圓重疊的區域：連公共弦拆成兩個弓形，或用「兩個扇形相加減去四邊形」。圓心角一律換成弧度再代

\frac{1}{2} r^{2} θ

。

04填充 4～6（第 9～11 題）：弧度角的正負判斷、時鐘、由圖形讀週期

第 9 題用

π \approx 3.14

：

\frac{π}{4} \approx 0.79

、

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

、

\frac{5 π}{4} \approx 3.93

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

、

2 π \approx 6.28

。

a

：

1

弳在

\frac{π}{4}

與

\frac{π}{2}

之間（超過

4 5^{\circ}

的第一象限角），

sin 1 > cos 1

，

a > 0

。

b

：

2

弳在第二象限，

sin 2 > 0

、

cos 2 < 0

，

b > 0

。

c

：

3

弳在第二象限，

cos 3 < 0

。

d

：

4

弳在第三象限，而且

4 > \frac{5 π}{4}

，參考角

4 - π \approx 0.86

超過

\frac{π}{4}

，所以

sin 4 = - sin 0.86

、

cos 4 = - cos 0.86

，而

sin 0.86 > cos 0.86

，得

sin 4 < cos 4

，

d < 0

。

e

：

5

弳在第四象限，

sin 5 < 0

、

cos 5 > 0

，

e < 0

。正數有

a

、

b

共

2

個。

數值：

a \approx 0.30

、

b \approx 1.33

、

c \approx - 0.99

、

d \approx - 0.10

、

e \approx - 1.24

。

第 10 題從 12 的位置順時針量。分針每分鐘走

6^{\circ}

，40 分時在

24 0^{\circ}

。時針每小時走

3 0^{\circ}

、每分鐘走

0. 5^{\circ}

，3 點 40 分時在

9 0^{\circ} + 40 \times 0. 5^{\circ} = 11 0^{\circ}

。兩針的夾角

= 24 0^{\circ} - 11 0^{\circ} = 13 0^{\circ} = 130 \times \frac{π}{180} = \frac{13 π}{18}

弳。

第 11 題函數值只由

sin x

決定，而

sin (x + 2 π) = sin x

，所以每隔

2 π

圖形一定重複。再看圖形：一個大的山峰加上兩個小的凹谷合成一組，這一組的寬度正好是

2 π

（例如從

x = 0

到

x = 2 π

），大山峰每

2 π

才出現一次，沒有更短的重複間隔，所以週期是

2 π

。

大山峰的頂點在

sin x = - 1

的地方（

x = \frac{3 π}{2}

、

- \frac{π}{2}

、…），高度

4^{- 1} + 3 - 1 = \frac{9}{4}

，與圖上略高於

2

相符。

05填充 7、8（第 12、13 題）：外圍線長、弓形周長

第 12 題設小圓圓心

O_{1}

（半徑

3

）、大圓圓心

O_{2}

（半徑

9

），兩圓外切，

\overline{O_{1} O_{2}} = 3 + 9 = 12

。粗線由兩段公切線與兩段圓弧組成。設上方的公切線切兩圓於

S

、

T

，

\overline{O_{1} S}

與

\overline{O_{2} T}

都垂直於切線。過

O_{1}

作

\overline{O_{2} T}

的垂線，垂足

H

，則

\overline{O_{2} H} = 9 - 3 = 6

，直角三角形

O_{1} H O_{2}

的斜邊

12

、一股

6

，所以

\overline{O_{1} H} = 63

，

∠ O_{1} O_{2} H = 6 0^{\circ}

。公切線段

\overline{S T} = \overline{O_{1} H} = 63

，上下兩段共

123

。大圓上被粗線包住的弧：圓心角

36 0^{\circ} - 2 \times 6 0^{\circ} = 24 0^{\circ} = \frac{4 π}{3}

，弧長

9 \times \frac{4 π}{3} = 12 π

。小圓上被粗線包住的弧：

\overline{O_{1} S}

平行

\overline{O_{2} T}

，所以

∠ S O_{1} O_{2} = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

，粗線在小圓上的圓心角

36 0^{\circ} - 2 \times 12 0^{\circ} = 12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

，弧長

3 \times \frac{2 π}{3} = 2 π

。總長

= 12 π + 2 π + 123 = 14 π + 123

。

兩段弧的圓心角合起來一定是一整圈：

24 0^{\circ} + 12 0^{\circ} = 36 0^{\circ}

，可以用來檢查。

第 13 題陰影部分是弓形，周長

=

弧長

+

弦長。弧長

= r θ = 1 \times \frac{2 π}{3} = \frac{2 π}{3}

。弦長：由圓心向弦作垂線，把等腰三角形分成兩個

3 0^{\circ}

6 0^{\circ}

9 0^{\circ}

的直角三角形（頂角的一半是

6 0^{\circ}

），斜邊

1

，

6 0^{\circ}

的對邊

\frac{3}{2}

，所以弦長

= 2 \times \frac{3}{2} = 3

。周長

= \frac{2 π}{3} + 3

。

陰影的邊界不含兩條半徑，只有圓弧與弦。

弧長

s = r θ

、扇形面積

\frac{1}{2} r^{2} θ

的

θ

都要用弧度；切線一定垂直過切點的半徑。

06填充 9～11（第 14～16 題）：由圖形決定係數、方程式的實數解個數

第 14 題最大值

1

、最小值

- 3

：振幅

a = \frac{1 - ( - 3 )}{2} = 2

，中心線

c = \frac{1 + ( - 3 )}{2} = - 1

。圖形從

(0, - 1)

（中心線上）出發往上，之後每一個完整的波形寬度相同；從圖上看，

0

到

2 π

之間剛好有

3

個完整的波（

x = 2 π

時圖形又回到中心線往上），所以週期是

\frac{2 π}{3}

，

b = 2 π \div \frac{2 π}{3} = 3

。故

(a, b, c) = (2, 3, - 1)

。

代回檢查：

y = 2 sin 3 x - 1

在

x = 0

時

y = - 1

；

x = \frac{π}{6}

時

y = 2 - 1 = 1

是第一個最高點；

x = \frac{π}{2}

時

y = - 2 - 1 = - 3

是第一個最低點，正好在圖上第一個刻度的位置。

第 15 題最大值

10

、最小值

- 10

，

a = 10

。最高點在

t = \frac{1}{300}

，緊接著的最低點在

t = \frac{4}{300}

，相隔半個週期：

\frac{4}{300} - \frac{1}{300} = \frac{1}{100}

，週期是

\frac{1}{50}

，

b = 2 π \div \frac{1}{50} = 100 π

。

t = 0

時

I = 5

：

10 sin c = 5

，

sin c = \frac{1}{2}

，在

0 \leq c < π

內

c = \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6}

。圖形在

t = 0

之後是上升的，而且第一個最高點在

t = \frac{1}{300}

：

100 π \times \frac{1}{300} + c = \frac{π}{2}

，得

c = \frac{π}{6}

。故

(a, b, c) = (10, 100 π, \frac{π}{6})

。

若取

c = \frac{5 π}{6}

，

t = 0

之後括號內的角超過

\frac{π}{2}

，圖形會先下降，與圖不合。

第 16 題

7 sin x = x

就是

sin x = \frac{x}{7}

，看

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{7}

的交點。

∣ x ∣ > 7

時直線高度超出

- 1

到

1

，沒有交點，只要看

- 7 \leq x \leq 7

。先看

x > 0

：

0 < x < π

時正弦曲線是一個拱形，

x = \frac{π}{2}

時

1 > \frac{π}{14}

，曲線在直線上方，

x = π

時

0 < \frac{π}{7}

，曲線在直線下方，中間交

1

次。

π \leq x \leq 2 π

時

sin x \leq 0

而直線為正，沒有交點。

2 π < x \leq 7

時（

2 π \approx 6.28

），

x - 2 π \leq 0.72 < \frac{π}{4}

，所以

sin x = sin (x - 2 π) < \frac{2}{2} \approx 0.71

，而直線的高度至少是

\frac{2 π}{7} \approx 0.90

，曲線追不上直線，沒有交點。所以

x > 0

只有

1

個交點。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

1

個；再加上原點，共

3

個實數解。

關鍵是

7

只比

2 π

大一點點：直線在第二個拱形剛開始時就已經快到

1

，所以第二個拱形碰不到直線。原點只算一次。

由圖形定

y = a sin (b x) + c

：振幅＝(最大值－最小值)÷2，中心線＝(最大值＋最小值)÷2，再數一個週期多寬。

07混合題 1、2（第 17、18 題）：披薩包裝盒、由圖形決定係數

第 17 題披薩半徑

9

吋，等分成八片，每片是半徑

9

、圓心角

\frac{2 π}{8} = \frac{π}{4}

（

4 5^{\circ}

）的扇形。方案一：兩片的尖端放在一起、直邊相貼，合成半徑

9

、圓心角

9 0^{\circ}

的扇形，尖端放在正方形的一個角上，兩條直邊貼著正方形的兩邊，所以正方形邊長

= 9

，面積

= 9^{2} = 81

（平方吋）。方案二：兩片一正一反，沿一條直邊（長

9

）相貼，這條邊與盒子的長邊夾

4 5^{\circ}

，兩片的尖端分別在盒子的上、下兩條長邊上，另一條直邊各貼著一條長邊。以共用的直邊為斜邊作等腰直角三角形，兩股都是

\frac{9}{2} = \frac{9 2}{2}

。矩形的寬（短邊）就是兩條長邊的距離

\frac{9 2}{2}

。矩形的長：兩片貼著長邊的直邊各長

9

，一上一下，在水平方向重疊的部分正是共用邊的水平寬度

\frac{9 2}{2}

，所以長

= 9 + 9 - \frac{9 2}{2}

。矩形面積

= (18 - \frac{9 2}{2}) \times \frac{9 2}{2} = 812 - \frac{81}{2} = 81 (2 - \frac{1}{2}) \approx 74.05

（平方吋）。因為

2 - \frac{1}{2} \approx 0.914 < 1

，矩形面積比正方形的

81

小，所以方案二較節省材料。

不用小數也能比較：

2 < 1.5

，所以

2 - \frac{1}{2} < 1

，

81 (2 - \frac{1}{2}) < 81

。兩片披薩本身的面積是

2 \times \frac{1}{2} \times 9^{2} \times \frac{π}{4} = \frac{81 π}{4} \approx 63.6

，兩種盒子都裝得下。

第 18 題最大值

3

、最小值

- 1

：

a = \frac{3 - ( - 1 )}{2} = 2

，

c = \frac{3 + ( - 1 )}{2} = 1

。檢查

y

軸上的點：

f (0) = 2 sin \frac{5 π}{6} + 1 = 2 \times \frac{1}{2} + 1 = 2

，與圖上的

(0, 2)

相符。再看週期：圖形在

x = \frac{π}{6}

與

x = \frac{5 π}{6}

都是由下往上通過

x

軸，這兩點之間剛好有

2

個完整的波，所以

2

個週期

= \frac{5 π}{6} - \frac{π}{6} = \frac{2 π}{3}

，週期

= \frac{π}{3}

，

b = 2 π \div \frac{π}{3} = 6

。故

a = 2

，

b = 6

，

c = 1

。

代回檢查：

f (\frac{π}{6}) = 2 sin (π + \frac{5 π}{6}) + 1 = 2 \times (- \frac{1}{2}) + 1 = 0

，

f (\frac{5 π}{6}) = 2 sin (5 π + \frac{5 π}{6}) + 1 = 0

，都與圖相符。

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高師大附中 111 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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03填充 1～3（第 6～8 題）：重疊區域的面積、三角函數值

04填充 4～6（第 9～11 題）：弧度角的正負判斷、時鐘、由圖形讀週期

05填充 7、8（第 12、13 題）：外圍線長、弓形周長

06填充 9～11（第 14～16 題）：由圖形決定係數、方程式的實數解個數

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